98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量 : 若向量 AB PQ 和向量 CD 的長度相等 方向相反 則稱此兩向 CD 表之 零向量的長度為 方向不定 量互為反向量 以 AB QP EF FE 老師講解學生練習 如圖 D E F 為 ABC 三邊的中點 若 AF a DA b 則 圖中尚有哪些向量等於 a? 哪些等於 b? 只要長度相等 方向相同 向量就相等 故 () a FC DE () b BD EF 如圖 正六邊形 ABCDEF 中 設 AB a AG b 則 圖中尚有哪些向量等於 a? 哪些等於 b? () a FG GC ED () b BC GD FE
第 4 章向量 99 老師講解學生練習 試問平行四邊形的邊 可決定幾個不同的非零向 量? 如圖 () AB DC () BA CD () AD BC (4) DA CB 共 4 個 試問正六邊形的邊 可決定幾個不同的非零向 量? 如圖 () AB ED () BA DE () AF CD (4) FA DC () BC FE (6) CB EF 共 6 個 向量的坐標表示法 : () 設向量 a ( αβ ) x 分量為 α y 分量為 β a α + β α 方向角 θ : β 則 a 的 a () 設 A( x y ) ( ) a cosθ sinθ B x y 則 AB ( x x y y ) AB ( x ) ( ) x + y y () 設兩向量 b ( α β ) c ( α β ) α 若 b c 則 β α β
老師講解學生練習 求 : 設 a ( 4) () a 的 x 分量 y 分量 () a () a 的 x 分量為 y 分量為 4 () ( ) a + 4 求 : 設 b ( ) () b 的 x 分量 y 分量 () b () b 的 x 分量為 y 分量為 () ( ) b + 4 老師講解學生練習 4 且 a 的方向角為 求 a 已知 a 4 a 的 x 分量為 a cos 4 a 的 y 分量為 a sin 4 a ( ) 且 b 的方向角為 求 b 已知 b b 的 x 分量為 b cos b 的 y 分量為 b sin b
第 4 章向量 老師講解學生練習 設 A( 7) ( 4) () AB B 二點 求 : () AB () AB ( 4 ( 7) ) ( 4) AB 4 + () ( ) 設 C( ) ( 4) D 二點 求 : () CD () CD () ( ) ( 4 ) ( 6 ) CD CD 6 + 7 () ( ) 6 老師講解學生練習 6 設 A( 7) () 若 AB ( ) () 若 CA ( 4) () 設 B ( xy ) 求 B 點坐標 求 C 點坐標 AB ( ) ( x y ( 7) ) ( ) x y + 7 故 B ( 8 ) () 設 C ( xy ) CA ( 4) x 8 y ( x 7 y) ( 4) x 7 y 4 故 C ( 7 ) x 7 y 設一向量 a ( 76) () 若始點在 P( ) 求終點坐標 () 若終點在 Q ( 4) 求始點坐標 () 設終點在 Q( xy ) a ( 76) ( x y ( ) ) ( 76) x 7 y + 6 ( xy ) ( 9) () 設始點在 P( xy ) a ( 76) ( 4 x y) ( 76) 4 x 7 y 6 ( xy ) ( 6)
7 老師講解學生練習 7 CD 求 x y 之值 設 A( ) B ( 74) C( 4 ) ( ) 若 AB ( 7 4 ( ) ) ( 7) AB D xy ( ( 4 ) ( ) ) ( 4 ) CD x y x+ y+ AB CD ( 7 ) ( x+ 4 y+ ) x+ 47 y+ x y 設 a ( x y) b ( 8 x+ y) 求 x y 之值 a b x y 8 x + y 若 a b x y 8 老師講解學生練習 8 設有一平行四邊形 ABCD 已知 A( 7) B( ) C( 4) 如圖 設 D 點坐標為 ( xy ) AB DC 求 D 點坐標 又 AB ( ( 7) ) ( 7) ( 4 ) DC x y ( 7) ( 4 x y) 4 x7 y x y 4 故 D 點坐標為 ( 4) 設有一平行四邊形 ABCD 已知 A ( ) C ( 9) D ( 4) 如圖 設 B 點坐標為 ( xy ) AB DC 又 AB ( x y ) 求 B 點坐標 DC ( 9 4) ( ) ( x y ) ( ) x y x y 6 故 B 點坐標為 ( 6)
