第二节 等差
1. 等差的相关概念 (1) 定义 : 如果一个从第 2 项起, 每一项与它的前一项的 差都等于 同一个常数, 那么这个就叫做等差. 符号表示为 (n 2,n N a * n -a n -1=d, d 为常数 ). (2) 等差中项 : 若 a,a,b, 成等差, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 且 A= a+b 2. 2. 等差的通项公式 (1) 若等差 {a n } 的首项是 a 1, 公差为 d, 则其通项公式为 a n =. a 1 +(n-1)d (2) 通项的推广 :a n =a m + d. (n-m)
3. 等差的前 n 项和公式 n a 1 +a n (1) 已知等差数 {a n } 的首项 a 1 和第 n 项 a n, 则其前 n 和公式 S n =. 2 (2) 已知等差 {a n } 的首项 a 1 与公差 d, 则其前 n 项和公式 S n =. na 1 + n n-1 2 d 4. 等差 {a n } 的性质 (1) 若 m+n=p+q, 则 a m +a n =a p +a q ( 其中 m,n,p,q N * ), 特别地, 若 p+q =2m, 则 a p +a q = 2a m (p,q,m N * ). (2) 若等差 {a n } 的前 n 项和为 S n, 则 S k,s 2k -S k,s 3k -S 2k, 成等差.
(3) 若下标成等差, 则相应的项也成等差, 即 a k,a k +m,a k +2m, (k,m N * ) 成等差. (4) 若等差 {a n } 的前 n 项和为 S n, 则 S 2n -1=(2n-1)a n. 5. 等差的增减性与最值公差 d>0 时为递 增, 且当 a 1 <0 时, 前 n 项和 S n 有最 小值 ;d<0 时为递 减, 且当 a 1 >0, 前 n 项和 S n 有最 大值.
6. 等差与一次函数的关系 由等差的通项公式 a n =a 1 +(n-1)d 可得 a n =dn+(a 1 -d), 如果设 p=d,q =a 1 -d, 那么 a n =pn+q, 其中 p,q 是常数. 当 p 0 时,(n,a n ) 在一次函数 y=px +q 的图象上, 即公差不为零的等差的图象是直线 y=px+q 上的均匀排列的一群孤立的点. 当 p=0 时,a n =q, 等差为常, 此时的图象是平行于 x 轴的直线 ( 或 x 轴 ) 上的均匀排开的一群孤立的点.
知识拓展 等差的四种判断方法 (1) 定义法 :a n +1-a n =d(d 是常数 ) {a n } 是等差. (2) 等差中项法 :2a n +1=a n +a n +2(n N * ) {a n } 是等差. (3) 通项公式 :a n =pn+q(p,q 为常数 ) {a n } 是等差. (4) 前 n 项和公式 :S n =An 2 +Bn(A,B 为常数 ) {a n } 是等差.
1.(2015 高考全国卷 Ⅱ) 设 S n 是等差 {a n } 的前 n 项和, 若 a 1 +a 3 +a 5 =3, 则 S 5 =( ) A.5 B.7 C.9 D.11 解析 :a 1 +a 3 +a 5 =3a 3 =3 a 3 =1, S 5 = 5 a 1+a 5 2 =5a 3 =5. 答案 :A
于 ( ) 2.(2018 衡水一模 ) 等差 {a n } 的前 n 项和为 S n, 且 S 3 =6,a 3 =4, 则公差 d 等 A.1 B. 5 3 C.2 D.3
解析 : 由 S 3 = 3 a 1+a 3 3 a 1 +4 2 得 2 =6, 解得 a 1 =0, 则 d= 1 2 (a 3-a 1 )=2. 答案 :C
3.(2018 合肥质检 ) 首项为 24 的等差, 从第 10 项开始的负数, 则公差 d 的 取值范围是 ( ) A.(-3,+ ) B. -,- 8 3 C. -3,- 8 3 D. -3,- 8 3
解析 : 由题意知 a 9 0,a 10 <0, a 9 =a 1 +8d=24+8d 0,d -3. a 10 =a 1 +9d=24+9d<0,d<- 8 3. 综上知 -3 d<- 8 3. 故选 D. 答案 :D
