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庵岩经
7 years ago
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1 Section 5. Antiderivatives and indefinite integrals 反導函數與不定積分上一章我們已經學過微分以及它的應用現在我們考慮反向的過程, 稱為積分 (antidifferentiation), 給定一個導函數, 找出它原始的函數積分也有許多的應用, 例如, 微分將一個 cost function 轉變成 marginal cost function, 因此積分會將 marginal cost function 轉變成 cost function 稍後我們會使用積分做其它用途, 如找出面積等等 Topic. 反導函數與不定積分 Antiderivatives and Indefinite Integrals. 我們開使用一個簡單的例子來解釋積分因為 x 2 的導函數為 2x, 因此 2x 的反導函數 (antiderivative) 為 x 2 : An antiderivative of 2x is x 2 Since the derivative of x 2 is 2x 無論如何,2x 還有其的反導函數下列每一個函數都是 2x 的反導函數 : x 2 + x 2 7 x 2 + e Since the derivative of each is 2x 很明顯地, 我們可加上任何常數到 x 2 且微分結果仍為 2x 因此對任意常數 C 而言,x 2 + C 都是 2x 的反導函數同時, 它也可以被證明出 2x 沒有其它的導函數因此 2x 最一般化的反導函數 (most general antiderivative) 為 x 2 + C 2. 2x 一般化的反導函數稱為 2x 的不定積分 (indefinite integral), 並將 2x 寫在積分符號 (integral sign ) 與中間 : 2 2 x = x + C 上式中的 2x 稱為被積分函數 (integrand). 提醒我們積分的變數為 x C 稱任意的常數 (arbitrary constant), 因為它的值可以為任意的數值, 正數負數或零 3. 一個不定積分 ( 簡稱積分 ) 可以藉由檢查答案 (x 2 + C) 的微分是否與被積分函數 (2x) 相同 Topic 2. 積分規則 Integration Rules. 有許多的規則可以用來簡化積分首先, 在微積分裡最常被使用的, 即為 x 常數次方函數的積分它來自於指數微分規則 (Power Rule for differentiation) 的反向思考換言之, 要對一個 x 常數次方函數做積分, 其結果為 x 的指數值加, 並除以新的指數值 ( 請排除常數次方為的狀況, 因為它要用 ln x 來做 )

如, 微分將一個 cost function 轉變成 marginal cost function, 因此積分會將 marginal cost function 轉變成 cost function 稍後我們會使用積分做其它用途, 如找出面積等等 Topic.

2 例與例 3. 找出下列積分 :(a). 3 x 2 (b).. 下列這個結果是很有用而且需要被記起來的 2. 在微分裡面所擁有的常數乘法與加法規則都有可對應的簡化積分規則第一個規則為加法規則, 它說明了兩個函數相加後做積分等於個別做積分後再相加加法規則可以擴展到積分任意多個函數做加法或減法, 同時只要在最後的地方寫一個 +C 即可 ( 因為可以把每個不定積分的常數全部加在一起 ) Example 5. Find (a). ( x + x ). (b). ( x x + x ) 3. 第二個規則為常數乘法規則, 它說明了被積分函數的常數 k 可以被提到積分符號之外 Example 6. Find (a). 6x 2 3. (b). 2 ( x + 3x + 5). 4. 下列為一個非常有用的一般性規則對任意常數 k, 2

以擴展到積分任意多個函數做加法或減法, 同時只要在最後的地方寫一個 +C 即可 ( 因為可以把每個不定積分的常數全部加在一起 ) 2 3 2 3 5 Example 5.

