證利用 AM-GM 可得 + b b 和 4 + b 4 + c 4 4 bc 類似有上述加起來就得 b + c c + b 4 + c bc 和 b c 4 c b 4 c 和 c b 4 + b + c b + bc + c 和 4 + b 4 + c 4 bc

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瞳禾宗
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1 Olympd Iequltes Ev Che 陳誼廷 Aprl 0, 04 The gol of ths documet s to provde eser troducto to olympd equltes th the stdrd exposto Olympd Iequltes, by Thoms Mldorf I ws motvted to wrte t by feelg gulty for gettg free 7 s o problems by smply regurgttg few trcks I hppeed to kow, whle other studets were uble to solve the problem 首先一些定義 : 我們會用到循環總和 sum) 舉個例, 有三個變數的時候, = + b + c b = b + b c + c (lc sum) 和對稱總和 sym (symmetrc = + + b + b + c + c sym b = b + c + b c + b + c + c b sym 多項式的不等式平均不等式和 Murhed 不等式考慮以下的定理定理 ( 平均不等式 / AM-GM) 令,,, 為正實數則等號成立的充要條件為 = = = 舉例子, 由此可證 + b b, + b + c bc 把這種不等式加起來, 就可得一些基本的命題舉個例, 例子試證 + b + c b + bc + c 和 4 + b 4 + c 4 bc + b c + c b

2 證利用 AM-GM 可得 + b b 和 4 + b 4 + c 4 4 bc 類似有上述加起來就得 b + c c + b 4 + c bc 和 b c 4 c b 4 c 和 c b 4 + b + c b + bc + c 和 4 + b 4 + c 4 bc + b c + c b 練習題試證 + b + c b + b c + c 練習題 4 試證 5 + b 5 + c 5 bc + b c + c b bc(b + bc + c) 最主要是要看得出來一個多項式大概多大, 例如 + b + c 是最大的, bc 是最小的大概來講, 比較 mxed 的多項式是比較小的由此, 可明顯看出來 eg ( + b + c) + b + c + 4bc 因為兩邊把 + b + c 消掉以後, 右邊只剩下 4bc, 所以用 AM-GM 就解決了一個好用的定理是 Murhed 定理如果給定兩個數列 x x x 和 y y y, 使得且對於每個 k =,,, 有 x + x + + x = y + y + + y, x + x + + x k y + y + + y k, 我們就說 (x ) 蓋 (mjorzes) (y ), 寫 (x ) (y ) 根據上述, 我們就有定理 5 (Murhed 不等式 ) 如果,,, 為正實數, 且 (x ) 蓋 (y ), 以下的不等式成為 : x x x y y y sym sym 例子 6 因為 (5, 0, 0) (,, ) (,, ), 故 b 5 + b 5 + c 5 + c 5 bc + bc + b c + b c + c b + c b b c + b c + b c + b c + c b + c b 由此可得 5 + b 5 + c 5 bc + b c + c b bc(b + bc + c) 注意 Murhed 是對稱的, 不是循環的舉個例, 雖然 (, 0, 0) (,, 0); 但是用 Murhed 可得出 ( + b + c ) b + c + b c + b + c + c b 所以不可用來證明 + b + c b + b c + c 這時還是要用 AM-GM 來解決

3 不齊次的不等式考慮以下的題目例子 7 如果 bc =, 試證 + b + c + b + c 證平均不等式兩邊的次數都一樣, 所以光用 AM-GM 不夠 ; 左邊的次數為二, 但是右邊的次數為一利用 bc =, 原不等式可改寫成 + b + c / b / c / ( + b + c) 因為不等式現在是齊次, 如果我們把, b, c 都乘上一個 k > 0, 等價不等式兩邊乘上 k, 不影響到原來的不等式所以這時候就不必要再用到 bc = 的條件因為 (, 0, 0) ( 4,, ), 利用 Murhed 就完成了這個方法的重點是可以把題目的條件取掉 ; 這很重要 ( 這個方法也可以反過來用 : 如果一個不等式是齊次, 我們也可加一個 ( 不齊次的 ) 條件 ) 練習題 7 + b 7 + c 7 4 b + b 4 c + c 4 若 + b + c =, 則 + b + c + ( +b +c ) bc bc + b c + c b + b + c 4 若 + b + c =, 則 ( + )(b + )(c + ) 64 5 (USA 0) 若 + b + c + ( + b + c) 4, 則 b + ( + b) + bc + (b + c) + c + (c + ) 6 若 bcd =, 則 4 b + b 4 c + c 4 d + d 4 + b + c + d 任意函數的不等式令 f : (u, v) R 為函數, 且設,,, (u, v) 假設我們固定 ( 如果不等式是齊次的, 我們常會自己加這個條件 ), 而想證 f( ) + f( ) + + f( ) = 大於 ( 或小於 )f() 以下有三個方法我們定義一個函數 f 是凸函數如果對於任意 x 有 f (x) 0; 若每個 x 有 f (x) 0 我們就定義 f 是凹函數注意如果 f 為凸函數, f 就為凹函數 Jese / Krmt 定理 8 (Jese 不等式 ) 如果 f 為凸函數, 則 ( ) f( ) + + f( ) + + f 若 f 為凹函數, 不等式相反

