2-2 函數圖形的描繪

2-2 函數圖形的描繪 為了使畫出來的近似圖形較為接近正確的圖形, 我們須借助一些資料 (1) 圖形的局部最高點與局部最低點 (2) 圖形的上升與下降的變化情形 (3) 圖形彎曲方向的變化情形 ( 甲 ) 函數的遞增與遞減由 2 1 節的討論可知 : (1) 設 f() 在 (a,b) 內每一點都可微分 (a) 若 f / () 0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為遞增 (b) 若 f / () 0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為遞減 (2) 設 f() 在 (a,b) 內每一點都可微分 (a) 若 f / ()>0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為嚴格遞增 (b) 若 f / ()<0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為嚴格遞減 [ 例題 1] 試討論函數 f()= 2 +4 的增減情形 Ans: 在 < 2 或 >2 時 f() 嚴格遞增, 2<<2 時 f() 嚴格遞減 ( 練習 1) 試討論 f()=2 3 2 4+5 的增減情形 ] Ans:< 2 3 或 >1 時, 嚴格遞增 ; 2 3 <<1 時, 嚴格遞減 ( 練習 2) 試討論 f()= 2 +3 2 +3 的遞增或遞減狀況 Ans:< 3 或 >1 嚴格遞減, 3<<1 嚴格遞增 ( 乙 ) 函數的凹向與反曲點 (1) 函數的凹向性 : 觀察 =f()= 2,=g()=, 0, 它們都是遞增的函數, 但是 這兩個遞增圖形有一些差異 假想這兩個圖形是兩條公路, 如果汽車從 (0,0) 出發, 分別沿公路前進, 為了保持在公路上前進, 沿 = 2 路線的汽車要左轉彎, 沿 = 路線的汽車要右轉彎 這種 左轉彎 右轉彎 的現 象指出了這兩種曲線的一項重要差異 ~2-2-1~ = 2 =

以數學術語來說,= 2 的圖形凹口向上,= 的圖形凹口向下 定義 : (1) 設 f() 是定義在 (a,b) 上的函數, 令 Γ 為函數 =f() 的圖形, 如果連接 Γ 上任意兩點的線段位於連接此兩點的上方, 我們稱 =f() 在 (a,b) 上凹口向上 (concave upward) (2) 設 f() 是定義在 (a,b) 上的函數, 令 Γ 為函數 =f() 的圖形, 如果連接 Γ 上任意兩點的線段位於連接此兩點的下方, 我們稱 =f() 在 (a,b) 上凹口向下 (concave downward) 對於可微分函數而言 : 我們利用 f // (f 的二階導數 ) 來解釋函數的凹向 : (a)f // ()= d d (f / ()),f / () 為斜率函數 (b) 觀察下面二個圖形 : f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率遞增 f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率遞減 (a,0) (a,0) (c) 由左上圖, 因為 f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率 f / () 遞增, 換句話說,f / () 在 =a 附近是遞增函數, 因此 f // (a) 0 由右上圖, 因為 f() 在 (a,f(a)) 點附近的切線斜率 f / () 遞減, 換句話說,f / () 在 =a 附近是遞減函數, 因此 f // (a) 0 ~2-2-2~

定理一 :( 函數凹性的二階函數判別法 ) 設 f:(a,b) R 為一個二階可微分的函數 (1) f // () 0, (a,b) f() 在 (a,b) 內凹口向下 (2) f // () 0, (a,b) f() 在 (a,b) 內凹口向上 (1) 的證明 : 先證必要性, 即證明 f / () 為遞增函數 1, 2 (a,b), 1 < 2, 設 M( 1,f( 1 )) 和 (( 2,f( 2 )) 的連線斜率為 m, 任取 ( 1, 2 ), 設 P(, ~ ()) 是線段 M 1 M 2 上相對應的點, 因為 f() 凹口向上, 所以 ~ () f() f() f( 1 ) ~ () f(1 ) =m, f / 1 +( 1 ) m 1 M 1 P M 2 f() f( ~ 2 ) () f(2 ) =m, f / 2 ( 2 ) m 2 因為 f / ( 1 ) 與 f / ( 2 ) 存在 f / ( 1 )= f / +( 1 ) m f / ( 2 )= f / ( 2 ) 因此 f / () 為遞增函數 f // () 0 再證充分性, 1, 2 (a,b), 1 < 2, 設 M( 1,f( 1 )) 和 (( 2,f( 2 )) 的連線斜率為 m, 任取 ( 1, 2 ), 設 P(, ~ ()) 是線段 M 1 M 2 上相對應的點, 欲證明 ~ () f() 根據 Lagrange 中間值定理, ξ (a,b), 使得 f / (ξ)=m 設 1 < ξ, 因為 f // () 0, 所以 f / () 為遞增函數 f / () f / (ξ)=m= ~ / (), 又因為 f( 1 )= ~ ( 1 ) (f() ~ ()) / 0, 且 f( 1 ) ~ ( 1 )=0 f() ~ () 0 f() ~ () 設 ξ<< 2, 同理可證 f() ~ () 因此 f() 在 (a,b) 內凹口向下 [ 例題 2] 根據美國當選總統的得票率, 預測該總統的政黨在眾議院獲得席次比率的一個數學模型 : 設當選總統的得票率為 p, 則該總統的政黨在眾議院獲得席次比率 p 3 為 H(p)= p 3 +(1 p) 3 0 p 1[ 稱為 House 函數 ], 請討論 H(p) 的凸性 Ans:(0, 1 2 ) 凹口向上,( 1 2,1) 凹口向下 ~2-2-3~

