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第八章 微积分的核心 导数与微分 内容提要:17 世纪初期,笛 卡 儿 提 出 变 量 和 函 数 的 概 念 由 此,客 观 世 界 的 运 动 变 化过程可以用数学来描述 稍后,牛顿和莱布尼兹基于直观的无穷小量,分别独立地建立 了微积分学 到了 19 世纪,柯西和维尔斯特 拉 斯 建 立 了 极 限 理 论,康 托 尔 等 建 立 了 严 格 的实数理论,使微积分学得以严密化 微积分是人类智慧的伟大结晶,极大地推动了数学 的发展,以及 其 他 学 科 和 工 程 技 术 的 发 展,其 应 用 越 来 越 广 泛 本 章 主 要 讨 论 导 数 和 微分 第一节 导数的概念 变化率问题,如人口增长率 股票价格的 涨 跌 率 以 及 气 体 分 子 的 扩 散 率 等,在 人 类 社 会活动中随处可见 导数就是变化率的精 确 化 由 极 限 方 法 建 立 的 导 数 概 念,是 微 积 分 学最基本的概念 1.变化率问题举例 例 8. 1 物体运动的瞬时速度 现在用t 表示时间 从某一确定的时刻t0 算起,到时刻t 为止,物体所走的距离是s 于是对于时刻t 的每一个值,都对应一个确定s 值,所以s 是t 的函数,即 s = f t) 这个函数表示了物体运动的规律 现在的问题是:知道了物体的 运 动 规 律,应 当 怎 样 求 得 物 体 在 任 何 时 刻t 的 运 动 瞬 时速度? 在这里必须说明什么是瞬时速度 因此在解决这个问题时,我们有双重任务,一 方面要给瞬时速度下一个合情合理的定义,另一方面应当找到瞬时速度的计算方法 假定现在研究在时刻t0 物体运动的瞬时速度 为此首先要明确与速度有关的问题 我们知道什么? 很明显,平均速度是已知 的 所 以,应 当 利 用 已 知 的 平 均 速 度,给 未 知 的 瞬时速度下定义 在考虑时刻t0 的同时,还考虑一个相邻的时刻t0 +Δ t 当时间改变 Δ t 时,物体所走 的距离应该是 Δ s=f t0 +Δ t)-f t0),也就 是 对 于 自 变 量 的 改 变 量 Δ t 的 函 数 的 改 变 量 因此可以说,当时间从t0 变到t0 +Δ t 时,运动物体的平均速度是 v = t0 +Δ t)-f t0) Δ s f = Δ t Δ t 这个平均速度和我们所要定义的在 时 刻t0 的 瞬 时 速 度 究 竟 有 什 么 关 系 呢? 如 果 Δ t 很大,在从t0 变到t0 +Δ t 这 段 时 间 内,物 体 的 速 度 可 能 改 变 很 多 次,也 可 能 改 变 得 很 激 烈;如果 Δ t 很小,可以希望物体的速度 还 来 不 及 有 很 大 的 改 变;Δ t 越 小,平 均 速 度 应 该 越来越接近理想的时刻t0 的瞬时速度 假如下面的极限

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 155 Δs Δt 0 Δt = ft0 +Δt)-ft0) Δt 0 Δt 存 在, 就 规 定 这 个 极 限 值 是 物 体 在 时 刻 t0 运 动 的 瞬 时 速 度 这 是 合 情 合 理 的 定 义 于 是 有 定 义 : 运 动 着 的 物 体 的 瞬 时 速 度 就 是 它 所 走 的 路 程 与 时 间 之 比, 当 时 间 趋 向 于 零 的 极 限 应 当 注 意, 在 得 到 瞬 时 速 度 定 义 的 同 时, 也 得 到 了 计 算 瞬 时 速 度 的 方 法, 也 就 是 求 上 面 这 个 极 限 在 求 极 限 时, 必 须 把 t0 即 希 望 确 定 速 度 的 那 个 时 刻 ) 看 成 常 数 求 极 限 过 程 时, 时 间 Δt 无 限 制 地 减 小, 而 作 为 这 段 时 间 开 始 的 时 刻 t0 不 变 需 要 说 明 的 是, 上 面 这 个 极 限 可 能 存 在, 也 可 能 不 存 在, 完 全 取 决 于 所 选 的 时 刻 t0 以 及 函 数 ft) 的 类 型 如 果 极 限 不 存 在, 就 认 为 这 个 时 刻 没 有 瞬 时 速 度 例 8. 曲 线 在 一 点 的 切 线 斜 率 图 8-1 切 线 斜 率 在 几 何 学 中 研 究 曲 线 的 性 质 时, 时 常 要 找 到 曲 线 上 一 个 定 点 的 切 线 因 为 人 们 总 是 用 切 线 的 方 向 来 表 示 曲 线 在 切 点 的 变 化 方 向 这 里 同 样 面 临 两 个 任 务 : 一 方 面, 要 给 曲 线 上 一 点 的 切 线 下 定 义 ; 另 一 方 面, 要 得 到 作 切 线 的 方 法 为 此 假 定 曲 线 C) 是 函 数 y=fx) 的 图 形, 来 研 究 对 应 曲 线 上 横 坐 标 为 x0 的 点 M 处 的 切 线, 如 图 8-1 所 示 首 先, 应 当 注 意 到, 在 曲 线 C) 上 的 点 M 的 切 线 一 定 是 过 M 点 的 直 线 因 此, 如 果 能 够 给 切 线 的 斜 率 下 一 个 合 情 合 理 的 定 义, 那 么 问 题 就 解 决 了 切 线 的 斜 率 是 未 知 的, 但 是 在 曲 线 C) 上 点 M 的 割 线 的 斜 率 是 已 知 的 应 当 利 用 已 知 的 割 线 斜 率, 给 未 知 的 切 线 斜 率 下 定 义 过 点 M 及 曲 线 上 另 一 点 N 作 直 线 MN 直 线 MN 是 曲 线 C) 的 割 线, 它 的 斜 率 是 =f x0 +)-fx0) 其 中, 点 N 的 横 坐 标 为 x0+, 纵 坐 标 为 fx0+) 如 果 N 与 M 的 距 离 较 远, 曲 线 方 向 的 改 变 可 能 较 大 ; 如 果 N 与 M 的 距 离 较 近, 曲 线 方 向 的 改 变 可 能 较 小 N 与 M 越 近 越 小 ), 割 线 MN 的 方 向 应 当 越 和 理 想 的 曲 线 C) 在 点 M 的 切 线 的 方 向 接 近 因 此, 完 全 有 理 由 规 定, 如 果 当 0N 趋 向 M ) 时, 割 线 MN 的 斜 率 存 在 极 限 m, 即 则 称 m 为 曲 线 C) 在 点 M 的 切 线 斜 率 或 此 时, 切 线 方 程 为 0 = fx0 +)-fx0) = m 0 y-fx0)= mx-x0) y =fx0)+mx-x0) 当 上 面 的 极 限 不 存 在 时, 认 为 曲 线 C) 在 点 M 不 存 在 切 线

