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1 從奇異的行星逆行到日心說的建立 錢宜新姚珩 國立台灣師範大學物理系 摘 要 行星的逆行運動, 對舊天文學的托勒密系統來說, 是個困擾的問題 ; 但對 哥白尼而言, 它反而利用了此複雜現象, 加上簡潔的論述, 決定出天球的 層次, 完成了簡單 和諧 對稱與均勻的 日心說 一 前言 地心說與托勒密系統 農業時代人們日出而作, 日落而息, 認為太陽的升落從不停歇, 且相信月亮與其他星辰也都是以地球為中心在運轉著, 如此逐漸發展出了 地心說 或 同心球宇宙 模型, 主張 : 地球為宇宙的中心, 恆定不動, 循序向外則為月亮 太陽 行星所在的各層球殼 ( 或稱天球 ), 這些天球會以不同的轉動速率繞著地球旋轉 ( 圖一 ) 圖一 : 地心說宇宙模型, 以地球為中心, 日 月 行星分別在不同的圓形軌道上作圓周運動, 宇宙的邊界則為不動的恆星天球 第 1 頁

2 同心球宇宙的結構簡單, 在美學上具有相當的價值, 且與人們腦海中天球的形象相當符合, 天體規律地運行, 日復一日 年復一年, 均東昇西落 若面向北方, 則可以看見星體繞北極星做逆時針的旋轉, 但在實際應用上, 卻存在著一些缺陷 因有五顆星在某些時段內會做不規則的運行, 與其他時段相比, 彷彿向後退了, 此種行星的 逆行 現象代表它們可在空中隨意漫步 ( 圖二 ), 因此這五顆星 水星 金星 火星 木星和土星 被取名為行星 (planet, 原意為漫遊者 ) 圖二 : 火星逆行圖 2007 年 8 月至 2008 年 4 月間火星在每日午夜時的位置, 這段期間內火星的軌跡並非總是筆直由西向東,11 月 18 日附近, 火星往東的速率變慢, 看起來甚至像停住不動, 稱之為 留 ;11 月 18 日之後, 火星由東往西運動 ( 白色虛線路段 ) 稱為 逆行,1 月 31 日附近火星往西的速率又變慢了 ( 為另一個 留 );1 月 31 日過後, 火星由西向東運動回復正常的 順行 而在逆行中點 12 月 24 日的火星看起來特別大 特別亮 Credit & Copyright:Tunc Tezel (TWAN). 很明顯地, 同心球模型解釋不了行星的逆行, 隨後托勒密 (Ptolemy, AD), 保留著完美的圓周運動, 但引入大圓 ( 均輪,deferent) 和小圓 ( 本輪,epicycle) 的 均輪 - 本輪 模型來描述行星逆行, 常稱此系統為 托勒密系統 經過千餘年許多天文學家的努力, 托勒密系統可以精確預測各種天象, 直到 17 世紀, 托勒密系統與地心說一直都是天文學的主流 然而, 地心說 的代價是整個宇宙模型變成相當複雜, 為了和觀測的結果相符, 行星可能在一個 或一個以上的本輪中運行, 完全失去了原創者所追求的簡單性 ( 圖三 ) 第 2 頁

3 M 1 本輪 E 均輪 圖三 : 托勒密系統 描述行星逆行的方式 繼承 同心球宇宙 模型, 托勒密系統以地球 (E) 為中心, 行星 (M) 在本輪上, 而本輪的圓心又繞著均輪運轉, 均輪的圓為 E, 均以逆時針繞行 ( 由黃道北極來看 ) 本輪與均輪轉速不同, 造成行星 (M) 在位置 2 和 3 之間有逆行的現象 二 哥白尼模型 - 簡單 和諧 對稱的日心說 十六世紀初, 哥白尼 (Nicolaus Copernicus, , 波蘭人 ) 受到文藝復興時期的新柏拉圖主義影響, 認為數學為真實的實體 (reality), 亦為萬物的本質 (substance) 托勒密系統的過度複雜, 顯然不符合數學的簡單性與幾何的對稱性, 因此也不是真實的天文系統 他在 1543 年所出版的 天體運行論 的序言裡指出 : 同心圓 偏心圓和本輪, 引用了許多與均勻運動的基本原則, 顯然牴觸的概念, 也不能得出 對稱性, 彼此不協調 那些人採用偏心圓論證的過程或方法, 要 不是遺漏了某些重要的東西, 就是塞進了一些外來的, 毫不相關的東西 如果以地球為宇宙中心, 並不能給出完美均勻的圓形, 那麼要以什麼為天體的中心, 才 可達成此理想 在受到古希臘天文學家阿里斯塔克斯 (Aristarchus of Samos, BC) 大膽 假設地球環繞太陽運行的啟示, 再加上自己耐心地研究, 哥白尼於他的著作裡堅定地主張 : 太陽位於宇宙中心, 地球與行星均圍繞著它做運動 依據這個 日心說 的性質, 他要如何建構宇宙的體系 每顆行星的順序為何 它們至圓心 的距離大小又是多少 ( 圖四 ) 第 3 頁

