28 31,,., [11] ; [12 14],,,,.,,,..,,,,., :,,, (extended state observer, ESO),,.,,,,.,, ;,,., Lyapunov,. 2 (Problem description) 1,,. ( ) θ L (t) = ω L

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1 DOI: /CTA Control Theory & Applications Vol. 31 No. 1 Jan. 2014,,, (, ) :,., :, ;,., ; Lyapunov ;,,. : ; ; ; ; : TP273 : A Fault diagnosis and fault tolerant control for the servo system driven by two motors synchronously CHEN Wei, WU Yi-fei, DU Ren-hui, WU Xiao-bei (School of Automation, Nanjing University of Sciense and Technology, Nanjing Jiangsu , China) Abstract: In the servo system driven by two motors synchronously, actuator failures deteriorate the tracking performance or even result in system instability. To deal with this problem, we propose a fault diagnosis and fault tolerant control scheme based on adaptive sliding mode method. In this control scheme, the adaptive sliding mode observers for motor speed are designed, and the actuator failure factors are estimated online. When an actuator partly fails to work, the controller gains will be adjusted automatically. When an actuator fully breaks down, the control law of the system will be reconstructed. Considering that there are unmatched uncertainties in the system, we introduce compensations based on extended state observer (ESO) to the desired virtual signals. The stability of the servo system under normal and fault conditions are analyzed by Lyapunov theory, the convergence of the observers are also analyzed. It is shown by simulation results that the control strategy can assure the stable tracking of the command signals. The tracking performance almost remains unchanged when an actuator partly or fully fails to work. Key words: fault tolerant control; fault diagnosis; dual-motor; actuator failure; adaptive sliding mode control 1 (Introduction), [1 3].,,, [1 2],,. ( ),,.,,,. (fault tolerant control, FTC) [4].,,,. 3 [4] : [5 7],,,,, ; [8 10] : ; : supercw 86@163.com; Tel.: : ( ); (CXLX ); (GZKF ).

2 28 31,,., [11] ; [12 14],,,,.,,,..,,,,., :,,, (extended state observer, ESO),,.,,,,.,, ;,,., Lyapunov,. 2 (Problem description) 1,,. ( ) θ L (t) = ω L (t), θj (t) = ω j (t), ω L (t)= K L[θ 1 (t) θ L (t)]+k L [θ 2 (t) θ L (t)] J L + w 1 (t), ω j (t) = K Tjf j (t)u j (t) K L [θ j (t) θ L (t)] J mj + w 2j (t), (1) : θ L (t), ω L (t), J L, K L, w 1 (t),. θ j (t), ω j (t), J mj, K Tj, u j (t) (j = 1, 2( )), w 2j (t),. f j (t), 0 f j (t) 1, f j (t) = 0, 0 < f j (t) < 1, f j (t) = 1. x 1 = θ L (t), x 2 = ω L (t), x 3j = θ j (t), x 3 = x 31 + x 32, x 4j = ω j (t), x 4 = x 41 + x 42. a = K L J L, α 1j = K Tj J mj, α 2j = K L J mj, : a, α 1j, α 2j, : ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = a(x 3 2x 1 ) + w 1, ẋ 3 = x 4, ẋ 4j = α 2j (x 1 x 3j ) + α 1j f j u j + w 2j, y = x 1. (2) y d : 1. (2) 2 w 1 w 2j w 2j, w 2j < ρ j. 3 y d. 4 f 1, f 2,. 1 Fig. 1 Structure of the servo system driven by two motors (2) 1 4,

