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第一章圓錐曲線 第一類大學入學試試題評量 1. 若函數 f (x) = ax + bx + c 的圖形如右圖, 則下列各數那些為負數? ( 多選 ) (A) a (B) b (C) c (D) b 4ac (E) a b + c 8 年. 已知等軸雙曲線 Γ 的一條漸近線為 x y = 0, 中心的坐標為 (1, 1), 且 Γ 通過點 (, 0) 試問下列敘述那些是正確的? (A) Γ 的兩條漸近線互相垂直 (B) x + y = 0 為 Γ 的另一條漸近線 (C) Γ 的貫軸 在直線 y = 1 上 (D) 點 (1, 1) 為 Γ 的一個頂點 (E) 點 (1, 6 1) 為 Γ 的一焦 點 84 年. 已知兩拋物線 x = y + y 與 y = x + kx + 19 有交點, 其中兩個 交點在直線 x + y = 上, 則 k 的值等於多少? 84 年 4. 已知拋物線 Γ 的方程式為 y = (x + 1) + 1, 且直線 y = x + 與 Γ 相 切 設 L 為斜率等於 的直線, 若 L 與 Γ 有兩個交點 則 L 上任一 點 P 的坐標 (x, y) 滿足下列那個關係式?( 參考右圖 ) (A) y > (x + 1) + 1 (B) y < (x + 1) + 1 (C) y = (x + 1) + 1 (D) y > x + (E) y < x + 85 年 5. 設 y = f (x) 及 y = g(x) 的圖形都是拋物線, 一個開口向上, 一個開口向下, 則 y = f (x) + g(x) 的圖形可能出現下列那些情形? (A) 兩條拋物線 (B) 一條拋物線 (C) 一條直線 (D) 橢圓 (E) 雙曲線 85 年

x + y 19 6. 關於方程式 = 10 真? ( x + 1) + ( y ) 所代表的錐線圖形 Γ, 下列何者為 (A) Γ 為拋物線 (B) (1, ) 為 Γ 的焦點 (C) x + y 19 = 0 為 Γ 的漸近線 (D) x y + 7 = 0 為 Γ 的對稱軸 (E) (, 1) 為 Γ 的頂點 86 年 7. 下列各選項中的曲線 Γ, 何者是一個橢圓? (A) (B) (C) (D) (E) 86 年 8. 關於橢圓 Γ: ( x 1) + ( y ) + ( x + 1) + ( y + ) = 6, 下列何者為真? (A) (0, 0) 是 Γ 的中心 (B) (1, ), ( 1, ) 為 Γ 的焦點 (C) Γ 的短軸為 4 (D) Γ 對稱於直線 x = y (E) Γ 對稱於 (1, ) 與 ( 1, ) 的連線 88 年 9. 在坐標平面上, 以 ( 1, 1), (, 1) 為焦點, 且通過點 (, 4) 畫一雙曲線 試問此 雙曲線也會通過下列哪些點? (A) (1, 1) (B)( 1, 4) (C) (, ) (D) ( 1, ) (E) (, 1) 89 年

10. 右圖為一拋物線的部分圖形, 且 A B C D E 五個點中有一為其焦點 試判斷哪一點是其焦點?( 可利用你手邊現有簡易測量工具 ) (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 90 年 11. 在坐標平面上, 請問下列哪些直線與雙曲線 x y = 1不相交? 5 4 (A) 5y = x (B) 5y = x (C) 5y = x + 1 (D) 5y = x (E) y = 100 90 年 1. 設 P(x, y) 為坐標平面上一點, 且滿足 ( x 1) + ( y ) + ( x ) + ( y 4) = ( 1) + (4 ), 那麼 P 點的位 置在哪裡? (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (E)x 軸或 y 軸上 91 年 1. 試問下列哪一個函數的部分圖形來描述下圖 ( 一 ) 較恰當? (A) (x ) (B) sin(x) + (C) cos(x) (D) 0.5(x ) + 4 (E) x 91 年 圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) 14. 在坐標平面上有一橢圓, 它的長軸落在 x 軸上, 短軸落在 y 軸上, 長軸 短 軸的長度分別為 4 如上圖 ( 二 ) 所示, 通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45 度的直線在第一象限跟橢圓相交於 P 則此交點 P 與中心 O 距離為 (A) 1.5 (B) 1. 6 (C) (D). 5 (E). 91 年 15. 設 A(1, 0) 與 B(b, 0) 為坐標平面上的兩點, 其中 b > 1 若拋物線 Γ:y = 4x 上 有一點 P 使得 ABP 為一正三角形, 則 b = 9 學測