第 4 章向量 4- 向量的加減與實數積 向量的加減法 : () 向量的加法 : 平行四邊形法 : AB+ AD AB+ BC AC 三角形法 : AB+ BC AC AB CA CA AB CB () AB AC CB a x y b ( x y) a + b x + x y + y a b ( x x y y ) () 向量的減法 : AB AC AB + AC + + 說明可當公式背 :() AB+ BC AC () 向量加減的坐標表示法 : 設 ( ) ( ) 老師講解學生練習 ABCD 為平行四邊形? () 圖中哪一個向量等於 AB + AD? () AB+ AD AB+ BC AC () AB AD AB+ ( AD) AB+ DA () 圖中哪一個向量等於 AB AD DA + AB DB 承老師講解?? BA BC BA+ BC BA+ CB () 圖中哪一個向量等於 BA+ BC () 圖中哪一個向量等於 BA BC () BA+ BC BA+ AD BD () ( ) CB + BA CA
4 老師講解學生練習 () AC + CD AD () AB + AD DC AB+ DA DC + + DB+ CD 四邊形 ABCD 中 化簡下列各式 : () AC + CD () AB AD DC DA AB DC CD + DB CB () CA CB CA+ CB CA+ BC 四邊形 ABCD 中 化簡下列各式 : () CA CB () AB+ BC + CD+ DA BC + CA BA AC CD DA AD DA () AB+ BC + CD+ DA AC + CD+ DA + + + AA 老師講解學生練習 設 A ( ) B ( 4) C ( ) ( ) () AB CD E ( 67) 求 : () AB+ CD () AB+ CD ( 9) + ( 4) ( + ( 4 ) 9+ ) ( 9 6) () AB CD ( 9) ( 4) ( ( 4 ) 9 ) ( ) D () AB+ AC DE 承老師講解 求 () BC + CD+ DE () BC + CD+ DE BE ( 8 ) () AB+ AC DE ( 9) + ( 6) ( 7) ( + 7 9+ ( 6) ) ( )
第 4 章向量 4 老師講解學生練習 4 設 a ( y) b ( 4) c ( x) 若 a b c 求 x y 之值 ( 4 ) ( ) ( 4 x ) ( 4 x) b c x a b c ( y) ( 4 x) 4 x y x 7 y 設 a ( y) b ( 4) c ( x) 若 a + b + c 求 x y 之值 ( ) ( 4 ) ( ) ( ( 4 ) xy ) ( x y 7) a + b + c y + + x + + + + + a + b + c ( x y+ 7) ( ) x y + 7 x y 7 老師講解學生練習 ABC 中 AB ( ) () BC () ABC AC ( ) 的周長 求 : () BC AC AB ( ) ( ) ( ) ( ) () BC AB AB + ( ) ( ) BC + ( ) AC AC + ABC 的周長為 + 設四邊形 ABCD 若 AB ( ) AD ( ) DC ( 6) 求 :() BD () BC () BD AD AB ( ) ( ) ( ) ( ) () BC BD+ DC ( ) + ( 6) ( + + 6) ( 6)
6 ) 相加 可寫為 ra 這就是 向量與實數積 r > 時 表 ra與 a 同向 且 ra r a 向量與實數積 : () 向量與實數積 : 若有 r 個 a ( a r 時 表 ra r < 時 表 ra與 a 反向 且 ra r a () 設 a ( xy ) 則 ra ( rx ry) () 單位向量 : 長度為 的向量 稱為單位向量 和 a ( a ) 同向的單位向量為 a a a 和 a ( a ) 反向的單位向量為 a i j a xy x i + y j (4) 規定單位向量 ( ) ( ) 則 ( ) 6 老師講解學生練習 6 如圖 C 為 AB 的一個五等分點 () 試以 AB 表示 AC () 試以 AC 表示 BC () () AC AB 且 AC 和 AB 同向 AC AB BC AC 且 BC 和 AC 反向 BC AC 如圖 A B C 為 DE 之等分點 () 試以 DE 表示 AE () 試以 CB 表示 DE () AE DE 且 AE 和 DE 同向 4 AE DE 4 () DE 4CB 且 DE DE 4CB 和 CB 反向