3 Topic 3. 積分的代數化簡 Algebraic Simplification of Integrals. 有些時候一個被積分函數 (integrand) 必需要先乘開或是改寫成其它型式才能積分 2 2 Example. Find x ( x + 6). Example 2 RECOVERING COST FROM MARGINAL COST: A company s marginal cost function is MC(x) = 6 x and the fixed cost is $000. Find the cost function. 2. 我們找 cost function 可用下列兩個步驟 : 積分 marginal cost 之後計算其任意常數值, 如下所示 Topic 4. 任意常數的幾何意義 Geometrical Interpretation of the Arbitrary constant. 請注意在不定積分中,+C 這個任意常數可被解釋為幾何的平移如例題 2, 在 2 2 x = x + C 所代表的是一個集合, 每一個不同的 C 值構成一條曲線, 不定積分的結果為一個曲線的集合 2. 右圖所示的三條曲線分別為 x 2 +2 x 2 與 x 2 2 三條曲線, 對應到的 C 值分別為 2 0 與 2 實際上, 三條曲線在任意一個 x 值所對應到的斜率都相同, 這是因為它們微分的結果都是 2x, 即斜率相等因此任意常數的幾何意義解釋如下 : 不定積分的結果為一個集合, 集合中所有的曲線都平行, 且對任意一個 x 值, 每條曲線所對應到的斜率都相同 Topic 5. 積分如同連續的和 Integrals as Continuous Sums. 我們已經見過微分, 像是把 total cost 分解成許多的 marginal cost 積分, 就像反向處理, 把眾多的 marginal cost 逐漸累加, 可得到反導函數 total cost 2. 舉例說明, 原始的加法是一塊一塊的相加, 如 $2 + $3 = $5 然而, 積分像是累加連續的改變, 像隨著時間改變而緩慢但持續成長的經濟行為等等換言之 : 3

任意常數的幾何意義 Geometrical Interpretation of the Arbitrary constant.

4 Section 5.2 Integration using Logarithmic Exponential Functions 指數對數函數積分 Topic. e ax 積分 The Integral e ax. 我們知道對 e ax 微分, 結果為指數本身乘上常數 a, 即 ae ax 因此要對 e ax 積分, 如同微分的反向程序, 結果為指數本身除以常數 a 對任意常數 a 0: 2 e x Example. Find (a).. (b). 6e 3x (c). e x 例題中這些答案可以使用微分來檢驗結果的正確性最後一個例子說明了 e x 的積分為 e x 本身, 如同 e x 的微分為 e x 本身 Topic 2. 計算不定積分常數值 C Evaluating the Constant C. 將題目所描述的初始條件 (initial value) 代入積分的結果之中 2. 解常數 C 的一元一次方程式 3. 將積分結果中的 C 以它的正確值取代 Topic 3. x 的積分 The Integral x. 微分公式 d x ln = 可以被反向解讀成積分公式 : = x + C x ln, 其中 x > 0, 因為對 x 數函數的定義域為 (0, ) 對於 x < 0 而言, 對 ln( x) 微分可得 d ln( x) = = (since x x d f ( x) ln( f ( x) ) = ) 因此對 x < 0 的數值,/x 的積分結果為 ln ( x) 請注意 ln ( x) 當中的 f ( x) 負號只是為了讓負數轉正所以我們可以使用下列公式來代替 : 公式對正或負的 x 值皆成立, 因為絕對值會使 x 恆正 4 = ln x + C, 這個 x

e x 例題中這些答案可以使用微分來檢驗結果的正確性最後一個例子說明了 e x 的積分為 e x 本身, 如同 e x 的微分為 e x 本身 Topic 2. 計算不定積分常數值 C Evaluating the Constant C.

5 2. 下列三種積分的寫法不同, 但意義相同, 都有相同的答案 Example 3 INTEGRATING USING THE LN RULE Find 5 2x Topic 4. 自然資源消耗 Consumption of Natural Resources. 世界人口呈現指數的成長, 因此世界每年消耗自然資源也呈指數的成長我門可以透過對消耗率 (rate of consumption) 做積分來估計由現在到未來任一時間點之間的總消耗量, 由此可預測自然資源的蘊藏量 (reserves) 何時會消耗殆盡 (exhausted) 2. Example 6 FINDING A FORMULA FOR TOTAL CONSUMPTION FROM THE RATE The annual world consumption of tin ( 錫, 馬口鐵 ) is predicted to be 0.26e 0.0t million metric tons per year, where t is the number of years since Find a formula for the total tin consumption within t years of 2008 and estimate when the known world reserves of 6. million metric tons will be ln.235 exhausted. Source: U.S. Geological Survey. [Hint t = 2. ] 0.0 Topic 5. 積分的指數規則 ( 續 ) Power Rule for Integration, Revisited. 新的積分展示如何對 x 做積分, 它是唯一的 x 指數函數但不被指數規則所包含因此我們可以合併上述兩種公式, 成為一個 x 的任意次方的積分 : 有趣的事實為, 每一個 x 的指數函數積分結果都會成為另一個 x 的指數函數, 除了 x 之外, 它的結果為一個 x 的自然對數函數 ln x 5

