試題 設 f (x) ( x 3 x ) 9 (1) f (x) 的常數項為. () f (x) 的各項係數和為. 編碼 010614 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 51;() 51 多項式 f (x) 滿足 8 f (x) 5x 6 f (x 3 ) f (x ) 18 0,則 f (x) 的常數項為. 編碼 010615 難易 易 出處 康熹自命題 解答 3 f (x) 的常數項為 f (0) 由 8 f (x) 5x 6 f (x 3 ) f (x ) 18 0,令 x 0 8 f (0) 0 f (0) 18 0 f (0) 3 多項式 (x 1)(x )(x 3)(x 4)(x 5)(x 6)(x 7)(x 8) 展開後,按降冪排列為 8 x 8 7 x 7 6 x 6 5 x 5 4 x 4 3 x 3 x 1 x 0,求係數 7 的值為. 編碼 010616 難易 易 出處 北一女中段考題 解答 36 7 ( 1) ( ) ( 3) ( 8) 36 設 (x 5 3x 4 4x 3 x 6)(x 4 x 3 4x 3x 5) 9 x 9 8 x 8 7 x 7 1 x 0,則 (1) 8 6 4 0 之值. () 9 7 5 3 1 之值. 編碼 010617 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1) 7;() 13 令 f (x) (x 5 3x 4 4x 3 x 6)(x 4 x 3 4x 3x 5) 9 x 9 8 x 8 7 x 7 1 x 0 則 f (1) 9 8 7 1 0 (1 3 4 6)( 1 4 3 5) 6 f ( 1) 9 8 7 6 1 0 ( 1 3 4 6)( 1 4 3 5) ( 4) 5 0 (1) 8 6 4 0 () 9 7 5 3 1 f ( 1) f ( 1) 6 0 7 f ( 1) f ( 1) 6 0 13 多項式 x 3 4x + 5x 3 除以 f (x) 的商式為 x,餘式為 x 5,則 f (x).
編碼 010618 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x x 1 x x 3 4x + 5x 3 f (x)(x ) x 5 f (x) 3 4x x 3x x x 1 若多項式 x 3 4x 5x 3 除以 f (x) 之商式為 x,餘式為 x 1,則 f (x). 編碼 010619 難易 易 出處 康熹自命題 解答 x x 1 由除法定理知 x 3 4x 5x 3 f (x)(x + ) x 1 f (x)(x ) x 3 4x 3x 除以 x 得 f (x) (x 3 4x 3x ) (x ) x x 1 4 3 求多項式 x x 8x 3x 18 除以 x x 的 (1) 商 = () 餘式. 編碼 01060 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) x 3x 9;()0 13 9 11 1 8 3 18 11 3 6 3 3 3 6 9 9 18 9 9 18 0 商為 x 3x 9,餘式 0 3 若 x x 10除以 x 3x b 的商為 x c餘式 3x,求 (, b, c). 編碼 01061 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ( 11,, 6)
6 1 3 b 0 10 6 b 6 ( b) 10 6 18 6b ( b 18) (10 6 b) 商為 x 6,餘式 ( b 18) x (10 6 b) c 6 b 18 3 10 6b 若多項式 f( x ) 除以 x 餘式. 11, b 3x 的商為 x 6,餘式 3x,求 f( x ) 除以 x x 1的 (1) 商. () 編碼 0106 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) x ;() 11x 1 f x x x x x x x 3 ( ) ( 3 )( 6) 3 11 10 111 0 1110 商為 x,餘式 11x 1 13 10 111 設多項式 f( x ) 除以 x x 的商為 4x,餘式 x 1,求 f( x ) 除以 x 餘式. x 1的 (1) 商. () 編碼 01063 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1)8x 4;() x 1 f( x) x x f( x) x x1 4x x1 不變 8x 4 x1 3 設多項式 f( x ) 除以 x 1 的餘式為 x x 3,求 f( x ) 除以 x x 1 的餘式為. 編碼 01064 難易 中 出處 康熹自命題 解答 3x 1
3 x x x x 1 ( 1)( 1) ( x 1) f( x) ( x 1)( x x 1) f( x) x x1 x x3 餘式不變 x x3 ( 但不符除法原理,餘式次數小於除式次數 ) x x3 x x1 3x 1,故餘式為 3x 1 設 f (x) 為一多項式,, b R, 0,以 x b 除 f (x) 所得之商式為 Q(x),餘式為 r,則以 x b 除 f ( x ) 所得之 商式為. 編碼 01065 難易 易 出處 羅東高中段考題 x Q ( ) 解答 x Q ( ) b x x b x f (x) (x )Q(x) r f ( ) ( )Q( ) r (x b) r x Q ( ) x 故以 x b 除 f ( ) 所得之商式為 3 多項式 f (x) 除以 x 3 的商式為 q(x),餘式為 4,則 x f (x) 除以 x 的 (1) 商為. () 餘式為. 編碼 01066 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1) xq(x) 4;() 6 設 f (x) 以 x b 除之商為 q(x),餘式為 r,則 x f (x) 被 (x b) 除之商式為. 編碼 01067 難易 中 出處 武陵高中段考題 解答 x q(x) r
f (x) (x b ) q(x) r x f (x) (x b ) xq(x) xr (x b) x q(x) (x b) r br (x b)( x q(x) r ) br x f (x) 被 (x b) 除之商式為 x r q(x) 設多項式 f (x) 除以 x b 的餘式是 r,則 x f (x) 除以 x b 的餘式為. 編碼 01068 難易 中 出處 臺中一中段考題 b r 解答 b 已知 f (x) (x )q(x) r b 1 r br b r x f (x) x (x ) q(x) rx (x b) x q(x) ( x )(x b) 1 r br b r (x b)[ x q(x) ( x )] b r 故餘式為 b 設 f (x) 以 x b 除之,商為 q (x),餘式為 r,則 f (x) 以 x 除之,得到 (1) 商式為. () 餘式為. 編碼 01069 難易 中 出處 高雄女中段考題 解答 (1) q(x);()r b 已知 f (x) (x b) q (x) r, f (x) (x b) q (x) r (x )( q(x)) r 商式為 q(x),餘式為 r 以 x x 4 除 (x 3x ) 4 之餘式為. 編碼 010630 難易 中 出處 康熹自命題 解答 7x 144
