單元一 : 平方根與近似值 課文 A: 根號的意義這一章要學習的內容是根號與畢氏定理 關鍵 : 什麼是根號呢? 我們從正方形的面積與邊長關係討論起 已知一個正方形的面積是 1, 那麼它的邊長是多少? 我們馬上知道它的邊長是 1, 因為 1 1 = 1 如果給一個大一點的正方形, 已知它的面積是 4,

目錄 單元一 : 平方根與近似值... 1 課文 A: 根號的意義... 1 課文 B: 根號的值... 12 課文 C: 平方根的意義... 27 單元二 : 根式的運算... 33 課文 A: 多項式... 33 課文 B: 最簡根式與分母有理化... 41 課文 C: 根式的加減... 50 課文 D: 根式的四則運算... 59 單元三 : 畢氏定理... 66 課文 A: 畢氏定理... 66 課文 B: 平面上兩點間的距離... 78

單元一 : 平方根與近似值 課文 A: 根號的意義這一章要學習的內容是根號與畢氏定理 關鍵 : 什麼是根號呢? 我們從正方形的面積與邊長關係討論起 已知一個正方形的面積是 1, 那麼它的邊長是多少? 我們馬上知道它的邊長是 1, 因為 1 1 = 1 如果給一個大一點的正方形, 已知它的面積是 4, 請問它的邊長是多少? 我們也可以算出它的邊長是 2, 因為 2 2 = 4 那你心裡會不會想 : 在正方形面積從 1 到 4 中間, 有沒有一種正方 形它的面積是 2? 或是有沒有一種正方形它的面積是 3? 當然有! 我們先把它畫出來 那你會不會好奇, 它們的邊長分別會是多少呢? 1

我們來做一點簡單的觀察, 你會發現當正方形面積為 1 時邊長為 1, 當正方形面積為 4 時邊長為 2, 面積 2 和面積 3 的正方形夾在面積 1 和面積 4 中間 所以面積為 2 和 3 的正方形, 邊長應該夾在 1 和 2 中間 我們可以大膽的猜測, 邊長是 1 和 2 中間的一半, 也就是 1.5 而當邊長為 1.5 時, 正方形面積為 1.5 1.5 = 2.25 這代表在面積為 2 和面積為 3 的正方形間, 還夾有一個正方形, 它的邊長是 1.5, 面積是 2.25 由於面積 2.25 的正方形比我們要求的面積 2 的正方形還要大 所以我們要試試比 1.5 小一點的邊長 我們來試試邊長 1.4 的正方形吧! 邊長 1.4 的正方形面積, 等於 1.4 1.4 = 1.96 所以我們可以發現邊長 1.4 的正方形面積 1.96 比 2 來得小! 2

這代表在面積 2 的正方形前面有一個正方形的面積是 1.96 如下圖所示, 因此, 我們又可以知道面積 2 的正方形, 它的邊長應該夾在 1.4 到 1.5 中間 我們繼續來試一下邊長 1.45 算一下 1.45 1.45 = 2.1025, 又比面積是 2 的正方形大一點點 接著再試邊長 1.41, 算一下 1.41 1.41 = 1.9881, 那我就知道面積為 2 的正方形夾在邊長為 1.41 和 1.45 的中間 1.41 和 1.45 的中間是什麼數字? 我們猜一下數字 1.413, 面積等於 1.413 1.413 = 1.996569, 越來越接近 2 了! 雖然我們可以這樣一直做下去, 讓面積越來越接近 2 3

但事實上, 不管怎麼找, 我們其實找不到一個曾經學過的數, 它所 圍成的正方形面積會剛好等於 2! 關鍵 : 那麼, 面積為 2 的正方形邊長究竟是什麼呢? 於是數學家們利用 ( 唸作根號 ) 這個符號, 創造出一種新的 數來解決這個問題 例如, 正方形面積為 2, 我們就將邊長直接表示為 2, 唸作 根號 2 ; 同樣的, 正方形面積是 3, 那我們就將邊長直接表示為 3, 唸做 根號 3 我們將 2 和 3 這樣的數, 稱做 根號數 有了這個符號, 表示一個正方形的邊長就輕鬆多了 我們 連算都不用算! 只要在前面掛一個 就好 正方形面積為 2 的邊長是 2, 正方形面積為 3 的邊長是 3 所以, 我們可以將正方形面積和邊長的關係寫出下面的等式 : 正方形面積 = 邊長 4

2 我們都知道正方形面積算法是 邊長 = 邊長 邊長 = 面積 因此, 如果 2 代表正方形面積為 2 的邊長, 那麼 ( 2) 2 就會是在算這個正方形面積, 也就是 2, 我們就可以寫出下面的等式 ( 2) 2 = 2 2 = 2 從這個等式, 我們可以觀察到兩件事 : 第一 : 2 的平方會等於 2, 也就是 ( 2 ) 2 = 2, 第二 : 2 2 = 2 所以, 當我們看到某一個根號數的平方時, 就可以直接求出答案, 如 ( 7 ) 2 就可以馬上知道 ( 7 ) 2 = 7, 同樣的道理 ( 11 ) 2 = 11 而當兩個相同的根號數相乘時, 我們同樣也可以直接求出答案, 如 7 7 = 7, 11 11 = 11 接著, 我們來做三個例題. 這些例題的目標如下: 例題 1. 以根號數表示正方形的邊長或求出面積例題 2. 求出根號數的平方之值例題 3. 比較根號數的大小關係 5

Ex 1: 正方形面積為 5, 則邊長為何? 正方形邊長為 7, 則面積為為何? 解 : 我們利用 這個符號, 來表示一個正方形的邊長 所以正方形面積為 5, 則邊長就會是 5 ; 那麼正方形邊長為 7, 則面積就會是 7 Ex 2: 計算下列各式. (1) ( 11 ) 2 = (2) ( 4.9 ) 2 = (3) ( 2 3 )2 = 解 :(1) ( 11) 2 = 11 11 = 11 (2) ( 4.9) 2 = 4.9 4.9 = 4.9 (3) ( 2 3 )2 = 2 3 2 3 = 2 3 6

關鍵 : 根號裡面的數可以是負數嗎? 既然我們利用 ( 根號 ) 來表示一個正方形面積的邊長的話, 它就 會有一些限制! 想一下, 前面說的 正方形面積 = 邊長 我們知道正方形面積與邊長不會有負值, 所以根號內的數和根號本身的值也不可以為負 例如, 因為不會有正方形的面積是 3, 所以在國中階段不會有 3 這種數 而因為也沒有正方形的邊長會是 3, 所以也不會有一個數 a 的根號值是 3, 也就是不會有 a = 3 關鍵 : 如何比較兩個根號數的大小 接下來我們要來談一談, 如何比較兩個根號數的大小 以 2 和 5 當作例子 當我們要比較 2 和 5 的大小時, 我們可以 3 3 利用根號的意義來想一下 2 表示正方形面積為 2 的邊長, 5 表示正方形面積為 5 的邊長 3 3 7

如下圖所示 : 2 5 3 2 5 3 很明顯的知道面積為 2 的正方形比面積為 5 3 的正方形還要大, 所以正 方形面積為 2 的邊長 2 當然比正方形面積為 5 的邊長 5 還要大 3 3 Ex 3: 試比較 99 和 10 的大小 解 : 首先, 我們知道 : 以 99 為邊長的正方形, 其面積為 ( 99) 2 = 99; 而以 10 為邊長的正方形, 其面積為 (10) 2 = 100 因為當正方形的面積愈大, 其邊長也愈大, 所以, 由 100 > 99, 可得 10 > 99 8

