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- 珊 郝
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1 7-1 萬有 引力 定律 7- 地球 表面 的重 力與 重力 加速 度 7- 行星 與人 造衛 星 抬頭仰望點點繁星和偶然劃過天際的流星, 俯拾起身邊翩然飄落的楓葉, 訴不盡的 詩情畫意, 終歸都是自然的運作 本章將介紹存在於天地萬物, 無時無刻存在我們身邊的萬有引力 學完本章你將了解無論是宇宙星辰的運行, 生活中柴米油鹽的斤兩, 或是在現代社會中扮演了重要角色的人造衛星, 都可以用萬有引力來解釋呢
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3 4 基礎物理 ( 二 )B CHAPTR 萬有引力定律 在上冊第五章介紹了圓周運動與向心力, 向心力是由物體所受的合外力來提供, 而作圓周運動的物體都需要向心力 月球繞地球作圓周運動 ( 如圖 7-1(a)) 所需的向心力是由何者來提供呢? 將一支筆由靜止釋放, 筆會下落到地面 ( 如圖 7-1(b)) 筆為什麼要向下運動, 而不向其他方向運動呢? 因為重力的方向是鉛直向下的, 那麼重力又是怎麼產生的呢? 地球對地表附近物體的引力與地球對月球的引力是不是同一種力呢? 三百多年前牛頓苦思這個問題 ( 如圖 7-1(c)), 而他的結論是肯定的 既然地球對地表附近物體的引力與地球對月球的引力是同一種力, 那麼是哪些因素決定這種力, 它是只有地球才有的, 還是所有物體間都存在呢? 讓我們回到牛頓的年代思考一下 當時在科學界, 日心說 已推翻了 地心說, 如果認為只有地球對物體存在引力, 也就是認為地球是特殊有引力的球體, 則勢必又進入 地球是宇宙中心 的窠臼, 若認為物體間普遍存在引力, 可是在生活中又難以觀察到兩物體間相互作用的引力 無論如何, 想要進一步了解這種引力, 只能從現象比較明顯的天體問題入手 圖 7-1 (a) 月球繞地球作圓周運動 (b) 筆靜止釋放會自由下落到地面 (c) 讓月球運動的力和蘋果下落的力是同一種力嗎?
4 第 7 章萬有引力定律 4 例題 7-1 在 日心說 中認為行星繞太陽公轉而不是以地球為中心 太陽系內, 在地球 A 外側為火星 B, 公轉的方向與地球相同, 如圖所示 若火星每相隔.5 年與地球之距離達到最接近, 假設地球與火星兩者之軌道皆為圓形, 則估計火星的公轉週期為多少年? 思路 : 火星與地球皆以圓形軌道繞太陽運行, 地球的速率比火星快, 繞太 陽轉得也較快 假設從兩星球最接近算起至下一次最接近所需要的 解 時間為 t, 在時間 t 內地球已經比火星多繞了太陽 1 圈 地球繞太陽公轉的週期 T 1為 1 年, 在時間 t 內地球繞太陽的圈數為 t T ; 1 火星繞太陽公轉的週期為 T 年, 在時間 t 內火星繞太陽的圈數為 t 地球已經比火星多繞了太陽 1 圈, 即 T t 1, T 1 t T.5.5 所以 1, 可以得到 T 1.80( 年 ) 1 T 在地球上觀察太陽的另一個行星, 如果每隔固定時間 ( 例如.5 年 ) 就再次相遇, 表示地球與該行星繞太陽的公轉軌道皆為圓形 若結果不是每隔固定時間就會接近, 就顯示軌道可能是橢圓 自我練習 例題 7-1 中, 如果火星的圓周運動方向與地球的方向相反, 則兩行星由圖示條件 至再次相遇需多少年的時間?
5 44 基礎物理 ( 二 )B 在基礎物理 ( 一 ) 中介紹過克卜勒行星運動三定律, 它們是長期觀察行星運動, 歸納出來的經驗定律 為了討論方便, 此處假設行星的運動軌道為圓形 ( 如圖 7-) 其中的第三定律, 又稱為週期定律, 其內容為 : 所有繞同一恆星公轉之行星, 其軌道週期的平方與軌道半徑的立方成正比 也就是說, 所有行星其軌道半徑 的立方與運動週期 T 的平方之比為定值 k, 可用數學式表示為 : k T ( 定值 ) (7-1) 由圓周運動向心力的關係式 : mv 4 m F, T 將 (7-1) 式代入, 得 : mv 4 mk 4 km F, 其中 m 為行星的質量, 為行星的軌道半徑, 即太陽與行星間的距離 也就是說, 太陽對行星的引力正比於行星的質量, 而反比於太陽與行星之距離的平方 用數學式表示為 : m F, 圖 7- 繞恆星公轉的行星軌道示意圖, 以太陽和地球為例呈現於左上角
6 第 7 章萬有引力定律 45 再應用牛頓第三運動定律, 即作用力的量值等於反作用力的量值, 也就是行星對太陽 也有相等量值的引力 由兩作用物體的對稱性, 此引力也應和太陽的質量 M 成正比, M, 故 : 即 F mm F, 換句話說 : 太陽與行星之間的引力, 與它們質量的乘積成正比, 與它們距離的平方成反比, 這就是牛頓的萬有引力定律 ( 如圖 7-) 如果改用數學等式表示為: mm F G (7-) 此式僅適用於可視為質點的兩物體, 其中 G 為一個常數, 稱為重力常數 (gavitational constant) 圖 7-1 太陽與行星之間的萬有引力定律示意圖 由克卜勒行星運動第一定律, 可知行星以 橢圓軌道繞行太陽, 因此在軌道各處與太陽的 距離不同, 所受萬有引力的量值也不相等 然 而所受萬有引力的方向是太陽與行星的連心 線方向, 若以太陽為參考點, 其力臂為零, 故 不受力矩, 可推知行星運動對轉軸的角動量守 恆, 也就是 m v 為定值, v 之值為 vsin 是向量計算中的外積, mvsin 常 數 這也正是克卜勒行星運動第二定律, 等面 積定律 用在近日點和遠日點時得 A va BvB
7 46 基礎物理 ( 二 )B 例題 7- 地球與某行星均繞太陽做近似圓形軌道運行, 由地球上 觀測, 發現該行星與太陽可能呈現的最大視角為, 其 正弦值 sin 約 1, 如右圖所示 據此推求 : (1) 該行星運行的軌道半徑 p 與地球運行半徑 之比值 為何? () 地球公轉週期為 1 年, 以此為單位, 估計該行星之運行週期為若干? 思路 : 如圖所示, 地球與某行星均繞太陽作近似圓形軌道運行, 地球繞太 陽的公轉半徑以 表示, 太陽與地球連線的方向即 的方向 ; 行星 繞太陽的公轉半徑以 p 表示, 太陽與行星連線的方向即 p 的方向 地球與太陽的連線和地球與行星的連線, 這兩條視線的夾角 會隨 著行星在不不同的位置上而不同, 其中最大夾角發生在如圖中所示 解 的兩個可能位置上 (1) 可以得到下列的關係 : 1 sin 0.71 p max, max 約為 45 () 其中地球繞太陽的公轉軌道半徑 11 為 1.0 AU m, 11 所以行星繞太陽的公轉軌道半徑 p為 0.71 AU m, 兩個行星皆繞太陽公轉, 行星軌道半徑 的立方與運動週期 T 的平方之比 為定值, T p p T ,, 1 T p 行星繞太陽公轉的週期 T ( 年 ) p
8 第 7 章萬有引力定律 47 例題 7- 中, 此行星繞太陽公轉的週期為 0.60 年, 而且比地球更接近太陽, 此行星軌道半徑經計算為 0.70 AU, 它最接近下列哪一行星? 請利用網路或其他 資訊確認可能為太陽系內的哪一個行星? 例題 7- 假設萬有引力定律中兩質點間引力的量值與其距離的 n 次方 ( n ) 成反比, 考 慮一群以圓形軌道繞行同一恆星的行星, 如果各行星的週期與其軌道半徑的平方 成正比, 則 n 的值應為何? 思路 : 行星以萬有引力作為繞恆星作圓周運動所需的向心力 解 GMm 萬有引力的量值與距離的次方關係 : F, n 4 圓周運動向心力與週期的關係 : F m, T n GMm 4 將上兩個式子連結, F m, 得到 n T T 1 GM, 4 因為題目中設各行星的週期與其軌道半徑的平方成正比, 所以 n 1 4, n 如果萬有引力真的如例題 7- 所示, 兩質點間引力的大小與其距離的 次方 成反比, 則克卜勒行星運動第二定律是否還成立呢?
