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實 踐 學 生 的 數 學 日 記 對 教 師 的 擬 題 與 佈 題 的 改 變 林 碧 珍 * 蔡 文 煥 ** 李 嘉 珍 *** 柯 政 毅 **** * ** 國 立 新 竹 師 範 學 院 數 理 教 育 系 *** 國 立 新 竹 師 範 學 院 國 民 教 育 研 究 所 **** 國 立 新 竹 師 範 學 院 數 理 教 育 研 究 所 摘 要 本 論 文 是 在 描 述 一 群 小 學 教 師 實 施 學 生 的 數 學 日 記, 對 他 們 的 擬 題 與 教 學 佈 題 的 改 變 資 料 是 以 研 究 情 境 的 參 與 觀 察 者 的 角 色, 對 每 週 例 行 一 次 的 數 學 成 長 團 體 討 論 會 教 師 晤 談 教 師 的 數 學 日 誌 和 教 室 觀 察 等 方 法 蒐 集, 並 以 在 不 同 的 時 間 點 教 師 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目 變 化, 作 為 說 明 教 師 擬 題 改 變 的 指 標 ; 而 以 教 師 在 教 學 時 所 作 的 佈 題 改 變, 作 為 教 師 教 學 佈 題 改 變 的 指 標 研 究 發 現 : 教 師 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目, 在 題 型 上 與 內 容 上 逐 漸 趨 於 深 化 與 廣 化 ; 深 化 與 廣 化 是 教 師 最 常 設 計 給 學 生 擬 題 的 類 型 是 由 原 來 的 算 式 類 增 加 為 文 字 類 圖 表 類 數 學 概 念 類 和 解 題 過 程 類 故 事 類 在 教 學 佈 題 方 面, 最 初 僅 考 慮 到 生 活 化 情 境 化 趣 味 化 之 外, 教 師 也 瞭 解 到 數 學 結 構 的 重 要 性 學 生 在 數 學 日 記 上 的 所 出 的 題 目 是 教 師 教 學 佈 題 取 材 的 重 要 來 源 關 鍵 詞 : 歷 程 檔 案 評 量 數 學 日 記 數 學 日 誌 擬 題 佈 題 1

實 踐 學 生 的 數 學 日 記 對 教 師 擬 題 與 佈 題 的 改 變 林 碧 珍 * 蔡 文 煥 ** 李 嘉 珍 *** 柯 政 毅 **** * ** 國 立 新 竹 師 範 學 院 數 理 教 育 系 *** 國 立 新 竹 師 範 學 院 國 民 教 育 研 究 所 **** 國 立 新 竹 師 範 學 院 數 理 教 育 研 究 所 壹 緒 論 數 學 解 題 能 力 是 八 十 二 年 的 國 小 數 學 課 程 標 準 所 要 培 養 學 生 的 數 學 涵 養 之 一 ( 教 育 部,1993), 也 是 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 的 數 學 目 標 之 一 ( 教 育 部, 2000) 雖 然 解 決 問 題 的 能 力 重 要, 然 而, 心 理 學 家 也 認 為 形 成 數 學 問 題 很 重 要, 本 質 上, 形 成 問 題 是 一 種 極 具 創 意 的 心 智 活 動, 其 價 值 性 並 不 低 於 去 解 決 問 題 的 答 案 Wertheimer 認 為 : 思 考 的 功 能 不 祇 於 解 決 問 題 而 已, 它 還 具 有 發 現 預 見, 以 及 深 化 問 題 的 作 用, 在 重 大 發 現 中, 就 屬 於 找 到 某 個 特 定 問 題 最 為 重 要, 預 先 察 覺 並 提 出 深 具 創 造 性 的 問 題, 經 常 是 重 大 發 現 的 關 鍵 所 在, 其 重 要 性 遠 大 於 問 題 的 解 答 ( 引 自 許 育 彰,2000) 近 年 來, 世 界 各 國 的 數 學 課 程 逐 漸 地 重 視 學 童 形 成 數 學 問 題 能 力 的 培 養, 研 究 者 更 是 將 其 視 為 是 數 學 活 動 的 重 要 核 心 (Brown & Walter, 1993;Silver et al., 1996) 諸 如 : 美 國 數 學 課 程 評 鑑 標 準 和 數 學 教 學 專 業 標 準 均 特 別 強 調 : 佈 題 或 擬 題 是 引 起 學 生 學 習 興 趣 的 一 項 重 要 教 學 活 動 (NCTM, 1989;1991) 在 台 灣, 形 成 數 學 問 題 能 力 與 解 決 數 學 問 題 能 力, 一 樣 的 受 到 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 的 重 視 ( 教 育 部,2000) 另 外, 在 我 國 居 於 研 究 領 導 地 位 的 國 科 會, 在 八 十 五 年 度 數 學 教 育 - 學 門 資 源 整 合 規 劃 修 訂 研 究 報 告 中 亦 呼 籲 : 讓 擬 題 及 佈 題 成 為 解 題 活 動 中 整 體 的 一 部 分, 在 擬 題 研 究 上, 必 需 視 擬 題 及 佈 題 活 動 為 解 題 研 究 的 第 一 步 ( 國 科 會,1996) 這 些 年 來, 在 數 學 教 育 研 究 方 面, 研 究 的 領 域 有 逐 漸 移 向 擬 題 或 佈 題 的 焦 點 上, 有 些 研 究 致 力 於 學 生 擬 題 (English, 1998a;Leung & Silver, 1997;Silver et al., 1996;Silver & Cai, 1996) 職 前 或 在 職 之 中 小 學 教 2

師 之 擬 題 或 教 室 中 教 學 佈 題 (English, 1997a; 1997b; Gonzales, 1994;Leung, 1997;Leung & Silver, 1997; 林 文 生,1996; 林 德 宗,1999; 陶 惠 昭,1998; 梁 淑 坤,1994;1996a;1997;1998; 劉 芳 妃,1998) 及 擬 題 評 量 (Leung, 1996; Silver & Cai, 1996; 梁 淑 坤,1996b) 除 了 上 述 提 及 之 數 學 課 程 改 革 的 發 展 和 數 學 教 育 的 研 究 趨 勢 外, 另 一 個 將 教 師 形 成 問 題 的 能 力 列 為 本 研 究 的 研 究 目 標 的 考 慮 因 素 是 : 基 於 筆 者 過 去 的 研 究 發 現, 教 師 的 形 成 問 題 能 力 與 教 學 佈 題 相 關 的 知 識, 是 教 師 最 迫 切 需 要 的 專 業 涵 養 ( 林 碧 珍 和 蔡 文 煥,1999) 雖 然 在 有 關 擬 題 的 研 究 文 獻 上 出 現 了 許 多 不 同 的 語 詞, 諸 如 : 找 出 (finding) 問 題 形 成 (formulating) 問 題 創 造 (creating) 問 題 擬 出 問 題 (posing problem), 但 是 它 們 的 共 同 目 的 是 要 形 成 一 個 問 題 或 題 目 本 論 文 涉 及 的 形 成 數 學 題 目, 出 題 者 是 教 師 或 學 生 ; 教 師 形 成 問 題 的 能 力 是 從 兩 個 層 面 檢 視 : 一 是 從 教 師 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目, 稱 之 為 教 師 擬 題 ; 二 是 在 教 學 活 動 進 行 中 教 師 出 給 學 生 進 行 的 解 題 活 動 的 數 學 題 目, 稱 之 為 教 學 佈 題 學 生 形 成 問 題 的 能 力 是 是 指 學 生 能 依 據 數 學 日 記 上 需 要 出 數 學 題 目 的 程 度, 界 定 為 學 生 擬 題 本 文 並 不 去 探 討 數 學 日 記 的 使 用 如 何 提 昇 學 生 擬 題 的 能 力, 有 關 這 方 面 的 研 究 結 果 將 另 文 撰 寫 既 然 數 學 課 程 改 革 及 數 學 教 育 研 究 均 在 強 調 學 生 形 成 問 題 能 力 的 重 要, 究 竟 教 師 要 如 何 培 養 學 生 形 成 問 題 的 能 力? 為 能 回 答 此 一 問 題, 即 是 要 提 昇 教 師 的 專 業 知 能, 因 為 要 能 培 養 具 有 形 成 問 題 能 力 的 學 生, 教 師 必 需 先 具 備 有 形 成 問 題 的 相 關 知 識 與 能 力 然 而, 此 處 教 師 是 為 學 生 而 形 成 的 數 學 問 題, 故 有 其 不 同 的 目 標 之 分, 有 些 題 目 可 能 是 為 促 進 數 學 概 念 間 的 連 結, 有 些 題 目 可 能 是 為 提 昇 學 生 的 形 成 問 題 能 力, 或 有 些 題 目 可 能 是 為 提 昇 學 生 的 批 判 性 思 考 能 力 由 於 能 力 不 是 短 時 間 可 以 培 養 的, 因 此 教 師 形 成 問 題 的 能 力 在 本 研 究 將 以 透 過 協 助 教 師 實 踐 學 生 的 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 來 達 成 學 生 的 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 需 要 以 有 目 的 的 方 式 蒐 集 資 料 內 容, 本 研 究 的 學 生 數 學 學 習 歷 程 檔 案 是 以 培 養 學 生 的 高 層 次 思 考 能 力 為 目 標, 高 層 次 思 考 能 力 包 括 學 生 的 形 成 問 題 能 力 及 批 3

判 性 思 考 的 能 力 究 竟 教 師 如 何 命 題 始 能 評 量 學 生 的 高 層 次 思 考 能 力? 此 問 題 是 本 研 究 的 研 究 焦 點 許 多 評 量 的 文 獻 指 出 : 學 生 的 數 學 學 習 歷 程 檔 案 必 需 以 有 目 的 的 方 式 蒐 集 學 生 的 作 品, 這 些 作 品 可 以 是 學 生 在 平 時 的 個 人 表 現 的 記 錄, 每 次 的 月 考 平 時 考 家 庭 作 業 筆 記 數 學 日 記 學 習 單 等 (Lambdin & Walker, 1996;Crowley, 1996; 吳 毓 瑩,1998) 在 本 研 究 學 生 的 數 學 學 習 歷 程 檔 案 的 內 容, 期 望 能 看 到 學 生 在 形 成 問 題 能 力 解 題 能 力 批 判 性 思 考 能 力 等 方 面 的 提 昇, 因 此 將 教 師 設 計 用 來 發 展 學 生 此 等 方 面 能 力 的 題 目, 配 合 者 教 學 活 動 內 容, 作 為 命 題 素 材 的 來 源, 在 課 後 由 學 生 完 成 的 作 業, 稱 之 為 數 學 日 記, 數 學 日 記 成 為 是 存 放 在 學 生 的 數 學 學 習 歷 程 檔 案 夾 內 的 唯 一 內 容 筆 者 深 信 教 師 在 設 計 數 學 日 記 上 的 題 目 的 過 程 中, 可 以 培 養 教 師 的 形 成 問 題 能 力 ; 除 此 之 外, 教 師 形 成 問 題 的 能 力 也 會 類 化 或 施 展 到 其 他 的 情 境 中, 如 在 教 學 佈 題 的 情 境 透 過 實 踐 學 生 的 數 學 日 記 過 程, 教 師 在 數 學 日 記 上 命 題 的 形 式 及 內 容 如 何 改 變? 及 其 對 教 師 在 教 學 活 動 的 佈 題 的 影 響? 是 本 研 究 的 兩 個 研 究 問 題 本 論 文 是 呈 現 一 個 研 究 協 助 教 師 實 踐 學 生 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 研 究 的 部 分 研 究 成 果, 這 個 研 究 是 一 個 以 協 同 行 動 的 研 究 方 式 探 究 研 究 問 題, 研 究 過 程 蒐 集 很 豐 富 的 資 料, 這 些 資 料 的 分 析 及 研 究 發 現 將 以 不 同 的 主 題, 發 表 在 不 同 的 研 討 會 及 學 術 性 的 期 刊 有 關 研 究 者 協 助 教 師 實 踐 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 的 行 動 策 略 及 對 教 師 專 業 知 識 成 長 的 影 響, 請 詳 閱 林 碧 珍 之 協 助 教 師 實 踐 學 生 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 之 研 究 - 數 學 日 記 是 瞭 解 學 生 數 學 學 習 歷 程 的 一 種 資 料 形 式 ( 林 碧 珍,2001); 有 關 教 師 實 踐 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 的 實 務 經 驗 和 改 善 的 問 題, 請 參 閱 林 碧 珍 等 人 (2000) 之 透 明 化 教 師 實 踐 學 生 數 學 歷 程 檔 案 評 量 的 行 動 策 略 有 關 教 師 如 何 設 計 給 學 生 使 用 的 數 學 日 記 以 提 昇 學 生 的 擬 題 能 力 溝 通 能 力 批 判 性 思 考 能 力, 請 參 閱 林 碧 珍 (2000) 之 從 學 生 的 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 看 九 年 一 貫 課 程 數 學 學 習 領 域 的 連 結 而 本 論 文 主 要 在 描 述 教 師 透 過 4