重點提問 1. 請問在上面的課文中, 唸成什麼? 請你用自己的話解釋 什麼是? 2. 從上面的課文中, 我們利用到根號來表示正方形邊長的大小, 也 就是 正方形面積 = 邊長, 請問這會讓根號產生什麼限制? 3. 要如何比較 7 和 8 的大小? 為什麼可以這樣比較? 9

隨堂練習 : 1. 以下都是正方形, 請填寫它的邊長? 面積 =6 面積 =8?? 面積 =12 面積 =15? 2. 以下都是正方形, 請填寫它的面積 5 面積 = 11 面積 = 3. 請算出以下的值 (1) 6 6 = (2) 11 11 = (3) ( 15) 2 = (4) ( 23) 2 = 10

4. 比較下列各小題中, 兩數的大小關係 :( 在空格中填入 > = <) (1) 8 11 (2) 25 5 (3) 17 4 (4) 11 4 3 (5) 0.1 0.1 還是不太懂, 請看下面影片 : 根號的意義 (1) 還是不太懂, 請看下面影片根號的意義 (2) https://www.youtube.com/watch? v=vvdcf--acte 11 https://www.youtube.com/watch? v=egpp9w_hk7w

課文 B: 根號的值 從課文 A 我們知道根號 ( ) 可以用來表示正方形的邊長 例如 : 面積為 2 的正方形, 其邊長是 2 ; 面積為 3 的正方形, 其邊長是 3 ; 面積為 4 的正方形, 其邊長是 4 而 4 剛好是 2 的平方 (2 2 ), 也就是面積為 4 的正方形, 它的邊長其實就是 2, 所以 4 2 2 2 這三個其實是相等的, 也就是 : 4 = 2 2 = 2 如此一來, 我們就可以將 4 的值算出來了 那麼, 除了 4 以外, 還有沒有其他數的根號值可以算出一個準確的值? 當然有! 例如 : 9 = 3 2 = 3 16 = 4 2 = 4 25 = 5 2 = 5... 你有沒有發現以上這些可以直接算出一個準確根號值的數, 根號裡面的數剛好都是某一個整數的平方, 如 9 = 3 2 16= 4 2 25= 5 2, 像這樣恰好是另一個整數的平方的數, 我們稱作 完全平方數 只要根號內的數是 完全平方數, 就可以直接算出根號數的值, 如 9 = 3 2 = 3 16 = 4 2 = 4 25 = 5 2 = 5 12

接著, 我們來做六個例題 這些例題的目標如下 : 例題 1. 算出完全平方數的根號值例題 2. 算出分子與分母均為完全平方數之分數的根號值例題 3. 算出帶分數的根號值例題 4. 算出小數的根號值例題 5. 利用十分逼近法, 求根號數的近似值例題 6. 利用查表, 求根號數的近似值 Ex 1: 計算下列各數 (1) 81 (2) 441 (3) 784 解題思維 : 我們要算出一個根號的值, 要試著去看看根號內的數是否為 完全平方數 例如 81 我們一下就知道是 9 的平方了 但是如果那個數比較大, 沒辦法直接看出來, 那就要先將那個數做因數分解, 再將結果兩兩配對成某個數的平方, 例如 441 這個數字就稍微大了一些, 所以我們利用短除法做因數分解, 13

會發現 441 = 3 2 7 2, 有 2 個 3 2 個 7, 所以 441 = (3 7) 2 接下來就可以直接算出根號的值了! 解 :(1) 81 = 9 2, 所以 81 = 9 2 = 9 (2) 441 = 3 2 7 2 = (3 7) 2 = 3 7 = 21 441 = 3 2 7 2 (3) 784 = 4 2 7 2 = (4 7) 2 = 4 7 = 28 784 = 4 2 7 2 除了正整數以外, 有些分數也可以利用同樣的想法去計算! Ex 2:Ex2. 計算下列各數 (1) 81 121 (2) 100 441 解題思維 : 在計算分數根號的值時, 其實是跟整數的道理是一樣的, 我們也是 試著將分數處理成某個分數的平方, 例如 81 121, 分子 分母分別利用 短除法來因式分解, 像是 81 = 9 2 121 = 11 2, 因此 81 121 = 92 11 2 = ( 9 11 )2 接下來就可以直接算出根號的值了! 14

解 : (1) 81 121 = 92 11 2 = ( 9 11 )2 81 121 = 9 11 (2) 100 441 = 102 3 2 7 2 = 102 (3 7) 2 = (10 21 )2 100 = 10 441 21 441 = 3 2 7 2 那當遇到帶分數時, 要怎麼處理呢? Ex 3: 計算 1 9 16 之值 解題思維 : 我們在計算帶分數的根號時, 我們必須要先將帶分數化成假分數, 1 9 16 = 25 16, 然後再處理成某個分數的平方, 25 16 = ( 5 4 )2 接下來就可 以直接算出根號的值了! 15

解 : 1 9 16 = 25 16 = 52 4 2 = (5 4 )2 1 9 16 = 25 16 = ( 5 4 )2 = 5 4 常見的錯誤省思 : 有些同學會以為, 在計算 1 9 而 16 是 4 2 所以就將 1 9 16 16 時, 認為根號內的 1 是 1 2 9 是 3 2, 誤認為會等於 1 + 3 4 如果, 1 9 真的等於 1 3, 那代表 1 3 平方後會等於 1 9 16 4 4 16 我們試著來做一下 1 3 4 的平方, 看看它會不會真的等於 1 9 16 (1 3 4 )2 = ( 7 4 )2 = 49 16 = 3 1 16 你有沒有發現 1 3 4 平方後, 並不會等於 1 9 16 換句話說, 1 9 並不等於 1 3 16 4 所以千萬記得, 在計算帶分數的根號值時, 必須要先化成假分數才 可以喔! 16

如果是要算小數的根號時, 要怎麼做呢? Ex 4: 計算下列各數 (1) 0.04 (2) 20.25 解題思維 : 我們利用前面計算分數的根號之經驗, 先將小數化成分數, 就可以繼續算下去了 解 :(1) 0.04 = 4 100 = 22 10 2 = ( 2 10 )2 0.04 = 4 100 = 2 10 = 0.2 (2) 20.25 = 2025 100 = 52 9 2 10 2 = ( 5 9 10 )2 20.25 = 5 9 10 = 45 10 = 4.5 當根號內的數值是某個整數或是分數的平方時, 我們可以輕易的把 結果算出來, 例如 4 64 4 0.25 等 9 但是像是 2 3 這類不是某個整數或是分數的平方的, 我們就沒辦法準確得算出大小, 所以我們必須透過一些方法估算出 2 或 3 的近似值, 那有什麼方法呢? 分別是十分逼近法 查表法及使用計算機 17

