州奥林教育 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b b c c 设实数 bc,, 满足 : b c 3, b c 4, 则 c b ( ) 0 3 6 D 9 答 D b c 3, b c 4, b b c c 4 c 4 4 b ( c) ( ) ( b) c b c b 6 ( b c) 9 若抛物线 y x bx c 与 x 轴只有一个公共点, 且过点 ( m, n ), ( m 8, n), 则 n =( ) 8 6 D4 答 依题意, 有 n m bm c ( m 8) b( m 8) c, 于是可得 b 8 m 抛物线 y x bx c 与 x 轴只有一个公共点, b 4c 0, c b (4 m) 4 因此 n m bm c m (8 m) m (4 m) 6 3 矩形 D 中, D 5, 0, 分别为矩形外的两点, D 4, 3, 则 ( ) 4 5 5 D 0 答 易知 D 90, D D 延长, 交于点 G G 90 D D, G 90 = D, G D, 且 G 90, G 8, G 6, D G G, G 0, G G 4 已知 O 为坐标原点, 位于第一象限的点 在反比例函数 y ( x 0) 的图象上, 位于第二象限的 x 4 点 在反比例函数 y ( x 0) 的图象上, 且 O O, 则 tn O 的值为 ( ) x 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 8 页 )
州奥林教育 D 答 过点 分别作 x 轴, D x 轴, 垂足为 D 由 O O 得 O 90, 于是可 O S O O x y 得 O OD, 所以 tn O O S OD D x y 4 5 已知实数 xy, 满足关系式 xy x y, 则 x OD y 的最小值为 ( ) 3 6 4 D 6 4 答 设 x y t, 则由题设条件可知 xy x y t, 所以 xy, 是关于 m 的一元二次方程 0的两个实数根, 于是有 : t 4( t ) 0, 解得 t 或 t m tm t 又因为 x y ( x y) xy t ( t ) ( t ) - 3, 所以, 当 t ( 即 x y ) 时, x y 取得最小值, 最小值为 ( ) 3 6 4 6 设 n 是小于 00 的正整数且使 5n 3n 5 是 5 的倍数, 则符合条件的所有正整数 n 的和是 ( ) 85 350 540 D635 答 D 5n 3n 5 是 5 的倍数, 5 (5n 3n 5), 5 3n, 5 n, 设 n 5m( m 是正整数 ), 则 5n 3n 5 5m 5m 5 0m 5m 5( m ) 5n 3n 5 是 5 的倍数, m 是 3 的倍数, m 3k 或 m 3k, 其中 k 是非负整数 n 5(3k ) 5k 5或 n 5(3k ) 5k 0, 其中 k 是非负整数 符合条件的所有正整数 n 的和是 (5+0+35+50+65+80+95)+(0+5+40+55+70+85) =635 二 填空题 :( 本题满分 8 分, 每小题 7 分 ) 3 设 b, 是一元二次方程 x x 0的两根, 则 3 4b 的值为 答 b, 是一元二次方程 x x 0的两根, b, b,, b b, 3 4b 3 4b b 3 ( ) 4b ( b ) 3 3 6b 3 3 3( ) 3 6b 6( b) 5 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 8 页 )
州奥林教育 从三边长均为整数且周长为 4 的三角形中任取一个, 它是直角三角形的概率为 答 设三角形的三边长为 bc(,, b c ), 则 3 b c 4, ( b c) 4, 所以 8, 故 的可能取值为 8,9,0 或, 满足题意的数组 ( bc),, 可以为 : (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(0,0,4),(0,9,5),(0,8,6), (0,7,7),(,,),(,0,3),(,9,4),(,8,5),(,7,6), 共 组, 其中, 只有一组是直角三角形的三边长, 所以, 所求概率为 3 已知锐角 的外心为 O, O 交 于 D, 分别为 D D 的外心, 若,, 则 答 60 作 M 于点 M, N 于点 N, P M 于点 P 分别为 D D 的外心, M N 分别为 D D 的中 点 又, P MN, P 30 P 又 D, M, D P 30 O M D N 又 D D (80 ) 90, 90 D 60 4 将数字,,3,,34,35,36 填在 6 6 的方格中, 每个方格填一个数字, 要求每行数字从 左到右是从小到大的顺序, 则第三列所填 6 个数字的和的最小值为 答 63 设第三列所填 6 个数字按从小到大的顺序排列后依次为,,, D,, 因为 所在行前面需要填两个比 小的数字, 所以 不小于 3; 因为 所在行前面需要填两个比 小 的数字, 且 及 所在行前面两个数字都比 小, 所以 不小于 6 同理可知 : 不小于 9, D 不小于, 不小于 5, 不小于 8 因此, 第三列所填 6 个数字之和 + + + D + + 3 6 9 5 8 63 如图即为使得第三列所填 6 个数字之和取得最小值的一种填法 ( 后三列的数字填法不唯一 ) 3 9 0 4 5 6 5 7 9 7 8 9 3 4 0 6 8 30 3 4 5 3 34 35 6 7 8 3 33 36 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b b c c 设实数 bc,, 满足 : b c 3, b c 4, 则 c b ( ) 9 6 D3 答 解答与 () 卷第 题相同 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页 ( 共 8 页 )