實 踐 學 生 的 數 學 日 記 的 歷 程, 在 數 學 日 記 上 命 題 形 式 及 內 容 的 轉 變 及 如 何 影 響 教 師 在 教 學 時 的 教 學 佈 題 因 此, 在 描 述 本 研 究 的 研 究 發 現 之 前, 有 必 要 先 對 有 關 協 同 數 學 成 長 團 體 運 作 的 機 制 及 有 關 數 學 日 記 的 實 踐 過 程 或 探 究 活 動 作 詳 細 的 介 紹 貳 研 究 方 法 一 參 與 研 究 教 師 本 研 究 的 目 標 是 要 整 合 教 學 課 程 評 量 的 關 係, 幫 助 教 師 重 視 學 生 高 層 次 思 考 的 評 量, 數 學 日 記 是 用 來 提 昇 教 師 命 題 能 力 的 一 個 情 境 脈 絡 為 達 成 研 究 目 的, 本 研 究 在 新 竹 市 頂 埔 國 小 組 成 一 個 協 同 數 學 成 長 團 體 團 體 成 員 包 括 研 究 者 共 同 研 究 者 八 位 核 心 參 與 教 師 四 位 非 核 心 參 與 教 師 和 三 位 研 究 生 ( 研 究 助 理 ) 由 於 本 論 文 在 於 說 明 教 師 透 過 實 踐 學 生 的 數 學 日 記 後 所 獲 得 的 成 長 和 改 變, 所 以 必 須 先 將 研 究 人 員 的 立 場 界 定 為 研 究 情 境 的 參 與 觀 察 者, 參 與 研 究 的 教 師 是 研 究 的 主 體, 也 是 研 究 的 客 體 本 研 究 之 研 究 教 師 主 要 是 八 位 核 心 參 與 教 師, 其 中 的 五 位 是 三 年 級 的 芳 芳 英 英 香 香 又 又 玉 玉 老 師, 三 位 是 二 年 級 的 素 素 菁 菁 玲 玲 老 師, 核 心 參 與 教 師 在 本 研 究 是 在 建 立 實 踐 學 生 數 學 歷 程 檔 案 評 量 的 共 同 經 驗, 在 研 究 中 他 們 被 視 為 是 研 究 的 主 體, 因 為 他 們 被 期 望 是 實 踐 學 生 數 學 日 記 的 經 驗 分 享 者 數 學 成 長 討 論 會 的 參 與 者 研 究 的 積 極 主 動 參 與 者, 他 們 在 團 體 的 討 論 會 上 被 期 望 成 為 理 性 的 批 判 者 另 外, 四 位 非 核 心 參 與 教 師 的 兩 位 行 政 人 員 的 角 色 較 多 的 成 分 是 給 予 行 政 上 的 支 援, 和 兩 位 實 習 教 師 是 以 學 習 的 角 色 參 與 這 個 數 學 成 長 團 體 本 論 文 是 以 四 位 參 與 研 究 的 成 員 的 觀 點, 描 述 教 師 在 佈 題 方 面 的 成 長 與 改 變 四 位 參 與 研 究 的 成 員 中 的 研 究 者 與 共 同 研 究 者, 以 參 與 觀 察 者 的 角 色, 在 研 究 情 境 中 從 教 師 在 討 論 會 中 提 出 的 觀 點 的 改 變 教 師 在 數 學 日 誌 上 的 省 思 教 師 5

設 計 的 數 學 日 記 和 教 師 的 期 末 晤 談 等 資 料 進 行 分 析, 說 明 教 師 的 成 長 與 改 變 另 外 兩 位 研 究 成 員 ( 嘉 嘉 政 政 ) 是 碩 士 班 研 究 生, 以 研 究 助 理 的 角 色, 協 助 本 研 究 的 資 料 蒐 集 嘉 嘉 是 國 民 教 育 研 究 所 研 二 的 學 生, 大 學 是 主 修 中 文 數 學 曾 經 是 她 最 害 怕 的 學 科 研 一 時 就 擔 任 研 究 者 執 行 第 一 年 計 畫 的 研 究 助 理, 可 能 是 她 和 協 同 數 學 成 長 團 體 的 教 師 一 起 成 長, 對 團 體 有 一 份 深 厚 的 感 情, 所 以 碩 士 論 文 的 研 究 是 與 數 學 相 關 的 主 題, 而 且 是 在 筆 者 主 持 的 該 計 畫 下 相 關 的 主 題 ( 李 嘉 珍,2000) 兩 年 來, 她 以 陶 淵 明 的 桃 花 源 記 描 寫 她 對 協 同 數 學 成 長 團 體 的 感 覺 晉 太 原 中, 武 陵 人, 捕 魚 為 業, 緣 溪 行, 忘 路 之 遠 近 忽 逢 桃 花 林, 夾 岸 數 百 步, 中 無 雜 樹, 芳 草 鮮 美, 落 英 繽 紛, 漁 人 甚 異 之.. 陶 淵 明, 桃 花 源 記 曾 經 自 詡 為 武 陵 人 1 的 我, 沒 想 到 在 多 年 之 後, 真 的 走 入 了 一 個 桃 花 源, 而 那 個 桃 花 源, 正 是 協 同 數 學 成 長 團 體 政 政 是 數 理 教 育 研 究 所 一 年 級 的 學 生, 至 目 前 為 止, 只 有 一 個 月 的 實 習 教 學 經 驗, 在 團 體 中, 抓 取 拍 攝 協 同 數 學 成 長 團 體 教 師 的 教 學 鏡 頭, 是 政 政 學 習 如 何 教 學 的 好 機 會 二 研 究 架 構 本 研 究 的 目 的 是 在 協 助 教 師 落 實 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 於 實 際 的 教 學 中 所 以 研 究 者 ( 筆 者 ) 要 解 決 的 是 教 師 在 實 施 學 生 的 數 學 日 記 所 遭 遇 的 問 題 ; 同 時, 教 師 要 解 決 的 是 學 生 在 使 用 數 學 日 記 所 遭 遇 的 困 難, 所 以 研 究 者 與 教 師 都 是 行 動 者, 研 究 者 的 行 動 情 境 是 在 協 同 數 學 成 長 團 體 討 論 會 數 學 日 記 是 為 學 生 而 設 計 的, 所 以 教 師 的 行 動 情 境 是 在 教 室, 教 師 們 會 在 教 室 中 遭 遇 的 問 題 帶 到 討 論 會 中 與 研 究 者 和 其 他 教 師 共 同 分 享, 以 圖 一 之 空 心 雙 箭 頭 ( ) 表 示 教 師 的 行 動 策 略 和 研 究 者 在 討 論 會 中 所 進 行 的 活 動 是 相 互 影 響 的 雖 然 教 師 的 行 動 策 略 和 研 究 者 的 行 動 策 略 是 相 互 影 響, 但 是 教 師 的 行 動 策 略 依 循 從 發 生 問 題 提 出 計 畫 行 1 筆 者 畢 業 於 桃 園 縣 武 陵 高 中, 在 高 中 時, 常 戲 稱 自 己 為 桃 花 源 記 中 的 武 陵 人 6

動 修 正 策 略 再 行 動 的 循 環 歷 程, 在 這 循 環 歷 程 所 做 的 修 正 與 改 變, 受 到 較 多 是 來 自 於 數 學 成 長 團 體 專 業 對 話 的 影 響, 特 別 以 空 心 單 箭 頭 ( ) 指 示 行 動 者 行 動 情 境 待 解 決 問 題 教 師 數 學 教 室 使 用 數 學 日 記 學 生 遭 遇 的 問 題 協 同 數 學 實 施 數 學 日 記 研 究 者 成 長 團 體 討 論 會 教 師 遭 遇 的 問 題 教 師 之 教 學 佈 題 知 識 教 師 之 歷 程 檔 案 評 量 知 識 教 師 之 學 生 認 知 知 識 兩 位 研 究 生 說 明 教 師 的 成 長 與 改 變 說 明 教 師 的 成 長 與 改 變 圖 一 : 研 究 者 與 教 師 的 行 動 情 境 和 研 究 問 題 之 間 的 關 係 由 於 每 位 教 師 在 教 室 中 實 踐 學 生 的 數 學 日 記 的 所 有 歷 程, 並 非 能 在 討 論 會 中 完 全 透 明 化, 為 了 能 使 教 師 的 行 動 策 略 作 為 他 人 改 善 學 校 情 境 的 經 驗, 因 此, 鼓 勵 教 師 撰 寫 行 動 研 究 報 告, 是 一 個 可 行 的 策 略 有 關 教 師 實 踐 數 學 日 記 的 實 務 經 驗 和 改 善 的 問 題, 請 參 閱 在 本 次 研 討 會 的 一 篇 論 文 林 碧 珍 等 人 (2000) 之 透 明 化 教 師 實 踐 學 生 數 學 歷 程 檔 案 評 量 的 行 動 策 略 除 了 外 顯 的 實 務 方 面 的 改 善 問 題, 教 師 內 隱 的 專 業 成 長, 也 可 能 是 透 過 行 動 研 究 的 過 程 而 獲 得 為 了 瞭 解 有 關 透 過 實 踐 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 而 獲 得 教 師 內 隱 的 專 業 知 識 的 提 昇, 除 了 透 過 教 師 洞 察 到 自 我 覺 知 的 成 長 與 改 變 的 自 我 成 長 報 告 之 外, 透 過 在 研 究 情 境 的 客 觀 觀 察 者 所 蒐 集 的 資 料, 也 是 作 為 說 明 教 師 成 長 的 一 個 方 法 這 一 篇 論 文 從 研 究 情 境 的 客 觀 觀 察 者 來 描 述 教 師 的 專 業 成 長 與 改 變, 而 教 師 的 專 業 成 長 與 改 變 的 層 面, 在 本 論 文 僅 針 對 在 數 學 日 記 上 的 佈 題 與 教 學 佈 題 的 知 識 與 能 力 三 擬 題 和 佈 題 相 關 的 探 究 活 動 7