令 p x x 4 x 3x p x (x 3x ) 4 [p (x )] 4 p 4 4p 3 (x ) 6p (x ) 4p(x ) 3 (x ) 4 p[p 3 4p (x ) 6p(x ) 4(x ) 3 ] x 4 8x 3 4x 3x 16 x 4 8x 3 4x 3x 16 (x x 4)( x 10x 40) ( 7x 144) 所求餘式為 7x 144 設二多項式 f (x), g (x) 其次數均大於,已知 f (x) 與 g (x) 除以 x x 1 之餘式分別為 x 1 與 x 3,則 (1) f (x) g (x) 除以 x x 1 之餘式為. () f (x) 3g (x) 除以 x x 1 之餘式為. (3) f (x).g (x) 除以 x x 1 之餘式為. 編碼 010631 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1) 3x ;() x 11;(3) 3x 1 由除法定理,令 f (x) (x x 1) q 1 (x) x 1, g (x) (x x 1) q (x) x 3 (1) f (x) g (x) (x x 1)[ q 1 (x) q (x)] 3x f (x) g (x) 除以 x x 1 的餘式為 3x () f (x) 3g (x) [ (x x 1) q 1 (x) 4x ] [ 3(x x 1) q (x) 3x 9] (x x 1) [ q 1 (x) 3q (x) ] x 11 f (x) 3g (x) 除以 x x 1 的餘式為 x 11 (3) f (x) g (x) [(x x 1) q 1 (x) x 1] [(x x 1) q (x) x 3] (x x 1) q 1 (x) q (x) (x x 1)(x 3) q 1 (x) (x x 1)(x 1) q (x) (x 1)(x 3) (x x 1) Q(x) (x 1)(x 3) (x x 1) Q(x) (x x 1) 3x 1 (x x 1) [Q(x) ] 3x 1 f (x) g (x) 除以 x x 1 的餘式為 3x 1 說明 f (x) g (x) 除以 x x 1 的餘式,即 f (x) 及 g (x) 除以 x x 1 之餘式 x 1 與 x 3 之乘積除以 x x 1 的餘式 (x 1)h(x) 被 x x 1 除的餘式為 6x 3,則多項式 h(x) 被 x x 1 除的餘式為. 編碼 01063 難易 中 出處 內湖高中段考題 解答 3x 設 h(x) (x x 1)q(x) x b (x 1)h(x) (x 1)(x x 1)q(x) (x 1)(x b) (x x 1)(x 1)q(x) [x (b )x b] (x x 1)(x 1)q(x) [(x x 1) (b )x ( b)] (x x 1)[(x 1)q(x) ] (b )x ( b) b 6 3 (b )x ( b) 6x 3 得 b 3 b 0
故餘式 r(x) x b 3x 設 x x 除 x 4 x 3 x x 3 的餘式為 x b,, b R,則數對 (, b). 編碼 010633 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (3,5) x x 除 x 4 x 3 x x 3 的餘式為 x b x x (x 4 x 3 x x 3) (x b) x 4 x 3 x ( )x (3 b) 3 0 且 5 b 0 3, b 5 f (x) x 3 5x 8x, g (x) x 4x b,已知 f (x) 是 g (x) 的倍式,則 (1). ()b. 編碼 010634 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1)6;() f (x) x 3 5x 8x 是 g (x) x 4x b 的倍式,即 g (x) 整除 f (x),用綜合除法 餘式為 0,故 4 b 0, 3b 0 得 b, 6 x 的多項式 f (x) 滿足 f (x 1) f (x) x 3 且 f (0),則最低次的 f (x). 編碼 010635 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x 4x 已知 f (x 1) f (x) x 3,知 f (x) 最低次數為二次令 f (x) x bx c, f (0) c 又 f (x 1) (x 1) b (x 1) x ( + b) x b +, f (x) x bx f (x 1) f (x) x b x 3 比較係數,得, b 3 1, b 4
故 f (x) x 4x 若 x 3 3x mx 可被 x nx 1 整除,則 (m, n). 編碼 010636 難易 易 出處 高雄女中段考題 解答 (3,1) 整除 3 n m 1 1 n 1 3 n 1 1 m 3 則 得,故數對(m, n) (3,1) m 1 n 1 n 1 設 f (x) x, g (x) x 3 x 7x 8,若 f (h (x)) g (x),則 h (x). 編碼 010637 難易 易 出處 康熹自命題 解答 x 3 x 7x 6 f (x) x f (h (x)) h (x) 但 f (h (x)) g (x) x 3 x 7x 8 h (x) g (x) x 3 x 7x 6 若 b 且 x 4 x 3 7x x 10 可被 x x b 整除,則 b. 編碼 010638 難易 中 出處 臺中一中段考題 解答 1 b14 0 (, b) (4, 5),(10, )( 不合 ) 10 7b b 0 b 4 5 1
f (x) x 4 bx 3 1 可被 (x 1) 整除,則 (1)(, b). () 商式為. 編碼 010639 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1)(3, 4);() 3x x 1 3 設 x x 5x 可被 x 3x b 整除,則 (, b). 編碼 010640 難易 易 出處 康熹自命題 10 解答 (1, 1) 或 (, 6) 3 1 ( 3) 1 3 b 1 5 1 3 ( 3) ( 5 b) ( 3) 3( 3) b( 3) 5 b 3 9 b 4 3代入下式 b ( 3) 3 13 10 0 1或 10 (, b) (1, 1) 或 (, 6) 3 1 1 x,求(1) x b 0 10 3 b 1或 6 x.() 4 f ( x) x 5x 4x 3. 編碼 010641 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1)5;() 9 1 1 1 (1) x x 1 1 4x 4x 1 1 x x 5 0 x x 5 1 1 1 1 () f ( x) ( x x 5)( x x 1) x 8 f ( ) 0 8 9 1 f (x) x 4 bx 3 cx dx e (x ) 4 (x ) 3 3(x ) (x ) 1,則 d. 編碼 01064 難易 易 出處 北一女中段考題
解答 70 令 (x ) t x t 原式 t 4 t 3 3t t 1 (t ) 4 b(t ) 3 c(t ) d(t ) e 設 g(x) 16x 4 8x 3 8x 16x 5 (x 1) 4 b(x 1) 3 c(x 1) d(x 1) e,則 (1) 序組 (, b, c, d, e). () g(0.499). ( 求近似值到小數第三位,第四位四捨五入 ) 編碼 010643 難易 中 出處 高雄女中段考題 解答 (1) (1,3, 4, 5,6);() 6.010 (1) 得序組 (, b, c, d, e) (1,3, 4, 5,6) () 由 (1), g(x) (x 1) 4 3(x 1) 3 4(x 1) 5(x 1) 6 則 g(0.499) 6 5 ( 0.00) 4( 0.00) 6.009984 6.010 將一多項式 f (x) x 3 3x x 3 表示成 (x ) 3 b(x ) c(x ) d 的形式,其中, b, c, d 皆為實數. (1) 求 (, b, c, d). () 利用 (1) 之結果計算 f (1.99) 之近似值至小數第四位為. 編碼 010644 難易 中 出處 基隆女中段考題 解答 (1) (1,3,1,1);() 0.9903