( 練習 3) 試討論 f()= 2 +4 的凹向 Ans: 凹向上 :< 2 3 或 0<<2 3; 凹向下 : 2 3<<0 或 >2 3 ( 練習 4) 試討論函數 f()= 52 +8+5 2 +1 的凹向 Ans:< 3 或 0<< 3,f() 凹向下 ; 3<<0 或 > 3,f() 凹向上 ( 練習 5) 討論 f()= 3 12+2 凹向的情形 Ans:<0 圖形凹口向下,>0, 圖形凹口向上 ( 練習 6) 討論 f()= 4 2 2 +1 的凹向情形 Ans: 凹向上 :< 1 或 > 1 3 3 ; 凹向下 : 1 3 << 1 3 (2) 函數的反曲點 : 先給一個實例 : 練習 6 中 f()= 4 2 2 +1, 觀察 = 1 與 = 1 附近凹向的變化情形 : 3 3 = 1 3 附近 :< 1 3,f() 凹口向上,> 1 3,f() 凹口向下 = 1 3 附近 :< 1 3,f() 凹口向下,> 1 3,f() 凹口向上 像 = 1 3 及 1 這樣的點,f() 在這些點處發生凹向的變化, 3 我們把 ( 1 3,f( 1 3 )) 與 ( 1 3,f( 1 3 )) 稱為函數 f() 的反曲點或拐點 反曲點的定義 : 若在 a 點附近,<a 的凹向與 >a 的凹向相反, 則稱 (a,f(a)) 為函數 f() 的一個反曲點 幾何解釋 : 反曲點 B 反曲點 P 反曲點 A 以開車為例, 當汽車從 A 沿著 =f() 的圖形向 B 行駛, 由 A 至 P 這一段, 方向盤應該左轉 ; 由 P 至 B 這一段應該右轉 換句話說, 反曲點就是方向盤應該改變轉向的點 反曲點與二次導數的關係 : 設函數 f() 為一個至少可微分 2 次以上的函數, 若點 (a,f(a)) 為函數 f() 的反曲點, 則 f // (a)=0 [ 證明 ]: 自己證!( 請參考 2 1 節定理一 ) ~2-2-4~

反過來說, 若 f // (a)=0 時, 點 (a,f(a)) 不一定為反曲點 反例 :f()= 4,f // (0)=0, 但 (0,0) 不是反曲點 (3) 由一階及二階導函數判別函數的極值 : 局部最高點附近 凹口向下 局部最低點附近 凹口向上 定理二 : 設 f() 在 (a,b) 上可微分, 設 0 (a,b) 且 f / ( 0 )=0,f // ( 0 ) 存在 (1) 若 f // ( 0 )<0, 則 f() 在 = 0 處有相對極大值 (2) 若 f // ( 0 )>0, 則 f() 在 = 0 處有相對極小值 證明 : (1) 考慮 f // ( 0 )<0 的情形, 因為二階導數是通過一階導數定義的, 所以 f // ( 0 ) 存在, 隱含了 f / () 在 0 附近是存在的 f // ( 0 )= lim 0 / f ( ) f 0 / ( 0 ) = lim f 0 0 / ( ) <0 存在 r>0 使得當 ( 0 r, 0 +r) 時, f/ () 0 <0 > 0,f / ()<0 且 < 0,f / ()>0 f() 在 = 0 處有相對極大值 (2) 自證! ~2-2-5~