16. 設 P 為雙曲線 x y = 1上的一點且位在第象限 若 F 1 F 為此雙曲線的兩 9 16 個焦點, 且 PF 1 : PF = 1:, 則 F 1 PF 的周長等於 9 學測 17. 在只有皮尺沒有梯子的情形下, 想要測出一拋物線形拱門的高度 已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸 現甲 乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺, 且距底部公尺高處其寬為 5 公尺 利用這些數據可推算出拱門的 高度為 公尺 ( 化成最簡分數 ) 9 學測 18. 已知坐標平面上一拋物線 C 之對稱軸與坐標軸平行, 且 C 通過 ( 1, 6) 與 (, 6) 兩點, 試問下列哪些敘述是正確的? (A) C 與 x 軸必相交 (B) C 與 y 軸必相交 (C) 如果 C 通過 (, 5), 則可找到實數 r 而 C 也通過 (r, 5) (D) 如果 C 通過 (4, 8), 則可找到實數 s 8 而 C 也通過 (4, s) (E) 如果 C 通過 (0, ), 則 C 的頂點之 y 坐標為 9 學測補考 19. 設 P 為橢圓 Γ: x + y = 1上的一點且位在上半平面 若 F 1 F 為 Γ 之焦點, 5 9 且 F 1 PF 為直角, 則 P 點的 y 坐標為 ( 化成最簡分數 ) 9 學測 補考 0. 在坐標平面上, 下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面? (A)x = y (B)x + y = 1 (C)x y = 1 (D) x + y = 1 (E) x + y = 1 9 學測 1. 在坐標平面上, 設直線 L:y = x + 與拋物線 Γ:x = 4y 相交於 P Q 兩點 若 F 表拋物線 Γ 的焦點, 則 PF + QF = 9 學測

x y. 設 F 1 與 F 為坐標平面上雙曲線 Γ: = 1 的兩個焦點,P 為 Γ 上一點, 9 16 使得此三點構成一等腰三角形 試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的週長? (A)0 (B)4 (C)8 (D) (E)6 94 學測. 在坐標平面上, 過 F(1,0) 的直線交拋物線 Γ:y = 4x 於 P Q 兩點, 其中 P 在上半平面, 且知 PF = QF, 則 P 點的 x- 坐標為 ( 化成最簡分數 ) 94 學測 4. 考慮坐標平面上所有滿足 ( x ) + y + ( x ) + ( y + 4) = 10 的點 (x, y) 所成的圖形, 下列敘述何者正確? (A) 此圖形為一橢圓 (B) 此圖形為一雙曲線 (C) 此圖形的中心在 (, ) (D) 此圖形對稱於 x = 0 (E) 此圖形有一頂點 (, ) 95 學測 5. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t) = t + 10t + 11, 其中 1 t 10, 則這段時間內該地區的最大溫差為 (A) 9 (B) 16 (C) 0 (D) 5 (E) 6 96 學測 x y ( x + 1) y 6. 坐標平面上方程式 + 的圖形與 = 1的圖形共有幾個交點? 9 4 16 9 (A) 1 個 (B) 個 (C) 個 (D) 4 個 (E) 0 個 96 學測 7. 坐標平面上有一以點 V(0, ) 為頂點 F(0, 6) 為焦點的拋物線 設 P(a, b) 為此 拋物線上一點,Q(a, 0) 為 P 在 x 軸上的投影, 滿足 FPQ = 60, 則 b = 96 學測 x 8. 設 F 1 與 F 為坐標平面上雙曲線 Γ: 8 y = 1 的兩個焦點, 且 P( 4, 1) 為 Γ 上一點 若 F 1 PF 的角平分線與 x 軸交於點 D, 則 D 的 x 坐標為