第 4 章向量 7 7 老師講解學生練習 7 圖中有 a b 兩向量 試圖示下列各向量 : () a + b () a b () 圖中有 a b 兩向量 試圖示下列各向量 : () a + b () a b () () () 8 老師講解學生練習 8 設 a ( ) b ( ) c ( ) () 4 b c a b + c () a + b () () a + b ( ) + ( ) 求 : ( ) + ( 6) ( + + ( 6) ) ( 6 ) () 4 b c 4 ( ) ( ) ( 4 8) ( 4 ) ( 4 4 8 ( ) ) ( ) () a b + c ( ) ( ) + ( ) ( 9) ( 4) + ( ) ( 9 + ( 4) + ( ) ) ( 9) 設 A( ) B ( ) ( ) C 求 AB BC + AC AB BC+ AC 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( 6 ) ( + 6 ( ) + ( ) ) ( 8 )
8 9 老師講解學生練習 9 設 a ( ) b ( ) c ( ) c ra + sb 求 r s 之值 c ra + sb ( ) r( ) + s( ) ( rr ) + ( ss) ( r sr + s) r s r + s 7 r s 若 設 a ( 4 ) b ( ) c ( 7) 求 r s 之值 ra sb + c ra sb + c r( 4 ) s( ) + ( 7) ( 4 r r) ( s s) + ( 7) ( s s+ 7) 4r s r s + 7 r s 若 老師講解學生練習 若 x + a b 設 a ( ) b ( ) 若 4 a + b + x 設 a ( ) b ( 4) 求 x x + 6 a b x a + b x 7 a + 7 b x a + b x 7 a 7 b 7( ) 74 ( ) ( 47) ( 8) ( ) 求 x 4 a + 8 b + x a + b x a x a b a + b x + a x a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
第 4 章向量 9 老師講解學生練習 設 a ( 4) 求和 a 同向的單位向量 ( ) a + 4 和 a 同向的單位向量為 a ( 4) a 設 b ( ) 求和 b 反向的單位向量 ( ) b + b 和 b 反向的單位向量為 b ( ) 4 老師講解學生練習 的組 將 a + b 將 a ( 4) 表成 i ( ) 合 與 j ( ) a ( 4) ( ) + ( 4) ( ) + 4 ( ) i + 4 j 設 a ( ) b ( 4) i ( ) 與 j ( ) 的組合 ( ) ( ) ( 6 9) + ( 8) ( 6+ 8 9+ ) ( 4) a + b + 4 4 i + j 表成
分點坐標 : 在第一章曾提及分點坐標的求法 現在再以向量的觀念介紹另一種求法 老師講解學生練習 設二點 A( 4) ( ) B 若 P 點在 AB 上 且 AP : BP :4 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP 7 7 AB 且 AP 和 AB 同向 AB 7 ( x+ y 4) ( 7 4) ( 6) x + y 4 6 ( xy ) ( ) 設二點 A( ) ( 74) B 若 P 點在 AB 上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP 7 7 AB 且 AP 和 AB 同向 AB 7 ( x y+ ) ( 9) x 7 4 y + 7 ( xy) 4 7 7 9 7 7 4 老師講解學生練習 4 設二點 A( 6) ( 6 9) B 若 P 點在 AB 的延 長線上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP AB 且 AP 和 AB 反向 AB ( x+ y 6) ( 9 ) ( 6) x + 6 y 6 ( xy ) ( 96) 設二點 A ( 8) B( ) 若 P 點在 AB 的延長 線上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP 4 4 AB 且 AP 和 AB 同向 AB 8 6 4 4 ( x y ) ( ) x y 8 4 ( xy) 7 4