4 恆星天 S 球 圖四 : 哥白尼理想中的宇宙模型 三 由行星逆行現象決定出日心說模型 行星的逆行對歷經千餘年的托勒密系統而言, 是相當困擾棘手的複雜現象, 為了要 拯救 地心說, 必須要引入越來越多的均輪 本輪來涵蓋逆行現象, 而犧牲了簡單性 相反地, 看似複雜的行星逆行, 卻是支持日心說強而有力的證據 底下將就理論上日心說如何描述行星逆行, 藉此決定出行星至太陽的距離與其公轉週期, 並將這些理論值與現今的公認值比較 ( 一 ) 理論描述 不同於托勒密系統, 哥白尼模型中的五大行星從未真的 逆行, 而是地球與行星的相對位置的改變, 所造成的視覺效應 ( 圖五 ) 根據哥白尼的宇宙模型, 地球與行星皆繞著太陽運動, 靠近太陽的行星公轉速率較快, 遠離太陽的行星公轉速率較慢, 這樣的速率差異造成行星位置的視覺投影產生了 後退 的現象, 也就是行星的 逆行 第 4 頁

5 圖五 : 哥白尼模型中的行星逆行 S 是宇宙的中心太陽,E 是地球,P 是地外行星,E 1 到 E 7 與 P 1 到 P 7 分別是連續七個相同時間間隔, 地球與行星的位置 最上方的背景 1 到 7, 則是運動中的地球看運動中的地外行星, 在天球上的投影位置, 可以發現 是由西朝東方向行進,3-4-5 是由東向西方向前進,5-6-7 又回到由西朝東方向前進, 由此可知 期間產生了 逆行 圖五中兩個簡單的圓形公轉軌道, 加上各自不同的公轉速率, 就能解釋行星發生逆行時 的三種現象 : 1. 行星逆行的中間點 ( 圖五中之 P 4 ) 距離地球最近 2. 行星逆行期間 (P 3 到 P 5 ), 行星特別明亮 3. 符合觀測者所紀錄 順行 留 逆行 留 順行 的運動過程 以地外行星 ( 如火星 木星及土星 ) 為例, 在哥白尼系統的論述中, 有兩個重要的行星位置需要掌握 當太陽 地球與行星連成一直線, 且地球在行星與太陽中間時, 稱為行星衝 (opposition); 當行星 - 地球 - 太陽成直角時, 稱為方照 (quadrature) ( 圖六 ) 哥白尼在其著作後段中, 為了要與觀測到的土星 火星衝之位置及時間精確的吻合, 仍在正圓軌道上引入了小本輪來修正 在此為了簡化計算起見, 我們將使用地球與行星均圍繞著太陽作等速率圓周運動的假設 - 可稱為 簡易日心說模型, 來代表哥白尼系統 由此簡易日心說模型, 及衝與方照兩重要位置, 我們即可由行星的逆行現象, 求得各行星的公轉週期 行星至太陽的距離 第 5 頁

6 衝 西方照 東方照 地球 合 圖六 : 太陽 地球與地外行星的相對位置示意圖 1. 行星的公轉週期 : P 2 E 2 S α E 1 P 1 圖七 : 日 地 行星, 形成兩次三連星位置 ( 或稱 衝 ) 的關係圖 以地球繞太陽一週的時間 1 年為單位, 地球做等速率圓周運動的角速度為 ω E = 360 / 1 年, 若行星繞太陽一週的時間為 T 年, 則該行星的角速度為 ω p = 360 / T 年 假設日 地 行星的相對位置為 衝 ( 即 S-E 1 -P 1 ), 此時為行星逆行運動的中間點, 經過時間 t 年後, 日 地 火星的相對位置 又為衝 ( S-E 2 -P 2 ), 地球由 E 1 繞過一圈後到達 E 2, 走了 ( 360 ) ( 圖七 ), 地球的角速率則為 360 (360 ) E 1 年 t年 (1) 而行星 P 前進了, 行星的角速率為 360 P T年 t年 (2) 第 6 頁