9. 已知坐標平面上圓 O 1 :(x 7) + (y 1) = 144 與 O :(x + ) + (y 1) = 9 相切, 且此兩圓均與直線 L:x = 5 相切 若 Γ 為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O 1 與 O 的圓心, 則 Γ 的焦點坐標為 ( 化為最簡分數 ) 97 學測 第二類近年大學聯考試題觀摩 1. 設 k 為一實數, 若方程式 y ky kx 4x + 6 = 0 之圖形為貫軸與 x 軸平行之雙曲線, 則 k 之範圍為 (A) k > 1 + (B) 0 < k < 1 + (C) 1 < k < 1 + ( 但 k 0) (D) 1 < k < 1 + ( 但 k 0) 或 k < (E) k > 1 + 或 < k < 1 8 社. 試就實數 k 之值的變化, 討論二元二次方程式 x + y + x + y + k(x y + x + y) = 0 的圖形 84 自. 已知拋物線 Γ 之頂點為 (, ), 準線為 x = 1 L 為通過點 (0, ) 之直線, 其斜率 大於 0, 且 L 與 Γ 有唯一交點 Q 試求 L 之斜率及 Q 點之坐標 84 社 4. 適當選取數對 (h, k) 可使拋物線 y = x + hx + h k 與 x 軸相切或無交點 設 D 為所有此種數對 (h, k) 在平面上所對應的點所構成的區域 試問 : (1) 區域 D 的邊界是何種圖形? (A) 圓 (B) 橢圓 (C) 拋物線 (D) 雙曲線 (E) 兩條直線 () 在區域 D 中, 使得 h k 之值最大的點之坐標 (h, k) 為何? (A) (, ) (B) (, 1) (C) ( 18, ) (D) (, 1) (E) (0, 4) 5 5 5 5 ()h k 在區域 D 上的最大值為何? (A) 1 (B) 9 (C) 7 (D) 1 (E) 1 5 (4)h k 在區域 D 上的最小值為何? (A) (B) 1 (C) 0 (D) 1 (E) 85 自 5. 拋物線 y = 16x 上與直線 4x y + 4 = 0 距離最短之點的坐標為 85 社

6. 在坐標平面上, 到直線 x = 1 之距離是到點 F(1, 0) 之距離的兩倍的所有點所 形成的圖是一個橢圓, 其中 F(1, 0) 為此一橢圓之一焦點, 則另一個焦點 F 的坐標為 85 社 7. 已知平面上一橢圓的兩焦點為 (6, 0) 及 (0, 8) 長軸長為 0, 則下列敘述哪些是 正確的? (A) (, 4) 為橢圓的中心 (B) 短軸的斜率為 (C) (9, 4) 為長軸上的一個頂 4 點 (D) 橢圓與正 x 軸只有一個交點 (E) 短軸之長為 10 86 自 8. 若已知方程式 x + 4y + x + 4y + k = 0 的圖形為橢圓, 則 k 的範圍為何? (A) 任何實數皆可 (B) k < 0 (C) k 0 (D) k < (E) k > 86 社 9. 有兩變數 x, y, 各取對數, 得到兩個新的變數 X = log 10 x, Y = log 10 y 如果 X, Y 的關係如圖之斜線所示, 則 x, y 的關係若以圖表示, 應為下列那一種圖形的一部分? (A) 直線 (B) 拋物線 (C) 雙曲線 (D) 對數函數之圖形 (E) 指數函之圖形 87 自 10. 設 a 與 b 為實數, 關於二元二次方程式 x + ay + bx 4y = 0 的圖形 Γ, 下列那些敘述是正確的? (A) 若 a = 0 且 b = 0, 則 Γ 是一拋物線 (B) 若 Γ 是一拋物線, 則 a = 0 且 b = 0 (C) 若 Γ 是一圓, 則 a = 1 (D) 若 Γ 是一橢圓, 則 a > 0 (E) 若 Γ 是一雙曲線, 則 a < 0 87 社 11. 將連接 (1, 0, 0) 與 (0, 0, 1) 兩點的直線, 繞 z 軸旋轉而得一直圓錐面, 則此直 圓錐面與平與 x = 相交而得的圖形為一 (A) 直線 (B) 圓 (C) 橢圓 (D) 拋物線 (E) 雙曲線 88 自