本 研 究 主 要 在 探 究 教 師 在 數 學 日 記 上 的 命 題 與 教 室 中 的 教 學 佈 題 的 改 變 為 了 提 昇 教 師 在 數 學 日 記 上 的 命 題 及 教 師 在 教 學 中 的 佈 題 的 改 變, 本 研 究 進 行 了 以 下 的 探 究 活 動 : ( 一 ) 有 關 數 學 日 記 的 探 究 活 動 : (1) 試 行 給 學 生 寫 數 學 日 記 : 試 行 的 目 的 有 二 : 一 是 了 解 教 師 對 數 學 日 記 原 有 的 認 知 ; 二 是 在 幫 助 教 師 建 立 共 同 實 踐 數 學 日 記 的 經 驗, 讓 教 師 先 體 驗 數 學 日 記 在 實 踐 中 所 遇 到 的 困 難 或 去 體 驗 數 學 日 記 使 用 的 目 的 (2) 與 教 師 分 享 數 學 日 記 的 素 材 : 由 於 教 師 在 初 期 階 段 對 數 學 日 記 的 意 義 及 使 用 的 目 的 不 甚 清 楚, 提 供 可 以 作 為 數 學 日 記 的 擬 題 素 材 與 教 師 共 同 分 享 例 如 : 以 林 文 生 (1996) 在 教 室 中 觀 察 教 師 的 六 種 佈 題 類 型 ( 文 字 題 算 式 題 圖 形 題 圖 表 題 組 合 題 和 鷹 架 題 ), 和 擬 題 佈 體 和 命 題 的 區 分 ( 梁 淑 坤,1994;1996a;1997;1998) (3) 討 論 數 學 日 記 的 功 能 : 在 進 行 討 論 數 學 日 記 的 功 能 之 前 的 必 要 條 件 是 有 試 行 數 學 日 記 的 經 驗 這 個 討 論 會 的 目 的 是 要 幫 助 教 師 提 昇 數 學 日 記 的 使 用, 提 昇 學 生 高 品 質 的 數 學 學 習, 而 不 是 為 實 踐 數 學 日 記 而 做 實 踐 數 學 日 記 的 經 驗 越 多, 越 能 釐 清 數 學 日 記 的 目 的, 越 能 從 數 學 日 記 學 習 單 及 數 學 習 作 的 不 同, 而 掌 握 數 學 日 記 的 特 色 (4) 教 師 實 踐 數 學 日 記 的 經 驗 交 流 : 由 於 試 行 數 學 日 記 時 彼 此 都 有 實 踐 數 學 日 記 的 經 驗, 所 以 經 驗 的 分 享 能 彼 此 體 驗 共 同 的 困 難, 增 進 團 體 之 間 的 感 情, 從 中 以 建 立 數 學 成 長 團 體 的 生 命 共 同 體, 研 究 者 以 週 為 單 位 將 教 師 的 數 學 日 記 上 比 較 不 同 的 題 目 整 理 在 投 影 片 上 與 教 師 們 共 同 分 享 (5) 寫 給 教 師 一 封 信 : 寫 這 封 信 是 在 幫 助 教 師 看 到 自 己 設 計 題 目 的 特 性, 也 在 幫 助 教 師 從 僅 在 乎 對 或 錯 的 評 分 轉 移 至 能 看 到 學 生 的 解 題 歷 程 或 需 要 學 生 在 數 學 日 記 上 的 擬 題 例 如 : 8

親 愛 的 菁 菁 老 師 : 感 謝 您 在 數 學 日 記 上 的 用 心, 您 的 題 目 相 當 多 元, 而 且 也 鼓 勵 讓 學 生 擬 題, 相 信 學 生 在 您 的 指 導 之 下, 對 於 數 學 的 概 念 會 更 加 的 清 楚 我 們 也 針 對 您 給 學 生 在 10 月 4 日 的 數 學 日 誌 當 中, 有 一 題 你 學 了 二 位 數 的 加 減, 在 實 際 生 活 中 你 會 怎 樣 去 用 呢? 對 我 們 做 什 麼 事 會 有 幫 助? 請 你 寫 一 個 你 實 際 用 到 二 位 數 的 加 減 的 例 子, 若 沒 有, 請 你 趕 快 去 用 用 看, 再 寫 出 來 作 了 以 下 的 分 析 類 型 加 法 減 法 先 加 後 減 添 加 型 3 1 並 加 型 11 6 拿 走 型 10 7 資 料 不 足 2( 徐 誌 煒 許 庭 瑋 ) 比 較 型 0 0 非 題 目 1( 李 宜 倫 ) 小 計 14 10 7 所 謂 一 個 數 學 問 題, 應 該 是 包 括 數 學 內 容 表 徵 ( 用 數 字 算 式 等 不 同 表 徵 方 式 ) 情 境 佈 置 和 問 句 而 根 據 國 內 學 者 所 作 的 研 究, 我 們 可 以 將 學 生 的 擬 題 做 以 下 的 評 分 : 非 題 目 1 題 目 非 數 學 不 可 行 資 料 不 足 適 中 資 料 超 過 2 3 4 5 5 因 此, 您 下 次 在 評 量 學 生 擬 題 時, 可 以 試 著 參 考 這 份 評 量 標 準 ; 此 外, 您 的 學 生 在 擬 題 時 習 慣 使 用 與 買 賣 錢 幣 的 情 境, 一 共 有 28 人, 所 以 可 以 鼓 勵 學 生 多 用 不 同 的 情 境 來 擬 題, 才 容 易 類 化 到 各 種 問 題 ( 二 ) 有 關 教 學 佈 題 進 行 的 探 究 活 動 : (1) 邀 請 梁 淑 坤 演 講 教 師 教 學 佈 題 : 演 講 內 容 以 教 師 教 學 中 可 採 用 的 佈 題 方 式 為 主, 並 示 範 師 生 共 同 佈 題 的 技 巧, 讓 教 師 吸 收 更 多 元 的 佈 題 方 式 (2) 欣 賞 情 境 教 學 錄 影 帶 : 這 卷 錄 影 帶 的 內 容 是 以 數 學 教 室 的 情 境 為 主 題, 觀 賞 之 後, 教 師 們 共 同 討 論 有 關 教 學 佈 題 的 特 點 (3) 閱 讀 擬 題 與 佈 題 的 文 章 : 在 期 初, 研 究 者 將 佈 題 擬 題 與 評 量 相 關 的 文 章, 裝 訂 成 冊, 讓 教 師 們 閱 讀 相 關 的 理 論 (4) 分 析 已 教 過 或 預 教 的 各 版 本 數 學 教 科 書 上 的 教 學 活 動 用 的 題 目 : 主 要 是 了 解 教 師 的 教 學 佈 題 所 關 心 的 層 面 分 析 後, 分 享 彼 此 的 分 析 以 擴 充 佈 題 的 觀 點, 試 探 教 師 針 對 某 一 預 教 的 單 元, 以 瞭 解 教 師 可 能 對 活 動 的 佈 題 所 做 的 改 變, 並 瞭 解 教 師 的 佈 題 知 識 是 否 提 昇? (5) 加 減 法 的 語 意 結 構 與 乘 除 法 問 題 結 構 : 幫 助 教 師 能 從 數 學 結 構 的 觀 點 考 慮 9

教 學 的 佈 題 四 資 料 蒐 集 與 分 析 本 論 文 的 目 的 是 在 呈 現 教 師 在 實 踐 學 生 的 數 學 日 記 下 教 師 的 擬 題 與 佈 題 的 改 變 與 成 長 用 來 蒐 集 與 教 師 擬 題 與 佈 題 相 關 的 資 料 主 要 是 教 師 在 學 生 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目 和 教 師 的 教 學 (47 節 課 ) 有 關 教 師 原 有 的 佈 題 與 擬 題 知 識 的 蒐 集 是 在 協 同 數 學 成 長 團 體 的 討 論 會 記 錄 ( 每 週 一 次 ), 教 師 晤 談 ( 第 一 學 期 末 和 第 二 學 期 末 ), 教 師 的 數 學 日 誌 和 教 師 在 討 論 會 上 所 進 行 的 工 作 任 務 (tasks) 分 析 所 留 存 的 記 錄 將 討 論 會 記 錄 與 教 師 晤 談 記 錄 逐 字 轉 錄, 再 重 複 閱 讀 逐 字 稿 以 時 間 的 縱 向 序 列 考 慮, 分 析 每 位 教 師 在 數 學 日 記 上 的 題 目 的 改 變, 以 學 生 在 數 學 日 記 上 的 表 現 作 為 題 目 分 析 的 輔 助 資 料 教 室 觀 察 的 資 料, 首 先 將 拍 攝 的 教 學 錄 影 帶 轉 錄 成 書 面 資 料 如 同 教 案 的 格 式, 以 編 碼 方 式, 依 據 佈 題 的 題 數 佈 題 的 素 材 ( 算 式 題 文 字 題 圖 表 題 圖 形 題 活 動 題 ) 情 境 ( 物 件 的 種 類 ) 表 徵 方 式 數 學 結 構 題 目 的 來 源, 作 為 分 析 資 料 的 架 構 參 研 究 結 果 一 教 師 在 數 學 日 記 上 命 題 的 改 變 在 初 期, 教 師 設 計 數 學 日 記 的 題 目 所 遭 遇 的 最 大 困 難 是 : 不 知 道 要 出 什 麼 樣 的 題 目 在 初 期 的 一 個 月, 若 以 題 目 的 目 的 來 分 析 教 師 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目, 分 為 三 種 類 型 : 第 一 種 是 為 了 加 深 孩 子 的 數 學 概 念 ; 第 二 種 是 為 了 瞭 解 孩 子 的 學 習 感 覺 及 學 習 心 得 ; 第 三 種 是 為 了 給 孩 子 出 數 學 題 目, 更 而, 這 類 型 的 題 目, 大 部 份 的 素 材 是 算 式 的 形 式 一 直 到 在 討 論 會 上, 研 究 者 提 供 給 可 以 讓 學 生 擬 題 的 另 類 素 材, 教 師 才 知 覺 到 給 學 生 擬 題 素 材 可 以 有 這 麼 的 多 元 下 面 這 段 話 是 錄 10

自 菁 菁 老 師 的 數 學 日 誌 : 林 教 授 的 說 明 給 我 很 不 一 樣 的 想 法, 原 來 學 生 的 數 學 題 目 可 以 有 這 麼 多 的 類 型, 自 己 以 往 的 認 識 只 限 於 課 本 習 作 的 練 習 題, 從 未 想 過 有 這 麼 多 的 發 展 空 間, 尤 其 將 傳 統 以 教 師 出 題 導 向 改 為 學 生 擬 題, 而 且 學 習 數 學 並 不 在 於 學 生 會 不 會 做 題 目 除 此 之 外 它 也 讓 學 生 重 視 反 省 學 習 的 過 程 和 反 省 學 習 的 歷 程, 這 對 我 數 學 教 學 所 持 的 觀 點 來 說 是 個 很 大 的 震 撼 ( 菁 菁, 數 學 日 誌,881101) 經 過 這 次 的 討 論 會, 教 師 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目 的 觸 角 才 開 始 往 外 擴 張, 透 過 每 週 研 究 者 將 每 位 教 師 設 計 的 不 同 題 型 整 理 並 印 製 在 投 影 片 上, 共 同 分 享, 而 使 得 在 題 目 的 形 式 上 逐 漸 趨 向 於 創 意 及 多 樣 化, 而 且 也 慢 慢 地 發 展 出 具 有 個 人 特 質 的 題 目, 芳 芳 老 師 的 題 目 很 在 乎 孩 子 解 題 的 多 樣 化, 素 素 老 師 的 題 數 仍 然 以 多 取 向, 玲 玲 老 師 以 學 生 需 要 幫 助 教 師 的 方 式 來 讓 學 生 出 題 從 學 年 的 期 末 晤 談 發 現 : 大 多 數 的 教 師 都 能 自 省 到 上 學 期 自 己 的 數 學 日 記 是 為 寫 數 學 日 記 而 寫 數 學 日 記, 到 了 下 學 期, 他 們 都 能 釐 清 數 學 日 記 的 特 殊 意 義, 能 區 分 數 學 日 記 與 數 學 習 作 的 不 同, 他 們 所 設 計 的 數 學 日 記 不 是 只 在 追 求 題 型 上 的 創 意 及 變 化, 而 是 為 了 配 合 教 學 活 動 後 提 供 機 會 讓 孩 子 在 課 堂 所 學 習 的 概 念 再 次 的 反 芻, 讓 他 們 能 隨 時 進 行 上 一 節 課 的 補 救 教 學 若 要 說 明 教 師 在 數 學 日 記 上 的 改 變, 最 好 的 呈 現 方 式 是 以 每 個 個 案 的 縱 向 面 發 展 由 於 篇 幅 限 制, 本 論 文 僅 分 析 三 年 級 ( 芳 芳 老 師 ) 和 二 年 級 ( 玲 玲 老 師 ) 各 一 個 個 案 作 為 教 師 在 數 學 日 記 上 擬 題 的 改 變 說 明 ( 一 ) 芳 芳 老 師 我 們 觀 察 到 : 也 許 是 因 為 芳 芳 老 師 剛 開 始 對 於 數 學 日 記 的 內 涵 還 有 點 不 清 楚, 因 此 對 於 數 學 日 記 的 實 施 還 有 點 怯 步, 但 是 經 過 三 次 的 討 論 會 之 後, 芳 芳 老 師 才 開 始 嘗 試 她 的 第 一 份 數 學 日 記, 這 份 數 學 日 記 的 第 一 個 題 目 是 提 供 機 會 讓 兒 童 將 當 天 所 教 過 的 內 容 做 一 個 回 顧, 讓 兒 童 反 省 自 己 今 天 在 課 堂 上 的 表 現, 以 加 深 當 天 學 過 的 課 程 內 容 第 二 個 題 目 是 屬 於 給 孩 子 一 個 開 放 性 的 擬 題 題 目 1 今 天 的 數 學 課 我 學 到 了 ( 用 自 己 的 話 或 畫 圖 寫 下 來 ) 2 用 > < 和 = 符 號, 出 一 個 題 目 給 自 己 做 11