關鍵 : 估算 2 或 3 的近似值 方法一 : 十分逼近法我們用一個例子來說明十分逼近法是什麼 : Ex 5: 請以十分逼近法計算出 2 的近似值, 並以四捨五入法取到小數點後第 2 位 解題思維 : 要算到小數點第二位, 我們就要算小數點第三位, 然後針對小數點第三位四捨五入才有辦法算出來 依照前面的討論, 面積為 2 的正方形, 其邊長就是 2 因為 1 2 = 1 2 2 = 4, 所以 2 是在 1~2 之間 1 1 2 2 2 4 那 1~2 之間我們把它 10 等分, 得到 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 一直到 1.9 我要的是哪一點呢? 假設用 1.3,1.3 2 = 1.69 還不到 2, 所以繼續下去 ;1.4 2 = 1.96, 很接近 2 了, 再繼續下去 1.5 2 = 2.25, 超過 2 了 而因為我們知道 2 在 1.96~2.25 之間, 所以平方等於 2 的這個數也會在 1.4~1.5 之間 18

那我再繼續把它 10 等分分成 1.41 1.42 1.42 1.49 那我們猜 1.41 好了, 1.41 2 = 1.9881 1.42 2 = 2.0164, 發現 2 在這 兩數之間, 因此平方等於 2 的這個數會在 1.41~1.42 之間 我們可以繼續分成 1.411 1.412 1.419 那要猜哪一個? 比方說猜 1.411 2 1.990921 還不到 2, 所以繼續 1.412 2 1.9937 也還不到 2,1.413 2 1.9965 也不到 2, 1.414 2 1.9993 很接近了,1.415 2 2.0022 超過 2 了, 所以知道此數在 1.414 和 1.415 中間 而這兩數中間有 1.4141 1.4142 1.4143 1.4149, 所以又可以 10 等分繼續算下去 像這樣子每個段落都給它 10 等分, 慢慢地逼近 2 的值, 這種方法就稱為十分逼近法 算到最後, 我們可以得到 2 = 1.414 一直下去, 不過這題目沒有到這麼多位, 只要求到小數第二位, 所以算到 1.414 再對第三位四捨五入就可以了 19

解 : 第一步 : 第二步 : 1 2 = 1 2 2 = 4 2 (1.1) 2 = 1.21 (1.2) 2 = 1.44 (1.3) 2 = 1.69 (1.4) 2 = 1.96 (1.5) 2 = 2.25 2 2 介於 1 和 2 之間, 2 = 1. 第三步 : 2 介於 1.4 和 1.5 之間, 2 = 1.4 第四步 : 1.41 2 = 1.9881 1.42 2 = 2.0164 2 1.411 2 1.990921 1.412 2 1.9937 1.413 2 1.9965 1.414 2 1.9993 1.415 2 2.0022 2 2 介於 1.41 和 1.42 之間, 2 = 1.41 2 介於 1.414 和 1.415 之間, 2 = 1.414 經過小數點第三位四捨五入後, 2 1.41 20

方法二 : 查表法 接下來要介紹求根號數的近似值第二種方法 : 查表法 既然叫 查表法, 那麼就會有一張表, 這張表叫 乘方開方表 N N 2 N 10N 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 既然叫做 乘方開方表, 表上當然可以看到有乘方也有開方 例如當 N = 14 時,N 2 也就是 14 2 會等於 196 ; N 也就是 14, 14 會接近 3.7416 ( 這個是近似值, 3.7416 2 不會剛剛好等於 14 ); 10N 也就是 140 會接近 11.8321 利用這張表, 就可以計算相關數字的根號了! 那我們利用例題 6 來看一下應該要怎麼使用 Ex 6: 利用乘方開方表, 查出下列近似值 (1) 17 2 (2) 15 (3) 160 (4) 324 21

解 : N N 2 N 10N 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 18 324 4.2426 13.4164 (1)17 2 : 查 N = 17, 對到 N 2, 得到 17 2 = 289 (2) 15: 查 N = 15, 對到 N, 得到 15 3.8729 (3) 160: 查 N = 160, 對到 10N, 得到 160 12.6491 (4) 324: 在 N 這欄當中, 發現沒有 324, 但是整張表可以看到 N = 18, 對 N 2, 得到 18 2 = 324, 所以可以知道 324 = 18 2 = 18 方法三 : 使用計算機 除了十分逼近法和查表法之外, 我們還可以使用計算機, 雖然通常 考試中不能使用, 但是在生活中卻是一個很好的幫手喔! 首先, 準備一臺有 鍵的計算機, 我們就是利用這個按鍵來計算 根號的近似值 例如想要計算 3 的值 22

第一步 : 輸入數字 3 第二步 : 按下 鍵 第三步 : 就可以得到答案了 可以驗證一下, 用計算機計算 1.7320508075 1.7320508075 3 1.7320508075 發現非常接近 3! 重點提問 請舉出一個可以準確計算出根號值的數字 這類數字有什麼樣的特 性? 23

B. 隨堂練習 : 1. 計算下列各數 (1) 100 = (2) 324 = (3) 576 = 2. 計算下列各數 (1) 16 = (2) 225 = (3) 441 = 25 784 121 3. 計算下列各數 (1) 1 11 13 25 = (2) 3 = (3) 1 = 25 81 144 4. 計算下列各數 (1) 0.25 = (2) 1.96 = (3) 6.76 = 24

5. (1) 5 會介於哪兩個正整數之間? (2) 8 會介於哪兩個正整數之間? (3) 20 會介於哪兩個正整數之間? 6. 請利用十分逼近法計算出 14 的近似值到小數點底下第 2 位 7. 利用乘方開方表, 查出下列近似值 N N 2 N 10N 17 289 4.123 13.038 18 324 4.242 13.416 19 361 4.358 13.784 20 400 4.472 14.142 40 1600 6.324 20.000 (1) 18 2 = (2) 19 = (3) 170 = (4) 361 = (5) 400 = 25

還是不太懂, 請看下面影 片 ( 十分逼近法 ) 還是不太懂, 請看下面影 片 ( 查表法 ) 還是不太懂, 請看下面影 ( 計算機 ) 片 https://www.youtube.com /watch?v=g7nrmiqic3u https://www.youtube.co m/watch?v=pusmj3pg_cg https://www.youtube.com/ watch?v=1wkpvssjh0e 還是不太懂, 請看下面影 片根號的意義 ( 例 1~ 例 5) 還是不太懂, 請看下面影 片根號的意義 ( 例 6~ 例 7) 還是不太懂, 請看下面影 片利用完全平方數作化 簡 https://www.youtube.com/ watch?v=manymh61hqc https://www.youtube.com/ watch?v=gcynaioj5l8 https://www.youtube.com/ watch?v=lr9gj5u7rfk 26

課文 C: 平方根的意義接下來我們來看一下 平方根 的意義 我們以前學過平方的概念, 當 b 2 = a 時, 我們會說 a 是 b 的平方, 例如 3 2 = 9, 我們會說 9 是 3 的平方 現在我們也可以相反地過來說 當 b 2 = a 時, 我們除了可以說 a 是 b 的平方之外, 也可以反過來說 b 是 a 的 平方根 比方說,3 2 = 9, 我們可以說 9 是 3 的平方, 也可以反過來說 3 是 9 的 平方根 所以我們可以這樣來解釋平方根 : 某個正數 a 的平方根是 m, 就是指 m 平方後會等於 a, 也就是 m 2 = a 因此, 我們在判斷一數是否為另一數的平方根時, 只要將它平方後確認是否相等, 如果真的相等, 它就是另一數的平方根 例如要判斷 15 是否為 225 的平方根, 只要算出 15 的平方 ( 即 15 2 ), 確認是 225 後, 就可以確定 15 是 225 的平方根 27

