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袁怨富
5 years ago
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1 第三节二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的线性规划问题

2 1. 二元一次不等式 ( 组 ) 的解集满足二元一次不等式 ( 组 ) 的 x 和 y 的取值构成的, 有序数对 (x,y) 叫做二元一次不等式 ( 组 ) 的解, 所有这样的有序数对 (x,y) 构成的集合称为二元一次不等式 ( 组 ) 的解集.

3 2. 二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 (1) 在平面直角坐标系中二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C 0 表示区域直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成的平面区域 ( 半平面 ) 不包括边界包括边界不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

4 (2) 平面区域的确定对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点, 把它的坐标 (x,y) 代入 Ax+By+C, 所得的符号都, 相同所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点 (x 0,y 0 ) 作为测试点, 由 Ax 0 +By 0 +C 的符号即可断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

5 3. 线性规划的有关概念名称约束条件回顾教材夯基固本意义由变量 x,y 组成的不等式 ( 组 ) 线性约束条件由 x,y 的一次不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式组目标函数欲求最大值和最小值的函数线性目标函数关于 x,y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解 (x,y) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

6 知识拓展 1. 利用同号上, 异号下判断二元一次不等式表示的平面区域对于 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0, 则有 (1) 当 B(Ax+By+C)>0 时, 区域为直线 Ax+By+C=0 的上方 ; (2) 当 B(Ax+By+C)<0 时, 区域为直线 Ax+By+C=0 的下方. 2. 最优解和可行解的关系最优解必定是可行解, 但可行解不一定是最优解. 最优解不一定唯一, 有时唯一, 有时有多个.

7 1.(2018 漳州模拟 ) 图中阴影 ( 包括直线 ) 表示的区域满足的不等式是 ( ) A.x-y-1 0 B.x-y+1 0 C.x-y-1 0 D.x-y+1 0

8 解析 : 直线对应的方程为 x-y-1=0, 即对应的区域, 在直线的下方, 当 x=0,y=0 时,0-0-1<0, 即原点在不等式 x-y-1<0 对应的区域内, 则阴影 ( 包括直线 ) 表示的区域满足的不等式是 x-y-1 0. 答案 :A

9 1 x+y 3, 2. 在平面直角坐标系 xoy 中, 不等式组 -1 x-y 1, 表示图形的面积等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

10 解析 : 不等式组对应的平面区域如图, 即对应的区域为正方形 ABCD, 其中 A(0,1),D(1,0), 边长 AD= 2, 则正方形的面积 S= 2 2=2. 答案 :B

11 3. 下列命题 1 二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域是直线 Ax+By+C=0 的上方区域. 2 点 (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) 在直线 Ax+By+C=0 同侧的充要条件是 (Ax 1 +By 1 +C)(Ax 2 +By 2 +C)>0, 异侧的充要条件是 (Ax 1 +By 1 +C)(Ax 2 +By 2 +C)<0. 3 线性目标函数取得最值的点一定在区域的顶点或者边界上. 4 第二四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示. 其中正确的命题个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

12 解析 : 当 A>0,B<0 时,Ax+By+C>0 表示的平面区域是直线 Ax+By+C=0 的下方区域, 故 1 不正确,2 3 4 均正确. 答案 :C

13 x-y+1 0, 4.(2015 高考全国卷 Ⅱ) 若 x,y 满足约束条件 x-2y 0, x+2y-2 0, 则 z=x+y 的最大值为.

14 解析 : 作出可行域, 如图 : 回顾教材夯基固本由 z=x+y 得 y=-x+z, 当直线 y=-x+z 过点 A 1, 1 2 时,z 取得最大值,z max = =3 2. 答案 : 3 2

15 5. 某实验室需购买某种化工原料 106 千克, 现有市场上该原料的两种包装, 一种是每袋 35 千克, 价格为 140 元 ; 另一种是每袋 24 千克, 价格为 120 元, 在满足需要的条件下, 最少需花费元. 解析 : 把实际问题转化为数学问题, 设需要 35 千克的 x 袋,24 千克的 y 袋, 最少需花费 z 元, 35x+24y 106, 由题意, 得 x N, y N. 求 z=140x+120y 的最小值.

16 当 x=0 时, 则 y 53 12, 则 y=5 时,z=600, 当 x=1,y=3 时,z=500, 当 x=2,y=2 时,z=520, 当 x=3,y=3 时,z=540, 当 x=4,y=0 时,z=560, 综上得当 x=1,y=3 时, 花费最少. 答案 :500

17 考点一二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 x+y 2, 典例 1 (1)(2016 高考山东卷 ) 若变量 x,y 满足 2x-3y 9, x 0, 则 x 2 +y 2 的最大值是 ( ) A.4 B.9 C.10 D.12

18 x-y 0 (2) 若满足条件 x+y-2 0 y a 的整点 (x,y) 恰有 9 个, 其中整点是指横纵坐标都是整数的点, 则整数 a 的值为 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0

19 解析 :(1) 先作出不等式组表示的平面区域, 再求目标函数的最大值. 作出不等式组表示的平面区域, 如图中阴影部分所示.x 2 +y 2 表示平面区域内的点到原点距离的 x+y=2, 平方, 由 2x-3y=9 得 A(3,-1), 由图易得 (x 2 +y 2 ) max = OA 2 =3 2 +(-1) 2 =10. 故选 C.