156 文 科 数 学. 导 数 的 定 义 在 物 理 学 上 研 究 物 体 运 动 的 瞬 时 速 度, 以 及 在 几 何 上 研 究 曲 线 的 切 线 斜 率 时, 都 碰 到 了 相 同 形 式 的 极 限 问 题, 即 函 数 的 改 变 量 与 自 变 量 的 改 变 量 的 比, 当 自 变 量 的 改 变 量 趋 向 于 零 的 极 限 因 此, 有 必 要 把 它 抽 象 成 为 数 学 的 问 题 来 研 究, 得 到 导 数 的 定 义 假 定 y=fx) 是 自 变 量 x 的 一 个 函 数 在 点 x0 给 自 变 量 一 个, 对 应 得 到 函 数 的 改 变 量, 此 时 定 义 8.1 =fx0 +)-fx0) 如 果 当 自 变 量 x 在 点 x0 的 改 变 量 0 时, 函 数 y 的 改 变 量 与 自 变 量 的 改 变 量 的 比 存 在 极 限, 就 称 函 数 y=fx) 在 点 x0 处 可 导 该 极 限 值 叫 做 函 数 y=fx) 在 点 x0 的 导 数, 记 作 f x0), 也 可 记 作 y x0) 或 y x=x 0 或 dy 或 df dx x=x 0 dx, 即 x=x 0 或 f x0)= 0 = fx0 +)-fx0) 0 dy dx = 0 如 果 函 数 y=fx) 表 示 某 一 物 体 运 动 的 规 律 x 表 示 时 间,y 表 示 距 离 ), 那 么 导 数 就 表 示 物 体 运 动 的 瞬 时 速 度 如 果 研 究 函 数 y=fx) 的 图 形, 导 数 则 表 示 曲 线 切 线 的 斜 率 若 上 述 极 限 不 存 在, 则 称 函 数 y=fx) 在 点 x0 处 不 可 导 应 该 指 出, 在 极 限 中, 自 变 量 0 时, 可 以 从 大 于 0 的 方 向 趋 向 于 0, 也 可 以 从 小 于 0 的 方 向 趋 向 于 0 再 引 进 以 下 定 义 定 义 8. 极 限 0 - = fx0 +)-fx0) 0 - 叫 做 函 数 fx) 在 x0 点 的 左 极 限, 记 作 f x-0) 极 限 0 + = fx0 +)-fx0) 0 + 叫 做 函 数 fx) 在 x0 点 的 右 极 限, 记 作 f x+0) 根 据 函 数 在 一 点 存 在 极 限 的 充 分 必 要 条 件 是 左 右 极 限 存 在 且 相 等, 可 得 函 数 fx) 在 x0 点 可 导 的 充 分 必 要 条 件 是 f x-0) 和 f x+0) 都 存 在 且 相 等 令 x=x0+ 或 =h, 可 得 到 导 数 的 其 他 等 价 形 式 : 定 义 8.3 f x0)= x x 0 fx)-fx0) x-x0 fx0 +h)-fx0) f x0)= h 0 h 若 在 区 间 a,b) 内 每 一 点 x 处 fx) 都 可 导 且 对 应 一 个 确 定 的 导 数 值 f x), 则 称 函 数 f x) 为 fx) 在 区 间 a,b) 内 对 x 的 导 函 数, 简 称 导 数, 记 作 f x) 或 y f x) 表 示 函 数 fx) 在 点 x 处 因 变 量 相 对 于 自 变 量 的 变 化 速 率

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 157 根 据 导 数 定 义 求 函 数 fx) 在 x 点 的 导 数, 分 四 步 操 作 : 第 一 步 : 在 点 x 给 一 个 改 变 量, 计 算 在 点 x+ 的 函 数 值 fx+) 第 二 步 : 从 fx+) 中 减 去 fx) 的 值, 得 到 函 数 的 改 变 量, 即 =fx+)-fx) 第 三 步 : 将 函 数 的 改 变 量 除 以 自 变 量 的 改 变 量, 即 第 四 步 : 求 极 限 0 这 个 极 限 值 就 是 所 求 的 导 数 假 如 极 限 存 在 ) 例 8.3 求 函 数 在 点 x 的 导 数 3) fx)=3x +5 第 一 步 :fx+)=3x+) +5=3x +6x)+3) +5 第 二 步 :=fx+)-fx)=3x +6x)+3) +5-3x +5)=6x)+ 第 三 步 : =6x )+3) =6x+3) 第 四 步 : 0 = 6x+3))=6x 0 所 以 例 8.4 求 函 数 f x)=6x 或 d dx f x)=6x 在 点 x 的 导 数 y = x 第 一 步 :fx+)= x+ 第 二 步 :=fx+)-fx)= x+- x 第 三 步 : = 第 四 步 : 0 = 0 所 以 x+- x x+- x = 0 x+-x = 0 x++ x) = 0 x) = 1 x 例 8.5 推 出 函 数 fx)=sinx 的 求 导 公 式 第 一 步 :fx+)=sinx+) 第 二 步 :=fx+)-fx)=sinx+)-sinx 为 了 计 算 方 便, 用 和 差 化 积 公 式, 有 x+- x) x++ x) x++ x) 1 x++ x = 1 x

158 文 科 数 学 =cosx+ æ ö è ø sin æ ö 第 三 步 : cosx+ = è ø sin =cosx+ æ sin ö è ø 第 四 步 : 求 极 限 0 根 据 得 到 0 cosx+ æ sin ö è ø =cosx 证 明 略 ) 和 0 cosx+ æ ö 0 = è ø sin 0 所 以 sinx) =cosx 类 似 地, 也 可 以 得 到 cosx) =-sinx = 0 =1 证 明 略 ) cosx+ æ sin ö è ø 例 8.6 求 曲 线 y=3x +5 在 点 x=1 处 的 切 线 方 程 =cosx 解 : 由 例 8.3 知 f x)=6x 当 x=1 时,y=8, 且 f 1)=6, 代 入 切 线 方 程, 得 即 6x-y+=0 y-8=6x-1) 注 :1 如 果 函 数 y=fx) 在 x0 处 可 导, 那 么 曲 线 y=fx) 在 点 x0 处 光 滑 连 续 不 间 断 且 没 有 尖 角 ), 且 曲 线 y=fx) 在 点 x0,y0) 处 有 不 垂 直 于 x 轴 的 切 线 若 y=fx) 在 点 x0 处 可 导, 即 0 =f x) 存 在, 则 必 在 x0 连 续 但 连 续 未 必 可 导 练 习 8.1 1. 求 函 数 y=x 从 x=1 变 化 到 x=1+ 处 的 改 变 量, 并 求 的 值 0. 用 导 数 的 定 义 求 下 列 函 数 在 指 定 点 的 导 数 1)y= x+1 在 点 x0=3 处 )y=sinx+1) 在 点 x=x0 处 3. 证 明 :cosx) =-sinx æ 4. 求 曲 线 y=cosx 在 点 ç π è 4, ö 处 的 切 线 方 程 ø 第 二 节 导 数 的 运 算 根 据 导 数 的 定 义, 可 以 计 算 部 分 基 本 初 等 函 数 的 导 数 但 直 接 用 定 义 计 算 复 杂 函 数 导 数 很 烦 琐, 本 节 将 建 立 一 系 列 导 数 运 算 法 则, 使 求 导 数 的 计 算 简 单 化 求 导 数 的 方 法 称

