8// Chapter 矩陣 Part 大綱. 矩陣轉換 旋轉與放大.6 線性轉換 電腦繪圖與碎形.7 Leontief 輸出入經濟模式.8 馬可夫鏈 族群遷徙及基因.9 聯繫模式與社會學之群體關係 Ch_
8//. 矩陣轉換 旋轉與放大 一個由 R n 到 R m 的轉換 (transformation) T 為一個對 R n 中每一向量 u 均指定 R m 中惟一向量 v 與之對應的規則 R n 稱為 T 之論域 (domain), 而 R m 稱為 T 之對應論域 (codomain) u 與 v 之關係可以寫成 T(u) v, 其中 v 稱為 u 在 T 映射之下的像 (image) 有時 轉換 也可以稱為 映射 (mapping) 或 函數 (funcion) R n Rm domain u T v codomain Ch_ 範例 假定轉換 T : R R 之定義如下 : T( x,, z) ( x, z) T之論域為 R, 其對應論域為 R T (, 4, ) (, 6) 若以行向量方式表示, T 可寫成如下的式子 : x x T x z Ch_4
8// 放大與縮小 x x r x T r, r r 為一純量 T將 R 中每一點 r 映射至與原點距離為原先距離之倍 x Ch_ 線對稱 x x x T Ch_6
8// 以原點為中心的旋轉 x' Oc rcos( α θ) rcosαcosθ rsinαsinθ xcosθ sinθ ' Bc rsin( α θ) rsinαcosθ rcosαsinθ cosθ xsinθ x cosθ sinθx T sinθ cosθ O OB r 註 : 逆時針旋轉的角度為正, 否則為負 Ch_7 矩陣轉換 (Matrix Transformation) 令 為 m n 之矩陣,x 為以行向量形式表示之 R n 向量, 則 定義一個由 R n 到 R m 的矩陣轉換 T(x) x, 其中 x 是 x 的像,T 的論域為 R n, 而對應論域為 R m 範例 T : R R 4 定義如下的矩陣轉換 x x z T( x) 4 4z z Ch_8 4
8// 矩陣轉換將一線段映射至另一線段 ; 若該矩陣為可逆矩陣, 則可映射一組平行線至另一組平行線 Ch_9 例題 4 由矩陣 定義之 T : R R 之轉換, 試決定單位正方形經此轉換後的像 P, Q, R, O 4 6 P', Q', R', O' Ch_
8// 合成轉換 (Composite Transformation) T( x) x, T ( x) x 合成轉換 T T T 定義如下 : T( x) T ( T( x)) T ( x) ( x) ( ) x Ch_ 我們可以很自然地延伸上述的結果至 n 個轉換組成之合成轉換 令 T, T,, T 為由矩陣,,, 所定義之一系列轉換 n 則 T T T T 可由乘積矩陣 定義 n n n n n Ch_ 6
8// 例題 T : x軸對稱轉換 : cos( π ) sin( π ) T : 旋轉 9度 : sin( π ) cos( π ) T : 三倍放大 : T T T T, 其矩陣為 Ch_ 正交轉換 (Orthogonal Tramsformation) 一矩陣 稱為, 如果它 t 正交矩陣滿足條件 一矩陣轉換 T( x) x 稱為正交轉換, 若 是一個正交矩陣 例 : 前述之線對稱與旋轉都是正交轉換 正交轉換會維持原來之範數 距離 與角度 一幾何形狀經過正交轉換後, 仍維持原先之形狀, 所以正交轉換又稱為剛體運動 (rigid motion) Ch_4 7
8// n n 令 T 為一定義在 R 上之正交轉換, u, v R. T 保持內積, 即 T( u) T( v) u v t t t T( u) T( v) ( u) ( v) ( u) ( v) ( u )( v) t t t t t u ( ) v u ( ) v u v u v u v. T 保持範數, 即 T ( u) u T( u) u ( u) ( u) uu ( 由於 T 保持內積 ) u Ch_. T 保持角度 令 u 和 v 之間的夾角為 α, T ( u ) 和 T ( v ) 之間的夾角為 β u v T( u) T( v) cosα, cos β u v T( u) T( v) 已証知 u v T( u) T( v) u T( u) 和 v T( v), 所以 cosα cos β 亦即 α β Ch_6 8