(1) f (x) x 3 3x x 3 (x ) 3 b(x ) c(x ) d (, b, c, d) (1,3,1,1),即 f (x) 1 (x ) 3(x ) (x ) 3 () f (1.99) 1 (1.99 ) 3(1.99 ) (1.99 ) 3 1 0.01 3 0.0001 0.9903 求 81(0.666) 4 54(0.666) 3 63(0.666) 39(0.666) 5 之近似值到小數點後第三位 ( 第四位以後四捨五入 ). 編碼 010645 難易 中 出處 臺中一中段考題 解答 3.014 令 f (x) 81x 4 54x 3 63x 39x 5 由綜合除法可知 f (x) 1.(3x ) 4 6(3x ) 3 + 5(3x ) 7(3x ) 3 3x 3(0.666) 1.998 0.00 故 f (0.666) 3.014( 只取後二項之值即可 ) 設 f (x) 81x 4 63x 39x 5,則 f (0.334) 之近似值至小數點後第三位為. 編碼 010646 難易 中 出處 臺中一中段考題 解答 1.006
f (x) (3x 1) 4 4(3x 1) 3 (3x 1) 3(3x 1) 1 f (0.334) (0.00) 4 4(0.00) 3 (0.00) 3(0.00) 1 1.006 設 f (x) x 5 3x 4 x 3 + x 1,求 f ( 1.99) 之近似值至小數點以下第三位 ( 第四位四捨五入 ) 得. 編碼 010647 難易 中 出處 嘉義高中段考題 解答 8.60 原式 (x ) 5 7(x ) 4 + 14(x ) 3 4(x ) 38(x ) 9 f ( 1.99) (0.01) 5 7(0.01) 4 14 (0.01) 3 + 4(0.01) 38(0.01) 9 9 0.38 0.0004 8.60 4 若 f ( x) x 16x 3x 8,求 f (3.01) 至小數第二位 :. 編碼 010648 難易 中 出處 康熹自命題 解答 5.44 x 以 3.01 代入 先將 f( x ) 表示成 x 3的多項式 4 3 即 f ( x) ( x 3) b( x 3) c( x 3) d( x 3) e 1 0 16 3 8 3 3 9 1 33 1 3 7 11 5 3 18 33 1 6 11 44 3 7 19 38 3 1 1 1 b c d e 4 3 故 f ( x) ( x 3) 1( x 3) 38( x 3) 44( x 3) 5 4 3 f (3.01) (0.01) 1(0.01) 38(0.01) 44(0.01) 5 取至小數第二位 5.44
3 3 若 f ( x) 4x 16x 16x 17 (x 1) b(x 1) c(x 1) d,求 (1). () b. (3) c. (4) d. (5) f (0.501) 至小數第三位為. 編碼 010649 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1)3;()5;(3) 7 ;(4)8;(5)7.986 1 4 16 16 17 1 9 ( ) 4 4 18 8 1 9 6 ( )1 4 7 6 3 ( ) 6 5 b 3 c d 3 由上式知 f ( x) 3(x 1) 5(x 1) 7(x 1) 8 3 f (0.501) 3(0.00) 5(0.00) 7(0.00) 8 求至小數第三位 7.986 3 f ( x) 8x 8x 56x 43,求 f (1.501) 至小數第三位為. 編碼 010650 難易 中 出處 康熹自命題 解答 5.06 x 1.501 3,故將 f( x ) 表成 x 3的多項式
3 8 8 56 43 1 4 48 ( ) 8 16 3 5 4 8 16 6 3 ( ) 4 13 1 3 ( ) b 1 c d f x x x x 3 ( ) ( 3) ( 3) 13( 3) 5 3 f (1.501) (0.00) (0.00) 13(0.00) 5 求到小數第三位 5.06 x x 1 A B C 設,則實數序對(A, B, C). ( x 1)( x )( x 3) x 1 x x 3 編碼 010651 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1, 7,8) 利用 b c b c x x 1 A( x )( x 3) B( x 1)( x 3) C( x 1)( x ) ( x 1)( x )( x 3) ( x 1)( x )( x 3) A(x )(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x ) x x 1 令 x 1,A A 1 令 x, B 7 B 7 令 x 3,C 16 C 8 設 3(x 1) 3 4(x 1) (x 1)(x )(x 1) b(x 1)(x ) c(x ) d,, b, c, d R,則數對 (, b, c, d). 編碼 01065 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (3,1,7,9) 解 1 令 x, d 3 4 9 令 x 1, c d c 7 令 x 1 6b 3c + d 6 b 1 令 x 0 b c d 3 3
解 3(x 1) 3 4(x 1) 3x 3 5x x 3 3(x 1) 3 4(x 1) 9 7(x ) 1(x )(x 1) 3(x )(x 1)(x 1) d 9, c 7, b 1, 3 設 x 3 x 3x 4 (x 1)(x 1)(x ) b(x 1)(x 1) c(x 1) d (1) (d, c). () (b, ). 編碼 010653 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1) (,4);() (4,1) 設 deg f (x) 3, f (13) 5, f (14) 6, f (15) 5, f (16) 44,則 f (1) 之值為. 編碼 010654 難易 中 出處 康熹自命題 解答 40 解 1 設 f (x) (x 15) 3 b(x 15) c(x 15) 5 f (13) 5 f (14) 6 f (16) 44 8 4b c 5 5 b c 5 6 b c 5 44 4 b c 10 b c 19 b c 19 b 0, 3, c f (x) 3(x 15) 3 (x 15) 5 f (1) ( 3)( 7) ( 3) 5 40 解 ( x 14)( x 15)( x 16) ( x 13)( x 15)( x 16) f( x) 5 6 (13 14)(13 15)(13 16) (14 13)(14 15)(14 16) ( x 13)( x 14)( x 16) ( x 13)( x 14)( x 15) 5 44 (15 13)(15 14)(15 16) (16 13)(16 14)(16 15) ( )( 3)( 4) ( 1)( 3)( 4) ( 1)( )( 4) ( 1)( )( 3) f (1) 5 6 5 44 ( 1)( )( 3) (1)( 1)( ) ()(1)( 1) (3)()(1) 0 36 100 44 40 設 x 4 (x k)(x 1)(x )(x ) (x 1)(x ) b(x 1) c,則 b c k. 編碼 010655 難易 中 出處 臺中一中段考題