殆盡 (exhausted) 2. Example 6 FINDING A FORMULA FOR TOTAL CONSUMPTION FROM THE RATE The annual world consumption of tin ( 錫, 馬口鐵 ) is predicted to be 0.26e 0.

6 Section 5.3 Definite integrals and areas 定積分與面積本章首先討論如何計算曲線下的面積, 同時定義函數的定積分接著微積分積本定理 (Fundamental Theorem of Integral Calculus) 會提供更簡單的方式使用不定積分來計算定積分最後我們會看到多種定積分的應用 Topic. 曲線下方面積 Area Under a Curve. 下圖左方為一個連續的非負函數若我們想要計算曲線之下 x 軸之上為於垂直線 x = a 與 x = b 之間的面積 ( 簡稱曲線下面積 ) 我們可以使用多個矩形 ( 或說長方形 : rectangle) 來逼近這塊區域如右下圖所示, 這五塊矩形的底 (base) 都一樣, 每塊矩形的高 (height) 分別為左邊的邊長, 這些又稱為左矩形 (left rectangles) 2. 無論如何, 這五個矩形無法對曲線下方的面積提供精確的近似值上圖右方白色的區域即為面積誤差值 (error area) 如右圖所示, 當我們使用五十個矩形來逼近曲線下方的面積時, 可以得到一個較佳的近似如下圖所示, 曲線與矩形中間的區域是非常小, 小到幾乎是看不見的狀態 3. 右圖告訴我們當更多的矩形用來逼近曲線下的面積, 其值越精準實際上, 曲線下方的面積正好是當曲線下方的矩形數量有無限多個的時候 Example APPROXIMATING AREA BY RECTANGLES Approximate the area under the curve f(x) = x 2 from to 2 by five rectangles. Use rectangles with equal bases and with heights equal to the height of the curve at the left-hand edge of the rectangles. (Ans: approximate 2.04 square units) Sol: (). 找出 base: 由 a 到 b 分成 n 等份, 每一份寬度 (Δx) = (2). 找出左邊界的高 : 假設左邊界所在的五個點的 x 值分別為 x ~ x 5, 其中 x =. 0 = a, x 2 = x + (2 ) Δx = a + Δx =. 2, x = x + (3 ) Δx = a + 2Δx.4, x = x + (4 ) Δx = a + 3Δx. 6, 3 = 5 = x + (5 ) Δx = a + 4Δx = x.8. 因此五個左邊界的高分別為 4 = f ( x ) = f (.0) = f ( x 2 ) = f (.2) =. 44 f ( x 3 ) = f (.4) =.96 f ( x 4 ) = f (.6) = f ( x 5 ) = f (.8) =

最後我們會看到多種定積分的應用 Topic. 曲線下方面積 Area Under a Curve.

7 5 面積 A f ( x i ) Δx = 0.2 [ ] = 0.2*0.2 = = i= 如同先前提過的, 只使用五個矩形來逼近曲線下面積是不夠精確的為了提高精確性, 我們用相同的方法, 但使用更多的矩形來計算曲線下面積, 下表為矩形個數與矩形總面積列表我們可以發現 f(x) = x 2 在 x 由到 2 下的面積會逼近 7/3 平方單位, 如右下圖所示練習題 :p. 36 #9 Approximate the area under the curve f(x) = x from to 4 by six rectangles with equal bases and with heights equal to the height of the curve at the right-hand edge of the rectangles. Write the answer approximate the area by 000 rectangles with sigma sign. Topic 2. 定積分 Definite Integral. 一個非負函數 f 曲線下面積可由 n 個矩形來逼近, 其一般化程序如下 : 上述步驟 3 的總和稱為黎曼和 (Riemann sum). 2. 當黎曼和中的 n 值趨近於無限大 ( 由無限多個矩形來逼近 ), 其極限值相當於曲線下的面積, 稱為函數 f 由 a 到 b 的定積分, 寫成 b f ( x). 正式定義如下 : a 7