9 48 基礎物理 ( 二 )B 雖然前面對萬有引力定律的推導是考慮太陽對行星的引力, 但正如前述的分析 : 萬 有引力應存在於任何兩個物體之間 只不過一般物體的質量與星球相比實在太小了, 以 致於它們間的萬有引力也非常小, 因此在生活中難以觀察到 萬有引力定律的意義是 : 任何兩個物體都有一種互相吸引的力 在兩質點或星體間, 其引力的量值和其質量的乘 積成正比, 其間距離的平方成反比 ( 如圖 7-4), 以數學型式表示為 : Gm1m F (7-) 式中 m 1 m 分別表示兩個物體的質量 ; 為它們間的距離, 更精確的含義是兩個質點 間的距離 若兩個物體相距很遠, 則物體一般可以視為質點 但 (7-) 式可直接應用在兩 個相距較近的均勻球體, 此時 就是兩球心間的距離
10 第 7 章萬有引力定律 49 圖 7-4 兩質點間的萬有引力量值 (a) 和兩物體之質量的乘積成正 比,(b) 與距離的平方成反比
11 50 基礎物理 ( 二 )B 例題 7-4 質量皆為 M, 相距 d 的二固定質點, 其連線之中垂線上與中點 O 相距 處有一質量為 m 的質點 (1) 試求 m 受二個 M 質點之萬有引力之和為何? () 若 d,m 所受之萬有引力近似為何? 解 (1)m 與 M 間的距離為 d,m 與 M 間的引力 F GMm, d 因為向量方向的關係, 萬有引力的和應只有向右的分量, GMm F cos cos, d 其中 cos 為 d, 代入上式, GMm GMm F cos d d ( d ) () 依題意,m 與 O 點的距離 遠大於兩個質點 M 彼此的距離 d, 所以 d 近似於, 代回上式, GMm GMm G( M ) m m 所受的萬有引力 F cos ( ) d 與一個質量為 M 的質點位於 O 處與 m 間的萬有引力相等 自我練習 例題 7-4 中, 若 d,m 所受之萬有引力近似為何? 若 M 固定而 m 可以在中垂 線上自由移動, 請推測此時 m 的運動形式為何? 牛頓發現了萬有引力定律, 但重力常數 G 是多少, 當時誰也不知道 按理說, 只要測出兩個物體的質量及其間的距離, 再測出物體間的引力, 代入萬有引
12 第 7 章萬有引力定律 51 力定律, 就可以測出這個常數 但一般物體的質量太小了, 它們間的引力小得無法測出 ; 而天體間的引力夠大了, 卻又無法測出天體的質量 所以, 直到萬有引力定律發現的一百多年後, 卡文迪西 (Heny Cavendish, 英國,171~1810) 利用設計精巧的扭秤做實驗, 證實了天體以外的物體間確實存有萬有引力, 才使後人可以得到這個常數 卡文迪西的扭秤實驗..扭秤的主要部分是一個 T 字形輕而結實的框架, 把這個 T 形架倒掛在一根金屬絲下 若在 T 形架的兩端施加兩個量值相等 方向相反的力, 因力矩的作用, 金屬絲就會扭轉一個角度以產生抵抗的恢復力矩 施加的力愈大, 扭轉的角度也愈大 因此, 如果測出 T 形架轉過的角度, 也就可以測出 T 形架兩端受力的大小 在 T 形架的兩端各固定一個小球, 再在每個小球的附近各放一個重球, 兩球間的距離可以測定 根據萬有引力定律, 重球會對小球產生引力,T 形架會隨之扭轉, 只要測出其扭轉的角度, 就可以測出引力的大小 但是由於引力很小, 扭轉的角度必然很小 如何才能測出小角度呢? 可在 T 形架上裝一面小鏡子, 用一束光射向鏡子, 經鏡子反射後射向遠處的刻度尺, 當鏡子隨著 T 形架一起產生很小的轉動時, 刻度尺上的光點會發生較大的移動, 也可用對準刻度尺的望遠鏡來輔助觀察 這是一個實驗上重要的放大技巧, 藉由測定光點的移動, 可推得 T 形架在放置重球前後扭轉的角度, 從而測定此時重球對小球的引力 此扭秤驗證了萬有引力定律, 並測定出重力常數 G 的數值
13 5 基礎物理 ( 二 )B 重力常數 G 經精密的測量, 以 SI 單位表示為 : G 牛頓. 公尺 / 公斤 (7-4) 由於重力常數的數值非常小, 所以一般物體間的萬有引力是很小的 例如兩個質 量 50 公斤的同學相距 0.5 公尺時, 以萬有引力公式估計其間的引力約只有 牛 頓, 這麼小的力不透過儀器, 很難獲知其效應 只有質量很大的物體對一般物體的引 力才能產生顯著的效應, 例如地球對我們的引力就是我們的體重, 天體 ( 主要是月球, 其次是太陽 ) 對地球上海水的引力導致了潮汐現象 ( 如圖 7-5) 而天體之間的引力由 於星球的質量很大, 往往是非常驚人的, 例如太陽對地球的引力高達.5 10 牛頓 更重要的是星球的運轉, 完全依賴萬有引力所提供的向心力, 萬有引力可說是維持宇 宙中星際和諧運動的唯一力源 圖 7-5 在同一地點可見 (a) 潮起與 (b) 潮落的明顯差異, 這些主要是由月球 的引力所引起的
14 第 7 章萬有引力定律 5 CHAPTR 7 7- 地球表面的重力與重力加速度 重力 W 就是物體與地球之間的萬有引力, 地球表面上的物體所受之重力 (gavitational foce)w 是物體重力加速度 g 的來源, 亦即 : GM m W F mg (7-5) R M 為地球的質量, R 為地球的半徑,m 為物體的質量, 則因重力而產生的加速度 g 為 : GM g (7-6) R 上式顯示地球表面之重力加速度 g 與地球的質量 M 成正比, 與地球的半徑 R 的 平方成反比 ( 如圖 7-6) 由 (7-6) 式可知, 藉由測量地球表面的重力加速度可推知地球 的質量 ; 已知地球表面的重力加速度 g 為 9.8 公尺 / 秒, 半徑 R 為 得地球的質量 M 為 公斤 公尺, 可 圖 7-6 地球表面的重力示意圖 但因地球略呈扁橢圓球狀, 故赤道附近表面的重力加速度值較小, 而南北極處表面的重力加速度值略大 例如同在海平面高度, 在地球赤道的重力加速度值為 公尺 / 秒, 而在北極則約為 9.8 公尺 / 秒 表 7-1 顯示重力加速度值因緯度不同的變化情形及對物體重量的影響
15 54 基礎物理 ( 二 )B 表 7-1 在地球上重力加速度值的差異對物體重量的影響 重力加速度 g ( 公尺 / 秒 ) 質量 m 公斤物體的重量 W mg ( 牛頓 ) 新加坡北緯 臺北北緯 格林威治北緯 北極北緯 註 : 物體的質量不因地而異 月球的質量為地球的 0.01 倍, 半徑為地球的 0.74 倍, 在月球表面的重力加 速度 g 值約為地表的六分之一, 也就是同一物體在月球表面測得的重量約為地表的六 分之一
16 第 7 章萬有引力定律 55 例題 7-5 如圖某人在水平地面上以 背向式 跳高 當他曲腿起跳時, 其身體的質心離地的高度為 1.0 公尺, 剛好可掠過標高為.0 公尺的橫桿 假設此人移至月球表面上, 以同樣的方式跳高, 則他可越過多少公尺高的橫桿? 思路 : 人跳高時的高度會受到地球表面重力場的影響, 重力場愈小, 人跳 解 高的高度愈大 跳高運動在鉛直方向可視為向上拋射, 若鉛直初速為 v 0 重力加速度為 g 末速度為 v 鉛直位移為 S, 等加速運動公式以向上為正時, v v gs, 0 當跳至最高點時, 末速度 v 為零, 可以求出鉛直方向的位移 S v0 S, g 在地表跳高時, 鉛直位移為 1 1(m) 若移至月球表面, 月球表面的重力加速度只有地球的 根據上式鉛直位移應增為 6 倍就是 6 m, 此時橫桿的高度為 6 1 7(m), 大約已經越過兩層樓的天花板了 1 6