解答 令 x 1 1 c;x 16 3b 1 b 5 x 16 4 5 1 5;x 0 0 4k 10 5 1 k 1 則 b c k 3 設 x 的多項式 3( x 1) 4( x 1) ( x 1)( x )( x 1) b( x 1)( x ) c( x ) d,求 (, b, c, d). 編碼 010656 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (3, 1, 7, 9) x 代入 3 4 d d 9 x 1代入 c( 1) d c 7 x 1代入 x 0 代入 3 3 ( ) 4 ( ) ( )( 3) ( 3) b c d 即 6b 3c d 6 b 1 3 3 ( 1) 4 ( 1) ( 1)( ) 1 ( 1)( ) ( ) b c d 即 b c d 3 14 9 3 3 設 k 為實數,若多項式 f (x) 有下列性質: f (x + k) = f (x) + k, f (1) = 5,則 f (x) =. 編碼 010657 難易 難 出處 建國中學段考題 解答 x + 3 f (x + k) f (x) = k 為零次多項式 deg f (x) = 1,令 f (x) = x + b f (x + k) = (x + k) + b = x + k + b f (x + k) f (x) = (x + k + b) (x + b) = k k = k =,又 f (1) = 5 1 + b = 5 b = 3 即 f (x) = x + 3 下式是小明利用綜合除法計算三次多項式 f (x) 除以 x 1 的算式,因不小心將飲料翻倒在計算紙上,所以只能辨 識部分數字 :( 無法辨識的數字以英文字母代替 ) 若小明沒有計算錯誤,求 + b + c + d 的值為. b c d 1 ) 5 e f g 3 h 8 編碼 010658 難易 中 出處 正義高中段考題 解答 8
= g, g 1 = 5 g = 5, b + 5 = 3 b =,3 1 = e e = 3 又 c + e = h c + 3 = h, h 1 = f, d + f = 8 + b + c + d = 5 + ( ) + (h 3) + ( 8 f) = 5 + ( ) + (f 3) + ( 8 f) = 8 設 x 10 x 9 + x 8 = 10 (x 1) 10 + 9 (x 1) 9 + 8 (x 1) 8 + + 1 (x 1) + 0,且 0, 1,, 10 皆為實數. (1) 求 10 的值 =. () 求 0 的值 =. (3) 求 10 9 + 8 7 + 6 5 + 4 3 + 1 + 0 的值 =. 編碼 010659 難易 中 出處 高雄女中段考題 1 解答 (1) 51 ;() 1 51 ;(3) 1 56 (1) 比較係數 10 10 1 1 = 10 = 9 51 () 令 x = 1 代入 1 10 1 9 1 8 1 10 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 51 (3) 令 x = 0 代入 10 9 + 8 7 + 6 5 + 4 3 + 1 + 0 = 0 10 9 + 8 7 + 6 5 + 4 3 + 1 + 0 = 10 + ( 10 9 + 8 7 + 6 5 + 4 3 + 1 + 0) + 0 = 1 1 1 0 51 51 56 多項式 f (x) 除以 x 1 得商式為 Q (x),餘式為 4,且 Q (x) 除以 x + 時,餘式為 5,則 f (x) 除以 x + 的餘式為. 編碼 010660 難易 易 出處 臺中女中段考題 解答 11 f (x) = (x 1) Q (x) + 4 Q (x) 除以 x + 的餘式為 5 Q ( ) = 5 f (x) 除以 x + 的餘式為 f ( ) = ( 1) Q ( ) + 4 = 3 5 + 4 = 11 已知 f (x) (x 1)(x 10 1) x 1,則 (1) f (x) 除以 x 1 得餘式為. () (x 1) f (x) 除以 x 1 得商式為. 編碼 010661 難易 中 出處 建國中學段考題 解答 (1) ;() x 11 x 10 x
所求 f ( 1) [( 1) 1][( 1) 10 1] 1 1. 1 1 (x 1) f (x) (x 1)(x 1)(x 10 1) (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)(x 10 1) (x 1) (x 1)[(x 1)(x 10 1) 1] 得商式為 (x 1)(x 10 1) 1 x 11 x 10 x 設 f (x) 351x 5 69x 4 3x 3 9x 36x 50,則 f (). 編碼 01066 難易 易 出處 建國中學段考題 解答 10 由上綜合除法可知 : 餘式 r f () 10 f (x) x 6 5x 5 4x 4 50x 3 49x 110x 107,則 f ( f (1)). 編碼 010663 難易 易 出處 臺中一中段考題 解答 13 由綜合除法知 f (1) f ( f (1)) f () 13 7 5 6 7 4 4 7 3 6 7 33 7 1. 編碼 010664 難易 易 出處 武陵高中段考題 解答 7 令 f (x) x 5 6x 4 4x 3 6x 33x 1,所求 f (7) 由綜合除法 所求 f (7) 7 設 f (x) 除以 (x 1) 的餘式是 x,除以(x ) 的餘式是 3x 4,則 f (x) 除以 (x 1)(x ) 的餘式是. 編碼 010665 難易 中 出處 臺中一中段考題 解答 4x 19x 1
f ( x) ( x 1) q1( x) x 已知 f ( x) ( x ) q ( x) 3x 4 f (1) 3 設 f (x) (x 1)(x ) Q(x) [ (x ) 3x 4] 令 x 1 代入 f (1) (3 4) 3 得 4 故餘式為 4(x ) 3x 4 4x 19x 1 11 5 4.11 4 7.11 3 56.11 15.11 7. 編碼 010666 難易 易 出處 康熹自命題 解答 51 多項式 x 4 x 3 3x bx 6 有一次因式 x 1 及 x,則 (1), b 之值為. () 另一個因式為. 編碼 010667 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 3, b 1;() x x 3 設 f (x) 與 g (x) 為實係數多項式,以 x 3x 除 f (x) 得餘式為 3x 4,以 x 1 除 g (x) 得餘式為 5,則以 x 1 除 f (x) g (x) 的餘式為. 編碼 010668 難易 中 出處 康熹自命題 解答 4 f (x) (x 3x ) q (x) 3x 4 f (1) 0.q (1) 3 4 1 以 x 1 除 g (x) 之餘式為 5 g (1) 5 以 x 1 除 f (x) g (x) 之餘式為 f (1) g (1) (1) 5 4 設 f (x) (x x 1) q(x) x 5,且 f (x) 之各項係數和為,則 q(x) 除以 x 1 之餘式為. 編碼 010669 難易 中 出處 康熹自命題 解答 5 f (x) (x x 1) q(x) x 5 f (x) 之各項係數和為 f (1) q(1) 5 q(1) 5 故 q(x) 除以 x 1 之餘式為 q(1) 5 若三次多項式 g (x) 的 g ( 1) g (0) g () 0, g (1) 4,試問 (1) g (x). () 若多項式 h (x) x 4 x 1,則 3 g(x) 4h (x) 被 x 1 除的餘式為.
