第三章機率與統計 3-1 樣本空間與事件 隨機現象 : 舉例 : (a) 擲一枚硬幣, 可能出現正面, 也可能出現反面, 但是事先並無法知道 (b) 明天天氣下雨與否, 無法完全確定 (c) 樂透彩券的頭獎得獎號碼, 有 C 42 6 種組合, 但是無法知道下一次開獎的號碼 試驗 : 很多隨機現象可以大量重複, 如擲一枚硬幣可以一直擲下去, 可重複的隨機現象 稱為隨機試驗, 簡稱為試驗試驗 也有很多隨機現象是無法重複的, 例如一場籃球賽的輸贏 樣本空間 : 做一試驗所有可能的結果所成的集合稱為樣本空間, 我們以 U 表示樣本空間 例如一個骰子有六面, 其點數分別為 1,2,3,4,5,6, 當我們擲一個骰子, 觀察朝上 的面的點數, 有六種可能的結果, 這些結果所成的集合 U={1,2,3,4,5,6} 就稱為擲一 個骰子試驗的樣本空間 事件 : 在討論機率時, 我們感興趣的往往不是整個樣本空間, 而是由樣本空間的部分元 素所組成的子集 樣本空間 S 的任一子集 ( 包括 S 本身及空集合 φ ) 都叫做一個事件事件 註 : 在數學上為了方便處理 在數學上為了方便處理, 我們將一個試驗下的各事件以集合表示, 例如擲一個骰子時, 點數為偶數點數為偶數 的事件以 {2,4,6} 表示, 而 {3,4,5,6} 表示 點數大於 2 的事件 集合{1,2,3,4,5,6} 所表示的事件, 涵蓋了這個試驗的所有可能, 此集合稱為此試驗的樣本空間樣本空間 互斥事件 : 如果兩事件 A,B 的交集為空集合, 即 A B=φ, 就稱事件 A,B 是互斥的 相關名詞介紹 : (a) 全事件 : 樣本空間 S 稱為全事件 (b) 空事件 : 空集合 φ 稱為空事件 (c) 餘事件 : 發生事件以外的事件, 稱為事件 A 的餘事件 即 A / (d) 和事件 : 事件 A B 至少有一事件發生的事件, 稱為 A,B 的和事件, 即 A B (e) 積事件 : 事件 A B 同時發生的事件, 稱為 A,B 的積事件, 即 A B (f) 單一事件 : 一個樣本點所成的事件稱為單一事件 ( 基本事件 ) 146
3-2 機率的性質 古典機率的定義 : 設一事件 A 有 k 個元素, 而樣本空間 U 有 個元素, 若每個元素出 k 現的機會均等, 則此事件 A 發生的機率就是, 符號寫成 P(A)= (A) (S) = k 古典機率的修正 : 要使得樣本空間內的每個元素出現的機率相同, 於是要修正樣本空間, 把相同的東西當成相異的 古典機率的性質 : (a) 和事件的機率 : 若 A B 為 S 的二個事件, 則 A 與 B 的和事件 A B 發生的機率為 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) (b) 機率的排容原理 : 設 A B C 是樣本空間的三個事件, 則 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(B C) P(A C)+P(A B C) (c) 每一個事件 A 發生的機率必在 0 與 1 之間 即 A 為任一事件,0 P(A) 1 (d) 子集合的機率 : 若事件 A B, 則 P(A) P(B) (e) 餘事件的機率 : 若 A S 是一個事件, 則 A 的餘事件 A / 發生的機率 P(A / )=1 P(A) (f) 全事件發生的機率為 1, 即 P(S)=1 (g) 設 A,B 為互斥事件, 則事件 A,B 的和事件發生的機率等於分別機率相加 即 若 A B=φ, 則 P(A B)=P(A)+P(B) 重複試驗 : 假設完成某件事成功之機率為 p, 則在 次試驗中成功 r 次之機率為 C p (1 p) r r r 例題 1 袋中有紅球 3 個, 藍球 2 個, 由袋中取球觀察其顏色,(1) 取一球, 取出是紅球的機率是多少?(2) 取一球後放回, 再取一球, 請問取出二球都是紅球的機率是多少?(3) 取一球後不放回, 再取一球, 請問取出二球都是紅球的機率是多少?(4) 同時取二球, 請問兩球都是紅球的機率是多少? 147
例題 2 52 張撲克牌任取 2 張, 求 :(1) 為一對的機率 (2) 為同花色的機率 (3) 為異花色的機率 例題 3 (1) 袋中有紅球 4 個, 白球 3 個外, 且每個球被取到的機會均等, 今每次取出一球不放回袋中, 連續取球, 則紅球先取完的機率為 (2) 袋中有紅球 4 個, 白球 3 個外, 尚有黑球 5 個, 且每個球被取到的機會均等, 今每次取出一球不放回袋中, 連續取球, 則紅球先取完的機率為 例題 4 袋中有 8 個白球,12 個黑球, 每一次從袋中任取一球,(1) 取後不放回, 求第 5 次恰取到第 2 個白球之機率 (2) 取後放回, 求第 5 次恰取到第 2 個白球之機率 (1) (2) 148
第二十五回作業 1. 丟一個硬幣 3 次, 觀察 3 次出現正反面的次序, 寫出 (1) 樣本空間 S (2) 沒有出現正面的事件 A (3) 出現一個正面的事件 B (4) 請問 A B 互斥嗎? 2. 擲甲乙兩個骰子, 觀察每個骰子出現的點數, 令 A 為出現點數和為 3 的事件,B 為出現點 數和為 5 的事件,(a) 請寫出樣本空間 (b) 判別 A,B 是否為互斥? 3. (1) 擲兩粒不同的骰子, 其樣本空間 S 共有 個元素 (2) 同時投擲一銅板與一骰子的樣本空間 S 共有 個元素 4. 擲兩個骰子, 觀察每個骰子出現的點數, 請問 :(1) 兩個骰子出現相同點數的機率是多少? (2) 兩個骰子出現點數和為 4 的機率是多少? 5. 一袋中有紅球 3 個, 黃球 5 個, 白球 2 個 (1) 任取一球, 取出紅球的機率 =? (2) 任取二球 為同色的機率 =? 6. 設 A 與 B 為樣本空間 S 中之兩事件, 且已知 P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.1, 求 :(1)P(A B) (2)P(A' B) (3)P(A B') (4)P (A B)' 149
7. 若 P(A)=0.2,P(A B)=0.1, 求 :(1)(A' B') (2)P(A B') 8. 投擲一粒骰子, 假設點數出現的機率與該點數成正比例 設 A 表示出現偶數點的事件,B 表示出現奇數點的事件,C 表示出現質數點的事件 試求 :(1) 出現 2 點的機率 (2)P(A) P(B) P(C)(3)P(B C) 9. 同時投擲三粒公正的骰子, 求 :(1) 三粒出現點數和為 7 的機率 (2) 三粒出現點數和為 10 的機率 (3) 三粒出現點數相同的機率 (4) 恰有兩粒出現相同點數的機率 (5) 三粒出現點數相異 ( 互不相同 ) 的機率 10. 一粒公正骰子, 其六面的點數分別為 :1,1,1,2,2,3, 將此骰子投擲一次, 試分別 求出現 1 點,2 點及 3 點之機率各為 11. 同時投擲 2 粒公正的骰子, 求點數和為 3 的倍數的機率為 12. 投擲 5 枚硬幣, 求 :(1) 恰有 3 枚出現正面之機率 (2) 至少 3 枚出現正面之機率 150
13. 從 1,2,,10 這十個數中隨意取兩個, 以 p 表示其和為偶數之機率,q 表示其和為 奇數之機率 試問下列哪些敘述是正確的? (A)p+q=1 (B)p=q (C) p-q 10 1 (D) p-q 1 20 (E)p 2 1 93. 學測 14. 袋中有 7 個相同的球, 分別標示 1 號,2 號,,7 號, 若自袋中一次取出 4 個球, 試求 取出之球的標號和為奇數的機率 15. 六對夫婦坐在一客廳內, 任意分成 6 組, 試求下列各情形的機率 : (1) 各組均為夫婦的機率 (2) 各組為一男一女的機率 (3) 各組均為同性的機率 16. 10 人圍圓桌而坐 : 求 :(1) 甲 乙相對而坐之機率 (2) 甲 乙 丙三人不相鄰而坐之機率 17. 設一年有 365 天, 且每人某一日生的機率均等, 現有 40 人, 求 40 個人中 :(1) 任意兩人生日 都相異的機率 (2) 至少兩人同日生日的機率 ( 答案不用乘開 ) 18. 某袋中有同式樣的黑襪 3 雙 紅襪 2 雙, 今自袋中任取 4 隻, 若機會均等,(1) 若左右樣式相 同, 則 4 隻恰為 2 雙的機率為何?(2) 若左右樣式不同, 則 4 隻恰為 2 雙的機率為何? 151
19. 一副撲克牌從 52 張中, 任取 5 張牌, 設機會均等, 求下列之機率 :(1)5 張牌成為 Two Pairs, 即點數如 (x,x,y,y,z) 的形式, 但 x,y,z 是兩兩均不相等的點數 (2)5 張牌成為 Oe pair, 即點數如 (x,y,z,y,w) 的形式, 但 x,y,z,w 是不同點數 (3)5 張牌成順 ( 連號 ) 的機率 20. 編號 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的球共 10 個, 放入袋中, 由袋中任取出 3 個球, 則 : (1) 編號成等差數列的機率為 (2) 編號成等比數列的機率為 21. 寫有 1,2,3,4,,9, 各數字之 9 張卡片中任取兩張, 求 : (1) 二數字皆為奇數之機率 (2) 二數字之和為偶數之機率 (3) 二數字之積為偶數之機率 (4) 二數字之積為完全平方或完全立方之機率 22. 袋中有 6 個白球,4 個紅球,3 個黑球, 求下列各機率 : (1) 取出四球, 恰為 2 黑球 2 白球 (2) 取出三球, 皆為異色者 (3) 取出四球, 均為同色 (4) 取出四球, 各色至少 1 個 23. 袋中有紅球 6 個, 白球 4 個, 且每個球被取到的機會均等, 今每次取出一球不放回袋中, 連續取球, 則紅球先取完的機率為 2 5 152