關鍵 : 那麼一個正數的平方根只有一個嗎? 我們知道 3 是 9 的平方根, 因為 3 2 = 9 而( 3) 的平方也會等於 9, 即 ( 3) 2 = 9, 所以 ( 3) 也會是 9 的平方根 因此, 我們知道一個正數的平方根會有兩個, 一個是正數 另一個是負數 以 7 的平方根來說, 要找 7 的平方根, 就是要找到某一個數平方後會等於 7 我們知道 ( 7) 2 = 7, 所以 7 是 7 的一個平方根 那麼 7 的另一個平方根是多少? 因為一個正數的的平方根會有兩個, 一個是正數 另一個是負數 所以 7 的另外一個平方根會是負數, 也就是 7, 因為 ( 7) 2 = ( 7) ( 7) = 7 從上面的討論中, 我們可以知道 : 一個正數的平方根會有兩個, 一個是正的, 另一個是負的 ; 正的 就稱為正平方根 負的就稱為負平方根, 兩個互為相反數! 28

接著, 我們來做四個例題 這些例題的目標如下 : 例題 1. 求出給定已知數的平方根例題 2. 平方根與平方的關係例題 3. 平方根與平方的關係例題 4. 平方根與平方的關係 Ex 1: 求下列各數的平方根 (1) 17 (2) 64 (3) 25 81 (4) 1 9 16 (5) 169 解 : (1) 17 不是完全平方數, 所以直接就知道正平方根 17, 但是平方 根有兩個且互為相反數, 所以負平方根就是 17 (2) 64 是 8 的平方, 所以就知道 64 的平方根是 8 和 8 (3) 25 的正平方根是 25 = 81 81 52 = 5, 但是平方根有兩個且互為相反 9 2 9 數, 所以負平方根就是 5 9 (4) 要求 1 9 的正平方根 1 9 = 16 16 25 = 16 52 = 5, 但是平方根有兩 4 2 4 個且互為相反數, 所以負平方根就是 5 4 (5) 不會有一個數的平方會是負的, 所以不存在 29

Ex 2: 回答下列問題 (1) 若 a 的正平方根為 31, 則 a =, 又 a 的負平方根為何? (2) 若 b 的負平方根為 3, 則 b =, 又 b 的正平方根為何? 解 : (1) a 的正平方根為 31, 代表 31 的平方為 a, 所以 a = ( 31) 2 = 31, 而 a 的負平方根為 31 (2) b 的負平方根為 3, 代表 3 的平方為 b, 所以 b = ( 3 ) 2 = 9, 而 b 的正平方根為 3 Ex 3: 已知 7 是 2k + 3 的負平方根, 則 k = 解題思維 : 7 是 2k + 3 的負平方根, 所代表的意思是 2k + 3 是 ( 7) 的平方, 即 2k + 3 = ( 7) 2, 這樣就可以解出 k 了 解 : 2k + 3 = ( 7) 2 2k + 3 = 49 2k = 46 k = 23 30

Ex 4: 回答下列問題 (1) 若 m 2 = 225, 則 m = (2) 若 n 2 = 51, 且 n < 0, 則 n = 解 : (1) m 2 = 225, 指的意思是 m 是 225 的平方根 而 225 是 15 的平方, 也等於 ( 15 ) 的平方, 所以 m 為 15 或 15 (2) n 2 = 51, 且 n < 0, 指的意思是 n 是 51 的負平方根, 所以 n 為 51 重點提問 依據課文的解釋, 請你說明一下什麼是 平方根? 並舉一個例子來解釋 31

隨堂練習 : 1. 求下列各數的平方根 (1) 100 (2) 324 (3) 25 144 (4) 1 21 100 (5) 1.96 2. 回答下列問題 (1) 若 a 的正平方根為 8, 則 a =, 又 a 的負平方根為何? (2) 若 b 的負平方根為 24, 則 b =, 又 b 的正平方根為何? 3. 已知 6 是 3m + 3 的正平方根, 則 m = 還是不太懂, 請看下面影片平 方根的意義 ( 例 1) 4. 已知 9 是 2n 1 的負平方根, 則 n = 5. 回答下列問題 https://www.youtube.com/watc h?v=xun_l-nf3p0 還是不太懂, 請看下面影片平方根的意義 ( 例 2~ 例 5) (1) 若 x 2 = 576, 則 x = (2) 若 y 2 = 68, 且 y > 0, 則 y = https://www.youtube.com/watch?v=10dh6ppomda 32

單元二 : 根式的運算 課文 A: 多項式 在這個單元中, 我們要學根式的運算! 關鍵 : 什麼是根式呢? 根式就是指含有根號的數或式子, 像是 5 2 5 12 2 27 12 等都叫根式 回想一下, 我們在國一學代數式時, 有一些簡記的方式, 而在根式當中, 也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式 例如 : 2 x 簡記成 2x;2 3 就可以簡記成 2 3 ( 1) x 簡記成 x;( 1) 7 就可以簡記成 7 4 x 簡記成 4 x 或是 4x 5 5 5 ;4 3 簡記成 4 3 或是 4 3 5 5 5 接下來, 我們來看看根式的乘法運算 33

關鍵 : 根式的乘法運算 3 7 這個式子會等於什麼呢? 有兩個 3 兩個 7! 我們換位置乘一下! 我們先將它平方, 結果如下 : ( 3 7) 2 = ( 3 7) ( 3 7) = 3 7 3 7 = ( 3 3) ( 7 7) = ( 3) 2 ( 7) 2 = 3 7 我們將 3 7 平方後, 發現 ( 3 7) 2 = 3 7; 利用前面學過的觀念 : 若一個正數 a 的平方等於 b, 則 a 就是 b 的正平方根 因此, 3 7 是 3 7 的正方平根 ; 而 3 7 的正方平根本來就可以直接寫成 3 7 因此, 得到 3 7 = 3 7 從上面的這個例子, 我們可以得到一個結論 : 若 a b 均大於等於 0, 則 a b = a b 接著, 我們來做三個例題 這些例題的目標如下 : 例題 1. 利用根式的乘法運算求值例題 2. 利用根式的乘法運算求值例題 3. 利用根式的除法運算求值 34

Ex 1: 計算下列各根式的乘積 : (1) 7 13 (2) 6 5 2 (3) 9 10 5 2 解 :(1) 7 13 = 7 13 = 91 (2) 6 5 = 6 3 5 2 2 = 15 (3) 9 10 5 2 = 9 10 2 5 2 = 9 4 注意! 9 還可以繼續化簡, 9 = 4 4 (3 2 )2 = 3 2 Ex 2: 計算下列各根式的乘積 : (1) 2 7 5 3 (2) 7 5 8 5 (3) 2 5 11 3 4 3 解題思維 : 這題根式的乘法計算已經跟上題有些不一樣了, 每個根號前面多了 一個數 我們來想一下, 從前面根式的簡記可以知道 : 2 7 = 2 7 ;5 3 = 5 3 35