依 據 第 二 題 學 生 在 數 學 日 記 上 所 出 的 題 目, 整 理 歸 納 分 析 於 表 一 我 們 看 到 孩 子 出 題 的 多 樣 化, 使 用 豐 富 的 情 境, 除 了 文 字 題 外, 有 少 部 份 的 孩 子 也 加 入 了 圖 形 在 擬 題 的 情 境 中, 從 此 看 到 孩 子 豐 富 的 創 造 力 從 芳 芳 老 師 出 的 題 目 中, 我 們 發 現 到 只 要 提 供 一 個 適 當 的 題 目, 便 能 引 發 兒 童 多 樣 化 的 思 考, 從 中 培 養 兒 童 創 造 思 考 能 力 非 但 如 此, 從 孩 子 的 擬 題 中, 也 能 檢 驗 孩 子 對 於 該 概 念 是 否 真 正 的 理 解 表 一 學 生 對 於 用 > < 和 = 符 號, 出 一 個 題 目 給 自 己 做 的 擬 題 類 型 擬 題 類 型 學 生 擬 題 舉 例 誰 比 較 多 一 樣 多 其 他 答 錯 ( 題 目 不 完 整 ) 小 百 合 有 250 顆 糖 果, 小 麗 和 小 美 到 便 利 商 店 買 東 小 沙 利 有 200 顆 糖 果, 西, 小 美 買 了 鉛 筆 盒 50 元 和 彩 誰 比 較 多? 小 明 有 200 元, 小 方 有 2 個 100 元, 誰 比 較 多? 100 元 5 元 10 元 150 元 小 明 買 了 和 合 起 來 的 價 錢 會 比 價 錢 多? 色 筆 85 元, 小 麗 買 了 玩 具 熊 145 元, 他 們 兩 個 是 不 是 一 樣 多 呢? 12 小 美 和 小 麗 一 起 去 逛 花 市, 小 美 買 了 一 個 400 元 的 娃 娃, 小 利 買 一 枝 320 元 的 自 動 鉛 筆 和 一 台 180 元 的 小 汽 車, 小 麗 會 比 小 美 花 的 多 嗎? 小 美 和 小 冬 一 起 去 百 貨 公 司 買 化 妝 品, 小 美 買 了 一 盒 口 紅 和 一 瓶 化 妝 水 小 強 和 阿 國 一 起 去 商 店 買 東 小 華 有 2374 元 小 明 有 西, 小 強 買 了 一 個 76 元 的 牛 奶 2367 元, 媽 媽 再 給 小 華 糖 和 一 個 45 元 的 巧 克 力, 阿 國 6 元 只 買 了 一 瓶 飲 料 135 元, 小 強 會 比 阿 國 買 的 還 要 貴 嗎? 小 明 有 80 元, 小 華 有 36 元, 小 明 和 小 美 去 買 娃 娃, 小 楊 有 110 元,(1) 小 明 和 小 小 明 買 了 一 個 40 元 娃 華 加 起 來 共 有 多 少 元?(2) 小 娃, 和 一 個 65 元 的 娃 明 和 小 華 有 沒 有 比 小 楊 多 呢? 娃, 小 美 買 了 28 元 的 娃 娃, 小 明 比 小 美 多 花 多 少 元? 人 數 20 人 1 人 6 人 6 人 從 表 一 的 分 析, 從 孩 子 的 擬 題 顯 示 : 大 部 分 能 掌 握 對 於 > < 和 = 符 號 的 意 義, 全 班 37 人 中 還 有 六 個 人 還 沒 有 能 力 形 成 一 個 完 整 的 數 學 題 目 從 孩 子 的 答 題 中, 他 們 在 問 句 上 有 使 用 誰 比 較 多 的 傾 向, 鮮 用 誰 比 較 少? 或 是 一 樣 多 嗎? 的 問 句 這 樣 的 現 象, 有 可 能 受 到 芳 芳 老 師 的 教 學 影 響, 當 我 們 再 進 一 步 追 溯 原 因, 以 非 正 式 訪 問 芳 芳 老 師 的 教 學 佈 題 及 再 分 析 她 在 前 面 幾 次 的 佈 題, 確 實 證 實 了 芳 芳 老 師 的 教 學 有 使 用 誰 比 較 多? 的 傾 向 從 這 個 現 象 反 映 了 一 個 事 實, 孩 子 的 出 題, 深 受 教 師 教 學 佈 題 的 影 響 題 目 : 橡 此 外, 在 88 年 10 月 1 日 給 孩 子 的 數 學 日 記 裡, 芳 芳 老 師 出 了 一 個 這 樣 的

(1) 這 裡 有 ( ) 個 盤 子, 各 放 ( ) 個? 請 用 連 加 法 算 出 有 幾 個? 請 用 乘 法 算 出 有 幾 個? ( ) ( )=( ) 請 說 說 看 第 題 的 方 式 是 什 麼 意 思? (2) 請 用 3 2=6 的 式 子 來 出 一 個 題 目, 可 畫 圖 或 用 文 字 第 題 是 幫 助 學 生 瞭 解 單 位 數 與 單 位 量 的 意 義 接 著 在 第 題, 開 始 導 入 本 單 元 的 目 標 ( 乘 法 ), 使 用 乘 法 去 解 題 ; 在 第 題 中, 要 求 學 生 監 控 自 己 的 解 題 過 程, 可 以 培 養 學 生 後 設 認 知 的 能 力 從 芳 芳 老 師 的 出 題 形 式 與 內 容 來 看, 可 以 看 得 出 來, 她 逐 漸 唾 棄 數 學 只 是 死 背 公 式 的 教 學 觀, 轉 而 為 逐 漸 重 視 瞭 解 學 生 的 解 題 意 義 整 體 而 言, 芳 芳 老 師 所 出 的 這 份 題 組, 有 助 於 診 斷 學 生 學 習 的 情 況, 可 以 很 清 楚 的 瞭 解 學 生 在 哪 一 個 地 方 發 生 問 題? 需 要 加 強 的 地 方 在 哪 裡? 從 分 析 芳 芳 老 師 在 九 月 份 與 十 月 份 的 數 學 日 記 上 的 題 目 顯 示 出 : 她 在 數 學 日 記 上 的 佈 題 有 了 改 變 改 變 的 是, 她 將 佈 題 的 重 點 放 在 兒 童 的 思 考 上, 開 始 重 視 需 要 學 生 擬 題 的 題 目 ; 然 而, 在 這 個 階 段 她 需 要 學 生 擬 題 的 題 目 大 多 是 以 算 式 的 素 材 為 主, 如.. 請 用 5 6=30 的 式 子 來 出 一 個 題 目 可 用 畫 圖 或 用 文 字 ( 數 學 日 記,881004) 當 分 析 芳 芳 老 師 的 數 學 日 記 上 的 題 目 時, 發 現 從 十 一 月 份 起, 數 學 日 記 上 除 了 有 需 要 學 生 擬 題 的 題 型 外, 又 增 加 了 給 學 生 寫 數 學 故 事 題 和 質 疑 辯 證 的 題 型 例 如 芳 芳 老 師 佈 了 一 題.. 今 天 上 數 學 課 時, 老 師 編 了 一 個 李 明 鴻 的 壓 歲 錢 的 數 學 故 事, 其 中 有 故 事 情 節, 也 有 數 學 題 目 小 朋 友, 請 你 模 仿 老 師 的 方 法, 自 己 編 一 個 和 壓 歲 錢 有 關 的 數 學 故 事 ( 數 學 日 記,890225) 薇 薇 小 朋 友 編 出 下 面 了 的 數 學 故 事 : 2 月 5 日 是 過 年, 雖 然 胡 志 剛 的 紅 包 很 少, 可 是 他 不 死 心, 決 定 去 要 紅 包 首 先, 他 先 去 阿 姨 家, 阿 姨 說.. 我 給 你 600 元 當 作 紅 包 然 後 因 為 胡 志 剛 已 經 有 100 元 了, 所 以 6+1=7, 他 就 有 700 元 了 可 是 他 還 是 嫌 太 少, 所 以 又 去 要 了, 他 走 到 外 公 家, 薇 薇 13

芳 芳 老 師 在 成 長 團 體 的 討 論 會 上, 曾 經 提 到 設 計 這 個 題 目 的 背 景, 她 利 用 孩 子 剛 過 完 年 都 有 拿 到 紅 包 的 情 境, 在 教 學 中 佈 了 一 個 與 過 年 收 紅 包 相 關 的 情 境, 進 行 三 位 數 的 加 法 問 題, 這 樣 的 佈 題 與 真 實 生 活 情 境 相 結 合, 孩 子 解 題 的 興 趣 很 高 在 教 學 後, 芳 芳 老 師 在 數 學 日 記 上 的 題 目 就 設 計 了 一 個 由 孩 子 說 出 數 學 故 事 的 題 目 從 孩 子 的 數 學 日 記, 我 們 看 到 大 多 數 的 孩 子 都 能 寫 出 一 段 以 週 遭 相 關 的 人 物 為 數 學 故 事 的 主 角 芳 芳 老 師 加 入 成 長 團 體 將 近 一 年 的 期 間, 確 實 看 到 她 在 佈 題 方 面 的 改 變 與 成 長 初 期, 她 的 數 學 教 學 著 重 的 是 孩 子 會 不 會 算 題 目, 出 給 孩 子 在 數 學 日 記 的 題 目 大 都 環 繞 著 給 兒 童 一 些 算 式 題, 要 求 的 是 孩 子 的 答 案 對 與 否 ; 逐 漸 地, 她 的 命 題 是 在 檢 驗 孩 子 的 內 在 思 考 歷 程, 而 且, 在 題 型 上 變 化 了 許 多, 學 生 的 作 法 也 變 得 豐 富 在 一 次 的 非 正 式 談 論 中, 芳 芳 老 師 提 到 原 本 她 也 不 知 道 可 以 用 這 樣 的 方 式 來 幫 助 孩 子 學 習, 因 為 加 入 了 數 學 成 長 團 體, 從 每 次 成 長 團 體 討 論 會 的 討 論 與 分 享 中, 使 她 不 斷 的 獲 得 新 的 想 法 和 點 子, 並 實 踐 在 教 學 與 數 學 日 記 的 佈 題 上, 從 學 生 的 解 題 類 型 中 做 修 正, 所 以 逐 漸 的 影 響 了 她 對 數 學 教 學 的 看 法 和 教 學 方 法 的 改 變 在 期 末 的 晤 談, 芳 芳 老 師 提 到 自 己 在 上 學 期 和 下 學 期 使 用 數 學 日 記 的 區 別, 認 為 上 學 期 的 數 學 日 記 是 為 寫 數 學 日 記 而 做, 下 學 期 是 在 釐 清 數 學 日 記 目 的 之 後 而 使 用 的 她 說 : 我 現 在 回 憶 起 上 學 期 出 數 學 日 記 的 題 目 時, 覺 得 自 己 上 學 期 的 題 目 好 像 很 多 都 是 亂 出 的, 不 知 道 為 什 麼 要 出 那 些 題 目, 這 學 期 就 知 道 要 出 哪 些 題 目 和 為 什 麼 要 出 那 些 題 目, 這 學 期 有 些 題 目 是 我 今 天 上 完 課 在 回 家 的 路 上 突 然 想 到, 我 就 把 它 出 在 隔 天 的 數 學 日 記 上, 這 學 期 比 較 有 能 力 去 出 自 己 想 要 出 的 題 目 ( 芳 芳, 晤 談 紀 錄,890612) 芳 芳 老 師 曾 經 因 加 入 數 學 成 長 團 體 而 倦 怠 過, 在 上 學 期 期 末 由 於 級 務 繁 重, 加 上 正 好 是 數 學 成 長 團 體 舉 辦 學 生 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 的 初 步 成 果 發 表 會, 覺 得 負 荷 量 很 大, 而 向 張 教 務 主 任 提 及 中 途 退 出 的 念 頭 一 直 到 兩 位 師 院 實 習 生 在 芳 芳 老 師 班 上 實 習, 當 看 到 實 習 生 的 教 學, 在 比 較 下, 她 才 覺 得 自 己 的 數 學 教 學 14