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 159 为 微 分 法 1. 导 数 的 四 则 运 算 法 则 设 函 数 fx) 与 gx) 都 在 点 x 处 可 导, 则 它 们 的 和 差 积 商 分 母 不 为 零 ) 在 点 x 处 仍 可 导, 并 且 有 以 下 运 算 法 则 : 即 法 则 一 法 则 二 法 则 三 [fx)+gx)] =f x)+g x) [fx)-gx)] =f x)-g x) [fx)gx)] =f x)gx)+fx)g x) [ ] 法 则 四 fx) gx ) =f x)gx)-fx)g x) gx) 0) g x) 证 明 : 仅 证 明 法 则 三 令 y=fx)gx), 第 一 步 : 点 x+ 的 函 数 值 为 fx+)gx+) 第 二 步 : =[fx+)gx+)]-[fx)gx)] =fx+)gx+)-fx)gx+)+fx)gx+)-fx)gx) =[fx+)-fx)]gx+)+fx)[gx+)-gx)] 第 三 步 : 计 算 =f x+)-fx) gx+)+fx) g x+)-gx) 第 四 步 : 0 = fx+)-fx) 0 g gx+)-gx) x+)+fx) 0 0 推 论 1 推 论 [fx)gx)] =f x)gx)+fx)g x) [ kfx ) =kf x)k ] 为 常 数 ) 1 [ fx )] =-f x) f x). 基 本 初 等 函 数 导 数 公 式 基 本 初 等 函 数 是 最 常 用 的 函 数, 它 们 的 导 数 都 可 以 用 定 义 或 其 他 间 接 方 法 求 得, 同 时 这 些 结 果 都 可 以 作 为 公 式 使 用 把 它 们 汇 总 在 一 起, 可 以 得 到 基 本 初 等 函 数 及 常 数 的 导 数 公 式, 如 下 所 示 : 1)C) =0 )x a ) =ax a-1 3)a x ) =a x lna 5)logax) = 1 xlna 7)sinx) =cosx 9)tanx) =sec x 11)secx) =secxtanx 4)e x ) =e x 6)lnx) = 1 x 8)cosx) =-sinx 10)cotx) =-csc x 1)cscx) =-cscxcotx 13)arcsinx) = 1 1-x 14)arccosx) =- 1 1-x 15)arctanx) = 1 1+x 16)arccotx) =- 1 1+x 例 8.7 设 y= 1 3 x3 + x-cosx, 求 y 解 æ :y = 1 ö ç 3 x3 + x-cos x =x + 1 è ø x +sinx

160 文 科 数 学 例 8.8 设 fx)=xe x, 求 f x) 及 f 0) 解 :f x)=x e x +xe x ) =e x +xe e =x+1)e x f 0)=e 0 =1 例 8.9 设 fx)= x-1 x +1, 求 f x) 解 :f x)= x-1) x +1)-x-1)x +1) = x +1-x-1) x x +1) x +1) = x +1-x +x = -x +x+1 x +1) x +1) 例 8.10 设 fx)=tanx, 求 f x) 解 : 同 理, 可 得 æ f x)= tanx) = sinx ö ècos x ø =cosx sinx) -sinxcosx) cos x = cos x+sin x = 1 cos x cos x =sec x 例 8.11 设 fx)=secx, 求 f x) cotx) =-csc x 解 æ :f x)=secx) = 1 ö ècos x =- 1 ø cos x -sinx)=secxtanx 同 理, 可 得 3. 复 合 函 数 的 求 导 法 则 定 理 8.1 cscx) =-cscxcotx 设 函 数 y=fu) 与 函 数 u=φ x) 构 成 复 合 函 数 y=f [ φ x) ] 如 果 1 函 数 u=φ x) 在 点 x 处 可 导 函 数 y=fu) 在 对 应 点 u=φ x) 可 导 则 复 合 函 数 y=f [ φ x) ] 在 点 x 处 可 导, 且 f [ φ x) ] = [ fu ) u ] [ φ x) x, ] 即 y x=y uu x 或 dy dy = dx du du dx 这 个 法 则 说 明 : 复 合 函 数 的 导 数, 等 于 复 合 函 数 对 中 间 变 量 的 导 数 乘 以 中 间 变 量 对 自 变 量 的 导 数 这 一 法 则 又 称 为 链 式 法 则 例 8.1 求 下 列 函 数 的 导 数 1)y=3x +1) 3 3)y=lncosx )y=sinx-) 4)y=e tanx 解 :1) 函 数 可 以 分 解 为 y=u 3 x),ux)=3x +1, 得 y = [ u 3 x ) ] =3u x)u x)=33x +1) 3x +1) =33x +1) 6x =18x3x +1) ) 把 x- 当 做 中 间 变 量, 有 y =cosx -)x -) = cos x -) x

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 161 3) 把 cosx 当 做 中 间 变 量, 有 4) 把 tanx 当 做 中 间 变 量, 有 练 习 8. y = 1 cosx cosx) =- sinx cosx =-tanx y = e tanx ) =e tanx tanx) =sec xe tanx 1. 求 下 列 各 函 数 的 导 数 其 中,x t θ 为 变 量 ) 1)y=x -3x+1 )y=3 x- 1 x +3 3 æ 3)y=x+1) 1 ö ç -1 4)y=xlnx è x ø 5)y=sinθ+3cosθ 7)y=e x sinx 9)y=+cost)sint 11)y= 1-lnt 1+lnt 13)y=sinxlnx) 6)y=xcosxlnx 8)y=sinθ+cosθ 10)y=x 5 e x 1)y= sinx 1+cosx 14)y=e 3x +sinx 15)y=xe x 16)y=x+1) 3 3x-) 17)y=3sinx+cosx-5) 3 18)y=sin xcosx 19)y=lnx+ x +1) 0)y=e 3x sinx. 求 下 列 函 数 在 给 定 点 的 导 数 1)fx)=3x- x,x=4 及 x=a )y= 1+ln x,x=e 3. 设 放 入 冷 冻 库 中 的 食 物 依 Ft)= 700 降 温 其 中,t 为 时 间, 单 位 : 小 时 t +4t+10 求 t=1 和 t=10 时,F 相 对 于 t 的 变 化 率 第 三 节 导 数 应 用 初 步 一 微 分 及 其 应 用 如 果 知 道 函 数 y=fx) 在 某 一 点 x=x0 的 值 fx0), 想 计 算 fx) 在 点 x0 邻 近 点 x0+ 的 函 数 值 fx0+), 往 往 由 于 函 数 fx) 的 结 构 复 杂,fx) 在 点 x0+ 的 精 确 值 难 以 求 得 但 在 实 际 中, 只 要 求 计 算 fx) 在 点 x0+ 的 近 似 值 就 可 以 了 为 此, 寻 找 计 算 fx) 在 点 x0+ 处 近 似 值 的 最 简 单 方 法 这 就 是 微 分 1. 微 分 的 概 念 定 义 8.4 若 函 数 y=fx) 在 点 x0 处 有 导 数 f x0), 则 称 f x0) 为 y=fx) 在 点 x0 处 的 微 分, 记 作 dy, 即 dy=f x0) 此 时, 称 y=fx) 在 点 x0 处 可 微 函 数 y=fx) 在 任 意 点 x 的 微 分, 叫 做 函 数 的 微 分, 记 作 dy=f x)