[ 例題 3] 決定曲線 = 4 4 3 +10 的凹向, 並求其反曲點 Ans:(,0) (2, ) 凹口向上,(0,2) 凹口向下 ;(0,10) 及 (2, 6) 為反曲點 [ 例題 4] 若設函數 f() 在區間 [a,b] 上凹口向上,a 1,a 2, a n [a,b] f(a 1 )+f(a 2 )+ +f(a n ) 則 n f( a 1+a 2 + +a n n ) [ 例題 5] 試求內接於半徑 10 公分的球, 而有最大體積的直圓柱之底半徑與高 Ans: 10 6 3,20 3 3 ( 練習 7) 決定下列各曲線的彎曲方向, 並求其反曲點 : (1)= 5 5 4 (2)= 2 +1 Ans:(1)(,3) 凹口向下 ;(3, ) 凹口向上 ; 反曲點 (3, 162) 注意 (0,0) 不是反曲點 (2)(, 3) (0, 3) 凹口向下 ;( 3,0) ( 3, ) 凹口向上 ; ~2-2-6~

反曲點 :( 3, 3 4 ),(0,0),( 3, 3 4 ) ( 練習 8) 設曲線 = 3 +a 2 +b+1 之反曲點為 (1,8), 試求 (a,b)=? Ans:( 3,9) ( 練習 9) 求曲線 = 4 6 3 +12 2 8 上, 以反曲點為切點之切線方程式 Ans:2 3=0,=0 ( 練習 10) 如圖, 有線段 AB,AC 及直線 L, 設 AB=14, AC =3, AB AC, AB L, 點 P,Q 分別在 AB 與 L 上移動, C 且使 CPQ=90, 求 CPQ 之最大面積 Ans:75 ( 丙 ) 函數圖形的描繪 (1) 圖形描繪的要點 : (a) 首先考慮函數的局部最高 最低點 (f / =0 的點 ), 函數的凹向 ( f // 的正負 ), (b) 在利用解析幾何的描圖原則討論截距 對稱 範圍 漸近線等 A P Q B f / f // 圖形 + + + + 1.5 1.25 1 [ 例題 6] 試描繪函數 f()= 4 2 2 +1 的圖形 0.75 0.5 0.25-1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5 (2) 漸近線的求法 : 漸近線的意義 : 假設 Γ 為一曲線,L 為一直線, 若動點 P 沿著曲線 Γ 的任一方向趨向無窮遠處時,P 點至直線 L 的距離也隨之趨近於 0, 則稱直線 L 為曲線 Γ 的漸近線 (a) 若 lim f ( ) = l, 則 =l 為 =f() 的水平漸近線 若 lim f ( ) = m, 則 =m 為 =f() 的水平漸近線 說明 : ~2-2-7~

1 (b) 若 lim = 0, 則 =a 為 =f() 的鉛直漸近線 a f ( ) 說明 : f ( ) (c) 若 a= lim,b= lim ( f ( ) a) 或 a= lim 則直線 =a+b 為 =f() 的漸近線 說明 : 設 =a+b 是 =f() 圖形的漸近線 P(,f()) 與直線 L 的距離 = f() a b a 2 +1 0, 當 或 假設 lim f() a b =0 lim ( f ( ) a) =b, 又因為 lim f() a b = lim f() a b lim 1 =0 lim f() a b f() =0 lim b =a f ( ) lim =a k (d) 分式函數 f()=a+b+ 圖形的漸近線 : ( α 1 )( α 2 )...( α n ) =a+b,=α 1,=α 2,...=α n f ( ),b= lim ( f ( ) a) [ 例題 7] 試描繪 f()= 52 +8+5 2 +1 的圖形, 並求極值 反曲點與漸近線方程式 8 6 4 2-6 -4-2 2 4 6 ~2-2-8~

[ 例題 8] 試求 =f()= 3+2cos,0 π 的增減情形 反曲點與圖形 Ans:f() 在 (0, π 3 ) (2π 3,π) 嚴格遞增 ; 在 ( π 3,2π 3 ) 嚴格遞減, 反曲點 ( π 2, 3 π 2 ) ( 練習 11) 試作 =f()= 4 +4 3 6 2 +8 的圖形 ( 練習 12) 試描繪 =f()= ( 練習 13) 試描繪出 = 1 2 之圖形 1 4 2 +1 的圖形 ( 練習 14) 試描繪出 = 2 2+2 的圖形 1 ( 練習 15) 求下列各函數圖形漸近線 : (1)f()= +1 (2)f()= 2 ( 3)2 (3)= a 4( 1) Ans:(1) +1=0, 1=0(2) =+a,=a (3)= 1 4 ( 5), 1=0 ( 丁 ) 三次函數的圖形 設 f()=a 3 +b 2 +c+d ( a 0 ) f / ()=3a 2 +2b+c,f // ()=6a+2b 設 f / ( ) = 0 有兩根 α,β, 而 f // ( b 3a )=0, 當 > b 3a 與 < b 3a,f // () 異號, 所以 ( b 3a,f( b 3a ) 為反曲點 (a) 設 α<β / 2 f ( ) = 3a + 2b + c = 3a ( α)( β), f a>0 a<0 // ( ) = 3a(2 α β) ~2-2-9~