所以我們計算 2 7 5 3 時, 2 7 5 3 = 2 7 5 3 = 2 5 7 3 = (2 5) ( 7 3) = 10 21 = 10 21 仔細看這個計算的過程, 其實會發現這個根式乘積的計算就是 : 根號外面乘根號外面, 根號裡面乘根號裡面 例如在計算 2 7 5 3 時, 根號外面乘根號外面就是 2 5, 根號裡面乘根號裡面就是 7 3, 所以 2 7 5 3 = (2 5) 7 3 = 10 21 解 :(1) 2 7 5 3 = (2 5) 7 3 = 10 21 (2) 7 5 7 其實就是 1 5 7, 根號外面就是 1 5, 根號裡面就是 7 5 8 5 = 1 5 7 8 5 = (1 5 8) 7 5 = 8 5 35 (3) 2 5 11 3 4 3 = = 3 10 33 看完根式的乘法運算後, 來看一下根式的除法運算 36

關鍵 : 根式的除法運算 我們如果要計算 11 2 這個式子呢? 回憶一下, 我們之前有學過除法與分數的關係, 例如 3 可以想像成有 4 兩種唸法, 一種是由下往上唸, 唸成 4 分之 3 ; 而另一種就是由上往下唸, 唸成 3 除以 4 所以 11 2 其實就是 11 2 那這個分數會等於什麼? 我們先將 11 2 平方, 結果如下 : ( 11 2 )2 = 11 11 2 2 = 11 11 2 2 = ( 11)2 ( 2) 2 = 11 2 我們將 11 2 平方後, 發現 ( 11 2 )2 = 11 2 ; 利用前面學過的觀念, 若一個正數 a 的平方等於 b, 則 a 就是 b 的正平方根 因此, 11 2 是 11 2 的正方平根 ; 而 11 2 的正方平根本來就可以直接寫成 11 2 因此, 得到 11 2 = 11 2 而 11 2 其實就是 11 2, 所以 11 2 = 11 2 = 11 2 = 11 2 37

所以我們得到一個結論 : 若 a 0 b > 0, 則 a b = a = b a = a b b 我們來試試看例題 3 Ex 3: 計算下列各式 : (1) 48 12 (2) 4 3 2 9 (3) 12 4 5 解 : 4 還可以化簡為 2! (1) 48 12 = 48 12 = 4 = 2 (2) 4 3 2 9 = 4 3 2 9 = (3) 12 4 5 = 12 4 5 = = 6 = 15 38

重點提問 1. 請問根式的乘法怎麼運算? 請用這個運算規則計算 5 6 3 5 2. 請問根式的除法怎麼運算? 請用這個運算規則計算 36 7 7 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 根式的乘法運算 還是不太懂, 請看下面影片 (2) 根式的除法運算 https://www.youtube.com/watch?v=vbbyeht0blk https://www.youtube.com/watch?v=kr5dseqrqgo 39

隨堂練習 1. 計算下列各根式的乘積 : (1) 6 35 (2) 14 3 7 (3) 6 5 10 3 2. 計算下列各根式的乘積 : (1) 3 5 2 2 (2) 2 3 9 3 (3) 3 2 5 4 9 7 3. 計算下列各式 : (1) 98 2 (2) 7 15 7 30 (3) 18 6 5 40

課文 B: 最簡根式與分母有理化 在根式的運算中, 我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有 一致性, 所以我們就會借用最簡根式來做化簡處理 關鍵 : 什麼是最簡根式呢? 就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式! 像 8 就是可以繼續化簡的根式 : 8 可以拆成 2 2 2 8 = 2 2 2 = 2 2 2 = 2 2 = 2 2 根式的乘法運算 : a b = a b; 這個等式反過來看, 即 a b = a b 2 2 已經無法再化簡了, 所以我們就稱 2 2 是 8 的最簡根式 又像是 12: 12 = 2 2 3 = 2 2 3 = 2 3 = 2 3, 2 3 已經無法再化簡了, 所以我們就稱 2 3 是 12 的最簡根式 41

接著, 我們來做六個例題 這些例題的目標如下 : 例題 1. 根號內為正整數的根式化簡例題 2. 根號內為正整數連乘積的根式化簡例題 3. 利用根式的乘法進行化簡例題 4. 分子 分母都有根號的化簡例題 5. 根號內為正分數的根式化簡例題 6. 根號內為正小數的根式化簡 Ex 1: 將下列各式化為最簡根式 : (1) 72 (2) 80 (3) 360 解題思維 : 我們在化簡根式的時候, 只要是完全平方數就可以再往外提出去, 目標就是要提到不能再提為止 所以我們在對根號內的數因數分解 時, 可以盡量用完全平方數去分解 解 : (1) (1) 72 = 4 9 2 = 4 9 2 = 2 3 2 = 6 2 (2) (2) 80 = 4 4 5 = 4 4 5 = 4 5 = 4 5 剛好兩個 4! (3) 360 = 36 10 = 6 10 (3) 42

Ex 2: 將下列各式化為最簡根式 : (1) 2 2 3 3 5 (2) 2 4 3 5 (3) 2 4 5 4 解題思維 : 跟上一題一樣, 我們在化簡根式的時候, 只要是完全平方數就可以再往外提出去, 這一個過程我們可以利用 集滿兩個換出去 這個口訣記 這個口訣是什麼意思呢? 像是 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 3 5 = 2 2 3 2 3 5 = 2 3 15 = 6 15 我們利用這個口訣, 可以這樣想 : 根號裡面有 2 個 2 3 個 3 1 個 5 2 2 3 3 5 = 2 3 3 5 = 6 15 原本裡面 2 個 2, 換出去外面變成 1 個 2 原本裡面 1 個 5, 集滿兩個才能換出去, 所以繼續留在裡面 原本裡面 3 個 3, 其中 2 個 3 換出去外面變成 1 個 3; 根號裡面留下 1 個 3 43

再例如 2 4 3 5 : 根號裡面有 4 個 2 5 個 3 2 4 3 5 = 2 2 3 2 3 = 4 9 3 = 36 3 原本裡面 4 個 2, 換出去外面變成 2 個 2 原本裡面 5 個 3, 其中 4 個 3 換出去外面變成 2 個 3; 根號裡面留下 1 個 3 解 :(1) 2 2 3 3 5 = 2 3 3 5 = 2 3 15 = 6 15 (2) 2 4 3 5 = 2 2 3 2 3 = 36 3 (3) 2 4 5 4 = 2 2 5 2 = 100 Ex 3: 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 : (1) 6 8 12 (2) 10 14 98 解 :(1) 6 8 12 = 6 8 12 = 6 (4 2) (2 6) = 6 4 4 6 = 6 4 = 24 (2) 10 14 98 = 10 14 98 = (5 2) (2 7) (7 14) = 2 7 5 14 = 14 70 44

除了上面那種 根號內仍有可以提出到根號外的因數 的根式可以繼續化簡以外, 還有兩大類可以繼續化簡 : ( 一 ) 分母有根式, 例如 : 2 3 3 50 等 ( 二 ) 根號內仍有小數或分數, 例如 : 2 3 0.2 等 這兩類在化簡的時候, 我們的目標是想將分母的根式消去, 讓它成 為有理數, 這個過程我們稱為分母有理化 關鍵 : 分母有理化 最簡單的方法就是, 我們可以利用 a a = a 將分母有理化 舉例來說, 2 3 的分母是 3, 那我們知道 3 3 = 3, 所以我們分母再乘一個 3 就可以將分母的根式消掉了 但是不能只單單乘以分母, 我們要維持分數的相等, 因此分子分母 應該要同時都乘以 3 所以 2 = 2 3 = 2 3 3 3 3 3 那麼 2 3 3 就是 2 3 的最簡根式了! 就讓我們來看一題範例吧! 45