第 4 章向量 進階題 老師講解學生練習 設 A B C 為不共線三點 若 x y+ AB+ x+ y 4 AC 則 ( ) ( ) x y AC tac A B C 三點不共線 AB // 不可能設 AB x y AB x y AC 若 x y+ ( x+ y 4) 則 AB AC 矛盾 x y+ 又 ( + ) ( + 4) x y+ 同理 x+ y 4 由 知 x y ABC 中 若 ( ) ( ) x+ y AB+ x y AC 則 x y A B C 三點不共線 x+ y x y 4 x y 老師講解學生練習 設 a ( 48) b ( ) 的最小值 t 為實數 試求 設 a ( 4) b ( ) 的最小值 t 為實數 試求 a + tb ( 4 8 ) a + tb + t + t ( 4 ) ( 8 ) a + tb + t + + t a + tb ( 4 ) a + tb + t + t ( ) ( 4 ) a + tb + t + + t 6+ 4t+ 9t + 64+ 6t+ t + + t 4t 8 ( t ) + + 4 4+ 4t+ t + 6+ 8t+ t + + t t ( t ) + + 的最小值 4 a + tb 的最小值 4 a + tb 的最小值 a + tb 的最小值 a + tb
4- 向量的內積與夾角 向量的內積與夾角 : () 設兩個非零向量 a 和 b 的夾角為 θ ( θ 8 ) 當 a 和 b 同向時 θ 當 a 和 b 反向時 θ 8 當 a 和 b 互相垂直時 θ 9 當 a 和 b 不平行時 將 a 和 b 平移至始點重合才有夾角 θ 且 < θ < 8 a a a b b b 且其夾角為 θ 則 a 和 b 的內積 設 ( ) ( ) () 向量的內積 : a b a b cosθ ab + ab 老師講解學生練習 b 試依下列條件 求 a b 設 a 設 a b 6 b 試依下列條件 求 a () a 和 b 的夾角為 () a 和 b 方向相反 () a b a b cos () a b a b cos8 ( ) () a 和 b 的夾角為 () a 和 b 方向相同 利用 a b a b cosθ () a a 4 a a a 6 cos () 6 cos a
第 4 章向量 老師講解學生練習 如圖 求 : () AB AC () BA CB () AB AC () BA CB AB AC cos A cos ( ) BA BC BA BC BA BC cos B cos 6 如圖 求 : () AB AC () BA CB () AB AC AB AC cos A 4 4 6 BA ( BC) () BA CB BA BC BA BC cos B 9 老師講解學生練習 設 a ( ) b ( ) c ( 4 ) () a + b c () a b () a b ( ) ( ) ( ) () a + b 求 : + ( ) + ( ) ( + + ) ( 4) a + b c ( 4) ( 4 ) 4 4 ( ) + 4 設 a ( ) b ( 4) () a b () a + b a b () a b 求 : ( ) ( 4) ( 4) + ( ) () a + b ( ) + ( 4) ( ) ( ) ( 4) ( 6 4) a b 所求 ( ) ( 6 4) 6+ ( ) ( 4)
4 4 老師講解 設 a b 4 學生練習 4 且 a b 6 求 a 和 b 設 a 6 b 6 且 a b 6 求 a 的夾角 設 a 和 b 的夾角為 θ a b a b cosθ 6 4 cosθ cosθ θ 6 和 b 的夾角 設 a 和 b 的夾角為 θ a b a b cosθ 6 6 6 cosθ cosθ θ 老師講解學生練習 設 A ( ) B ( 7) ( 94) 數 AB AC 如圖 令 BAC θ AB ( 4) AB + 4 AC ( 7) AC 7 + 又 ( )( ) C 求 BAC 的度 4 7 7+ 4 利用 AB AC AB AC cosθ 可得 cosθ cosθ θ 4 b ( ) 設 a ( ) 角 θ a + ( ) b + a 利用 ( ) ( ) ( ) + b a b a b cosθ 可得 cosθ cosθ θ 求 a 和 b 的夾
