BT 学院中级会计职称货币的时间价值 BT 学院丨陪伴奋斗年华 主讲人 : 陈 羿 1
授课老师 : 西南财经大学会计学士, 重庆大学会计硕士 ( 复试第一, 总分第二 ) 已通过中国注册会计师考试 司法考试 税务师考试 初级会计职称 中级会计职称等 前世界 500 强财务会计 财务分析 前投行 投资并购 陈羿 现 BT 主讲老师, 讲授科目包括初级经济法 中级财管 中级经济法 税务师等 2
一 何为货币的时间价值? 目录 二 现值与终值 四 系数之间的相互关系 3
一 何为货币的时间价值? 货币的时间价值, 是指在没有风险和没有通货膨胀的情况下, 货币经历一定时间的投 资和再投资所增加的价值, 也称为资金的时间价值 4
二 现值与终值 利息的计算方法分为单利和复利两种 单利, 是指只计算本金的利息, 不计算利息的利息 复利不仅要对本金计算利息, 而且对前期的利息也要计算利息, 俗称 利滚利 终值又称将来值, 是现在一定量的货币折算到未来某一时点所对应的金额, 通常记作 F 现值, 是指未来某一时点上一定量的货币折算到现在所对应的金额, 通常记作 P 5
二 现值与终值 项目概念公式系数 复利终值 现在的特定资金按复利计算方法, 折算到将来某一时点的价值, 或者说是现在的一定本金在将来一定时间, 按复利计算的本金与利息之和, 简称本利和 F=P (1+i) n P 为现值或者初始值 i 为利率或者报酬率 n 为年数 F 为终值或者本利和 复利终值系数 (F/P,i, n)=(1+i) n 复利现值 指未来一定时间的特定资金按复利计算方法, 折算到现在的价值 或者说是为取得将来一定本利和, 现在所需要的本金 P=F (1+i) -n 复利现值系数 (P/F,i, n)=(1+i) -n 6
二 现值与终值 例题 计算题 某人将 100 万元存入银行, 年利率为 10%, 计算一年 两年后的本利和 一年后的本利和 :F1=100+100*10%=100*(l+10%) 两年后的本利和 :F2=100*(1+10%)*(1+10%)=100*(l+10%) 2 由此递推, 可知经过 n 年的本利和为 :Fn=100*(1+10%) n 根据 复利终值系数表 可知 (F/P,10%,3)=1.331 表明在利率为 10% 的情况下, 现在的 1 元和 3 年后的 1.331 元在经济上是等效的 7
二 现值与终值 例题 计算题 某人将 100 万元存入银行, 年利率 4%, 半年计息一次, 按照复利计算, 求 5 年后的本利和 本例中, 一个计息期为半年, 一年有两个计息期, 所以, 计息期利率 =4%/2=2%, 即 i=2%; 由于 5 年共计有 10 个计息期, 故 n=10 所以: 5 年后的本利和 F=P*(F/P,2%,10)=100*(F/P,2%,10)=121.90( 万元 ) 8
二 现值与终值 例题 计算题 某人拟在 5 年后获得本利和 100 万元, 假设存款年利率为 4%, 按照复利计息, 他现在应存入多少元? P=F*(P/F,4%,5)=100*0.8219=82.19( 万元 ) 9
( 一 ) 年金现值年金是指等额 定期的系列收支 例如, 分期付款赊购 分期偿还贷款 发放养老金 分期支付工程款 每年相同的销售收入等, 都属于年金收付形式 按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金 预付年金 递延年金和永续年金等四种 1. 普通年金现值普通年金又称后付年金, 是指各期期末等额收付的年金 普通年金的收付形式如图所示 横线代表时间的延续, 用数字标出各期的顺序号 ; 竖线的位置表示收付的时刻, 竖线下端数字表示收付的金额 10
普通年金现值, 是指为在每期期末收付相等金额的款项, 现在需要投入或收取的金额 设年金现值为 P, 则如下图所示 11
计算普通年金现值的一般公式 : P=A+A(1+i)-1+A(1+i)-2+ +A(1+i)-n 等式两边同乘 (1+i): P(1+i)=A+A(1+i)-1+ +A(1+i)-(n-1) 后式减前式 :P(1+i)-P=A-A(1+i)-n P i=a[1-(1+i)-n] n 1 (1 i) P=A i P=A (P/A,i,n) 式中的是普通年金为 1 元 利率为 i 经过 n 期的年金终值, 记作年金现值系数 (P/A,i,n) 12
1. 预付年金现值预付年金是指在每期期初收付的年金, 又称即付年金或先付年金 预付年金的支付形式如图 4-4 所示 13