8// 4. T 保持距離 因為 OP OR, OQ OS, 及 α β, 所以 ΔOPQ 和 ΔORS 全等 因此, PQ RS Ch_7 平移轉換 (Translation) n n 平移指由下式定義之 T : R R 轉換 : 其中 v T ( u) u v 是一個給定的向量 例 : x x 4 T Ch_8 9
8// 仿射轉換 (ffine Transformation) n n 仿射轉換指由下式定義之 T : R R 轉換 : T( u) u v 其中 是一矩陣, 而 v 是一個給定的向量 例 : x x T Ch_9.6 線性轉換 電腦繪圖與碎形 n n m 令 uv, 為 R 之向量 c為純量, 則稱轉換 T : R R 為線性 (linear), 若 T ( u v ) T ( u ) T ( v ) ( 保守向量加法 ) Tc ( u) ct( u) ( 保守純量乘積 ) 例 : 前述的放大 線對稱 旋轉 與正交轉換都是線性轉換, 但是平移與仿射則為非線性轉換 Ch_
8// 例題. 試証明 T( x, ) ( x, x) 是線性轉換. 試証明 T ( x,, z ) ( x, z ) 不是線性轉換 Ch_ 矩陣表示 n n 令 T 為 R 中一線性轉換,{ e, e,, e } 為 R 之一組標準基底, n 而 u為 R 中任意向量 將上述的向量都以行向量表之 假定 u ce c e c e 因為 T 是線性轉換, 所以 n n T( u) T( ce ce cnen) ct ( e) ct ( e) ct n ( en) c [ T( e) T( en) ] c n c 矩陣 稱為線性轉換 T 之 標準矩陣 (standard matrix) c n n Ch_
8// 例題 x x 試推導可用來描述線性轉換 T 之矩陣 解 T, T 所以, T 之標準矩陣 x x 因此, T Ch_ 例題 x T x x 定義直線之線對稱轉換 x x T, T T Ch_4
8// 轉換在電腦繪圖的應用齊次座標 為了簡化矩陣的操作, 電腦圖學常使用齊次座標系統 (homogenous coordinate sstem) 齊次座標系統用 n 維的座標來表示 n 度空間的點 譬如 : 三維座標點 (x,, z) 在齊次座標系統中變成 (hx, h, hz, h), 其中第四個座標值 h 稱為齊次座標, 它的值只要不等於 即可 反過來說, 齊次座標系統上的點 (x,, z, w) 代表三度空間的點 (x/w, /w, z/w) 利用齊次座標, 平移也可以用矩陣轉換的形式表之 Ch_ 齊次座標下的平移 x x h x h T k k x x 選 作為 之齊次座標 x hx x h T k k h k Ch_6
8// x cosθ sinθ sinθ cosθ 點旋轉線對稱 r h r k 放大 / 縮小平移 Ch_7 解 例題 試求解可定義平面上以點 P(h, k) 為中心, 旋轉 θ 角之轉換矩陣 我們把此轉換分成以下三個步驟 : (a) T : 把 P 平移至原點 (b) T : 以原點為中心旋轉 θ 角 (c) T : 平移回 P 點 Ch_8 4
8// h cosθ sinθ h T k, R sinθ cosθ, T k x x R p T R T hcosθ sinθ h x k sinθ cosθ k cosθ sinθ hcosθ ksinθ h x sinθ cosθ hsinθ kcosθ k Ch_9 大自然之碎形 數學家 Benoit B. Mandelbrot 所言 : 雲彩並非球形, 山峰亦非圓錐, 海岸線不是圓形, 樹皮不會平滑, 而光線也不是在一條直線上行進 在同一物件中相同的形狀以不同的尺寸不斷地重複著 在 97 年, Mandelbrot 介紹了一種可以用來描述自然現象的新幾何, 他稱此為碎形幾何 (fractal geometr) Ch_