4. 中位数为 1 010 的一组数构成等差, 其末项为 2 018, 则该的首项为. 解析 : 设的首项为 a 1, 则 a 1 +2 018=2 1 010=2 020, 所以 a 1 =2, 故该的首项为 2. 答案 :2
5. 已知 {a n } 中,a 1 =1,a n =a n -1+ 1 2 (n 2), 则 {a n } 的前 9 项和等于. 解析 : 因为 n 2 时,a n =a n -1+ 1 2, 且 a 2 =a 1 + 1 2, 所以 {a n } 是以 1 为首项, 1 2 为公 差的等差, 所以 S 9 =9 1+ 9 8 2 1 2 =9+18=27. 答案 :27
考点一等差的基本量运算 ( 高频考点 ) 典例 1 (1)(2016 高考全国卷 Ⅰ) 已知等差 {a n } 前 9 项的和为 27,a 10 =8, 则 a 100 等于 ( ) A.100 B.99 C.98 D.97 (2)(2018 河南三市联考 ) 设 S n 为等差 {a n } 的前 n 项和,a 1 =1,a 3 =5,S k +2- S k =36, 则 k 的值为 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5
S n +64 (3)(2018 大连市二模 ) 已知等差 {a n } 的前 n 项和为 S n,a 2 =4,S 10 =110, 则 a n 的最小值为 ( ) A.7 B. 15 2 C. 17 2 D.8
解析 :(1) 利用等差的通项公式 前 n 项和公式及性质, 结合方程思想求解. 法一 {a n } 是等差, 设其公差为 d, S 9 = 9 2 (a 1+a 9 )=9a 5 =27, a 5 =3. a 1 +4d=3, a 又 a 10 =8, a 1 +9d=8, 1 =-1, d=1. a 100 =a 1 +99d=-1+99 1=98. 故选 C.
法二 {a n } 是等差, S 9 = 9 2 (a 1+a 9 )=9a 5 =27, a 5 =3. 在等差 {a n } 中,a 5,a 10,a 15,,a 100 成等差, 且公差 d =a 10 -a 5 =8-3=5. 故 a 100 =a 5 +(20-1) 5=98. 故选 C. (2) 由 2d=a 3 -a 1 =5-1=4 得 d=2, 所以 a n =1+(n-1) 2=2n-1, 由 S k +2-S k =a k +2+a k +1=2(k+2)-1+2(k+1)-1 =4k+4=36, 得 k=8. 故选 A.
(3) 设 {a n } 的公差为 d, 由 a 2 =4,S 10 =110 得 a 1 +d=4, 10a 1 + 10 9 2 d=110, a 1 =2, 解得 d=2, 故 a n =2+2(n-1)=2n, S n =2n+ n n-1 2 2=n 2 +n.
S n +64 所以 = n2 +n+64 2n a n = n 2 +32 n +1 2 2 n 2 32 n +1 2 =17 2, n 当且仅当 2 =32 n, 即 n=8 时取等号. 故选 C. 答案 :(1)C (2)A (3)C
反思归纳 等差基本运算的方法策略 1 等差中包含 a 1,d,n,a n,s n 五个量, 可知三求二. 解决这些问题一般设基 本量 a 1,d, 利用等差的通项公式与求和公式列方程 组 求解, 体现方程思想. 2 如果已知等差中有几项的和是常数的计算问题, 一般是等差的性质和 等差的求和公式 S n = n a 1+a n 2 结合使用, 体现整体代入的思想.
即时训练 (1)(2018 河南六市第一次联考 ) 在等差 {a n } 中, 首项 a 1 =0, 公差 d 0, 若 a k =a 1 +a 2 +a 3 + +a 7, 则 k 等于 ( ) A.22 B.23 C.24 D.25 (2)(2016 高考江苏卷 ) 已知 {a n } 是等差,S n 是其前 n 项和, 若 a 1 +a 2 2 =-3, S 5 =10, 则 a 9 的值是.
解析 :(1) 因为 a 1 =0, 所以 a k =(k-1)d, 所以 a 1 +a 2 +a 3 + +a 7 =(1+2+3+4+5+6)d=21d=(k-1)d, 所以 k=22. 故选 A. (2) 根据已知关系式列出方程, 解出首项和公差, 再由等差的通项公式求 a 9, 或根据等差的性质求解.