有一個極大, 一個極小, 一個反曲點 (b) 設 α=β 為兩相等實根 / 2 // f ( ) = 3a( α), f ( ) = 6a( α) a>0 a<0 遞增函數, 沒有極大極小點, 反曲點有一水平切線遞減函數, 沒有極大極小點, 反曲點有一水平切線 (c)α,β 為兩虛數 f / 2 ( )= 3a + 2b + c, f // ( ) = 6a+ 2b a>0 a<0 遞增函數, 沒有極大極小點, 反曲點沒有水平切線遞減函數, 沒有極大極小點, 反曲點沒有水平切線 結論 : 設 f()=a 3 +b 2 +c+d (a 0) f / 2 ( )= 3a + 2b + c, f // 2 ( ) = 6a+ 2b, = 4( b 3ac) (1) 0:=f() 的圖形有一個極大點 極小點 反曲點 (2) =0:=f() 無極大點 極小點, 只有一個反曲點, 在反曲點有水平切線 (3) <0:=f() 無極大點 極小點, 只有一個反曲點, 在反曲點有斜的切線 [ 例題 9] 設 f()=a 3 +b 2 +c+d, 如圖, 試判別 a,b,c,d 之正負 Ans:a>0,b>0,c<0,d<0 ~2-2-10~

[ 例題 10] 設 f()= 3 3 2 9+k 試求滿足下列各條件之 k 值 (1)f()=0 有相異三實根 (2)f()=0 有一實根二虛根 (3) f()=0 有二正根一負根 Ans:(1) 5<k<27 (2)k>27 或 k< 5 (3)0<k 27 [ 例題 11] 設 3 次函數 f()=a 3 +b 2 +c+d (1) 求證 f()=a(+ b 3a )3 +f / ( b 3a )(+ b 3a )+f( b 3a ) (2) 證明 3 次函數的圖形關於其反曲點 ( b 3a,f( b 3a )) 成對稱 (3) 若 f() 在 =α 及 =β 其中 (α β) 發生極值, 則 f(α)+f(β)=2 f( b 3a ), 試證之 ( 練習 16) 設函數 f()=a 3 +b 2 +c+d 在 = 1 處有相對極大值 7, 而 ( 1, 9) 是它的一個反曲點, 求 f ( ) =? Ans: 3 3 2 +9+2 ( 練習 17) 若 =3 3 與 =+k 圖形交相異三點, 求 k 之範圍 4 6 4 6 Ans: < k < 9 9 (Hint: 考慮 = 3 +2 與 =k 的交點 ) ~2-2-11~