州奥林教育 题目和解答与 () 卷第 题相同 3 题目和解答与 () 卷第 3 题相同 4 已知实数 xy, 满足关系式 x xy y 3, 则 ( x y) 的最大值为 ( ) 3 6 9 D 答 D 设 x y t, 则 x y t, 代入题设等式得 ( y t) ( y t) y y 3, 整理得 3y 3ty t 3 0 由判别式 (3 t) ( t 3) 0 得 3 t 3, 故 ( x y) t 5 题目和解答与 () 卷第 4 题相同 6 设 n 是小于 00 的正整数且使 n 3n 是 6 的倍数, 则符合条件的所有正整数 n 的和是 ( ) 784 850 536 D634 答 D n 3n 是 6 的倍数, (n 3n ), 3n, n, 设 n m( m 是正整数 ), 则 n 3n 8m 6m 6m 6m ( m ) n 3n 是 6 的倍数, m 是 3 的倍数, m 3k 或 m 3k, 其中 k 是非负整数 =634 n (3k ) 6k 或 n (3k ) 6k 4, 其中 k 是非负整数 符合条件的所有正整数 n 的和是 (+8+4+ +86+9+98)+(4+0+6+ +8+88+94) 二 填空题 :( 本题满分 8 分, 每小题 7 分 ) 题目和解答与 () 卷第 题相同 三边长均为整数且周长为 4 的三角形的个数为 答 设三角形的三边长为 bc(,, b c ), 则 3 b c 4, ( b c) 4, 所以 8, 故 的可能取值为 8,9,0 或, 满足题意的数组 ( bc),, 可以为 : (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(0,0,4),(0,9,5),(0,8,6), (0,7,7),(,,),(,0,3),(,9,4),(,8,5),(,7,6), 共 组, 所以, 三边长均为整数且周长为 4 的三角形的个数为 3 D 两点在以 为直径的半圆周上, D 平分, = 0, D = 4 5, 则 的 长为 答 4 连接 OD,O, 作 D 于,O 于 D 平分, DO D O 又 O OD, O OD, O, O O O D 设 = x, 则 O = x 在 Rt OD 中, 由勾股定理得 D OD O 00 x 在 Rt D 中, D D, 即 (4 5) (00 x ) (0 x), 解得 x 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页 ( 共 8 页 )
州奥林教育 = x =4 4 在圆周上按序摆放和为 5 的五个互不相等的正整数,b, c, d, e, 使得 b bc cd de e 最小, 则这个最小值为 答 37 和为 5 的五个互不相等的正整数只能是,,3,4,5 注意到五个数在圆周上是按序摆放的, 且考虑的是和式 b bc cd de e, 不妨设 =5 图 图 图 3 图 4 图 5 如果 和 5 的位置不相邻, 不妨设 c =( 如图 ), 此时的和式为 P 5b b d ed 5e ; 交换 和 b 的位置后, 得到如图 3 的摆法, 此时的和式为 P 5 b bd ed 5e 因为 P P 5b d 5 bd (5 d)( b ) 0, 所以 P P 因此, 交换 和 b 的位置使得 和 5 相邻 ( 如图 3) 以后, 和式的值会变小 如图 3, 如果 d =, 此时的和式为 P3 5 b b e 5e ; 交换 e 和 的位置以后, 得到如图 4 的 摆法, 此时的和式为 P4 5 b be e 0 因为 P3 P4 b 5e be 0 (5 b)( e ) 0, P 所以 3 4 P, 因此, 交换 e 和 的位置使得 和 5 相邻以后和式的值会变小 如果 b =, 此时的和式为 P5 5 d ed 5e ; 交换 e 和 的位置以后, 得到如图 5 的摆法, 此时的和式为 P6 5 e ed d 0 因为 P5 P6 5e e 0 4( e ) 0, 所以 P5 P6, 因此, 交换 e 和 的位置使得 和 5 相邻以后和式的值会变小 综上可知 : 和 摆在 5 的两边 ( 如图 5) 时, 和式的值会变小 当 d =3, e =4 时, 和式的值为 P7 5 4 6 0 37; 当 d =4, e =3 时, 和式的值为 P8 5 3 8 0 38 因此, 所求最小值为 37 一 ( 本题满分 0 分 ) 关于 x 的方程 第二试 () x m x x 有且仅有一个实数根, 求实数 m 的取值 范围 解将所给方程记为方程, 显然有 x m且 x 若 m 0, 则 x m x x, 此时方程 无解, 不符合题意, 故 m 0 5 分 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 5 页 ( 共 8 页 )