17 56 基礎物理 ( 二 )B 自我練習 \ 一質點在地球表面上鉛直上拋所能達到的最大高度為 10 公尺, 若在月球表面上, 將此質點以相同初速鉛直上拋, 則所能到達的最大高度為何? 地球半徑 當質量為 m 的物體距地表相當遠, 如人造衛星, 物體與地心間的距離不可再視為 R 時, 重力加速度 g 的值會變小, 物體的重量會減輕, 若物體距地表的高度 為 h, 此時物體所受的重力 W 為 : GM m W mg ( R h) (7-7) GM GM g ( R h) (7-8) 式中 為質量 m 的物體與地心的距離 ( 如圖 7-7) 圖 7-7 物體距地表高度為 h 時的重力示意圖 萬有引力不需要依靠物體間的接觸, 也能作用到遠處的物體, 所以稱為超距力或長程力 地球對地面上物體的萬有引力, 是物體具有重量的來源, 因此又稱為重力 由於萬有引力作用於周圍所有的物體, 其作用範圍的重力分布可以用 場 來描述, 稱為重力場 (gavitational field), 重力加速度即為重力場強度 重力場和基礎物理 ( 一 ) 中所提及的電場和磁場一樣, 是描述作用力在空間分布及其性質的物理量 重力場是向量, 其定義為單位質量受的力, 方向表示具質量之物體受力的方向
18 第 7 章萬有引力定律 57 例題 7-6 天文學家發現, 天狼星有一伴星為白矮星, 如圖所示, 其質量約等於我們太陽的質 0 量 公斤, 半徑則僅約地球的半徑 670 公里, 在此星球表面,1 公斤的物體, 承受的重力, 也就是白矮星表面的重力場強度的量值, 約若干牛頓? 思路 : 星球表面重力場由其質量與其半徑所決定 解 由 (7-6) 式, 白矮星表面重力場強度的量值 11 0 GM g.5 10 (m/s ), 6 R ( ) 在白矮星表面,1 kg 的物體承受的重力約 這個數據約是地球表面重力的 萬 5 千倍 N, 自我練習 \ 中子星 ( 又稱脈衝星 ) 是在 1967 年由天文學家約塞琳. 貝爾 (Jocelyn Bell) 所發現, 中子星每隔數秒就發射一串規律的無線電波脈衝, 其組成幾乎都是中子 中子 星的直徑約 0 公里, 密度約為 估計中子星表面的重力場強度量值? 1 公克 / 立方公分, 是顆十分密緻的星體 請
19 58 基礎物理 ( 二 )B CHAPTR 7 7- 行星與人造衛星 行星是指在宇宙中所有圍繞恆星運行的天體 ; 而衛星是指所有圍繞行星運行的天體 ( 如圖 7-8(a)) 環繞哪一個行星運轉, 就稱為哪一個行星的衛星 比如, 月亮環繞著地球運轉, 它就是地球的衛星 人造衛星 就是 人工製造的衛星 科學家用火箭把它發射到預定的軌道, 使它環繞著地球或其他行星運轉, 以便進行探測或科學研究 人造衛星大多是繞地球運行, 常用於氣象觀測 通訊等方面 行星與人造衛星都是利用萬有引力提供圓周運動的向心力, 此向心力使行星或人造衛星作橢圓軌道的運動, 由於一般行星的軌道是非常接近圓的橢圓, 為方便處理, 常假設為等速圓周運動 以繞地球的人造衛星為例, 假設其質量為 m, 當它距地心為 穩定地做圓周運動時, 來自地球的引力提供圓周運動的向心力 圖 7-8 (a) 恆星 行星 衛星與人造衛星間環繞關係的示意圖 (b) 對月球和人造衛星而言, 萬有引力是圓周運動的向心力
20 第 7 章萬有引力定律 59 ( 如圖 7-8(b)), 其量值 F 以數學式表示為 : GM m mv F (7-9) 則圓周運動的切向速度量值 v 為 : v GM GM R h (7-10) 式中 h 為距地面的高度, 因此飛得愈高的人造衛星, 所需的切向速度量值愈小 由切 向速度量值可計算繞行一周的時間, 即週期 T 為 : T (7-11) v GM 週期為 T 之人造衛星距地心的距離為 : 1 GM T ( ) (7-1) 4 由 (7-1) 式可知 : 週期 T 愈長的人造衛星, 其軌道半徑 愈大
21 60 基礎物理 ( 二 )B 例題 7-7 一人造衛星其平均高度為 公里, 每 98.0 分鐘繞地球一周, 試計算地球的質量 ( 各行星之質量亦可自其衛星的運動來推算, 發射人造衛星的目的之一, 即為測定並核對地球的質量 ) 思路 : 人造衛星靠地球的吸引力, 作為圓周運動所需的向心力 解 假設人造衛星在萬有引力的作用下, 繞地球作圓周運動, GMm 4 m, T 4 4 ( ) M GT ( ) (kg), 發射一個人造衛星繞行星運轉, 只要確定人造衛星的高度以及繞行星一圈的 時間, 就可以估計行星的質量 假定人類並未發射人造衛星至木星, 那麼是否仍然有辦法使用這個觀念測定 木星的質量? 例題 7-8 T1 甲 乙兩衛星分別環繞地球作等速圓周運動, 已知兩者的週期比值為 8 T, 則兩 v1 者的速率比值 v 為何? 思路 : 不同衛星以萬有引力繞地球作圓周運動時, 可得到半徑 速率 週 期的彼此關係
22 第 7 章萬有引力定律 61 解 假設人造衛星在萬有引力的作用下, 繞地球作圓周運動, GMm 4 其圓周運動的週期為 T, ma m, T, T GM T 可以利用週期的比求出軌道半徑的比, T 1 4 所以 1, 作圓周運動時的速率 v T 1 v1 T1 T 所以速率比 v T1 1 8 T 8, 可以看出, 愈靠近地球表面, 軌道半徑 愈小的衛星, 其等速圓周運動的速率 v 愈大, 而週期 T 愈小 克卜勒行星運動第三定律式發現了行星週期與軌道半徑的關係, 請思考一 下, 行星速度與週期是否也有特定的關係? 如果衛星在赤道上空繞行一周的時間恰好是地球自轉一周 ( 即一天 ) 的時間, 則稱此衛星為 同步衛星 ( geosynchonous satellite), 地球上的人會覺得該衛星懸在空中不動, 故也有人稱它為靜止衛星 由 (7-1) 式, 可知同步衛星距地心之距離和衛星本身的質量無關, 將 T 1天 秒代入, 可算出其大小約為地球半徑的 6.6 倍, 也就是距地表約 6000 公里高處 在此高度的衛星繞行地球的週期剛好與地球自轉的週期一樣, 地球自轉, 衛星也以相等的角速度轉動, 這就是所謂的 同步 一般而言, 通信衛星和部分
23 6 基礎物理 ( 二 )B 氣象衛星都是屬於同步衛星, 如圖 7-9 所示, 每天在電視晚間氣象報告所看到的衛星雲圖就是同步氣象衛星所拍攝的, 因為它是固定在地球上空某個位置, 才能每隔半小時或一小時就對同一區域拍攝一張雲圖, 並且傳到地面供氣象人員預報天氣 圖 7-9 地球同步衛星示意圖 例題 7-9 若有人造衛星軌道半徑接近行星半徑, 可以利用此衛星計算行星 ( 如地球 ) 的平均 密度 當此衛星的週期為 T, 則該行星 ( 如地球 ) 的密度 應為何? 解 思路 : 愈接近地球的衛星, 其速率愈大, 週期愈小 若人造衛星利用萬有引力繞地球作圓周運動, 其圓周運動的週期為 T, GMm 4 由 ma m, T 此處的 表示人造衛星與地球球心的距離 對此衛星而言, 也正好接近地球的半徑, 若地球的平均密度為, 則地球的質量 M 可以表示為 M 4 代回上式, 4 G m 4 ma m, 可得 T, 或表示為, T G GT 已知地球上此衛星的週期約為 84 min, 可以計算出地球的密度約為 kg/m 5.5 g/cm
24 第 7 章萬有引力定律 6 自我練習 \ 目前發現木星擁有 67 顆已確認的天然衛星, 是太陽系內擁有最大衛星系統的行星 當中最大的 4 顆, 統稱伽利略衛星, 由伽利略於 1610 年發現, 這是首次發現不是圍繞地球或太陽的天體 其中木衛十六是第四小也是最接近木星的衛星, 繞木星公轉週期只有 7.07 小時 如果把木衛十六的軌道半徑視為木星的半徑, 則可估計木星的平均密度為何?( 此估計與實際木星密度有一定的差距 ) 例題 7-10 外太空中有相距 d 質量皆為 m 的雙星, 在同一平面上互繞其共同質心作等速圓周運動, 試求 : (1) 軌道半徑 () 速度量值 () 週期各為何? 思路 : 雙星僅受重力作用, 重力與兩者距離平方成反比, 但是等速圓周運 動的半徑並不是距離 d (1) 對質量相等的雙星而言, 其質心應在兩星球連線的中點上, 所以軌道半 徑應為 d v Gmm () 利用等速圓周運動公式, F m, 其中衛星所受重力為, d 軌道半徑為 d, 所以 Gmm v m d d Gm, 得到 v d 4 () 利用等速圓周運動公式, F m, T d 4 Gmm 所以 d m, 得到 T d T Gm 自我練習 \ 在例題 7-10 中的雙星, 其週期是否相同? 若雙星的質量分別為 m 及 m, 則兩個星 球繞共同質心旋轉的週期是否也會相同?