Ex 4: 將 3 化為最簡根式 50 解題思維 : 3 50 的分母是 50, 那我們知道 50 50 = 50, 所以分子分母應該 要同時都乘以 50 3 = 3 50 = 150 50 50 50 50 = 5 6 = 6 50 10 10 分子 150 = 25 6 = 5 6, 所以還可以化簡 除了這樣算以外, 我們知道分母是 50 = 5 2 2, 所以其實只要再乘 2 就可以將分 母有理化了! 答案會是一樣! 3 50 = 3 2 5 2 2 2 = 6 5 2 = 6 10 解 : 3 = 3 2 = 6 = 6 50 5 2 2 2 5 2 10 46

關鍵 : 如果根號內仍有分數怎麼辦呢? Ex 5: 將下列各式化為最簡根式 : (1) 2 3 (2) 5 18 解題思維 : 先將 2 3 去了! 化成 2 3, 接著, 分子 分母同時乘以 3, 就可以繼續算下 解 :(1) 2 = 2 = 2 3 = 6 3 3 3 3 3 (2) 5 18 = 5 18 = 5 2 = 10 3 2 2 2 6 關鍵 : 如果根號內仍有小數怎麼辦呢? Ex 6: 將下列各式化為最簡根式 : (1) 0.2 (2) 3.2 解題思維 : 我們只要將小數化成分數, 就可以繼續算下去了! 解 :(1) 0.2 = 2 = 2 10 = 20 10 10 10 10 = = 5 5 注意! 20 可以繼續化簡, 20 = 2 2 5 = 2 5 (2) 3.2 = = 16 = 16 = 4 5 = 4 5 5 5 5 5 5 47

重點提問 1. 從上面的課文中, 大致上有三類的根式不是最簡根式, 請問是哪 三類? 2. 108 是不是最簡根式? 為什麼? 如果不是的話, 請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式 3. 7 12 是不是最簡根式? 為什麼? 如果不是的話, 請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式 4. 3 是不是最簡根式? 為什麼? 11 如果不是的話, 請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式 48

隨堂練習 1. 將下列各式化為最簡根式 : (1) 108 (2) 128 (3) 450 (4) 2 3 3 2 5 2 (5) 2 6 5 3 (6) 3 3 7 7 3. 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 : (1) 10 20 8 (2) 18 12 44 4. 將 8 化為最簡根式 27 5. 將下列各式化為最簡根式 : (1) 6 7 (2) 9 50 (3) 0.9 (4) 5.6 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 最簡根式與有理化 還是不太懂, 請看下面影片 (2) 最簡根式與有理化 ( 例 1~ 例 3) 還是不太懂, 請看下面影片 (3) 最簡根式與有理化 ( 例 4~ 例 5) https://www.youtube.com/ watch?v=pd9e865qanw https://www.youtube.com/ watch?v=rcwjcpgjcog 49 https://www.youtube.com/ watch?v=aneksnygruu

課文 C: 根式的加減 我們接下來要說的是根式的加減 關鍵 : 根式的加減 先回憶一下, 二元一次式的化簡 今天如果要化簡 5x + 3y + 2x 5y 這個二元一次式的話, 因為同類項才可以合併, 所以可以先將同類項標記出來 : 然後知道含有 x 項的是 5x 和 +2x 合併化簡得到 7x, 含有 y 項的是 +3y 和 5y 合併化簡得到 2y 所以 5x + 3y + 2x 5y = 7x 2y 而根式的加減也有類似的規則, 那就是 同類方根能進行合併, 非同類方根不能合併 關鍵 : 什麼是同類方根呢? a, b 均為正數, 若將 a 與 b 化為最簡根式後, 根號內的數相同, 我們就稱為它們為同類方根 50

舉個例子, 12 與 27 先化簡成最簡根式 : 12 = 4 3 = 2 3, 27 = 9 3 = 3 3 像這樣子, 12 的最簡根式 2 3 與 27 的最簡根式 3 3 的根號部分都是 3, 我們就稱 12 與 27 是同類方根 同類方根在根式的加減非常好用, 因為我們只要把同類方根進行合 併就好, 不是同類方根就沒辦法合併 接著, 我們來做五個例題 這些例題的目標如下 : 例題 1. 同類方根的加法例題 2. 不同類方根的加法例題 3. 方根的加減法例題 4. 方根的加減法例題 5. 分子 分母含有方根的加減法 51

Ex 1: 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 5 3 + 2 3 (2) 7 2 2 解題思維 : 5 3 + 2 3 所代表的是 5 個 3 加上 2 個 3, 那加完之後就是有 (5 + 2) 個 3, 也就是 (5 + 2) 3 = 7 3 7 2 2 所代表的是 7 個 2 扣掉 1 個 2, 那扣完之後就是有 (7 1) 個 2, 也就是 (7 1) 2 = 6 2 解 :(1) 5 3 + 2 3 = (5 + 2) 3 = 7 3 (2) 7 2 2 = (7 1) 2 = 6 2 Ex 2: 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 5 3 2 2 + 3 + 3 2 (2) 2 11 + 2 6 + 2 3 11 + 6 解 :(1) 5 3 2 2 + 3 + 3 2 = 6 3 + 2 說明 : 這題有不同類型的同類方根 一類是與 3 有關的同類方根 有兩個, 分別是 5 3 和 + 3, 兩個 52

合併化簡後會得到 6 3 另一類是與 2 有關的同類方根 也有兩個, 分別是 2 2 和 +3 2, 兩個合併化簡後會得到 + 2 所以 5 3 2 2 + 3 + 3 2 合併化簡出來的結果是 6 3 + 2 (2) 2 11 + 2 6 + 2 3 11 + 6 = 11 + 3 6 + 2 說明 : 我們要先分組 : 2 11 + 2 6 + 2 3 11 + 6 與 11 有關的同類方根有兩個, 分別是 2 11 和 3 11, 兩個合併化簡後會得到 11 與 6 有關的同類方根也有兩個, 分別是 +2 6 和 + 6, 兩個合併化簡後會得到 +3 6 另外有一個 +2, 沒有跟它同類的 所以 2 11 + 2 6 + 2 3 11 + 6 合併化簡出來的結果是 11 + 3 6 + 2 省思 : 當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時, 我們必須先 將同類方根分為同一組, 再把同組的同類方根進行合併 53

Ex 3: 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 63 75 (2) 48 + 5 12 解題思維 : 要先把各個根號化成最簡根式, 再利用 同類方根進行合併, 非同類方根不能合併 去合併化簡 解 : (1) 63 75 = 3 7 5 3 說明 : 63 = 9 7 = 3 7 75 = 25 3 = 5 3, 這兩個根式不是同類方根, 所以不能再進行加減法的合併, 所以 63 75 = 3 7 5 3 就已經是化到最簡了! (2) 48 + 5 12 = 4 3 + 5 2 2 3 = 4 3 + 10 3 = 14 3 說明 : 48 = 16 3 = 4 3;5 12 = 5 4 3 = 5 2 3 = 10 3, 發現這兩個都是與 3 有關的同類方根, 所以合併後就是 14 3 54

