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範圍高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期 :00.0.2 - 班級一年班姓條件機率貝氏定理座號名一填充題 ( 每題 0 分 ). 若 A, B 為兩事件, P(A B) = 4, P(A B) = 4, P(B ) = 2,則 P(B A) =. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 且 PB ( ) = PB ( ) 4 = P(A) + ( 2 ) 4 P(A) = 2 2 PA 故 P(B A) = ( B ) = ( ) ( ) PA PA B = 4 = 2 = PA ( ) PA ( ) 2 2. 2. 投擲一公正骰子三次,令 A 表三次出現點數和為 2 的事件, B 表第一次擲出偶數點的事件,則 ()P(A) =. (2)P(B A) =. () 2 2 ;(2) 26 2 () 點數和為 2 的情況有 (,,6) 排列數為! = 6, (2,4,6) 排列數為! = 6, (,,6) 排列數為第頁! 2! =! (2,,) 排列數為 2! =,(, 4, )! 排列數為! = 6,(4,4,4) 排列數為! = 2 共有 6 + 6 + + + 6 + = 2 種,故 P(A) = 6 = 2 26. PB (2)P(B A) = ( A ) PA ( ) PA ( B) = PA ( ) PA ( ) A B 表第一次偶數且點數和為 2 的事件,其個數有 : ( 6,,) 個數有 2! = 2,( 6,4,2) 個數有! = 6,( 6,,) 個數有 ( 2,,) 個數有,( 4,,) 個數有 2! = 2,( 4,4,4) 個數有 n (A B) = 2 + 6 + + + 2 + = P(A B) = 6 = 26 2 故 P(B A) = 26 26 2 26 = 2 2.. 某校學生中,高一占 40%,高二占 0%,高三占 0%,又知高一學生中有 0% 是近視者,高二學生中有 60% 是近視者,高三學生中有 70% 是近視者.從該校學生中任抽選一人,則

() 此人不患近視的機率為. (2) 所選的人已知患近視,求此人為高二學生的機率為. () 4 ;(2) 00 9 設 A, A 2, A 依次表所選一人為高一高二高三學生的事件, R 表所選一人為近視者事件,則 ()P(R) = P (A ).P (R A ) + P (A 2 ).P (R A 2 ) + P (A ).P (R A ) = 40 00 0 00 + 0 00 60 00 + 0 00 70 00 = 9 00 P (R ) = P (R) = 9 00 = 4 00. 0 60 PA ( 2 R) PA ( (2)P (A 2 R ) = = 2) PR ( A2) = 00 00 PR ( ) PR ( ) 9 00 = 9. 4. 從一副撲克牌中抽出張,已知其中 4 張是紅心,求另外一張也是紅心的機率為. 6 若已知前 4 張是紅心,則另外一張是紅心的機率等於從一副有 4 張 (2 4 = 4) 牌, 其中有 9 張 ( 4 = 9) 紅心的撲克牌抽一張,抽中紅心的機率即 9 4 =. 6. 設袋中有 0 個紅球, 個白球,今自袋中連取兩次,每次取一球,取後不放回,已知兩次中至少有一次取到紅球,求兩球皆為紅球的機率為. 9 2 每次取球情況的機率分配樹狀圖如右 0 故至少有一次取到紅球的機率為 9 7 + 0 7 + 0 7 = 2 0 兩次均取到紅球的機率為 9 7 = 7 所求的條件機率為 7 = 9 2 2. 6. 擲一公正骰子兩次,在點數和大於 9 點的條件下,第一次擲得點的機率為. 設 A 表示點數和大於 9 點的事件, B 表示第一次擲得點的事件,則 A = {(4,6), (,), (6,4), (,6), (6,), (6,6)}, A B = {(,), (,6)} 第 2 頁

