台北區高中 0 年 (06 學年度 高三上學科能力模擬考試題 俞克斌老師編寫 一 單選單選題 ( 佔 5 分. 下列那個選項的 值, 會使得不等式 6 > 0成立? ( 0. 6 ( 0. ( 0. ( 0. 9 (5 0 北區學測模 答 : ( 5 < < 或 > 5 解 : > 0 ( ( ( 5 > 0. 有三個袋子, 甲袋中有 個白球, 個紅球 ; 乙袋中有 個白球, 個紅球 ; 丙袋中有 個紅球 今隨機從三袋中選取一袋後, 再從此袋中連續取球 次, 每次取出 球記錄顏色後放回 若取出的 球都是紅球, 則再從此袋中取出 球為白球的機率為何? ( 0 ( 答 : ( 解 : ( ( (5 0. 若 k 為正實數, 則 ( k 的值會等於下列那個選項? 0 北區學測模 ( k ( k ( k i ( k (5 k 0 北區學測模 答 : (5 解 : ( k i i k. 平面上五邊形 PQC 如右圖, 點 D E F 分別在 D C DE 上, 且滿足 E DF D CE EF 令 PQ PQ PQC 的面積分別為 a b c, 若 PQF 的面積為 a by cz 9, 6,, 請選出正確的 ( y, z ( (,, ( ( ( (,, ( (, 5, (5 (,,, 選項 0 北區學測模 C E P F D Q
答 : ( 解 : OF OD OE O O O O OC 9 9 9 y 5. 平面上有一雙曲線 Γ :, 其中 a > 0, b > 0, a b a b 已知 Γ 圖形通過點 (, P, 則貫軸長為何? ( ( ( ( (5 0 北區學測模 O OC 答 : ( b a a b 解 : a b a b ± 二 多選題 ( 佔 5 分 6. 若整數 n 滿足指數方程式 ( n ( 0 n 06 n, 則下列哪些選項為 n 可能的值 ( ( ( 0 ( 6 (5 9 0 北區學測模 答 : ((( 解 : 當 n, 0, 06 n 0 n 6 當 n n 0, 原式成立 當 n 0 n, 原式成立 當 n n, 原式不成立. 已知 f ( 為二次函數, 且函數 ( f ( f ( ( 請選出正確的選項 ( f ( 的 項係數為 ( 對所有實數, g ( g ( ( f ( f ( 5 ( 直線 0 為 y f ( 的對稱軸 (5 拋物線 f ( 答 : ((( 解 : f ( a g, y 的最小值為 9 0 北區學測模 f ( f ( a ( b a ( 0 a b c b c f, 對稱軸 最小值為 9 故 ( ( 9. 平面上有一梯形 CD, 其中 // CD, CD 點 P 為平面上滿足 P P PC PD 0 的一點, 請選出正確的選項 ( 對平面上任意點 Q, QP Q Q QC QD 恆成立
( 點 P 在 D, C 的中點連接線段上 ( 點 P 在 D, CD 的重心連接線段中點 ( 任意通過點 P 的直線必定平分梯形面積 (5 四個三角形 P, CP, CDP, DP 面積皆相等 0 北區學測模 答 : (( 解 :( P P PC PD 0 ( Q QP ( Q QP ( QC QP ( QD QP QP Q Q QC QD ( QP Q QD Q QC QP QM QM, M M 為 D, C 的中點 ( D, CD 的重心分別為 G G QG QG Q Q QD Q QC QD QG QG Q Q QC QD 6 6 6 6 QP Q Q QC QD ((5 承 (, 既然點 P 在 D, C 中點連接線段上, 0 ( ( 便不能平分梯形面積, 上下三角形面積也不能相等 ( 同高不等底 9. 甲乙兩人練習 5 k 慢跑, 甲於 場地練習 0 次 場地練習 次 ; 乙於 場地練習 次 場地練習 0 次 若甲在兩場地的平均練習時間皆分別少於乙兩場地的平均練習時間, 則下列哪些選項是正確的?( 假設 個平均時間皆相異 ( 甲所有練習時間的平均一定比乙所有練習時間的平均還少 ( 甲所有練習時間的平均為甲兩場地平均值和的一半 ( 甲所有練習時間的平均介於甲兩場地的平均值之間 ( 甲的最快練習時間必少於乙的最快練習時間 (5 甲所有練習時間的標準差一定比乙所有練習時間的標準差還少 0 北區學測模 答 : ( 解 : ((((5 的反例 : 9 6.5 0.5 θ φ 0. 已知廣義角 θ,φ 為同界角, 且為第一象限角, 為第四象限角,