8 數值 a 與 b 稱為定積分的下界與上界 (the lower and upper limits of integration) Topic 3. 微積分基本定理 Fundamental Theorem of Integral Calculus. 一個函數後面接著一條垂直線, 並標示下界與上界 a 與 b, 其值相當於上界的函數值減去下界的函數值 b a Example 2 USING THE EVALUATION NOTATION Evaluate 2 5 x 下列的微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Integral Calculus) 指出如何使用不定積分 (indefinite integrals) 來計算定積分 (definite integrals) 上述的定理連接起定積分 ( 黎曼和的極限值 ) 與反導函數 (antiderivatives) 之間的基本關係它說明了一個定積分可使用下面兩個簡單的步驟來計算 : (). 找出函數的不定積分 ( 或稱反導函數 ) ( 可忽略 +C) (2). 計算反導函數的上界減去下界的值 Example 3 FINDING A DEFINITE INTEGRAL BY THE FUNDAMENTAL THEOREM Find 2 2 x. 8

下列的微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Integral Calculus) 指出如何使用不定積分 (indefinite integrals) 來計算定積分 (definite integrals) 上述的定理連接起定積分 ( 黎曼和的極限值 ) 與

9 3. 定積分有許多性質與不定積分是相同的這些性質將定積分解釋成黎曼和的極限值其中第一式代表函數值變成 c 倍, 矩形的高度也變成 c 倍, 因此面積的總合也會變成 c 倍第二式代表兩個函數值相加 ( 減 ), 矩形的高度也變成函數值相加 ( 減 ), 因此面積的總合也會變成兩個函數值相加 ( 減 ) Example 6 USING THE PROPERTIES OF DEFINITE INTEGRALS Find the area under y = 24 6x 2 from to. Topic 4. 連續單位的總成本 Total Cost of a Succession of Units. 給定一個邊際成本 (marginal cost) 函數, 找出一個數量區間內的總成本 (total cost), 例如, 製造 00 到 400 個單位的總成本我們處理方式如下 : 先對邊際成本積分, 再計算此積分 ( 反導函數 ) 在 400 的值, 並減去此積分在 00 的值, 即留下製造 00 到 400 個單位的總成本因此, 連續單位的總成本相當於邊際成本函數的定積分 Example 7 FINDING THE COST OF A SUCCESSION OF UNITS A company s marginal cost function is MC(x) = 75 x where x is the number of units. Find the total cost of producing units 00 to 400. [Ans: $500] 9

連續單位的總成本 Total Cost of a Succession of Units.

10 2. 對任何的變化率 (rate) f(x) 由 a 到 b 做積分, 等於加總 (total accumulation) 由 a 到 b 的區間範圍內 f(x) 的值下圖展示了這些想法在每個 case 當中, 曲線代表某種變化率, 曲線下的面積, 可由定積分求得, 代表加總或累計此變化率下圖中間表示人對重覆性工作的生產力, 可以看到一開始是逐漸增加, 接著因為單調, 生產力逐漸遞減 Example 8 FINDING TOTAL PRODUCTIVITY FROM A RATE A technician can test computer chips at the rate of 3t 2 + 8t + 5 chips per hour (for 0 t 6), where t is the number of hours after 9:00 a.m. How many chips can be tested between 0:00 a.m. and :00 p.m.? [Ans: 7 chips can be tested.] Topic 4. 積分表示法 Integration Notation. 符號 ( 希臘字母的 S, 念成 sigma) 在數學上代表總和 (sum), 因此黎曼和 (Riemann sum) n 可被寫成 f ( x k ) Δx. 事實上, 黎曼和趨近於定積分的改寫方法如下 : n ( x k ) Δx f f ( x) b as n a becomes, Δ becomes d 積分表示法提醒我們一個定積分代表矩形的面積總和, 其中單一矩形的面積為高度 f (x) 與寬度相乘 0

+ 8t + 5 chips per hour (for 0 t 6), where t is the number of hours after 9:00 a.m. How many chips can be tested between 0:00 a.m. and :00 p.m.? [Ans: 7 chips can be tested.] Topic 4.