第 4 章向量 向量的平行與垂直 : 設 a ( a a ) b ( b b ) a a () a // b b () a b a b b 6 老師講解學生練習 6 設 A( 4) B ( 6) C( x ) () 若 AB// AC 求 x 值 () 若 AB AC 求 x 值 AB ( ) ( x 7) AC + () AB// AC AB// AC x + 7 9 x () AB AC AB AC AB AC ( x ) + + 7 9 x 設 OA ( ) OB ( ) 求 OC 設 OC ( xy ) OC OB BC // OA OC OB x+ y 若 OC OB BC OC OB ( x+ y ) 且 BC // OA x+ y x y+ 7 由 知 x 4 y 7 OC ( 47) 且
6 內積的性質 : () a a a () a b b a + + (4) ra b a rb r a b () a b c a b a c 7 老師講解學生練習 7 設 a 設 a b 4 b 且 a 和 b 的夾角為 6 a b a b cos6 求 a + b a + b a + a b + b + + 9 a + b 9 求 a b a b a b cos 且 a 和 b 的夾角為 4 6 a b a a b + b ( ) ( ) 6 + 4 a b 8 老師講解 設 a 學生練習 8 b 且 a 和 b 的夾角為設 a b a 和 b 垂直 求 的長度 求 a b a b a b cos a b 4 a a b + 9 b ( ) 4 + 9 96 a b 4 a + b a b a b a + b a + 4 a b + 4 b + 4 + 4 a + b
第 4 章向量 7 9 老師講解學生練習 設 a b c 7 且設 a b a + 9 b 求 a 和 a + b + c 求 a 和 b 的夾角 θ a + b + c a + b c a + b c a + a b + b c + a b + 7 a b a b cosθ cosθ cosθ θ 6 b 的夾角 θ a + b ( ) a a b b + a b + a b + 4 + 4 4 4 a b cosθ cosθ cosθ θ 內積的應用 : 設 a b 均不為 () 正射影 : a 在 b 上的正射影為 a b b b () 三角形面積 : 以 a b 為兩鄰邊所決定 三角形的面積為 a b a b
8 老師講解學生練習 設 a ( ) b ( 4) () 正射影 () 正射影長 a b () 所求 b b 求 a 在 b 上的 又 a b + 4 b + 4 4 68 所求 ( ) ( ) () 所求 ( ) + 68 6 8 承老師講解 求 b 在 a 上的 () 正射影 () 正射影長 b a () 所求 a a 又 a + 所求 4 ( ) ( ) ( ) () 所求 ( 4) ( ) ( ) 4 + 老師講解學生練習 設 A( 4) B ( ) ( ) 積 ABC AC 又 AB ( ) C 求 ABC 面 面積 AB AC AB AC ( 6 7) AB + ( ) AC ( ) 6 + 7 8 AB AC 6+ 7 所求 8 ( ) ( ) 設 A ( ) B( ) C ( 4) ABCD 的面積 AB AC ( 4 4) ( ) ( ) AB AC 4 + 4 ( ) + AB AC 4 + 4 ABC 6 面積 求平行四邊形 ( ) ( ) AB AC AB AC 6 4 故所求 ABC 面積 8
第 4 章向量 9 進階題 老師講解學生練習 AC BD 如圖 AC BD AB+ BC BC + CD BC + AB BC AB BC BC + BC AB + AB BC + AB AB 平行四邊形 ABCD 中 設 AB BC 則 BC AB 6 AC DB 如圖 AC DB AB+ BC DC + CB AB+ BC AB BC 平行四邊形 ABCD 中 設 AB 4 BC 7 則 AB BC 4 7 老師講解學生練習 () AB AC AB AC cos A ABC 中 設 AB 4 BC CA 6 則 () AB AC () AB BC () BA BC BA BC cos B ABC 中 設 AB BC 6 CA 7 則 () BA BC () CB AC 4 + 6 4 6 4 6 7 () AB BC BA BC BA BC cos B 4 + 6 4 4 + 6 7 6 6 6 () CB AC CB CA CB CA CB CA cosc 6 + 7 6 7 6 7
