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- 舟儒 乐
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1 高 等 数 学 教 学 大 纲 一 课 程 简 介 1 课 程 名 称 : 高 等 数 学 1 2(Higher Mathematics 1 2) 2 课 程 编 号 : 课 程 类 型 : 基 础 课 ( 必 修 ) 4 学 时 : 144 学 分 : 9 5 开 课 学 期 : 开 课 对 象 : 全 校 经 济 管 理 各 专 业 和 部 分 工 ( 本 ) 科 专 业 7 先 修 课 程 : 无 8 参 考 教 材 : 高 等 数 学 ( 第 四 版 ) 同 济 大 学 应 用 数 学 系 主 编 高 等 教 育 出 版 社 二 课 程 性 质 目 的 与 任 务 高 等 数 学 课 程 是 高 等 学 校 教 学 计 划 中 的 一 门 重 要 基 础 理 论 课 其 教 学 目 的 是 使 学 生 系 统 地 获 得 微 积 分 与 常 微 分 方 程 的 基 本 知 识, 必 要 的 基 础 理 论 和 常 用 的 运 算 方 法, 培 养 学 生 比 较 熟 练 的 运 算 能 力 抽 象 思 维 能 力 逻 辑 推 理 能 力, 从 而 使 学 生 受 到 数 学 分 析 法 和 运 用 这 些 方 法 解 决 经 济 力 学 和 物 理 等 实 际 问 题 的 初 步 训 练, 为 后 继 课 程 和 进 一 步 扩 大 数 学 知 识 打 下 必 要 的 基 础 其 任 务 是 教 会 学 生 掌 握 函 数 与 极 限 导 数 与 微 分 中 值 定 理 与 导 数 应 用 不 定 积 分 定 积 分 定 积 分 几 何 及 经 济 应 用 简 单 的 空 间 解 析 几 何 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用 二 重 积 分 无 穷 级 数 ( 傅 立 叶 级 数 除 外 ) 微 分 方 程 ( 含 简 单 的 差 分 方 程 ) 等 基 本 概 念 和 基 本 方 法 三 教 学 基 本 内 容 与 基 本 要 求 1 一 元 函 数 理 解 函 数 概 念, 熟 悉 函 数 符 号 f (x) 的 意 义 和 用 法 ; 了 解 函 数 的 特 性 ; 了 解 反 函 数 复 合 函 数 的 概 念 ; 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 性 质 和 图 形 ; 熟 悉 分 段 函 数 重 点 : 函 数 概 念, 基 本 初 等 函 数 图 形, 分 段 函 数 2 极 限 了 解 极 限 定 义, 并 在 学 习 过 程 中 逐 步 加 深 理 解 ; 能 正 确 地 应 用 极 限 的 四 则 运 算 法 则 ; 了 解 两 个 极 限 存 在 准 则 ; 会 用 两 个 重 要 极 限 求 一 般 简 单 未 定 式 的 极 限, 对 于 未 定 式 求 极 限 不 必 做 过 多 的 练 习 ; 了 解 无 穷 小 无 穷 大 的 概 念, 掌 握 无 穷 小 的 比 较 的 有 关 概 念 ( 特 别 是 高 阶 无 穷 小 与 等 价 无 穷 小 ) 重 点 : 极 限 的 概 念 及 计 算, 无 穷 小 的 概 念 及 运 算 3 一 元 函 数 连 续 理 解 函 数 在 一 点 处 连 续 间 断 的 概 念 ; 知 道 函 数 的 连 续 性 与 极 限 的 关 系 ; 知 道 初 等 函 数 的 连 续 性 ; 知 道 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 最 小 值 最 大 值 定 理 和 介 值 定 理 ) 重 点 : 函 数 在 一 点 处 的 连 续 性 及 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 4 一 元 函 数 导 数 与 微 分 理 解 导 数 与 微 分 的 概 念, 了 解 导 数 的 几 何 意 义, 能 用 导 数 描 述 一 些 经 济 量 物 理 量 ; 了 解 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 的 关 系 ; 熟 悉 导 数 和 微 分 的 运 算 法 则 ( 包 括 微 分 形 式 不 变 性 ), 熟 记 导 数 基 本 公 式, 熟 练 计 算 初 等 函 数 的 一 阶 二 阶 导 数 了 解 高 阶 导 数 的 概 念 ; 掌 握 隐 函 