25 64 基礎物理 ( 二 )B 延伸閱讀 : 我國的人造衛星 隨著中華衛星一號於 1999 年 1 月 7 日臺灣時間早上 8:4 在美國佛羅里達卡拉維爾角升空後, 臺灣開始擁有百分之百主權的人造衛星, 接著二 三號陸續升空, 大家可常在媒體上看到人造衛星的相關消息 005 年 國家太空計劃室 將臺灣的三顆衛星改名為 福爾摩沙衛星, 簡稱 福衛 其中, 福衛一號主要用於科學研究, 每天飛經臺灣上空 6~7 次 ; 福衛二號為低軌道小型對地觀測衛星, 每天在固定時間飛經臺灣上空 次 ; 福衛三號是由 6 顆小衛星組成的衛星系統, 用於氣象觀測 人造衛星可依其繞行地球的方式分成地球同步衛星與繞極軌道衛星兩種 同步衛星都是發射到地球赤道上空約 6000 公里的高空, 繞著地球的赤道自西向東轉 繞極軌道衛星通常高度比較低, 主要分布在距地表 1000 公里以下, 而大部分又分布在距地表 800 多公里高左右 此類衛星不是繞著地球的赤道轉, 而是繞著地球南北 極方向轉, 所以叫繞極衛星 繞極衛星繞 圖 7-10 人造衛星軌道示意圖 地球的速度很快, 可設計讓它繞到某個地方時每次時間都一樣, 比較適合觀測地表的變化 舉例而言, 福衛二號每次經過臺灣上空的時間都是早上九點半左右 ( 晚上也有經過 ), 因此繞極衛星也叫作太陽同步衛星 為了避免大氣的摩擦力, 所有衛星的高度都遠超過大氣層頂的高度 ( 地球大氣層對流層頂的高度距地表約 10~ 0 公里高, 整個大氣層約為 100 公里 ), 少
26 第 7 章萬有引力定律 65 了空氣阻力的影響, 所以不需設計為流線形, 很多人造衛星裝有兩片長方形的太陽能電板以便提供電力, 看起來就像長了一對翅膀 一般而言, 繞極人造衛星只有 800 公里左右的距地表高度, 相對於同步衛星的 6000 公里, 繞極衛星比較靠近地球, 可以對地球表面看得更仔細, 常用於太空科學研究 資源氣象觀測與軍 事間諜的用途 圖 7-11 繞地球的人造衛星示意圖 隨著人造衛星技術的進步與普及, 衛星直播電視 衛星上網 衛星大哥大與汽車定位導航系統等應用, 使人造衛星變成生活的 必需品 臺灣擁有自主的福衛一 二 三號人造衛星後, 在人造衛星的應用上已扮演供應者的角色, 而不只是使用者的角色了 觀念分析 同步衛星 一定要在赤道上空繞地球運轉嗎? 地球衛星受萬有引力做圓周運動, 其軌道面可以是通過地心的任意平面 但 同步衛星 是指在地表看來, 固定於某處上空的衛星, 如此才能持續和地面基地台通聯, 要達成此要求則其軌道面就必須和赤道面重合 試 想若衛星軌道面與赤道面夾 5, 如圖 7-1, 則某時刻 圖 7-1 在臺北 ( 北緯 5 ) 上空的衛星, 在 1 小時之後將出現在南緯 5 上空, 無法固定於 某處的上空, 就不算是 同步衛星 了
27 66 基礎物理 ( 二 )B 7-1 萬有引力定律 1. 由克卜勒行星運動的週期定律 圓周運動向心力的關係式及應用牛頓的第三運動 定律可推出萬有引力定律, 以數學形式表示為 : Gm1m F, 式中 m 1 m 分別表示兩個物體的質量, 為它們間的距離 ; 此式適用於可視為質 點之物體, 或密度均勻的球體 7- 地球表面的重力與重力加速度. 地球表面上的物體所受之重力即物體與地球之間的萬有引力, 因重力而產生的加速度為 : GM g 9.8 公尺 / 秒 R GM GM. 重力加速度即為重力場強度 g ( R h), 其與重力場源距離的平方成反 比 7- 行星與人造衛星 4. 行星與人造衛星作近似等速圓周運動的向心力都是由萬有引力所提供 1 GM T 5. 週期 T 之衛星距地心的距離為 : ( ) 4 6. 同步衛星 在赤道上空繞地球運轉, 其週期與地球的自轉相等, 距地心的距離約為地球半徑的 6.6 倍
28 第 7 章萬有引力定律 67 觀念題 GMm 1. 是否可以利用牛頓的萬有引力公式 F, 準確計算班上兩位已知質量的同學 間萬有引力量值?. 已知地球藉著萬有引力繞著太陽公轉, 假設太陽質量不變, 而太陽半徑突然變小, 且只考慮萬有引力, 則地球會不會被它吸引而更靠近太陽, 或仍繞著它運動?. 當地球自轉的速率增加時, 請解釋如圖示赤道上的人體 重減少的原因? 體重是否有可能減輕至零? 4. 不論是觀看美國職棒或世界杯足球賽, 這些不在臺灣的運動比賽, 常常需要同步衛星傳送訊號, 才能使臺灣或世界各地的人一起觀賞精彩的節目, 這樣的轉播是否僅用一個人造同步衛星即可呢? 這樣的訊號是否可以直接傳遞至地表上任一角落? 5. 依據牛頓萬有引力定律是否可以將地球表面的重力場看成均勻的重力場, 也就是 量值相同 方向也相同? 6. 請翻閱基礎物理 ( 一 ) 第三章, 試以牛頓萬有引力定律解釋克卜勒三大行星運動定 律
29 68 基礎物理 ( 二 )B 基礎題 7-1 萬有引力定律 1. 如圖所示, 全球衛星定位系統 GPS 的設備, 在太空單元指的是 : 太空中共有二十八個人造衛星 ( 含正常運轉之二十四個與備用之四個衛星 ), 分布在六個夾角各為 60 環地近似正圓的軌道面, 距離地球表面 0000 公里之上空, 以每 1 小時繞行地球一周, 不斷發射無線電波由地面控制站來接收 而今以 7 天來當月球繞地球公轉週期, 來估算此兩者的軌道半徑比, 則月球的軌道半徑約為 GPS 衛星的幾倍?. 如圖所示, 在半徑為 R 的圓上, 每隔 60 固定放置一 質量為 m 之質點, 而在通過圓心 O 的 z 軸距圓心 處有一質量為 M 的質點, 則該質點所受的萬有引力 ( Fx, Fy, F z ) 為何? R. 令月球質量為 M, 則地球質量約為 81M 設兩者相距為 d, 一火箭在兩星球的連 心直線上, 若二星球對火箭之引力量值相同, 此時火箭與月球距離為 a, 則 a 等 d 於 (A) 10 (B) 9 d (C) 8 d (D) 7 d () 6 d
30 第 7 章萬有引力定律 自地面鉛直向上發射一質量為 M 重量為 W 的火箭, 當距地面 h 高度時, 其質量 剩下 M W, 重量變為, 則 h 為地球半徑之若干倍? 若各行星繞質量 M S 之太陽運轉時, 其克卜勒行星第三定律中之比例常數為 K S, 而各人造衛星繞質量 M 之地球運轉時之常數為 K, 則 K S K? 7- 地球表面的重力與重力加速度 6. 假設萬有引力係與兩物體間距離之立方成反比 如以 R 及 T 分別代表行星繞日作 圓周運動時之軌道半徑及週期 則下列各種比值中何者對所有行星而言均相同? R (A) T R (B) T (C) R T (D) R T 7. 某星球之質量約為地球的 10 倍, 半徑為地球的一半, 若某大砲在地球表面上可射 至高 400 公尺處 ( 不計阻力 ), 則在該星球表面上可射多高? 8. 某星球其平均密度與地球相同, 半徑則為地球之兩倍, 在地球上重量為 64 公斤重 的人到該星球上時其重量為何?
31 70 基礎物理 ( 二 )B 7- 行星與人造衛星 9. 已知甲衛星以離地 公里繞地球作圓周運動, 乙衛星以離地 公里繞地球作圓周運動, 如圖所示, 則下列有關甲 乙衛星的敘述何者正確? (A) 甲衛星的向心力為乙衛星的兩倍 (B) 甲衛星繞地球一周的週期大於乙衛星繞地球一周的週期 (C) 甲衛星與地球間的萬有引力為乙衛星與地球間的萬有引力的 4 倍 (D) 甲 乙衛星上的太空人, 若腳下置一個磅秤, 則磅秤的讀數為零 () 甲衛星處的重力加速度為乙衛星處的重力加速度的兩倍 10. 質量均為 m, 且兩兩相距 L 之三個星球成一獨立系統而環繞共同質心運轉, 則運 轉的角速度為何? 11. 如右圖, 設地球為正圓形且半徑為 R, 自轉週期 T, 則質量 m 之物體.. (1) 在赤道與南北兩極兩個地點, 何者重量較輕? () 兩處的視重相差若干牛頓?
32 第 7 章萬有引力定律 已知某行星自轉週期為 T 半徑為 R 環繞它的某一衛星之圓軌道半徑為 R 繞行 週期為 8T 則環繞該行星運行的同步衛星, 其圓軌道半徑應是多少? (A) 16R (B) 8R (C) 4R (D) 8 R () R 100 指考 綜合題 1. 在空間中有一質量 m 1 的物體與另一由兩個 m 連結 的物體, 雙 m 物體的質心與 m 1相距為 R, 且 m 與 m 相距為 d, 如圖所示 則雙 m 系統與 m 1之間的萬 有引力量值為何? 當 d R 時又為何?. 如右圖, 半徑 R 之鉛球鏤空成一空心球形, 鏤空部 分的半徑為 R, 且鏤空部分的表面與外表接觸, 並 通過鉛球中心 鏤空前球的質量為 M, 則鏤空後距 球心 R 處, 質量 m 的物體所受萬有引力的量值為 何?. 如右圖 ABCD 是邊長為 a 的正方形, 於 B C D 處各有質量為 m 之物體, 求三個物體對 A 點造成的 重力場強度
33 7 基礎物理 ( 二 )B 4. 外太空中有相距 d, 質量分別為 m 及 m 的雙星, 在同一平面上互繞其共同質心作等速圓周運動, 如圖所示, 試求 m 之 (1) 軌道半徑 () 加速度量值 () 速度量值 (4) 週期各為何? * 5. 地球半徑約為 公里, 若地球自轉加快, 而使赤道上的物體重量為實際重量的一半, 則地球自轉角速度約為多少弧度 / 秒? 6. 假設太陽系又發現一新行星, 公轉方向與地球相同, 此星每與地球之距離達到最 接近須相隔 7 年, 若兩者之軌道皆為圓形, 則此行星的公轉週期為多少年? 6 題組 人類在地表 ( 重力加速度為 g) 的狀態下, 人和其內臟的支持物受到壓力, 這會使人體組織發生一定的變形, 如脊柱的彎曲 軟骨被壓縮等 但當重力場量值改變時, 人類的身體會無法適應, 而不同的星球產生的表面重力場也可能不同 若某星球之質量約為地球的 10 倍, 半徑為地球的一半, 則 : 1. 此星球表面重力場量值約為地球表面重力場量值的多少倍? (A) 10 (B) 0 (C) 0 (D) 40 () 50. 若某大砲在地球表面上可射至高 800 公尺處 ( 不計阻力 ), 則在該星球表面上可射多高? (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 0 () 5 公尺
主題一 : 重力 一 牛頓萬有引力定律. 牛頓萬有引力定律 : 宇宙間的任何兩個質點間都具有相互吸引之力 ( 萬有引力 ), 且其大小與兩質點質量的乘積成正比, 而與其間距離的平方成反比 F F F G. 思考 : G 為萬有引力常數 ( Nt /k ), 經英國科學家卡文迪西利用扭
重 力 項少龍老師 項少龍老師 主題一 : 重力 一 牛頓萬有引力定律. 牛頓萬有引力定律 : 宇宙間的任何兩個質點間都具有相互吸引之力 ( 萬有引力 ), 且其大小與兩質點質量的乘積成正比, 而與其間距離的平方成反比 F F F G. 思考 : G 為萬有引力常數 (6.67 0 - Nt /k ), 經英國科學家卡文迪西利用扭秤實驗測出 經由微積分推導, 萬有引力定律亦適用於兩均勻球體 ( 球殼
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4-1 萬有引力定律 4- 地球表面的重力與重力加速度 4-3 行星與人造衛星 萬有引力 抬頭仰望點點繁星和偶然劃過天際的流星, 俯拾起身邊翩然飄落的楓葉, 訴不盡的 詩情畫意, 終歸都是自然的運作 本章將介紹存在於天地萬物, 無時無刻存在我們身邊的萬有引力 學完本章你將了解無論是宇宙星辰的運行, 生活中柴米油鹽的斤兩, 或是在現代社會中扮演了重要角色的人造衛星, 都可以用萬有引力來解釋呢 CHAPTR
精選題庫 & 解析 4 隨時切線加速度和法線加速度均不為零 (D) 隨時都有法線加速度, 但切線加速度有時為零 () 隨時 都有切線加速度, 但法線加速度有時為零 8. 如附圖示為一行星繞恆星作橢圓運動, 行星經過圖上哪一點時所受的萬有引力最小? () (B) B (C) C (D) D () 9.
