巧 用 TI 图 形 计 算 器 探 索 定 值 条 件 下 的 动 点 轨 迹 摘 要 : 本 文 利 用 TI 图 形 计 算 器 的 几 何 功 能, 探 索 了 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离, 和 差 积 商 分 别 为 定 值 条 件 时 的 动 点 轨 迹 ; 利 用 图 形 绘 制 功 能, 验 证 了 探 索 结 论 ; 利 用 CAS 计 算 功 能, 分 析 与 研 究 了 相 关 轨 迹 方 程. 关 键 词 : 动 点 轨 迹 教 育 技 术 图 形 计 算 器 定 值 条 件 动 点 的 轨 迹 是 解 析 几 何 中 的 热 点 问 题, 例 如 高 中 所 接 触 的 平 面 内 动 点 到 两 定 点 的 距 离 和 为 常 数 距 离 差 的 绝 对 值 为 常 数, 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 比 为 常 数 等 等. 下 面 将 利 用 TI 图 形 计 算 器 这 一 先 进 的 技 术 工 具, 研 究 以 上 定 值 条 件 下 的 动 点 轨 迹 问 题 并 进 一 步 拓 展. 上 篇 平 面 内 到 两 定 点 距 离 之 和 差 积 商 定 值 型 在 高 中 数 学 教 材 中, 分 别 研 究 了 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 之 和 为 常 数 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 常 数 的 动 点 轨 迹, 其 实, 此 类 到 两 定 点 的 距 离 关 系 恒 定 的 研 究, 还 可 以 拓 展 到 距 离 之 积 为 常 数 距 离 之 比 为 常 数, 借 助 TI 图 形 计 算 器, 此 类 研 究 都 将 轻 松 实 现. 问 题 1 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 之 和 为 定 值 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 : 按 如 下 步 骤 操 作. S1 新 建 一 个 文 档, 选 择 添 加 几 何 页, 并 保 存 文 件 名 为 定 值 条 件 下 的 轨 迹 ; S 作 出 三 点 F 1 F M 及 两 线 段 MF 1 MF ; S3 测 量 线 段 MF 1 MF 的 长 度 ; S4 插 入 文 本 MF1+ MF ; S5 计 算 文 本 MF1+ MF 的 值 ; S6 修 改 文 本 计 算 结 果 的 属 性 为 对 象 锁 定 ; S7 跟 踪 点 M 的 轨 迹. 操 作 提 示 : 按 c 13 新 建 一 个 文 档 及 几 何 页, 按 /» 保 存 文 档, 按 ; 切 换 中 英 文 ; 按 b 71 作 点, 按 b 75 作 线 段, 按 b 81 测 量 长 度, 注 意 配 合 x 键 使 用, 用 x 选 择 某 点 后, 按 /b 可 设 置 标 签. 按 b17 插 入 文 本, 按 b 18 计 算 文 本 值, 根 据 提 示 用 x 选 择 相 应 对 象. 用 x 选 择 文 本 结 果 后, 按 /b 可 设 置 属 性, 按 锁 定 对 象. 用 x 选 择 点 M 后, 按 /b9 几 何 跟 踪, 再 用 x 移 动 点 M. 显 示 结 果 : 操 作 过 程 及 显 示 结 果 如 下 图. (S1~S4) (S5) 1
(S5) (S6) (S7) 技 术 小 结 : 以 上 动 点 轨 迹 的 探 索 过 程 中, 应 用 到 的 TI 技 术 依 次 包 括 数 据 测 量 文 本 计 算 属 性 锁 定 几 何 跟 踪, 依 此 四 步 曲, 可 以 研 究 系 列 定 值 条 件 下 的 动 点 轨 迹. 例 1 已 知 两 点 F 1 ( 4,0) F (4,0), 求 平 面 内 到 定 点 F 1 F 的 距 离 之 和 等 于 常 数 10 的 动 点 M 的 轨 迹 方 程. 分 析 : 设 动 点 M 的 坐 标, 根 据 两 点 距 离 公 式 写 出 条 件 等 式, 再 进 行 化 简. 解 : 第 一 步 添 加 一 个 计 算 页, 写 出 条 件 等 式. ( x 4) ( y 0) ( x ( 4)) ( y 0) 10 + + + =. 第 二 步 定 义 函 数 f ( x, y ) = 左 式 - 右 式, 添 加 一 个 图 形 页, 作 出 其 图 像. 第 三 步 返 回 计 算 页, 逐 步 化 简 出 方 程, 步 骤 依 次 是 : 移 项 平 方 移 项 再 平 方 移 项 化 常 数 1.