法一设等差 {a n } 的公差为 d, 由 S 5 =10, 知 S 5 =5a 1 + 5 4 2 d=10, 得 a 1 + 2d=2, 即 a 1 =2-2d. 所以 a 2 =a 1 +d=2-d, 代入 a 1 +a 2 2 =-3, 化简得 d 2-6d+9= 0, 所以 d=3,a 1 =-4. 故 a 9 =a 1 +8d=-4+24=20. 2. 5 a 1 +a 5 法二设等差 {a n } 的公差为 d, 由 S 5 =10, 知 2 =5a 3 =10, 所以 a 3 = 所以由 a 1 +a 3 =2a 2, 得 a 1 =2a 2-2, 代入 a 1 +a 2 2 =-3, 化简得 a 2 2 +2a 2 +1=0, 所以 a 2 =-1. 公差 d=a 3 -a 2 =2+1=3, 故 a 9 =a 3 +6d=2+18=20. 答案 :(1)A (2)20
考点二等差的判断与证明 典例 2 (2014 高考全国卷 Ⅰ) 已知 {a n } 的前 n 项和为 S n,a 1 =1,a n 0, a n a n +1=λS n -1, 其中 λ 为常数. (1) 证明 :a n +2-a n =λ; (2) 是否存在 λ, 使得 {a n } 为等差? 并说明理由. (1) 证明 : 由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1. 两式相减得 a n +1(a n +2-a n )=λa n +1, 由于 a n +1 0, 所以 a n +2-a n =λ.
(2) 解 : 存在满足题意的 λ, 由题设知 a 1 =1,a 1 a 2 =λs 1-1, 可得 a 2 =λ-1. 由 (1) 知,a 3 =λ+1. 令 2a 2 =a 1 +a 3, 解得 λ=4. 故 a n +2-a n =4, 由此可得 {a 2n -1} 是首项为 1, 公差为 4 的等差,a 2n -1=4n-3; {a 2n } 是首项为 3, 公差为 4 的等差,a 2n =4n-1. 所以 a n =2n-1,a n +1-a n =2. 因此存在 λ=4, 使得 {a n } 为等差.
反思归纳 判定 {a n } 是等差的常用方法 1 定义法 : 对任意 n N *,a n +1-a n 是同一个常数 ; 2 等差中项法 : 对任意 n 2,n N *, 满足 2a n =a n +1+a n -1; 3 通项公式法 : 的通项公式 a n 是 n 的一次函数 ; 4 前 n 项和公式法 : 的前 n 项和公式 S n 是 n 的二次函数, 且常数项为 0.
即时训练 (2018 惠州模拟 ) 已知 {a n } 的前 n 项和为 S n, 且满足 a 1 = 1 2,a n=-2s n S n -1(n 2). (1) 证明 : 1 S n 为等差 ; (2) 求 S n 及 a n. (1) 证明 : 当 n 2 时,a n =S n -S n -1=-2S n S n -1, 1 所以 S - 1 n 所以 1 S n S n -1 =2(n 2), 1 是以 S = 1 1 a =2 为首项,2 为公差的等差. 1
(2) 解 : 因为 1 S n 1 所以 S =2+2(n-1)=2n, n 为等差, 所以 S n = 1 2n. 当 n 2 时,
a n =S n -S n -1 = 1 2 1 n - 1 n-1 =- 1 2n n-1. 1 2 n=1, 所以 a n = - 1 2n n-1 n 2.
考点三等差性质的应用 ( 高频考点 ) 命题点一等差项的性质 典例 3 (1) 在等差 {a n } 中, 若 a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =25, 则 a 2 +a 8 =. (2) 已知 {a n },{b n } 都是等差, 若 a 1 +b 10 =9,a 3 +b 8 =15, 则 a 5 +b 6 =.
解析 :(1) 因为等差 {a n } 中,a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =25, 所以 5a 5 =25, 即 a 5 = 5. 所以 a 2 +a 8 =2a 5 =10. (2) 由已知得 a 3 +b 8 = a 1+b 10 + a 5 +b 6 2 15= 9+ a 5+b 6 2 a 5 +b 6 =15 2-9=21. 答案 :(1)10 (2)21
命题点二等差前 n 项和的性质 典例 4 (1) 设等差 {a n } 的前 n 项和为 S n, 且 S 3 =-12,S 9 =45, 则 S 12 =. S 12 (2) 在等差 {a n } 中,a 1 =-2 018, 其前 n 项和为 S n, 若 12 -S 10 10 =2, 则 S 2 018 的值等于 ( ) A.-2 018 B.-2 016 C.-2 019 D.-2 017
解析 :(1) 因为 {a n } 是等差, 所以 S 3,S 6 -S 3,S 9 -S 6,S 12 -S 9 成等差, 所以 2(S 6 -S 3 )=S 3 +(S 9 -S 6 ), 即 2(S 6 +12)=-12+(45-S 6 ), 解得 S 6 =3. 又 2(S 9 -S 6 ) =(S 6 -S 3 )+(S 12 -S 9 ), 即 2 (45-3)=(3+12)+(S 12-45), 解得 S 12 =114. (2) 由题意知, { S n n } 为等差, 其公差为 1, S 2 018 2 018 =S 1 1 +(2 018-1) 1 =-2 018+2 017=-1. S 2 018 =-2 018. 答案 :(1)114 (2)A
反思归纳 等差的性质 1 项的性质 : 在等差 {a n } 中,a m -a n = m-n d a m-a n m-n =d m n, 其几何意 义是点 n,a n, m,a m 所在直线的斜率等于等差的公差. 2 和的性质 : 在等差 {a n } 中,S n 为其前 n 项和, 则 1S 2n =n a 1 +a 2n = =n a n +a n +1 ; 2S 2n -1= 2n-1 a n.
