鹰鸽博弈中量子演化策略

Modern hysics 现代物理, 013, 3, 68-7 http://dx.doi.org/10.1677/mp.013.3013 ublished Online May 013 (http://www.hanspub.org/journal/mp.html) Quantum Evolution Strategy of Hawk-Dove Game iwen Kuang, Shidong Liang * State Key Laboratory of Optoelectronic Material and Technology, Guangdong rovince Key Laboratory of Display Material and Technology, School of hysics and Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou Email: * stslsd@mail.sysu.edu.cn Received: pr. 6 th, 013; revised: pr. 7 th, 013; accepted: May 6 th, 013 Copyright 013 iwen Kuang, Shidong Liang. This is an open access article distributed under the Creative Commons ttribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. bstract: We introduce the basic concepts of quantum strategy and quantum evolution stable strategy and use them to analyze the Hawk-Dove game. We find that quantum strategy can realize the areto equilibrium by Dove-Dove strategy and the Hawk-Hawk strategy is not only a Nash equilibrium, but also a quantum evolution stable strategy when the resource gain is larger than the loss in the Hawk-Dove game. Keywords: Quantum Game; Quantum Evolution Strategy; Hawk-Dove Game 鹰鸽博弈中量子演化策略 * 邝艾文, 梁世东 中山大学物理科学与工程技术学院, 广东省显示材料与技术重点实验室, 光电材料与技术国家重点实验室, 广州 Email: * stslsd@mail.sysu.edu.cn 收稿日期 :013 年 4 月 6 日 ; 修回日期 :013 年 4 月 7 日 ; 录用日期 :013 年 5 月 6 日 摘要 : 本文介绍量子博弈和量子演化博弈的基本概念, 并分析鹰鸽博弈的量子策略和量子演化稳定策略 量子策略可以得到鹰鸽博弈的 areto 均衡, 我们发现在资源利益比损失多情况下, 鹰鹰策略不仅是 Nash 均衡还是量子演化稳定策略 关键词 : 量子博弈 ; 量子演化策略 ; 鹰鸽博弈 1. 引言用量子策略找到了囚徒困境模型的 areto 解, 这为博弈论翻开新的一页 [5,6] 量子策略的概念被 zhar Iqbal 博弈论是研究一群参与者在一定的规则下从竞和. H. Toor 等人进一步推广到量子的演化稳定策略争和冲突中如何找到最佳策略的理论 [1] 它被广泛应 (QESS), 给出囚徒困境模型的一些特殊量子演化稳定用到经济学和生态学, 成为现代经济学和生态学的理解 [7,8], 杜江峄等人分析了量子纠缠对 QESS 策略的影论基础 均衡是博弈学的核心概念,J. Nash 应用响, 并利用 NMR 技术实现了囚徒困境模型量子策略 Kakutani 稳定点定理证明了 n 人非合作博弈存在均衡 [8] 解 (Nash 均衡 ) 奠定了博弈论和现代经济学的基础 [] 事实上, 量子演化稳定策略的研究才刚刚开始, Fisher 和 Maynard Smith 提出了演化稳定策略 (ESS) 的还有许多问题有待研究 鹰鸽博弈模型是一种典型的概念把博弈理论推广到演化生物学和生态学 [-4] 最近双方利益冲突的博弈模型, 对于对称的鹰鸽博弈模 Meyer 和 J. Eisert 等人提出了量子策略的概念, 并利型, 如果战争获取的资源比战争带来的损失大, 双方 * 通讯作者 战争策略 (H, H) 是 Nash 均衡, 尽管双方和平 (D, D) 是 Copyright 013 Hanspub 68