4 定理 9 (Krmt 不等式 ) 如果 f 為凸函數, 且 (x ) 蓋 (y ), 則若 f 為凹函數, 不等式相反 f(x ) + + f(x ) f(y ) + + f(y ) 例子 0 (Shortlst 009) 若 + b + c = + b + c, 試證 ( + b + c) + ( + b + c) + ( + b + c) 6 證先把條件用掉 : 原題等價與 ( + b + c) + ( + b + c) + ( + b + c) 6 + b + c + b + c 現在不等式是齊次了, 所以可不方假設 + b + c = 不等式就改變寫成 6 ( + ) 0 若設 f(x) = 6x (x+), 可證 f 再 (0, ) 上是凸函數, 故用 Jese 就解完了例子試證 + b + ( c + b + b + c + ) c b + c 證原題等價與 + b + c +b + b+c + c+ +b+c + +b+c + +b+c 不方假設 b c 設 f(x) = /x 因為 ( + b (, b, c), + c, b + c ) ( + b + c, + b + c, + b + c ) 利用 Krmt 就解決了, 齊次 f(x) = x 例子 (APMO 996) 若, b, c, 是三角形的邊, 試證 + b c + b + c + c + b + b + c 證不方假設 b c, 再考慮 ( + b c, c + b, b + c ) (, b, c), 再利用 Krmt 再 f(x) = x Tget Le Trck 一樣固定 = + + 如果 f 不是凸函數, 有時後還是可以證 f(x) f() + f () (x ) 如果可證上述, 也就可以令這個方法叫 tget le trck 4

5 例子 (Dvd Stoer) 若 + b + c =, 試證 8 + (b + bc + c) 5 ( c)(4 c) 證我們可把原題改變寫成 ( ) 8 ( c)(4 c) c 6 因為所以加起來就解決了例子 4 (Jp) 試證 8 ( c)(4 c) c c + (b+c ) +(b+c) 5 c(c ) (c 9) 0 證原題是齊次, 所以可不方假設 + b + c = 所以我們要證明的是利用 tget le method 可以找出 EV ( ) + ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 5 5 ( + ) 最後以個方法是 EV 這算是一個暴力的方法, 可是很有用定理 5 ( EV) 令,,, 為實數, 且固定令 f : R R 為一個函數使得 f 有正好一個拐點若 f( ) + f( ) + + f( ) 達到最大值或最小值, 則內有個變數相等證 Olympd Iequltes, by Thoms Mldorf, pge 5 證明的想法是利用 Krmt 不等式, 把推在一起例子 6 (IMO 00 / APMOC 04) 令, b, c 為正實數, 試證證設 e x = bc, e y = c b, e z = b c 我們固定有 x + y + z = 0, 且想證此處 f(x) = +8e x 可算出 f(x) + f(y) + f(z) < f (x) = 4ex (4e x ) (8e x + ) 5 所以利用 EV, 可不方假設 x = y 令 t = e x, 所以原題就變成 + < + 8t + 8/t +8bc < 這只剩下一個變數, 因此這可以用微積分直接解決 5

6 例子 7 (Vetm 998) 令 x, x,, x 為正實數滿足 = 998+x = 998 試證 x x x 998 證定義 y = x, 因此 y + y + + y =, 而我們要真的是 = ( ) ( ) y 令 f(x) = l ( x ), 所以原題變成 f(y ) + + f(y ) f ( ) 我們可算 f (y) = y (y y) 因此 f 只有一個拐點, 所以我們能不方假設 y = y = = y 令此為 t, 我們只要證 ( ) ( ) ( ) l t + l ( )t l( ) 這也可以直接用微積分 4 練習題利用 Jese 證明 AM-GM 若 + b + c =, 試證 + + b + + c + 6b+c + 6bc+ + 6c+b 若 + b + c =, 試證 (MOP 0) 若 + b + c + d = 4, 試證 + b + c + d + b + c + d 消除分母和根號 Weghted Power Me AM-GM 可以根據以下 geerlze 定理 8 (Weghted Power Me) 令,,, 為正實數, 且 w, w,, w 為正實數, 滿足 w + w + + w = 對於每個實數 r, 定義 (w r + w r + + w r ) /r r 0 P(r) = w w w r = 0 若 r > s, 則 P(r) P(s); 等號成立的充要條件是 = = = 特別是, 若 w = w = = w =, 以上的 P(r) 等價與 ( r + r + + ) /r r r 0 P(r) = r = 0 6