24. 甲 乙 丙 等七人, 求 :(1) 作直線排列, 甲 乙不相鄰的機率 (2) 作直線排列, 甲 乙 丙次序不變的機率 (3) 圍圓桌而坐, 甲 乙 丙必相鄰的機率 25. 是非題 6 題不經思考任意答以 或時, 只答對 2 題的機率為, 答對 3 題或 3 題 以上的機率為 26. 將 A,B,C,D 等四個字母全取排列, 求下列各機率 : (1)A 在 B 之左 (2)A 在 B 之左,A 又在 C 之左 (3)A 在 B 之左或 A 在 C 之左 27. 擲 4 枚硬幣, 求 :(1)4 枚都出現正面的機率 (2) 出現 1 枚正面,3 枚反面的機率 (3) 出現 2 枚正面,2 枚反面的機率 2 1 28. 已知一個不均勻銅板, 出現正面的機率為, 出現反面的機率為, 今丟此銅板 5 次, 試 3 3 求 :(1) 恰出現 3 次正面的機率 (2) 恰在第 5 次, 出現第 3 次正面的機率 29. 投擲一顆骰子 5 次, 出現點數以 x,y,z,u,v 表示, 求 (x y)(y z)(z u)(u v) 0 發生的機率 : 153
30. 投一公正骰子三回依次得點 a,b,c, 求下列各機率 :(1)a<b<c 的機率? (2)a b c 的機率?(3)a+b+c=11 的機率?(4)(a-b)(b-c)=0 的機率? (5)(a-b)(b-c)=2 的機率? 31. 甲 乙兩人坐火車返鄉渡假, 設兩人買到自強號火車票的機率分別是 0.5 和 0.6, 若兩人同時買到自強號火車票的機率是 0.3, 試求 : (1) 甲買到或乙買到自強號火車票的機率 (2) 甲買到且乙買不到自強號火車票的機率 32. 某工廠生產一批貨共 50 件產品, 其中有 48 件產品合乎標準, 而有 2 件瑕疵品, 今從中任意抽出 3 件, 試求 :(1) 所抽出的 3 件產品中, 恰有 1 件是瑕疵品的機率 (2) 所抽出的 3 件產品中, 至少有 1 件是瑕疵品的機率 33. 臺北銀行於民國 91 年元月發行樂透彩, 投注金額為每注新臺幣 50 元, 每注選號區均有四十二個號碼 01 到 42, 如下圖所示 投注者得選擇快選 ( 電腦選號 ) 或自行選號, 每注得剛好選六個號碼方有效 其中獎辦法如下 :( 答案不用乘開 ) 於每一期開獎時, 均開出六個中獎號碼, 外加一個特別號碼 投注號碼與當期公布之六個號碼完全相同者 ( 順序不限 ), 即為頭獎得主 投注號碼對中當期中獎號碼之其中任五碼及特別號碼者, 即為二獎得主 投注號碼對中當期中獎號碼之其中任五碼者, 即為三獎得主 投注號碼對中當期中獎號碼之其中任四碼者, 即為四獎得主 投注號碼對中當期中獎號碼之其中任三碼者, 即為五獎得主 若投注一張樂透彩, 問 :(1) 中頭獎之機率?(2) 中二獎之機率?(3) 中五獎之機率? 154
34. 袋中有 3 個白球,6 個黑球, 每一次從中任取一球, 取後放回連取六次, 試求 :(1) 六次皆白球之機率 (2) 至少一次取白球之機率 (3) 正好三次白球, 三次黑球之機率 (4) 至少四次白球之機率 (5) 到第六次才取出白球之機率 (6) 到第六次時白球出現第三次之機率 35. 某一工廠生產燈泡,12 個裝成一盒 工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取 4 個來檢查, 如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的, 則整盒淘汰 若某一盒有 5 個壞燈泡, 則這一盒會被淘汰的機率為 82. 社會組 36. 一骰子擲兩次, 第一次擲得的點數為 a, 第二次擲得的點數為 b, 試求二次方程式 x 2 +ax+b=0 有實根 α,β, 且 α 2 +β 2 <9 之機率為 (A) 9 1 (B) 9 2 (C) 9 4 (D) 9 5 37. 1 號到 11 號的卡片各有 2 張, 共有 22 張 今從其中任取 2 張, 令 A 表事件 兩數之積是二位 數或以上,B 表事件 兩數之積是完全平方數, 試求下列各機率 : (1)A 發生且 B 發生為 (2)A 不發生且 B 不發生為 38. 袋中有編號 1 到 300 的整數號碼球共 300 個, 阿草從袋中取一球觀其號碼, 請問阿草取 到的球號是 4 的倍數或是 6 的倍數或是 10 的倍數之機率為多少? 39. 五人同時玩 剪刀 石頭 布 的遊戲一次, 試求 : (1) 恰有一人獲勝的機率 (2) 恰有兩人獲勝的機率 (3) 恰有三人獲勝的機率 (4) 恰有四人獲勝的機率 (5) 無人得勝的機率 155
3-3 數學期望值 事件期望值 : 設某件事發生的機率是 p, 若此事件發生即可得到 m 元, 則此事件的數學 期望值為 mp 元, 簡稱為期望值期望值 隨機試驗的期望值 : 如果一個隨機實驗有 k 種可能結果, 各種結果的報酬分別為 m 1, m 2,,m k 而得到這些報酬的機率分別為 P 1,P 2,,P k,( 其中 P 1 +P 2 + +P k =1), 則 m 1 P 1 +m 2 P 2 + +m k P k 稱為此隨機試驗的期望值, 記為 E,(Expectatio 的字母 ), 即 E = m 1 p 1 +m 2 p 2 + +m k p k 期望值的重要性質 : (1) 從袋子中取出 枚硬幣的期望值為取出一枚硬幣期望值的 倍, 所以以後遇到題目不管取幾枚, 只要算出一枚, 在乘以枚數即可 (2) 期望值是各種可能的報酬乘以得此報酬的機率之和, 此所謂報酬不一定指金錢, 也可以是其他數值 期望值的重要的重要公式 : 若 X = x1 + x2 + + x, 則 E( X ) = E( x1) + E( x2) + + E( x ) 例題 5 某保險公司的旅遊意外險的理賠金額 ( 單位 : 元 ), 經長期分析獲得機率分配如右, 若該公司 對購買此保險的顧客收取 150 元的保費, 則在成本的損益平衡分析上, 該公司是盈或虧? 差 額多少? 例題 6 有關擲骰子的期望值 :(1) 擲 1 粒骰子求點數的期望值 (2) 同時擲 2 粒骰子, 求點數和的期望 值 (3) 同時擲 6 粒骰子, 求點數和的期望值 (4) 同時擲 2 粒骰子, 求點數乘積的期望值 156
例題 7 袋中有 3 紅球,5 綠球, 每球被取的機會都相等, 今從袋中 (1) 取球三次, 每次一球, 取後放回, 求取得紅球個數的期望值 (2) 取球三次, 每次一球, 取後不放回, 求取得紅球個數的期望值 (3) 一次取出三球, 求取得紅球個數的期望值 (4) 一次取出一球, 求取得紅球個數的期望值 例題 8 袋中有 3 個白球,5 個紅球, 今從袋中任取一球, 取出後再放入袋中, 直至取到白球為止, 令 x 表取球的次數, 則 x 的期望值 E(x)= 個, 例題 9 甲 乙兩人作對局遊戲, 兩人獲勝的機會均等, 誰先勝三局可得 5600 元, 進行至第二局且兩 局皆甲勝時, 發生緊急事故遊戲必須中止, 現依先勝三局的機會來分 5600 元, 則甲應分得 元, 乙應分得 元 157
第二十六回作業 1. 某人擲一枚均勻硬幣 2 次, 若出現 2 個正面, 即可得 400 元 ; 若出現 1 個正面 1 個反面, 即可得 100 元 ; 若出現 2 個反面, 則輸 500 元, 試求其期望值為多少? 2. 數人賭博, 其中 1 人做莊, 不做莊的先交給莊家 3 元, 得到擲 1 個公正銅板 1 次的權利, 規定 : 擲得正面時, 莊家賠 5 元 ; 擲得反面時, 莊家不賠 (1) 不做莊的人的期望值是, 故此種玩法 ( 填公平 不公平 ) (2) 若要玩法公平, 當得反面時, 莊家應賠 元 3. 袋中有 10 元 5 元硬幣各 4 枚, 自袋中任取 3 枚, 求期望值 4. 根據統計資料, 一個 50 歲的人, 在一年內存活的機率為 98.5%, 今有一個 50 歲的人參加 一年期保險額度為五十萬元的人壽保險, 須繳保費一萬元, 求保險公司獲利的期望值 5. 依據經驗某人完成一件工作, 可能是 1 天,2 天,3 天,4 天, 在 1 天完成的機會是 0.2,2 天完成的機會是 0.4,3 天完成的機會是 0.3,4 天完成的機會是 0.1, 請問完成此工作天數的期望值是多少? 6. 投擲四顆骰子有如下表的獎金, 則期望值為 元 200 100 50 158