操 作 提 示 : 按 /~1 添 加 一 个 计 算 页, 按 /q 调 用 根 号, 按 /t 调 用 定 义 符, 按 b 33 展 开, 按 v 得 负 号. 按 /~ 添 加 一 个 图 形 页. 以 上 研 究 过 程 中, 利 用 TI 图 形 计 算 器 几 何 跟 踪 的 技 术, 得 到 了 平 面 内 到 两 定 点 距 离 之 和 为 常 数 ( 常 数 大 于 两 定 点 之 间 的 距 离 ) 的 动 点 轨 迹 是 椭 圆 ; 利 用 TI 图 形 计 算 器 的 图 形 功 能, 通 过 二 元 函 数 之 零 点 表 达 式 zeros( f ( x, y), y ) 绘 制 出 符 合 条 件 的 函 数 图 像 ; 再 利 用 TI 图 形 计 算 器 的 CAS 计 算 功 能, 通 过 系 列 的 符 号 变 换, 化 简 求 出 了 动 点 轨 迹 方 程. 概 括 以 上, 几 何 跟 踪 让 我 们 走 上 了 探 索 之 路, 图 形 绘 制 验 证 了 我 们 探 索 的 结 果,CAS 计 算 展 示 了 解 决 问 题 的 数 学 方 法 与 思 维. 既 然 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 之 和 为 常 数 的 轨 迹 是 椭 圆, 那 么 距 离 之 差 积 商 分 别 为 常 数 的 轨 迹 又 分 别 是 怎 样 的 图 形 呢? 接 下 来 的 研 究 过 程 与 以 上 相 同, 我 们 可 类 似 研 究. 问 题 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 定 值 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 : S1 插 入 一 个 新 问 题, 选 择 添 加 几 何 页 ; S 作 出 三 点 F 1 F M 及 两 线 段 MF 1 MF, 测 量 线 段 MF 1 MF 的 长 度 ; S3 插 入 文 本 MF1 MF, 计 算 文 本 MF1 MF 的 值 ; S4 修 改 文 本 计 算 结 果 的 属 性 为 对 象 锁 定, S5 跟 踪 点 M 的 轨 迹. 操 作 提 示 : 按 ~413 添 加 一 个 问 题 及 几 何 页, 按 t 可 选 择 绝 对 值 符. 按 b71 作 点, 按 b 75 作 线 段, 按 b 81 测 量 长 度, 按 b17 插 入 文 本, 按 b18 计 算 文 本 值, 按 /b 设 置 属 性 为 锁 定. 按 b 54 几 何 跟 踪, 再 用 x 移 动 点 M. 显 示 结 果 : 操 作 过 程 及 显 示 结 果 如 下 图. 3
技 术 小 结 : 探 索 定 值 条 件 下 动 点 轨 迹 的 四 步 曲 : 数 据 测 量 文 本 计 算 属 性 锁 定 几 何 跟 踪. S~S5 的 操 作, 我 们 可 以 采 用 复 制 页 面 的 方 法 进 行 处 理. 例 已 知 两 点 F 1 ( 5,0) F (5,0), 求 平 面 内 到 定 点 F 1 F 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 常 数 6 的 动 点 M 的 轨 迹 方 程. 解 : 第 一 步 添 加 一 个 计 算 页, 写 出 条 件 等 式. ( x 5) ( y 0) ( x ( 5)) ( y 0) 6 + + =. 第 二 步 定 义 函 数 f ( x, y ) = 左 式 - 右 式, 添 加 一 个 图 形 页, 作 出 其 图 像. 第 三 步 返 回 计 算 页, 逐 步 化 简 求 出 方 程. 4