細 膩 的 掌 握, 對 孩 子 認 知 的 瞭 解 是 在 緩 緩 進 步 中 她 體 認 到 實 習 生 現 在 的 教 學 階 段 就 是 她 在 加 入 數 學 成 長 團 體 前 所 處 的 階 段 ( 二 ) 玲 玲 老 師 該 出 什 麼 樣 的 題 目, 才 能 看 到 孩 子 的 數 學 思 考, 是 玲 玲 老 師 在 實 踐 數 學 日 記 初 期 的 時 候, 感 到 最 困 難 的 剛 開 始 以 很 開 放 的 方 式 的 題 目 要 求 孩 子 去 回 顧 一 節 課 的 內 容, 但 是 孩 子 所 描 述 的 都 是 與 數 學 內 涵 不 相 關 的 內 容, 後 來, 發 現 玲 玲 老 師 的 在 數 學 日 記 上 的 題 目 逐 漸 重 視 去 瞭 解 孩 子 的 想 法 解 題 過 程 和 澄 清 模 糊 的 概 念, 給 孩 子 出 題 目 是 為 了 提 昇 孩 子 的 思 考 能 力 她 在 十 一 月 初 的 數 學 日 記 上 的 命 題, 開 始 針 對 孩 子 有 不 清 楚 不 明 白 意 見 不 同 或 有 爭 執 的 部 分, 進 一 步 的 加 強 與 澄 清 ; 而 且, 題 目 是 配 合 教 學 活 動 而 設 計 的 例 如, 在 容 量 與 重 量 單 元 的 教 學, 在 數 學 日 記 上 的 題 目 是 : 老 師 有 兩 個 看 起 來 不 一 樣 的 茶 杯, 你 能 幫 老 師 想 有 什 麼 方 法 可 以 知 道 哪 一 個 杯 子 能 裝 的 水 比 較 多 嗎? ( 玲 玲, 數 學 日 記,881126) 看 起 來 比 大, 就 比 較 重 嗎? ( 玲 玲, 數 學 日 記,881203) 除 了 數 學 日 記 的 命 題 是 配 合 數 學 教 學 活 動 內 容 而 設 計 的, 玲 玲 老 師 在 命 題 時 也 能 從 生 活 中 取 材 和 考 慮 擬 出 多 樣 性 的 題 材, 也 能 透 過 數 學 日 記 來 培 養 學 生 擬 題 的 能 力 玲 玲 老 師 給 學 生 擬 題 所 出 現 的 五 種 題 型 是 : 算 式 類 : 給 一 個 算 式, 學 生 依 據 這 個 算 式 而 設 計 出 題 目 例 : 請 您 幫 83-()=38 出 題 目, 並 解 題 ( 玲 玲, 數 學 日 記,890315) 文 字 類 : 呈 現 一 段 文 字, 由 學 生 依 據 文 字 敘 述 所 給 的 條 件 出 題 目 例 : 請 您 自 己 想 一 想, 也 出 一 個 平 分 的 數 學 題 目, 把 你 怎 麼 做 的, 記 錄 下 來 ( 玲 玲, 數 學 日 記,881215) 圖 表 類 : 給 一 個 圖 表, 請 學 生 依 據 圖 表 資 料 來 出 題 目 例 : 看 到 這 個 圖, 你 想 到 的 數 學 故 事 是 什 麼?( 玲 玲, 數 學 日 記,881210) 15

數 學 概 念 類 : 依 題 目 上 要 求 的 數 學 概 念 擬 出 題 目 來 例 : 請 您 出 一 個 和 為 100 以 內 的 二 位 數 加 法, 並 用 算 式 詳 細 記 錄 解 題 過 程 ( 玲 玲, 數 學 日 記,890205) 解 題 過 程 類 : 給 定 學 生 課 堂 上 討 論 的 一 個 或 一 個 以 上 的 解 法, 要 求 學 生 擬 出 數 學 題 目 來 例 : 老 師 出 了 一 題 數 學, 你 能 從 小 豪 和 小 燕 兩 位 小 朋 友 做 法 猜 猜 看 老 師 出 的 是 什 麼 題 目 嗎? 小 豪 :30+40=70 小 燕 :35+40=75( 玲 玲, 數 學 日 記,881210) 5+ 9=14 75+5=80 70+14=84 80+4=84 解 題 再 出 題 類 : 給 定 一 題 目, 要 學 生 解 出 題 目 來, 然 後 在 擬 出 另 一 個 題 目 來 例 : 請 先 算 出 算 式 填 充 題 8 ( )=40, 再 出 題 目 ( 玲 玲, 數 學 日 記,890320) 二 教 師 在 教 學 佈 題 的 改 變 與 成 長 本 節 的 研 究 結 果 主 要 是 依 據 觀 察 教 師 的 教 學 的 資 料 作 分 析, 來 說 明 教 師 在 教 學 佈 題 的 改 變, 並 解 釋 教 師 的 這 些 改 變 是 受 到 數 學 成 長 團 體 所 進 行 的 探 究 活 動 的 影 響 佈 題 的 來 源 佈 題 的 素 材 題 目 的 數 學 結 構 等 向 度, 是 本 研 究 用 來 說 明 教 師 們 跟 隨 著 數 學 成 長 團 體 以 匍 伏 前 進 的 腳 步, 獲 得 有 關 數 學 日 記 上 命 題 的 瞭 解, 慢 慢 地 影 響 了 自 己 在 教 學 中 的 教 學 佈 題 改 變 ( 一 ) 教 學 佈 題 的 取 材 來 自 學 生 在 數 學 日 記 上 的 題 目 一 般 教 師 在 佈 題 的 設 計 中, 取 材 大 多 來 自 課 本 指 引 和 習 作, 教 師 和 學 生 都 慢 慢 的 失 去 了 創 造 力, 而 在 數 學 成 長 團 體 中, 則 提 供 了 另 一 種 佈 題 取 材 的 新 視 野, 就 是 利 用 孩 子 在 數 學 日 記 上 的 題 目 來 作 為 上 課 時 的 教 學 佈 題 在 觀 察 中 我 們 發 現 教 師 利 用 學 生 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目 作 為 教 學 的 佈 題, 多 半 發 生 在 乘 法 ( 一 ) 的 單 元, 而 此 時 期 正 好 是 數 學 成 長 團 體 引 入 以 學 生 擬 題 當 作 教 學 佈 題 來 源 的 時 機, 教 師 經 由 學 習 啟 發 後, 而 能 接 納 內 化, 並 在 教 室 中 實 踐, 由 此 可 以 16

看 出 數 學 成 長 團 體 有 關 數 學 日 記 的 探 究 活 動 對 教 師 教 學 佈 題 的 影 響 例 如 : 在 下 學 期 的 教 室 觀 察 中, 可 以 清 楚 的 發 現 教 師 開 始 嘗 試 這 種 新 的 做 法, 也 可 以 看 到 孩 子 們 學 習 數 學 時 的 創 意 與 成 長 在 菁 菁 老 師 的 班 級 中, 曾 經 出 現 了 一 個 非 常 有 趣 的 可 愛 的 小 豬 題 目, 這 個 題 目 是 來 自 於 勳 勳 小 朋 友 在 數 學 日 記 上 出 的 一 個 數 學 題 目 在 討 論 會 上 菁 菁 老 師 被 問 到 為 何 選 用 勳 勳 小 朋 友 的 題 目 作 為 這 節 課 的 佈 題, 她 說 : 假 設 這 個 題 目 不 錯, 可 是 又 很 多 人 出, 我 會 先 選 擇 那 些 比 較 沉 默 比 較 內 向 的 學 生 的 題 目, 增 加 他 們 的 信 心 ( 菁 菁, 討 論 會 記 錄,890410) 佈 題 的 另 一 個 重 要 考 慮 是 必 須 要 能 達 成 目 標 然 而, 在 討 論 會 上 菁 菁 老 師 提 到 她 並 沒 有 注 意 到 要 去 考 慮 選 擇 單 位 量 是 2 5 或 4 等 等, 哪 個 必 須 先 呈 現? 直 到 在 討 論 會 上, 菁 菁 老 師 才 瞭 解 到 課 程 在 設 計 引 入 乘 法 的 教 學 單 元 有 特 別 的 考 慮 這 個 可 愛 的 小 豬 的 題 目 是 : T: 你 們 的 題 目 都 很 有 趣 喔! 現 在 老 師 手 上 拿 的, 還 是 你 們 數 學 日 記 的 題 目 喔! 這 個 是 勳 勳 的, 很 好 玩, 他 不 但 出 題 目 還 記 得 畫 圖 跟 老 師 說 一 下, 聽 聽 他 這 個 題 目 很 好 玩, 來 看 勳 勳 的, 一 隻 豬 有 2 個 鼻 孔 S: 兩 個 鼻 孔 T: 你 怎 麼 知 道? S: 勳 勳 有 跟 我 說 過 T: 一 隻 豬 有 幾 個 鼻 孔? S:2 個 鼻 孔 T:2 個 鼻 孔 喔! 勳 勳 說 那 跑 來 了 5 隻 豬,5 隻 喔! 那 一 共 有 多 少 個 鼻 孔? 喔! 小 朋 友! 我 先 請 你 用 算 式 記 錄 下 來 ( 學 生 拿 小 白 板 ) ( 板 書 ) 5 隻 豬 有 幾 個 鼻 孔? () 的 () 倍 ( 教 室 觀 察, 菁 菁,890330) 之 所 以 特 別 提 出 這 一 題, 是 因 為 孩 子 在 剛 開 始 擬 題 時, 經 常 碰 到 的 問 題 就 是 侷 限 於 某 些 情 境, 像 是 糖 果 錢 幣 等, 和 日 常 生 活 比 較 有 關, 或 是 他 們 常 接 觸 到 的 題 目 情 境, 但 經 過 多 次 擬 題 的 訓 練 後, 孩 子 們 開 始 發 揮 自 己 的 想 像 力, 出 一 些 讓 大 人 也 會 心 一 笑 的 題 目, 大 人 們 大 概 也 想 不 到 一 隻 豬 有 兩 個 鼻 孔 的 情 境 竟 也 可 以 成 為 數 學 題 目 從 教 室 觀 察 中 發 現 當 孩 子 把 出 題 目 視 為 是 一 種 想 像 力 的 激 發 時, 無 形 之 間, 17