7 合併式 (1) 與 (2) 可得 上式同除 360 後, 移項可得 年 t年 t年 t年 T 年 取上式之倒數, 可得行星週期為 2. 行星的軌道半徑 : 1 1 1, T t (3) t T (4) t 1 E 2 P 2 S α E 1 P 1 圖八 : 日 地與地 行星連線成直角時, 稱為方照, 它是決定地外行星模型所需要的重要觀測值 設地球軌道半徑為 r 1, 行星軌道半徑為 R, 從日 地 行星的相對位置為 衝開始 ( S-E 1 -P 1 ), 經過時間 年後, 地球與行星的相對位置形成直角或 方照時 ( 圖八 ), 利用直角三角形 SE 2 P 2 之餘弦函數, 及行星與地球之角速率值, 與行星週期關係式 (3), 經過一些代換運算後, 可得行星軌道半徑為 其中 t ( 單位年 ) 為連續兩次衝的時間間隔 360 R sec( ) (5) t 至於地內行星 ( 如水星 金星 ), 兩個重要的行星位置則為內合 (inferior conjunction) 與大 距 (greatest elongation) 當行星 地球及太陽成一直線, 且行星在太陽與地球中間時, 稱為 內合 ; 從地球觀看地內行星和太陽的視角最大時, 稱為大距 ( 圖九 ) 第 7 頁

8 地球 西大距 內合 東大距 外合 圖九 : 太陽 地球與地內行星的相對位置示意圖 地內行星之內合 大距與地外行星之衝 方照的角色很相似, 因此, 由行星的逆行現象, 來計算地內行星的公轉週期 和行星至太陽的距離, 其描述及運算方法, 與地外行星中所陳 述的過程, 也非常類似 茲僅將其計算結果, 表示如下 : 地內行星的公轉週期為 地內行星軌道半徑為 T t (6) 1 t 360 R cos( ) (7) t 其中 t ( 單位年 ) 為連續兩次內合的時間間隔, 為內合過後, 至日 行星與地 行星連線成直角 ( 大距 ) 所經過的時間間隔 ( 圖九 ) 由上述可知, 衝 和 方照 ( 或 內合 與 大距 ) 的角色在決定地外 ( 或地內 ) 行星軌道週期與半徑時, 扮演著重要地位 利用它們, 再使用一些基本的代數運算與幾何關 係, 即可決定出哥白尼模型中的行星順序 與公轉半徑 ( 二 ) 觀測比較 由於在地球上的觀察者, 每天均可清楚地測量出地球與太陽 及地球與行星的相對角度 ( 黃經 / 黃緯 ), 因此日 地 行星形成一直線 : 衝 ( 或日 行星 地形成一直線 : 內合 ) 的時間可清楚的被觀察者觀測到, 也可知兩次衝 ( 或內合 ) 的時間間隔 (t), 和衝至方照 ( 或內合至大距 ) 的時間間隔 ( ) 在衝或內合之前後, 行星很亮, 肉眼即可觀測到, 若將行星每天的位置記錄下來, 便可發現其特殊的運動路徑 以下則是使用美國天文台的 MICA 軟體, 輔助我們找尋到北台灣最近的行星位置數據後, 所繪出 2007 年到 2008 年木星與土星兩次逆行之 第 8 頁

9 間, 於天球上的運動軌跡 ( 圖十 圖十一 ) 黃緯 黃經 兩次衝之間的時間間隔 t -0.8 圖十 : 兩次逆行的木星在天球上的位置軌跡 兩次衝 2007 年 6 月 4 日 至 2008 年 7 月 9 日的時間間隔為 400 天 黃緯緯度 經度黃經 兩次衝的時間間隔 t 圖十一 : 兩次逆行的土星在天球上的位置軌跡 兩次衝 2007 年 2 月 10 日 至 2008 年 2 月 24 日的時間間隔為 379 天 將這些數據 t 與, 代入式 (4) (5) 或 (6) (7), 即可求得簡易日心說模型中行星的公轉 週期 與軌道半徑兩者之理論值, 茲列於表一 表中所求得的軌道半徑的理論值, 與公認值 僅有些微的差異, 主要是因為行星繞日的真實軌跡應為橢圓, 而非正圓 第 9 頁