7 如果我們再設 r =,, 0, 就得到剛好就是 QM-AM-GM-HM 這可以當一個方法來加根號, 例如 + b + c + b + c 例子 9 ( 獨立研究 ) 試證 ( + b + c) 8 bc + +b +c 證利用 Power Me 與 r =, s =, w = 9, w = 8 9, 可得 ( ) + b + c + 8 bc ( + b + c ) (bc) 所以只需要證 + b + c + 4bc ( + b + c), 明顯 Cuchy 和 Hölder 定理 0 (Hölder 不等式 ) 令 λ, λ b,, λ z 為正實數, 滿足 λ + λ b + + λ z = 設,,,, b, b,, b,, z, z,, z 為正實數則 ( + + ) λ (b + + b ) λ b (z + + z ) λz = λ b λ b z λz 等號成立的充要條件是 : : : b : b : : b z : z : : z 證不方假設 + + = b + + b = = ( 注意的次數兩邊都為 λ ) 則原不等式的左邊為, 且利用 Weghted AM-GM 可得 = λ b λ b z λz (λ + λ b b + ) = = 如果我們設 λ = λ b =, 這就成為 Cuchy 的不等式 : ( ) (b + b + + b ) ( b + b + + b ) Cuchy 可以改寫成 x y + x y + + x y (x + x + + x ) y + + y 在美國, 上述也叫做 Ttu s Lemm Cuchy 和 Hölder 不等式有 ( 至少 ) 兩個用法 : 把根號消除把分母消除我們看一下幾個例子 7

8 例子 (IMO 00) 試證 + 8bc 證利用 Hölder 可得 ( ( + 8bc) ) ( ) + 8bc ( + b + c) 所以只要證 ( + b + c) ( + 8bc) = + b + c + 4bc 看過嗎? 我們這一題是用 Hölder 把根號取消例子 (Blk) 試證 (b+c) + b(c+) + c(+b) 7 (+b+c) 證一樣用 Hölder: ( ) 例子 (USA 0) 試證 ( b + c 證我們用 Cuchy (Ttu) 可得 ) ( ) (b + c) +5b +b ( + b + c ) + b = + + = ( ) + b ( + b + c ) + b 我們可證明這個大於等於 4 ( + b + c ) ( 記得 + b + c 是很大 ; 用這個注意可以看出來這個方法一定可以用 ) 類似可證 5b +b 5 4 ( + b + c ) 例子 4 (USA TST 00) 若 bc =, 試證 5 (b+c) + b 5 (c+) + c 5 (+b) 證我們可以用 Hölder 把分母的平方消掉 : ( ) ( ) ( ) b + c 5 (b + c) (b + bc + c) 練習題若 + b + c =, 則 b + c + bc + + c + b + b + bc + c 若 + b + c =, 試證 b + c + b c + + c + b (ISL 004) 若 b + bc + c =, 試證 + 6b + b + 6c + c + 6 bc 4 (MOP 0) b + b + b bc + c + c c bc 4( + b + c) 5 ( 陳誼廷 ) 若 + b + c + bc = 4, 試證 (5 + bc) ( + b)( + c) + (5b + c) (b + c)(b + ) + (5c + b) (0 bc) (c + )(c + b) + b + c 等號什麼時候成立? 8

9 4 Problems (MOP 0) 若 + b + c =, 試證 + b + b + b + bc + c + c + c + (IMO 995) 若 bc =, 試證 (b+c) + b (c+) + c (+b) (USA 00) 試證 (+b+c) +(b+c) 8 4 (Rom) 令 x, x,, x 為正實數, x x x = 試證 = 5 (USA 004) 令, b, c 為正實數試證 ( 5 + ) ( b 5 b + ) ( c 5 c + ) ( + b + c) +x 6 ( 陳誼廷 ) 令, b, c 為正實數滿足 + b + c = b + 7 c 試證 b b c c 9

试卷

( 试题中凡主观题答案意思对即可, 若与答案不同而言之成理, 亦可酌情给分 ) 一 ~ 二 (45 分 ) 1.B( 原文并未说网络社会生态系统的核心与现实社会生态系统的核心不同 ) 2.D( 服务网络收集到的数据要和关系网络的数据整合在一起,

證 利用 AM-GM 可得 + b b 和 4 + b 4 + c 4 4 bc 類似有 上述加起來就得 b + c c + b 4 + c bc 和 b c 4 c b 4 c 和 c b 4 + b + c b + bc + c 和 4 + b 4 + c 4 bc

證利用 AM-GM 可得 + b b 和 4 + b 4 + c 4 4 bc 類似有上述加起來就得 b + c c + b 4 + c bc 和 b c 4 c b 4 c 和 c b 4 + b + c b + bc + c 和 4 + b 4 + c 4 bc