40 精選題庫 & 解析 第 7 章萬有引力 7- 萬有引力定律 ( 試題 ) 單一選擇題. 設地球的半徑為 e, 則距地心為 e 與距地表高度為 處相同的兩物, 其重量比為何? (): (B) : (C) 4:9 (D) : () 9:6 e. 甲星球質量為乙星球質量的 6 倍, 兩者連心線長為 a, 現有一火箭恰運行至此連心線上距離甲星球中心 b 時, 兩星球對火箭之引力和恰為零, 則 a 為
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3 校清 第九章萬有引力 1. 一衛星環繞一行星做橢圓軌道的運動, 設此衛星至行星最遠距離與最近距離的比為 4:1, 則相應的角速度大小之比為 (A) 16:1 (B) 2:1 (C) 1:2 (D) 1:4 (E) 1:16 (E) 解析 : 由 2. 設一人造衛星以圓形軌道繞地球運行, 其軌道半徑為月球軌道平均半徑的, 則此衛星繞地 球之週期 (A) 在一至四天之間 (B) 在四至八天之間 (C)
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
現在人類獲取地球內部訊息的方法, 是從可能影響我們身家性命安全的地震, 用數學模型把地震資料轉換成地震波速度, 進而獲得地底物質密度與深度的關係 地下世界知多少 km/s g/cm 3 P Gpa km S P S 3,000 3,000 ak K 透視地底 Percy Bridgma
透視地球深處 的窗戶? extreme condition extreme environment 94.5 1 270 21 3.9 12.3 6,400 300 4,000 1864 Jules Gabriel Verne 1959 2008 1990 Paul Preuss 2003 24 2013 2 482 現在人類獲取地球內部訊息的方法, 是從可能影響我們身家性命安全的地震, 用數學模型把地震資料轉換成地震波速度,
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第八章轉動運力學 1. 繫一質量為 m 的小物體於通過空心管之線, 以一手持管另一手持線, 令物體以 v 1 的速率在半 徑為 r 1 的圓周上轉動 空心管與線之摩擦不計將線往下拉使物體旋轉之半徑減小為 r 2, 則該物 體的切線速率 v 2 為 (A) (C) (D) 難易度 : 解答 : 解析 : 因力矩 =0, 故角動量守恆 2. 一人站在無摩擦且正以 2 轉 / 秒之角速度轉動之轉臺上, 伸直兩臂,
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
司工 {:Jtizi
第六章 司工 {:Jtizi P 街游 ~O((/2 萬有引力定律 ~ 1... 續 56 - 句 1. 克 勒行星定, 主 j :~m.'_:{_[1j 蘭 l (1 ) 第一定律 ( 軌道定律 ) : 每一行星均運行於楠 圓形的軌道上, 太陽的位置為此椅圓的 風會 長 之一 行星到太陽的距離並不是 的 行星繞太陽運動時作 動 愛違章 一述三 行星繞太陽時所受的引力 F 指向焦趴 ~t2 點, 故非為一街心力
第二節 研究方法 本論文第一章 緒論 說明研究動機與目的 研究方法及研究的範圍及限制 並對 飲食散文的義界 作一觀念的釐清 第二章 文獻探討 就將本研究的理 論建構中的概念作釐清 分別為 現代文學 飲食文學的重要論著 等兩個部 分來描述目前文獻的研究成果 並探討其不足待補述的地方 本研究以 文化研 究 為主要研究基礎 統攝整個研究架構 在不同章節裡 佐以相關研究方法進 行論述 茲圖示如下 研究方法
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
10 6, 地球的熱循環
52 2013 4 484 人類活動與 地球熱循環 46 不斷追求進步的我們, 殊不知在迅猛發展的同時, 已經陸續對地球的整個環境生態引爆一顆顆不定時炸彈, 所造成的傷害正逐漸擴大並增強中 10 6,000 500 地球的熱循環 3 2013 4 484 53 54 2013 4 484 工業革命後, 人類活動產生的熱迅速增加, 使地球原本趨於最適合人類活動的熱平衡必須重新調整 環境變遷 18 280
1970 新技術的應用 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X
凡發生過的必留下痕跡 同位素分析的考古應用? 如何考古 06 2013 9 489 經由人骨中碳和氮同位素的分析, 提供考古學家另一個探討古代攝食系統的途徑 另外, 可以藉由鍶同位素分析了解人群的來源與遷移過程 1970 新技術的應用 13 15 13 12 15 14 13 15 13 12 15 13 15 13 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X 2013 9 489 07 δ
f n kg 1 J 1 2 A 5 B 0.05 C D E A B C D E ppb ppb parts per billion ppb A 1 µg 1
自然101 學年度全國公私立高級中學 學科能力測驗模擬考試 自然考科 作答注意事項 考試範圍 : 高一 ~ 高二考試時間 :100 分鐘題型題數 : 第壹部分共 40 題 第貳部分共 28 題作答方式 : 用 2B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 參考資料 : 重力加速度 g=10 m s 2 克卜勒行星第三定律 : R3 = 定值 T 2 正面彈性碰撞公式
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
99 1 20045377 45 Wocester Galileo Galilei Heinrich Schwabe 11 46 20045377 Motorola http://sohowww.nascom.nasa.gov/data/summary/gif/031030/smdi_igram_fd_20031030_0800.gif SOHO 47 20045377 150 Cuno HoffmeisterLudwig
6 2012 8476你猜得到它是什麼嗎 它就是 高分子! 生活中的高分子 有種物質的重要性不亞於我們所呼吸的空氣, 不管身在何處, 都有它的存在, 它甚至就隱藏在人體裡面! 人類若失去了它, 就得回到遠古時代, 甚至可能終止生命 高分子是什麼 高分子是由千個 甚至萬個以上的原子所組成, 呈現柔軟的特性 日常生活中使用的塑膠袋就是由高分子製造的, 人體組成中的 DNA 也是一種高分子 2012 8476
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
Microsoft Word - ok翁志文、張佳音...doc
1 壹 研究動機 一般而言 傳統大三弦琴碼的擺放位置 圖 1 大約在琴鼓下方 由下往 上三分之一的地方 約 8.5 公分 但是這種擺法 學生在初學大三弦時 左手 常伴隨著指距較大 音準較難以掌握的困擾 為解決這個技巧上的問題 必須不 斷練習將手指指距撐開 並在琴桿上做記號來加以輔助 圖 1 傳統琴碼三分之一的擺放位置 8.5 公分 目前 北京中央音樂學院談龍建教授 採取將琴碼位置 往上移至 五度音
01 用 ActionScript 3.0 開始認識 Flash CS3 Flash 是應用在網路上非常流行且高互動性的多媒體技術, 由於擁有向量圖像體積小的優點, 而且 Flash Player 也很小巧精緻, 很快的有趣的 Flash 動畫透過設計師的創意紅遍了整個網際網路 雖然很多人都對 Fl
01 用 ActionScript 3.0 開始認識 Flash CS3 Flash 是應用在網路上非常流行且高互動性的多媒體技術, 由於擁有向量圖像體積小的優點, 而且 Flash Player 也很小巧精緻, 很快的有趣的 Flash 動畫透過設計師的創意紅遍了整個網際網路 雖然很多人都對 Flash 可以做精美的網路動畫並不陌生, 但是實際上 Flash 不僅如此, 只要搭配 ActionScript
標題
從奇異的行星逆行到日心說的建立 錢宜新姚珩 國立台灣師範大學物理系 摘 要 行星的逆行運動, 對舊天文學的托勒密系統來說, 是個困擾的問題 ; 但對 哥白尼而言, 它反而利用了此複雜現象, 加上簡潔的論述, 決定出天球的 層次, 完成了簡單 和諧 對稱與均勻的 日心說 一 前言 地心說與托勒密系統 農業時代人們日出而作, 日落而息, 認為太陽的升落從不停歇, 且相信月亮與其他星辰也都是以地球為中心在運轉著,
１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８９０１２３４５６７８
74 第 5 章直線運動 第 5 章直線運動 一 自我評量 一 選擇題 題前標註 *, 表示重要且常考的題目 5-1 運動的種類 ( A )1. 作等速運動的物體, 下列何者正確? (A) 必沿直線進行 (B) 必沿曲線進行 (C) 必沿圓周進行 (D) 可沿直線或曲線進行 ( D ). 速度與時間之關係如圖 (1) 所示, 則其為 (A) 等加速度運動 (B) 變形之等速運動 (C) 等加速度運動及等減速度運動
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
一 以下是相關的理論及觀測發展, 同時簡單介紹在教學過程中發現的不均勻重力場的一種推廣高斯定律嘗試性假設, 這假設可用來解釋在盤狀星系為何克卜勒第三定律不適用 本文 : 一. 四百年前的一場革命 : 從地心說到日心說 尼古拉 哥白尼 (1473~1543) 在所著 " 天體運行論 " 中提出了地球繞
題目 : 行星運動定律四百年 摘要 : 在物理發展歷史的教學中, 克卜勒行星運動定律扮演了承先啟後的重要角色 前有革命性的哥白尼的日心地動說, 後則啟發牛頓推導萬有引力定律, 在高中物理教學是必修的基礎內容 在第三定律發表即將屆滿四百年的此時, 天文物理學儼然又再度面臨了重大挑戰, 筆者值得向學生介紹這個問題的發展現狀 天文學家發現在盤狀星系中運行的恆星並不遵守克卜勒第三定律 ( 簡稱週期定律 )
戒菸實務個案自助手冊105年Ver.2
本計劃經費來自 品健康福利捐支應 衛生福利部國民健康署 我 名字 為了 以下理由 1. 2. 3. 4. 5. 決定從 年 月 日起 簽署人 (簽章) 見證人 (簽章) 年 月 日 a 準備戒 V 環境的準備 排除讓自己想吸 自己戒 的環境 V 心理的準備 瞭解自己的吸 的環境 建立能提醒 行為 強化戒 決心 V 身體的準備 評估身體的尼古丁依賴度 必要時找尋 藥物降低戒 戒 的難度
经 辽 宁 省 中 小 学 教 辅 材 料 评 议 委 员 会 2013 年 评 议 通 过 TBLX 图 书 在 版 编 目 渊 CIP 数 据 新 课 程 物 理 能 力 培 养 院 北 师 大 版. 八 年 级. 上 册 / 能 力 培 养 编 写 组 编. 要 沈 阳 院
经辽宁省中小学教辅材料评议委员会 2013 年评议通过 TBLX201305127 能力培养编写组 编 八年级 上册 北师大版 北方联合出版传媒 渊集团 股份有限公司 辽海出版社 经 辽 宁 省 中 小 学 教 辅 材 料 评 议 委 员 会 2013 年 评 议 通 过 TBLX201305127 图 书 在 版 编 目 渊 CIP 数 据 新 课 程 物 理 能 力 培 养 院 北 师 大 版.