州奥林教育 方程 变形得 x x x m, 两边平方后整理得 x m 4 x x m, 再平方, 整 理得 8( m) x ( m 4) 显然, 应该有 0 m, 并且此时方程 只可能有解 x 4 m 8( m) 5 分 将 x 4 m 8( m) 代入方程, 得 ( m 4) ( 4) 4 m m m 8( m) 8( m) 8( m), 化简整理得 4 3m 4 4 m3, 于是有 0 m, 此时方程 有唯一解 x 3 4 m 8( m) 4 综上所述, 所求实数 m 的取值范围为 0 m 0 分 3 二 ( 本题满分 5 分 ) 如图, 圆内接四边形 D 的对角线 D 交于点, 且 D, 过点 D 作 D D, 交 的延长线于点, D 的平分线分别交 D D 于点 M N () 证明 : D 3 D ; D D () 如果, 证明 : MN MD D 证明 () 在 上取一点 P, 使得 P D, 则 P D, P D 又 PD, D P, P = D, P = P D, D 3 D 0 分 () 设 D =, 则 =, D 3, NDM 90 在 上截取 Q D, 连接 QD, 则 Q Q D D D Q D 又,, 又 QD = D, QD D D D, QD = D 又 D = D, QD = D, QD //, QD 又, =, 90, QD 90, 又 Q D, D = N 平分 D, M =, NMD M D M 3 MND 80 NMD NDM 90 MDN, MN MD 5 分 三 ( 本题满分 5 分 ) 设正整数 mn, 满足 : 关于 x 的方程 ( x m)( x n) x m n 至少有一个正整 数解, 证明 : ( m n ) 5mn 解方程即 x m n x mn m n ( ) 0 方程 的判别式 Q P N M D 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 6 页 ( 共 8 页 )
州奥林教育 ( m n ) 4( mn m n) ( m n) 4mn ( m n) ( m n) ( m n) 5 分不妨设 m n, 由题设可知, 整系数方程 至少有一个正整数解, 所以 应为完全平方数 注意到 ( m n) ( m n) ( m n ) 4 n ( m n ), ( m n) ( m n) ( m n 3) (4m 8n 8), 若 4m 8n 8 0, 即 m n, 则 ( m n 3), 从而有 ( m n ) ( m n 3), 故 3 只可能 ( m n ), 即 ( m n) ( m n) ( m n ), 整理得 m 3n, 这与 mn, 均为 正整数矛盾 m 因此 m n, 从而可得 m n, 所以 n 0 分 m 又因为 n, m m 所以有 ( )( ) 0, 整理即得 ( m n ) 5mn n n 5 分 第二试 () 一 ( 本题满分 0 分 ) 若正数 b, 满足 b, 求 M 的最小值 b 解因为 b, 所以 b, 所以 M b 3 5 分 设 N 3, 则 N 3 ( ) 3 3, 当 时取得等号 0 分 所以, 0 3, M N 3 (3 ) N 因此, 当, b 时, M 取得最小值 0 分 b 二 ( 本题满分 5 分 ) 如图, 圆内接四边形 D 的对角线 D 交于点, 且 D, D 过点 D 作 D D, 交 的延长线于点, D 的平分线分别交 D D 于点 M N () 证明 : D 3 D ; () 如果 MN MD, 证明 : D D 证明 () 在 上取一点 P, 使得 P D, 则 P D, P D 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 7 页 ( 共 8 页 )
州奥林教育 又 PD, D P, P = D, P = P D, D 3 D 0 分 () 设 D =, 则 =, D 3 D, NDM 90 MN MD, MND MDN 90, NMD 80 MND NDM, M =, M D M 3 N 平分 D, D = M = 在 上截取 Q D, 连接 QD, 则 QD 90 Q M 又, =, 90, QD, QD //, QD = D P N D 又 D = D, QD = D 又 D, QD = D, QD D, Q D Q Q D D 5 分 三 ( 本题满分 5 分 ) 若关于 x 的方程 x 34x 34k 0至少有一个正整数根, 求满足条件的正整数 k 的值 解设方程的两个根为 x, x, 且 x 为正整数, 则 x x 34, x x 34k 由 x x 34 知 x 34 x, x 也是整数 由 k 为正整数及 xx 34k 可知 x 0, x 是正 整数 5 分 ( x )( x ) x x x x 34( k ), 7 ( x )( x ), 7 ( x ) 或 注意到 7 ( x ) 0 分 7 ( x ), 则由 x x x 34 知 : x =7 或 x =34 若 当 x =7 时, x 6, x 8, 此时 34k 6 8, k 无整数解 ; 当 x =34 时, x 33, x, 此时 34k 33, 解得 k 7 ( x ), 同样可得 k 若 所以, 满足条件的正整数 k 5 分 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 8 页 ( 共 8 页 )