预付年金终值的计算公式为 : P=A+A(1+i)-1+ +A(1+i)-(n-1) 根据等比数列的求和公式可知 : P=A 1 (1 i) i (n 1) =A [(P/A,i,n-1)+1] 1 (n 1) 1 (1 i) 式中 1 i 的是预付年金现值系数, 或称 1 元的预付年金现值, 记作 [(P/A,i,n-1)+1] 它和普通年金现值系数相比, 期数要减 1, 而系数要加 1 或者 :P=A(P/A,i,n) (1+i) 它和普通年金现值系数相比, 多了 (1+i) 14
例题 计算题 甲公司购买 台设备, 付款方式为现在付 10 万元, 以后每隔一年付 10 万元, 共计付款 6 次, 如图 2-4 所示 假设利率为 5%, 如果打算现在一次性付款应该付多少? 由于付款 6 次, 所以,n=6, 因此 : F=10*(P/A,5%,6)*(1+5%)=10*5.0757*1.05=53.29( 万元 ) 即如果打算现在一次性付款应该付 53.29 万元 15
例题 单选 已知 (P/A,8%,5)=3.9927,(P/A,8%,6)=4.6229,(P/A,8%, 7)=5.2064, 则 6 年期 折现率为 8% 的预付年金现值系数是 ( ) (2013) A.2.9927 B.4.2064 C.4.9927 D.6.2064 16
例题 单选 已知 (P/A,8%,5)=3.9927,(P/A,8%,6)=4.6229,(P/A,8%, 7)=5.2064, 则 6 年期 折现率为 8% 的预付年金现值系数是 ( ) (2013) A.2.9927 B.4.2064 C.4.9927 D.6.2064 答案 C 解析 预付年金现值系数, 记作 [(P/A,i,n-1)+1], 它和普通年金现值系数相比, 期数要减 1, 而系数要加 1, 因此 6 年期折现率为 8% 的预付年金现值系数 =[(P/A,8%,6-1) +1]=3.9927+1=4.9927,C 选项正确 知识点 年金终值和年金现值 17
3. 递延年金现值递延年金是指第一次收付发生在第二期或第二期以后的年金 递延年金的收付形式如图 4-5 所示 从该图可以看出, 前三期没有发生收付 一般用 m 表示递延期数,n 表示年金期 本例的 m=3, 第一次收付在第四期期末, 连续收付 4 次, 即 n=4 18
方法一 :P=A (P/A,i,n) (P/F,i,m)( 先求出递延期期末的普通年金现值, 再折算到现在 ) 方法二 :P=A [(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]( 先计算 m+n 期年金现值, 再减去 m 期年金现值 ) 19
例题 多选 某公司向银行借入一笔款项, 年利率为 10%, 分 6 次还清, 从第 5 年至第 10 年每年末偿还本息 5000 元 下列计算该笔借款现值的算式中, 正确的有 () (2015) A.5000 (P/A,10%,6) (P/F,10%,3) B.5000 (P/A,10%,6) (P/F,10%,4) C.5000 [(P/A,10%,9)-(P/A,10%,3)] D.5000 [(P/A,10%,10)-(P/A,10%,4)] 20
答案 BD 解析 递延年金现值的计算: 方法一 :PA=A (P/A,i,n) (P/F,i,m)( 先求出递延期期末的普通年金现值, 再折算到现在 ) 方法二 :PA=A [(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]( 先计算 m+n 期年金现值, 再减去 m 期年金现值 ) 方法三 :PA=A (F/A,i,n) (P/F,i,m+n)( 先求递延年金终值再折现为现值 ) 式中,m 为递延期,n 为连续收支期数 本题递延期为 4 年, 连续收支期数为 6 年,BD 选项正确 知识点 递延年金现值 21
例题 计算题 某递延年金为从第 4 期开始, 每期期末支付 10 万元, 共计支付 6 次, 假设利率为 4%, 相当于现在一次性支付的金额是多少? 本例中, 由于第一次支付发生在第 4 期期末, 即 m+1=4, 所以, 递延期 m=3; 由于连续支付 6 次, 因此,n=6 所以: P=10*(P/A,4%,6)*(P/F,4%,3)=10*5.2421*0.8890=46.60( 万元 ) 即相当于现在一次性支付的金额是 46.60 万元 22
例题 计算题 某递延年金为从第 4 期开始, 每期期初支付 10 万元, 共计支付 6 次, 假设利率为 4%, 相当于现在一次性支付的金额是多少? 本例中, 由于第一次支付发生在第 4 期期初, 第 4 期期初与第 3 期期末是同一时点, 所以 m+l=3, 递延期 m=2 P=10*(P/A,4%,6)*(P/F,4%,2)=10*5.2421*0.9246=48.47( 万元 ) 23