PA P (B A) = ( B ) 2 = PA ( ) 6 =. 7. 一袋中有個紅球和個白球,共個球,從袋中逐次取球,每次取出一球,且取出的球不放回,若取每一球的機會相同, A 表第一次取出的球是白球的事件, B 表第二次取出的球是紅球的事件,則 ()P (B) =,(2)P (A B) =. () ;(2) 7 P (B) = P (A) P (B A) + P (A ) P (B A ) ( 白, 紅 ) ( 紅, 紅 ) = 7 + 2 7 = 2 6 =. PA P (A B) = ( B ) = 7 = =. PB ( ) 7 7. 一袋中有白球 4 紅球黑球,今從袋中逐次取球.每次一球,取次,取出不放回.若袋中每一球被取中的機會均等,則 () 三球為兩色的機率為. (2) 第三次取中白球的機率為. () 若已知取出三球為兩色,則第三次取中白球的機率為. (4) 若已知第三次取中白球,則三球恰為兩色的機率為. () 29 44 ;(2) 4 4 ;() ;(4) 4 4 () 設 A 表三球恰為兩色的事件 :( 任三球 ) ( 三球三色 ) ( 三球一色 ) n(a) = P 2 (C C 4 C!) (P + P 4 + P ) = 20 60 90 = 70 70 P (A) = 2 0 = 29 44. (2) 第三次取到白球的機率 = 第一次取到白球的機率 = =. 2 4 () 設 B 表第三次取中白球的事件 A B 表三球兩色且第三次白球的事件,其情況有 ( 白,紅,白 ), ( 紅,白,白 ), ( 黑,白,白 ), ( 白,黑,白 ), ( 紅,紅,白 ), ( 黑,黑,白 ) n(a B) = 4 2 + 4 2 + 2 + 2 + 4 + 4 = 204 PB P (B A) = ( A ) na ( B) 204 = = PA ( ) na ( ) 70 = 4 4. PB (4) nb ( ) = 0 = 0, P (A B) = ( A ) na ( B) 204 = = PB ( ) nb ( ) 0 = 4. 9. 甲袋中有紅球, 2 白球 ; 乙袋中有 2 紅球, 6 白球 ; 任選一袋取出一球,再放入另一袋中,然後再從放入球的袋中又取出一球,則 () 兩次取出之球異色的機率為. 第頁

(2) 又已知兩次所取之球異色,則從甲袋取出白球的機率為. () 4 720 ;(2) 2 設 C, C 2 分別表選甲乙兩袋的事件,則 P(C ) = P(C 2 ) = 2 設 R, R 2 分別表從甲乙袋中取出紅球的事件 W, W 2 分別表從甲乙袋中取出白球的事件 () 兩球異色之機率為 ( 先甲袋紅球且後乙袋白球 ) + ( 先甲袋白球且後乙袋紅球 ) + ( 先乙袋紅球且後甲袋白球 ) + ( 先乙袋白球且後甲袋紅球 ) = P (C R W 2 ) + P (C W R 2 ) + P (C 2 R 2 W ) + P (C 2 W 2 R ) = 2 6 9 + 2 2 2 9 + 2 2 2 6 + 2 6 6 = 4 720. 2 2 2 2 + (2)P( 甲取白兩球異色 ) = 2 9 2 6 4 720 = 62 4 = 2. 0. 擲三粒均勻骰子一次,則在至少出現一粒 2 點的條件下,其點數和為偶數的機率為. 46 9 設 A 表至少出現一粒 2 點的事件, B 表點數和為偶數的事件 PA 則 P(B A) = ( B ) na ( B) = PA ( ) na ( ) n(a) = 任意 ( 三粒均不出現 2 點的情形 ) = 6 = 9 A B 表至少出現一粒 2 點且其和為偶數的事件 : 形如 2 偶偶, 2 奇奇其中 2 偶偶有 (4,2,2), (4,2,6), (2,6,6), (4,4,2), (2,2,6), (2,2,2) 共有! 2! +! +! 2! +! 2! +! 2! + = + 6 + + + + = 9 種又 2 奇奇有 C = 27 種 ( 先排 2,每個奇數有個選擇 ) n(a B) = 9 + 27 = 46,故 P(B A) = 46 9.. 設甲袋中有藍球個,白球個,乙袋中有藍球 2 個,白球個,紅球 2 個,今投擲一公正骰子, 若出現點數為么點或 6,則從甲袋任取一球,若出現其他點數,則從乙袋任取一球.求選取一白球之機率為. 4 20 設 A, B 表選甲袋乙袋的事件, W 表選取一白球的事件則 P(A) = 2 6 =, P(B) = 4 6 = 2 第 4 頁

