第一部份 : 選擇題 ( 占 50 分 ) 壹 單選題 ( 占 20 分 ) 206 年學科能力測驗. 設 f(x) 為二次實係數多項式, 已知 f(x) 在 x=2 時有最小值, 且 f(3)=3 請問 f() 之值為下列哪一個選項? () 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 條件不足, 無法確定 2. 請問 si73 si46 si29 si292 si365 這五個數值的中位數是哪一個? ()si73 (2)si46 (3)si29 (4)si292 (5)si365 3. 座標平面上兩個圖形 Γ Γ2 的方程式分別為 :Γ:(x+) 2 +y 2 = Γ2:(x+y) 2 = 請問 Γ Γ2 共有幾個交點? () 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個 4. 放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T, 該物質的質量會衰退成原來的一半 鉛製容器中有兩種放射性物質 A B, 開始記錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍, 而 20 小時後兩種放射性物質的質量相同 已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時, 請問物質 B 的半衰期為幾小時? () 8 小時 (2) 0 小時 (3) 2 小時 (4) 5 小時 (5) 20 小時 5. 坐標空間中一質點自點 P(,,) 沿著方向 a =(,2,2) 等速直線前進, 經過 5 秒後剛好 到達平面 x y+3z=28 上, 立即轉向沿著方向 b =( 2,2, ) 依同樣的速率等速直線前進 請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x=2 上? () 秒 (2) 2 秒 (3) 3 秒 (4) 4 秒 (5) 永遠不會到達 6. 設 <a> 為一等比數列 已知前十項的和為 a k =80, 前五個奇數項的和為 a+a3+a5+a7+a9=20, 請選出首項 a 的正確範圍 () a<80 (2) 80 a<90 (3) 90 a<00 (4) 00 a<0 (5)0 a 0 k =
貳 多選題 ( 占 30 分 ) 說明 : 第 5 題至第 0 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 5 分 ; 答錯 個選項者, 得 3 分 ; 答錯 2 個選項者, 得 分 ; 答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 7. 下列各方程式中, 請選出有實數的選項 () x + x 5 = (2) x + x 5 =6 (3) x x 5 = (4) x x 5 =6 (5) x x 5 = 8. 下面是甲 乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表, 例如 : 甲商場奇異果價格 35 元 / 一袋 2 顆 表示每一袋有 2 顆奇異果, 價格 35 元 甲商場售價 乙商場售價 依據上述數據, 請選出正確的選項 () 在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋 顆裝的蘋果 (2) 乙商場的奇異果售價, 一袋裝越多顆者, 其每顆單價越低 (3) 若只想買奇異果, 則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果 (4) 如果要買 2 顆奇異果和 4 顆蘋果, 在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 (5) 無論要買多少顆蘋果, 在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額 9. 下列各直線中, 請選出和 z 軸互為歪斜線的選項 : x = 0 y = 0 z = 0 ()L: (2) L2: (3) L3: z = 0 x + z = x + y = x = y = (4) L4: (5) L5: y = z = 0. 設 a,b,c 皆為正整數, 考慮多項式 f(x)=x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+2 請選出正確的選項 ()f(x)=0 無正根