10 表一 : 通過觀察數據 t 與, 及經由簡單的日心說模型, 所求得的公轉週期 ( 單位 : 年 ) 與軌 道半徑 ( 單位 : 地球公轉半徑 ) 之理論值 水星 金星 火星 木星 土星 兩次衝 ( 或內合 ) 時間間隔 (t) 衝至方照的時間間隔 ( ) 內合至大距的時間間隔 ( ) 公轉週期理論值 公認值 軌道半徑理論值 公認值 圖十二 : 哥白尼日心說的宇宙模型簡圖 由外往內第一層 (I) 是恆星天球, 第二層 (II) 是土星天球, 第三層 (III) 是木星天球, 第四層 (IIII) 是火星天球, 第五層 (V) 是地球, 同時月球 ( ) 繞著地球運動, 第六層 (VI) 是金星天球, 第七層 (VII) 是水星天球 為一個簡單 對稱的完美宇宙模型 今天稱軌道在地球與太陽中間的行星為地內行星, 如水星和金星 ; 稱軌道在地球以外的稱為地外行星, 如火星 木星和土星 第 10 頁

11 因此, 如表一所示, 各行星至太陽的距離終於可確定下來, 依次為水星 金星 地球 火星 木星 土星 ( 圖十二 ) 哥白尼在其巨著中寫著 : 我終於發現 : 如果把其他行星的運動與地球軌道運行聯繫在一起, 並按照每顆行星的運轉來計算, 那麼不僅可以對所有行星和球體, 得出它們的觀測現象, 還可以使它們的順序和大小 以及穹蒼本身, 全部聯繫在一起了, 以致不能移動某一部份的任何東西, 而不在其他部份和整個宇宙中引起混亂 通過這些軌道半徑的比值, 所有行星和天球的秩序穩定下來, 變得渾然一體, 最後終於 建立起他的日心說, 哥白尼讚嘆 : 我們從這種排列中發現宇宙具有令人驚異的對稱性, 以及天球運動和大小 已經確定的和諧關係, 而這是用其他方法辦不到的 四 結論 以哥白尼的日心說模型描述太陽的行星系統, 雖然與觀測仍有些微出入, 但是這無損於哥白尼宇宙模型的偉大, 而其偉大之處就在於該體系所呈現出來的簡單 對稱 和諧與均勻, 這是所有學者追求的完美境界, 也代表著更接近真理! 同時, 也因為哥白尼偉大的工作, 原本陷入混亂的天文學又重獲新生 由於他率先建立了一個基於地動的天文學體系, 哥白尼常常被稱為第一位近代天文學家, 這是我們從 16 世紀科學革命至今, 仍忘不了哥白尼的原因 至今波蘭還有許多哥白尼的紀念雕像 波蘭科學院外哥白尼的雕像, 右手拿著兩腳規, 左手拿著宇宙模型, 象徵他是熱切追求自然真理的巨人 往後他的繼承者如克卜勒 伽利略與牛頓, 一致堅信 : 日心天文學掌握了解決行星問題的鑰匙 並且在他們的追尋中, 仍致力追求哥白尼所揭櫫的簡單與和諧性, 從哥白尼止步的地方出發, 這些繼承者也成為影響後世偉大的人物 圖十三 : 波蘭科學院外哥白尼的雕像 第 11 頁

12 五 參考資料 1. 哥白尼 (Copernicus, N. [1543] 2004): 天體運行論 台北 : 大塊文化 2. 庫恩 (Kuhn, T. 1985): 哥白尼革命 西方思想發展中的行星天文學 北京 : 北京大學出版社 3. 伯特 (Burtt, E. 1994): 近代物理學的形而上學基礎 成都 : 四川教育出版社 4. 邱國光 (2007): 2008 年星象手冊 台北 : 台北市立天文科學教育館 5. 袁尚賢 (1986): 天體運行論與哥白尼 台北 : 科學月刊,196 期 6. Bechler, Z.(1991), Newton's physics and the conceptual structure of the scientific revolution. Boston ; Kluwer Academic Pub. 7. Duhem, P. (1985), To save the phenomena: An Essay on the Idea of Physical Theory from Plato to Galileo. Chicago, IL; University of Chicago. 8. Multiyear Interactive Computer Almanac (MICA, 美國海軍天文台用星體位置計算軟體 ), Version Tezel, T. ( 火星逆行圖 ) 第 12 頁

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