20 31, Qin [7 8],, EWMA PCA. EWMA PCA, Chen [9] EWMA PCA T 2 SPE. [10] EWMA EWMA, PCA, MEWMA PCA(multivariate EWMA PCA), EWMA PCA. MEWMA PCA., λ. EWMA

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1 DOI: /CTA Control Theory & Applications Vol. 31 No. 1 Jan. 2014,,, (, ) : (principal component analysis, PCA),. (multivariate exponentially weighted moving average principal component analysis, MEWMA PCA) PCA. MEWMA PCA EWMA, MEWMA PCA. MEWMA PCA λ,. MEWMA PCA EWMA PCA,,. : ; ; ; : TP277 : A Incipient fault detection of multivariate exponentially weighted moving average principal component analysis QIU Tian, BAI Xiao-jing, ZHENG Xi-yu, ZHU Xiang (State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Sources, North China Electric Power University, Beijing , China) Abstract: The principal component analysis (PCA) is a useful tool for data analysis and has been widely used in fault detection and process monitoring. MEWMA PCA (multivariate exponentially weighted moving average principal component analysis) is used to solve the problem where PCA cannot detect incipient faults properly. This paper further investigates the mechanism of the effect of EWMA on the fault detection of PCA in MEWMA PCA. The reason that MEWMA PCA can detect incipient faults is analyzed. The relationship among the forgetting factor, the detectable amplitude of a single sensor and the delay time introduced by EWMA is derived. Both numerical simulation results and historical data simulation result of a coal grinding unit in a power plant validate the mechanism of the improvement of fault detection by MEWMA PCA. An example is given for showing the detection of an incipient fault within a specified time range satisfying the practice requirement, by setting appropriate forgetting factor. Key words: incipient faults; principal component analysis (PCA); exponentially weighted moving average (EWMA); fault detection 1 (Introduction),.,,,. [1],., (principal component analysis, PCA),. [2 3], PCA, PCA., PCA. (exponentially weighted moving average, EWMA), [4 5]., Dunia [6] EWMA PCA : ; : qiutian@ncepu.edu.cn; Tel.: : 973 (2012CB215203); ( );.

2 20 31, Qin [7 8],, EWMA PCA. EWMA PCA, Chen [9] EWMA PCA T 2 SPE. [10] EWMA EWMA, PCA, MEWMA PCA(multivariate EWMA PCA), EWMA PCA. MEWMA PCA., λ. EWMA, EWMA.,,,. L(, ) λ. MEWMA PCA EWMA PCA,, EWMA, SPE T 2 PCA., MEWMA PCA. MEWMA PCA, λ.. 2 MEWMA--PCA (MEWMA--PCA method) X = T P + E, (1) : X n m, n, m ; T n k,, k ; P k m, ; E n m,. X, R, R = UDU, (2) : U m m, γ i R, D = diag{γ 1,, γ m }. u i m, U U = [u 1 u m ], k, P = [u 1 u k ], D k = diag{γ 1,, γ k }. T 2 SPE [11]. T 2 T 2 = D 1 2 k P x 2 T 2 α, (3) : Tα 2 T 2, α, F α,k,n k α F, k, n k. Tα 2 T 2 k(n + 1)(n 1) α = F n 2 α,k,n k. (4) nk SPE SPE = Cx 2 SPE α, (5) : C = I P P, SPE α SPE, α. SPE α = θ 1 [ c α 2θ2 h θ 2h 0 (h 0 1) ] 1 θ 1 θ1 2 h 0, (6) : θ i = m j=k+1 γj, i i = 1, 2, 3, h 0 = 1 2θ 1θ 3. 3θ 2 2 EWMA,,, i x i, i x i : x i = (1 λ) x i 1 + λx i, (7) : λ, λ,. X, X = [x 1 x 2 x 3 x n], : n, x i m, x 0 = 0. x i, x i = (1 λ) x i 1 + λx i = λ i (1 λ) i j x j. EWMA X = [ x 1 x n] (8) R R [9] : R = 1 n 1 X λ X = R. (9) 2 λ EWMA, P. T 2 SPE : T 2 λ 1 = ( 2 λ D) 2 P x 2. (10) t (0 < t n) T 2 [9 10] T t 2 = x t P λ ( 2 λ D) 1 P x t = λ t λ (1 λ) t j x j P ( 2 λ D) 1