也 更 能 明 白 在 其 中 所 蘊 含 的 數 學 概 念, 如 這 一 題, 很 清 楚 的 可 以 看 出 孩 子 可 以 兩 兩 一 組, 已 經 具 有 5 個 2 的 概 念, 說 明 了 學 生 擬 題 在 教 學 中 的 確 有 其 成 效 當 素 素 老 師 觀 察 菁 菁 老 師 以 學 生 在 數 學 日 記 上 的 擬 題 來 作 為 上 課 的 教 學 佈 題 時, 她 看 到 孩 子 的 學 習 很 投 入, 而 且 對 其 他 孩 子 有 鼓 勵 的 作 用 因 此, 在 她 的 教 學 也 如 法 炮 製 她 從 全 班 的 數 學 日 記 中, 挑 選 比 較 有 創 意 的 題 目, 這 個 題 目 是 : 我 們 班 有 一 個 可 愛 的 小 朋 友 出 了 一 個 題 目, 題 目 是 : 小 白 兔 有 3 個 好 朋 友, 每 個 朋 友 有 四 條 腿, 請 問 他 們 共 有 幾 條 腿? ( 素 素, 數 學 日 記,890413) 玲 玲 老 師 也 同 樣 的 嘗 試 以 孩 子 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目 來 作 為 教 學 的 佈 題, 她 在 乘 法 的 教 學 曾 經 對 孩 子 說 : 上 次 請 您 們 出 乘 法 的 題 目, 好 像 有 些 人 不 知 道 老 師 在 問 什 麼? 對, 上 次, 的 數 學 日 記 大 部 分 的 人 都 出 的 很 好, 但 是 好 像 有 一 些 小 朋 友 沒 有 把 握 到 乘 法, 這 邊 有 一 個 題 目 是 小 委 出 的 題 目 還 不 錯, 老 師 想 要 請 您 們 做 一 下, 一 盒 布 丁 有 10 個, 十 盒 布 丁 有 幾 個?( 玲 玲, 教 室 觀 察,890414) 除 了 用 學 生 在 數 學 日 記 上 的 題 目 來 作 為 教 學 的 佈 題 之 外, 玲 玲 老 師 也 試 著 由 學 生 在 課 堂 上 當 場 出 題, 例 如 : 在 三 月 份 的 一 次 教 室 觀 察, T: 有 誰 能 幫 老 師 出 一 個 誰 的 幾 倍 的 題 目? 小 安 : 七 輛 小 汽 車 後 潤 : 一 顆 樹 有 8 個 蘋 果,5 顆 樹 有 幾 個 蘋 果? T: 有 沒 有 聽 懂 後 潤 的 題 目? 請 您 用 乘 法 算 式 記 錄 做 法 ( 二 ) 佈 題 的 素 材 記 得 在 12 月 24 日 去 年 聖 誕 節 的 前 夕 ( 好 快 喔! 過 了 一 年!) 時, 那 天 照 例 到 素 素 老 師 和 玲 玲 老 師 做 教 室 觀 察, 那 天 學 校 洋 溢 著 一 片 歡 樂 的 氣 氛, 每 個 小 朋 友 的 臉 上 都 洋 溢 著 喜 悅, 在 詢 問 之 下, 才 知 道 接 近 中 午 休 息 時, 學 校 的 組 長 主 任 要 扮 成 聖 誕 老 公 公 老 婆 婆 的 樣 子, 到 各 班 去 發 禮 物, 所 以 每 一 個 孩 子 都 在 期 待 著 這 天, 剛 好 是 上 到 了 課 本 活 動 三 將 總 量 分 成 幾 個 幾, 原 本 的 佈 題 情 境 是 貝 貝 熊 分 蜂 蜜, 但 是 因 為 孩 子 們 目 前 最 關 心 的 就 是 聖 誕 老 公 公, 因 此 素 素 老 師 和 玲 玲 老 師 就 衝 著 孩 子 這 股 熱 情, 佈 了 下 面 兩 道 題 : 聖 誕 老 公 公 準 備 12 份 禮 物,12 份 禮 物 可 以 有 怎 麼 排 法? 請 你 幫 聖 誕 老 公 公 看 有 幾 份, 我 現 在 用 磁 鐵 排, 雅 玲 數 數 看 有 幾 份? ( 教 室 觀 察, 素 素,881124) 18

T: 你 們 很 期 待 聖 誕 老 公 公 對 不 對? S: 對 T: 聖 誕 老 公 公 發 糖 果, 他 一 包 一 包 的 裝 著, 一 包 裡 面 裝 了 10 顆, 他 給 我 們 9 包 糖 果, 一 包 糖 果 有 幾 個 呢? S:10 個 T: 有 幾 個 10 呢? S:9 個 十 T: 那 他 剩 下 6 包 糖 果 是 幾 個 十 呢? S:6 個 十 T: 他 給 我 們 9 個 10 對 不 對, 還 剩 下 6 個 10, 請 你 比 比 看 9 個 十 和 6 個 十 多 幾 個 十? 你 怎 麼 知 道? 懂 老 師 的 意 思 嗎? S: 懂 T: 拿 彩 色 筆 和 紙 在 紙 上 做 做 看 ( 教 室 觀 察, 素 素,881224) 在 孩 子 處 於 興 奮 的 情 況 下, 老 師 如 果 還 佈 貝 貝 熊 的 問 題, 相 信 並 不 能 凝 聚 住 孩 子 的 目 光, 此 時, 若 能 順 水 推 舟, 配 合 當 時 的 情 境, 佈 個 聖 誕 老 公 公 發 禮 物 的 問 題, 孩 子 一 定 能 被 吸 引 住, 提 高 解 題 的 效 率 果 然, 那 兩 節 課 孩 子 都 特 別 的 專 心 這 種 配 合 節 令 的 情 況, 或 者 是 結 合 其 他 學 科 的 教 學 來 佈 題, 是 三 位 老 師 佈 題 時 的 共 同 特 點, 比 如 說, 玲 玲 老 師 的 東 門 城 賞 花 ( 以 口 述 佈 題 ): 春 天 到 了, 花 園 裡 開 了 很 多 的 花, 開 的 最 多 的 花 是 什 麼 花? 老 師 上 次 有 介 紹 過 一 種 花, 那 種 花 的 顏 色 很 漂 亮, 我 說 有 時 間 可 以 去 東 門 城 看 一 下, 那 種 花 是 什 麼 花?.. 木 棉 花 開 了 好 多, 它 的 樹 枝 呢, 一 枝 開 了 六 朵 花 ( 畫 木 棉 花 ), 它 的 花 是 這 樣 紅 色 的, 有 沒 有, 一 枝 開 了 六 朵, 我 現 在 要 問 你 喔! 這 顆 木 棉 花 有 六 枝 樹 枝, 請 問 這 顆 木 棉 花 開 了 幾 朵 花? 來 拿 小 白 板 ( 教 室 觀 察, 玲 玲,890320) 在 這 兩 個 例 子 中, 看 到 玲 玲 老 師 在 教 學 時 的 變 通 性, 在 這 個 成 長 團 體 下 的 教 師, 在 不 知 不 覺 中, 已 經 能 隨 著 不 同 的 狀 況, 來 改 變 自 己 的 教 學 這 個 題 目 在 佈 題 的 過 程 中 就 在 幫 助 孩 子 建 立 木 棉 花 的 特 性, 是 結 合 自 然 科 的 教 學 和 鄉 土 的 教 學 從 教 學 佈 題 的 素 材 來 看, 教 師 仍 然 偏 重 於 文 字 題 的 形 式, 但 是 會 隨 著 單 元 的 需 求, 而 使 用 不 同 的 佈 題 素 材 教 師 的 教 學 佈 題 比 較 會 考 慮 到 配 合 節 令 ( 聖 誕 老 公 公 ) 流 行 的 玩 偶 或 卡 通 ( 皮 卡 丘 小 熊 維 尼 ) 或 民 俗 的 文 化 活 動 ( 冬 至 吃 湯 圓 ) 以 達 到 佈 題 的 生 活 化 趣 味 化 活 潑 化 而 在 佈 題 的 過 程 中, 教 師 也 比 較 著 重 在 幫 助 孩 子 對 題 意 瞭 解, 因 此 屢 次 確 認 題 意 是 教 師 教 學 佈 題 的 特 色 之 一 19

( 三 ) 教 學 佈 題 的 結 構 數 學 成 長 團 體 成 立 第 二 年 的 初 期, 新 加 入 團 體 的 教 師 可 能 在 佈 題 時 只 考 慮 到 符 合 學 生 的 生 活 經 驗, 但 卻 缺 乏 對 數 學 題 目 本 身 特 質 的 瞭 解, 教 師 並 沒 有 察 覺 到 它 也 是 造 成 學 生 學 習 的 困 難 的 因 素 之 一 對 於 已 在 數 學 成 團 體 一 年 的 教 師 已 能 掌 握 加 減 法 語 意 結 構 的 各 種 類 型 問 題, 但 仍 然 缺 乏 乘 法 結 構 的 認 知 例 如 : 在 10 月 18 日 我 們 觀 察 玉 玉 老 師 進 行 三 年 級 的 解 決 二 位 數 乘 以 一 位 數 的 乘 法 教 學 時, 她 佈 了 一 道 題 : 真 好 喝 果 汁 吧 有 12 種 口 味 的 果 汁, 杯 子 分 大 中 小 三 種 杯 子, 請 設 計 一 個 菜 單, 並 且, 想 想 看 客 人 有 幾 種 選 擇? 全 班 學 生 中 只 有 一 位 學 生 能 設 計 出 36 種 菜 單 除 了 學 生 無 法 明 確 的 想 出 1 2 種 果 汁 名 稱 是 原 因 之 一 外, 不 同 顏 色 的 果 汁 搭 配 不 同 大 小 的 杯 子, 共 有 幾 種 的 配 對 問 題 是 在 乘 法 的 問 題 中 最 困 難 的 類 型 (Vergnaud,1983;Greer,1992; 林 碧 珍 ; 1991) 依 據 Vergnaud 從 度 量 空 間 之 向 度 (dimensions) 的 解 釋, 配 對 問 題 的 數 學 結 構 是 由 兩 個 度 量 空 間 的 叉 積 (cross product) 而 產 生 的 第 三 個 度 量 空 間, 它 同 時 涉 及 到 三 個 度 量 空 間 在 此 果 汁 問 題 中 涉 及 到 已 知 的 兩 個 度 量 是 果 汁 的 口 味 及 杯 子 的 大 小, 這 二 個 度 量 配 對 後 產 生 的 第 三 個 度 量 是 杯 子 裝 著 果 汁 孩 子 們 要 能 解 決 此 問 題 必 須 能 看 到 大 杯 可 以 裝 有 12 種 果 汁, 中 杯 也 裝 有 果 汁 12 種 的 可 能, 小 杯 可 以 裝 有 12 種 果 汁 ; 也 就 是 將 原 來 的 配 對 問 題 有 12 種 口 味 的 果 汁, 大 中 小 不 同 的 杯 子, 設 計 成 菜 單, 客 人 有 幾 種 選 擇? 轉 換 成 問 題 有 大 中 小 的 杯 子, 每 一 種 杯 子 可 以 裝 有 12 種 不 同 的 果 汁, 共 可 裝 成 幾 杯 不 同 口 味 的 果 汁? 配 對 的 問 題 雖 然 符 合 學 生 的 生 活 經 驗, 但 它 涉 及 的 數 學 結 構 較 為 複 雜, 題 目 本 質 上 是 屬 於 較 為 困 難 的 類 型, 對 於 初 步 進 入 乘 法 意 義 學 習 的 三 年 級 學 生 而 言, 會 有 困 難 解 決 這 道 配 對 問 題 是 很 自 然 的 現 象 配 對 問 題 不 適 合 出 現 在 三 年 級 的 乘 法 問 題, 比 較 適 合 的 類 型 是 多 重 群 的 問 題 ( 例 如 : 一 盒 彩 色 筆 有 12 枝,3 盒 共 有 多 少 枝 彩 色 筆? ), 或 陣 列 問 題 (array), 例 如 : 共 20