編碼 010670 難易 中 出處 內湖高中段考題 解答 (1) x (x 1)(x );() 8 (1) 由 g ( 1) g (0) g () 0, deg g (x) 3,可設 g (x) x(x 1)(x ) 又 g (1) (1) 4,故 g (x) x (x 1)(x ) () 令 F (x) 3g (x) 4h (x) 則所求餘式為 F (1) 3g (1) 4h(1) 3 4 4 (1 1 1) 1 4 8, b 為常數,若 x 3 與 3x 1 均為 x 3 bx 47x 15 的因式,則數對 (, b). 編碼 010671 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (4,) 令 f (x) x 3 bx 47x 15 3 7 9 141 x 3 f (x) f ( ) 0 b 15 0 3 b 76 8 4 1 1 1 47 3x 1 f (x) f ( ) 0 b 15 0 3b 18 3 7 9 3 3 11b 76 54 b 代入 得 4 設 f (x) (x 1)(x ) b(x )(x 3) c(x 3)(x 1),其中, b, c 為常數,若 f (10) f (100) f (1000) 5, 則序組 (, b, c). 編碼 01067 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ( 5, 5, 5) f (x) (x 1)(x ) b(x )(x 3) c(x 3)(x 1), deg f (x) 又 f (10) f (100) f (1000) 5 f (x) 5 即 (x 1)(x ) b(x )(x 3) c(x 3)(x 1) 5 5 x 3 代入得 5 5 x 1 代入得 b 5 b x 代入得 c 5 c 5 5 5 (, b, c) (,, 5) 多項式 f (x) 被 x 除之餘式為 5,商 Q (x) 被 x 3 除之餘式為 3,則 f (x) 被 x 3 除的餘式為.
編碼 010673 難易 易 出處 康熹自命題 解答 10 f (x) (x ) Q (x) 5 被 x 3 除的餘式為 f ( 3) ( 3 ) Q ( 3) 5 ( 5)(3) 5 10 多項式 f (x), f (x) (x 3) 之餘式為, f (x) (x 5x 3) 之餘式為 4x 1,則(1) f (x) (x 7x 3) 之餘式為. () f (x) (x 3)(x 5x 3) 之餘式為. 編碼 010674 難易 中 出處 武陵高中段考題 解答 (1) 5 x 5 4 ;() 5 3 x 5 x 10 1 (1) f (x) (x 5x 3) q 1 (x) 4x 1 (x 1)(x + 3) q 1 (x) 4x 1 f ( 1 ) 4 1 1 1 又 x 7x 3 (x 1)(x 3) 可設 f (x) (x 1)(x 3) q (x) (x 3) f ( 1 ) ( 1 3) 1 5 f (x) (x 7x 3) 的餘式為 4 (x 3) x 5 5 5 () 設 f (x) (x 3)(x 5x 3) q 3 (x) b(x 5x 3) 4x 1 f (3) b( 3 5 3 3) 4 3 1 30b 11 b 10 3 故 f (x) (x 3)(x 5x 3) 的餘式為 10 3 (x 5x 3) 4x 1 5 3 x 5 x 10 1 設 f (x) 為實係數多項式,以 x 1 除之,餘式為 9; 以 x 除之,餘式為 16,求 f (x) 除以 (x 1)(x ) 的餘式為. 編碼 010675 難易 易 出處 基隆女中段考題 解答 7x 已知 f (1) 9, f () 16,設 f (x) (x 1)(x )Q (x) (x b) f (1) b 9 7 餘式 7x f () b 16 b 設 f (x) 為一多項式,以 x 11 除之餘,以 x 除之餘 11,則 f (x) 除以 (x 11)(x ) 之餘式為. 編碼 010676 難易 易 出處 建國中學段考題
解答 x 11 已知 f (11), f ( ) 11,設 f (x) (x 11)(x )Q (x) [ (x 11) ] 又 f ( ) 33 11 1,故餘式為 (x 11) (x 11) x 11 設 deg f (x) 3,已知 f (1) f () f (3) 4, f (4) 34,則 f (x). 編碼 010677 難易 中 出處 康熹自命題 解答 5(x 1)(x )(x 3) 4 f (1) f () f (3) 4 f (x) 除以 x 1, x, x 3 都餘 4 設 f (x) (x 1)(x )(x 3) 4 f (4) 34 (3)()(1) 4 34 5 f (x) 5(x 1)(x )(x 3) 4 設多項式 f (x) 除以 x 1, x x 3 之餘式依次為,4x 6,則 f (x) 除以 (x 1)(x x 3) 的餘式為. 編碼 010678 難易 中 出處 嘉義高中段考題 解答 4x 1x 6 f (x) (x 1)(x x 3) h(x) (x x 3) 4x 6 f (1) + 10 4 餘式為 4x 1x 6 設 f (x) 為三次多項式,且已知 f (0) 1, f (1) 9, f () 8, f (3) 4,則 f (4). 編碼 010679 難易 中 出處 康熹自命題 解答 3 解 1 設 f (x) (x 1)(x )(x 3) b(x 1)(x ) c(x 1) d 由 f (1) 9,得 9 d 由 f () 8,得 8 c d c 9 c 1 3 由 f (3) 4,得 4 b c d b 9 b 由 f (0) 1,得 1 6 b c d 6 3 1 9 1 3 f (x) (x 1)(x )(x 3) (x 1)(x ) (x 1) 9
故 f (4) 3 1 3 3 3 9 3 解 ( x 1)( x )( x 3) ( x 0)( x )( x 3) f( x) 1 9 (0 1)(0 )(0 3) (1 0)(1 )(1 3) ( x 0)( x 1)( x 3) ( x 0)( x 1)( x ) 8 4 ( 0)( 1)( 3) (3 0)(3 1)(3 ) (4 1)(4 )(4 3) (4 0)(4 )(4 3) f (4) 1 9 (0 1)(0 )(0 3) (1 0)(1 )(1 3) (4 0)(4 1)(4 3) (4 0)(4 1)(4 ) 8 4 ( 0)( 1)( 3) (3 0)(3 1)(3 ) 1 36 48 16 3 deg f (x) 且 f (1998) 1, f (1999), f (000) 7,則 f (00). 編碼 010680 難易 易 出處 北一女中段考題 解答 9 設 f (x) (x 1998)(x 1999) b (x 1998) 1 f (1999) b 1, b 1, f (000) b 1 7, f (x) (x 1998)(x 1999) (x 1998) 1 則 f (00) 4 3 4 1 9 用 x 1 除 (x ) 003 003 所得的餘式為. 編碼 010681 難易 易 出處 師大附中段考題 解答 00 令 f (x) (x ) 003 003 由餘式定理 餘式 r f (1) (1 ) 003 003 00 若 f (x) 除以 x 1999 之餘式為 003,除以 x 003 之餘式為 1999,求 f (x) 除以 (x 1999)(x 003) 之餘式為. 編碼 01068 難易 易 出處 北一女中段考題 解答 x 400 f ( x) ( x 1999) q1 ( x) 003 已知 f ( x) ( x 003) q( x) 1999 設 f (x) (x 1999)(x 003)Q (x) [ (x 1999) 003]