Ex 4: 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 63 3 28 + 175 (2) 20 + 80 + 125 + 180 解 : (1) 63 3 28 + 175 = 3 7 6 7 + 5 7 = 2 7 (2) 20 + 80 + 125 + 180 = 2 5 + 4 5 + 5 5 + 6 5 = 17 5 Ex 5: 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 1 2 + 2 2 (2) 5 4 4 5 解 : (1) 1 2 + 2 2 = 1 2 2 2 + 2 2 = 2 2 + 2 2 = 2 (2) 5 4 4 5 = 5 4 4 5 = 5 2 2 5 5 = (1 2 2 5 ) 5 = 1 10 5 55

重點提問 1. 請用自己的話解釋什麼是 同類方根? 2. 連連看, 將同類方根連在一起 2 24 5 2 3 7 2 12 3 3 5 2 6 2 2 1 7 7 3. 請問根式的加法怎麼運算? 請用這個運算規則計算 2 5 + 5 2 5 3 2 4. 4 8 + 3 2 + 2 3 5 (1) 上面根式當中, 請問有幾類同類方根? (2) 計算上面根式, 並將結果化為最簡根式 56

隨堂練習 1. 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 3 3 + 2 3 (2) 6 6 6 (3) 7 + 3 7 2. 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 6 2 + 4 3 + 2 2 3 (2) 6 13 + 3 7 5 6 7 13 3. 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 27 24 (2) 2 75 + 108 57

4. 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 363 2 27 + 4 48 (2) 5 + 45 + 125 + 245 5. 計算下列各式, 並將結果化為最簡根式 (1) 2 3 + 3 2 (2) 8 9 9 8 還是不太懂, 請看下面影片根式的加減 https://www.youtube.com/ watch?v=iokwt2x8whu 58

課文 D: 根式的四則運算 接下來我們要來看根式的四則運算, 既然是四則運算, 當然有加減 跟乘除還有括號都存在 我們來做四個例題 這些例題的目標如下 : 例題 1. 利用分配律, 進行根式的化簡例題 2. 利用分配律, 進行根式的化簡例題 3. 利用乘法公式, 進行根式的化簡例題 4. 利用平方差公式, 進行根式的化簡 Ex 1: 計算 3( 15 + 21), 並化為最簡根式 解 : 3( 15 + 21) = 3 15 + 3 21 = 3 3 5 + 3 3 7=3 5 + 3 7 說明 : 這其實是分配律, 括號中的 15 跟 21 其實共同擁有外面的 3, 我們將 3 乘進去, 即 3( 15 + 21) = 3 15 + 3 21, 然後再進行化簡 59

Ex 2: 計算 (3 5 2)(4 5 + 3), 並化為最簡根式 解 : 3 說明 : 1 2 (3 5 2)(4 5 + 3) = 3 5 4 5 + 3 5 3 2 4 5 2 3 4 = 60 + 9 5 8 5 6 = 54 + 5 這是兩個根式乘以兩個根式, 就是利用分配律分別相乘, 1 (3 5 2)(4 5 + 3) 2 3 然後再進行化簡 4 接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目! Ex 3: 計算下列各式, 並化為最簡根式 (1) (3 2 7) 2 (2) (2 5 + 3 2) 2 (3) ( 5 + 1)( 5 1) 60

解 :(1) (3 2 7) 2 = 3 2 2 3 2 7 + (2 7) 2 = 9 12 7 + 28 = 37 12 7 說明 : 這一小題其實就是利用差的平方公式 :(a b) 2 = a 2 2ab + b 2 把 (3 2 7) 2 括號內的 3 當成 a,2 7 當成 b 所以 (3 2 7) 2 = 3 2 2 3 2 7 + (2 7) 2 ( a b ) 2 = a 2 2ab + b 2 = 9 12 7 + 28 = 37 12 7 2 3 2 7 (2 7) 2 = 2 7 2 7 = 4 7 (2) (2 5 + 3 2) 2 = (2 5) 2 + 2 2 5 3 2 + (3 2) 2 說明 : = 20 + 12 10 + 18 = 38 + 12 10 這一小題其實就是利用和的平方公式 :(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 把 (2 5 + 3 2) 2 括號內的 2 5 當成 a,3 2 當成 b 所以 (2 5 + 3 2) 2 = (2 5) 2 + 2 2 5 3 2 + (3 2) 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = 20 + 12 10 + 18 = 38 + 12 10 (2 5) 2 = 2 5 2 5 = 4 5 2 2 5 3 2 (3 2) 2 = 3 2 3 2 = 9 2 61

(3) ( 5 + 1)( 5 1) = 5 2 1 2 = 5 1 = 4 說明 : 這一小題其實就是利用平方差公式 :(a + b)(a b) = a 2 b 2 5 當成 a,1 當成 b 所以 ( 5 + 1)( 5 1) = 5 2 1 2 ( a + b )( a b ) = a 2 b 2 = 5 1 = 4 關鍵 : 奇怪分數 2 5+1 看完一些根式的四則運算後, 我們來看個奇怪分數 : 2 5+1 2 5+1 是不是一個最簡根式? 當然不是啊! 看它的分母 : 5 + 1, 含 有根式, 而且實際上它還可以繼續化簡, 化簡到分母不含有根式 文本 B 當中有提到, 當分母為一個 a 時, 再乘一個 a 就會使得 a a = a, 分母的根式就會消除 如果我們 2 5+1 分子分母同乘以 5, 會發現 ( 5 + 1) 5 = 5 + 5, 分母一樣會有根式 那該怎麼辦呢? 62

我們就利用平方差公式 :(a + b)(a b) = a 2 b 2 來解決這個問題 分母是 ( 5 + 1), 就把它當成是 (a + b), 那還需要乘以一個 (a b) 來湊成平方差公式, 也就是還需要乘以 ( 5 1) ( 5 + 1)( 5 1) = ( 5) 2 1 2 = 5 1 = 4, 這樣分母就成功消除根式了 分母乘以 ( 5 1), 要維持分數的相等, 當然分子也要乘以 ( 5 1) 所以 2 = 2( 5 1) = 5+1 ( 5+1)( 5 1) = ( 5 1) 2, ( 5 1) 2 就是 2 5+1 的最 簡根式 我們來看例題 4 Ex 4: 將下列根式化為最簡根式 (1) 7 13 6 (2) 2 21+5 解 : (1) 7 13 6 = 7( 13+ 6) = 7( 13+ 6) = ( 13 6)( 13+ 6) 13 2 6 2 7 ( 13 6) 7 = 13 + 6 說明 : 分母是 ( 13 6), 要利用平方差公式將分母有理化, 所以將它的 分子 分母同時乘以 ( 13 + 6) 63

(2) 2 5+ 21 = 2(5 21) (5+ 21)(5 21) = 2(5 21) 5 2 21 2 = = 5 21 2 說明 : 分母是 (5 + 21), 要利用平方差公式將分母有理化, 所以將它的 分子 分母同時乘以 (5 21) 重點提問 請問如何化簡一個分母為 a b 的根式呢? 請利用這個方法將 1 7 6 化為最簡根式 隨堂練習 1. 計算 10( 15 + 6), 並化為最簡根式 2. 計算 (2 7 + 3)( 7 4), 並化為最簡根式 64