8// 假定下列四個仿射轉換與對應的使用機率 : x.86. x T, p 8.8..86. x..x T, p.8... x..7x T, 6 4 p.8..6.4 x x T4, p4..7 Ch_ 下列的演算法可以產生之前所展示的蕨類植物 :. 令 x,. 按照機率選取仿射轉換 T i. 令 (x, ) T(x, ) 4. 繪製點 (x, ). 令 (x, ) (x, ) ) 6. 重複步驟 - 二萬次 Ch_ 6
8//.7 Leontief 經濟模式 考量一個涵括 n 個彼此相互依存企業的封閉式經濟體, 即其中每一企業之產出 ( 輸出 ) 均成為其他企業 ( 甚至為其本身 ) 生產產品時所需之原料 ( 輸入 ), 我們將嘗試以線性方程式系統建構數學模式來分析此種情形 為簡化討論, 首先假設每一企業僅生產一種產品 ; 令 a ij 為每生產 j 產品 單位所需耗用之 產品單位數, 於此我們定義 單位為 元, 例如,a 4.4 表示每生產 元價值的產品 4 需要耗用.4 元價值的產品 即 a ij 每生產 元價值的 j 產品所需耗用之 i 產品價值 輸出入矩陣 (input-output matrix) 為用以描述經濟體內各企業相互依存關係的工具, 而輸入係數 (input coefficients) a ij 則為矩陣 之元素 Ch_ d x i i 開放部門對企業 i之需求 所有企業及開放部門對企業 i之總需求 x ax ax ax d i i i in n i 企業 i 總產量 企業 需求量 企業 需求量 企業 n 需求量 x a a a x d n x a a a n x d xn an an annxn dn 開放部門需求量 X X D 總輸出 滿足企業間需求部分 滿足開放部門需求部分 Ch_4 7
8// 8 Example 考量一個含有三個企業且具輸出入矩陣 之經濟體, 試求解在下列 GNP 情形下, 該經濟體內各企業為滿足需求而須達到之最低生產數量, 若 8 及, 8 9 6, 6 9 分別為 D 其中 D 之單位為百萬元 Solution Ch_ Solution 我們須計算對應於不同 GNP 值矩陣之輸出需求 X, 由 X X D 可得, X X D ( )X D X ( ) D 4 4 4 8 8 ( ) 8 6 9 Ch_6 相對輸出值 4 8 8 各式 GNP 值 ) ( 4 88 9 7 8 6 8 9 6 9 ) ( D X
8// 9 由上列計算可知, 滿足不同 GNP 值. 6 74 及, 66 9, 99 46 之最小產最小產量 8 及, 9 6, 9 上述向量之單位為百萬元 4 8 6 有關計算之考量 ) ( ) ( ) )( ( m m m Ch_7 m m ) )( ( m ) (.8 馬可夫鏈 族群遷徙及基因定義 : 隨機矩陣 (stochastic matrices) 指矩陣元素之意義為機率, 且各行元素和均為 之方陣 下列矩陣為隨機矩陣 8 8 4 4 4 Ch_8 下列矩陣則不是隨機矩陣 4
8// Example 根據估計, 美國在公元 年有約五千八百萬人住在都會區, 而住在周邊郊區則有約一億四千二百萬人, 由此可建構向量 X 8 4 考量人口自都會區至周邊郊區間之遷移 在公元 年, 都會區居民留在都會區之機率為.96, 因此搬往郊區之機率為.4 郊區居民搬往都會區之機率為., 亦即留在郊區之機率為.99, 我們可利用這些機率值建構隨機矩陣 P 如下 : ( 由 ) 都會區郊區.96. P.4.99 ( 至 ) 都會區郊區 Ch_9 Theorem.9 若矩陣 與 B 為相同大小之隨機矩陣, 則 B 亦為一隨機矩陣 Ch_4
8// 年都會區人口 仍居住在都會區者 自郊區遷入都會區者 (.96 8) (. 4) 7. ( 百萬 ) 年郊區人口 自都會區遷入郊區者 仍居住在郊區者 (.4 8) (.99 4) 4.9 ( 百萬 ) 利用矩陣乘積獲得上列結果.96 X PX.4. 8 7..99 4 4.9 Ch_4 以 年為基準年, 令 X 為 年之人口, 則有 X PX 假設由 P 所代表之人口遷移趨勢不變, 則二年後的人口分布為 X PX 三年後的人口分布為 而 n 年後的人口分布則為 X PX X n PX n- 由此模式所得之推估 ( 至四位小數 ) 分別為 X 8 都會 7. X X 4 郊區 4.9 6.4 4.7 X.47 4.66 X 4 等等 44.67 4.89 Ch_4