令 x 003,則 f (003) 4 003 1999 1 故餘式 : (x 1999) 003 (x 1999) 003 x 400 設多項式 h (x) 被 x 1 除後的餘式為 3x 4,並且已知 h (x) 有因式 x.若 h (x) 被 x(x 1) 除後的餘式為 px qx r,則 p q r. 編碼 010683 難易 中 出處 康熹自命題 解答 7 h (x) 被 x(x 1) 除之餘式為 px qx r,令 h (x) x(x 1) Q (x) px qx r h (x) 被 x 1 除之餘式為 3x 4 px qx r 被 x 1 除之餘式為 3x 4 則 px qx r p (x 1) 3x 4,故 h (x) x(x 1) Q (x) p(x 1) 3x 4 又 h (x) 有因式 x,由因式定理知 h (0) 0 h (0) 0 p 4 0 p 4 故 px qx r 4(x 1) 3x 4 4x + 3x p 4, q 3, r 0 於是 p q r 16 9 0 7 多項式 f (x) 除以 (x 1) 之餘式為 8x 1,除以(x 1) 之餘式為 3x 5,則 (1) f (x) 除以 x 1 之餘式為. () f (x) 除以 (x 1)(x 1) 之餘式為. 編碼 010684 難易 中 出處 康熹自命題 13 解答 (1) ;() 9x 設, b, c 為常數,多項式 f (x) 除以 (x )(x b), (x b)(x c), (x c) (x ) 之餘式依次為 5x 8,3x 1, 3x (1) 求 (, b, c) =. () f (x) 除以 (x )(x b)(x c) 之餘式為. 編碼 010685 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1) ( 1,, );() x 3x 4 若多項式 f (x) 除以 x x 3 得餘式 x 5; 除以 x 3x 10 得餘式 5x,則 f (x) 除以 x 6x 5 的餘式為. 編碼 010686 難易 中 出處 師大附中段考題 解答 4x 3 f ( x) ( x x 3) q1 ( x) x 5 已知 f ( x) ( x 3x 10) q( x) 5x f ( x) ( x 3)( x 1) q1 ( x) x 5 f ( x) ( x 5)( x ) q( x) 5x f (1) 7 f (5) 3
設 f (x) (x 6x 5) Q (x) R (x) (x 5)(x 1) Q (x) x b 令 x 1 f (1) b 7 ;x 5 f (5) 5 b 3 由, 得 4, b 3,故餘式 R (x) x b 4x 3 設多項式 f (x) 次數不低於三次,若以 (x ),(x 1) 除 f (x) 之餘式分別為 5x 3,3x,則 (1) 以 (x )(x 1) 除 f (x) 之餘式為. () 以 (x 1) (x ) 除 f (x) 之餘式為. 編碼 010687 難易 中 出處 羅東高中段考題 解答 (1) 6x 1;() x 5x 1 由餘式定理可得 f ( ) 5.( ) 3 13, f (1) 3.1 5 (1) 設 f (x) (x )(x 1)q 1 (x) mx n 則 f ( ) m n 13, f (1) m n 5, m 6, n 1,所求餘式為 6x 1 () 設 f (x) (x 1) (x ) q (x) (x 1) 3x 則 f ( ) 9 6 13 1 故所求餘式為 (x 1) 3x x 5x 1 若 f (x) R [x] 且 deg f (x) 3,已知 f (x) 除以 (x 1) 餘 3x, f (x) 除以 (x 1) 餘 x 1,則 f (x) 除以 (x 1)(x 1) 之餘式為. 編碼 010688 難易 中 出處 臺中一中段考題 1 解答 x x 3 令 f (x) (x 1)(x 1) q (x) [(x 1) (3x )] 1 f (1) 3 3 4 5 1 r (x) (x 1) (3x ) 1 x x 3 設 deg f (x) 3,若 f () f ( 1) f (4) 3, f (1) 9,則 f (0). 編碼 010689 難易 中 出處 康熹自命題 解答 13 deg f (x) 3, f () f ( 1) f (4) 3 f (x) (x )(x 1)(x 4) 3 f (1) (1)()( 3) 3 9 f (x) (x )(x 1)(x 4) 3 f (0) ( )(1)( 4) 3 13 設 x 4x 3 除多項式 f (x), g (x) 的餘式各為 5x, x 3;x 3x 除 f (x), g (x) 的餘式各為 4x 3,x 1,
則 x x 6 除 f (x).g (x) 的餘式為. 編碼 010690 難易 中 出處 康熹自命題 解答 3x 9 (x 1)(x 3) 除 f (x), g (x) 餘式各為 5x, x 3 x 3 除 f (x), g (x) 餘式各為 13,0 又 (x 1)(x ) 除 f (x), g (x) 餘式各為 4x 3,x 1 x 除 f (x), g (x) 餘式各為 5, 3 x 3 除 f (x).g (x) 餘式為 f (3) g (3) 13(0) 0 x 除 f (x).g (x) 餘式為 f ( ) g ( ) ( 5)( 3) 15 設 f (x).g (x) Q(x)(x )(x 3) (x b) x 3 除 f (x) g (x) 餘式 3 b 0,又 x 除 f (x) g (x) 餘式 b 15 3, b 9,即所求餘式為 3x 9 多項式 f (x) x 000 3x 90 5x 18 7 除以 x 3 1 之餘式為. 編碼 010691 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x 5 考慮 f (x) Q (x)(x 3 1) r (x) 令 x 3 1 0,即令 x 3 1,可由 f (x) 求得餘式 r (x) f (x) (x 3 ) 666 x 3(x 3 ) 30 5(x 3 ) 6 7 f (x) 除以 x 3 1 之餘式為 1 666 x 3(1) 30 5(1) 6 7 x 5 若多項式 f (x) 8x 3 x bx 5 被 x x 1 除的餘式為 4x 1,則 (1) b. () f (x) 被 x 1 除的餘式為. (3) 改寫 f (x) (x 1) 3 b (x 1) c (x 1) d,則序對(, b, c, d). (4) f (0.48) 的近似值為.( 以四捨五入法取至小數點後第三位 ) 編碼 01069 難易 易 出處 內湖高中段考題 解答 (1) 8;() 3;(3)(1,, 1,3);(4) 3.043 (1)
由 r (x) 4x 1 故 b 8 4 0 b 8 4 4 b 4 () f (x) 8x 3 4x 4x 5,餘式 r f ( 1 ) 3( 如下綜合除法之餘式 ) (3) 由上綜合除法之計算,序對 (, b, c, d) (1,, 1,3) (4) 由 (3) f (x) 3 (x 1) (x 1) (x 1) 3 則 f (0.48) 3 ( 0.04) (0.0016) 3.043 三次多項式 f (x),若 f ( 1) f (1) f () 0,且滿足 f (5) 7,求 f (x). 編碼 010693 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (x 1)(x 1)(x ) 設 f (x) (x 1)(x 1)(x ), f (5) 4 6 3 7, 1 f (x) (x 1)(x 1)(x ) 5 4 3 設 f ( x) x 4x 7x 56x 15x k 且 f (11) 51,求 (1) k () f( x ) 除以 x 1 的餘式為. 編碼 010694 難易 中 出處 康熹自命題