数 的 一 阶 导 数 和 由 参 数 方 程 确 定 的 函 数 的 一 阶 二 阶 导 数 重 点 : 导 数 与 微 分 的 概 念, 复 合 函 数 求 导 法 则 5 中 值 定 理 理 解 罗 尔 定 理 拉 格 朗 日 定 理, 了 解 柯 西 定 理 和 泰 勒 定 理 ; 会 应 用 拉 格 朗 日 定 理 ; 会 正 确 用 罗 必 塔 法 则 求 未 定 式 的 极 限 重 点 : 拉 格 朗 日 定 理, 罗 必 塔 法 则 6 一 元 函 数 导 数 应 用 理 解 函 数 的 极 值 概 念 掌 握 求 函 数 的 极 值, 掌 握 利 用 一 阶 及 二 阶 导 数 判 断 函 数 的 增 减 性, 判 断 曲 线 的 凹 向, 求 曲 线 的 拐 点 等 方 法 ; 能 解 决 应 用 中 的 简 单 的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 ; 关 于 曲 线 的 渐 近 线 主 要 为 竖 直 的 和 水 平 的, 并 能 描 绘 函 数 的 图 形 ; 了 解 边 际 弹 性 函 数 等 经 济 概 念, 并 会 求 之 1
2 重 点 : 函 数 的 增 减 性 和 极 值, 应 用 中 的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 7 不 定 积 分 理 解 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 ; 熟 记 基 本 积 分 公 式, 熟 练 掌 握 不 定 积 分 的 换 元 积 分 法 和 分 部 积 分 法 ; 掌 握 简 单 有 理 函 数, 三 角 函 数 有 理 式 的 积 分, 知 道 简 单 无 理 式 的 积 分 法 ( 对 于 化 有 理 真 分 式 为 部 分 分 式 可 只 讲 结 论 而 不 必 证 明 ) 重 点 : 不 定 积 分 的 概 念, 换 元 积 分 法 及 分 部 积 分 法 8 定 积 分 理 解 定 积 分 的 概 念 ; 熟 练 掌 握 定 积 分 的 换 元 积 分 法 和 分 部 积 分 法 ; 理 解 定 积 分 作 为 变 上 限 的 函 数 及 其 求 导 定 理 和 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 及 它 们 的 应 用 ; 了 解 广 义 积 分 的 概 念, 并 会 计 算 重 点 : 定 积 分 概 念 及 计 算, 定 积 分 作 为 变 上 限 函 数 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 9 定 积 分 的 应 用 了 解 定 积 分 应 用 的 意 义 ; 能 正 确 用 元 素 法 将 一 些 几 何 量 ( 如 : 面 积 体 积 等 ) 表 达 成 定 积 分 重 点 : 元 素 法 10 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 正 确 理 解 向 量 的 意 义, 熟 悉 向 量 的 线 性 运 算 ; 正 确 理 解 向 量 的 数 量 积, 向 量 积 的 概 念, 并 掌 握 运 算 法 则 ; 熟 练 掌 握 向 量 的 坐 标 表 达 式, 要 求 用 坐 标 表 达 式 进 行 向 量 的 加 减 数 乘 数 量 积 向 量 积 等 运 算 ; 了 解 直 线 与 平 面 方 程 的 各 种 形 式 及 相 互 转 化 方 法 ; 熟 练 掌 握 直 线 与 直 线, 平 面 与 平 面, 平 面 与 直 线 之 间 的 垂 直 平 行 条 件, 并 会 运 用 这 些 关 系 建 立 直 线 与 平 面 方 程 ; 熟 悉 标 准 二 次 曲 面 方 程 与 图 形, 并 能 描 出 标 准 二 次 曲 面 及 它 们 所 围 成 的 简 单 立 体 草 图 ; 学 会 建 立 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 柱 面 及 投 影 曲 线 方 程 11 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用 理 解 多 元 函 数 的 概 念 ; 知 道 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 概 念, 及 在 有 界 闭 域 上 连 续 函 数 性 质 ; 理 解 偏 导 数 与 全 微 分 概 念 等, 知 道 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件 ; 熟 练 掌 握 复 合 函 数 的 求 导 法 则, 会 求 二 阶 偏 导 数 会 求 隐 函 数 的 偏 导 数 ; 了 解 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 及 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 的 概 念, 并 掌 握 其 求 法 ; 理 解 多 元 函 数 的 极 值 及 条 件 极 值 的 概 念, 会 求 极 值, 会 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 条 件 极 值, 并 会 求 解 一 些 较 简 单 的 实 际 问 题 中 的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 重 点 : 偏 导 数 及 全 微 分 概 念, 复 合 函 数 及 隐 函 数 的 求 导 法 则, 极 值 及 条 件 极 值 12 重 积 分 理 解 二 重 积 分 概 念, 知 道 重 积 分 的 性 质 ; 熟 练 掌 握 二 重 积 分 计 算 法 ( 直 角 坐 标, 极 坐 标 ); 能 用 二 重 积 分 表 达 一 些 几 何 及 物 理 量 ( 如 体 积 质 量 重 心 等 ) 重 点 : 二 重 积 分 及 三 重 积 分 的 概 念 及 其 计 算 法 13 级 数 理 解 级 数 收 敛 和 发 散 的 概 念, 知 道 级 数 的 和 的 概 念 ; 了 解 级 数 收 敛 的 必 要 条 件, 知 道 级 数 的 基 本 性 质 熟 悉 几 何 级 数 和 P 级 的 收 敛 性 ; 熟 练 掌 握 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法 掌 握 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 并 能 利 用 几 何 级 数,P 级 数 与 其 进 行 比 较 以 判 定 其 敛 散 性 ; 掌 握 交 错 级 数 的 莱 布 尼 兹 准 则, 并 能 估 计 交 错 级 数 的 截 断 误 差 ; 了 解 无 穷 级 数 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念, 运 用 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 判 定 其 发 散 性, 会 利 用 级 数 的 绝 对 收 敛 性 判 定 其 收 敛 性 ; 知 道 幂 级 数 在 其 收 敛 及 和 函 数 的 概 念 熟 练 掌 握 较 简 单 幂 级 数 的 收 敛 区 间 ; 知 道 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 一 些 基 本 性 质 ; 知 道 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 及 函 数 的 泰 勒 级 数 收 敛 到 该 函 数 的 充 要 条 件 ; 掌 握 e x, sinx, cosx, ln (1 + x), (1 + x) m 的 麦 克 劳 林 展 式 ; 能 将 一 些 简 单 的 函 数 用 间 接 方 法 展 成 幂 级 数 ; 知 道 怎 样 用 幂 级 数 进 行 一 些 近 似 计 算 重 点 : 级 数 的 收 敛 与 发 散 的 概 念, 级 数 的 和, 正 项 级 数 的 敛 散 性, 比 值 判 敛 法 及 比 较 判 敛 法, 幂 级 数 的 收 敛 半 径, 幂 级 数 的 和 函 数, 函 数 展 成 幂 级 数 的 间 接 方 法 14 常 微 分 方 程 了 解 微 分 方 程 基 本 概 念 ; 会 识 别 变 量 可 分 离 方 程, 齐 次 方 程, 一 阶 线 性 方 程, 伯 努 利 方 程 和 全 微 分 方 程, 并 熟 练 掌 握 变 量 可 分 离 方 程 及 一 阶 线 性 方 程 的 解 法 ; 会 解 齐 次 方 程 和 贝 努 利 方 程, 并 通 过 解 法 了 解 用 变 量 代 换 法 求 解 方 程 的 思 想 ; 会 解 较 简 单 的 全 微 分 方 程 ; 知 道 几 种 特 殊 的 高 阶 方 程 的 降 阶 法 ; 掌 握 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 ; 熟 练 掌 握 二 阶 线 性 常 系 数 齐 次 方 程 的 