8// 觀察都會區人口逐年減少, 而郊區人口則逐年增加 我們在 6. 節將再討論本模式, 屆時將發現數列 X, X, X, 逼近 4 6, 亦即如果條件保持不變, 都會區人口將趨近於四千萬, 而郊區人口則將趨近一億六千萬 此外, X, X, X,, X n 可直接藉由 X 求得, 即 X PX, X P X, X P X,, X n P n X, 矩陣 P n 為一隨機矩陣, 可在 n 個階段將 X 轉成 X n, 這個結果可進一步一般化, 即無論已知年期為何, 均可用來預測該年期 n 年之後的分布情形, X in P n X i P n 稱為 n 次轉換矩陣 (n-step transition matrix),p n 之第 (i, j) 元素代表經過 n 個階段後由 j 狀態至 i 狀態之機率 Ch_4.7 聯繫模式與社會學之群體關係 a ij 若有 Pi 至 Pj之直接有向路徑若無 Pi 至 Pj之直接有向路徑若 i j Ch_44
8// 定義 : 定義 : 有向圖 (digraph) 為一組由有向弧線 (directed arcs) 連接有限個頂點 (vertices) P, P,, P n所形成的圖形集合 頂點間之路徑 (path) 為可允許自一頂點連續通過並抵達另一頂點的一系列弧線 ; 一路徑之長度 (length of a path) 定義為所通過之弧線個數, 而一個長度為 n 的路徑稱為 n-path 定義 : 考量一具有 n 個頂點 P, P,, P n 的有向圖, 其鄰接矩陣 (adjacenc matrix) a ij 之元素可定義如下 若有 Pi 至 Pj之直接有向路徑 aij 若無 Pi 至 Pj之直接有向路徑 若 i j Ch_4 Theorem. 若矩陣 為一有向圖之鄰接矩陣, 令 (a ij ) (m) 為 m 之第 i 列 第 j 行元素, 則由 P i 至 P j 之 m-paths 總數 (a ij ) (m) Proof 考量一具有 n 頂點之有向圖,a i 為 P i 至 P 之聯繫路徑個數, 而 a j 為 P 至 P j 之聯繫路徑個數, 因此 a i a j 為 P i 經由 P 到 P j 的 - paths 個數 將所有可能成為中繼點之情形依上式計算並加總, 則可得所有由 P i 到 P j 的 -paths 總數, 即 a i a j a i a j a in a nj 上式恰為 之第 i 列 第 j 行元素, 因此 (a ij ) () 為由 P i 到 P j 的 - paths 個數 Ch_46
8// 若考量 -paths, 我們將一個 -path 表示成一個 -path 與另一路徑之銜接, 則由 P i 到 P 的 -paths 再由 P 到 P j 的 -path 個數為 (a i ) () a j, 將所有可能成為中繼點之情形依上式計算並加總, 則可得所有由 P i 到 P j 的 -paths 總數, 即 (a i ) () a j (a i ) () a j (a in ) () a nj 上式為矩陣乘積 ~ 亦即 之第 i 列 第 j 行元素, 因此 (a ij ) () 為由 P i 到 P j 的 -paths 總數 準此, 我們亦可將一個 4-path 表示成一個 -path 與另一路徑之銜接, 並依此類推, 則可推知 (a ij ) (m) 為由 P i 至 P j 之 m-paths 總數 Ch_47 有向圖中之距離 有向圖中一頂點到另一頂點之距離 (distance), 定義為該二頂點之最短路徑長度 如果兩頂點間無路徑則稱其距離為未定 (undefined), 一有向圖中各頂點間的距離亦可組成一矩陣 ~ 距離矩陣 (distancet matrix), ti) 其定義如下 : 自 P i 至 P j 最短路徑之連繫弧線個數 d ij 若 i j x 若 P i 與 P j 之間無聯繫路徑 Ch_48 4
8// 社會學之群體關係 表. 群體成員 被其重視意見者 M M 4 M M M M M 4 M M M 4 M M M M M 4 Figure.6 Ch_49 M M M M M 4 列總和 8 6 D x x x x 4x 7 x x x x 4x Figure.6 列總和愈小者, 在群體中的影響力愈大 Ch_