x y 1. 如右圖,A, B 為橢圓 + a b = 1 之兩頂點, 其中 a, b 皆為正數 若 P 為第一象限的橢圓弧上之一點, 則 ABP 最大的面積為何? 88 自 1. 已知一橢圓的長軸平行於 x 軸, 中心為 (1, ) 且通過點 (4, 6) 試問下列哪些 點一定會在這橢圓上? (A) (, ) (B) (, 6) (C) (4, ) (D) (5, 6) (E) (, 4) 88 社 14. 設 (p, 0) 為橢圓 x + y = 1的長軸上一定點, 且 0 < p < 若點(a, b) 為橢圓 4 1 上距離 (p, 0) 最近之點, 則 a = ( 以 p 的函數表示 ) 89 自 15. 坐標平面上拋物線 C:y = 4x + 9 以外部分被 C 分成兩個不相交區域, 試問下列哪些點與拋物線的焦點位於同一區域? 1 1 (A) (, ) (B) (1, 4) (C) (, 7) (D) (, 7) (E) (0, 9) 89 社 16. 下列哪些選項中的資訊當作已知條件時, 可以在坐標平面上求出橢圓的方程式? (A) 橢圓四個頂點的坐標 (B) 橢圓兩個焦點坐標及橢圓上一點的坐標 (C) 橢圓的長短軸長度 (D) 橢圓兩個焦點坐標及長軸的長度 (E) 橢圓的中心坐標及長短軸長度比值 90 社 17. 平面上有以坐標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點 今將此四點以坐標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形, 請問下列哪些敘述為真? (A) 該四邊形一定是正方形 (B) 該四邊形不可能是長與寬不等的長方形 (C) 該四邊形一定是平行四邊形 (D) 該四邊形一定是菱形 91 甲

x y 18. 設一橢圓方程式為 + = 1, 其中 a > 0, b > 0,F 為它的一 b a 個焦點 已知此橢圓在 x 軸上的兩個頂點與 F 的距離分別為 5 單位及 1 單位, 如右圖所示 則 (a, b) = 91 乙 x 19. n 是大於 1 的整數 坐標平面上兩個橢圓區域 + y 1 和 x y + n n 1 共同的部分以 A n 表示 請選出正確的選項 (A) A n 的面積小於 4 (B) A n 的面積大於 π (C) A n 的周長大於 5 (D) 當 n 趨於無窮大時,A n 的面積趨近於 4 9 乙 0. 坐標平面上有一個橢圓, 已知在 (8, 4), (9, 11), (15, 5) 和 (16, 1) 這四個點 中, 有兩個是焦點, 另外兩個是頂點, 則此橢圓的半長軸長度等於 9 甲 1. 已知坐標平面上的四個點,A( 1, ), B(0, 0), C(1, ), D(x, y), 其中 D 為 AB 中點與 BC 中點的連線段的中點 設有一拋物線通過 A D C 三點, 則此拋 物線的焦點坐標為 9 乙. 設 k 為一常數 已知一拋物線通過點 (, 0), 且焦點為 (1, ), 準線為 kx + y + 1 = 0, 求此拋物線頂點的坐標 9 甲. 如右圖所示, 線段 AB 的長度為定值, 且 AC : CB = :1 保持點 A 在 y 軸上, 上下移動, 且點 B 在 x 軸上左右移動時, 點 C 所經過的路徑會形成一圖形 試問此圖形為何? (A) 一橢圓 (B) 一圓 (C) 一雙曲線 (D) 一菱形 (E) 一線段 9 乙