最佳策略, 即 areto 均衡 如果采用量子策略, 能否在量子策略空间找到 areto 均衡解?Nash 均衡是不是量子演化稳定策略? 本文将基于量子策略的框架下, 讨论鹰鸽博弈的量子策略, 并分析鹰鸽博弈策略的量子演化稳定性. 鹰鸽博弈及其量子策略鹰鸽博弈模型是一种典型的 人 策略对称博弈模型, 它的收益矩阵可以表示为 Bob H D (1) vc vc H, v, 0 lice v v D (0, v), 其中 H 和 D 为两种经典纯策略, 分别表示好战鹰策略 H 和炫耀 ( 和平 ) 鸽策略 D, 收益矩阵中的 v > 0 表示获胜后获取的资源,c > 0 表示战争受伤或损失 对于 0 < v < c, 即资源少于战争的损失时, 纯策略 (D, D) 是 Nash 均衡, 也是 areto 均衡 对于 v > c, 纯策略 (H, H) 是 Nash 均衡, 但不是 areto 均衡,(D, D) 才是 areto 均衡 也就是说, 如果资源比战争的损失大, 双方都会采用鹰策略 H, 因为如果使用鹰策略对鸽策略或相反亦即 (H, D) 或者 (D, H), 鸽策略的那方就会损失惨重, 而鹰策略的一方就会获得最大的利益 但双方采用 (D, D) 比双方采用 (H, H) 带来更大的利益,( 因为 v/ > (v c)/) 量子策略可以看成是一种混合策略, 对于 人 策略博弈量子策略可以表示为 参数的 SU() 矩阵 [6], i e cos sin U, i sin e cos () 其中 0 θ π,0 φ π/ 量子策略的收益可以表示 [6] 为 v v c v DD HH HD v v c v B DD HH DH 根据 EWL 量子博弈理论 [6], ' ' J U UBJ DD, (3) 其中 σ = H 或者 D, 它表示在 (U, U B ) 策略下在 (σ, σ') 通道中的联合几率 J exp i DD 是量子纠缠 算符,γ = 0 表示没有纠缠,γ = π/ 表示最大纠缠, 其 中 博弈的初态为量子态 0 1 D U,0 1 0 0 0 DD 1 1 对一般的量子策略 (U(θ, φ),u(θ, φ)), 我们得到, B DD B B B sin sin sin sin( ) cos cos HH B 1 B B B DH cos sin cos cos sin sin sin Bsin cos sin sin sin B cos sin B B 1 HD cos sin cos B B B B cos cos 1 sin sin cos sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin (4) 对于没有纠缠的量子策略,γ = 0,B 双方的收益分别表示为 v v c cos cos sin sin v sin cos B B B v v c B cos cos sin sin v sin cos B B B (5) Copyright 013 Hanspub 69

鹰鸽博弈中量子演化策略 可以看出在没有纠缠时 双方的收益都与φ无关 可以看出 当 收益为0 B方为v 相当于(D, H)策略 可见 双方采 v c 这是Nash均衡 对应经典策略(H, H) 当 v θ = 0, B 这是areto均衡 对应经典策略(D, D)也就是说量子策 用不同的量子策略无法达到均衡 略可以实现areto均衡 图给出整个非纠缠量子策略 θ = π, B 图1给出B双方的量子策略空间中的收益函数 可以看出如果B方分别采用(θ, θb) = (π, 0) 方 获得的收益v 而B方收益为0 即相当于(H, D)策略 如果B方分别采用相反的策略(θ, θb) = (0, π) 则方 如果双方都采用相同的策略 θ = θb = θ 那么 子策略当θ足够小提供了许多接近areto均衡的策略 双方的收益可以简化为 v c, B sin 4, B 空间中的双方收益函数 可以看出在不同的c/v下 量 (6) 当考虑纠缠的量子策略 γ 0 双方采用相同的 策略 他们的收益可以表示为 v 4 v c cos 1 sin sin sin sin cos sin 1 v cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin sin 4 (7) Figure 1. The payoff of non-entangled quantum strategies 图 1. 无纠缠量子策略的收益 Figure. The payoffs for the same quantum strategies 图. 相同量子策略的收益 70 Copyright 013 Hanspub