有 多 少 人? 因 為 這 次 的 討 論 會, 拓 展 教 師 在 教 學 佈 題 的 另 一 個 考 慮 哪 一 種 佈 題 比 較 能 達 到 教 學 目 標 又 又 老 師 在 她 的 數 學 日 誌 上 就 反 映 出 數 學 結 構 的 討 論 有 助 於 她 對 教 學 佈 題 的 掌 握 看 到 玉 玉 老 師 的 教 案, 實 在 令 人 詫 異, 這 題 目 對 三 年 級 學 生 而 言 實 在 是 太 難 了, 我 不 清 楚 孩 子 到 底 是 否 能 真 正 理 解 乘 法 的 意 義 就 連 我 對 這 題 目 都 搞 不 清 楚, 所 以 我 就 認 定 它 是 與 配 對 問 題 有 關 但 是 我 這 樣 的 觀 察 仍 侷 限 在 表 象, 不 夠 深 入 的 直 覺 判 斷 一 直 到 在 討 論 會 上 教 授 呈 現 出 她 以 前 的 乘 法 結 構 問 題 研 究 的 報 告 結 果, 才 讓 我 們 瞭 解 到 : 配 對 問 題 是 在 乘 法 的 結 構 類 型 中 最 難 的 我 的 直 觀 判 斷 才 因 此 得 到 理 論 的 支 持 另 外, 教 授 也 說 明 了 : 一 個 盤 子 有 3 個 蘋 果,6 盤 有 幾 個 蘋 果? 孩 子 可 以 利 用 舊 有 的 經 驗 來 達 成, 但 是 組 合 的 問 題, 是 孩 子 的 數 學 學 習 經 驗 尚 未 建 立 的, 所 以 孩 子 遇 到 這 樣 的 例 子, 不 知 該 如 何 去 解? 這 是 教 授 的 見 解, 也 使 我 們 在 教 學 上 可 以 更 加 細 膩 的 來 處 理 這 樣 的 教 材 玉 玉 老 師 在 反 省 自 我 教 學 時, 提 到 : 以 前 教 乘 法 是 3+3+3+3+3+3=3 6, 讓 孩 子 去 加 加 看, 並 對 照 九 九 乘 法 表 查 查 看, 但 是 這 樣 乘 法 的 教 學 只 是 答 案 相 同, 並 不 表 示 對 乘 法 意 義 及 概 念 的 掌 握, 那 麼 3+3+3+3+3+3 是 否 等 於 9 2 呢? 我 想, 孩 子 會 以 為 答 案 相 同, 就 是 乘 法 的 意 義, 那 乘 法 概 念 的 建 立 是 會 發 生 困 難 的 3 6 是 代 表 3 有 6 個, 有 6 個 3 的 意 思, 是 3 的 6 倍, 而 非 答 案 的 相 同 就 是 乘 法 另 外 單 位 量 是 一 位 數 和 二 位 數, 不 是 在 區 分 乘 法 意 義 的 不 同, 而 在 解 法 上 及 認 知 層 次 上 的 不 同.( 又 又, 數 學 日 誌,881011) 有 關 數 學 的 內 涵 也 是 在 面 對 面 的 訪 談 中, 教 師 們 最 缺 乏 也 是 最 想 要 獲 得 的 東 西 在 玲 玲 老 師 12 月 6 日 單 元 是 幾 個 幾 的 教 室 觀 察 中 佈 了 一 題 : 7 人 打 鼓 要 14 支 鼓 棒,8 個 人 打 鼓 要 幾 隻 鼓 棒?9 個 人?10 個 人? ( 教 室 觀 察, 881206) 幾 個 幾 的 單 元, 強 調 的 是 單 位 量 的 轉 換, 雖 然 在 概 念 的 建 立 上 是 透 過 單 位 量 的 轉 換, 然 而 要 解 決 7 個 2 是 多 少 時, 仍 然 需 要 孩 子 舊 有 的 加 法 經 驗, 因 此 產 生 了 單 位 量 轉 換 的 討 論, 只 是 多 數 學 生 經 常 不 知 道 2 7 和 2 8 之 間 的 關 係, 這 是 老 師 佈 題 時 要 把 握 住 重 點, 強 調 彼 此 間 的 關 係 : 老 師 在 使 用 它 的 時 候, 往 往 就 抓 不 到 他 的 重 點, 他 這 裡 累 加 的 量 是 2 的 連 續 加, 如 果 是 7 個 人 再 加 一 個 人, 可 以 看 到 這 之 間 的 關 係 性 ( 討 論 會 記 錄,881206) 在 乘 法 這 個 單 元 中, 最 困 擾 教 師 們 的 應 該 是 孩 子 都 背 過 九 九 乘 法 表 了, 所 以 要 引 出 孩 子 去 了 解 每 一 個 單 位 數 和 單 位 量 的 意 思, 變 得 十 分 的 不 容 易, 而 其 他 教 師 也 認 為 因 為 玲 玲 老 師 突 破 到 10, 可 以 破 除 學 生 背 九 九 乘 法 表 透 過 這 樣 的 教 學 討 論 後, 教 師 們 把 握 住 這 一 個 要 點 在 教 室 中 實 踐 21

T: 我 現 在 要 問 的 是 8 10,20 號? S:80 T: 你 怎 麼 知 道 是 80? S: 因 為 72+8 T: 這 題 為 什 麼 要 用 72+8? 為 什 麼 不 用 64+8? S: 因 為 8 9 是 72, 再 加 一 個 8 就 是 80 T: 老 師 的 題 目 出 的 是 8 10, 可 是 乘 法 表 最 多 到 哪 裡? S:9 T:8 9 多 少? S:72 T: 所 以 穎 穎 說 因 為? S: 因 為 老 師 出 的 是 8 10, 所 以 要 把 9 拿 下 來, 再 加 一 個 8 T: 九 九 乘 法 表 有 沒 有 8 10? S: 沒 有 T: 所 以, 可 是 九 九 乘 法 表 到 哪 邊? S:8 9 T: 那 8 10 比 8 9 多 多 少? S: 一 個 8 T: 所 以 我 們 要 用 72 加 一 個 8 你 們 厲 不 厲 害? S: 厲 害 T: 所 以 我 要 出 更 難 的 4 11 是 多 少? 彤 彤? ( 教 室 觀 察, 玲 玲,890324) 因 為 教 師 可 以 出 超 過 乘 法 表 的 問 題, 就 可 以 讓 學 生 去 挑 戰 背 乘 法 表 的 方 法, 因 為 它 找 不 到 4 10 等 於 多 少? 從 這 個 例 子 顯 示 玲 玲 老 師 的 教 學 逐 漸 重 視 學 生 對 數 學 概 念 的 掌 握 而 非 在 記 憶 數 學 的 事 實 (facts) 肆 結 論 本 研 究 發 現 : 數 學 日 記 的 使 用 能 培 養 教 師 形 成 問 題 的 能 力, 而 且 是 提 供 給 學 生 擬 題 活 動 的 適 當 場 所, 是 培 養 學 生 形 成 問 題 能 力 的 最 佳 管 道 之 一 ; 是 教 師 教 學 佈 題 的 取 材 來 源 之 一 一 教 師 在 數 學 日 記 上 命 題 的 改 變 從 教 師 在 數 學 日 記 上 設 計 的 題 目 的 改 變, 可 以 看 到 教 師 在 擬 題 的 知 識 及 能 力 的 提 昇 在 初 期 階 段, 成 長 團 體 的 教 師 難 以 在 數 學 日 記 上 設 計 與 教 學 活 動 相 配 合 的 題 目, 他 們 不 知 道 出 哪 些 題 目 才 能 看 出 學 生 細 膩 的 思 考 過 程 教 師 在 數 學 日 記 22

上 需 要 給 學 生 擬 題 的 最 常 出 現 的 典 型 素 材 是 : 給 算 式 讓 孩 子 出 一 個 數 學 題 目 透 過 數 學 日 記 的 分 享, 提 昇 了 教 師 在 數 學 日 記 上 命 題 的 品 質, 在 題 型 上 與 形 式 上 逐 漸 趨 於 創 意 性 及 多 元 化, 逐 漸 瞭 解 如 何 設 計 與 教 學 活 動 內 容 相 配 合 的 題 目 ; 教 師 們 也 瞭 解 到 命 題 是 決 定 於 這 份 數 學 日 記 的 目 的 教 師 在 數 學 日 記 上 的 命 題, 確 實 能 讓 教 學 與 評 量 整 合 在 一 起 在 數 學 日 記 上 的 題 目 設 計 以 教 學 活 動 內 容 為 考 量, 是 以 澄 清 孩 子 的 數 學 概 念 或 作 為 教 學 活 動 的 延 伸, 就 是 將 教 學 融 合 於 評 量 中 ; 相 反 的, 從 學 生 在 數 學 日 記 上 的 解 題 表 現, 大 多 數 孩 子 的 困 難 是 因 為 活 動 內 容 太 難, 或 是 孩 子 的 認 知 發 展 尚 未 成 熟, 還 是 自 己 的 教 學 佈 題 不 夠 清 楚, 數 學 日 記 是 依 據 一 節 課 或 兩 節 課 的 教 學 內 容 而 設 計 的, 當 發 現 孩 子 有 困 難 時, 可 以 幫 助 教 師 作 隨 時 作 調 整 或 作 立 即 的 補 救 教 學, 這 就 是 將 評 量 整 合 於 教 學 中 有 關 在 數 學 日 記 上 需 要 給 需 生 擬 題 的 題 目, 本 研 究 歸 納 為 : 算 式 類 文 字 類 圖 表 類 數 學 概 念 類 解 題 過 程 類 解 題 再 出 題 類 故 事 類 這 些 類 別 與 梁 淑 坤 (1998) 提 出 的 擬 題 類 型 : 算 式 文 字 圖 表 解 法 答 案 題 目 六 大 類 相 較 之 下, 多 出 了 故 事 類 ; 而 且, 本 研 究 的 解 題 過 程 類 異 於 梁 淑 坤 的 答 案 類 在 於 前 者 強 調 依 據 在 課 堂 上 學 生 的 不 同 解 題 過 程 來 出 數 學 題 目, 而 非 如 後 者 在 於 僅 依 據 提 供 的 解 答 來 出 一 個 題 目 二 教 師 的 教 學 佈 題 在 數 學 成 長 團 體 的 教 師, 由 於 需 要 在 數 學 日 記 的 命 題 上 力 求 題 目 的 變 化, 創 意 化 生 活 情 境 化, 研 究 發 現 : 教 師 在 教 學 佈 題 最 容 易 做 的 改 變 是 數 字 的 大 小 情 境 和 題 目 中 涉 及 的 人 物 特 別 是 數 學 題 目 中 涉 及 的 人 物, 由 於 在 數 學 日 記 上 的 題 目 是 來 自 於 學 生 在 課 堂 中 的 活 動, 因 此 題 目 中 涉 及 的 人 物 自 然 是 班 上 的 學 生, 教 師 們 從 使 用 學 生 的 數 學 日 記 察 覺 到 : 數 學 題 目 上 涉 及 的 人 物 是 自 己 班 上 的 人 名, 有 助 於 學 生 的 解 題 動 機 教 師 這 樣 的 想 法, 也 影 響 了 他 們 在 教 學 中 的 佈 題, 在 教 學 佈 題 時, 經 常 以 班 上 的 學 生 作 為 題 目 的 主 角, 以 引 起 學 生 上 課 的 注 意 力 教 師 在 數 學 日 記 上 形 成 問 題 的 能 力, 在 廣 度 及 深 度 的 考 量 上 也 影 響 教 師 在 教 23