老師講解學生練習 等腰梯形 ABCD 中 設 AD// BC AB CD BC AD 若 E F 分別為 AD CD 中點 則 EF BD 如圖 建立坐標系 令 B ( ) ( ) D E C ( 4 ) + 4 + 9 F 為 CD 中點 ( 4 ) EF BD 4+ 設 u 為兩非零向量 若 且 θ 為 u 和 的夾 u u + t u + ( t) 角 則 cosθ 令 u u + t > 可知 4 u + u + 9 4t ( ) 4 t + t t cosθ + 9 t 4t 4t cosθ t 7 cosθ 8 如圖 設 AB CE 且 四邊形 ABCD CEFG 均為正 方形 求 AF DE + BG 建立坐標系 令 A ( ) B ( ) D ( ) DE ( ) BG ( ) DE BG E ( 4) F ( 44) G ( 4) AF ( 44) + ( + + ) ( 44) AF DE + BG 4 4+ 4 4 4 老師講解學生練習 4 設 a b 且 a + b a b 求 a 和 b 的夾角 令 a b t > a 和 b 的夾角為 θ a + b a b a + b ( ) a b a + a b + b a a b + b t + t t cosθ + t ( t t t θ t ) cos + 8t cosθ 4t θ 6 cosθ
第 4 章向量 4-4 點到直線的距離 點到直線的距離公式 : 設點 ( ) P x y 直線 L : ax+ by+ c 則 P 到 L 的距離 ( ) d PL ax + by + c a + b 老師講解學生練習 求點 ( ) 離 P 到直線 L :x+ y 的距 ( ) d PL ( ) + + 求點 ( ) P 到直線 L : x y+ 的距離 ( ) ( ) + d PL ( ) + 老師講解學生練習 4 到直線 L : y x 的距離 4 L : y x 4x y 4 d PL 4 + 求點 P ( ) ( ) ( ) x y 到直線 L : + 的距離 4 x y L : + x+ 4y 6 4 求點 P ( ) + 4 6 + 4 d( PL) 老師講解學生練習 若點 ( ) P k 到直線 L :6x+ 8y 7 的距離為 求 k? d( PL ) 6 + 8 k 7 6 + 8 k 或 4 若點 ( ) P 到直線 L : x y+ k 的距離為 求 k? d( PL ) ( ) +k ( ) + k 或
二平行直線的距離公式 : 設兩平行線 L : ax+ by+ c 與 L : ax+ by+ c 則 L 與 L 之間的距離 ( ) d L L c c a + b 4 老師講解學生練習 4 求兩平行線 L :x 4y+ 與 L :x 4y 8 之間的距離 ( ) ( ) 8 d L L ( ) + 4 求兩平行線 L : x+ y 與 L : x+ y+ 之間的距離 d( L L) 4 + 老師講解學生練習 求兩平行線 L :x+ y 與 L :6x+ y+ 7 之間的距離 L :6x+ y L :6x+ y+ 7 7 d( L L) 6 + 求兩平行線 L :7 x 4 y 與 L :7x 4y 之間的距離 L :7x 4y L :7x 4y d( L L ) ( ) ( ) 7 + 4 6 老師講解學生練習 6 若兩平行線 L :x+ 4y+ k 與 L :x+ 4y 6 之間的距離為 求 k? ( ) k ( 6) d L L + 4 k 9或 若兩平行線 L : x+ y 與 L :x+ y+ k 之間的距離為 求 k? L :x+ y 6 L :x+ y+ k ( ) d L L 6 k + k 或
第 4 章向量 角平分線方程式 : 兩直線 L ax by c 角平分線方程式為 : + + 與 L : ax + by + c 交角的 ax+ by+ c ax+ by+ c ± a + b a + b 7 老師講解學生練習 7 求兩直線 L : x y 7 與 L :x y+ 6 交角的角平分線方程式 x y 7 x y+ 6 ± + + ( ) ( ) x y 7 x y+ 6 ± x+ y+ 或 x y 求兩直線 L :x 4y 與 L :8x+ 6y+ 交角的角平分線方程式 x 4y 8x+ 6y+ ± + 4 8 + 6 ( ) x 4y ± 8x+ 6y+ x+ 4y+ 9 或 4x y+ 綜合練習 表挑戰題 4-. 設 P( 7) Q( 9) () PQ ( ) 則 () PQ () PQ 的方向角為. 設 PQ ( 7) () 若 P 點坐標為 ( ) 則 Q 點坐標為 ( 8 ) () 若 Q 點坐標為 ( 6 ) 則 P 點坐標為 ( ). 設 A( ) B( x ) C ( 6) D( x) 若 AB CD 則 x 8 4. 平行四邊形 ABCD 中 若 A ( ) B( x ) C( 4 y ) ( 4) y D 則 x
