台北市立第一女子高級中學 105 學年度第 1 學期第一次期中考高三數學 ( 理組 ) 題目卷 範圍 : 選修數學 ( 甲 ) 上 -- 第一章機率與統計一 多重選擇題 ( 每個選項 2 分不倒扣, 共 34 分 整題未作答者, 該題不予計分 ) 1. 袋中有 10 元硬幣 5 枚,1 元硬幣 10

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1 台北市立第一女子高級中學 05 學年度第 學期第一次期中考高三數學 ( 理組 ) 題目卷 範圍 : 選修數學 ( 甲 ) 上 -- 第一章機率與統計一 多重選擇題 ( 每個選項 2 分不倒扣, 共 34 分 整題未作答者, 該題不予計分 ). 袋中有 0 元硬幣 5 枚, 元硬幣 0 枚, 下列哪些選項正確? (A) 任取 枚硬幣之金額期望值為 4 元 (B) 任取 4 枚硬幣之金額期望值為 6 元 (C) 取後放回, 每次取 枚硬幣, 取 4 次後之金額期望值為 30 元 (D) 取後不放回, 任取 0 枚硬幣後, 再將另外的 0 元硬幣 0 枚, 元硬幣 20 枚放入袋中, 再任取 0 枚硬幣, 則取出總共 20 枚硬幣之金額期望值為 80 元 (E) 將袋中 5 枚硬幣 ( 皆公正硬幣 ) 全取出並投擲, 正面可得該硬幣面額 2 倍之金額, 反面無論何種硬幣均須賠 8 元, 則此遊戲為公平遊戲 2. 已知某枚硬幣正面出現的機率為 p, 投擲 n 次, 隨機變數 X 表正面出現的次數, 下列哪些選項正確? (A) 若 ( np, ) (00,0.2), 則期望值 EX ( ) 20, 標準差 ( X ) 4 (B) 若 ( np, ) (00,0.2), 則 P( X 9) P( X 2) (C) 若 n 00, 且標準差 ( X ) 2 6, 則 p 0.6 (D) 當試驗的次數 n 足夠大時, 正面出現的比例會等於 p (E) 當試驗的次數 n 足夠大時, 正面出現的比例經標準化後的機率分布, 會近似於標準常態分布 3. 請先閱讀以下新聞, 回答下列問題 節錄 全台 790 萬人瘋寶可夢平均每天玩近兩小時 根據行動市調 App EZchoice 的調查結果顯示, POKEMON GO 遊戲的確對生活造成不少影響 有 28.% 的行動網路族則承認玩這個遊戲有影響到上班或上課的效率 這項調查由行動市調 App EZchoice 執行, 以 5 歲以上行動網路族為調查對象, 成功樣本數為 549 份, 在信心水準 95% 下抽樣誤差約為正負 2.3% 根據國發會所公布的統計,5 歲以上行動網路族約,329 萬人 ( 中時電子報 ) (A) 這次調查的樣本中, 約有 435 人承認玩這個遊戲有影響到上班或上課的效率 (B) 在 95% 的信心水準下, 此次調查 影響到上班或上課的效率 人數比例之信賴區間為 [0.258,0.304] (C) 若提高信心水準, 在 99.7% 的信心水準下之信賴區間會比 [0.258,0.304] 範圍更小 (D) 若有另外一家公司重新調查 600 人, 其中承認有影響上班或上課效率的人數為 320 人, 則 95% 的信心水準下, 此次調查的信賴區間為 [0.26,0.30] (E) 如果重複作相同的抽樣 ( 每次 549 份有效樣本, 相同信心水準下 ), 每一次都會算出一個信賴區間, 每個區間大約有 95% 的機率包含全體 影響到上班或上課的效率 人數的真正比例 p (F) 如果重複作相同的抽樣 ( 每次 549 份有效樣本, 相同信心水準下 ), 每一次都會算出一個信賴區間, 大約有 95% 的區間涵蓋全體 影響到上班或上課的效率 人數的真正比例 p (G) 如果遊戲公司廣為宣傳後再次抽樣, 樣本數為原來的 4 倍, 則 95% 的信心水準下, 影響到上班或上課的效率 人數比例之信賴區間寬度會減半 第 頁 / 共 4 頁