11 Topic 5. 函數的正負值 Functions Taking Positive and Negative Values. 黎曼和可用來計算任何連續函數, 並未限定在非負函數下列圖形顯示一個連續函數的黎曼和, 面積包含正值與負值對最右邊的兩個矩形而言, 因為函數值 f(x) 為負值, 因此它們也會為面積總和貢獻出負值 2. 黎曼和的極限值求定積分時, 當函數在 x 軸下方, 則貢獻出負的面積因此一個函數由 a 到 b 求曲線與 x 軸之間的面積 ( 定積分 ), 將會是一個帶有正負號的面積, 其值為 x 軸之上的面積減去 x 軸之下的面積, 如下圖所示

兩個矩形而言, 因為函數值 f(x) 為負值, 因此它們也會為面積總和貢獻出負值 2.

12 Section 5.4 Further application of definite integrals: average value and area between curves 定積分的進一步應用 : 平均值定理與兩個曲線之間所圍成的面積本節將介紹定積分的兩個重要目的 : 找出函數平均值與曲線之間的面積平均值被廣泛應用, 如寶寶的出生體重與平均體重比較, 退休福利由平均所得來決定等等平均值能消除波動性, 將一個集合的數以單一具代表性的數代替曲線間的面積使用在尋找貿易赤字 (trade deficits) 的數量, 到安全帶拯救生命 (lives saved by seat belts) 的數量等等 Topic. 函數的平均值 Average Value of a Function. n 個數的平均值為所有數值加總後再除以 n 例如 a, b, c 三個數的平均值 : Average of = a, b, and c 3 ( a + b + c) 我們將如何找出一個函數在一個區間內的平均值? 例如我們有一個以時間 t 為變數的溫度函數, 我們要如何計算一天之內的平均溫度? 當然我們可以每一個小時記錄一次溫度, 然後再平均此 24 個溫度數值, 但是這樣會忽略掉其它任何時刻的溫度 2. 直觀地來看, 平均會將曲線的鏟平 (leveling off) 成單一平均高度 (average height) 水平線, 如右圖中所示這個平均的過程會利用山丘 (hills) 上的面積來填滿山谷 (valleys) 的面積因此原本曲線下的面積與鏟平後水平線下的面積相同, 即 Average b ( b a) = f ( x) height a 因此, 我們可以得到平均高度為 Average = height b a b a f ( x) Equating the two areas Dividing by ( b a) 這個方程式讓我們可以計算連續函數在某個區間內的平均值找出曲線底下的面積再除以 (b a) [ 類比於 n 個平均數要先加總再除以 n ] Example FINDING THE AVERAGE VALUE OF A FUNCTION Find the average value of f (x) = x from x = 0 to x = 9. 面積寬度 = 平均高度 2

積平均值被廣泛應用, 如寶寶的出生體重與平均體重比較, 退休福利由平均所得來決定等等平均值能消除波動性, 將一個集合的數以單一具代表性的數代替曲線間的面積使用在尋找貿易赤字 (trade deficits) 的數量, 到安全帶拯救

13 Topic 2. 曲線之間的面積 : 上減下 Area Between Curves: Integrating Upper Minus Lower. 定積分可以計算曲線之下的面積若要計算兩個曲線之間的面積, 可以計算上界曲線 (upper curve) 下的面積, 減去下界曲線 (upper curve) 下的面積即得, 如下圖所示以積分表示如下 : 2. 因此曲線之間的面積可以寫成下列積分式 : 由上界減下界的積分得到曲線之間的面積, 無需去管曲線是否會下降到 x 軸之下 Example 3 FINDING THE AREA BETWEEN CURVES Find the area between y = 3x and y = 2x from x = to x = 如果兩條曲線代表兩個比率 (rates: one unit per another unit), 則曲線之間的面積代表上界減下界的總量 (total accumulation) Topic 3. 曲線之間的面積, 曲線有交點 Area Between Curves That Cross. 當兩曲線在某點相會時, 上曲線會變成下曲線, 下曲線會變成上曲線因此要計算兩曲線之間的面積, 先以上減下計算某一區間內的面積, 再計算兩個或多個區間內的面積和 2. 補充 :(). 要計算兩個函數交點, 令兩函數相等, 然後解方程式即可得交點 x 值 (2). 要決定某區間內何者為上界曲線, 可代入該區間內的某數比較函數值大小即可 3