解 法 并 知 道 高 阶 线 性 常 系 数 齐 次 方 程 的 解 法 ; 掌 握 自 由 项 为 :f (x) = P m (x) e α x,f (x) = e α x [P l (x)cosβx +P n (x)sinβx] 的 二 阶 线 性 常 系 数 非 齐 次 方 程 的 解 法 ; 了 解 一 阶 二 阶 线 性 差 分 方 程 的 基 本 概 念, 会 求 简 单 的 差 分 方 程 的 解 ; 会 用 微 分 方 程 解 决 一 些 简 单 的 经 济 几 何 及 物 理 问 题 重 点 : 微 分 方 程 的 一 些 基 本 概 念, 变 量 可 分 离 方 程, 一 阶 线 性 方 程, 二 阶 线 性 常 系 数 齐 次 及 非 齐 次 的 微 分 方 程 的 解 法 2
3 四 教 学 内 容 及 学 时 分 配 本 课 程 主 要 讲 授 一 元 函 数 微 积 分, 多 元 函 数 微 积 分, 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何, 无 穷 级 数, 常 微 分 方 程, 差 分 方 程 1 一 元 函 数 微 积 分 内 容 讲 授 约 72 学 时 ; 2 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 内 容 讲 授 约 12 学 时 ; 3 多 元 函 数 微 分 学 内 容 讲 授 约 26 学 时 ; 4 无 穷 级 数 内 容 讲 授 约 18 学 时 ; 5 常 微 分 方 程 及 差 分 方 程 内 容 讲 授 约 16 学 时 教 学 要 重 点 难 点 学 时 课 程 内 容 备 注 求 ( ) (Δ) 安 排 一. 函 数 与 极 限 16 函 数 初 等 函 数 数 列 的 极 限 Δ 函 数 的 极 限 Δ 无 穷 大 与 无 穷 小 极 限 运 算 法 则 极 限 存 在 准 则 两 个 重 要 极 限 无 穷 小 的 比 较 函 数 的 连 续 性 与 间 数 点 连 续 函 数 的 运 算 与 初 等 函 数 的 连 续 性 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 二. 导 数 与 微 分 16 导 数 的 概 念 反 函 数 的 导 数 复 合 函 数 的 求 导 法 则 Δ 初 等 函 数 的 求 导 问 题 高 阶 导 数 隐 函 数 的 导 数 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 Δ 函 数 的 微 分 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 Δ 三. 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 18 中 值 定 理 Δ 罗 必 塔 法 则 泰 勒 公 式 Δ 函 数 的 单 调 性 的 判 别 法 函 数 的 极 值 的 求 法 最 大 值 最 小 值 的 求 法 曲 线 的 凹 凸 及 拐 点 3
4 课 程 内 容 教 学 要 求 重 点 ( ) 难 点 (Δ) 学 时 安 排 备 注 函 数 图 形 的 描 绘 导 数 在 经 济 中 的 应 用 四. 不 定 积 分 10 不 定 积 分 的 概 念 与 性 质 换 元 积 分 法 分 部 积 分 法 几 种 特 殊 类 型 函 数 的 积 分 Δ 五. 定 积 分 8 定 积 分 的 概 念 Δ 定 积 分 的 性 质 微 积 分 基 本 定 理 定 积 分 的 换 元 法 定 积 分 的 分 部 积 分 法 广 义 积 分 与 Г 函 数 Δ 六. 定 积 分 的 应 用 4 定 积 分 的 元 素 法 平 面 图 形 的 面 积 体 积 平 面 曲 线 的 弧 长 七. 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 12 空 间 直 角 坐 标 系 向 量 及 其 线 性 运 算 数 量 积 向 量 积 平 面 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 二 次 曲 面 Δ 八. 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用 18 多 元 函 数 的 基 本 概 念 Δ 偏 导 数 全 微 分 及 其 应 用 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 Δ 隐 函 数 的 求 导 公 式 方 向 导 数 与 梯 度 Δ 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 Δ 4