16 文 科 数 学 如 果 将 自 变 量 x 当 做 自 己 的 函 数 y=x, 则 有 dx=x) =, 说 明 自 变 量 的 微 分 dx 就 等 于 它 的 改 变 量 于 是, 函 数 的 微 分 可 写 成 即 叫 微 商 dy =f x0)dx f x)= dy dx 就 是 说, 函 数 的 微 分 dy 与 自 变 量 的 微 分 dx 之 商 等 于 该 函 数 的 导 数 因 此, 导 数 又. 微 分 的 计 算 根 据 定 义, 函 数 y=fx) 在 点 x 处 可 导 就 可 微 ; 反 之, 可 微 则 一 定 可 导, 即 可 导 和 可 微 是 等 价 的 求 函 数 的 微 分 就 是 求 出 函 数 的 导 数, 再 乘 以 dx 因 此, 求 导 数 的 一 切 基 本 公 式 和 运 算 法 则 都 适 用 于 求 微 分 例 8.13 求 下 列 函 数 的 微 分 1)y=x e x )y=cosxlnx 解 :1)y =xe x +x e x =xe x x+) )y =-sinxlnx+ 1 x cosx dy =y dx =xe x x+)dx æ dy = -sinxlnx+ 1 ç è x cos ö x dx ø 由 于 可 导 和 可 微 的 这 种 等 价 关 系, 通 常 把 求 导 运 算 求 微 分 运 算 统 称 为 微 分 法 设 y=fu) 和 u=φ x) 复 合 为 函 数 y=f φ x)) 如 果 u=φ x) 可 微, 且 相 应 点 处 y=fu) 可 微, 则 有 dy =f u) φ x)dx =f u)du 上 式 说 明, 不 管 u 是 自 变 量 还 是 中 间 变 量, 其 微 分 形 式 都 不 变 这 一 性 质 称 为 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性 3. 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 用 微 分 进 行 近 似 计 算, 既 简 便, 又 能 达 到 较 好 的 精 确 度, 因 而 适 用 于 许 多 实 际 生 产 生 活 中 的 数 值 计 算 问 题 当 很 小 时, 有 dy, 即 或 或 fx0 +)-fx0) f x0) fx0 +) fx0)+f x0) fx) fx0)+f x0)x-x0) 上 式 的 意 义 是 : 在 x0 附 近 可 用 切 线 y=fx0)+f x0)x-x0) 近 似 代 替 曲 线 y=fx) 例 8.14 求 sin46 的 近 似 值 解 : 取 x0=45 = π 4, =1 = π 180 sin46 sin π 4 + π 180 cosπ 4 =0.7071 1+0.0175)=0.7194

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 163 查 三 角 函 数 表, 得 sin46 =0.7193 二 导 数 基 本 应 用 导 数 有 极 其 丰 富 的 背 景 和 广 泛 的 应 用 它 不 但 是 微 积 分 的 核 心 概 念, 在 数 学 理 论, 它 是 研 究 函 数 性 态 的 重 要 工 具 之 一 ; 在 现 实 生 活 中, 如 使 利 润 最 大 用 料 最 省 效 率 最 高 等 优 化 问 题, 有 了 导 数, 问 题 就 更 能 迎 刃 而 解 研 究 函 数 的 某 些 简 单 性 质, 可 以 用 初 等 的 方 法 然 而 用 初 等 方 法 研 究 函 数 经 常 要 通 过 较 复 杂 的 运 算, 要 付 出 巨 大 的 劳 动 学 习 微 分 学 之 后, 可 以 利 用 微 分 法 来 研 究 函 数 这 种 方 法 比 初 等 方 法 简 单, 更 容 易 掌 握 这 里 只 介 绍 导 数 比 较 简 单 的 应 用 : 函 数 的 单 调 性 及 极 值 求 法 1. 函 数 单 调 性 的 判 别 法 定 理 8. 设 函 数 fx) 在 闭 区 间 [a,b] 连 续, 在 开 区 间 a,b) 可 微, 则 1) 若 x a,b) 时 恒 有 f x)>0, 则 fx) 在 闭 区 间 [a,b] 上 单 调 增 加 ) 若 x a,b) 时 恒 有 f x)<0, 则 fx) 在 闭 区 间 [a,b] 上 单 调 减 小 定 理 的 几 何 意 义 是 : 如 图 8-a) 所 示,f x)=tanα>0ἀ 是 锐 角, 曲 线 单 调 上 升 ; 如 图 8-b) 所 示,f x)=tanα<0ἀ 是 钝 角, 曲 线 单 调 下 降 图 8- 函 数 的 单 调 性 说 明 : 若 导 数 f x) 仅 在 个 别 点 处 为 0, 定 理 的 结 论 仍 然 成 立 例 8.15 求 函 数 fx)=x 3-3x -9x 的 单 调 区 间 解 : 函 数 在 定 义 区 间 -,+ ) 上 连 续, 且 可 导, 故 f x)=3x -6x-9=3x-3)x+1) 解 方 程, 得 f x)=0, 即 3x-3)x+1)=0, 得 x1=-1,x=3 使 f x)=0 的 点 x0 称 为 fx) 的 驻 点 两 个 驻 点 把 定 义 区 间 -, ) 分 成 三 个 子 区 间 -,-1],-1,3),[3,+ ), 具 体 情 况 如 表 8-1 所 示 表 8-1 fx)=x 3-3x -9x 的 单 调 区 间 表 x -,-1] -1,3) [3,+ ) f x) + - + fx) 注 : 表 中, 表 示 单 调 递 增, 表 示 单 调 递 减