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13
12 科學發展 2012 年 12 月,480 期 你可能不知道的媒體影響 劉正山若用 選戰 的角度來看選舉和參與選舉, 你大腦裡情感的作用一定大過理性的作用, 便會很習慣地拿各種媒體或別人的觀點來使自己的選擇合理化 2012 理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13 14 科學發展 2012 年 12 月,480 期 agendasetting 報紙和網路新聞的頭版空間有限,
01.dvi
物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt
4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
TYPE AND PARTS SELECTION OF ALUMINUM FRAME TOLERANCE OF ALUMINUM FRAME 鋁擠型專用資訊頁容易搜尋! 刊載多項技術資訊與使用範例! MISUMI
TYE ND RTS SEECTION OF UMINUM FRME TOERNCE OF UMINUM FRME 容易! 刊載多項技術資訊與使用範例! Q HFS HFS 6N01SST5 HFS84040 HFSB84040 CF84040 HFSY84040 HFS84040 6N01SST5 HFSB84040 NFS NEFS NFS 6063ST5 6063ST5 HFSEFS NEFS84040
在餐點設計時, 往往會運用不同的質地做搭配, 以達到食用者口感的最佳平衡與變化
百變的 廚房世界 廚藝與感官的饗宴 5 26 2014 2 494 在餐點設計時, 往往會運用不同的質地做搭配, 以達到食用者口感的最佳平衡與變化 2014 2 494 27 28 2014 2 494 食物的物理變化 5 廚房好比是一個食物實驗室, 運作時, 都在進行無數的物理與化學變化, 才能把樸實的原料食材轉為一道道令人驚嘆的美味 食物的化學變化 C 2014 2 494 29 62 65 廚房的魔術秀
的友誼 而且無論外貌怎樣改變 自信心是自己給自己的 發自內心 的自我認同感是無法改變的 只要自我認同才能得真正的心靈富足 而不是單純的改變外表 不同的整容公司亦會利用現今社會的價值觀來作宣傳 誇大整容 後的效果 又用明星效應 令消費者認為整容真的能變成明星一樣 整容這個風氣是由人們的價值觀造成的 有人指出 我們要接納 整容後的人以及香港社會應對此持更開放的態度 但相反地 為什麼 不能接納那些我們認為不
SW cdr
1~2 3 4 5~6 7~8 9~10 11 12 13 14 15 16~18 16 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 21 22 23~26 23 24 24 25 26 27 27 27 : 110V 1 110V 110V 15A 2 3 23 24 4 ( ) 5 6 1 2 26 20 l 1 7 3 4 5 15 17 18 12 7~13 6 ~ 8 ~
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
男人的大腦 女人的大腦
46 2014 6 498 男女大乾坤 男女的戀愛行為 男人的大腦 女人的大腦 2014 6 498 47 48 2014 6 498 女人的戀愛行為 70 900 男人的戀愛行為 8 2014 6 498 49 50 2014 6 498 對於愛與性的混淆 男女所面臨的問題 和我一樣喜歡做愛除了我, 不可以看別人相信我, 沒有問題現在, 和我做愛知道如何引燃我從不傷害我 朋友關係和性 嫉妒和占有欲
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抗 衰 老 食 疗 食 谱 第 十 一 章 老 年 营 养 保 健 第 一 节 老 年 人 注 意 保 肾 饮 水 注 意 : 人 体 内 许 多 有 毒 的 代 谢 产 物 主 要 经 肾 脏 排 泄 因 此, 保 持 一 定 的 饮 水 量 是 很 重 要 的, 每 日 饮 水 1500-2000 毫 升 为 宜 即 使 口 不 渴, 也 应 适 当 饮 水, 夏 日 或 汗 多 时, 应 增
7. 如右圖所示, 物體 A 置於水平地面, 再將 B 置於其上 今施一向右之力 F 於物體 A 上, 已知 A B 兩物體在水平面上做等速運動, 則下列敘述何者正確? (A) 物體 A 受到地面動摩擦力 (kinetic friction) 方向向左 ; 物體 B 受到 A 的動摩擦力 (kine
1 0 6 學年度海外聯合招生考試試題科目 : 物理 韓國 請作答於答案紙上 一 單選題 :30% ( 每題 2 分, 共 15 題 ) 1. 以等速度 (constant velocity) 向上提高的物體, 請問物體的力學能 (mechanical energy) 將會 : (A) 動能漸增, 而位能漸減 (B) 位能漸增, 而動能漸減 (C) 位能不變, 而動能漸減 (D) 動能 位能皆漸增
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前言 Excel Excel - v - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 5 相關 平衡 敏感 - vi - 前言 模擬 If-Then 規劃 ERP BI - vii - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 ERP + BI + ERP BI Excel 88 Excel 1. Excel Excel 2. Excel 3. Excel - viii - 前言 1.
生與死的尊嚴 生與死的尊嚴
生與死的尊嚴 目錄 生與死的尊嚴 2 認識生命的實相 3 生從何處來? 死往何處去? 8 佛教徒的生死觀 10 如何面對死亡? 如何使得死亡有尊嚴? 20 生與死的尊嚴 生與死的尊嚴 認識生命的實相 認識生命的實相 ( 一 ) 由生命的無奈 無所依賴及無所適從, 轉變為生命的可愛 可貴與自我的肯定 ( 二 ) 生命的出生與死亡, 關係密切, 不可分割 出生之時已確定了死亡的必然到臨 生未必可喜, 死未必可哀,
章節
試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
kg/m3 1.55g/cm3 m3 580kg 37.42% %
2001 http://www.ccdn.cn 60 1 1 A B C D 2 A 3 4 14 5 6 7 16 14 12 10 8 9 10 11 12 13 700kg/m3 1.55g/cm3 m3 580kg 37.42% 45.16 54.84 62.58 14 15 15 15 15% 15 15% 15 16 235 17 18 45~390min B45~600min C25~390min
Chapter 3 Camera Raw Step negative clarity +25 ] P / Step 4 0 ( 下一頁 ) Camera Raw Chapter 3 089
![Chapter 3 Camera Raw Step negative clarity +25 ] P / Step 4 0 ( 下一頁 ) Camera Raw Chapter 3 089](/thumbs/50/27027900.jpg "Chapter 3 Camera Raw Step negative clarity +25 ] P / Step 4 0 ( 下一頁 ) Camera Raw Chapter 3 089")
Photoshop CC Camera Raw Photoshop Camera Raw Step 1 3 1 2 3 SCOTT KELBY Step 2 B Camera Raw 088 Chapter 3 Camera Raw Chapter 3 Camera Raw Step 3-4 -100 negative clarity +25 ] P / -75-50 Step 4 0 ( 下一頁
所 3 學 分 課 程, 及 兩 門 跨 領 域 課 程 共 6 學 分 以 上 課 程 學 生 在 修 課 前, 必 須 填 寫 課 程 修 課 認 定 表, 經 班 主 任 或 指 導 教 授 簽 名 後 始 認 定 此 課 程 學 分 ) 10. 本 規 章 未 盡 事 宜, 悉 依 學 位
95 年 訂 定 96 年 11 月 修 正 97 年 10 月 修 正 100 年 2 月 修 正 101 年 4 月 修 正 102 年 1 月 修 正 103 年 4 月 修 正 103 學 年 度 入 學 新 生 適 用, 舊 生 可 比 照 適 用 1. 研 究 生 須 於 入 學 後 第 二 學 期 開 學 前 選 定 指 導 教 授, 經 課 程 委 員 會 認 定 後 方 得 繼 續
初 啼 八 集 2006 至 2007 年 度 出 地 版 : 伯 特 利 中 學 址 : 元 朗 錦 繡 花 園 F 段 第 四 街 11 號 電 話 :2471 2622 傳 真 :2471 5171 製 作 : 同 理 心 創 念 有 限 公 司 出 版 日 期 :2007 年 7 月 序 初 啼, 是 由 本 校 中 文 科 和 活 力 組 合 辦 的 文 集, 提 供 給 學 生 發 表
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1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能 整除 因此後玩 者贏 且關鍵數 字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍 數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵 數字是 6的倍 數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為7
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在 2012 年 6 月 6 日早上 6 時 12 分至中午 12 時 49 分, 在香 港可觀察 金星凌日 (Transit of enus) 天文現象 上次出現是 2004 年 6 月 8 日 根報道, 下次是 2117 年 試回答 (1) 金星與太陽的直徑比大約是 115:1 但相片中的小黑點與太陽的直徑不合此比例, 為甚麼? (2) 為甚麼出現的週期不是固定 8 年, 而是 8 年後又百多年?