4. 設 ABC 之三邊 AB BC CA 中點分別為 P ( ) Q( ) R( 4) ( 8 ) 4-6. 平行四邊形 ABCD 中 設 a AB b () AC a + b () BD a + b 7. 正六邊形 ABCDEF 中 設 a AB () FA a b () AE a + b AD 試以 a b 表示 b BC 試以 a b 表示 則 8. ABC 中 D 為 BC 上一點 且 BD :CD : 若 AD mab+ nac m n ( ) AB CD ( 6 67 ) ( ) ( ) a b ( 4) c 則 x 4 α + β 則 α b u u + c a 則 u a + b 47 a b ( 4) 9. 設 A ( 6) B( 4) C ( ) D ( 7) () AB+ CD () 4 () AB+ BC + CD (4) AB+ BC + CD+ DA. 設 ( ) () 若 b x i + y j () 若 c a b () 若 則 則 A 點坐標為 ( ) y ( 其中 i ( ) j ( ) 8 8 β. 若 ( ) 則 a ( ) b ( ). ABC 中 AB ( 86) BC ( ) 則 ABC 的周長為 7. ABC 中 若 AB ( x+ 4) BC ( 89) CA ( y ) y 4. 下列各向量何者為單位向量? (A)( ) (B) 答 : C (C) (D)( ) 7 8 6 ) + 則 x 4
. 設 a ( 4) 則 第 4 章向量 () 和 a 同向 長度為 的向量為 ( 9) () 和 a 反向 長度為 的向量為 () 和 a 同向的單位向量為 6. 設二點 A( ) ( ) 4 48 6 B 且 AP : BP : () 若 P 點在 AB 上 則 P 點坐標為 4 9 () 若 P 點在 AB 的延長線上 則 P 點坐標為 ( 8 ) 7. 如圖 AP: PB : OC: CB : 設 CP roa+ sob 則 r s 4-8. 設正 ABC 的邊長為 求 : () AB AC () BC CA. a ( 4 ) b ( ) AB DC + AG GB 9. 正六邊形 ABCDEF 的邊長為 中心 G 則 則 () a b () a 和 b 的夾角為. ABC 中 設 A( ) B ( 4) C ( 6 ) 則 () AB AC () A. 設 a ( ) b ( ) c ( 8) 則 t 則 t () 若 a // b + tc () 若 a b + tc 7 OA OB ( ) 若 OC OB. 設 ( ) BC // OA 則 OC 為 a 和 b 的夾角為 6 則 4. 設 a 4 b 6 () a + b a 4 b () a b 7
6. 設 a b a b 7 則 7 () a 和 b 的夾角 θ 為 6 () a + b 6. 設 a + b a b 則 a b 4 7. 右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合 且每小格都是邊長為 的菱 形已知 a b 則 AB CD 為 8. 已知 a 4 b c 且 a + b + c 則 為 () a b 為 a 與 b 的夾角為 則 a () a + b + c 9. 已知 a b. 設 a ( 4) b ( ) 則 () a 在 b 上的正射影為 ( ) () 以 a b 為相鄰兩邊的三角形面積為 + tb 的最小值為 4-4. 若點 ( ) P 與直線 L :x y+ k 之距離為 則 k 4或 48. 設 x y 滿足 x 4y. 已知 A ( 4) ( ) + 則 ( x ) ( y ) + 之最小值為 B 若直線 L: x y+ 交 AB 於 P 則 AP: BP 4: 4. 兩平行線 : x y x y L + 與 L : + + 的距離為 6 4. 與 x 4y+ 平行且相距 的直線方程式為 x 4y 4 或 x 4y+ 6 6. 兩直線 L : x y 7 和 L :7x+ y 交角的角平分線方程式為 x+ 6y+ 或 x 4y 7 66