164 文 科 数 学 减 少 由 表 8-1 可 以 看 出,fx) 在 -,-1] 和 [3,+ ) 内 单 调 增 加, 在 -1,3) 内 单 调 确 定 函 数 单 调 性 的 一 般 步 骤 如 下 所 述 : 1 确 定 函 数 的 定 义 域 求 出 使 f x)=0 和 f x) 不 存 在 的 点, 并 以 这 些 点 为 分 界 点, 将 定 义 域 分 为 若 干 个 子 区 间 3 确 定 f x) 在 各 个 子 区 间 内 的 符 号, 从 而 判 定 f x) 的 单 调 性 例 8.16 讨 论 fx)=lnx+ 1+x ) 的 单 调 性 解 :fx) 的 定 义 域 为 -,+ ), 有 1 æ f x)= 1+ x ö ç x+ 1+x = 1 è 1+x ø 1+x >0 故 fx) 在 -,+ ) 内 单 调 增 加 恒 有 :. 函 数 的 极 值 和 最 大 小 ) 值 1) 极 值 和 极 值 点 的 概 念 定 义 8.5 设 函 数 fx) 在 x0 的 一 个 邻 域 内 有 定 义, 若 对 于 该 邻 域 内 异 于 x0 的 x, 1 fx0)>fx), 则 称 fx0) 为 函 数 fx) 的 极 大 值,x0 称 为 fx) 的 极 大 值 点 fx0)<fx), 则 称 fx0) 为 函 数 fx) 的 极 小 值,x0 称 为 fx) 的 极 小 值 点 函 数 的 极 大 值 极 小 值 统 称 为 函 数 的 极 值, 极 大 值 点 极 小 值 点 统 称 为 极 值 点 极 大 值 和 极 小 值 是 函 数 在 一 点 附 近 的 性 质, 即 是 局 部 的 性 质, 也 就 是 说, 不 能 判 定 一 个 极 大 值 一 定 大 于 另 一 个 极 小 值 如 图 8-3 所 示,x1 x3 x5 是 极 大 值 点,x x4 x6 是 极 小 值 点 其 中,x6 是 不 可 导 点, 其 余 5 个 点 都 有 f x)=0, 称 为 函 数 的 驻 点 fx5)<fx) 就 是 极 大 值 小 于 极 小 值 的 见 证 ) 极 值 点 的 判 定 定 理 8.3 必 要 条 件 ) 函 数 的 极 值 点 必 为 驻 点 或 不 可 导 点 定 理 8.4 图 8-3 设 函 数 fx) 在 点 x0 的 某 去 心 邻 域 内 可 导 且 f x0)=0, 则 极 值 和 极 值 点 1 如 果 当 x 取 x0 左 侧 邻 近 的 值 时,f x) 恒 为 正 ; 当 x 取 x0 右 侧 邻 近 的 值 时, f x) 恒 为 负, 那 么 函 数 fx) 在 x0 处 取 得 极 大 值 如 果 当 x 取 x0 左 侧 邻 近 的 值 时,f x) 恒 为 负 ; 当 x 取 x0 右 侧 邻 近 的 值 时, f x) 恒 为 正, 那 么 函 数 fx) 在 x0 处 取 得 极 小 值 在 图 8-3 中,x5 处 有 平 行 于 x 轴 的 切 线, 即 f x5)=0,x5 左 侧 f x)>0,x5 右 侧 f x)<0, 故 x5 处 取 得 极 大 值 fx5), 在 x5 附 近 f x) 由 正 变 负 类 似 地, 在 x4 处 取 得 极 小 值,f x) 由 负 变 正, 在 x4 处 极 小 值 为 fx4) 例 8.17 求 函 数 fx)=x 3 +3x -1x-1 的 极 值 解 : 函 数 定 义 域 为 -,+ ),f x)=6x +6x-1=6x+)x-1) 令 f x)= 0, 得 驻 点 x1=-,x=1, 其 单 调 区 间 和 极 值 见 表 8-

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 165 表 8- fx)=x 3-3x -1x-1 的 单 调 区 间 和 极 值 x -,-) - -,1) 1 1,+ ) y + 0-0 + y 极 大 值 极 小 值 由 表 8- 可 知, 函 数 在 x= - 处 取 得 极 大 值 f-)=19, 在 x=1 处 取 得 极 小 值 f1)=-8 3) 函 数 的 最 大 最 小 值 在 很 多 实 际 问 题 中, 经 常 需 要 求 出 最 大 或 最 小 值, 表 示 这 些 问 题 的 函 数 fx) 一 般 在 区 间 [a,b] 上 是 连 续 的 可 以 证 明, 连 续 函 数 fx) 在 闭 区 间 [a,b] 上 的 最 大 值 最 小 值 总 是 存 在, 且 最 大 值 最 小 值 只 可 能 在 f x)=0 的 点 f x) 不 存 在 的 点 或 区 间 端 点 处 取 得 最 小 值 求 y=fx) 在 [a,b] 上 最 大 值 最 小 值 的 步 骤 如 下 所 述 : 1 求 出 f x)=0 及 f x) 不 存 在 的 点 x1,x,,xn 比 较 fa),fx1),fx),,fxn),fb) 的 大 小, 其 中 最 大 的 是 最 大 值, 最 小 的 是 注 : 在 实 际 中 常 常 遇 到 一 种 特 殊 情 况 : 可 导 函 数 fx) 在 闭 区 间 [a,b] 上 只 有 一 个 极 值 点, 而 且 它 是 函 数 的 极 大 小 ) 值 点, 则 不 必 将 该 点 的 函 数 值 与 端 点 处 的 函 数 值 比 较, 就 可 以 断 定 它 必 是 函 数 fx) 在 闭 区 间 [a,b] 上 的 最 大 值 或 最 小 值 此 结 论 对 于 开 区 间 或 无 穷 区 间 也 适 用 例 8.18 求 函 数 fx)=x x-1) 3 在 区 间 [-,] 上 的 最 大 值 和 最 小 值 解 :f x)=xx-1) 3 +3x x-1) =xx-1) 5x-) æ ö ç =5x x- è 5 ø x-1) 令 f x)=0, 得 x1 =0,x = 5, x3 =1, 没 有 不 可 导 点 而 f0)=0,f æ ö è ç 5 ø = - 108 315, f1)=0,f-)=-108,f)=4, 故 fx) 在 [-,] 上 的 最 大 值 为 4, 最 小 值 为 -108 例 8.19 将 一 块 边 长 为 a 的 正 方 形 硬 纸 板 做 成 一 个 无 盖 方 盒, 可 在 四 角 截 去 相 同 小 方 块 后 折 起 来, 问 怎 样 截 方 盒 容 积 最 大? 解 : 设 方 盒 容 积 为 V, 截 去 小 方 块 边 长 为 x æ 0<x< a ö è ø, 如 图 8-4 所 示, 则 V = a-x) x V = a-x) -4a-x)x = a-x)a-6x) 令 V =0, 得 x1= a 6, x= a 不 合 实 际, 舍 去 ) 盒 子 最 大 容 积 客 观 存 在, 最 大 值 点 必 是 定 义 域 æ 0, a ö 内 唯 è ø 图 8-4 例 8.19 图 一 驻 点 x= a 6 所 以, 截 去 边 长 x= a 6 可 使 方 盒 容 积 最 大