20 (2) 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分, 当 a=0 时, 只有 4 个整点 (1,1),(0,0),(1,0),(2,0); 当 a=-1 时, 正好增加 (-1,-1),(0,-1),(1,-1), (2,-1),(3,-1)5 个整点, 故选 C. 答案 :(1)C (2)C

21 反思归纳 1 确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法是直线定界, 特殊点定域, 即先作直线, 再取特殊点并代入不等式组. 若满足不等式组, 则不等式组表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域 ; 否则就对应于特殊点异侧的平面区域. 2 当不等式中带等号时, 边界为实线, 不带等号时, 边界应画为虚线, 特殊点常取原点.

22 即时训练 (2016 高考四川卷 ) 设 p: 实数 x,y 满足 (x-1) 2 +(y-1) 2 2,q: 实数 x,y 满足 y x-1, y 1-x, y 1, 则 p 是 q 的 ( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

23 解析 : 画出 p 和 q 确定的平面区域, 根据图形进行判断. p 表示以点 (1,1) 为圆心, 2 为半径的圆面 ( 含边界 ), 如图所示.q 表示的平面区域为图中阴影部分 ( 含边界 ). 由图可知,p 是 q 的必要不充分条件. 故选 A. 答案 :A

24 考点二目标函数的最值 ( 高频考点 ) 命题方向求目标函数的最值求参数的值或范围命题视角一般是利用目标函数的几何意义求解, 有截距型斜率型距离型等, 考查最值的求法考查最优解的应用及可行域的画法, 属中档题

25 命题点一求目标函数的最值 2x-y+1 0, 典例 2 (1)(2016 高考全国卷丙 ) 设 x,y 满足约束条件 x-2y-1 0, x 1, 则 z =2x+3y-5 的最小值为 ; x-1 0, (2)(2015 高考全国卷 Ⅰ) 若 x,y 满足约束条件 x-y 0, x+y-4 0, y 则 x 的最大值为.

26 解析 :(1) 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 由题意可知, 当直线 y=- 2 3 x+5 3 +z 3 过点 A(-1,-1) 时,z 取得最小值, 即 z min =2 (-1)+3 (-1)-5=-10.

27 (2) 作出不等式如图中阴影部分所示, 由斜率的意义知, y x 是可行域内一点与原点连线的斜率, 由图可知, 点 A(1,3) 与原点连线的斜率最 y 大, 故 x 的最大值为 3. 答案 :(1)-10 (2)3

28 命题点二求参数的值或范围 x-y 0, 典例 3 (2015 高考山东卷 ) 已知 x,y 满足约束条件 x+y 2, y 0. 若 z=ax+y 的最大值为 4, 则 a=( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3

29 解析 : 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示, 若 z =ax+y 的最大值为 4, 则最优解为 x=1,y=1 或 x=2,y=0, 经检验知 x=2,y=0 符合题意, 2a+0=4, 此时 a=2. 答案 :B

30 反思归纳线性目标函数最值问题的解题策略 1 求线性目标函数的最值. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得, 所以对于一般的线性规划问题. 我们可以直接解出可行域的顶点, 然后将坐标代入目标函数求出相应的数值, 从而确定目标函数的最值. 2 由目标函数的最值求参数. 求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种 : 一是把参数当成常数用, 根据线性规划问题的求解方法求出最优解, 代入目标函数确定最值, 通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围 ; 二是先分离含有参数的式子, 通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件, 确定最优解的位置, 从而求出参数.

31 即时训练 x 0, (1)(2017 高考浙江卷 ) 若 x,y 满足约束条件 x+y-3 0, x-2y 0, 则 z=x+2y 的取值范围是 ( ) A.[0,6] C.[6,+ ) B.[0,4] D.[4,+ )

32 x-y+5 0, (2) 设 x,y 满足约束条件 x+y 0, x 3, 则 z=(x+1) 2 +y 2 的最大值为 ( ) A.80 B.4 5 C.25 D. 17 2

33 x a (3)(2018 湖南省东部六校联考 ) 实数 x,y 满足 y x x+y 2 (a<1), 且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍, 则 a 的值是 ( ) A B. 1 4 C. 1 2 D. 11 2

34 x 1 y -1 (4)(2018 石家庄市教学质量检测 ) 已知 x,y 满足约束条件 4x+y 9 x+y 3, 若 2 m 4, 则目标函数 z=mx+y 的最大值的变化范围是 ( ) A.[1,3] C.[4,9] B.[4,6] D.[5,9]

35 解析 :(1) 可行域为一开放区域, 所以直线过点 (2,1) 时取最小值 4, 无最大值, 选 D. x-y+5 0, (2) 作出不等式组 x+y 0, x 3 表示的平面区域, 如图中阴影部分所示. (x+1) 2 +y 2 可看作点 (x,y) 到点 P(-1,0) 的距离的平方, 由图可知可行域内的点 A 到点 P(-1,0) 的距离最大.