3 1 : 21 P λ t (1 λ) t j x j. (11) T 2 k n, T 2 α = T 2 α. (12) t (0 < t n) SPE SPE t = x t C x t = λ t t (1 λ) t j x j Cλ (1 λ) t j x j. (13) (9) R γ i = λ/(2 λ)γ i, i = 1,, m. SPE α [9] SPE α = λ 2 λ SPE α. (14) i (0 < i < t) l, d, ξ = [ ], t l T 2 [9] T 2 t = x t P D 1 P x t + 2x t P D 1 P ξ d + ξdp D 1 ξ d. (15) EWMA MEWMA PCA T 2 T 2 t = λ t λ (1 λ) k j x j P ( 2 λ D) 1 P λ t (1 λ) t j x j + 2λ t λ (1 λ) t j x j P ( 2 λ D) 1 P λ t (1 λ) t j ξ d + λ t λ (1 λ) t j ξdp ( 2 λ D) 1 P λ t (1 λ) t j ξ d. (16) i (0 < i < t) l d, t SPE MEWMA PCA SPE : SPE t = x t Cx t + 2x t CP ξ d + ξd Cξ d, (17) SPE t = λ t t (1 λ) t j x j Cλ (1 λ) t j x j + 2λ t t (1 λ) t j x j Cλ (1 λ) t j ξ d + λ t (1 λ) t j ξd Cλ t (1 λ) t j ξ d. (18) 3 (EWMA s effect to PCA) 3.1 EWMA PCA (EWMA s effect to the mean value of PCA indices) (12)(14), EWMA, T 2, SPE λ/(2 λ)., EWMA PCA. EWMA, T 2 SPE. PCA T 2 [12] E(T 2 ) = n Tj 2 /n, (19) n. MEWMA PCA T 2 E( T 2 ) = n T j 2 /n. (20), x i x j (i j), x i x j = 0(i j). M = P λ ( 2 λ D) 1 P, T t 2 = λ 2 t (1 λ) 2(t j) x j Mx j, t = 1, 2,, n, n = λ 2 [ n ( j (1 λ) 2(j i) )x j Mx j] = T 2 j i=1 λ 2 [ n 1 (1 λ) 2(n j+1) 1 (1 λ) 2 x j Mx j] = λ 2 1 (1 λ) [n2 λ 2 λ E(T 2 ) S], (21) S = n (1 λ) 2(n j+1) x j Mx j. x max Mx max = max(x 1 Mx 1,, x n Mx n), S = n (1 λ) 2(n j+1) x max Mx max = (1 λ) 2 (1 (1 λ) 2n ) 1 (1 λ) 2 x max Mx max. (22) n, S /n=0, n, S/n=0, n E( T 2 ) = 1. (23) E(T 2 ), n SPE j =

4 22 31 λ 2 [ n ( j (1 λ) 2(j i) )x Cx j j ] = i=1 C( x + λ t (1 λ) t j ξd) λ 2 [ n 1 (1 λ) 2(n j+1) x 1 (1 λ) Cx 2 j j ] = C x Cλ t (1 λ) t j ξd δ. (29) λ 2 1 (1 λ) [ne(spe) 2 S ],, x = 0, (0, ) (24) d d δ S = n (1 λ) 2(n j+1) x Cx j j. Θ( Cξ)(1 (1 λ) t i+1 ), (30) Θ( ). (, ), d n, E(SPE) E(SPE) = λ d = 2d. (31) 2 λ. (25) (30) (31) SPE EWMA T 2 SPE. [9], EWMA T 2 SPE,, EWMA, T 2 (2 λ)/λ, SPE. EWMA PCA. (23)(25),, EWMA, T 2, SPE, λ/(2 λ). (16), PCA EWMA,,, T 2 (2 λ)/λ,. T 2. (18),, SPE,, SPE. 3.2 EWMA PCA (EWMA s effect to the detectable amplitude of PCA) EWMA PCA, PCA, EWMA PCA, EWMA PCA., EWMA, λ, EWMA., λ, λ. SPE k = C x k 2 δ 2, (26) δ 2 = SPE α., (0, ),, C x k δ. (27) x k x ξd, C( x + ξd) δ. (28) 2δ ln(1 dθ( L SPE = Cξ) ) 1. (32) ln(1 λ), T 2 2χ d. λ Θ(P ( 2 λ D) 1 P ξ)(1 (1 λ) t i+1 ) (33) L T 2 2χ ln(1 ) λ dθ(p ( L T 2 = 2 λ D) 1 ξ) 1, (34) ln(1 λ) χ 2 = T α 2. SPE T 2., T 2, SPE. SPE T 2., λ (32). (30)(33), λ PCA, λ,,, T 2 λ/(2 λ). (14), EWMA, δ λ/(2 λ),, SPE λ/(2 λ). EWMA,,, λ. (32)(34) L,, λ, L,, PCA, λ,, L,

5 1 : 23,,, PCA,. (35) λ 2δ λ = 1 (1 dθ( Cξ) ) 1 L SPE +1. (35) 4 (Simulation) 4.1 (Numerical simulation) [13], X = As + E, A 4, (36), s = [s 1 s 2 s 3 s 4 ] 4 n, s 1, s 2, s 3, s 4 0, 1, E 0, A = (36) 500, N. 4, EWMA, R λ/(2 λ), EWMA. (21)(24) T 2 SPE, T 2 Table 1 Forgetting factor s effect to the mean value of T 2 N λ = λ = λ = λ = λ = SPE Table 2 Forgetting factor s effect to the mean value of SPE N λ = λ = λ = λ = λ = λ T 2 SPE.,, EWMA, T 2, SPE λ/ (2 λ)., T 2 SPE. λ PCA, λ. 3 T 2 Table 3 The detectable amplitudes of T 2 statistic corresponding to different forgetting factors and delays λ = λ = λ = λ = λ = SPE Table 4 The detectable amplitudes of SPE statistic corresponding to different forgetting factors and delays λ = λ = λ = λ = λ =