例题 计算题 A 公司 20*7 年 12 月 10 日欲购置一批电脑, 销售方提出三种付款方案, 具体如下 : 方案 1:20*7 年 12 月 10 日付款 10 万元, 从 20*9 年开始, 每年 12 月 10 日付款 28 万元, 连续支付 5 次 ; 方案 2:20*7 年 12 月 10 日付款 5 万元, 从 20*8 年开始, 每年 12 月 10 日付款 25 万元, 连续支付 6 次 ; 方案 3:20*7 年 12 月 10 日付款 10 万元, 从 20*8 年开始,6 月 10 日和 12 月 10 日付款, 每次支付 15 万元, 连续支付 8 次 假设 A 公司的投资收益率为 10%,A 公司应该选择哪个方案? 24
如果把 20*7 年 12 月 10 日作为 0 时点, 方案 1 的付款现值 =10+28*(P/A,10%,5)*(P/F,10%,1) =10+28*3.7908*0.9091 =106.49( 万元 ) 方案 2 的付款现值 =5+25*(P/A,10%,6) =5+25*4.3553 =113.88( 万元 ) 25
方案 3 的付款现值 =10+15*(P/A,5%,8) =10+15*6.4632 =106.95( 万元 ) 由于方案 1 的付款现值最小, 所以应该选择方案 1 26
4. 永续年金现值无限期定额支付的年金, 称为永续年金 现实中的存本取息, 可视为永续年金的一个例子 永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式导出 : A 1 (1 i i) n 当 n 时,(1+i)-n 的极限为零, 故上式可写成 :P=A/i 27
例题 计算题 拟建立一项永久性的奖学金, 每年计划颁发 10000 元奖学金 若利率为 5%, 现在应存入多少钱? P=10000/5%=200000( 元 ) 28
例题 计算题 某年金的收付形式为从第 1 期期初开始, 每期支付 80 元, 一直到永远 假设利率为 5%, 其现值为多少? 本例中第一次支付发生在第 1 期期初, 所以, 不是永续年金 从第 2 期期初开始的永续支付是永续年金 所以现值 =80+80/5%=1680( 元 ), 或者现值 =80/5%*(l+5%)=1680 ( 元 ) 29
( 二 ) 年金终值永续年金没有终止的时间, 也就没有终值 1. 普通年金终值普通年金终值是指其最后一次收付时的本利和, 它是每次收付的复利终值之和 30
设每年的收付金额为 A, 利率为 i, 期数为 n, 则按复利计算的普通年金终值 F 为 : F=A+A(1+i)1+A(1+i)2+ +A(1+i)n-1 等式两边同乘 (1+i): (1+i)F=A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+ +A(1+i)n 上述两式相减 :(1+i)F-F=A(1+i)n-A F=A =A (F/A,i,n) 式中 (1 (1 i) i i) i n 系数 (F/A,i,n) 1 n 1 的是普通年金为 1 元 利率为 i 经过 n 期的年金终值, 记作年金终值 31
例题 计算题 2018 年 1 月 16 日, 某人制定了一个存款计划, 计划从 2019 年 1 月 16 日开始, 每年存入银行 10 万元, 共计存款 5 次, 最后一次存款时间是 2023 年 1 月 16 日 每次的存款期限都是 1 年, 到期时利息和本金自动续存 假设存款年利率为 2%, 打算 2024 年 1 月 16 日取出全部本金和利息 本例中, 每次的存款期限是 1 年, 到期时利息和本金自动续存 意味着是 复利按年计息 所以: 2019 年 1 月 16 日的 10 万元存款在 2024 年 1 月 16 日的本利和 =10*(1+2%) 5 2020 年 1 月 16 日的 10 万元存款在 2024 年 1 月 16 日的本利和 =10*(1+2%) 4 2021 年 1 月 16 日的 10 万元存款在 2024 年 1 月 16 日的本利和 =10*(1+2%) 3 32