7. 袋中有十個硬幣, 其中有四個 10 元, 三個 5 元, 其他三個同值, 若從袋中一次取出兩個硬幣的期望值為 11.6 元, 則其他三個硬幣之值為 元 8. 袋中有 1 號球 1 個,2 號球 2 個,,10 號球 10 個, 自袋中任取一球, 規定 : 取得 k 號球, 若 k 為偶數可得 3k 元, 若 k 為奇數則不給錢, 則期望值為 元 9. 袋中有 1 號球 1 個,2 號球 2 個,, 號球 個, 今自袋中任取一球 ( 設每球被取出的機會均等 ), 若取得 r 號球可得 r 元, 則每取一次的期望值為 元 10. 擲出 3 個銅幣, 若出現 k 個正面則可得 2 k 元 (k=1,2,3), 為了賭局公平, 出現三個反面時應賠 元 11. 擲兩粒公正骰子, 設 x,y,z 分別表示出現面之點數和 差 ( 取絕對值 ) 積, 求 : (1)x 的期望值 E(x) (2)y 的期望值 E(y) (3)z 的期望值 E(z) 12. 一骰子之六面分別記以 1,1,1,2,3,4 點, 將此骰子擲兩次, 令 x 表出現的點數和, 則 x 的期望值為 點 159
13. 袋中有 5 個紅球,4 個白球, 今由其中任取兩球, 則取得紅球之個數的期望值為 個 14. 擲一公正的硬幣, 直到出現一正面或五反面為止, 則投擲次數的期望值為 次 15. (1)9 個樣品中有 2 個不良品, 今取出 3 個, 則含有不良品個數的期望值為 個 (2)40 個樣品中有 4 個不良品, 今取出 2 個, 則含有不良品個數的期望值為 個 16. 某生解對一題機率為 3, 此次考題共 20 題, 解對一題可得 5 分, 求某生得分的期望值 4 17. 將 個球任意分配到三個箱子中, 則分配後空箱子個數的期望值為 18. 袋中有 6 個黑球,3 個白球, 今每次從袋中取出一球, 若取出之球為白球, 則停止取球, 若取出之球為黑球, 則再放回袋中, 直到取出白球為止, 令 x 表取球的次數, 則期望值 E(x)= 個 160
19. 重複擲一公正骰子, 直到連續出現兩次相同點數才停止, 則投擲數的期望值為 次 20. 由 1,2,3,4,5 中任取三相異數相加, 則所得和的期望值為 21. 某人擲兩粒骰子, 若擲出之點數和為 9 時可得 100 元, 並得繼續投擲的權利, 若第二回又 擲出 9 點又可得 100 元, 並得繼續投擲, 如此持續進行, 則此人所得的期望值為 元 22. 從 + 到 - 或 - 到 + 均有一個變號, 如 +-++- 有 3 個變號, 今將 +++-- 任意排 成一列, 則變號個數的期望值為 23. 甲 乙兩人以下棋為賭, 已知 : 甲的棋藝是乙的 2 倍, 且每局比賽沒有和局, 約定在乙勝三局以前, 甲獲勝四局, 則甲可獨得賭金 540 元, 在甲勝四局之前, 乙獲勝三局, 則乙可獨得賭金 540 元, 現在甲勝兩局, 乙勝一局時, 比賽因故中止不再比賽, 如按機率處理, 甲應分得 元 24. 甲 乙棋藝相當, 比賽不許和局, 規定先勝三局者可得獎金 80 元, 今比賽了一局, 甲得勝, 因故停止比賽, 並決定不再比賽, 如獎金依勝機率分配, 甲應得 元 161
25. 有五個選項的選擇題, 若 :(1) 單選每題答對給 8 分, 則答錯應扣 分才公平 (2) 複選 ( 至少要選一個選項 ) 每題答對給 12 分, 則答錯應扣 分才公平 26. 某馬達製造商擬出售十個馬達, 可能完全售出或完全被退回, 其驗貨方式為 任意選取兩個馬達檢查之, 若檢查到有缺陷, 則整批被退回, 否則即被接受, 今每一馬達成本 70 元, 售價 95 元, 設若此批馬達中有一個馬達有缺陷, 則此製造商獲利的期望值為 元 27. 一賭博機器有兩個電鈕, 每按一次, 會出現老鼠 牛 老虎三種不同動物中的一種, 設 每種動物出現的機率如下 : 每賭一次 ( 即同時按兩個電鈕 ) 須先付 5 元, 且設出現結果不互 相影響, 若兩隻老鼠同時出現, 則機器會自動付給 50 元, 若兩隻牛同時出現則付給 10 元, 若兩隻老虎同時出現則付給 5 元, 其他情形一概不付, 求賭一次所得之期望值為 元 0.1 0.4 0.5 28. 從 1 到 10 的自然數中, 任選一數, 每數獲選的機會都一樣, 求正因數個數的期望值 29. 設由 1 到 10 的正整數中, 任取六個相異數, 則其中最大數字的期望值為 30. 擲一公正的骰子 18 次, 則出現 3 點之次數的期望值為 次 162
31. 根據往日經驗, 對某一物品每天售貨量之機率如下 : 每一物品成本為 35 元, 售價為 50 元, 可是當天不出售連老本也會賠掉, 則該店每天應訂貨 個, 才可得到最大利潤 元 售貨量 x 4 5 6 7 機率 P(x) 0.1 0.2 0.3 0.4 32. 某公司考慮在甲 乙兩地間選擇一地投資開設新廠 經評估, 在甲地設廠, 如獲利, 預計可獲利 10000( 萬元 ); 如不獲利, 預計將虧損 7000( 萬元 ) 在乙地設廠, 如獲利, 預計可獲利 6000( 萬元 ); 如不獲利, 預計將虧損 5000( 萬元 ) 又該公司評估新廠在甲 乙兩地獲利的機率分別為 0.6 0.7 如以獲利期望值為決策準則, 該公司應選擇甲地或乙地投資? 91. 日大 33. 某人預估明年甲 乙兩種股票的投資報酬率與經濟狀況如下, 則 : (1) 投資甲股票的期望報酬率為 (2) 投資乙股票的期望報酬率為 (3) 甲 乙兩種股票您會投資哪一種? 1 34. 重複試驗中, 一次之成功機率為 3, 重複 12 次, 試求成功次數的期望值 35. 某次數學測驗共有 25 題單一選擇題, 每題都有五個選項, 每答對一題可得 4 分, 答錯倒扣 1 分 某生確定其中 16 題可答對 ; 有 6 題他確定五個選項中有兩個選項不正確, 因此這 6 題他就從剩下的選項中分別猜選一個 ; 另外 3 題只好亂猜, 則他這次測驗得分之期望值為 分 ( 計算到整數為止, 小數點以後四捨五入 ) 92. 學測 163
3-4 統計資料的來源 母體 : 在一研究中, 具某種共同特徵的所有人 ( 或物 ) 所成的集合為母體 集 ) 母體中每個人 ( 或物 ) 所得資料稱為母體資料 母體 量測 ( 或收 樣本 : 由於母體太龐大, 要得到所有人 ( 或物 ) 的資料有時是很困難的, 因此只能收集 部分人 ( 或物 ), 這部分人 ( 或物 ) 所成的集合稱為樣本 抽出樣本的過程就稱為抽樣抽樣 方便的資料 ( 或稱便利抽樣 ):): ): 方便的資料是沒有代表性的, 是錯誤的抽樣方法, 例 如 : 在火車站前訪問過往人們的資料, 是常看到的方便的資料, 這種訪問調查對一群不到火車站的人是不會被訪問到, 反之, 經常坐火車通勤的人相對的被訪問到的機會就偏高了, 所以它會造成被訪問者機會的不均等 又如電視上 叩應 ( Calli ) 的資料也是方便的資料, 沒有代表性 抽樣調查方法 : 常用的抽樣方法有簡單隨機抽樣法 系統抽樣法 分層隨機抽樣法及部落抽樣法四種, 當然也可將這四種抽樣方法混合使用 下面介紹四種抽樣調查方法 : 1. 簡單隨機抽樣法 : 常用的簡單隨機抽樣方式有抽籤 查亂數表或利用電腦製造亂數等方法做為取樣依據 簡單隨機抽樣法被認為是一種公平的抽樣方法, 也就是抽樣時不摻入人為因素, 而且母群體中每一個體被抽中的機會均等 2. 系統抽樣法 : 系統抽樣法基本上是只做第一次隨機抽樣後, 就採取依固定間隔數抽出一樣本 例如 : 母體有 15 個樣本, 我們預計抽出 5 個樣本, 所以每隔 3 個即抽出一樣本 若抽到 2 號為種子號碼, 就可依間隔數依序列出所有樣本, 分別為 5,8,11,14 號, 所以此種抽樣法比簡單隨機抽樣法來的方便 但是系統抽樣法首先必須要依某種方式 ( 如門牌號碼或編號 ) 排序, 而且此排序必須與統計者所關心的特性無關, 不然所抽出的資料可能不代表母體, 而會造成統計上所謂的抽樣偏差 3. 分層隨機抽樣法 : 所謂分層是將母體依某一衡量標準分成數個不重疊的子群體, 稱為層 ( 也稱群或組 ), 將母體分層後, 再依各層在母體所占比例分配樣本數, 最後再從每一層中利用簡單隨機取樣, 這樣的抽樣過程, 稱之為分層隨機抽樣法 它是四種抽樣法中最常被推薦使用的, 但分層隨機抽樣法的最大問題是如何找到某種 特性 做為分層的依據, 可能是依性別 教育程度 年齡, 也可能是依其他特性來做分層, 但基本上同層 ( 或同群 ) 內我們想要估計的性質要相接近 將高二同學依所讀類組分作第一類組, 第二類組, 第三類組三層, 如圖所示 若想從中抽取 12 人, 則依各層人數比例抽取如下 : 164
4. 部落抽樣法 : 部落抽樣法最常用在抽樣對象分離的很遠, 而且很難收集到樣本的時候, 也就是部落抽樣經常是以地理位置或區域為考量 我們常會把母體分成幾個部落 ( 或區域 ), 再從這幾個部落中抽出數個部落進行抽樣或普查 基本上, 要做部落抽樣法必須假設每一部落都是母體的縮影, 因此部落與部落間的差異性要小, 這樣不論抽到哪一部落都能代表母體 例如欲調查全校高二同學的身高時, 因為分班情形與身高無關, 我們可將各班級視為一個部落, 任意抽出一個班的同學, 再以簡單隨機抽樣從中抽出樣本即可 註 : 分層隨機抽樣 分層隨機抽樣層內差異小, 層間差異大 部落抽樣部落抽樣部落內差異大, 部落間差異小 例題 10 想了解班上同學的平均身高, 為了節省時間, 只抽取 8 位同學作為樣本, 我們發現, 通常喜 歡打籃球的同學比較高, 而不喜歡打籃球的同學比較矮, 現把全班的同學分成兩層, 第一層 是喜歡打籃球的, 其人數為 N 1 =24; 第二層是不喜歡打籃球的, 其人數為 N 2 =26, 而在每一 層中隨機抽取 4 位同學, 如下表, 則若全班同學的平均身高為 x 50 公分, 求 x 層別 身高 ( 公分 ) 第一層 175 179 180 170 第二層 162 158 169 167 165