則 θ 可能為下列哪些選項? ( 第一象限角 ( 第二象限角 ( 第三象限角 ( 第四象限角 (5 ( 0 答 : (((5 n ( n 為整數 0 北區學測模 解 : 若 θ,φ 為第一象限角 則, 僅能在第一 二 三象限, 矛盾 若 θ,φ 為第四象限角 則, 僅能在第二 三 四象限, 矛盾 解 : 若 θ,φ 為第二象限角 則, 可能在第一 二 四象限, 成立 若 θ,φ 為第三象限角 則, 可能在第一 三 四象限, 成立 若 θ,φ 為 ( n 0 則, 可能在第一 四象限或 軸負向, 成立. 下列哪些選項與方程式 y z 0 的 正整數解的個數 相等? ( a b c 0 且 a > b > c 正整數解的個數 ( a b c 0 正整數解個數的一半 ( 滿足 < y < 0 的正整數格子點 (, y y 的正整數格子點 (, y ( 滿足 < z < 0 (5 ( 0, 0, 0 個數 個數 0 0 0,, 0 C 0, 0,, 在 C 內部 ( 不含邊界 的格子點個數 0 北區學測模 答 : (((5 解 :( 因為 y z 為正整數, 故當 ( a y z > ( b y z > ( c z 時, 成立 ( 0, y, z, ( 06, y, z,( 06, y, z, ( 因為 ( a, b, c ( 05, y, z,( 05, y, z,( 05, y, z... 必多於 y z 0 的 正整數解的個數 ( 當 0 y z 時, 成立 ( 當 z 0 y 時, 因無法確認 0 y 為 的倍數, 故不成立 0 0 0,, 0 C 0, 0, 為軸上的點, (5 過 ( 0, 0, 0 過此三點的平面, 且在 C 內部 ( 不含邊界 的格子點個數, 恰為 y z 0 的 正整數解的個數. 空間中有三個非零向量 a b c, 則下列哪些選項的性質正確?,
( ( a b a c a b a c (5 ( b ( a b 0 b c 0 ( b c ( a b a c a b b a b c a 0 北區學測模 答 : ((5 解 : ( 內積無消去律 ( 外積無消去律 ( 外積無交換律 三 選填題 ( 佔 0 分. 令函數 f ( n 函數值 ( n 答 : 9 n 0 n n 0 9 ( n 為正整數, 已知在 n 夠大時, n n 0 9 f n < 的最小正整數 n 為 0 f 與 會非常接近, 則滿足 ( n 9 0 解 : < > n ( log0 log9 > log log n n 0 9 0 0. 0.5 n > 0.95 9. n. 甲乙丙三個人分別從 ~ 連續正整數中挑選一個號碼, 號碼可以相同, 並要求 甲的號碼大於丙的號碼 且 乙的號碼大於丙的號碼 0 北區學測模 則三個人的選擇有種方法 0 北區學測模 答 : 0 解 : C C! 0 甲 乙 > 丙甲 > 乙 > 丙或乙 > 甲 > 丙 y z C. 空間中平面 E : 5 y z 與直線 L : 的交點座標為 y z 5 答 : (,, 5 y z 解 : y z y y z 5 z D. 設 y 為實數, 方陣 且 y 答 : (, 0 北區學測模, 則數對, y y 0 北區學測模 5
解 : y y (, y y E. 將右圖中的圓 y 5 上的劣弧 CD 沿著弦 CD 往圓心 O 摺回, 摺回的弧與水平弦 相切點 P ( a, 若直線 CD 的斜率為, 則 a ( 化為最簡分數 0 北區學測模 答 : D O P C 解 : : y, 切點 P ( a,, 原圓半徑為 5, 故摺圓圓心 O ( a, 直線 CD 的斜率為, 故直線 O O 的斜率為 F. 右圖中圓內兩弦 CD 互相垂直於 P 點, 且 tan C 0., P, P 6 a 則 PC PD 0 北區學測模 答 : 50 a PC PC 解 : tan C PC 50 PC 96 0 5 PC PC PD PD tan D PD 50 PD 96 0 5 PD PD PC PD PC PD 50 PC PD 0 PC PD 相減 : ( ( ( ( 50 G. 平面上 C, 其中, C 60, 且 C C 皆為整數 則符合條件的三角形有個 ( 注意 : 邊長 ( a, b, c ( 5, 6, 與 (, 5, 答 : 5 a b 6 視為不同的三角形 0 北區學測模 解 : cos 60 a b 9 ab ( a b 9 ab ab 考慮 9 ab 0,,, 9,6, 5, 6, 9 故 ( a, b, c (,, 或 (, 5, 或 ( 5,, 或 (,, 或 (,, H. 平面上一粒子從點 (, 0 開口向下的拋物線 f ( 沿著 y 的軌跡向右移動, 當移動到 座標等於 時, 粒子高度 ( y 座標 大於 且小於 ; 一段時間後, 當 座標等於 時,, 粒子t C y O P D 為完全平方數 (, 0
答 : 粒子高度大於 0 且小於 若粒子繼續移動, 會經過 (, 0 則 t 的可能範圍是 ( 化為最簡分數 < t < 5 解 : y f ( a ( ( t a 0 < ( ( > f a t 0 < f ( a ( t < t < t ( t > < t 且 0 <, 則 < t < t t, < a < 且 0 < a <, t ( t 5 0 北區學測模