2022 年 1 月 16 日的 10 万无存款在 2024 年 1 月 16 日的本利和 =10*(1+2%)2 2023 年 1 月 16 日的 10 万元存款在 2024 年 1 月 16 日的本利和 =10*(1+2%) 在 2024 年 1 月 16 日取出的全部本金和利息 =10*(1+2%)+10*(1+2%)2+10* (1+2%)3+10*(1+2%)4+10*(1+2%)5 对照普通年金终值的公式 : F=A*(F/A,i,n)=A+A(1+i)+A(1+i)2+ +A(1+i)n-1 可知, 本题并不是普通年金终值计算问題 但是可以间接利用普通年金终值计算公式 由于,10*(l+2%)+10*(l+2%)2+10*(l+2%)3+10*(l+2%)4+10*(l+2%)5=[10+10* (1+2%)+10*(1+2%)2+10*(1+2%)3+10*(1+2%)4]*(1+2%) 所以, 在 2024 年 1 月 16 日取出的全部本金和利息 =10*(F/A,2%,5)* (1+2%)=10*5.2040*1.02=53.08( 万元 ) 10*(F/A,2%,5) 表示的是在 2023 年 1 月 16 日的全部本金和利息合计 33
2. 预付年金终值预付年金终值的计算公式为 : F=A(1+i)+A(1+i)2+ +A(1+i)n F=A =A [(F/A,i,n+1)-1] 式中 (1 i) i (1 i) i n 1 n 1 1 1 1 1 的是预付年金终值系数, 或称为 1 元的预付年金终值, 记作 [(F/A,i,n+1)-1] 它和普通年金终值系数相比, 期数加 1, 而系数减 1 或者 :F=A(F/A,i,n) (1+i) 它和普通年金终值系数相比, 多了 (1+i) 34
四 系数之间的相互关系 ( 一 ) 年偿债基金和资本回收额 1. 年偿债基金偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每年末应收付的年金数额 根据普通年金终值计算公式 : F=A (1 可知 :A=F i) i 1 =F (A/F,i,n) i (1 i) n i (1 i) n 式中的是普通年金终值系数的倒数, 称偿债基金系数, 记作 (A/F,i,n) n 1 它可以把普通年金终值折算成每年需要收付的金额 1 35
四 系数之间的相互关系 例题 单选题 下列各项中, 与普通年金终值系数互为倒数的是 () (2017) A. 预付年金现值系数 B. 普通年金现值系数 C. 偿债基金系数 D. 资本回收系数 36
四 系数之间的相互关系 例题 单选题 下列各项中, 与普通年金终值系数互为倒数的是 () (2017) A. 预付年金现值系数 B. 普通年金现值系数 C. 偿债基金系数 D. 资本回收系数 答案 C 解析 普通年金终值系数与偿债基金系数互为倒数, 普通年金现值系数与资本回收系数互为倒数, 所以选项 C 正确 理解记忆方法 : 普通年金终值, 是已知年金 A, 求终值 F, 而年偿债基金, 是已知终值 F, 求年金 A, 因此两者互为倒数 ; 普通年金现值, 是已知年金 A, 求普通年金现值 P, 而资本回收额是已知普通年金现值 P, 求年金 A 37
四 系数之间的相互关系 2. 年资本回收额假设以年利率为 i 借款 P 元, 投资于某个寿命为 n 年的项目, 计算每年至少要收回多少现金才是有利的? 根据普通年金现值的计算公式可知 n P=A 1 (1 i) i i A=P n =P (A/P,i,n) 1 (1 i) i 上式中的是普通年金现值的倒数, 记作资本回收系数 (A/P,i,n) n 1 (1 i) 38
四 系数之间的相互关系 系数名称系数符号说明 复利终值系数 复利现值系数 (F/P,i,n)=(1+i) n (P/F,i,n)=(1+i) -n 互为倒数 普通年金终值系数 偿债基金系数 (F/A,i,n)= (A/F,i,n)= ( 1 n i ) i i ( 1 n i ) 1 1 互为倒数 普通年金现值系数 投资回收系数 (P/A,i,n)= (A/P,i,n)= 1 (1 i) i n i 1 (1 i ) n 互为倒数 39
四 系数之间的相互关系 系数名称系数符号说明 预付年金终值系数 预付年金现值系数 [(F/A,i,n+1)-1]= [(P/A,i,n-1)+1]= 普通年金终值系数期数 加 1, 系数减 1 普通年金现值系数期数 减 1, 系数加 1 递延年金终值 F=A (F/A,i,n) i ) i P=A (P/A,i,n) (P/F,i,m); ( 1 1 n 1 (1 i i 1 ) 1 ( n 1 ) 1 递延年金现值 P=A [(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]; P=A (F/A,i,n) (P/F,i,m+n) n 表示期数,m 表示递延期数 永续年金现值 P=A/i 40
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