4. 右圖為函數 f (x) = x 與 g(x) = x 的圖形, 過原點 O 作直線分別交 OB 兩圖形於 A, B 兩點 則的最大值 m 為 OA (A) (B) (C)1.5 (D)1. (E)0.6 9 乙 ( 敏督利 ) 5. 一條拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 0), 並與 x- 軸 直線 y = x 1 直線 y = x 1 相切 下列敘述何者正確 : (A) 此拋物線的對稱軸必為 y- 軸 (B) 若此拋物線對稱軸為 y- 軸, 則其集距為 1 ( 註 : 拋物線的焦距為焦點到頂點的距離 ) (C) 此拋物線的頂點必在 x- 軸上 (D) 有不只一條拋物線滿足此條件 94 甲 6. 考慮雙曲線 y x = 1 圖形的上半部 ( 如右圖 ), 取此雙曲線上 x 坐標為 n 的點與漸近線 y = x 的距離, 記為 d n, 其中 n 為正整數 則 lim( n d ) = 0 n ( 以四捨五入取到小數兩位 ) 94 甲 n 7. 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 (0, 0) 和 (4, 4), 且 y = x + 為此橢圓的切線 (1) 求此橢圓的半長軸長 (6 分 ) () 設此橢圓方程式為 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey = 1, 求 A B C D E 之值 94 甲

8. 試問在坐標平面上, 下列有關拋物線的敘述哪此是正確的? (A) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線,x + y = 0 為對稱軸 (B) 能夠找而拋物線以 x 軸為準線, 頂點是 (1, 1), 焦點是 (1, ) (C) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, 焦點是 (, ), 且通過 (, ) (D) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, 且通過 (, ),(, 4) (E) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線,y 軸為對稱軸, 且通過 (, ),(, ) 94 乙 9. 在坐標平面上給定兩點 A(1, ) 與 B(5, 6) 考慮坐標平面上的點集合 S = {P PAB 之面積為 10 且周長為 15}, 則 (A) S 為空集合 (B) S 恰含 個點 (C) S 恰含 4 個點 (D) S 為兩線段之聯集 (E) S 為兩直線之聯集 95 甲 0. 在坐標平面上, 設拋物線 Γ 通過點 (8, 4), 且其對稱軸為直線 x = 0 試問下列哪些選項是正確的? (1) 若拋物線 Γ 的頂點坐標為 (, 1), 則其焦點坐標必為 (, 4) () 若拋物線 Γ 的焦點坐標為 (, 1), 則其頂點坐標必為 (, ) () 若拋物線 Γ 也通過點 (10, 11), 則其準線方程式必為 y + 6 = 0 (4) 直線 x = 0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的頂點 (5) 直線 x = 0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的焦點 97 甲 1. 坐標平面上有兩條拋物線, 第一條拋物線的頂點在 ( 4, 0), 焦點在 ( 4, 4), 第二條拋物線的頂點在 (4, 4), 焦點在 (4, 0), 求兩條拋物線的交點 (1 分 ) 97 乙

解答 : 第一類大學入學試試題評量 1. (C)(E). (A)(C). 11 4. (D) 5. (B)(C) 6. (A)(D) 7. (C)(D)(E) 8. (A)(B)(C)(E) 9. (B)(C)(D) 10. (C) 11. (A)(B)(D) 1. (A) 1. (D) 14. (B) 15. 5 16. 54 17. 11 18. (B)(C)(E) 19. 9 4 (A)(C)(D)(E) 5. (D) 1 5 6. (A) 7. 1 8. 9. (, ) 5 5 0. (B)(E) 1. 10. (B)(E). 4. 第二類近年大學聯考試題觀摩 1. (B). 略. 1,(6, 6) 4. (1)(B) ()(C) ()(B) (4)(D) 5. ( 4 9, 6) 6. ( 7, 0) +1 7. (A)(B)(C)(D)(E) 8. (D) 9. (B) 10. (A)(C)(D)(E) 11. (E) 1. ab 4 p 1. (A)(B)(C) 14. 15. (A)(C) 16. (A)(B)(D) 17. (B)(C)(D) 18. (, 5 ) 19. (A)(B)(C)(D) 0. 50 1. (0, 4 5 ). (0, ). (A) 4. (C) 5. (A)(B)(C) 6. 0.5 7. (1) () 5, 8, 5, 4, 4 8. (B)(D)(E) 9. (C) 0. (1)()(5) 1. (4, 4) 與 ( 4, 0)