3 1 : 29 u j, x 3 = x 31 + x 32,, y ẋ 3j = x 4j, y d. S 2 : (4) ẋ 4j = α 2j (x 1 x 3j ) + α 1j f j u j + w 2j, y 2 = x 3. 3 (Fault tolerant controller design and stability analysis) w 1, S 1 S 2 : ẋ 1 = x 2, S 1 : ẋ 2 = a(y 2 2x 1 ) + w 1, (3) y = y 1 = x 1,, S 2 S 1, w 1, S 1 η 3, S 2, u j Fig. 2 Fault tolerant control of the servo system driven by two motors 3. 3 Fig. 3 Flow chart of the decision block. : e 1 = y d x 1, e 2 = η 2 x 2, e 3 = η 3 ax 3, (5) η 2 x 2, η 3 ax 3, : 1, (5) ė 1 = ẏ d ẋ 1 = ẏ d η 2 + e 2. (6) e 1, η 2 η 2 = ẏ d + k 1 e 1, (7) : k 1, k 1 > 0. (7) (6) Lyapunov : ė 1 = k 1 e 1 + e 2. (8) V 1 = e (9) (9) (8) V 1 = k 1 e e 1 e 2. (10)

4 , [15]. ESO w 1,. z 1 x 2, z 2, w 1, e 0 = z 1 x 2, ż 1 = a(x 3 2x 1 ) + z 2 β 1 e 0, ż 2 = β 2 fal(e 0, a 0, δ 0 ), (11) : β 1, β 2, fal(e 0, α 0, δ 0 ), ;,, [15] e 0 α0 sgn e 0, e 0 >δ 0 >0, fal(e 0, α 0, δ 0 ) = e 0 1 α δ 0, 0< e 0 δ 0, 0 0 < α 0 < 1, δ 0 > 0. (12) ESO w 1,, e w = w 1 z 2,, e w ê w = ẽ w, ê w e w, ẽ w, (5) ê w = ẽ w. (13) ė 2 = η 2 + 2ax 1 η 3 + e 3 w 1. (14) η 3 = e 1 + η 2 + 2ax 1 + k 2 e 2 z 2 ê w, (15) k 2, k 2 > 0. (15) (14) : ė 2 = e 1 k 2 e 2 + e 3 ẽ w. (16) ẽ w = r 0 e 2, (17) r 0, r 0 > 0, Lyapunov : V 2 = V 1 + e ẽ2 w 2r 0. (18) (18) (16) (17) V 2 = k 1 e 2 1 k 2 e e 2 e 3. (19) t e 3, V 2 0, e 1, e 2, e 3. 3, S 1 = ė 3 + k 3 e 3, (20) k 3, k 3 > 0., : 1) f j 0.,,, e 3j = η 3 2 ax 3j. (21) S 1j = ė 3j + k 3 e 3j, (22) S 11 +S 12 =k 3 e 31 +ė 31 +k 3 e 32 +ė 32 =S 1. (23) ˆf j, f j, f j ˆf j = f t j, ˆfj = f j (0) f j dt. (24) 0 f j = r j aα 1j u j S 1, (25) r j, r j > 0, u j u j = F j + k 4j S 1 + aρ j sgn S 1 aα 1j ˆfj, (26) k 4j, k 4j > 0, sgn( ), F j F j = k 3 ( η 3 2 ax 4j) + η 3 2 aα 2j(x 1 x 3j ). (27) 2) f j = 0, f 1 = 0, f , 1 2, f 1 = 0, (28) f 2 = r 2 aα 12 u 2 S 1. u 1 = 0, u 2 = F f + k 4 S 1 + a(ρ 1 + ρ 2 )sgn S 1, aα 12 ˆf2 : k 4, k 4 > 0, F f F f = k 3 [ η 3 a(x 41 + x 42 )] + η 3 + a[α 21 x 31 + (29) α 22 x 32 (α 21 + α 22 )x 1 ]. (30) 1 (2) 1 4,, (25) (26)(28) (29),. Lyapunov : V = V 2 + V S, V s = S f 2 1 2r 1 + f 2 2 2r 2. (31)