因此曲線之間的面積可以寫成下列積分式 : 由上界減下界的積分得到曲線之間的面積, 無需去管曲線是否會下降到 x 軸之下 Example 3 FINDING THE AREA BETWEEN CURVES Find the area between y = 3x 2 + 4 and y = 2x from

14 Example 5 FINDING THE AREA BETWEEN CURVES THAT CROSS Find the area between the curves y = 2 3x 2 and y = 4x+5 from x = 0 to x = 3. Topic 4. 曲線所圍出來的封閉區間面積 Areas Bounded by Curves. 有時要找出兩曲線所圍出來的面積, 且沒有告知 x 值的起點與終點, 這樣的問題通常曲線會圍出一個區域, 其曲線的交點與上下界的決定與 Topic 3.2 所描述的兩點補充相同 Example 6 FINDING AN AREA BOUNDED BY CURVES Find the area bounded by the curves y = 3x 2 2 and y = 2 3x 上述兩拋物線 y = 2 3x 2 與 y = 3x 2 2 如上圖所示請注意不需要畫出這個圖也可以計算兩函數所圍成的面積當曲線的交點為兩個以上, 則必需計算多個區間內所圍成的面積, 4

有時要找出兩曲線所圍出來的面積, 且沒有告知 x 值的起點與終點, 這樣的問題通常曲線會圍出一個區域, 其曲線的交點與上下界的決定與 Topic 3.

15 Section 5.5 兩個經濟學的應用 : 消費者剩餘與所得分配本節我們將討論到許多經濟學上的中要概念 : 消費者剩餘 (consumer s surplus) 製造者剩餘 (producers surplus) 所得分配的吉尼指數 (the Gini index of income distribution) 等等其中每一個都定義成兩條曲線之間的面積, 如下圖所示 Topic. 消費者剩餘 Consumers Surplus. 想像一下你非常喜歡 pizza, 並且願意付出 $2 來買一整塊 pizza 假設實際上一個 pizza 只要花你 $8, 則你將有節省 $4 的感覺, 即你願意付出的價格減去實際上的市場價格 2. 如果去加總一個時間範圍內所銷售的所有 pizzas 的消費者願意付出價格減去實際市場價格, 則這個感覺上省下來的總數稱為消費者剩餘 (consumer s surplus) 3. 消費者剩餘用來衡量消費者由經濟體下的競爭所產生的低價所獲得的好處 Topic 2. 需求函數 Demand Functions. 價格與數量呈現負相關 (inversely related): 如果一個物品的價格提高, 則它的需求數量通常會降低, 反之亦然 2. 透過市場的分析研究, 經濟學家能決定出價格與需求量之間的關係這個關係可表示成一個需求函數 (demand function or demand curve) d(x), 稱它為需求函數是原因是該函數能表示出恰有 x 單位的需求量所對應到的價格為多少 Topic 3. 消費者剩餘的數學定義 Mathematical Definition of Consumers Surplus. 需求曲線 (demand curve) 表示消費者願意去付出的價格, 市場價格 (market price) 表示消費者實際所付出的價格, 因此需求曲線高於市場價格的這個數量代表的是消費者利益或消費者剩餘 2. 如果我們透過積分將這些利益加總, 則在需求曲線之下與價格直線之上的面積稱之為消費者在某個市場價格購買, 能夠可獲得的 5

等等其中每一個都定義成兩條曲線之間的面積, 如下圖所示 Topic. 消費者剩餘 Consumers Surplus.