P(W) = P(A)P(W A) + P(B)P(W B) = + 2 = 24 + 2 2 + 6 = = 4 20 20. 2. 利用簡單隨機抽樣,若從全體 0 位學生中任意抽取一位學生,則編號第號的學生,在第次被抽出的機率為. 0 全部的排列數為 0!,將號排在第次抽出的排列數為 49! 49! =. 0! 0. 設甲袋中有 0 個電燈泡,其中個壞的 ; 乙袋中有 6 個電燈泡,其中個壞的 ; 丙袋中有個電燈泡,其中 2 個壞的 ; 若任選一袋,由選出袋中任取一燈泡 ( 選袋選燈泡的機會均等 ), 則抽中一個壞燈泡的機率為. 4 0 設 A, B, C 分別表選甲袋乙袋丙袋的事件,並設 D 表抽到一壞燈泡的事件,則 P(D) = P(A)P(D A) + P(B)P(D B) + P(C)P(D C) = 0 + 6 + 2 + 0 + 4 = + + = =. 0 2 0 0 4. 同擲三公正骰子的試驗中, A 表出現點數和是的倍數的事件, B 表出現點數和是 0 的事件, 則 ()P (A) =, (2)P (B A) =. () 4 27 ;(2) 26 4 x, y, z 表三骰子的點數, x + y + z = 0 時, 由 x, y, z {,2,,4,,6} 得 {x, y, z} = {,,6}, {,4,}, {2,2,6}, {2,,}, {2,4,4}, {,,4} 數對 (x, y, z) 共有 6 + 6 + + 6 + + = 27 種情形同理 x + y + z = 時有 6 種情形, x + y + z = 時有 0 種情形 6 + 27 + 0 P (A) = 6 = 4 26 27 PA ( B), P (B A) = = 26 PA ( ) 4 26 = 27 4.. 擲一均勻骰子三次, A 表三次的點數均不相同的事件, B 表三次的點數和是 6 點的事件,則 ()P(B) =, (2) 而 A 與 B 不是獨立事件的理由是. 第頁

() 0 ; (2) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 6 P 6 4 PA ( ) = = = 6 6 9 + H C C 0 PB ( ) = = = = = 6 6 6 6 0 6 P(A B) = 6 = 6 ( 只有 + 2 +, + + 2,, + 2 + 共 6 種可能 ) P(A).P(B) = 9. 0 6 = P(A B) A 與 B 不是獨立事件. 6. 有街道如下圖 ( 每一小方格皆為正方形 ),甲自 P 往 Q,乙自 Q 往 P,兩人同時出發以相同速度,沿最短距離前進.假設在每一分叉路口時,選擇前進方向的機率都相等,問甲乙二人在路 a 上相遇的機率有多大? 將所求的機率化為形如的最簡分數 ( 即既約分數 ),其中 n 及 a 皆為正 2 n 整數,則序對 (n, a) =. (, 29) 兩人在 A 點相遇之機率 ( 2 + 2 2 + 2 2 2 )( 2 2 2 2 ) = 7 6 = 7 2 兩人在 B 點相遇之機率 ( 2 2 2 2 )( 2 2 2 2 ) = 6 6 = 26 兩人在 C 點相遇之機率 ( 2 2 2 2 )( 2 + 2 2 + 2 2 2 ) = 6 7 = 7 2 7 甲乙在路上相遇之機率為 2 + 26 + 7 2 = 29 26 = 29 2 = a, 故 n =, a = 29. 2 n 7. 設 A, B, C 為樣本空間 S 之事件,若 A, B, C 為三獨立事件, P(B) = 7, P(A B) = 2,且 P(A B C ) = 2,則 P(C) =. 4 A, B, C 為獨立事件 A, B, C 亦為獨立事件且 A, B 為獨立事件 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 且 P(A B) = P(A)P(B) 7 2 = P(A) + P(A) P(A) = 第 6 頁