166 文 科 数 学 练 习 8.3 1. 求 下 函 数 的 微 分 1)y= 1+x )y= x+3lnx-6e x +7. 计 算 近 似 值 1) 3 996 )cos9 3. 求 下 列 函 数 的 单 调 区 间 及 极 值 点 1)fx)=x 3-6x -18x+7 )fx)=x-1)x+1) 3 4. 求 下 列 函 数 在 给 定 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小 值 [ ] 1)y= 1 3 x3-3x +9x,x [0,4] )fx)=x+ 1 x, x 1, 5. 试 证 面 积 为 定 值 的 矩 形 中, 正 方 形 的 周 长 最 短 6. 求 内 接 于 椭 圆 x + y =1 的 面 积 最 大 的 矩 形 的 长 和 宽 a b 7. 已 知 某 公 司 生 产 某 种 产 品 的 总 收 益 函 数 为 R= -x 3 +450x +5500x 其 中,R 的 单 位 为 元,x 为 生 产 数 量 试 问 在 何 种 生 产 数 量 下 会 产 生 最 大 收 益? 一 选 择 题 习 题 八 1. 函 数 fx) 在 点 x0 处 的 导 数 f x0) 定 义 为 A. f x0+)-fx0) fx)-fx0) C. x x 0 fx0+)-fx0) B. x x 0 fx)-fx0) D. x x 0 x-x0. 在 曲 线 y=x 上, 切 线 的 倾 斜 角 为 π 的 点 是 4 A.0,0) B.,4) C. æ 1 è 4,1 ö 16 ø 3. 曲 线 y= π +sinx 在 x=0 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 1 æ D. 1 è, ö ç 4 ø A. π B. π 4 C.0 D.1 4. 函 数 fx)=ln x-1 的 导 数 是 A.f x)= 1 x-1 B.f x)= 1 x-1 ì 1 C.f x)= 1 x-1, x<1 ï D.f x)= í 1-x 1 ï 1-x, x> 1 î 5. 函 数 fx)=πx) 的 导 数 是 A.f x)=4πx B.f x)=4π x

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 167 C.f x)=8π x D.f x)=16πx 6.f x0)=0 是 函 数 fx) 在 点 x0 处 取 极 值 的 A. 充 分 不 必 要 条 件 B. 必 要 不 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 又 不 必 要 条 件 7. 函 数 fx)=x 3 +ax +3x-9, 已 知 fx) 在 x= -3 时 取 得 极 值, 则 a 等 于 A. B.3 C.4 D.5 图 8-5 f x) 在 a,b) 内 的 图 像 8. 函 数 fx) 的 定 义 域 为 a,b), 导 函 数 f x) 在 a,b) 内 的 图 像 如 图 8-5 所 示, 则 函 数 fx) 在 a,b) 内 有 极 小 值 点 A.1 个 B. 个 C.3 个 D.4 个 9. 已 知 三 次 函 数 fx)= 1 3 x3-4m-1)x +15m -m-7)x+ 在 x -,+ ) 是 增 函 数, 则 m 的 取 值 范 围 是 A.m< 或 m>4 B.-4<m<- C.<m<4 D. 以 上 皆 不 正 确 10. 曲 线 y=e x 在 点,e ) 处 的 切 线 与 坐 标 轴 所 围 三 角 形 的 面 积 为 A. 9 4 e B.e C.e D. e 二 填 空 题 1. 设 fx)=xcosx- 1-x, 则 f 0)=. 已 知 函 数 fx)=ax +, 且 f -1)=1, 则 a= 3. 设 曲 线 y=x +x- 在 点 P 处 的 切 线 的 斜 率 等 于 3, 则 P 点 的 坐 标 为 4. 已 知 y=lnx +x+1), 且 f a)=1, 则 实 数 a= 5. 曲 线 y= 1 3 x3 上 平 行 于 直 线 x-4y=5 的 切 线 方 程 为 6. 若 直 线 y=3x+b 是 曲 线 y=x +5x+4 的 一 条 切 线, 则 b= 7. 设 fx)= sinx x, 则 f x)= 8. 已 知 函 数 fx)=x 3 +ax +bx+a 在 x=1 处 有 极 值 10, 则 f)= [ ] 9. 函 数 y=x+cosx 在 区 间 0, π 上 的 最 大 值 是 10. 已 知 函 数 fx)=x 3 +ax 在 R 上 有 两 个 极 值 点, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 三 解 答 题 1. 讨 论 函 数 fx) 在 x=0 处 的 可 导 性 :fx)= x sin 1 x, x 0 { 0, x=0. 已 知 y=x-a)xx-b)x-c), 求 y 3. 求 下 列 函 数 的 导 数 1)y=5x 3 - x +sinx )y=x lnx 3)y= lnx x

文科数学 168 4.求下列函数在给定点的导数值 æπö 1)y=s i nx-c o s x,求 y è6 ø 1 d ) i n θ+ cos θ,求 ρ θ= 4π ρ=θs d θ æπ ö nx,求 y 3)y=xs i nç +l è4 ø 5.求下列函数的导数 x=1 1)y=e-3x 6.求下列函数的微分 )y=l n 1+x) 3)y=t anxs i n 1-x 1ö æ o s 4)y=e-x çc xø è 1 )y=x + x 1)设 y=t anx+ex 5)y=e-ax s i n bx 证明:曲线 7. xy=a 上 任 一 点 处 的 切 线 与 两 个 坐 标 轴 构 成 的 三 角 形 的 面 积 都 等 于 a d y 8.设 f u)可导,若 y=f s i nx)+f cosx),试求 dx 9.已知函数 f x)=x3-3x 1)求 f )的值 )求函数 f x)的单调区间 10.已知函数 f x)=x3-1x+8 在区间[-3, 3]上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M 和 m,则 M -m= 数学家的故事 8) 莱布尼兹 数学天才 莱布尼兹 1646 1716)是 17 和 18 世纪德国最著名的数学家 物理学家和哲学家,一 个举世罕见的科学天才 他博览群书,涉猎百科,为丰富人类的科学知识宝库做出了不可 磨灭的贡献 莱布尼兹出生于 德 国 东 部 莱 比 锡 的 一 个 书 香 之 家,父 亲是莱比锡大学 的 道 德 哲 学 教 授,母 亲 出 生 在 一 个 教 授 家 庭 莱布尼兹的父 亲 在 他 年 仅 6 岁 时 便 去 世 了,给 他 留 下 了丰富的藏书 莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊和罗马 文化,阅读了许多著名学者的著作,获得了坚实的文化功底 和明确的 学 术 目 标 15 岁 时,他 进 入 莱 比 锡 大 学 学 习 法 律,一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科课程,还广 泛阅读了培根 开 普 勒 伽 利 略 等 人 的 著 作,并 对 他 们 的 著 述进行深 入 的 思 考 和 评 价 在 听 了 教 授 讲 授 欧 几 里 德 的 几何原本 的课程后,莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣

第 八 章 微 积 分 的 核 心 导 数 与 微 分 169 17 岁 时, 他 在 耶 拿 大 学 学 习 了 短 时 期 的 数 学, 并 获 得 了 哲 学 硕 士 学 位 0 岁 时, 莱 布 尼 兹 转 入 阿 尔 特 道 夫 大 学 这 一 年, 他 发 表 了 第 一 篇 数 学 论 文 论 组 合 的 艺 术 这 是 一 篇 关 于 数 理 逻 辑 的 文 章, 其 基 本 思 想 是 把 理 论 的 真 理 性 论 证 归 结 于 一 种 计 算 的 结 果 这 篇 论 文 虽 不 够 成 熟, 却 闪 耀 着 创 新 的 智 慧 和 数 学 才 华 莱 布 尼 兹 在 阿 尔 特 道 夫 大 学 获 得 博 士 学 位 后 便 投 身 外 交 界 从 1671 年 开 始, 他 利 用 外 交 活 动 开 拓 了 与 外 界 的 广 泛 联 系, 尤 以 通 信 作 为 获 取 外 界 信 息 与 人 进 行 思 想 交 流 的 主 要 方 式 在 出 访 巴 黎 时, 莱 布 尼 兹 深 受 帕 斯 卡 事 迹 的 鼓 舞, 决 心 钻 研 高 等 数 学, 并 研 究 了 笛 卡 儿 费 马 帕 斯 卡 等 人 的 著 作 1673 年, 莱 布 尼 兹 被 推 荐 为 英 国 皇 家 学 会 会 员 此 时, 他 的 兴 趣 已 明 显 地 转 向 数 学 和 自 然 科 学, 开 始 对 无 穷 小 算 法 的 研 究, 独 立 地 创 立 了 微 积 分 的 基 本 概 念 与 算 法, 和 牛 顿 共 同 奠 定 了 微 积 分 学 1676 年, 他 到 汉 诺 威 公 爵 府 担 任 法 律 顾 问 兼 图 书 馆 馆 长 1700 年 被 选 为 巴 黎 科 学 院 院 士, 促 成 建 立 了 柏 林 科 学 院 并 任 首 任 院 长 17 世 纪 下 半 叶, 欧 洲 科 学 技 术 迅 猛 发 展, 由 于 生 产 力 提 高 和 社 会 各 方 面 的 迫 切 需 要, 经 各 国 科 学 家 的 努 力 与 历 史 的 积 累, 建 立 在 函 数 与 极 限 概 念 基 础 上 的 微 积 分 理 论 应 运 而 生 微 积 分 思 想 最 早 可 以 追 溯 到 希 腊 由 阿 基 米 德 等 人 提 出 的 计 算 面 积 和 体 积 的 方 法 1665 年 牛 顿 创 立 了 微 积 分, 莱 布 尼 兹 在 1673~1676 年 间 也 发 表 了 微 积 分 思 想 的 论 著 以 前, 微 分 和 积 分 作 为 两 种 数 学 运 算 两 类 数 学 问 题, 是 分 别 研 究 的 卡 瓦 列 里 巴 罗 沃 利 斯 等 人 得 到 了 一 系 列 求 面 积 积 分 ) 求 切 线 斜 率 导 数 ) 的 重 要 结 果, 但 这 些 结 果 都 是 孤 立 的, 不 连 贯 只 有 莱 布 尼 兹 和 牛 顿 将 积 分 和 微 分 真 正 沟 通 起 来, 明 确 地 找 到 了 两 者 内 在 的 直 接 联 系 : 微 分 和 积 分 是 互 逆 的 两 种 运 算 这 是 微 积 分 建 立 的 关 键 所 在 只 有 确 立 了 这 一 基 本 关 系, 才 能 在 此 基 础 上 构 建 系 统 的 微 积 分 学, 并 从 对 各 种 函 数 的 微 分 和 求 积 公 式 中, 总 结 出 共 同 的 算 法 程 序, 使 微 积 分 方 法 普 遍 化, 发 展 成 用 符 号 表 示 的 微 积 分 运 算 法 则 因 此, 微 积 分 是 牛 顿 和 莱 布 尼 兹 大 体 上 完 成 的, 但 不 是 由 他 们 发 明 的 恩 格 斯 : 自 然 辩 证 法 ) 然 而 关 于 微 积 分 创 立 的 优 先 权, 数 学 上 曾 掀 起 了 一 场 激 烈 的 争 论 实 际 上, 牛 顿 在 微 积 分 方 面 的 研 究 虽 早 于 莱 布 尼 兹, 但 莱 布 尼 兹 发 表 成 果 早 于 牛 顿 莱 布 尼 兹 在 1684 年 10 月 发 表 的 教 师 学 报 上 的 论 文 一 种 求 极 大 极 小 的 奇 妙 类 型 的 计 算, 在 数 学 史 上 被 认 为 是 最 早 发 表 的 微 积 分 文 献 牛 顿 在 1687 年 出 版 的 自 然 哲 学 的 数 学 原 理 的 第 一 版 和 第 二 版 也 写 道 : 十 年 前 在 我 和 最 杰 出 的 几 何 学 家 G W 莱 布 尼 兹 的 通 信 中, 我 表 明 我 已 经 知 道 确 定 极 大 值 和 极 小 值 的 方 法 作 切 线 的 方 法 以 及 类 似 的 方 法, 但 我 在 交 换 的 信 件 中 隐 瞒 了 这 方 法, 这 位 最 卓 越 的 科 学 家 在 回 信 中 写 道, 他 也 发 现 了 一 种 同 样 的 方 法 他 诉 述 了 他 的 方 法, 他 与 我 的 方 法 几 乎 没 有 什 么 不 同, 除 了 他 的 措 词 和 符 号 而 外 但 在 第 三 版 及 以 后 再 版 时, 这 段 话 被 删 掉 了 ) 因 此, 后 来 人 们 公 认 牛 顿 和 莱 布 尼 兹 各 自 独 立 地 创 建 了 微 积 分 牛 顿 从 物 理 学 出 发, 运 用 集 合 方 法 研 究 微 积 分, 其 应 用 上 更 多 地 结 合 了 运 动 学, 造 诣 高 于 莱 布 尼 兹 莱 布 尼 兹 则 从 几 何 问 题 出 发, 运 用 分 析 学 方 法 引 进 微 积 分 概 念, 得 出 运 算 法 则, 其 数 学 的 严 密 性 与 系 统 性 是 牛 顿 所 不 及 的 莱 布 尼 兹 认 识 到 : 好 的 数 学 符 号 能 节 省 思 维 劳 动, 运 用 符 号 的 技 巧 是 数 学 成 功 的 关 键 之 一 因 此, 他 发 明 了 一 套 适 用 的 符 号 系 统 例 如, 引 入 dx 表 示 x 的 微 分, 表 示 积 分,d n x 表 示 n 阶 微 分 等 这 些 符 号 进 一 步 促 进 了 微 积 分 学 的 发 展 1713 年, 莱 布 尼 兹 发 表 了 微 积 分 的 历 史 和 起 源 一 文, 总 结 了 自 己 创 立 微 积 分 学 的 思 路, 说 明 了 自 己 成 就 的 独 立 性