16 總利益 (total benefit) 這個總利益如下圖水藍色陰影部份所示, 稱之為消費者剩餘 (consumers surplus), 如下所定義 Example FINDING CONSUMERS SURPLUS FOR ELECTRICITY If the demand function for electricity is d(x) = 00 0x dollars (where x is in millions of kilowatt-hours, 0 x 00), find the consumers surplus at the demand level x = 80. [Ans: 32,000] Topic 4. 消費者剩餘如何被使用 How Consumers Surplus Is Used. 在例題中, 在 80 百萬千瓦 - 小時的電力需求下, 消費者剩餘為 $32,000 如果電力使用增加到 90 百萬千瓦 - 小時, 則市場價格會減成 d(90) = = $200 我們可以計算在這個更高需求的消費者剩餘 :$40,500 因此, 價格由 $300 降到 $200 代表消費者會額外利益 $40,500 $32,000 = $8500 這個利益可與擴充一組新的發電機的花費來比較, 來決定這個支出是否值得 Topic 5. 生產者剩餘 Producers Surplus. 如同消費者剩餘是衡量消費者的總利益, 生產者剩餘是用來衡量生產者在特定的市場價格銷售物品所帶來的總利益 2. 回到我們先前 pizza 的例子, 假如一個 pizza 生產者為了要維持生意運作,pizza 的 ( 成本 ) 價格可到達 $5, 實際上一個 pizza 可以賣 $8, 因此生產者可獲利 $3 將所有這樣的獲利加總起來可得到該商品的生產者剩餘 (producers surplus) 6

消費者剩餘如何被使用 How Consumers Surplus Is Used. 在例題中, 在 80 百萬千瓦 - 小時的電力需求下, 消費者剩餘為 $32,000 如果電力使用增加到 90 百萬千瓦 - 小時, 則市場價格會減成 d(90) = 00 0.

17 Topic 6. 供應函數 Supply Functions. 當一個商品項目的價格上揚時, 生產者願意供應 ( 或生產 ) 的數量也會跟著提高價格與數量的正向關係, 可被表示成供應函數 ( 或供應曲線 ) s(x), 如下所定義 : Topic 7. 生產者剩餘的數學定義 Mathematical Definition of Producers Surplus. 可透過積分可求得總利益, 但上界為市場價格的水平線, 下界為供應曲線 s(x) Example 2 FINDING CONSUMERS SURPLUS For the supply function s(x) = 0.09x 2 dollars and the demand level x = 200, find the producers surplus. 7

應曲線 ) s(x), 如下所定義 : Topic 7. 生產者剩餘的數學定義 Mathematical Definition of Producers Surplus.

18 Topic 8. 消費者剩餘與生產者剩餘 Consumers Surplus and Producers Surplus. 需求曲線與供應曲線的交點的 x 值稱為市場需求 (market demand) 2. 消費者剩餘與生產者剩餘可以被顯示在同一張圖裡面, 如右圖所示這兩個數值被加總表示消費者與生產者的總利益, 也顯示兩者在開放市場中都能獲利 Topic 9. 所得分佈的吉尼指數 Gini Index of Income Distribution. 在任何的社會中, 某些人就是會賺得比其它人多要衡量貧富之間的差距 (gap), 經濟學者計算收入最少的 20% 人口的收入, 佔總人口收入的比例, 以及 40% 60% 80% 00% 以此類推美國在 2006 年的所得分佈資訊如下表與下圖所示, 舉例說明, 人口中收入最少 20% 只賺得總人口收入的 3%; 人口中收入最少 40% 只賺得總人口收入的 2%, 以此類推這條曲線又稱為羅倫茲曲線 (Lorenz curve) Topic 0. 吉尼指數 Gini Index. 羅倫茲曲線可以與下列兩個極端的收入分佈相比較 : (A). 所得分佈絕對平均 (Absolute equality of income) 意指每一個人的收入都完全相同, 因此收入最低的 0% 人口所賺得的正好是總人口收入的 0%; 收入最低的 20% 人口所賺得的正好是總人口收入的 20%, 以此類推因此羅倫茲曲線為 y = x, 如右圖所示 (B). 所得分佈絕對不均 (Absolute inequality of income) 意指除了某一個人之外, 沒有其它任何一個人賺到錢此情況羅倫茲曲線如右圖所示 8

在任何的社會中, 某些人就是會賺得比其它人多要衡量貧富之間的差距 (gap), 經濟學者計算收入最少的 20% 人口的收入, 佔總人口收入的比例, 以及 40% 60% 80% 00% 以此類推美國在 2006 年的所得分佈資訊如下表與下圖所示, 舉例