问 题 3 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 之 积 为 定 值 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 可 参 考 问 题 1 问 题, 探 索 结 果 见 下 图. 由 几 何 跟 踪 的 TI 技 术, 我 们 得 到 了 平 面 内 到 两 定 点 距 离 之 积 为 常 数 的 动 点 轨 迹 可 能 是 一 个 有 趣 的 花 生, 仿 照 问 题 1 与 问 题, 我 们 也 可 以 研 究 一 个 具 体 的 例 子 ( 例 3 略, 见 下 图 ), 但 非 常 遗 憾 的 是,TI 图 形 计 算 器 不 能 完 整 的 绘 制 次 数 为 4 次 的 隐 函 数 图 形. 问 题 4 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 之 比 为 定 值 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 可 参 考 问 题 1 问 题, 探 索 结 果 见 下 图. 由 几 何 跟 踪 的 TI 技 术, 我 们 得 到 了 平 面 内 到 两 定 点 距 离 之 比 为 常 数 的 轨 迹 是 一 个 圆. 同 样 也 可 以 研 究 一 个 具 体 的 例 子, 通 过 TI 图 形 计 算 器 的 CAS 计 算 功 能, 求 解 出 其 方 程. 例 4 已 知 两 点 F 1 ( 3,0) F (3,0), 求 平 面 内 到 定 点 F 1 F 的 距 离 之 比 等 于 常 数 1 的 4 动 点 M 的 轨 迹 方 程. 此 题 利 用 TI 图 形 计 算 器 的 CAS 计 算 功 能, 具 体 演 算 过 程 如 下. 5
通 过 以 上 演 算 过 程 的 演 练, 我 们 重 温 了 求 解 轨 迹 方 程 的 代 数 变 形 之 路, 数 学 思 维 方 法 再 次 得 以 熏 陶. 下 篇 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 距 离 之 和 差 积 商 定 值 型 在 高 中 数 学 教 材 中, 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 关 系 问 题, 我 们 只 研 究 了 距 离 相 等 的 轨 迹 为 抛 物 线, 即 比 值 为 1 的 情 况. 参 考 上 篇 部 分 的 研 究, 此 类 问 题 同 样 可 拓 展 为 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 之 比 距 离 之 和 距 离 之 差 的 绝 对 值 距 离 之 积 为 常 数, 这 些 动 点 轨 迹 又 将 是 怎 样 的 有 趣 图 形, 下 面 我 们 一 一 研 究. 问 题 5 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 可 参 考 问 题 1 问 题, 探 索 结 果 见 下 图. 6
在 进 行 以 上 几 何 跟 踪 时, 我 们 注 意 调 整 动 点 M 的 位 置, 使 距 离 之 比 分 别 为 0~1 之 间 大 于 1 等 于 1 这 三 种 情 况. 可 以 看 出, 三 种 情 况 的 动 点 轨 迹 分 别 是 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线. 这 样, 将 高 中 数 学 教 材 中 抛 物 线 的 定 义 进 行 了 拓 展, 得 到 了 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义. 例 5 已 知 定 点 F (,0) 和 定 直 线 l : x =, 求 平 面 内 到 定 点 F 和 定 直 线 l 的 距 离 相 等 的 动 点 M 的 轨 迹 方 程. 此 题 利 用 TI 图 形 计 算 器 的 CAS 计 算 功 能, 具 体 演 算 过 程 如 下. 我 们 只 演 算 了 抛 物 线 方 程 的 求 解, 椭 圆 双 曲 线 方 程 的 求 解 也 同 样 可 得. 问 题 6 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 之 和 为 常 数 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 可 参 考 问 题 1 问 题, 探 索 结 果 见 下 图. 