6 24 31, λ, PCA,. EWMA,, λ,. λ,,,, ;,.,, λ,. PCA, , PCA λ = 0.2 MEWMA PCA λ = 0.5 MEWMA PCA, , PCA. EWMA,,, PCA Fig. 1 Fault detection results of PCA without EWMA 2 λ 0.2 PCA Fig. 2 Fault detection results of MEWMA PCA with λ = λ 0.5 PCA Fig. 3 Fault detection results of MEWMA PCA with λ = 0.5 3, λ 0.5, 103, 19%., EWMA PCA, PCA. λ,,., EWMA λ,, λ,, λ,. EWMA PCA, λ. λ,, PCA ; λ,,., (35) λ. 4.2 (Example simulation) A ( 1, 2, 1, 2, 3, 3,, A), 1 min, 8, min,, 235 min. λ 3.5, 10 min, ( ) 3.5, 10 min. EWMA, 5. 5, PCA,

7 1 : 25,, PCA ;,. 6, 6.05, PCA,,., (35) λ = 0.5, EWMA,, PCA EWMA PCA MEWMA PCA. 5 PCA Table 5 The detectable amplitudes of PCA without filtering x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 T SPE EWMA PCA Fig. 4 Fault detection results of PCA without EWMA,,, 30 min, 6, 3.5, 30 min,,. 5, MEWMA PCA. λ, MEWMA PCA. 5 (Conclusion). MEWMA PCA EWMA PCA,, EWMA, EWMA T 2 SPE., λ, MEWMA PCA, EWMA PCA., MEWMA PCA EWMA. λ, MEWMA PCA. (References): [1],,,. [J]., 2012, 29(12): (LI Juan, ZHOU Donghua, SI Xiaosheng, et al. Review of incipient fault diagnosis methods [J]. Control Theory & Applications, 2012, 29(12): ) 5 λ = 0.5 MEWMA PCA Fig. 5 Fault detection results of MEWMA PCA with λ = 0.5 4, PCA, 235, [2] WANG H, ZHOU H, HANG B. Number selection of principal components with optimized process monitoring performance [C] //Proceedings of Decision and Control. Hangzhou, China: Zhejiang University, 2004: [3],,. [J]., 2002, 23(3): (WANG Haiqing, SONG Zhihuan, LI Ping. Study on the fault de-

8 26 31 tectability of principal component analysis [J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2002, 23(3): ) [4] AKHILESH J, RAJEEV U, SUMANA C. Exponentially weighted moving average scaled PCA for on-line monitoring of Tennessee Eastman challenge process [J]. International Journal of Systems, Algorithms & Applications, 2012, 2(12): [5] ZHANG G, LI N, LI S. A modified multivariate EWMA control chart for monitoring process small shifts [C] //Proceedings of Modelling, Identification and Control. Shanghai: Shanghai JiaoTong University, 2011: [6] DUNIA R, QIN S J, EDGAR T F, et al. Identification of faulty sensors using principal component analysis [J]. AIChE Journal, 2004, 42(10): [7] QIN S J, YUE H, DUNIA R. Self-validating inferential sensors with application to air emission monitoring [J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 1997, 36(5): [8] QIN S J, YUE H, DUNIA R. A self-validating inferential sensor for emission monitoring [C] //Proceedings of American Control. Austin, TX, USA: Texas University, 1997: [9] CHEN J, LIAO C M, LIN F R J, et al. Principle component analysis based control charts with memory effect for process monitoring [J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2001, 40(6): [10],,. MEWMA PCA [J]., 2007, 36(5): (GE Zhiqiang, YANG Chunjie, SONG Zhihuan. Research and application of small shifts detection method based on MEWMA PCA [J]. Information and Control, 2007, 36(5): ) [11] JACKSON J E. A User s Guide to Principal Components [M]. New York: John Wiley & Sons, [12],,. [M]. :, (SHENG Zhou, XIE Shiqian, PAN Chengyi. Probability Theory and Mathematical Statistics [M]. Beijing: Higher Education Press, 2001.) [13] QIN S J. Statistical process monitoring: basics and beyond [J]. Journal of Chemometrics, 2003, 17(8): : (1976 ),,,,, qiutian@ncepu.edu.cn; xiaoj bai@163.com; (1987 ),,,, (1989 ),,,, xiyuer.zheng@gmail.com; (1988 ),,,, xuchunhonghappy03@163.com.

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