第 4 章向量 7 4- ( B ). 設 A( 9) ( ) 考古觀摩題 與向量 u ( ) B xy 為平面上相異兩點若向量 AB 同方向且 AB 6 則 x 4y (A) (B) 9 (C) 9 (D) [ 統測數 (C)] ( A ). 已知 a ( + x4) b ( 4 ) c ( y) 且 a + b c ( ) 之值為何? (A) (B) (C) (D) 則 x+ y [ 統測數 (B)] ( A ). 已知平面上五個點 A 4 B 4 C 7 69 7 D 69 6 7 E 4 4- 求 m n 若向量相加 AB+ BC + CD+ DE ( mn ) (D) ( D ) 4. 在坐標平面上 點 A B C 的坐標分別為 ( k ) ( ) ( ) 之值 (A) (B) (C) [ 統測數 (B)] 若向量 AC 與向量 BC 的內積為 則 k (A) (B) (C) (D) [96 統測 ] a b c 且 a b 6 則 a c ( D ). 設 a b c 為平面上的三個向量 若 9 (A) 6 (B) 7 (C)8 (D)9 [97 統測 ] ( C ) 6. 設 u 為平面上的兩個單位向量 若其內積為 則 u 與 的夾角為何? (A) (B) 4 (C)6 (D)9 [97 統測 ] ( A ) 7. 設 a ( ) b ( ) 與 c ( k) 是平面上的三個向量 若 則 k (A) (B) (C) (D) a + b a b + c 7 ( A ) 8. 設 a ( 4) b ( xy ) 為平面上兩向量 且 x 最大值為何? (A) (B) (C)4 (D)6 的 [98 統測數 (B)] + y 4 則此兩向量內積 a b [98 統測數 (C)] ( A ) 9. 在 ABC 中 若 D 為線段 BC 的中點 且 AB 9 AC 則向量內積 AD BC (A) 8 (B) 4 (C)4 (D) 8 [99 統測數 (C)] ( C ). 已知兩向量 a b 互相垂直若 a 4 a + b 則 b (A) (B) (C) (D) 4 [ 統測數 (C)]
8 ( B ). 已知向量 u 的長度為 向量 的長度為 且 u 兩向量夾角為 π 則向量 u + 的長度為何? (A) (B) (C) (D) [ 統測數 (B)] u a a w 則下列敘述何者正確? ( B ). 設向量 ( ) ( ) ( ) ( A ). 設 ABC 與 w 平行 則 則 (A) 若 u + a (B) 若 u + w a (C) 若 u + 則 a (D) 若 u + w 則 a [ 統測數 (C)] 是邊長為 9 的正三角形 求 AB 與 BC 兩向量的內積 (C) 4 (D)8 a 4 向量 b // a 且 a b 則 a + b ( A ) 4. 設向量 ( ) 4-4 (C) 6 (D)8 8 (A) (B) 8 [ 統測數 (A)] (A) (B) 4 [ 統測數 (C)] ( C ). 已知直線 L :x 4y L :x y L : x+ y+ 求 L 和 L 之交 點到直線 L 之距離為何? (A) (B) (C) (D) 4 ( C ) 6. 設點 A 坐標為 ( ) [99 統測數 (B)] 且 B C 兩點在直線 L :x 4y 上 若線段 BC 的長為 則 ABC 的面積為何? (A) (B) (C) (D) 6 [ 統測數 (A)] ( D ) 7. 設直線 L 的斜率為 且通過點 ( 4) 敘述何者正確? (A) L 與 L 平行且兩線相距 又直線 L 的 x y 軸截距分別為 則下列 L 相交於點 ( 8) (B) L 與 (D) L 與 L 平行且兩線相距 6 L 相交於點 ( 4 6) (C) L 與 [ 統測數 (C)] ( A ) 8. 設兩直線 L :x+ y 4 與 L : x+ y 4 則 L 與 L 交角為銳角的角平分線方程 式為何? (A) x+ y (B) x y (C)x+ y (D)x y ( B ) 9. 已知直角坐標平面上有三點 A ( ) B( ) C( 7) (A) (B) (C) (D) 4 ( B ). 已知 L L 為與直線 x+ 4y 平行的二直線若 [ 統測數 (C)] 求點 A 到直線 BC t 的距離 L 過點 ( 9) 則此二平行線間的距離為何? (A) (B) 6 (C) 48 (D) 6 [ 統測數 (B)] L 過點 ( ) [ 統測數 (C)]