室 中 的 教 學 佈 題 上 從 佈 題 的 生 活 化 上, 為 使 情 境 生 活 化, 教 師 最 常 做 而 且 最 容 易 做 的 改 變 是 配 合 節 令 ( 例 如 : 冬 至 搓 湯 圓 ) 孩 子 流 行 的 電 視 卡 通 或 時 尚 流 行 的 玩 偶 從 佈 題 為 協 助 孩 子 溝 通 題 意 上, 教 師 打 破 以 往 只 以 口 述 佈 題 方 式, 而 會 使 用 其 他 的 表 徵 方 式 ( 如 生 活 物 品 ), 協 助 溝 通 題 意 從 問 題 的 語 意 結 構 上, 教 師 從 數 學 成 長 團 體 學 到 的 是, 數 學 題 目 本 身 的 數 學 結 構 也 是 造 成 學 生 無 法 解 題 的 重 要 因 素 之 一, 教 師 們 也 瞭 解 到 即 使 是 相 同 的 題 目, 只 要 改 變 它 的 一 部 分, 便 可 能 更 接 近 或 更 偏 離 教 學 目 標 在 佈 題 的 取 材 上, 教 師 在 教 學 時 嘗 試 了 更 多 元 的 取 材 方 法 除 了 來 自 課 本, 教 師 自 行 設 計 題 目 的 比 例 增 加 了, 更 而, 設 計 更 符 合 教 學 目 標 的 題 目, 多 數 教 師 也 經 常 使 用 學 生 出 在 數 學 日 記 上 的 題 目 作 為 教 學 的 佈 題 以 學 生 形 成 問 題 作 為 教 師 教 學 的 佈 題, 可 以 提 昇 學 生 學 習 的 動 機 與 學 生 解 題 的 參 與 率, 是 本 研 究 的 另 一 個 發 現 所 以, 為 提 昇 數 學 教 室 內 學 生 的 數 學 學 習 動 機, 利 用 學 生 擬 題 進 行 教 學 的 佈 題 是 一 個 有 效 的 途 徑 基 於 此, 本 研 究 的 建 議 是 鼓 勵 教 師 提 供 機 會 讓 學 生 進 行 擬 題 活 動 ; 然 而, 在 實 際 的 教 學 情 境, 教 學 時 間 的 不 足, 教 師 刻 意 在 課 堂 上 進 行 學 生 的 擬 題 活 動 的 接 受 度 極 低 ; 然 而 透 過 數 學 日 記 的 使 用, 不 需 有 此 擔 憂, 而 且 可 以 豐 富 教 師 佈 題 取 材 的 來 源, 所 以 讓 學 生 在 數 學 日 記 上 進 行 擬 題 活 動, 是 一 個 相 當 值 得 推 行 的 方 式 另 外, 依 據 楊 惠 如 以 行 動 研 究 的 方 式 將 擬 題 活 動 融 入 數 學 教 學 中, 研 究 指 出 讓 學 生 回 家 擬 題 是 她 採 用 給 學 生 擬 題 的 方 式, 但 是 研 究 指 出 必 須 要 等 到 一 個 教 師 實 踐 擬 題 活 動 進 行 到 第 三 個 階 段 才 開 始 採 用 這 種 方 式 ( 楊 惠 如,2000); 然 而, 本 研 究 在 使 用 數 學 日 記 之 初 期 即 可 以 給 學 生 進 行 擬 題 三 影 響 教 師 在 數 學 日 記 上 的 命 題 與 教 學 佈 題 的 因 素 有 關 影 響 教 師 在 數 學 日 記 上 的 命 題 與 教 學 佈 題 的 因 素, 本 研 究 發 現 有 內 在 和 外 在 因 素, 內 在 因 素 包 括 : 教 師 對 教 材 掌 握 的 能 力 對 於 教 材 的 數 學 結 構 的 瞭 解 程 度 及 教 師 個 人 的 特 質 與 自 我 改 變 的 意 願 ; 而 外 在 的 因 素 包 括 : 教 師 習 慣 依 賴 24

課 本 及 教 學 指 引 時 間 和 進 度 的 壓 力, 而 使 得 教 師 在 多 數 情 況 不 願 自 行 設 計 發 展 教 學 中 佈 題 ; 另 外 一 個 重 要 的 外 在 因 素 是, 教 師 背 後 的 推 進 力 量, 雖 然 教 師 經 常 習 於 縣 重 而 疏 於 或 懶 於 改 變, 由 於 本 研 究 中 的 教 師, 因 為 有 協 同 數 學 成 長 團 體 在 背 後 推 動 的 力 量, 無 論 個 人 的 起 點 為 何, 均 會 改 變 個 人 原 先 的 擬 題 與 教 學 佈 題 的 觀 點, 所 以 是 促 進 教 師 提 昇 在 數 學 日 記 上 的 命 題 及 教 學 佈 題 的 一 個 重 要 關 鍵 感 謝 國 科 會 給 予 專 題 研 究 計 畫 編 號 NSC89-2511-S134-001 在 經 費 上 的 支 持, 本 文 是 此 專 題 計 畫 的 部 份 成 果 在 此 特 別 感 謝 與 本 研 究 協 同 組 成 數 學 成 長 團 體 的 頂 埔 國 小 的 黃 校 長 張 教 務 主 任 和 十 一 位 教 師 的 熱 心 參 與 和 協 助 25

參 考 文 獻 李 嘉 珍 (2000): 協 同 數 學 成 長 團 體 下 之 教 師 佈 題 - 以 三 位 二 年 級 教 師 為 例 未 出 版 碩 士 論 文, 國 立 新 竹 師 範 學 院 國 民 教 育 研 究 所 林 文 生 (1996): 一 位 國 小 數 學 教 師 佈 題 情 境 及 其 對 學 生 解 題 交 互 影 響 之 分 析 研 究 未 出 版 碩 士 論 文, 國 立 台 北 師 範 學 院 國 民 教 育 研 究 所 林 碧 珍 (1991) 國 小 兒 童 對 乘 除 法 應 用 問 題 之 認 知 結 構, 新 竹 師 院 學 報, 第 五, P.221-288 國 立 新 竹 師 範 學 院 林 碧 珍 (2000, 送 審 中 ): 協 助 教 師 實 踐 學 生 數 學 學 習 歷 程 檔 案 評 量 之 研 究 - 數 學 日 記 是 瞭 解 學 生 數 學 學 習 歷 程 的 一 種 資 料 形 式 林 碧 珍 蔡 文 煥 (1999): 以 學 校 為 中 心 的 小 學 教 師 數 學 專 業 發 展 模 式, 論 文 發 表 於 1999 數 學 教 師 教 育 國 際 學 術 研 討 會 國 立 台 彎 師 範 大 學 數 學 系 林 碧 珍 施 又 齡 陳 姿 靜 (2000, 送 審 中 ): 透 明 化 教 師 實 踐 學 生 數 學 歷 程 檔 案 評 量 的 行 動 策 略 林 德 宗 (1999), 擬 題 活 動 在 國 小 五 年 級 數 學 教 室 裡 的 應 用 國 科 會 八 十 八 年 度 大 專 生 參 與 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 計 畫 NSC88-2815-C-023-001-S 吳 毓 瑩 (1998): 我 看 我 畫 我 說 我 演 我 想 我 是 誰?- 卷 宗 評 量 之 概 念 理 論 與 應 用 教 育 資 料 與 研 究,20,13-17 許 育 彰 (2000): 探 討 高 中 生 從 不 同 力 學 情 境 中 發 現 問 題 的 研 究 明 倫 學 報, 第 四 期, 台 北 市 立 明 倫 高 級 中 學 教 育 部 (1993): 國 民 小 學 課 程 標 準 台 北 市 : 台 捷 教 育 部 (2000): 教 育 部 九 年 一 貫 課 程 綱 要 草 案 - 數 學 學 習 領 域 教 育 部 : 數 學 科 研 究 小 組 梁 淑 坤 (1994): 擬 題 的 研 究 及 其 在 課 程 的 角 色 周 筱 亭 主 編 : 國 民 小 學 數 學 科 新 課 程 概 說 - 低 年 級 (pp.152-167) 台 灣 省 國 民 學 校 教 師 研 習 會 26

梁 淑 坤 (1996a): 師 範 學 生 擬 題 行 為 之 研 究 國 科 會 八 十 五 年 度 科 學 教 育 專 題 研 究 計 畫 成 果 討 論 會 論 文 摘 要, 計 畫 編 號 NSC83-0111-S-023-007A 梁 淑 坤 (1996b): 擬 題 能 力 之 評 量 : 工 具 之 製 作 國 科 會 八 十 五 年 度 科 學 教 育 專 題 研 究 計 畫 成 果 討 論 會 論 文 摘 要, 計 畫 編 號 NSC84-2511-S-023-006 梁 淑 坤 (1997): 擬 題 與 數 學 課 程 之 融 合 (2/2) 國 科 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 討 論 會, 計 畫 編 號 NSC87-2511-S-023-002 梁 淑 坤 (1998): 擬 題 與 數 學 課 程 之 融 合 國 科 會 八 十 六 年 度 科 學 教 育 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告, 計 畫 編 號 NSC85-2511-S-023-003 國 科 會 (1996): 八 十 五 年 度 數 學 教 育 - 學 門 資 源 整 合 規 劃 修 訂 研 究 報 告 國 科 會 科 學 教 育 發 展 處 學 門 規 劃 楊 惠 如 (2000): 擬 題 活 動 融 入 國 小 三 年 級 數 學 科 教 學 之 行 動 研 究 未 出 版 碩 士 論 文, 國 立 嘉 義 大 學 國 民 教 育 研 究 所 劉 芳 妃 (1998): 合 作 擬 題 活 動 融 入 國 一 數 學 科 教 學 之 個 案 研 究 未 出 版 碩 士 論 文, 國 立 高 雄 師 範 大 學 數 學 系 碩 士 班 Brown, S. I. & Walter, M. I. (1993). Problem Posing: Reflections and applications. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Crowley, M. L. (1996). Student mathematics portfolio: More than a display case. In D. V. Lambdin, P. E. Kehle, & R. V. Preston (Eds.), Emphasis on Assessment- Readings from NCTM S School-Based Journals(pp.102-105). Reston, VA: NCTM. English, L. D. (1997a). Promoting a problem-posing classroom. Teaching Children Mathematics, 4(3), 172-179. English, L. D. (1997b). Problem posing in the elementary mathematics curriculum. 八 十 六 學 年 度 國 小 課 程 研 究 學 術 研 討 會, 台 灣 省 國 民 學 校 教 師 研 習 會 English, L. D. (1998a). Children s problem posing within formal and informal contacts. Journal for Research in Mathematics Education, 29 (1), 83-106. English, L. D. (1998b). Children s perspectives on the engagement potential of mathematical problem tasks. School Science and Mathematics, 98 (2). Gonzales, N. (1994). Problem posing : A neglected component in mathematics courses for prospective elementary and middle school teachers. School Science and mathematics, 94(2), 78-84. 27

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TEACHERS CHANGES ONPROBLEM POSING UNDER THE USE OF STUDENTS MATHEMATICAL JOURNALS Pi-Jen Lin Wen-Huan Tsai Chia-Jen Lee Cheng-I Ko National Hsin-Chu Teachers College ABSTACT This paper described the changes of problem posing of those who participated in a school-centered collaborative mathematics team implementing mathematical portfolio assessment into classroom practices. The main goal of the collaborative team was to construct teachers knowledge and skil of assessment. The ability to formulate problems is a dimension of assessment.the documentation of teachers knowledge change on problem posing was based on the methods of data collecting, such as regular weekly meetings, teachers interviews, and clasrom observations. It is found that the contents and types of problems created by teachers had a tendency to creativity and multiplicity. The tasks for students to create a problem in students mathematical journals designed by teachers included mathematical expressions, verbal representations, table and graphs, mathematical concept representation, and strategies of solution representation. Teachers were readily to focus on contextual factor when they were asked to pose problems in classroom. Teachers learned to consider the factor of mathematics structure. Students problems posed on mathematical journals is a source of problems for teachers posing in clasroom. 29

Key words: portfolios assessment, problem posing, mathematical journals 30