5 1 : 31 (31) (19) V = k 1 e 2 1 k 2e e 2e 3 + V s, V s = S 1 Ṡ 1 + f 1 f1 r 1 + f 2 f2 r 2. (32) 1) f j 0, (22) (4)(21) Ṡ 1j = F j aα 1j f j u j aw 2j = (23) V s F j aα 1j ( ˆf j + f j )u j aw 2j. (33) V s = S 1 (S 11 + S 12 ) + f 1 f1 r 1 (33) + f 2 f2 r 2. (34) V s = S 1 [F 1 aα 11 ˆf1 u 1 aw 21 + F 2 aα 12 ˆf2 u 2 aw 22 ] aα 11 f1 u 1 S 1 aα 12 f2 u 2 S 1 + f 1 f1 r 1 + f 2 f2 r 2. (35) (25) (26) (35) V s = (k 41 + k 42 )S 2 1 a(ρ 1 S 1 + w 21 S 1 + ρ 2 S 1 + w 22 S 1 ) < (k 41 + k 42 )S (36) 2) f 1 = 0, f 2 0, (5) ė 3 = η 3 aẋ 3 = η 3 a(x 41 + x 42 ). (37) (37) (2) ë 3 = η 3 a(α 21 x 1 α 21 x 31 + w 21 + α 22 x 1 α 22 x 32 + α 12 f 2 u 2 + w 22 ). (38) (37) (38) (20) Ṡ 1 = F f aα 12 ( ˆf 2 + f 2 )u 2 a(w 21 + w 22 ). (39) (28) (29) (39) V s V s = S 1 [F f aα 12 ˆf2 u 2 a(w 21 + w 22 )] = k 4 S 2 1 a(ρ 1 + ρ 2 ) S 1 a(w 21 + w 22 )S 1 < k 4 S (40), V s 0( S 1 0, Vs <0), S 1, e 3, lim t e 3 = 0, (32) V = V 2 + V s < k 1 e 2 1 k 2 e 2 2 min(k 4, k 41 +k 42 )S 2 1 0, (41),.. 1, : 1), ẋ 2 = a(x 3 2x 1 ) + a(x 3 2x 1 ), ẋ 4j = α 2j (x 1 x 3j ) + α 1j f j u j + α 2j (x 1 x 3j ) + α 1j f j u j,,,, a(x 3 2x 1 ) α 2j (x 1 x 3j ) + α 1j f j u j, 2. w 1 = a(x 3 2x 1 ), w 2j = α 2j (x 1 x 3j ) + α 1j f j u j. 2),, w 1, w 2.,,,. 4 (Actuator fault diagnosis based on adaptive sliding mode observers),,,,. x 4j ˆx 4j = α 2j (x 1 x 3j ) + α 1j ˆf j u j + ls 2 + ρ j sgn S 2, (42) : ˆx 4j x 4j, ˆf j, f j, f j = f j ˆf j, l, l > 0, S 2, S 2 = x 4j ˆx 4j. f j = r jα 1j u j S 2, (43) r j, r j > 0, : 2 x 4j (42), (43), l > 0, w 2j < ρ j,. (2) (42) Ṡ 2 = ls 2 + α 1j f j u j + w 2j ρ j sgn S 2. (44) Lyapunov : V o = S2 f j. (45) 2r j

6 32 31 (45) (43) (44) V o = S 2 Ṡ 2 + f j r j f j = S 2 [ ls 2 + α 1j f j u j + w 2j ρ j sgn S 2 ] α 1j f j u j S 2 = ls S 2 w 2j ρ j S 2 < ls 2 2 0, (46) lim S 2 = 0,. t 5 (Simulation)., MATLAB 7.1. : J m1 = kg m 2, K T1 = 1.1 N m/a, J m2 = kg m 2, K T2 = 0.9 N m/a. J L = kg m 2, K L = 1000 N m/rad., k 1 = 50, k 2 = 30, k 3 = k 41 = k 42 = 30, k 4 = 50, r 0 = 10, r 1 = r 2 = 5, r 1 = r = 8000, l = 90, 2 ρ 1 = ρ 2 = 0.5, β 1 = 50, β 2 = 5000, α 0 = 0.3, δ 0 = rad, 4 s, 4(a)., Stribeck, 4(b), 4(c) ESO,, rad, rad; ESO, rad, 4(d)..,, 4 s 1, 1 0.5, 5(a), 0.2 s, u 1, u 2, 5(b).,, rad, 5(c);,, 5(d). (a) (b) Stribeck (c) (d) 4 Fig. 4 System response with nonlinear friction