第二十七回作業 1. ( ) 將全體中個體編號後, 每隔若干個抽取一個調查樣本者的抽樣方法為 (A) 系統抽樣 (B) 簡單隨機抽樣 (C) 部落抽樣 (D) 分層抽樣 2. ( ) 以下抽樣方法的特性, 何者較為適當? (A) 簡單隨機抽樣用於大量的母群體 ( B) 系統抽樣用於週期性母群體 (C) 分層抽樣使層內個體間的性質差異愈大愈好 (D) 部落抽樣各部落間差異愈小愈好 3. ( ) 某班以抽籤的方式決定座位, 已知座位共有七排, 每排 6 人, 今以抽樣的方式來估計學生的平均身高, 老師先隨機任取三排, 每一排再隨機任取 3 人, 再以此 9 人的平均身高做為全班的平均身高, 這種抽樣方法稱為 (A) 簡單隨機 (B) 系統 ( C) 分層 (D) 部落抽樣 4. ( ) 自全部資料中抽取一部分作為全體之代表, 此被抽取的部分稱為 (A) 事件 (B) 樣本 (C) 抽查 (D) 母體 5. ( ) 將 40 顆紅豆加入欲估計數目的綠豆中, 將之攪拌均勻, 再隨機取 20 顆, 若其中有 2 顆紅豆, 則綠豆總數大約為多少顆? (A) 360 (B) 400 (C) 440 (D) 480 顆 6. ( ) 下列哪一個選項不適合抽樣調查? (A) 電視節目收視率調查 (B) 全國學生近視率 (C) 臺南一中高三同學報名學測的人數 (D) 青菜含農藥之比例檢查 7. ( ) 下列各項調查, 何者採用普查的方式較佳? (A) 全國戶口數 (B) 全校學 生視力檢查 (C) 某電視節目的收視率 (D) 全班旅遊意願調查 (E) 調查 臺南一中要報考指考的人數 8. ( ) 下列哪些選項適合用抽查? (A) 罐頭工廠的罐頭品質檢查 (B) 日光燈工 廠的燈管壽命調查 (C) 衛生紙市場調查 (D) 某電視節目的收視率 (E) 調查小轎車排放黑煙成為烏賊車的比率 9. 某班 38 位同學依照座號列出身高如下 : 隨機號碼表 1758 1489 2774 6033 6430 8803 0478 4157 4893 8857 1717 1533 1516 2733 7326 8674 4950 3171 5756 3036 0549 6775 9360 6639 1018 7027 7569 7549 2241 9965 9729 9729 1602 0708 2201 2201 5840 8381 1549 1549 試利用隨機號碼表第 1,2 行, 由第一列開始往下找 10 位同學, 若第 1,2 行找完了則再從 第 3,4 行的第一列開始往下找, 求此 10 位同學身高的平均值為 166 座身座身座身座身座身號高號高號高號高號高 1 135 2 161 3 152 4 141 5 169 6 182 7 168 8 156 9 150 10 162 11 170 12 154 13 150 14 158 15 172 16 178 17 145 18 148 19 163 20 171 21 159 22 157 23 143 24 170 25 162 26 156 27 155 28 148 29 160 30 150 31 154 32 158 33 162 34 147 35 160 36 161 37 170 38 149 公分
10. 將某班 50 位同學之身高以 165,175 公分為界, 分成三層如下 : 現自第一層中抽取 3 個樣本, 分別為 :154,160,163 公分, 第二層中抽取 5 個樣本, 分 別為 :171,168,166,174,171 公分, 第三層中抽取 2 個樣本, 分別為 :175,179 公分, 若全班同學之平均身高為 x 50 公分, 則 x 為 層別 身高 人數 第一層 165 以下 15 第二層 165~175 27 第三層 175 以上 8 11. 一母群體分三層, 第一層個數為 2500, 第二層個數為 2000, 第三層個數為 500, 若欲以分層抽樣抽取 300 個樣本, 則第二層應抽出 個樣本 12. 體操委員會由 10 位女性委員與 5 位男性委員組成, 委員會要由 6 位委員組團出國考察, 如以性別做分層, 並在各層依比例隨機抽樣, 試問此考察團共有 種組成方式 13. 想從裝有 50 個芒果的水果籃中任意抽取 3 個而稱取每個的重量, 下列哪一種抽取方式比 較恰當?(1) 從最上層任取 3 個 (2) 從最底層任取 3 個 (3) 充分混合後任取 3 個 14. 想從有 30 名男生與 20 名女生的班級中選出 5 人, 在每人被選上的機會均等的情況下, 下列哪一種是比較恰當的隨機抽樣方式?(1) 從男生中隨機抽取 5 人 (2) 從女生中隨機抽取 5 人 (3) 從男生中隨機抽取 3 人, 再從女生中隨機抽取 2 人 (4) 把男女生一起編號, 號數是 1 到 50, 借用具有 1 到 50 號碼的開獎機開出 5 個號碼, 而選出 5 人 15. 某大學數學系的學生依年級劃分而得到下面的人數 : 這些學生總共分配到 70 個宿舍床位, 應如何抽樣才會使抽到的樣本依年級人數的比例分配 年級 一 二 三 四 人數 132 120 96 72 167
16. ( ) 和平大學有 4 個學院, 各學院的男女生人數統計如下表 : 為了解和平大學學生對英美聯軍攻打伊拉克的看法, 準備抽樣 100 位學生進行問卷 調查 全體 1 萬名學生先編號, 從 1 號到 10000 號 其中管理學院的阿雄與阿珠是 男女朋友, 阿雄編號為 501, 阿珠編號為 605 已知阿珠被抽到, 在下列各種抽樣方 法中, 阿雄也被抽到的機率何者最大? (A) 以簡單隨機抽樣法 (B) 以編號作系 統抽樣法 (C) 將男生 女生各看成一群, 再依男女生所占人數比例在兩群中分別 作隨機抽樣 (D) 將各學院各看成一群, 再依各學院所占人數比例在四群中分別作 隨機抽樣 (E) 每學院都隨機抽樣同樣人數 ( 系統抽樣法基本上是只做第一次隨 機抽樣後, 就採取一固定間隔數抽出一樣本 例如 :1 到 100 號隨機抽一個號碼 m, 後面所抽出的樣本就是 100+m,200+m, 9900+m) 92. 指考乙 學院文理工管理小計性別男 600 1000 2400 2000 6000 女 400 1000 600 2000 4000 小計 1000 2000 3000 4000 10000 17. ( ) 某校要從高一的 忠 孝 仁 愛 四個班級中隨機選取一個班級進行數學抽測 考慮甲 乙兩種抽樣方法 : 甲方法是從四個班級的導師中隨機選取一人, 被選中導師的班級為抽測班級 ; 乙方法是從所有高一學生中隨機選取一名學生, 被選中學生的班級為抽測班級 若各班人數都不相同, 其中 愛 班人數最多 則下列敘述有哪些是正確的? (A) 甲方法中, 每位高一學生被抽測的機率相等 (B) 乙方法中, 每位高一學生被抽測的機率相等 (C) 甲方法中, 四個班級被抽測的機率相等 (D) 乙方法中, 四個班級被抽測的機率相等 (E) 愛 班被抽測的機率, 使用甲方法較使用乙方法高 93. 指考乙 18. 抽樣調查某地區 1000 個有兩個小孩的家庭, 得到如下數據, 其中 ( 男, 女 ) 代表第一個 小孩是男孩而第二個小孩是女生的家庭, 餘類推 由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭 的男 女孩性別比約為 :100 ( 四捨五入至整數位 ) 95. 學測 19. 某班有 50 位同學, 其中男生有 30 位, 女生 20 位 某次導師要抽 5 位同學留下打掃環境, 依性別按人數比例做分層抽樣, 則班上男同學張志明被抽中的機率是 89. 數乙 家庭別 家庭數 ( 男, 男 ) 261 ( 男, 女 ) 249 ( 女, 男 ) 255 ( 女, 女 ) 235 168
3-5 分析一維數據 統計圖表 : (a) 長條圖 : 用分離的長條, 以長條的長短來表示分類資料中各類次數的分佈情形, 這種圖形稱為長條圖 多用於離散型資料分佈 (b) 圓形圖 : 以圓形區域內的扇形區域的大小, 來表示某些數值資料所佔的比例的圖形, 稱為圓形圖 用於離散型與連續型的資料皆可 (c) 直方圖 : 以連接的長方形面積來表示數值資料中, 各組數值之次數分佈的情形, 這種圖形稱為直方圖 用於連續型資料的次數分佈, 各組資料範圍為一個區間, 以各組人數 ( 或次數 ) 為高, 做一個長方體區域 上限 + 下限 (d) 折線圖 : 以直方圖中, 各組資料的組中值 ( 即組中值 = 2 ) 為橫坐標, 以各組人數 ( 或次數 ) 為縱坐標表示出平面坐標上的一點, 然後由左而右, 將相鄰兩點以線段連接, 就形成一個折線圖 由折線圖中, 相鄰兩線段的斜率大小, 可看出資料在這兩組間的改變情況 將折線圖左右均延伸至 x 軸, 其端點可設想左右各加一組資料, 但其次數 ( 或人數 ) 均為 0 註 : 習慣上計算分組資料時, 各組包含下界但不含上界 各組包含下界但不含上界 累積次數分配表 : 次數分配表編製完成後, 有時因需要, 而將其次數累積, 累積次數的 方式, 有二種 :(a) 自數量較小一組, 逐次向數量較大一組累積, 稱為以下累積次數 (b) 自數量較大一組, 逐次向數量較小一組累積, 稱為以上累積次數 組別 次數 以下累積次數 以上累積次數 L 1 ~U 1 L 2 ~U 2 L k ~U k f 1 f 2 f k f 1 f 1 +f 2 f 1 +f 2 + f k f 1 +f 2 + f k f 2 + f k f k 總計 169