由 几 何 跟 踪 的 结 果, 我 们 发 现 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 之 和 为 常 数 的 动 点 轨 迹 是 常 见 的 探 照 灯 模 型. 那 么 能 通 过 具 体 的 例 子 求 解 出 方 程, 准 确 分 析 其 轨 迹 图 形 吗? 例 6 已 知 定 点 F (,0) 和 定 直 线 l : x =, 求 平 面 内 到 定 点 F 和 定 直 线 l 的 距 离 之 和 为 常 数 6 的 动 点 M 的 轨 迹 方 程. 设 动 点 M 的 坐 标, 写 出 条 件 等 式, 定 义 二 元 函 数, 再 用 零 点 表 达 式 作 出 图 形, 如 下 : 7
如 下. 同 样 可 利 用 TI 图 形 计 算 器 的 CAS 计 算 功 能, 求 出 具 体 的 轨 迹 方 程, 具 体 演 算 过 程 由 以 上 演 算 过 程, 我 们 也 可 以 看 出 结 果 是 两 段 抛 物 线. 问 题 7 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 差 的 绝 对 值 为 常 数 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 可 参 考 问 题 1 问 题, 探 索 结 果 见 下 图. 由 几 何 跟 踪 的 结 果, 我 们 发 现 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 常 数 的 动 点 轨 迹 是 两 条 抛 物 线. 例 7 已 知 定 点 F (,0) 和 定 直 线 l : x =, 求 平 面 内 到 定 点 F 和 定 直 线 l 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 常 数 1 的 动 点 M 的 轨 迹 方 程. 设 动 点 M 的 坐 标, 写 出 条 件 等 式, 定 义 二 元 函 数, 再 用 零 点 表 达 式 作 出 图 形, 如 下 : 8
如 下. 同 样 可 利 用 TI 图 形 计 算 器 的 CAS 计 算 功 能, 求 出 具 体 的 轨 迹 方 程, 具 体 演 算 过 程 由 以 上 演 算 过 程, 我 们 也 可 以 看 出 结 果 是 两 条 抛 物 线. 以 上 计 算 过 程 中, 去 绝 对 值 时 采 用 分 类 讨 论, 注 意 中 间 一 种 情 况 求 出 的 结 果 不 符 条 件. 问 题 8 平 面 内 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 之 积 为 常 数 的 动 点 轨 迹 是 什 么 图 形? 探 索 过 程 可 参 考 问 题 1 问 题, 探 索 结 果 见 下 图. 由 几 何 跟 踪 的 结 果, 我 们 发 现 以 上 平 面 内 到 到 定 点 与 定 直 线 的 距 离 之 积 为 常 数 的 动 点 轨 迹 是 一 个 河 蚌 线 和 一 个 圆. 例 8 已 知 定 点 F (,0) 和 定 直 线 l : x =, 求 平 面 内 到 定 点 F 和 定 直 线 l 的 距 离 之 积 为 常 数 5 的 动 点 M 的 轨 迹 方 程. 设 动 点 M 的 坐 标, 写 出 条 件 等 式, 定 义 二 元 函 数, 再 用 零 点 表 达 式 作 出 图 形, 如 下 : 9
改 变 常 数 的 值, 探 索 得 到 不 同 形 状 的 图 形, 但 可 以 看 出 它 们 的 一 个 连 续 变 化 的 过 程. 结 尾 篇 TI 技 术 应 用 与 数 学 研 究 以 上 TI 技 术 的 运 用, 可 以 解 决 系 列 定 值 条 件 下 的 动 点 轨 迹 问 题, 再 看 如 下 几 例 : 10