5 教 学 要 重 点 难 点 学 时 课 程 内 容 求 ( ) (Δ) 安 排 九. 重 积 分 8 备 注 二 重 积 分 的 概 念 与 性 质 二 重 积 分 的 计 算 法 二 重 积 分 的 应 用 十. 无 穷 级 数 18 常 数 项 级 数 的 概 念 与 性 质 常 数 项 级 数 的 审 敛 法 幂 级 数 函 数 展 开 成 幂 级 数 Δ 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 的 应 用 Δ 十 一. 微 分 方 程 16 微 分 方 程 的 基 本 概 念 可 分 离 变 量 微 分 方 程 齐 次 方 程 一 阶 线 性 微 分 方 程 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 高 阶 线 性 微 分 方 程 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 Δ 差 分 方 程 的 一 般 概 念 一 阶 和 二 阶 常 系 数 线 性 差 分 方 程 ( 教 学 要 求 : 熟 练 掌 握 ; 掌 握 ; 了 解 ) 五 建 议 实 验 项 目 及 学 时 分 配 无 六 教 学 方 法 与 教 学 手 段 利 用 启 发 式 讨 论 式 研 究 式 等 教 学 方 法 和 多 媒 体 黑 板 演 算 等 教 学 手 段 进 行 课 堂 教 学 七 参 考 书 目 ( 应 包 含 : 书 目 名 称 编 ( 著 ) 者 姓 名 出 版 社 出 版 日 期 等 ) 1 高 等 数 学 学 习 指 导 书 ( 上 下 ) 吴 辅 山 等 成 都 电 子 科 技 大 学 出 版 社 高 等 数 学 学 习 方 法 指 导 书 同 济 大 学 高 等 教 育 出 版 社 3 经 济 应 用 数 学 基 础 ( 一 ) 微 积 分 赵 树 塬 中 国 人 民 大 学 出 版 社 4 高 等 数 学 习 题 集 同 济 大 学 高 等 教 育 出 版 社 高 等 数 学 基 础 胡 宗 义 吴 辅 山 施 法 鹏 等 安 徽 大 学 出 版 社 2000 八 大 纲 编 写 的 依 据 与 说 明 : 高 等 数 学 的 教 学 大 纲 是 根 据 国 家 工 科 数 学 课 程 指 导 委 员 会 所 制 定 的 工 科 高 等 数 学 的 基 本 要 求, 结 合 我 校 各 类 专 业 的 特 点 和 研 究 生 数 学 ( 二 ) ( 三 ) 及 ( 四 ) 的 考 试 大 纲 的 要 求 制 定 的 制 定 教 学 大 纲 的 指 导 思 想 : 随 着 现 代 科 学 技 术, 特 别 是 高 新 技 术 的 迅 猛 发 展, 对 现 代 科 技 人 才 的 数 学 知 识 结 构 能 力 综 合 素 养 等 方 面 都 提 出 了 更 高 的 要 求, 高 等 数 学 是 工 科 大 学 生 的 十 分 重 要 的 基 础 理 论 课 程, 从 高 等 教 育 发 展 的 综 合 性 及 终 身 性 趋 势 来 看, 高 等 数 学 不 仅 是 学 习 其 它 课 程 的 基 础, 还 是 整 个 大 学 教 育 的 一 个 基 础, 甚 至 是 终 身 接 受 教 育 的 一 个 基 础 目 前, 高 等 数 学 教 学 中 仍 存 在 如 下 问 题 : 重 知 识 的 传 输, 轻 能 5
6 力 的 培 养 ; 重 技 巧 的 训 练, 轻 数 学 思 想 的 学 习 ; 重 理 论 教 学, 轻 数 学 应 用 的 训 练 高 等 数 学 的 教 学 应 由 传 统 的 以 传 授 知 识 为 主 的 知 识 教 育 转 到 以 培 养 具 有 创 新 能 力 为 主 的 素 质 教 育 的 轨 道, 以 提 高 高 等 数 学 的 教 学 质 量, 满 足 新 世 纪 对 工 程 技 术 人 才 的 要 求 基 于 上 述 指 导 思 想 对 高 等 数 学 教 学 大 纲 进 行 修 订 根 据 国 家 课 程 指 导 委 员 会 建 议 : 应 保 证 学 生 足 够 的 课 外 学 习, 课 内 外 学 时 比 为 1:2 习 题 课 学 时 应 不 少 于 总 学 时 的 1/6, 一 采 用 小 班 上 课 为 宜, 不 宜 用 大 班 课 代 替 修 订 人 : 郑 靖 波 审 核 人 : 范 爱 华 修 订 日 期 : 二 四 年 七 月 6
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