均量 : 用來提供資料的 中心點 代表值 或是出現頻率最多的某個數據等表達資 料集中情形的統計量, 稱為均量 有算術平均數算術平均數 加權平均數加權平均數 幾何平均數幾何平均數 中位數中位數 眾數等 (1) 算術平均數 : 設 筆資料為 x 1,x 2,,x, 則其算術平均數 ( 簡稱為平均數 ) 定義為 x = x 1+x 2 + +x = x i i=1 (2) 加權平均數 : 設實數 x i 的權數為 w i,i=1,2,3,.,, 則 x 1,x 2,.x 的加權平均數 W 定義 為 W= x i w i 統計資料中, 若每筆資料的重要性不同, 則須使用加權來處理平均數 i= 1 (3) 幾何平均數 : 一組正數資料 x 1,x 2,x 3,,x 的幾何平均數 ( 簡寫成 G.M.) 定義為 G.M.= x 1 x2 x 人類的經濟活動, 常常要表達薪資 經濟指標 營業額 投資報酬 率等每年的變化率, 我們在表達在一段時間內的變化率或成長率的平均值, 常以幾何平均數來表示 (4) 中位數 (Media): 一組資料由小到大排序後, 正中間的數或正中間兩個數的平均稱為中位數 中位數以 Me 表示 (5) 眾數 : 在一組數值資料中, 出現次數最多的數值稱為 眾數 註 : 1. 算術平均數 術平均數易受極端度量影響, 在應用前需考慮所有資料的數值是否十分集中 各 數值是否具有同等的重要性 2. 中位數是整個母群體的中心, 不受資料中有特別大的數或特別小的數的影響 註 : 1. 為了簡化計算, 通常我們會將資料 X 轉換成資料 Y, 而 Y= 1 h (X A),h 為組距,A 為某組的 組中點, 這樣一來,Y 的數值會變得比較容易計算, 先算出 y, 就可計算 x, 其中 y = 1 h ( x A) 2. 若把每個資料都加 d, 則此節介紹的所有均量也都加 d( 幾何平均數除外 ) 3. 若把每個資料都乘以 k, 則此節介紹的所有均量也都成為 k 倍 差量 : 離散趨勢統計量有全距 四分位距 平均絕對離差 變異數 標準差等 (1) 全距 : 一群統計資料中, 最大數據與最小數據之差, 叫做全距, 以 R 表之 已分組資料的 R=( 最大一組的上限 ) ( 最小一組的下限 ) 170
(2) 四分位差 : 將一群統計資料的數據, 依照其大小順序, 由小到大排成一列, 設中位數為 M e ( 即 Q 2 ), 第 1 四分位數 Q 1 是中位數左邊 ( 不含中位數 ) 所有數字的中位數, 第 3 四分位數 Q 3 是中位數右邊 ( 不含中位數 ) 所有數字的中位數, 則四分位差 Q.D. 定義為 Q 3 Q 1 (3) 離差 : 設一組資料 x 1,x 2,,x, 平均數為 x, 則第 i 筆資料 x i 的離均差 ( 簡稱離差 ) 定義為 x i -x (4) 平均離差 : 要表達一組資料的分散程度, 我們很自然想到只要將全部的離均差相加再除 以, 可了解資料的分散程度 就是說只要算出 i= 1 ( xi x) 即可知道平均離差為何 但不 幸的是, i= 1 ( xi x) =0 因此平均離差無法提供資料分散的程度 (5) 平均絕對離差 : 將離差改成絕對離差 xi x, 再算出絕對離差的平均數, 就可以看出這 筆資料的平均分散程度 即一組資料 x 1,x 2,x 3,,x 的平均絕對離差為 i= 1 xi x 平均絕對離差是一個很自然就會想到當作測量一組資料有多分散的指標, 但可惜的是絕對值在代數的運算上非常的不容易, 於是只好將絕對值變成平方, 即為變異數的概念 (6) 離差平方和 : 設一組資料 x,x,,x, 平均數為 x, 則定義離差平方和為 2 2 2 ( x x) + ( x x) + + ( x x), 化簡後為 ( x + x + + x ) x 2 2 2 1 2 2 2 2 ( xi x) = xi x i= 1 i= 1 1 2 (7) 母體變異數 : 設一母體有 個資料 x 1,x 2,,x, 則此組資料的母體變異數 ( 寫成 σ 2 ) 是所有資料的離差平方之平均, 即 σ 2 = 平均數 2 2 2 ( xi µ ) xi µ i= 1 i= 1 = 2, 即 xi i= 1, 其中 µ = 為母體 (8) 母體標準差 : 設一母體有 個資料 x 1,x 2,,x, 則此組資料的母體標準差 ( 寫成 σ) 是母體變異數 σ 2 的開方, 即 σ= 2 2 2 ( xi µ ) xi µ i= 1 i= 1 (9) 樣本變異數 : 由於母體平均數 µ 是未知, 改以樣本平均數 x 計算離差, 因此樣本變異數定義如下 : 設有一組抽樣資料 x 1,x 2,,x, 則其變異數 ( 或稱樣本變異數 ) 簡寫成 s 2, = 171
定義為 s 2 = 2 2 ( i ) i i= 1 i= 1 x x x x = 1 1 (10) 樣本標準差 : 標準差 ( 或稱樣本標準差 ) 簡寫成 s, 定義為 s= 註 : 2 2 ( i ) i i= 1 i= 1 x x x x = 1 1 2 2 1. 最常用的離散趨勢統計量是標準差, 標準差愈小, 表示資料間愈相近, 也就是資料愈集中在平均數的附近, 反之, 標準差愈大, 表示資料間差異愈高, 也就是資料愈分散 2. 若題目未特別提及, 大部分的變異數指的是樣本變異數, 標準差指的是樣本標準差 ( 若題目的資料為母體全部, 則求母體標準差 ; 若是抽樣來的, 則求樣本標準差 ) 3. 一般而言, 標準差小表示樣本間差異小, 對品管而言表示品質均勻是好現象, 在投資理財方面投資者追求高報酬 低風險, 所謂低風險就是標準差小 至於裁判評分, 如果某位裁判對每一位評的分數都差不多, 即評分標準差小, 則此裁判在全體裁判中所占的 分量 就變成很低, 反之, 某位裁判對參賽者的評分差距愈大, 則此裁判對選拔結果愈有決定性的影響 註 : 1. 若把每個資料都加 d, 則此節介紹的所有差量都不變 2. 若把每個資料都乘以 k, 則此節介紹的所有差量也都成為 k 倍 3. 即抽取的 個數值 x1, x 2,, x 算術平均數為 x, 標準差為 S x. 將每個數值乘上 a 再加 b, 形成一組新數值 y1, y 2,, y, 即 yi = axi + b, i=1, 2,,, 令這些新數值的算術平均 數為 y, 標準差為 S y, 則有 (1) y = ax + b (2) S y = a Sx 整體描述 要描述一組數據, 通常會先畫圖, 因為圖形可以對數據分布提供最清楚的整體狀況. 如下 圖所示, 當數值資料組夠多時, 將直方圖中各長方形頂邊的中點用平滑曲線相連, 就形成次 數分布曲線圖 曲線底下的面積就如同直方圖中的長條面 積一樣, 代表觀測值的次數或者百分比. 在曲線圖中 : 1. 眾數是 尖峰點尖峰點, 也就是曲線的最高峰所在的數值 2. 中位數是 等面積點等面積點, 曲線底下的面積剛好被通過中 位數的鉛直線平分 172
3. 平均數平均數 是 平衡點平衡點, 所有平均數左邊的數值到平均數的距離總和, 等於右邊各數到平均數的距離總和, 平均數是各數值的重心 也就是將數據想成疊在翹翹板上的砝碼時,, 平均數是翹翹板的平衡點 若次數分布曲線的左半與右半形狀大致相等, 我們稱該分布對稱 ; 若曲線的右邊 ( 數值較大的那一半 ) 延伸出去比左邊遠, 則這個分布是右偏 ; 若曲線的左邊延伸出去比右邊遠, 則這個分布是左偏左偏 ( 如下圖 ) 一個對稱分布的平均數和中位數是很接近的, 但是對右偏或左偏的分布來說, 平均數就會被拉往長尾巴的方向 ( 即右偏分布的平均數會大於中位數, 因為資料中有很大的數值 ) 圖中由次數分布曲線, 可以看出平均數 中位數與眾數的相對位置 (b) 右偏分布 (c) 左偏分布 例題 11 某班月考的數學成績統計如下 : 求 :! "!! "!! "! 0#10 0 40#50 16 80#90 13 10#20 1 50#60 23 90#100 4 20#30 5 60#70 28 % & 30$40 9 70$80 21 120 (1) 全距為 ;(2) 四分位差為 173
例題 12 某次競試 100 人參加, 考試結果如下表, 試求 (1) 算術平均數 (2) 標準差 成績 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50 50 ~ 60 60 ~ 70 70 ~ 80 80 ~ 90 人數 3 6 10 16 30 21 14 例題 13 已知 A B 兩班的人數分別為 20 30 人 某次考試成績的算術平均數分別為 75 分 60 分, 標 準差分別為 5 分 6 分 利用母體標準差的公式來計算合併兩班之後的算術平均數與標準差 174