170 文 科 数 学 莱 布 尼 兹 在 数 学 方 面 的 成 就 是 巨 大 的, 他 的 研 究 及 成 果 渗 透 到 高 等 数 学 的 许 多 领 域 他 提 出 的 一 系 列 重 要 数 学 理 论, 为 后 来 的 数 学 理 论 奠 定 了 基 础 莱 布 尼 兹 曾 讨 论 过 负 数 和 复 数 的 性 质, 得 出 复 数 的 对 数 并 不 存 在, 共 扼 复 数 的 和 是 实 数 的 结 论 在 后 来 的 研 究 中, 莱 布 尼 兹 证 明 了 自 己 的 结 论 是 正 确 的 他 还 研 究 了 线 性 方 程 组, 从 理 论 上 探 讨 了 消 元 法, 并 首 先 引 入 行 列 式 的 概 念, 提 出 行 列 式 的 某 些 理 论 此 外, 莱 布 尼 兹 创 立 了 符 号 逻 辑 学 的 基 本 概 念, 发 明 了 能 够 进 行 加 减 乘 除 及 开 方 运 算 的 计 算 机 和 二 进 制, 为 计 算 机 的 现 代 发 展 奠 定 了 坚 实 的 基 础 莱 布 尼 兹 的 物 理 学 成 就 也 是 非 凡 的 他 发 表 了 物 理 学 新 假 说, 提 出 了 具 体 运 动 原 理 和 抽 象 运 动 原 理, 认 为 运 动 着 的 物 体, 不 论 多 么 渺 小, 将 带 着 处 于 完 全 静 止 状 态 的 物 体 的 部 分 一 起 运 动 他 还 对 笛 卡 儿 提 出 的 动 量 守 恒 原 理 进 行 了 认 真 的 探 讨, 提 出 了 能 量 守 恒 原 理 的 雏 形, 并 在 教 师 学 报 上 发 表 了 关 于 笛 卡 儿 和 其 他 人 在 自 然 定 律 方 面 的 显 著 错 误 的 简 短 证 明, 提 出 了 运 动 的 量 的 问 题, 证 明 了 动 量 不 能 作 为 运 动 的 度 量 单 位, 并 引 入 动 能 概 念, 第 一 次 认 为 动 能 守 恒 是 一 个 普 通 的 物 理 原 理 他 又 充 分 地 证 明 了 永 动 机 是 不 可 能 的 观 点 他 反 对 牛 顿 的 绝 对 时 空 观, 认 为 没 有 物 质 也 就 没 有 空 间, 空 间 本 身 不 是 绝 对 的 实 在 性, 空 间 和 物 质 的 区 别 就 像 时 间 和 运 动 的 区 别 一 样, 可 是 这 些 东 西 虽 有 区 别, 却 是 不 可 分 离 的 在 光 学 方 面, 莱 布 尼 兹 也 有 所 建 树, 他 利 用 微 积 分 中 的 求 极 值 方 法, 推 导 出 了 折 射 定 律, 并 尝 试 用 求 极 值 的 方 法 解 释 光 学 基 本 定 律 可 以 说, 莱 布 尼 兹 的 物 理 学 研 究 一 直 是 朝 着 为 物 理 学 建 立 一 个 类 似 欧 氏 几 何 的 公 理 系 统 的 目 标 前 进 的 莱 布 尼 兹 对 中 国 的 科 学 文 化 和 哲 学 思 想 十 分 关 注, 是 最 早 研 究 中 国 文 化 和 中 国 哲 学 的 德 国 人 他 向 耶 稣 会 来 华 传 教 士 格 里 马 尔 迪 了 解 了 许 多 有 关 中 国 的 情 况, 包 括 养 蚕 纺 织 造 纸 印 染 冶 金 矿 产 天 文 地 理 数 学 文 字 等, 并 将 这 些 资 料 编 辑 成 册 出 版 他 认 为 中 西 相 互 之 间 应 建 立 一 种 交 流 认 识 的 新 型 关 系 在 中 国 近 况 一 书 的 绪 论 中, 莱 布 尼 兹 写 道 : 全 人 类 最 伟 大 的 文 化 和 最 发 达 的 文 明 仿 佛 今 天 汇 集 在 我 们 大 陆 的 两 端, 即 汇 集 在 欧 洲 和 位 于 地 球 另 一 端 的 东 方 的 欧 洲 中 国, 中 国 这 一 文 明 古 国 与 欧 洲 相 比, 面 积 相 当, 人 口 数 量 则 已 超 过, 在 日 常 生 活 以 及 经 验 地 应 付 自 然 的 技 能 方 面, 我 们 是 不 分 伯 仲 的 我 们 双 方 各 自 都 具 备 通 过 相 互 交 流 使 对 方 受 益 的 技 能 在 思 考 的 缜 密 和 理 性 的 思 辩 方 面, 显 然 我 们 要 略 胜 一 筹, 但 在 时 间 哲 学, 即 在 生 活 与 人 类 实 际 方 面 的 伦 理 以 及 治 国 学 说 方 面, 我 们 实 在 是 相 形 见 拙 了 在 这 里, 莱 布 尼 兹 不 仅 显 示 出 了 不 带 欧 洲 中 心 论 色 彩 的 虚 心 好 学 精 神, 而 且 为 中 西 文 化 双 向 交 流 描 绘 了 宏 伟 的 蓝 图, 并 极 力 推 动 这 种 交 流 向 纵 深 发 展, 使 东 西 方 人 民 相 互 学 习, 取 长 补 短, 共 同 繁 荣 进 步 莱 布 尼 兹 为 促 进 中 西 文 化 交 流 做 出 了 毕 生 的 努 力, 产 生 了 广 泛 而 深 远 的 影 响 他 的 虚 心 好 学, 对 中 国 文 化 平 等 相 待, 不 含 欧 洲 中 心 论 偏 见 的 精 神 尤 为 难 能 可 贵, 值 得 后 世 永 远 敬 仰 效 仿