(2)f(x)=0 一定有實根 (3)f(x)=0 一定有虛根 (4)f()+f( ) 的值是偶數 (5) 若 a+c>b+3, 則 f(x)=0 有一根介於 與 0 之間. 一個 4 人的班級某次數學考試, 每個人的成績都未超過 59 分 老師決定以下列方 x + 式調整成績 : 原始成績為 x 分的學生, 新成績調整為 40log0 ( ) + 60( 四捨五入到 0 整數 ) 請選出正確的選項 () 若某人原始成績是 9 分, 則新成績為 60 分 (2) 若某人原始成績超過 20 分, 則其新成績超過 70 分 (3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大 (4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數, 則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數 (5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均, 則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均 ( 四捨五入到整數 ) 2. 在 ΔABC 中, 已知 A=20 AB=5 BC=4 請選出正確的選項 () 可以確定 B 的餘弦值 (2) 可以確定 C 的正弦值 (3) 可以確定 ΔABC 的面積 (4) 可以確定 ΔABC 的內切圓半徑 (5) 可以確定 ΔABC 外接圓半徑 3. 甲 乙 丙 丁四位男生各騎一台機車約 A B C D 四位女生一起出遊, 他們約定讓四位女生依照 A B C D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車 其中除了 B 認得甲的機車鑰匙, 並且絕對不會選取之外, 每個女生選取這些鑰匙的機會都均等 請選出正確的選項 () A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率 第二部份 : 填充題 ( 占 50 分 ) A. 考慮每個元 ( 或稱元素 ) 只能是 0 或 的 2 3 階矩陣, 且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零, 這樣的矩陣共有個
B. 坐標平面上 O 為原點, 設 u =(,2) v =(3,4) 令 Ω 為滿足 OP =x u+y v 的所有 P 點 所形成的區域, 其中 2 x 3 y 2, 則 Ω 的面積為平方單位 ( 化為最簡分數 ) C. 從橢圓 Γ 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線, 交橢圓於四點 已知連此四點得一個邊長為 2 的正方形, 則 Γ 的長軸長為 x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 6 D. 線性方程組 經高斯消去法計算後, 其增廣矩陣可化簡為 x y = 6 x 2y z = 8 0 a b 0 c d, 則 (a,b,c,d)= 0 0 0 0 0 0 0 0 x 3y a E. 設 a 為一實數, 已知在第一象限滿足聯立不等式 的所有點所形成之區域面 x + 2y 4 23 積為 5 平方單位, 則 a= a b F. 投擲一公正骰子三次, 所得點數依序為 a,b,c 在 b 為奇數的條件下, 行列式 >0 b c 的機率為 G. 如右圖所示,ABCD EFGH 為一長方體 若平面 BDG 上一點 P 滿足 AP = 3 AB+2AD+aAE, 則實數 a=
參考公式及可能用到的數值 (2 a+ ( ) d). 首項為 a, 公差為 d 的等差數列前 項之和為 S = 2 首項為 a, 公比為 r ( r ¹ ) 的等比數列前 項之和為 S = a( r ) r 2. 三角函數的和角公式 : si( A + B) = si Acos B+ cos Asi B cos( A + B) = cos Acos B si Asi B ta A + ta B ta( A+ B) = taatab 3. Δ ABC 的正弦定理 : a b c = = = 2R (R 為 Δ ABC 外接圓半徑 ) si A si B si C Δ ABC 的餘弦定理 : 2 2 2 c = a + b 2abcosC 4. 一維數據 : x, x2,..., x, 算術平均數 μ = ( x x2 x) xi + + + = i= 2 2 2 標準差 σ = ( xi ) (( xi ) ) μ = i μ = i= ( xi μ)( yi μy) i= 5. 二維數據 ( Y, ) : ( x, y),( x2, y2),...,( x, y ), 相關係數 ry, = σ σ σ 迴歸直線 ( 最適合直線 ) 方程式 y μ Y Y = r, Y ( x μ) σ Y 6. 參考數值 : 2.44, 3.732, 5 2.236, 6 2.449, π 3.42 7. 對數值 : log 0 2 0.300, log 0 3 0.477, log 0 5 0.6990, log 0 7 0.845 8. 角錐體積 = 3 底面積 高
206 年學科能力測驗答案 第一部份 : 選擇題壹 單選題.(3) 2.(5) 3.(2) 4.()5.(2)6.(4) 貳 多選題 7.(2)(3)(5) 8. ()(2)(4) 9.(3)(5) 0.()(4)(5).()(2)(4) 2.(2)(5) 3.(4)(5) 第二部份 : 填充題 7 9 A.42 B. C. + 5 D. a=,b=4,c=,d= 2 E. 6 F. 2 36 G. 3 4