同 时, 我 们 也 要 意 识 到, 我 们 探 索 的 轨 迹 可 能 只 是 其 中 的 一 种 情 况, 随 着 定 值 的 改 变, 轨 迹 可 能 是 另 外 一 种 特 别 的 图 形, 例 如 : 设 两 定 点 A B 间 距 离 为 10, 动 点 M 满 足 PA * PB = 常 数 d, 那 么 d 值 的 改 变, 各 种 动 点 轨 迹 如 下 图. (1)d=1, 俩 圆? ()d=0, 俩 鸡 蛋? (3)d=30, 花 生? 4)d=50, 跑 道? (5)d=80, 椭 圆? 再 者, 我 们 可 以 充 分 地 通 过 数 学 代 数 运 算, 分 析 与 研 究 一 类 轨 迹 问 题, 例 如 平 面 内 到 两 定 点 的 距 离 关 系 恒 定 的 动 点 轨 迹, 经 研 究 我 们 有 下 面 的 结 论 : 1 到 两 定 点 F 1 F 的 距 离 之 和 等 于 常 数 a (a>0) (1) 当 a > F1 F 时, 动 点 轨 迹 是 椭 圆 ; () 当 a = F1 F 时, 动 点 轨 迹 是 线 段 F 1 F ; (3) 当 a < F1 F 时, 动 点 轨 迹 不 存 在. 11
到 两 定 点 F 1 F 的 距 离 之 差 等 于 常 数 a (a>0) (1) 当 a < F1 F 时, 动 点 轨 迹 是 双 曲 线 ; () 当 a = F1 F 时, 动 点 轨 迹 是 以 F 1 F 为 端 点 的 两 条 射 线 ; (3) 当 a > F1 F 时, 动 点 轨 迹 不 存 在. 3 到 两 定 点 F 1 F 的 距 离 之 比 ( 商 ) 等 于 常 数 m (m>0) (1) 当 m=1 时, 动 点 轨 迹 是 线 段 F 1 F 的 垂 直 平 分 线 ; () 当 m 1 时, 动 点 轨 迹 是 圆, 这 也 可 称 之 为 圆 的 第 二 定 义. 4 到 两 定 点 F 1 F 的 距 离 之 积 等 于 常 数 m (m>0) 以 F 1 F 所 在 直 线 为 x 轴, 以 线 段 F 1 F 的 垂 直 平 分 线 为 y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系. 设 F F = c ( c > ), 则 F ( c,0 ), F ( c,0), 又 设 动 点 M 的 坐 标 为 (, ) 1, 0 1 =, 1 MF MF m ( x + c) + y ( x c) + y = m. 两 边 平 方, 化 简 得 : 4 4 4 x + y + x y c x + c y + c m = 0. 利 用 一 些 计 算 机 作 图 软 件, 我 们 可 以 得 到 如 下 三 种 情 况 : x y. (1) 当 m > c 时 () 当 m = c 时 (3) 当 m < c 时, 结 束 语 : 本 文 中 TI 图 形 计 算 器 的 运 用, 轻 松 帮 助 我 们 探 索 了 系 列 定 值 条 件 下 的 动 点 轨 迹 问 题, 由 图 形 绘 制 进 一 步 验 证 与 探 索 了 不 同 条 件 下 的 结 果, 由 CAS 计 算 对 轨 迹 方 程 进 行 了 具 体 的 运 算 求 解 与 分 析. 文 中 所 展 示 的 TI 图 形 计 算 器 的 教 育 技 术, 仅 仅 涉 及 到 三 个 方 面, 即 几 何 图 形 函 数 图 像 CAS 计 算, 而 TI 图 形 计 算 器 还 有 更 多 的 功 能, 例 如 编 程 学 习 电 子 表 格 统 计 分 析 金 融 计 算 数 据 采 集 等 等. 我 们 应 当 看 到,TI 图 形 计 算 器 这 一 先 进 工 具 的 运 用, 在 帮 助 我 们 解 决 数 学 问 题 的 同 时, 巩 固 与 丰 富 了 我 们 的 数 学 知 识, 也 提 升 了 我 们 探 索 和 创 新 的 意 识 与 能 力. 当 今 社 会 已 经 走 进 了 信 息 技 术 的 时 代, 我 们 应 当 掌 握 好 先 进 科 学 技 术 与 工 具 的 使 用, 让 它 服 务 于 我 们 的 学 习 与 研 究. 参 考 文 选 : [1] 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书. 数 学. 选 修 1 1( 课 ) 人 民 教 育 出 版 社,007 [] 刘 培 杰. 第 三 篇 解 析 几 何 新 编 高 中 数 学 解 题 方 法 全 书 ( 高 中 版 ),006 ( 作 者 : 高 建 彪 邮 箱 :dsgjb@163.com,qq:7645645 011 年 9 月 17 日 完 稿 于 中 山 市 东 升 高 中 ) 1