第二十八回作業 1. 某班某次英文考試, 累積次數分配曲線圖如圖採相同組距 10, 且不含上限 ), 則 : (1) 以 60 分為準, 不及格者有 人 (2) 70 分 ~ 80 分有 人 2. ( ) 下列何者為以下累積次數分配曲線圖? (A) (B) (C) (D) (E) 3. 某高中二年甲班 120 人參加課外活動的資料如下圖, 求桌球隊有 人, 合唱團有 人 4. 隨機訪問了 50 個家庭, 得到小孩的人數資料如下之長條圖, 求 (1) 每個家庭的小孩平均人 數 (2) 小孩人數超過二個的家庭所占的比例 (3) 如以 圓面積圖畫出上面的資料, 則有二個小孩的家庭所畫扇 形的圓心角是 度 5. 某班抽出 25 位學生第二次期中考數學成績, 製作累積次 數分配表如下, 則 a+b+c+d+e+f+g= 組別 次數以下累積次數以上累積次數 20~30 1 1 25 30~40 3 4 d 40~50 9 a e 50~60 6 b f 60~70 4 c g 70~80 2 25 2 總計 25 175
6. 下圖為某公司應徵人員體重的相對累積次數折線圖 (1) 若初選條件為體重 60~80 公斤, 則初選合格的百分比為 % (2) 設應徵人員有 300 人, 問體重在 70 公斤以上而不滿 80 公斤的人數共有 人 (3) 公斤的人數最多 7. 右圖為某次競試甲 乙兩班成績的累積次數分配曲線圖, 下列敘述何者正確? (A) 乙班人數較甲班人數多 (B) 甲班及格人數較乙班及格人數多 (C) 甲班在 40~50 分這一組共有 3 人 (D) 甲班之全距較乙班全距大. (E) 乙班在 70~80 分這一組的人數占班上總人數的比例較班上其他各組所占比例為高 8. 某班一次數學測驗,其成績的次數分配表如下:分數 0~10 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100 人數 0 1 2 2 3 4 11 17 8 2 ( 註:本表組限不含各組之上限 ) 根據上表, 下列哪些敘述是正確的?(A) 組距是 10 分 (B) 全距是 100 分 (C)50~60 這一組的以下累積次數是 8 人 (D)70~80 這一組的以上累積次數是 27 人 (E) 以 60 分為及格,則及格者有 38 人. 9. 下圖為某校學生數學競試成績的以上累積次數與以下累積次數 曲線圖, 其中 A(50,212),B(60,712),C(60,488),D(x,y), 若學生共有 a 人, 則 (1) a= (2) x= 10. 十二名幼兒的體重 ( 單位 : 公斤 ) 分別為 :13,14,16,14,15,14,14,18,13, 12,16,15, 則這些體重的平均數為 公斤, 眾數為 公斤 176
11.100 戶人家每月收入 ( 單位 : 千元 ) 之次數分配表如下, 則其收入平均數為 千 元 12. 擲骰子 100 次, 將其結果記錄如下表, 求 :(1) 平均數 = (2) 眾數 = 點數 1 2 3 4 5 6 次數 10 25 20 20 10 15 組別 人數 30~40 5 40~50 11 50~60 20 60~70 33 70~80 18 80~90 8 90~100 3 100~110 2 13. 在國際跳水比賽中, 幾位裁判各給運動員一個成績, 為了避免裁判的偏激影響運動員的成績, 規定要把所有裁判所給同一運動員的成績中, 最高和最低成績各去掉一個, 再以其餘成績的平均數做為該運動員的成績 假設某次比賽中, 七位裁判給熊選手的成績分別為 :92,86,80,84,92,78,84, 則熊選手該次成績為 14. 小英上學期各科成績如下表, 以每週上課時數為權數, 則加權平均成績為 分 科目 每週上課時數 成績 國文 5 85 英文 5 90 數學 4 86 物理 3 85 化學 3 84 15. 惠文公司連續四年業績的成長率依序為 80 %,60 %,-40 %,20 %, 則此公司四年的 年成長率平均值為 16. 某班數學小考, 成績如下表, 則 (1) 平均數 = (2) 中位數 = 177 分數 人數 30~40 5 40~50 7 50~60 6 60~70 7 70~80 10 80~90 10 90~100 5 合計 50
17. 某醫院對臺灣地區每年死於肝癌之成年人, 抽樣調查 200 名, 得其死亡與年齡之關係分布表如下, 則 :(1) 中位數為 (2) 平均數為 18. 某班 50 位同學數學科成績的以下累積次數分配曲線如下圖所示, 求成績的中位數 ( 四捨五入取至整數位 ) 年齡 人數 50~55 4 55~60 8 60~65 12 65~70 16 70~75 24 75~80 60 80~85 40 85~90 20 90~95 12 95~100 4 19. 一組資料 :1,2,5,7,8,9,11,13,15,18,20, 試求全距, 第一四分位數 Q 1, 第 三四分位數 Q 3, 四分位距 Q.D. 20. 下表資料為 100 名工人每日工資的分配表 試求 :(1) 全距 (2) 四分位距 ( 四捨五入到小數點下第一位 ) 每日工資 人數 0~10 0 10~20 10 20~30 22 30~40 39 40~50 21 50~60 8 總計 100 21. 5 位學生參加歌唱比賽, 甲 乙 丙 丁四位評審評分 ( 1~10 分 ) 如下 : (1) 求甲 乙 丙 丁四位評審的平均評分與標準差 (2) 甲 乙 丙 丁四位評審何者評分最有影響力? 178
22. 某國中 100 位學生之身高如右表, 求 : k (1) 平均數 (2) 標準差 =, 求 k 33 身高 ( 公分 ) 人數 158~162 10 162~166 20 166~170 40 170~174 20 174~178 10 23. 高中某班學生數學月考的成績皆為 10 的倍數 採用組距為 10, 並且組中點是各組上 下限之平均數, 將該班數學成績做成如下直方圖, 求該班數學月考成績之母體標準差 ( 求最接近的整數 ) 24. 設 X 表一群資料, 將所有的資料均乘上 2 倍再減 5 變成新的資料 Y, 若 Y 的算術平均數 為 21,X 的標準差為 3, 則 :(1) X 的算術平均數為 (2) Y 的標準差為 25. 某班 40 人參加考試, 考完了之後, 老師算出全班平均分數為 51, 標準差為 2, 但後來發 現阿哲作弊, 所以原來他考 40 分應改為 0 分, 請你幫老師算算看 : (1) 這班同學的平均變為 (2) 標準差變為 x, 則 x= 39 26. 有 10 個資料 x 1,x 2,,x 10, 已知 10 i' 1 x i =155, 10 i( 1 2 x i =2551, 試求其 : (1) 算術平均數為 (2) 標準差為 x, 求 x= 2 179
27. 某校高一第一次段考數學成績不太理想, 多數同學成績偏低 ; 考慮到可能是同學們適應不良所致, 數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以 10 作為正式紀錄的成績 今隨機抽選 100 位同學, 發現調整後的成績其平均為 65 分, 標準差為 15 分 ; 試問這 100 位同學未調整前的成績之平均 M 介於哪兩個連續正整數之間? (A) 40 M<41 (B) 41 M<42 (C) 42 M<43 (D) 43 M<44 (E) 44 M<45 94. 學測 28. 下列五個直方圖表示的資料, 何者之標準差最大? (A) (B) (C) (D) (E) 94. 指考乙 29. 有一筆統計資料, 共有 11 個數據如下 ( 不完全依大小排列 ):2,4,4,5,5,6,7,8,11,x 和 y, 已知這些數據的算術平均數和中位數都是 6, 且 x 小於 y 請選出正確的選項 : (A) x+y=14 (B) y<9 (C) y>8 (D) 標準差至少是 3 92. 指考甲 30. SARS 疫情期間, 為了建立指標顯示疫情已受控制, 以便向國人宣示可以過正常生活, 有位公共衛生專家建議的指標是 連續 7 天, 每天新增的可能病例都不超過 ( 小於或等於 )5 人 根據連續 7 天的新增病例計算, 下列各選項, 哪些必定符合此指標? (A) 平均數 3 (B) 標準差 1 (C) 平均數 3 且標準差 2 (D) 平均數 3 且全距 2 ( E) 眾數 =1 且全距 4 92. 指考乙 ( 180
31. 定義一組資料的第一十分位數 w 1 為 至少有 ( 含 ) 10 1 的資料不大於 w 1, 且至少有 ( 含 ) 10 9 的資料不小於 w 1, 試問下列敘述何者為真? (A) 任一組資料都恰有一個第一十 分位數 (B) 若將原資料每個數據分別乘以 5, 則原資料的第一十分位數乘以 5 也會是新 資料的第一十分位數 (C) 若將原資料每個數據分別加 5, 則原資料的第一十分位數加 5 也是此新資料的第一十分位數 (D) 若有 A,B 兩組資料其第一十分位數分別為 w A,w B, 則 w A +w B 也是此兩組資料合併成一組後的第一十分位數 (E) 任一組資料的第一十分 位數必小於該組資料之算術平均數 94. 指考乙 32. 根據統計資料,1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度, 標準差是攝氏 3.5 度 一般外 9 國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱, 已知當攝氏溫度為 x 時, 華氏溫度為 y= x+ 5 32; 若用華氏溫度表示, 則 1 月分臺北地區的平均氣溫是華氏 度, 標準差是華氏 度 ( 計算到小數點後第一位, 以下四捨五入 ) 92. 學測 181