即时训练 (1)(2018 厦门一检 ) 在等差 {a n } 中,3(a 3 +a 5 )+2(a 7 +a 10 +a 13 )=48, 则等差数 列 {a n } 的前 13 项的和为 ( ) A.24 B.39 C.52 D.104 (2)(2018 云南二检 ) 已知等差 {a n } 的前 n 项和为 S n,s 11 =22,a 4 =-12, 如果 当 n=m 时,S n 最小, 那么 m 的值为 ( ) A.10 B.9 C.5 D.4
选 C. 解析 :(1) 依题意,6a 4 +6a 10 =48, 即 12a 7 =48, 故 a 7 =4, 故 S 13 =13a 7 =52, 故 11a1 + 11 10 (2) 法一设等差 {a n } 的公差为 d. 由已知得 2 d=22 a 1 +3d=-12, 解得 a 1 =-33 d=7. 所以 S n =-33n+ n n-1 2 7= 7 2 n2-73n 2 =7 2 n-73 14 2-7 2 73 14 2, 因为 n N *, 所以当 n=5 时,S n 取得最小值, 故选 C.
11 a 1 +a 11 法二设等差 {a n } 的公差为 d. 由已知得 2 =22, 所以 11a 6 =22, 解 得 a 6 =2, 所以 d= a 6-a 4 2 =7, 所以 a n =a 4 +(n-4)d=7n-40, 所以 {a n } 是单调递 增, 又因为 a 5 =-5<0,a 6 =2>0, 所以当 n=5 时,S n 取得最小值, 故选 C. 答案 :(1)C (2)C
高频考点 等差的最值问题 典例 教材源题 已知等差 5,4 2 7,3 4 7, 的前 n 项和为 S n, 求使得 S n 最大的序号 n 的值. 解 : 由题意知, 等差 5,4 2 7,3 4 7, 的公差为 - 5 7, 所以 S n = n 2 2 5+ n-1-5 7
= 75n-5n2 14 =- 5 14 n- 15 2 2 + 1 125 56. 15 于是, 当 n 取 2 最接近的整数即 7 或 8 时,S n 取最大值.
规律总结 求等差的前 n 项和 S n 的最值时, 需要注意 自变量 n 为正整 数 这一隐含条件. 若对称轴取不到, 需考虑最接近对称轴的自变量 n(n 为正整数 ); 若对称轴对应两个正数的中间, 此时应有两个符合题意的 n 值.
原题变式 等差 {a n } 的首项 a 1 >0, 设其前 n 项和为 S n, 且 S 5 =S 12, 则当 n 为何值时,S n 有最大值? 解 : 法一设等差 {a n } 的公差为 d, 由 S 5 =S 12 得 5a 1 +10d=12a 1 +66d,d=- 1 8 a 1<0. 所以 S n =na 1 + n n-1 2 d =na 1 + n n-1 2 =- 1 16 a 1(n 2-17n) - 1 8 a 1
=- 1 16 a 1 n- 17 2 2 + 289 64 a 1, 因为 a 1 >0,n N *, 所以 n=8 或 n=9 时,S n 有最大值. 法二设等差 {a n } 的公差为 d, 同法一得 d=- 1 8 a 1<0. a n 0, 设的前 n 项和最大, 则 a n +1 0, an =a 1-1 + n-1 8 a 1 0, 即 a n +1=a 1-1 +n 8 a 1 0,
n 9, 解得 n 8, 即 8 n 9, 又 n N *, 所以当 n=8 或 n=9 时,S n 有最大值.