19 2. 要衡量實際的所得分佈與理想所得分佈 ( 絕對平均 : absolute equality) 的差距, 我們可以計算兩者之間所圍出的面積實際曲線若為絕對平均 (absolute equality), 則面積有最小值 0; 如果實際曲線若為絕對不均 (absolute inequality), 則面積有最大值 /2 因此經濟學者將此面積乘上 2, 稱為吉尼指數 (Gini index) 吉尼指數範圍介於 0 ~ 之間, 指數越小表示收入分佈越平均 ; 指數越大表示收入分佈越不平均 Example 3 FINDING THE GINI INDEX The Lorenz curve for income distribution in the United States in 2006 was approximately L(x) = x Find the Gini index. 9

稱為吉尼指數 (Gini index) 吉尼指數範圍介於 0 ~ 之間, 指數越小表示收入分佈越平均 ; 指數越大表示收入分佈越不平均 Example 3 FINDING THE

20 Section 5.6 代換積分 (Integration by Substitution) Topic. 微分 Differentials. f(x) 的導函數可表示為 df / 雖然導函數表式成分式形式, 但實際上不是兩個數量的除法現在我們分別定義 df 與 ( 分別稱為 f 的微分與 x 的微分 ), 因此 df 這個除法相當於 df/ df 2. 由微分的兩種不同表示法可得 : = f ( x) df = f ( x) Example FINDING DIFFERENTIALS Function f(x) Differential df f(x) = x 2 df = 2x f(x) = ln x df = f(x) = 2 x e df = f(x) = x 4 5x + 2 df = Topic 2. 代換方法 Substitution Method. 使用微分表示法, 我們可以列舉三個非常有用的積分公式如下 : 這三個積分公式分別為冪次規則指數與對數函數的積分, 且非常容易記得, 其中 du 代表某一函數的微分這些公式可以對等號右邊 ( 積分結果 ) 微分, 以驗證其正確性 Example 3 INTEGRATING BY SUBSTITUTION Find 2 3 ( x + ) 2x [Hint: 2x 為 (x 2 +) 的微分的常數倍 ] <sol>: let u = (x 2 +), du =. 將上述結果代回原積分式可得 : u 3 du = 20

由微分的兩種不同表示法可得 : = f ( x) df = f ( x) Example FINDING DIFFERENTIALS Function f(x) Differential df f(x) = x 2 df = 2x f(x) = ln x df = f(x) = 2 x e df = f(x) = x 4 5x + 2 df = Topic 2.

21 Topic 3. 在積分的內外乘上常數 Multiplying Inside and Outside by Constants. 如果積分的形式恰巧不是 u du, 我們可透過乘上常數來解這樣的積分, 如例題 4 這種在積分符號內外各乘上一個互為倒數的常數, 此法非常有用, 也適用於其它代換積分公式 Example 4 INSERTING CONSTANTS BEFORE SUBSTITUTING Find 2 3 ( x + ) x [ Hint: 課本是將積分內乘 2, 積分外再乘 (/2) ] <sol>: let u = (x 2 +), du =2x 或 x =(/2)du. 將上述結果代回原積分式可得 : u 3 du = u du = Topic 4. 使用何種公式 Which Formula to Use. 下列三種 ( 冪次規則指數對數 ) 積分公式應用在不同種類的積分 (A) (C) u du = u n + du = u u n+ + C du = ln u + C Example 7 INTEGRATING BY SUBSTITUTION u u (n ) (B) e du = e + C Find x 3 3x( x 2 ) Topic 5. 代換法求定積分 Evaluating Definite Integrals by Substitution. 有時候定積分也需要代換在這樣的強況下, 變數由 x 變成 u, 定積分的上下界也要由 x 的值變成 u 的值 Example 9 EVALUATING A DEFINITE INTEGRAL BY SUBSTITUTION Evaluate x 2

untitled

untitled 數 Quadratic Equations 數 Contents 錄 : Quadratic Equations Distinction between identities and equations. Linear equation in one unknown 3 ways to solve quadratic equations 3 Equations transformed to quadratic