又 P(A B C ) = 2 P(C ) = 2 P(A)P(B)P(C ) = 2 P(C ) = 4,故 P(C) = P(C ) = 4 = 4.. 某公司生產的省電燈泡由甲廠乙廠丙廠生產的比例是 40%, %, 2%,根據統計,甲廠乙廠丙廠生產的瑕疵品分別占各廠生產品的比例為.%,.2%,.%,若將公司生產的燈泡集中在倉庫裡,從中任取一個燈泡,則 () 取到瑕疵品的機率為 ; (2) 若從中取得的燈泡是瑕疵品,則此燈泡是甲廠生產的機率為. () 26 2000 ; (2) 2 () 取到瑕疵品的機率 = 40%.%+ %.2%+ 2%.% = 40%.% 2 (2) 條件機率 = =. 26 2000 9. 擲三枚均勻的銅板一次,則至少出現一個正面的條件下, 26 =. 0000 2000 () 三個都是正面的機率 =, (2) 恰有兩個正面的機率 =. () 7 ;(2) 7 擲三枚銅板,至少出現一次正面的機率 : 全 -( 三反 ) = = 7 () 三次都正面的機率 =,所求條件機率 = = 7 7. (2) 恰兩次正面的機率 = C ( ) = ( 2 ) =,所求條件機率 = = 7 7. 20. 袋中有 6 白球黑球,每次從袋中取出一球,取後放回,共取次,已知取到 4 次白球,則最初兩次都是白球的機率為. 設 A : 取到 4 次白球, B : 前 2 次取到白球, 2 4 0 2 2 2 2 6 PA ( ) = C 4 ( )( ) =, PA ( B) = C 2 ( )( ) = 24 6 PA ( B) PB ( A) = = =. PA ( ) 0 24 第 7 頁

2. 已知甲乙兩人打靶的命中率分別為 4, 2.今甲乙兩人向同一個靶各射擊兩發,若每一發命中與否互不相關,求此靶恰被命中二發的條件下,甲乙兩人各擊中一發的機率為. 72 7 P( 甲中且乙中 ) 所求機率為 P( 甲中 2) + P( 乙中 2) + P( 甲中且乙中 ) 2 2 2 C C ( )( )( )( ) 72 72 = 4 4 = =. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) + ( ) ( ) + C 4 72 7 C( )( )( )( ) + + 4 4 4 4 22. 設某工廠有 A, B, C 三部機器生產同樣的產品,其產量分別為總產量的 4,, 2.而 A, B, C 三部機器的產品中,其不良品分別占其個別產量的 4%, %, 2%. () 從所有產品中取一產品,問取中不良品的機率為. (2) 從所有產品中取一產品,已知取中不良品的條件下,問此產品來自 C 機器的機率為. () 7 600 ;(2) 7 7 () P ( 不良品 ) = 4% + % + 2% =. 4 2 600 2% (2) PC ( 不良品 ) = 2 =. 4% + % + 2% 7 4 2 2. 擲一枚硬幣四次,則至少出現三次正面的機率為. 6 4 設擲四枚硬幣,樣本空間 S,則 S = 2 = 6, 4 4 至少三次正面的事件為 A,即三正四正, 則 A = C + C4 =,所以 PA= ( ). 6 24. 小王和小林一起玩打靶遊戲,小王射擊命中靶的機率是,小林的機率是 2,小王先射,小林後射 ; 小王射中與否不會影響小林的命中率,若他們兩人向靶各射一次,則只有小林命中的機率為. 4 設小王與小林命中的事件分別為 A 與 B,所求機率為 P( A' B) = P( A' ) P( B A' ), 但已知 A 與 B 互相獨立,所以 PB ( A' ) = PB ( ),又 PA' ( ) = PA ( ), 2 4 故所求機率為 ( ) =. 第頁

2. 連續投擲一公正骰子,欲使出現 6 點的機率不小於 ( 註 : log 2 0.00, log 0.477) 7 2 的投擲次數至少是次. 投一次不出現 6 點的機率為 6,欲使出現 2 6 點的機率不小於時, ( ) n, 6 log 即 n(log log6) ( log),故 n 6.0,即至少要投擲 7 次. log 2 + log ( log 2) 26. 如圖,設路線圖中, PQ = P'Q', QR = Q'R', RS = R'S',甲自 P 往 P', 乙自 P' 往 P; 二人同時出發,以相同的速率前進,在分叉點選擇各個前進方向的機率相等,則甲乙兩人途中不相遇的機率為. 2 62 () 甲乙途中相遇的情況只有在 A, B, C, C', B', A' 等六處, 如圖所示. (2) 設兩人在 A, A', B, B', C, C' 相遇的機率分別為 P( A), P( A' ), P( B), P( B' ), P( C), P( C' ), 則 PA ( ) = PA' ( ) = =, 9 PB ( ) = PB' ( ) = ( ) ( ) =, PC ( ) = PC' ( ) = ( ) ( ) =, 2 2 24 4 故兩人途中相遇的機率為 2( + + ) =, 9 24 62 4 2 因此不相遇的機率為 =. 62 62 第 9 頁