7 1 : 33 (a), 4 s 1, 0.25 s, 6(a), u 1, u 2,, 6(b). 1,, rad, 6(c);, rad,, 6(d). 4 6,. (b) (a) (c) (b) (d) 5 Fig. 5 System response when an actuator partly fails to work (c)

8 34 31 (d) 6 Fig. 6 System response when an actuator fully breaks down 6 (Conclusion),,, ESO. Lyapunov,,,.,,,,,. (References): [1],. [J]., 2009, 26(5): (GUAN Limin, LIN Jian. Synchronization control of sheet feeding machine of shaft-less drives [J]. Control Theory & Applications, 2009, 26(5): ) [2]. [D]. :, (YANG Fei. Design and analysis of multi-motor system [D]. Nanjing: Nanjing University of Science and Technology, 2005.) [3] PEREZ-PINAL F J, NEFIEZ C, ALVAREZ R. Comparison of multimotor synchronization techniques [C] //The 30th Annual Conference of Industrial Electronics Society. Piscataway, USA: IEEE, 2004: [4],. [M]. :, (ZHOU Donghua, YE Yinzhong. Modern Fault Diagnosis and Fault Tolerant Control [M]. Beijing: Tsinghua Press, 2000.) [5] WU F, CAI X J. Switching fault-tolerant control of a flexible airbreathing hypersonic vehicle [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, 2013, 227(11): [6] SADEGHZADEH I, MEHTA A, CHAMSEDDINE A. Active fault tolerant control of a quad rotor UAV based on gain-scheduled PID control [C] //The 25th IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering. Montreal, Canada: IEEE, 2012 : 1 4. [7] YIN Y Y, SHI P, LIU F. Gain-scheduled robust fault detection on time-delay stochastic nonlinear systems [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2011, 58(10): [8] JIANG B, GAO Z F, SHI P. Adaptive fault-tolerant tracking control of near-space vehicle using Takagi-Sugeno fuzzy models [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2010, 18(5): [9] YE D, YANG G H. Adaptive fault-tolerant tracking control against actuator faults with application to flight control [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2006, 14(6): [10] LI X J, YANG G H. Robust adaptive fault-tolerant control for uncertain linear systems with actuator failures [J]. IET Control Theory & Applications, 2012, 6(10): [11]. [D]. :, (WANG Ming. Active fault tolerant control of dynamic systems with actuator faults [D]. Beijing: Tsinghua University, 2007.) [12] MIRZATARIQ H, CHRISTOPHER E, HALIM A. Design and analysis of an integral sliding mode fault-tolerant control scheme [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012, 57(7): [13] HALIM A, CHRISTOPHER E. Fault detection and fault-tolerant control of a civil aircraft using a sliding-mode-based scheme [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2008, 16(3): [14] LEE H, KIM Y. Fault tolerant control scheme for satellite attitude control system [J]. IET Control Theory and Applications, 2010, 4(8): [15],. [J]., 2002, 19(4): (HUANG Yi, ZHANG Wenge. Development of active disturbance rejection controller [J]. Control Theory & Applications, 2002, 19(4): ) : (1986 ),,,, supercw 86@163.com; (1978 ),,,, wuyifei0911@163.com; (1985 ),,,, durenhui1985@hotmail.com; (1958 ),,,,, wuxb@mail.njust.edu.cn.

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