( 練習 18) 設 f()= 3 3k 2 +k+3 求滿足下列條件之 k 值 (1)f()=0 有三實根 (2)f()=0 有二相異負根一正根 Ans:(1)k 3 或 k 1 (2)k< 3 ( 練習 19) 設 f()=a 4 +b 3 +c 2 +d+e 之圖形如右, 試判斷 a,b,c,d,e 的符號 Ans:,,+,+, ( 練習 20) 設 =f() 為 的四次多項函數, 圖形有二個反曲點 (2,16),(0,0), 並且過 (2,16) 的切線與 軸平行, 試求 f() Ans: 4 4 3 +16 ( 練習 21) f ( ) = 3 4 8 3 6 2 + 24+ a有二個實根與二虛根, 則求 a 的範圍 Ans: 8< a < 19或 a < 13 綜合練習 1. f ( ) 是一個首項係數為 1 的實係數三次多項式,k 是一個常數 已知當 k < 0 或 k > 4 時, f( ) k = 0只有一個實根 ; 當 0< k < 4時, f( ) k = 0有三個相異實根 請選出正確的選項 (1) f( ) 4 = 0 和 f ( ) = 0有共同實根 (2) f( ) = 0和 f ( ) = 0有共同實根 (3) f( ) + 3 = 0 的任一實根大於 f( ) 6= 0的任一實根 (4) f( ) + 5= 0的任一實根小於 f( ) 2= 0的任一實根 Ans:(1)(2)(4) (92 指定甲 ) 2. 試繪下列各函數的圖形 : (1)f()=2 3 3 2 (2)f()=2 2 4 (3)f()= 2 1 (4)f()= 2 +4 (5)f()= +1 1 3. 利用函數的凹凸性, 證明 : 若 A B C 為三角形的三內角, 則 3 (sina+sinb+sinc) 3 2 4. 設 f()=+cos, (a) 試討論 f ( ) 的增減情形 π (b) 試求 = f ( ) 的反曲點的 坐標 Ans:(1) 增函數 (2) ( nπ +,0), n Z 2 5. 試求 f ( ) 1 1 = + sin 的極值 Ans: 極小值 2 2 ; 極大值 2 2 cos 6. 三次函數 f()=a 3 +b 2 +c+d, 在 = 2 有極小值 14, 在 = 2 處有極大值 18, 則圖形中的反曲點坐標為 Ans:(0,2) 7. 利用三次函數的圖形, 求方程式 3 +a+b=0 有三個相異實根的充要條件 Ans:4a 3 +27b 2 <0 8. 試證明 : (1) 三次曲線必有反曲點, 但未必有極點 (2) 四次曲線必有極點, 但未必有反曲點 9. 內接於半徑 9 的球之直圓柱體積最大時, 圓柱高為何? Ans:6 3 ~2-2-12~

3 2 10. 已知函數 f ( ) = 2 3 + 12之圖形如右, A,B 為極點, 則 (1)(m,s) =? (2) 若 f ( ) = k 有三相異實根, 則 k 的範圍為? (3) 若 f ( ) = k 有二相異負根, 一正根, 則 k 的範圍為? Ans:(1)(1, 2) (2) 20<k<7 (3) 20<k<0 B(s,t) 11. 設 f ( ) = 3 + k 2 + 2k+ 1+ k無極值, 則 k 的範圍為?Ans: 0 k 6 A(m,n) 12. 設 (a,b),( a,b) 為拋物線 =1 2 上兩點, 其中 a,b>0, 考慮由此兩點與 (,)( 10 10,) 圍成的梯形 若欲使此梯形的面積最大, 則 (1)a=?(2) 此最大面積為何? Ans:(1) 1 3 13. 設四次函數 f ( ) = 4 3 2 4 + 2a (1) 若 f ( ) 沒有相對極大值, 則求 a 的範圍 9 9 (2) 若 f ( ) 有相對極大值, 則求 a 的範圍 Ans:(1) a = 0或 a (2) a < 或 a 0 4 4 14. 設 f ( ) = 3 + a+ b的極大值為 5, 極小值為 1, 則 ( ab, ) =?Ans:(3,1) 或 (-3,5) 15. 如右圖, 河寬 5 公里, BC = 8 公里, 今老李欲從 A 到 B, 已知老李划船時速 3 公里 / 小時, 路上步行的時速 5 公里, 問老李應於何處上岸, 到達 B 點用時最少? 15 Ans: 離 C 點公里 4 2 16. 一矩形之二頂點在 軸上, 另二點在 軸上方, 且在拋物線 = + 15上, 則此矩 形的最大可能面積為何? 此時四頂點的坐標為何?Ans: 20 A C B 5,( ± 5, 0),( ± 5, 10) 17. 曲線 =1 cos 上點 (t,1 cost) 處的切線與 軸的交點記為 (f(t),0), 其中 π<t<π,t 0 f(t) f(t) (a) 求 f(t) (b) 求 lim t 0 t =? (c) 考慮函數 t 的增減情形 Ans:(a)f(t)=t 1 cost sint (b) 1 2 (c) π<t<0 時, f(t) t 遞增 ;0<t<π 時, f(t) t 遞減 18. 設函數 f()=2a 3 3(3a+1) 2 +18, 其中 a 是正的常數 (a) 試用 a 的值討論 f() 的極大值 (b) 設在 0 3 範圍內 f() 的最大值為 14, 求 a 的值 Ans:(a)0<a< 1 3 時, 極大值 =f(3)= 27a+27;a= 1 3 時, 極大值不存在 ; a> 1 3 時, 極大值 =f( 1 a )=9a 1 a 2 (b)a=1 2 19. 對於平面上曲線 =a( 3 ), 若存在以原點為中心的某個圓與該曲線相交於 6 個交點, 求 a 值的範圍 Ans:a< 3 或 a> 3 (2) 32 27 ~2-2-13~