2 . 多重選擇題有 5 個選項, 每個選項 2 分不倒扣 整題未作答者, 該題不予計分 若埼玉已知選項 A 是正確的, 其他 4 個選項只能亂猜, 則該題得分的期望值為 分 2. 投手澤村榮純投球, 平均每 4 球有 3 球是好球, 與御幸一也練習時投了 6 球, 假設每次投球互不影 響, 則好球次數的標準差為 隨機變數 X 之期望值 EX ( ),變異數 Var( X ),則 E(6X ) 4. 三猩公司最新發售弱特欺 (No Order To Explode 7) 手機, 經過抽樣調查發現, 樣本數 00 支手機, 其中有 35 支發生爆炸, 則在 95% 的信心水準下, 本次抽樣爆炸率的信賴區間為?( 計算至 小數第三位, ) 5. 摩卡 小花 黑妞在 0~9 的數字鍵盤胡亂打字, 若每次只按一個鍵, 每個鍵被按到的機率均等, 各 按 50 次鍵盤的結果如下表 : 摩卡 小花 黑妞 若以此表模擬正面出現機率為 0.4 的硬幣, 以 00 到 39 代表正面,40 到 99 代表反面, 從第一行起由 左向右每次取一個 2 位數字組, 到最後一行為止, 則何者的模擬結果, 正面所出現的機率跟 0.4 差距的絕對值最小? ( 填中文名字 ) 6. 某個闖關遊戲中, 每一關由菜月昴 愛蜜莉雅獨立過關的機率為 a b, 今兩人闖關不互相影響, 每一關有人過關即稱作成功 若兩人同時闖 25 道關卡, 成功的關卡數期望值為 20 道, 則 ab a b X 7. 隨機變數 X 代表第一次期中考成績, 為標準差, 下列表格為常態分布下 Z 之機率表 全 校平均 70 分, 若該次考試呈常態分布, 考試分數皆為整數 婕兒說 : 52 分到 88 分的人只占全校 的 87%, 不能再高了 小穹此次考試的標準化分數為 2.5, 則小穹的考試分數為 分 P( Z ) 38% 68% 87% 95% 99% 第 2 頁 / 共 4 頁

3 8. 蛋藏玩手機遊戲 -- 龍族拼圖 (PUZZLE & DRAGONS), 每次攻擊只可能為 4 連擊 (combos) 5 連擊 (combos) 0 連擊 (combos), 機率分布如下表 : 連擊數 機率 0.25 x y 已知連擊數之期望值為 5.6 連擊 (combos) () 則 ( xy, ),(2) 變異數為 9. 實力相當的兩人空與白進行西洋棋比賽, 比賽有勝 負 和局三種結果, 機率各為 3, 兩人約定先 勝二場者獨得獎金 元 但和局兩場時比賽中止, 此時若兩人勝 負次數相同, 則獎金平分, 若 其中某人勝場數較多, 則獨得全部獎金 今已知空先勝一場後, 因故無法繼續進行比賽, 則空可分得 元才公平 0. 風險骰子由正 20 面體構成, 每面出現機率皆均等, 其中 9 面寫上 大吉, 剩下 面寫上 大凶 某賭局擲一枚公正硬幣, 若搭配風險骰子, 則每次結果下表 : 硬幣 風險骰子 大吉 大凶 正面 +00 元 + 元 反面 - 元 -2 X 元 X 為之前大吉且正面所得的總獎金, 若 X 0, 則此次賠 00 元 例如 : 投擲 0 次公正硬幣, 每次皆搭配風險骰子, 已知硬幣依正反正反正反正反正反出現 若風險骰子前 9 次出現 大吉, 最後 次出現 大凶, 則正面 5 次得 500 元, 反面 4 次賠 4 元, 最後 次反面須賠 000 元, 總和賠 504 元 2 若風險骰子第 4 次出現 大凶, 其餘皆 大吉, 正面前 2 次得 200 元, 大凶 之前有 2 次正面, 所以 大凶 出現時須賠 400 元, 之後正面 3 次得 300 元, 其餘反面 4 次賠 4 元, 總和得 96 元 依此規則, 投擲 20 次公正硬幣, 每次皆搭配風險骰子, 已知硬幣依正反正反 正反順序出現, 且在 風險骰子恰出現 次 大凶 的條件下, 獎金的期望值為 k 元, k B n xi n i (Be)(greater than)(average) 第 3 頁 / 共 4 頁

4 台北市立第一女子高級中學 05 學年度第 學期第一次期中考高三數學 ( 理組 ) 答案卷 高三 班 座號 號 姓名 範圍 : 選修數學 ( 甲 ) 上 -- 第一章機率與統計 一 多重選擇題 ( 每個選項 2 分不倒扣, 共 34 分 整題未作答者, 該題不予計分 ) () 8.(2) 第 4 頁 / 共 4 頁

5 台北市立第一女子高級中學 05 學年度第 學期第一次期中考高三數學 ( 理組 ) 答案卷 高三 班 座號 號 姓名 範圍 : 選修數學 ( 甲 ) 上 -- 第一章機率與統計 一 多重選擇題 ( 每個選項 2 分不倒扣, 共 34 分 整題未作答者, 該題不予計分 ) ABDE ABE ABF [0.254,0.446] () 摩卡 5 00 (0.3,0.2) 8.(2) 第 5 頁 / 共 4 頁

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