contents K 0.9K 05 () 0.9K 3.2K K 9.8K K 20.6K K 28.9K K 41K
contents 01 20 0K 0.9K 05 () 0.9K 3.2K 06 07 3.2K 9.8K 08 09 10 9.8K 20.6K 11 12 13 14 15 70801 6 06 299 1111 16 17 20.6K 28.9K 18 19 20 308 28.9K 41K 21 22 23 41K 52.5K 24 25 22 6 06 272 6988 fl jintainan@gmail.com
虎克定律實驗 楊勝斐
虎 克 定 律 實 驗 楊 勝 斐 1. 目 地 : 測 試 彈 簧 的 虎 克 定 律, 並 從 彈 簧 作 簡 諧 運 動 的 特 性, 以 求 其 彈 性 係 數. 儀 器 : 彈 簧 一 條, 砝 碼 一 組, 虎 克 定 律 儀 一 組, 碼 錶 一 個, 米 尺 一 支 圖 1. 虎 克 定 律 儀 器 全 圖 與 零 件 圖 1 圖. 彈 簧 受 外 力 產 生 反 彈 力 與 變 形
UDC
Technical specification for safety operation of construction machinery JGJ 33 2001 J 119 2001 2001 1 Technical specification for safety operation of construction machinery JGJ 33-2001 : :2001 11 1 2001
CU0594.pdf
8 SOHO 1 3 003 SOHO SOHO Coder Programmer HTML CSS PHP JavaScrip 009 LECTURE 1-1 1 048 PART 2 LECTURE 1-1 1 049 SOHO Landing Page Landing 050 PART 2 LECTURE 1-1 1 SEO SEO P.093 SEO SEO SEO SEO SEO 051
40/60 AM Cardio 40/60 ... 4 Cardio 40/60... 4... 5... 5 :... 5... 5... 6 : Cardio 40/60... 6 / (Cardio 40)... 6 / (Cardio 60)... 6 :... 6 : GPS... 7 : Brytonsport.com... 8... 9 :... 9 GPS... 10... 11
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
本章綱要 -1 節點電壓法 -2 迴路電流法 -3 重疊定理 - 戴維寧定理 -5 諾頓定理 -6 戴維寧與諾頓等效電路之轉換 -7 最大功率轉移定理 Chapter 直流網路分析 0626-0.indd 125 2009/11/10 下午 0:58:09
ELECTRICITY ELECTRICITY BASIC BASIC 本章學習目標 1. 利用節點電壓法分析各支路的電流 2. 利用迴路電流法分析各迴路的電流 3. 瞭解重疊定理在多電源電路的應用. 利用戴維寧與諾頓定理化簡電路 5. 瞭解戴維寧與諾頓等效電路的轉換 6. 學習負載如何在電路中獲得最大的功率轉移 0626-0.indd 12 2009/11/10 下午 0:58:02 本章綱要 -1
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
96 掉落, 乃是基於同樣的萬有引力 請說明牛頓的推導過程 (Hint: 利用陰曆月亮繞地球的週期 T 為 7.3 天與上題月球和地球的距離為 m 來推導 ) 要正確解答以上題目, 學生不只要學會自由落體加速度 g 牛頓第二運動定律 F=ma 與等速率圓周運動向心力 v F = m
物理教育學刊 009, 第十卷第一期, 95-6 重力 教學的困境與突破 陳瓊森 教學心得 顧炳宏 楊孟欣 邱 儀 國立彰化師範大學物理系 國立彰化師範大學科學教育研究所 壹 重力 教學的困境突破 牛頓運動定律和萬有引力 ( 重力 ) 構成力 學的兩個主要部份, 牛頓運動定律在日常生活中就很容易觀測, 也就比較容易設計教學所需的實驗或活動, 但萬有引力僅在至少其中一個作用體為星體時才容易觀測到, 因此
2 3 13 17 22 26 1 2 8 100738 +86 (10) 8508 5000 +86 (10) 8518 5111 www.kpmg.com.cn 2006 4 2002 2006 1 28% 2006 17 8 500 2006 2006 2006 7 2.5 2 1 500 500 40% 500 10 16 14 12 10 8 6 4 2 2002-2006 5.1 5.9
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第 5 章功與能量 5-1 單選題 1. 質量 m 的物體作自由落體, 重力加速度 g, 則第 t 秒內重力所做之功為 (A) (B) (C) (D) (E) 難易度 : 解答 :(A) 第 t 秒內所走的距離為 則所做的功 故正確選項為 (A) 2. 一鐵鍊置於光滑水平桌面上, 其長度垂直懸於桌邊, 若鍊長質量 m, 欲將鍊子全部拉回 桌面需做功多少? (A) (B) (C) (D) (E) 解答
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Cateian Cylindial ˆ= xˆ o + yˆin ˆ = ˆ = xˆin+ yˆ o + = Cylindial to Cateian: ˆ ˆ x o in 0 y in o 0 = 0 0 Cateian to Cylindial: + = + xˆ yˆ o in 0 x = in o 0 y 0 0 Cylindial Spheial ˆ = ˆ + ˆ = ˆ = xˆ
構構構成成成成繞行主題一 : 宇宙的觀測與結構 一 天文望遠鏡 1. 天文望遠鏡之觀察波段可分為 : (1) 無線電波望遠鏡 (2) 紅外線望遠鏡 (3) 可見光光學望遠鏡 (4) 紫外光望遠鏡 (5) X 射線望遠鏡 (6) γ 射線望遠鏡 2. 思考 : 宇宙中的電磁波除可見光與無線電波段外,
宇宙的觀測與結構 項少龍 老師 構構構成成成成繞行主題一 : 宇宙的觀測與結構 一 天文望遠鏡 1. 天文望遠鏡之觀察波段可分為 : (1) 無線電波望遠鏡 (2) 紅外線望遠鏡 (3) 可見光光學望遠鏡 (4) 紫外光望遠鏡 (5) X 射線望遠鏡 (6) γ 射線望遠鏡 2. 思考 : 宇宙中的電磁波除可見光與無線電波段外, 其他波段之電磁波皆會因大氣 吸收作用而不易到達地面 因此其它波段之觀測必須仰賴太空望遠鏡之觀測
In this lecture you ll learn 簡介 The concept of force and its role in causing changes in motion 力之觀念, 力與運動的關係 The fundamental forces of physics 自然界的基本力
Chapter 4 Lecture Essential University Physics Richard Wolfson 2 nd Edition 第 4 章 Force and Motion 力與運動 2012 Pearson Education, Inc. Slide 4-1 In this lecture you ll learn 簡介 The concept of force and its
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
山东水土保持规划
( 征 求 意 见 稿 ) 组 织 单 位 : 山 东 省 水 利 厅 承 担 单 位 : 二 〇 一 五 年 九 月 前 言 水 是 生 命 之 源, 土 是 生 存 之 本, 水 土 是 人 类 赖 以 生 存 和 发 展 的 基 本 条 件, 是 不 可 替 代 的 基 础 资 源 水 土 流 失 破 坏 耕 地 堵 塞 河 道 淤 积 水 库 污 染 水 质 生 态 失 调 加 剧 干 旱
向量的意義 4 向量 向量的意義 : (1) 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段, 稱為向量 AB (2) 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ), 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同, 則稱此 (3) 向量的相等 : 若向量
98 4- 向量的意義 4 向量 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 零向量的長度為
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第 一 部 份 : 基 本 電 學 1. 仟 瓦 - 小 時 是 指 下 列 何 種 單 位? (A) 無 效 功 率 (C) 電 能 消 耗 量 (B) 有 效 功 率 (D) 電 能 消 耗 速 度. 有 相 同 材 料 製 成 的 甲 乙 兩 條 導 線, 假 設 導 線 甲 的 長 度 為 導 線 乙 的 倍, 導 線 甲 的 直 徑 為 導 線 乙 的 一 半, 若 導 線 乙 的 電 阻
基礎物理 _A_ 第六章碰撞 ( 二 ) 彈性正向碰撞的特例討論 : A 蚊子撞大象: () 極輕的物體 A 物體以 v 的速度碰撞極重且原為靜止的 B 物體, 此時 m, 因此可將 m 視為零 0- () 蚊子 ( 極輕的物體 ) 的速度 u= v= v=-v 0+ m 0 大象 ( 極重的物體
基礎物理 _A_ 第六章碰撞 重點內容 6- 彈性碰撞 ( 一 ) 彈性碰撞 : A 碰撞的種類: () 兩物體在碰撞前後的運動方向 ( 速度 ) 始終維持在同一直線上, 此時兩物體質心的連線與碰撞點在同一直線, 我們稱此種碰撞為 正向碰撞, 由於碰撞前後始終維持在同一直線上的運動, 因此也稱為 一維碰撞 () 若兩物體在碰撞前質心的運動方向 ( 速度 ) 不在同一直線上, 則兩物體在碰撞後的運動方向會沿著同一平面上的不同的方向,
Week_8_SolarSystem.ppt
#$$%&'"!"#$%"!" !!!!!!!! (" )" !!! "!!!!!! # *" #!!!!!!!!!!!!! +" Mercury surface 缺觀測資料 Data gap &'()Mean radius * 0.38Re +,-.()Mean distance from the Sun ~ 0.387AU/! (1AU = 012/Mean distance between Sun
Microsoft PowerPoint - 第4章 营养调查.ppt