3-6 信賴區間與信心水準的解讀 常態分布 : 很多資料畫其直方圖後, 若將每個長條頂端中點以折線連接 ( 即次數分配折 線圖 ) 會呈現中間高而往左右兩邊下降近似鐘形 如下圖 當資料的直方圖呈現如鐘形一樣, 由中間往兩邊對稱下降的情形時, 就說此組資料之分布是近似常態分配 ( 或稱常態分布 ) 又叫做 高斯分布 自然界和人類社會中的許多現象, 例如人的血壓 脈搏 智力等的分布情形, 都和常態分布近似 常態分布特性 : 常態分布曲線是左右對稱的, 中間部分佔的比例較大, 愈往兩旁所佔的 比例愈小 平均數和中位數都落在曲線的中間位置, 也就是尖峰點所在 常態分布的平均數 中位數與眾數全相同 常態分布 68-95-99.7 規律 : 在任何常態分布曲線當中, 大約 大約有 a. 68% 的數值落在距平均數 1 個標準差範圍內 b. 95% 的數值落在距平均數 2 個標準差範圍內 c. 99.7% 的數值落在距平均數 3 個標準差範圍內 我們以鐘型曲線來解釋 68 95 99.7 規則, 下圖是平均數為 µ, 標準差為 σ 的常態分布曲線 : (1) 在鐘型曲線以下, 介於 µ σ 和 µ + σ 兩鉛直線之間的數據約占整體數據的 68% (2) 在鐘型曲線以下, 介於 µ 2σ 與 µ + 2σ 兩鉛直線之間的數據約占整體數據的 95% (3) 在鐘型曲線以下, 介於 µ 3σ 與 µ + 3σ 兩鉛直線之間的數據約占整體數據的 99.7% 182
民調的意義 : 下面是某民調公司對行政院長施政滿意度的調查 : 滿意度 4 成 4 本次調查是以本次調查是以臺灣臺灣地區住宅電話簿為抽樣清冊, 並以電話的後四碼進行 隨機抽樣 共成功訪問 1056 位臺灣臺灣地區 20 歲以上民眾 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差 為正負 3.0 個百分點 (TVBS, 95 年 5 月 ) 1. 滿意度 4 成 4 : 在 1056 位受訪者當中, 約有 44% 的人表示滿意, 即回答滿意者有 1056 44 100 465( 人 ) 2. 抽樣誤差正負 3.0 個百分點 : 把 44% 分別加減 3.0%, 就可以得到一個數線上的範圍 [0.44 0.03, 0.44 + 0.03] = [0.41, 0.47] 區間 [ a, b ] 是指數線上所有滿足不等式 a x b 的點 x 所成的集合 統計裡面把這區間 叫做信賴區間信賴區間 3. 95% 的信心水準 : 95% 信心水準的意思是 : 如果我們重複這個調查非常多次, 每次 都得到一個信賴區間, 那麼這多個區間中, 約有 95% 的區間會涵蓋真正的 p 值 註 : 因為真正的滿意度是一個固定的數, 所以上述的報導不適合解讀為 滿意度在區間 [0.41, 0.47] 內的機率為 0.95 綜合上面的解讀, 對於報導我們有了比較完整的概念 : 報導中的滿意度 4 成 4 是被抽樣訪問者的滿意度, 將它加上正負誤差 3.0 個百分點, 就得到一個區間 [0.41, 0.47], 而我們有 95% 的信心說, 真正的滿意度會落在我們所得出的區間 [0.41, 0.47] 之中 隨機變數 : 若樣本 x 1,,x 隨機抽樣自此母體 ( 母體平均數為 µ), 我們會以樣本平均 數 x = x 1+x 2 + +x 來估計 µ, 但每次抽出的 個樣本會不同, 因此算出的樣本平均數 x 會不一樣, 所以稱 x 為隨機變數, µ x 為抽樣誤差 中央極限定理 : 當樣本數 很大時, 不管原母體資料是什麼分配, 也不管母體資料是連續型或離散型 是 對稱或不對稱 是右偏或左偏, 甚至是單峰或多峰都無所謂, 只要樣本數 足夠大, ( 這裡的足夠大並沒有一定的標準, 如果母體的分配愈對稱, 則所需樣本數 愈少, 通常 要求 30, 一般都是 1068 個左右 ), 則 : x i (1) 隨機變數 x = k=0 的分配會接近鐘形的常態分配常態分配 183
(2) 隨機變數 x 的平均數與原母體平均數相同, 都是 µ (3) 但 x 的標準差 ( 稱為標準誤 ) 與原母體的標準差 σ 不同, 變成只有 95% 區間 : 由常態分配的經驗法則,x 的資料離母體平均數 µ 在 2 個標準差 σ σ 內的機率 有 95% 但求母體平均數 µ 的估計時, 一般母體的標準差 σ 也是未知的, 所以改以樣本標 準差 s 代替 σ, 即母體平均數 µ 落在區間 x -2 s,x +2 s 內的機率約為 0.95, 其中 x 為隨機變數 抽樣誤差 : 以行政院長的施政滿意度調查為例, 在抽樣的 個人中, 我們用 ˆp 代表樣本 樣本中滿意的人數中滿意的比例, 即 p = 假設全臺灣成年人中經過普查, 真正的滿意 度是 p, 估計的滿意度與真正的滿意度的差 p- p 稱為抽樣誤差 當抽樣誤差為負數時, 表示高估了此人的滿意度, 反之, 當抽樣誤差為正數時, 表示低估了此人的滿意度 母體標準差 : 設母體經普查後滿意度為 p, 則母體標準差為 p(1 p) 抽樣分布標準差 : p 的抽樣分布 ( 每一次抽 人, 重複非常多遍 ) 所呈現的常態曲線 p(1 p) 中, 平均數會等於 p, 而標準差為 由常態分布 68 95 99.7 的規則知道 : 大約有 95% 的 p 會落在距平均數 2 個標準差的範圍內 (1 ) 即 2 p p p p 但實際上母體真正的平均數 p 是未知的, 但當樣本數 很大時, p 會和 p 相當接近, 可以用 p 取代標準差 p(1 p) 中的 p 如此, 可將上述不等式改寫為 p (1 p ) p p < 2, 換句話說, 將 p 值往左右各延伸 2 個標準差所得到的區間 (1 ) (1 ) 2 p p p, p 2 p p + 中, 我們有 95% 的信心真正的 p 會在此區間內 我們 (1 ) (1 ) 將此區間 2 p p p, p 2 p p +, 稱作 95% 的信賴區間 信賴區間 : 在一個大母體中, 其成員擁有某項特質的比例為 p 若從母體中隨機抽取 個樣本 ( 必須 夠大 ), 令 p 代表該樣本中擁有此項特質的比例, 則 184
(1 ) (1 ) 1. 區間 p p p, p p p + 稱做 p 的一個 68% 的信賴區間, 或 在 68% 的 信心水準下的信賴區間 (1 ) (1 ) 2. 區間 2 p p p, p 2 p p + 稱做 p 的一個 95% 的信賴區間, 或 在 95% 的信心水準下的信賴區間 (1 ) (1 ) 3. 區間 3 p p p, p 3 p p + 稱做 p 的一個 99.7% 的信賴區間, 或 在 99.7% 的信心水準下的信賴區間 最大誤差 : 設上述母體比率 p 的信賴區間為 p -e, p +e 其中, p 為樣本比 率,e 為最大誤差 ( 亦稱誤差界限或誤差值 ), 信心水準 68%,95%,99.7% 所對應的 最大誤差 e 分別為 (1) e= p (1 p ) (1 ) (2) e= 2 p p (1 ) (3) e= 3 p p 這個結果的意思是說, 我們每抽一組樣本 ( 一組是 人 ), 就會得到一個樣本的比例 p, 如此就可以 算出一個信賴區間 假設我們持續的抽樣很多次, 每 次各得一個新的 p 和新的信賴區間, 那麼這些區間當 中, 大約有 95% 的區間會涵蓋真正的 p 值 下圖說明 信賴區間的概念 : 圖中共有 21 條線段, 每條線段代表 一個抽樣所得的信賴區間, 圓點代表樣本的比例 p, 有的線段 ( 圖中只有一條 ) 並不包含真正的 p 這種 偏差的抽樣結果也許會發生, 但機率不大 ( 約 1 95%=5%) 前面說過, 實際的抽樣中只會進行一次抽樣調查, 也 就是說只能得出一個信賴區間, 我們遂將 重複抽樣 下大約有 95% 的區間會涵蓋真正的 p 值 這個特性, 以 對此區間, 我們有 95% 的信心認為它將涵蓋真正的 p 值 來表達 信賴區間特性 : (1) 每組抽樣信賴區間的中點是樣本比率 p (2) 信賴區間愈短愈好, 區間長度等於 2 倍最大誤差 (3) 當抽樣樣本數 愈大時, 若 p 不變, 則抽樣誤差界限 e 愈小, 所以信賴區間長度變愈 短 (4) 信心水準愈高, 則最大誤差 e 愈大, 所以信賴區間長度也愈長 185