解答 (1)7;() 109 (1)1 4 7 56 15 k 11 11 77 55 11 44 1 7 5 1 4 (44 k) f (11) 為 f( x ) 除以 x 11的餘式 44 k 51 k 7 5 4 3 () f ( x) x 4x 7x 56x 15x 7 f( x ) 除以 x 1的餘式為 5 4 3 f (1) 1 41 71 561 151 7 1 4 7 56 15 7 109 以 x 1除多項式 f( x ) 餘 1,以 x 3 x 1除 f( x ) 餘式 x 1,求以 x 1除 f( x ) 之餘式為. 編碼 010695 難易 難 出處 康熹自命題 解答 x 3 x x x x 1 ( 1)( 1) 1 f ( x) ( x 1) Q ( x) 1 f (1) 1 又 f ( x) ( x x 1) Q( x) x 1 Qx ( ) 設 Q( x) x 1 f x x x x Q x x ( ) ( 1)[( 1) ( ) ] 1 f(1) (1 11) 11 1 1 餘式為 ( x x 1) x 1 x ( x 1)( x x 1) Q ( x) ( x x 1) x 1 設 f( x ) 為三次多項式,滿足 f (0) f (1) f () 0, f (3) 6,求 (1) f( x). () f( x ) 除以 x 1 的餘式為. 編碼 010696 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1) x( x 1)( x ) ;() 6 (1) f (0) f (1) f () 0 f( x ) 含有 x, x 1, x 設 f ( x) x( x 1)( x ) 又 f (3) 6 3 1 6 1 f ( x) x( x 1)( x ) () f( x ) 除以 x 1的餘式為 f ( 1) 1 ( )( 3) 6 若 f ( x) 之因式 x, g( x) ( 1) x ( b ) x ( c 3),且 f(5) g(5), f( ) g( ), f(100) g(100),求 (1). () b. (3) c. 編碼 010697 難易 中 出處 康熹自命題
解答 (1);() ;(3)3 5,, 100 為方程式 f ( x) g( x) 的三根 但 f( x ), gx ( ) 至多為二次方程式 f ( x) g( x) ( 恆等式 ) 即 x ( 1) x ( b ) x ( c 3) x 0x 0 1 1且 b 0且 c 3 0 且 b 且 c 3 若 f ( x) x, g( x) ( x 1) b( x ) c( x 3),若 f(5) g(5), f( ) g( ), f(100) g(100),求 (1). () b. (3) c. 編碼 010698 難易 中 出處 康熹自命題 解答 (1)3;() 3 ;(3)1 由原題可知 f ( x) g( x) x ( x 1) b( x ) c( x 3) bc1 b 3c 0 4b 9c 0 b c 1 b 6c 0 b 3, c 1代入 3 1 1 3 ( b c) x ( b 3 c) x ( 4b 9 c) 設 17 5 15 17 4 35 17 3 + 13 17 + 17 + 1 = 35,則 =. 編碼 010699 難易 中 出處 北一女中段考題 解答 70 令 f (x) = x 5 15x 4 35x 3 + 13x + x + 1 f (17) = 35 表 x 17 除 f (x) 的餘式為 35,由綜合除法: 1 15 35 13 1 17 17 34 17 68 17 6817 1 1 4 68,35 17 68 17 + 1 = 35 17 = 68 17 + 34 = 68 + = 70 一多項式 f (x) 除以 x 1 的餘式為 x + 5,又除以 x x 3 的餘式為 3x +, (1) f (x) 除以 x 4x + 3 的餘式為. () 若 f (x) 除以 (x 1)(x x 3) 的餘式為 R (x),則 R (0) =. 編碼 010700 難易 難 出處 北一女中段考題
解答 (1)4x + 3;() 9 x 1 = (x + 1)(x 1), x x 3 = (x + 1)(x 3), x 4x + 3 = (x 1)(x 3) 依題意, f (x) = (x + 1)(x 1) Q 1 (x) + (x + 5) = (x + 1)(x 3) Q (x) + (3x + ) = (x 1)(x 3) Q 3 (x) + (px + q) = (x 1)(x x 3) Q 4 (x) + k (x x 3) + (3x + ) 令 x = 1 代入, ( 1) + 5 = 3 ( 1) + = 6 令 x = 1 代入, 1 + 5 = p + q 令 x = 3 代入, 9 + 6 = 3p + q 由, p = 4, q = 3,即 f (x) 除以 x 4x + 3 的餘式為 4x + 3 又 x = 1 代入, 7 = k ( 4) + 9 k = 1 R (x) = 1 (x x 3) + (3x + 6) R (0) = 3 + 6 = 9 設 f (x) = x 17 + 4x 3 3x + 1,則 :(1) 以 x x + 1 除 f (x) 之餘式為. () 以 x 4 x 3 + x 1 除 f (x) 之餘式為. 編碼 010701 難易 難 出處 高雄中學段考題 解答 (1) 4x ;()5x 3 x 3x + (1) 令 x x + 1 = 0 (x + 1)(x x + 1) = x 3 + 1 = 0 x 3 = 1 r (x) = f (x) 3 x 1 (x3 ) 5 x + 4x 3 3x + 1 ( 3 x 1 1)5 x + 4 ( 1) 3x + 1 x 3x 3 x x1 (x 1) 3x 3 = 4x () x 4 x 3 + x 1 = (x 1)(x 3 + 1) 且由 (1) 知 :x 3 + 1 除 f (x) 的餘式為 x 3x 3 可設 f (x) = x 17 + 4x 3 3x + 1 = (x 3 + 1) Q 1 (x) + ( x 3x 3) = (x 1)(x 3 + 1) Q (x) + k (x 3 + 1) + ( x 3x 3) 令 x = 1 代入 f (1) = 3 = k + ( 7) k = 5 r (x) = 5 (x 3 + 1) + ( x 3x 3) = 5x 3 x 3x + (1) f (x) = (x 4 x 3 + x + ) 3 除以 x 3 x + 1 之餘式為 ;() 又 f (x + 1) 之各項係數總和為. 編碼 01070 難易 中 出處 道明中學段考題 解答 (1) 8;() 64