第 四 章 营 养 调 查 一 概 述 ( 一 ) 定 义 营 养 调 查 (Nutritional survey): 运 用 科 学 手 段 来 了 解 某 一 人 群 或 个 体 的 膳 食 和 营 养 水 平, 以 此 判 断 其 膳 食 结 构 是 否 合 理 和 营 养 状 况 是 否 良 好 ( 二 ) 营 养 调 查 的 目 的 了 解 不 同 地 区 不 同 年 龄 组 人 群 的
(6) 質量為 m 的流星離地球之距離為 R, 則他的動位能為 (G 為萬有引力常數,M 為地球質量 ): A comet of mass m is a distance R away from the earth then its gravitational potential energy is
适用的常數表 List of useful constants 光速 Speed of light: c = 3x10 8 m/s 普朗克常數 Plank constant: h = 6.626x10-34 Js 重力加速度 Gravitational acceleration on earth: 水的比熱 Specific heat of water: c water = 4180 J/kg.K
AutoCAD 用戶如何使用 ArchiCAD
AutoCAD 用戶如何使用 ArchiCAD AutoCAD用戶如何使用ArchiCAD ( 中文版 ) 由 Scott MacKenzie, Simon Gilbert, Geoffrey Moore Langdon, David Byrnes, Ralph Grabowski 編寫 龍庭資訊有限公司 1/73 - 2. 3. 4. -
Microsoft PowerPoint - 赣江流域规划修编简介.ppt [Compatibility Mode]
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赣 江 流 域 规 划 修 编 简 介 主 讲 人 : 李 明 辉 目 一 赣 江 流 域 概 况 二 流 域 开 发 现 状 及 存 在 问 题 录 三 流 域 规 划 的 指 导 思 想 与 原 则 四 流 域 规 划 的 目 标 与 任 务 五 流 域 总 体 规 划 1 一 赣 江 流 域 概 况 赣 江 是 鄱 阳 湖 水 系 的 第 一 大 河, 也 是 长 江 的 大 支 流 之 一
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3452015.11 CONTENTS 80633 00007134 10461 49 6-1 022597-4868 022597-5028 E-mailpr@mustard.org.tw www.mustard.org.tw 022244-7000 01 03 05 07 08 09 11 12 14 16 18 19 20 21 KKBOX 319 1 2015 8 11 10 28 12
封面(彩色)：套「Teach教學誌」刊頭，加插圖設計
物 理 考 科 05 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析 前 言 一 今 年 物 理 科 考 題 共 6 題, 與 去 年 的 配 分 情 況 相 較 會 發 現, 今 年 的 高 二 力 學 比 例 較 高, 波 動 光 學 的 比 例 較 低, 且 整 體 題 目 難 度 與 去 年 相 較 差 距 不 大, 為 適 中 具 鑑 別 度 的 考 題 05 與 04 年 試 題 配 分 分 布 如
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研 習 完 本 章, 將 學 會 1. 節 點 電 壓 法 --------------------------------------------01 2. 節 點 電 壓 法 之 特 例 -----------------------------------------08 3. 網 目 分 析 法 --------------------------------------------15 4.
攜手拼出圓滿的幸福 2
國立台灣師範大學家庭教育研究與發展中心編撰教育部出版中華民國 96 年 9 月 攜手拼出圓滿的幸福 2 國立台灣師範大學 家庭教育研究與發展中心主任 林育瑋 3 目錄 幸福拼圖 序文...p.2 引言 能和心愛的人共度一生, 就是最大的幸福!...p.6 幸福方程式 : 我 + 你 = 幸福關鍵一 我...p.10 關鍵一 你...p.20 關鍵一 +...p.28 如果你還想知道更多撇步 附錄一...p.48
Erwin Schrodinger
基因改造 的過去 與未來 一般報導 地球是一個充滿生命的星球 在這兒 各種生物所展現的生命跡象都有一些共通性 只是 這麼多千奇百怪的生命現象與生物個體 又具有哪些獨特的性質呢 演講人 周成功 演講人 Erwin Schrodinger 20042374 57 ATGC DNA J. D. Watson and F. Crick DNAATGC DNAATGC DNA ATGC ATGC DNA A
1,000 kb 100 六方體鑽石形成 Km ,000 1,500 2, Kb 5 1, Kb a 0 a 0 = nm 4 : Steve Sque, com/ :
54 2014 1 493 天然鑽石的誕生 3,500 10 2012 9 10 2 Popigaikimberlite 1960 鑽石的真面目及變形 1915 W.H. Bragg W.L. Bragg X unit cell 18 8 8 6 6 4 1,000 kb 100 六方體鑽石形成 200 150 Km 50 10 1 0 500 1,000 1,500 2,000 4 50 Kb 5
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() , : ( ),,, (CIP) ;. - 2 :, 2001.6 ISBN 7-04 - 009492-4...- - -.G617 CIP (2001)02193 ( ) 55 100009 010-64054588 010-64014048 http:/ / www.hep.edu.cn http:/ / www.hep.com.cn 1995 10 1 7871092 1 16 2 11
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台灣喜宴文化與陶瓷餐具設計開發 廖素慧 林長弘 林秀娟 摘 要 喜宴文化它包括了生活風俗習慣 禮教的 禁忌與料理 飲食的結合 可以看到民族的思 想行為以及社會的結構模式 是生活文化的濃 縮 它的過程對於一對新人在人生旅程開始 時 得到關愛與祝福也給予責任 所以喜宴的 禮教約束 是人生很重要的一個過程 好的飲 食禮教約束可以產生良性的人生觀 從喜宴的 食物料理與新開發餐具的造形與裝飾美感等的 結合來做一個開始
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如何應用中學物理尋找系外行星 曾耀寰 中央研究院天文及天文物理研究所 聯絡人 E-mail:yhtseng@asiaa.sinica.edu.tw 摘要人類是宇宙中的孤兒嗎? 地球上的生命 乃至高等文明是宇宙的唯一嗎? 長久以來, 人類不僅對這個問題感到好奇, 也不斷地尋求解答, 希望能在太陽系外找尋類似地球的行星系統 尋系外行星的難度很高, 除了少數系外行星可以直接透過望遠鏡直接觀測, 天文學家常用間接的方式尋找系外行星,
壹 前 言 : 一 研 究 動 機 不 久 前, 我 的 祖 母 因 地 板 濕 滑 而 造 成 手 部 骨 折, 醫 生 說 祖 母 年 長, 骨 質 疏 鬆 造 成 傷 勢 嚴 重, 需 要 多 補 充 鈣 質 頓 時, 讓 我 想 起 一 句 話 你 攝 取 足 夠 的 鈣 質 嗎? 這 句
類 別 : 健 康 護 理 類 篇 名 : 健 康 有 鈣 念 探 討 鈣 質 與 人 體 間 的 奧 妙 作 者 : 徐 薏 涵 國 立 溪 湖 高 中 高 二 3 班 陳 吏 慈 國 立 溪 湖 高 中 高 二 3 班 指 導 老 師 : 蔡 智 媚 老 師 0 壹 前 言 : 一 研 究 動 機 不 久 前, 我 的 祖 母 因 地 板 濕 滑 而 造 成 手 部 骨 折, 醫 生 說 祖 母
老人憂鬱症的認識與老人自殺問題
18-24 25-44 45-64 65 10 8 6 4 2 0 ( 40% 15% Affect Cognition : drive Behavior DSM-V major depressive episode 2 9 5 Electronic Convulsion Therapy; ECT Rabins65 1% Rabins, 1992 20%-30% Blazer, 1994 65 12.9
Wire Wound Ceramic Chip Inductor 繞線式陶瓷晶片大电流電感 HPWS Series for High Frequency HPWS 系列適用於高頻 INTRODUCTION 產品介紹 The HPWS is the chip inductors of a wire w
INTRODUCTION 產品介紹 The HPWS is the chip inductors of a wire wound type widely used in the communication applications, such as cellular phones, television tuners, radios, and other electronic devices. The
附件四：
附 件 四 : 全 国 海 洋 生 物 物 种 资 源 调 查 技 术 规 定 ( 试 行 ) 共 包 括 六 个 部 分 : 第 一 部 分 : 总 则 第 二 部 分 : 游 泳 动 物 物 种 资 源 调 查 第 三 部 分 : 底 栖 生 物 物 种 资 源 调 查 第 四 部 分 : 浮 游 生 物 物 种 资 源 调 查 第 五 部 分 : 鱼 类 浮 游 生 物 物 种 资 源 调 查
中國的煤
課內活動及課後練習的建議答案 課內活動 討論區 ( 3 頁 ) 1 2 網上追蹤 ( 5 頁 ) 2008 年末世界各地煤的蘊藏量地區 蘊藏量 ( 百萬公噸 ) 佔全球的百分比 097 29.8% 15 00 1.8% 272 33.0% 1 38 0.2% 32 013 3.9% 259 253 114 500 31.4% 13.9% 82 001 100.0% 272.2.1 15.0 32.0
黄骅港（煤炭港区）四期工程
宁 波 - 舟 山 港 梅 山 ( 保 税 ) 港 区 6#~10# 集 装 箱 码 头 工 程 海 洋 环 境 影 响 报 告 书 简 本 宁 波 港 股 份 有 限 公 司 二 〇 一 三 年 七 月 一 建 设 项 目 概 况 拟 建 宁 波 - 舟 山 港 梅 山 ( 保 税 ) 港 区 6#~10# 集 装 箱 码 头 工 程 位 于 梅 山 岛 的 东 南 侧, 地 理 坐 标 122
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函