对给定的 c/v = 0.5 和 θ = θ B = π/, 我们在图 3 和图 4 给出量子纠缠策略空间中双方的收益 其中图 3 给出 收益与纠缠度和 φ 的关系, 图 4 给出收益与纠缠度和 θ 的关系 我们可以看出在给定的 φ 或者 θ, 纠缠度的增 加对收益并没有帮助, 反而使收益减少 3. 量子演化策略 为了推广博弈均衡的概念来解释达尔文的自然 选择理论,Maynard Smith 和 G. R. rice 提出了演化 稳定策略的概念, 演化稳定策略 x, 对每一个变异的 策略 y x, 存在一个足够小的正势垒 ε > 0, 使得收益 函数满足, 则 x, 1 x y y, 1 x y (5) 可以证明这个不等式等价于 [,3], 对 y SB (B 的 Figure 3. The relationship between payoff, quantum entanglement and φ 图 3. 收益与量子纠缠和 φ 的关系 Figure 4. The relationship between payoff, quantum entanglement and θ 图 4. 收益与量子纠缠和 θ 的关系 策略空间 ), a x, x y, x 如果,,, 则,, y b x x y x x y y 其中 a 表示对于对称博弈, 如果 x 是演化稳定策略, 则 x 也是 Nash 均衡, 但一般来说 Nash 均衡不一定是演化稳定策略 如果要求 x 是 Nash 均衡同时也是演化稳定策略, 则要满足 (6) 式中的 b 条件成立 当 0 < v < c, 没有对称的纯策略的演化稳定策略 [4,7], 可以证明混合策略 σ * = (p *, 1 p * ), 其中 p * = v/c 是使用 H 的概率,σ * 是演化稳定策略 [4,7] 对于 v c, 纯策略 (H, H) 是演化稳定策略 [4,7] 它是不是在量子策略下演化稳定? 由于在非纠缠量子策略 γ = 0 下, 收益与 φ 无关, 这样我们令 x * = U * (θ) = U(π), 和 y = U(θ), (x *, x * ) 对应经典的 (H, H) 策略, 我们对经典策略 (H, H), 考查非纠缠量子策略空间中的演化稳定条件 (6), 我们得到 v c v c 4 sin vcos csin csin (7) 显然, 在整个量子策略空间 0 θ π 和 0 φ π/, 演化稳定条件 (7) 成立, 也就是说, 经典策略 (H, H) 在非纠缠量子策略空间中是演化稳定的 同样方法, 我们考查了经典策略 (H, H) 在纠缠量子策略空间中的稳定性, 我们发现演化稳定条件并不能在整个量子空间成立, 也就是说 (H, H) 在纠缠的量子策略空间不是演化稳定 4. 结论与展望我们讨论了鹰鸽博弈的量子策略和量子演化稳定策略, 我们发现非纠缠的量子策略 θ = 0, 可以给出鹰鸽博弈的 areto 均衡,(H, H) 策略是非纠缠量子演化稳定策略 量子策略空间提供了许多接近 areto 均衡的量子策略 量子策略给博弈论提供了新的视角和思路, 量子演化稳定策略的分析给博弈均衡分析提供了新的途径 当然, 怎样理解量子策略在实际问题中的应用仍然是量子博弈论有待解决的问题 毫无疑问, 量子策略和量子演化稳定策略在生态学和理解达尔文的自然选择学说中扮演非常重要的角色 5. 致谢感谢中央高校基本科研业务费专项和光电材料 (6) Copyright 013 Hanspub 71

与技术国家重点实验室的资金资助 参考文献 (References) [1] J. V. Neumann, O. Morgenstern. Theory of games and economic behaviour. rincetion University ress, 1953. [] J. M. Smith. Evolution and the theory of games. Cambridge University ress, 198. [3] J. M. Smith, G. R. rice. The logic of animal conflict. Nature, 1973, 46(547): 15-18. [4] J. N. Webb. Game theory. Berlin: Springer, 007. [5] D.. Meyer. Quantum strategies. hysical Review Letters, 1999, 8(5): 105-1055. [6] J. Eisert, M. Wilkins and M. Lewenstein. Quantum games and quantum strategies. hysical Review Letters, 1999, 83(15): 3077-3080. [7]. Iqbal. Impact of entanglement on the game-theoretical concept of evolutionary stability, 005. arxiv:quant-ph/050815 [8] J. F. Du, H. Li, X. D. Xu, M. J. Shi, J. H. Wu, X. Y. Zhou and R. D. Han. Experimental realization of quantum games on a quantum computer. hysical Review Letters, 00, 88: 13790. 7 Copyright 013 Hanspub