(1)x 4 x 3 + x + = (x 3 x + 1) x + f (x) = [(x 3 x + 1) x + ] 3 = (x 3 x + 1) Q (x) + 3 所求餘式為 3 = 8 () 令 g (x) = f (x + 1) 係數總和 = g (1) = f () = (16 16 + + ) 3 = 4 3 = 64 3 17 4 3 17 3 3 17 3 17 計算 ( ) ( ) ( ) 10( ) 之值為. 4 4 4 4 編碼 010703 難易 難 出處 高雄女中段考題 解答 3 17 4 令 x = 3 17 4 4x 3 = 17 平方 16x 4x 8 = 0 x 3x 1 = 0 設 f (x) = x 4 + x 3 x 10x + 求值式 = f ( 3 17 4 f (x) = (x 3x 1)(x + x + 3) + (x + 5) f ( 3 17 4 1 3 ) = 3 17 4 3 1 1 110 3 1 4 0 10 4 6 6 8 6 9 3 1 5 + 5 = 3 17 4 以 (x ) 除 x n (x + x + b),餘式是 n (x ),則 (, b) =. ) 編碼 010704 難易 難 出處 鳳山高中段考題 解答 ( 3, ) 令 f (x) = x n (x + x + b) = (x ) Q(x) + n (x ) x = 代入 n (4 + + b) = 0 4 + + b = 0 b = 4 代回 x n (x + x 4) = (x ) Q (x) + n (x ) x n (x )(x + + ) = (x ) Q (x) + n (x ) x n (x + + ) = (x )Q (x) + n (*) x = 代入 (*) n (4 + ) = n 4 + = 1 = 3
b = 6 4 =,即 (, b) = ( 3, ) 令 = 19 10 + 9 19 + 8, b = 19 4 19 + 1,則 除以 b 的餘數為. 編碼 010705 難易 難 出處 鳳山高中段考題 解答 897 先求 x 10 + 9x + 8 除以 x 4 x + 1 的餘式 令 x 4 x + 1 = 0 (x + 1)(x 4 x + 1) = x 6 + 1 = 0 x 6 = 1 r (x) x 10 + 9x + 8 6 x 1 x4 + 9x + 8 x 4 + 9x + 8 4 x x 1 (x 1) + 9x + 8 = 8x + 9 r = r (19) = 8 19 + 9 = 897 9 10 已知二多項式 P( x) 1 x 3x 10x 11 x ( i 1 ) x i 10 i0 與 5 4 8 10 i Q( x) 1 3x 5x 9x 11 x ( i 1 ) x,則 Px ( ) 和 Qx ( ) 的乘積中, x 9 的係數為. i0 編碼 010706 難易 易 出處 84 推甄 解答 110 9 x 的係數為 9 4 7 65 83 101 110 5 4 3 設 f ( x) x 6x 4x 5x 30x 0,則 f ( 7). 編碼 010707 難易 易 出處 86 推甄 解答 6 由餘式定理 : f( 7) x 7 除 f( x ) 的餘式,利用綜合除法得 f ( 7) 6 設多項式 f( x ) 除以 x f( x ) 除以 x 5x 4,餘式為 x ; 除以 x 4x 3,餘式為. 5x 6,餘式為 3x 4,則多項式 編碼 010708 難易 易 出處 90 學測 解答 5x f ( x) ( x 1)( x 4) Q ( x) ( x ) ( x )( x 3) Q ( x) (3x 4) 1
( x 1)( x 3) Q ( x) ( x b) 3 x 1代入 3 b, x 3 代入 13 3 b 5, b,則所求餘式為 5x 6 設多項式 ( x 1 ) 除以 x 1的餘式為 x b,則(1),() b. 編碼 010709 難易 中 出處 9 學測補考 解答 (1) 8 ;()0 令 A x 1,則 ( x 1 ) x x 1 A x ( x 1 ) [ ( x 1 ) ] ( A x ) A 6xA 1x A 8x 6 3 3 3 3 故 8, b 0 若多項式 A ( A 6xA 1 x ) 8 x ( x 1 ) 8x x A ( A 6xA 1x 8 x ) 8x x 5 4 3 能整除 x x x px x q,則(1) p,() q. 編碼 010710 難易 易 出處 94 學測 解答 (1)3;()8 利用長除法,餘式 = 0,可得 p 3, q 8 設三次以上的多項式 f( x ) 可被 ( x 1) 整除,且 f( x ) 除以 x 1 餘式為 8,則 f( x ) 除以 ( x1) ( x 1) 的餘式為. 編碼 010711 難易 中 出處 課本題 解答 x 4x f ( x) ( x 1) Q( x) ( x 1) [( x 1) P( x) ] ( x 1) ( x 1) P( x) ( x 1), 因 f (1) 8 f (1) (1 1) 8,, 故所求餘式為 ( x 1) x 4x. 設 f( x ) 是三次多項式,已知 f (1) 5, f () 6, f (3) 11, f (4) 8,則: (1) f( x ) 除以 ( x 1)( x )( x 3) 的餘式為. () f( x). 編碼 01071 難易 中 出處 課本題 3 解答 (1) x 5x 8 ;() x 14x 7x 0
設 f ( x) ( x 1)( x )( x 3) b( x 1)( x ) c( x 1) d, x 1時, f(1) d 5 ; x 時, f () c d 6,得 c 1; x 3 時, f (3) b c d 11,得 b ; x 4 時, f (4) 6 6b 3c d 8,得, 故 (1) 餘式為 ( x 1)( x ) ( x 1) 5 x 5x 8. () f ( x) ( x 1)( x )( x 3) ( x 1)( x ) ( x 1) 5 3 x 14x 7x 0. 設 f( x ) 為一實係數四次多項式,且其最高次項係數為 1,已知 f(1) 0, f( ) 3,且 f( x ) 除以 x 3x 9,則 (1) f( x ) 除以 x x 的商式為,() 餘式為. x餘式為 編碼 010713 難易 易 出處 課本題 解答 (1) x x 4 ;() x 1 方法一 設所求的餘式 x b,故 f ( x) ( x x ) Q( x) x b,其中 Qx ( ) 為商式, f (1) b 0 由已知,解得 1, b 1,故餘式為 x 1. f ( ) b 3 因最高次項係數為 1,故商式 Qx ( ) 為二次式且 x 項之係數為 1, 故設所求商式 Q( x) x mx n,即 f ( x) ( x x )( x mx n) x 1, f(0) n1 9 再由已知, f ( 1) (1 m n) 6 解得 m 1, n 4,故商式為 方法二 設 f ( x) ( x x)( x px q) 3x 9, x x 4. f (1) (1 p q) 1 0 由已知,解得 p 1, q 6, f ( ) (4 p q) 3 3 故 f ( x) ( x x)( x x 6) 3x 9 商式 x ( x x )( x x 6) 3x 9 ( x x )( x x 6) x x 3 ( x x )( x x 4) x 1, x 4,餘式 x 1. 設 f( x ) 為一多項式,若 ( x 1) f ( x) 除以 x x 1的餘式為 x 1,則 f( x ) 除以 x x 1的餘式為. 編碼 010714 難易 中 出處 課本題 解答 3x 設 f( x ) 被 x x 1除之餘式為 x b,由除法原理知 f x x x Q x x b ( ) ( 1) ( ) ( )
( x 1) f ( x) ( x x 1) Q( x)( x 1) ( x b)( x 1) 此式表 ( x 1) f ( x) 除以 x ( x x 1) Q( x)( x 1) ( x x 1) bx ( b ) ( x x 1)[ Q( x)( x 1) ] bx ( b ), x 1的餘式為 bx ( b ), 得 bx ( b ) x 1,故 b, 3,所求之餘式為 x b 3x.