(5) 信賴區間會隨抽樣資料不同算出不同的樣本比率 p, 而得不同的信賴區間 註 : 95% 的信賴區間公式 (1 ) 2 p p p ± 其中的 2 是近似值, 若我們想求更精確的區間時, (1 ) (1 ) 會以 1.96 來取代, 即 95% 的信賴區間為 1.96 p p p, p 1.96 p p + 樣本數 : 一般而言, 調查人數愈多, 成本愈高, 估計也愈準確, 所以樣本數必須在精確 ( 誤差小 ) 與成本之間取得平衡 在做民意調查通常都抽 1 千多位受訪者 在 95% 信心水準下, 最大誤差為 e 時, 樣本數的決定 : 2 p^ ( 1-p^ ) (1) 如果能得到 p^ 的估計, 則由 e= 4 p^ ( 1-p^ ), 求得 = e 2 (2) 但大部分情況沒有 p 的資訊時, 可利用保守的方式求樣本數如下 : 因 p^ ( 1-p^ ) 0.5, 2 p^ ( 1-p^ ) 所以 e= 2 0.5 = 1, 得總數 ( 1 e )2 註 1: 事實上, 查閱大學統計學用書的常態分配表, 較正確的說法是有 95% 的資料落在區 1.96 p^ ( 1-p^ ) 間 x -1.96s,x +1.96s 內, 所以 95% 信心水準的最大誤差有 e= 1.96 0.5 因此,95% 最大誤差 e, 所需樣本數為 ( 1.96.0.5 e 本數需要 ( 1.96.0.5 0.03 ) 2 1067.1 1068 ) 2 例如 e=0.03, 樣 註 2: 如 p 離 0.5 很遠時, 例如已知某產品的良率一定超過 0.9 時, 則抽樣樣本數可以改為 ( 1.96 0.9 0.1 e ) 2, 就可達成 95% 的最大誤差 e 186
例題 14 某國中對全校 1000 名國一新生做智力 (IQ) 測驗 測驗結果 IQ 分數呈現常態分布 其平均數 =111 標準差 =11 (1) IQ 分數不到 100 分的約有幾人? (2)IQ 分數超過 111 而未滿 133 的約有幾人? (3) 甲班 50 名學生中沒有人的分數超過 144 但乙班卻有 你覺得這樣的分班公平嗎? 例題 15 如上述對未婚生子的研究, 調查 1068 位, 結果有 425 位贊成, 求 : (1) 信心水準 95% 的最大誤差 (2) 贊成比率 p 的 95% 信賴區間 例題 16 某銀行於農曆春節發行即時樂彩券, 並宣稱中獎率為 36%( 發行 100 萬張, 計有 36 萬個獎項 ). 若想推論這個數據是否屬實, 在 95% 的信心水準及抽樣誤差正負 4 個百分點的條件下, 應隨機 採樣多少張樣本? 187
第二十九回作業 1. 某校有學生 1000 位, 數學段考成績為常態分布, 平均成績為 70 分, 標準差為 10 分, 則下列敘述何者正確?(A) 數學不及格人數大約有 160 位 (B) 超過 90 分的人數大約有 25 位 (C) 某生成績為 80 分, 其全校排名約 160 名 (D) 將每位學生成績減 70 分, 再除以 10 分, 則此新成績的平均數為 0 分 (E) 將每位學生成績減 70 分, 再除以 10 分, 則此新成績的標準差為 1 分 2. 某校有學生 1000 位, 數學段考成績呈常態分布, 平均成績 70 分, 標準差 10 分, 請概估 : (1) 此次數學段考不及格的學生約有幾位?(2) 成績超過 90 分的有幾位?(3) 某生成績 80 分, 他在全校大約排第幾名? 3. 下列有關 95 % 信心水準下的信賴區間敘述何者正確? (A) 母體均值 μ 落於其信賴區間的機率為 95 % (B) 樣本平均數 x 落於信賴區間內的機率為 95 % (C) 信賴區間有 95 % 的機率會涵蓋母體均值 μ (D) 重複試驗 100 次所建構出的 100 個信賴區間, 有可能有 95 個會涵蓋母體均值 μ (E) 95 % 信心水準並不是說這一個信賴區間有 95 % 的機率會涵蓋母體均值 μ 4. 下列哪些方法可縮小信賴區間的寬度? (A) 降低信心水準 (B) 增加信心水準 (C) 增大樣本數 (D) 減少樣本數 (E) 重複相同實驗 100 回 5. 下列敘述何者正確?(A) 信心水準愈高, 則對應的信賴區間亦愈大 (B) 信心水準愈高, 則對應的信賴區間亦愈小 (C) 抽取的樣本數多寡不影響信賴區間的寬度 (D) 抽取的樣本數愈多, 則信賴區間寬度隨之縮小 (E) 抽取的樣本數愈多, 則信賴區間寬度隨之愈大 6. 某品管人員想要測試公司生產出來的輪胎直徑是否合乎品質要求, 因此他隨機抽取 5 個樣 本, 得到直徑如下 :235,250,243,240,232 假設輪胎的直徑為常態分配且標準差為 10, 則該輪胎平均直徑的 95 % 信賴區間為 ( 取 5 =2.24, 四捨五入計算至 小數點下一位 ) 188
7. 自臺大醫院婦產科之育嬰房中隨機抽取 6 個嬰兒, 其體重分別為 :3.2,2.9,3.4,4.0,3.7,3.8 假設嬰兒之體重呈常態分配, 則 (1) 求初生嬰兒平均體重 μ 之值 (2) 若依據以往經驗知嬰兒體重之標準差為 0.4, 求嬰兒平均體重 μ 之 95 % 信賴區間 8. 從 100 個樣本中得到數據的平均數是 25, 樣本標準差是 5, 求 95 % 信心水準的信賴區間 與誤差值 9. 某班有 32 位學生, 丟一個硬幣做實驗, 每位學生各丟此硬幣 1 次, 結果如下 : 1111,1100,1111,1001,0110,0111,0101,1111 其中 1 表正面 0 表反面, 試求此硬幣出現正面的比率 p 的 95% 信賴區間 10. 民調公司做總統大選支持度調查, 成功訪問了 1100 位合格選民, 其中有 605 位表示支持甲候選人 (1) 求甲候選人支持比例 (2) 在 95% 的信心水準下, 這次調查的正負誤差是多少個百分點?(3) 計算 95% 的信賴區間 11. 為了估計某牌鉛筆的平均長度, 隨機檢驗該牌鉛筆 12 支, 它們的長度記錄如下 : 18.2,17.6,18.5,17.0,19.0,18.1,16.8,18.3,17.9,17.5,16.5,18.6( 單位 : 公分 ) 已知該牌鉛筆的長度呈常態分配 假定已知該牌鉛筆長度的標準差為 1.62 公分, 試估計該牌鉛筆平均長度的 90 % 信賴區間 ( 查表得知 Z 0.05 1.645) 12. 某校依過去校務運作之經驗知, 約有 10 % 之學生反對增收學費以擴建停車場, 今擬抽取樣本以確認之, 而欲該反對率之誤差在 5 % 內之機率為 0.95 時, 其樣本大小至少需要 人 ( 查表得知 Z 0.025 1.96) 189
13. 欲知汽車每加侖油平均可跑多少公里而進行抽樣預測, 若標準差 σ=5 公里, 誤差 e= x-μ =1 公里, 信心水準 0.95, 則樣本大小 應為 14. 一研究人員欲在某大學進行曾翹課學生的比例之調查, 在該大學隨機抽取 292 人中, 結果有 228 人曾翹過課, 則 :(1) 估計該大學中曾翹課同學之比例 p?(2) 求 p 的 95 % 信賴區間?(3) 若希望估計 p 的 95 % 信賴區間之長度為 0.06, 求適當的訪問數? 15. 已知某一製造商所產製的燈泡之壽命長度為近似常態分配, 其標準差為 40 小時 假設隨機抽取 36 個燈泡作為樣本, 測得其平均壽命為 780 小時 (1) 試求該製造商所產製的所有燈泡之平均壽命的 95 % 信賴區間 (2) 假設我們希望具有 95 % 的信心認為, 以樣本平均數來估計母體平均數, 其誤差在 10 小時以內, 則所需之樣本數至少應有多大? 16. 火車站門前擺設一部汽水自動販賣機, 為了估計它分配的每杯汽水平均含量, 隨機觀察了顧客購買的 81 杯汽水, 它們平均每杯有 300 毫升的汽水, 標準差為 3 毫升 (1) 試求該部販賣機分配的每杯汽水平均含量的估計值 (2) 求 (1) 中的估計之 95 % 誤差界限之近似值 (3) 若要求 (2) 中的 95 % 誤差界限為 0.50, 問此題的樣本夠不夠大?(4) 若不夠大, 則應再觀察幾杯汽水? 若樣本數已超過, 請問你要如何決定樣本? 17. A 公司想了解某一產品市場上之占有率,A 公司希望在 95 % 信心水準與估計誤差小於 3 % 之下, 假定以往經驗得知占有率為 30 %, 請問 A 公司需訪問多少位消費者? 190
18. 調查一群高中生的身高得出標準差是 10 公分, 在 95 % 信心水準下要使誤差在 1 公分以 內, 樣本數至少要有多少人? 19. 美國 CNN 電視臺針對全民健保的提議, 抽樣調查是否贊同實施全民健保, 結果顯示在 90 % 信心水準下, 誤差範圍在 ±3 % 以內, 在這一次抽樣調查中, 至少需訪問多少人才能達到誤差範圍?( 查表得知 Z 0.05 1.645) 20. 市面上販售的煙燻鮭魚平均重量為 1000 公克, 標準差為 30 公克, 若要使平均重量在 99 % 信心水準下的誤差值為 ±10 公克範圍內, 應該至少要抽取多少個樣本?( Z 0.005 2.576) 21. 下圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖 ( 圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數, 其中各區間不包含左端點而包含右端點 ) 該 100 名婦女體重的平均數為 55 公斤, 標準差為 12.5 公斤 曲線 N 代表一常態分布, 其平均數與標準差與樣本值相同 在此樣本中, 若定義 體重過重 的標準為體重超過樣本平均數 2 個標準差以上 ( 即體重超過 80 公斤以上 ), 則下列敘述哪些正確? (A) 曲線 N( 常態分布 ) 中, 在 55 公斤以上所占的比例約為 50 % (B) 曲線 N( 常態分布 ) 中, 在 80 公斤以上所占的比例約為 2.5 % (C) 該樣本中, 體重的中位數大於 55 公斤 (D) 該樣本中, 體重的第一四分位數大於 45 公斤 (E) 該樣本中, 體重過重 ( 體重超過 80 公斤以上 ) 的比例大於或等於 5 % 95. 學測 191