36 x=3, 解方程组 x-y+5=0, 得 z max =(3+1) =80. 回顾教材夯基固本得 A 点的坐标为 (3,8), 代入 z=(x+1) 2 +y 2, (3) 如图所示, 平移直线 2x+y=0, 可知在点 A(a,a) 处 z 取最小值, 即 z min =3a, 在点 B(1,1) 处 z 取最大值, 即 z max =3, 所以 12a=3, 即 a= 1 4.

37 (4) 画出不等式组所表示的区域, 如图阴影部分所示, 作直线 l:mx+y=0,m [2,4], 则由图可知当 x=2,y=1 时,z 取得最大值, 即 z max =2m+1 [5,9], 故选 D. 答案 :(1)D (2)A (3)B (4)D

38 考点三实际生活中的线性规划问题典例 4 (2016 高考全国卷乙 ) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲乙两种新型材料. 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg, 乙材料 1 kg, 用 5 个工时 ; 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg, 乙材料 0.3 kg, 用 3 个工时, 生产一件产品 A 的利润为元, 生产一件产品 B 的利润为 900 元. 该企业现有甲材料 150 kg, 乙材料 90 kg, 则在不超过 600 个工时的条件下, 生产产品 A 产品 B 的利润之和的最大值为元.

39 解析 : 设生产产品 Ax 件, 产品 By 件, 则 1.5x+0.5y 150, x+0.3y 90, 5x+3y 600, x 0,x N *, y 0,y N *. 目标函数 z=2 100x+900y.

40 作出可行域为图中的阴影部分 ( 包括边界 ) 内的整数点, 图中阴影四边形的顶点坐标分别为 (60,100),(0,200),(0,0),(90,0). 当直线 z=2 100x+900y 经过点 (60,100) 时,z 取得最大值,z max = = ( 元 ). 答案 :

41 反思归纳 1. 解线性规划应用题的步骤 1 转化设元, 写出约束条件和目标函数, 从而将实际问题转化为线性规划问题 ; 2 求解解这个纯数学的线性规划问题 ; 3 作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2. 求解线性规划应用题的三个注意点 1 明确问题中的所有约束条件, 并根据题意判断约束条件是否能够取到等号. 2 注意结合实际问题的实际意义, 判断所设未知数 x,y 的取值范围, 特别注意分析 x,y 是否是整数是否是非负数等. 3 正确地写出目标函数, 一般地, 目标函数是等式的形式.

42 即时训练小明准备用积赞的 300 元零用钱买一些科普书和文具, 作为礼品送给山区的学生. 已知科普书每本 6 元, 文具每套 10 元, 并且买的文具的数量不少于科普书的数量. 那么最多可以买的科普书与文具的总数是.

43 解析 : 设买科普书 x 本与文具 y 套, 总数为 z=x+y, 6x+10y 300, 由题意可得 x y, x,y N 作出可行域如图中阴影部分, 将 z=x+y 转化为 y=-x+z, 作出直线 y=-x 并平移, 使之经过可行域, 易知经过点 A 75 4,75 4 解为 (18,19), 此时 z 最大为 37. 时, 纵截距最大, 但因 x,y 均属于正整数, 故取得最大值时的最优

44 答案 :37

45 易误警示含参数的线性规划问题 y 0, 典例 (1) 在直角坐标系 xoy 中, 若不等式组 y 2x, y kx-1-1, 表示一个三角形区域, 则实数 k 的取值范围是. x-y 0, (2) 已知 x,y 满足约束条件 x+y 2, y 0, 若 z=ax+y 的最大值为 4, 则 a=.

46 错解展示解析 :(1) 如图, 直线 y=k(x-1)-1 过点 (1,-1), 域. 作出直线 y=2x, 当 k<-1 或 0<k<2 或 k>2 是, 不等式组表示一个三角形区

47 (2) 由不等式组表示的可行域, 可知 z=ax+y 在点 A(1,1) 处取到最大值 4, a+1=4, a=3. 答案 :(1)(-,-1) (0,2) (2,+ ) (2)3

48 现场演练解析 :(1) 直线 y=k(x-1)-1 过定点 (1,-1), 当这条直线的斜率为负值时, 该直线与 y 轴的交点必须在坐标原点上方, 即直线的斜率为 (-,-1), 只有此时可构成三角形区域.

49 (2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. x-y=0, 由 x+y=2, 得 A(1,1). z=ax+y 等价于 y=-ax+z, 因为 z 的最大值为 4, 即直线 y=-ax+z 的纵截距最大为 4.

50 若 z=ax+y 在 A(1,1) 处取得最大值, 则纵截距必小于 2, 故只有直线 y=-ax+z 过点 (2,0) 且 -a<0 时符合题意, 4=a 2+0, 即 a=2. 答案 :(1)(-,-1) (2)2

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于