3. 計算下列各式, 並化為最簡根式 (1) (5 + 3 2) 2 (2) (5 2 2 3) 2 (3) (4 + 3 7)(4 3 7) 4. 將下列根式化為最簡根式 (1) 11 15 4 (2) 9 18+6 還是不太懂, 請看下面影片 (3) 最簡根式與有理化 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 根式的四則運算 ( 例 1~ 例 3) 還是不太懂, 請看下面影片 (2) 根式的四則運算 ( 例 4~ 例 6) https://www.youtube.com/ watch?v=pd9e865qanw#t= 03m23s 還是不太懂, 請看下面影片 (4) 最簡根式與有理化 ( 例 4~ 例 5) https://www.youtube.com/ watch?v=iommcsyedny https://www.youtube.com/ watch?v=gfq9stvpq4e 65 https://www.youtube.com/ watch?v=aneksnygruu#t= 04m57s

單元三 : 畢氏定理 課文 A: 畢氏定理 我們國小學過, 一個三角形當中如果有一個角是直角, 那麼我們就 稱那個三角形是直角三角形 這單元當中, 直角三角形很重要! 如右圖, 在直角三角形當中, 直角的兩個旁邊, 我們都稱為 股 ; 不是直角的旁邊, 是直角的對面, 我們稱它為 斜邊 股 斜邊 股 關鍵 : 那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢? 我們從下面的圖來試著觀察看看! 在圖中, 有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲, 合成一個大正方形 而且這 4 個三角形其實都是一樣的 66

所以正方形甲的面積 = 大正方形 四個直角三角形面積 = 四個 c 2 = (a + b) 2 4 ab 2 = a 2 + 2ab + b 2 2ab = a 2 + b 2 從上面的說明, 我們就可以知道 :c 2 = a 2 + b 2, 而 a, b, c 其實就是直角三角形的三邊長, c 就是這個直角三角形的斜邊,a, b 就是這個直角三角形的兩股, 所以 c 2 = a 2 + b 2 代表的就是 直角三角形中, 斜邊平方等於兩股平方和, 這種關係我們就稱作畢氏定理 在中國古代數學名著 九章算術 中, 直角兩旁較短的邊為 勾 較長的邊為 股 ; 直角的對面, 稱為 弦 所以, 畢氏定理也可 稱為勾股定理或勾股弦定理 67

接著, 我們來做五個例題 這些例題的目標如下 : 例題 1. 已知直角三角形的兩股長, 求斜邊長例題 2. 已知直角三角形的兩邊長, 求第三邊長例題 3. 利用畢氏定理, 求出長方形的對角線長例題 4. 已知直角三角形的兩股長, 求斜邊上的高例題 5. 利用畢氏定理, 解決生活中的應用問題 Ex 1: 已知下列各直角三角形的兩股長, 求斜邊長 (1) (2) 解 : (1) 假設斜邊為 x, 根據畢氏定理 斜邊平方等於兩股平方和, x 2 = 5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 x = ± 169 = ±13 因為斜邊長 > 0, 所以斜邊長 = 13 (2) 假設斜邊為 y, 根據畢氏定理 斜邊平方等於兩股平方和, y 2 = 7 2 + 24 2 = 49 + 576 = 625 y = ± 625 = ±25 因為斜邊長 > 0, 所以斜邊長 = 25 68

上面這題是我們知道兩股長, 利用畢氏定理求斜邊長 接下來我們知道斜邊及其中一股長, 要利用畢氏定理求另一股長 Ex 2: 已知下列各直角三角形的斜邊及一股長, 求另一股長度為何? (1) (2) 解 : (1) 設要求的股長為 x, 根據畢氏定理 斜邊平方等於兩股平方和, x 2 + 3 2 = 5 2 x 2 + 9 = 25 x 2 = 25 9 = 16 x = ± 16 = ±4, 股長必為正的, 所以另一股為 4 (2) 設要求的股長為 y, 根據畢氏定理 斜邊平方等於兩股平方和, y 2 + 8 2 = 17 2 y 2 + 64 = 289 y 2 = 289 64 = 225 x = ± 225 = ±15, 股長必為正的, 所以另一股為 15 69

Ex 3: 求出下列各矩形的對角線長 (1) (2) 解題思維 : 將長方形的兩邊看成兩股, 對角線看成斜邊, 對角線 接下來, 就可以利用畢氏定理 斜邊平方等於兩股平方和, 求出矩形的對角線長了! 解 :(1) 將對角線令為 x, 根據畢氏定理可以列式 :x 2 = 8 2 + 13 2 x 2 = 8 2 + 13 2 = 64 + 169 = 233, 8 x 13 x = ± 233 ( 因為對角線長是長度, 所以負不合 ) 所以對角線長 = 233 (2) 將對角線令為 y, 根據畢氏定理可以列式 :y 2 = 6 2 + 4 2 y 2 = 6 2 + 4 2 = 36 + 16 = 52, 6 y 4 y = ± 52 = ± 4 13 = ±2 13( 對角線長是長度, 故負不合 ) 所以對角線長 = 2 13 70

好, 再來我們看一些畢氏定理的應用! Ex 4: 如圖直角三角形邊長為 5 12 13, 求斜邊上的高 解題思維 : 要算直角三角形的面積, 有兩種算法 : 第一種 : 用 AC 當底, 因為 C 是直角, 所以 BC 就是高, 這樣直角三角形面 BC 積就是 AC 2 第二種 : 也可以用斜邊 AB 當底, 這時候的高就是 CD, 而面積就是 AB CD 2 這兩個算的是同一個三角形的面積, 所以會一樣 然後就可以解出斜邊上的高 CD 了! 71

解 : 從圖中我們可以知道三角形面積 = 5 12 設斜邊上的高為 CD, 則三角形面積 = 13 CD, 5 12 兩邊都有 2, 所以把 2 約掉, 2 5 12 2 要求 CD, 所以把 13 移過去, = 13 CD 2 = 2 2 13 CD 2 CD = 5 12 = 60 13 13 省思 : 我們上面整個過程整理一下 : 一個直角三角形, 兩股分別為 a b, 斜邊為 c 因為 a b = c h 2 2 ( 都是直角三角形的面積 ) 所以, h = a b c 也就是, 一個直角三角形中, 其斜邊上的高等於兩股乘積除以斜邊 72

Ex 5: 如圖, 放著一把 5 公尺的長梯於牆上, 梯腳離牆角 1.4 公尺, 求 : (1) 梯頂離地面多少公尺? (2) 若欲將梯頂降低 80 公分, 則梯腳須向後移動多少公分? 解 : (1) 首先, 我們先看紅色這把梯子 梯腳離牆角 1.4 公尺, 梯子長 5 公尺, 要求梯頂距離地面的高度, 也就是下圖中棕色這段的長度, 這裡就形成一個直角三角形 這個紅色直角三角形, 斜邊是 5, 其中一股長 1.4, 就可以假設要求的為 h h 2 = 5 2 1.4 2 = 25 1.96 = 23.04 h = ± 23.04 那 23.04 怎麼開根號呢? 先把 23.04 化成分數, 再來上面開上面, 下面開下面 : 23.04 = 2304 100 = 2304 10 73

接著 2304 利用短除法算一下 : 2304 = 4 2 12 2 4 2304 4 576 12 144 12 知道 2304 開出來是 48, 因為有兩個 4, 和兩個 12 所以 23.04 = 2304 100 = 2304 = 48 10 10 = 4.8 因此 h = ±4.8, 那因為是高度, 所以負不合 所以梯頂離地面 4.8 公尺 (2) 如果要將梯頂降低 80 公分, 也就是 0.8 公尺 原本高度 4.8 公尺, 降低了 0.8 公尺, 變成 4 公尺 再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變? 看圖, 樓梯掉落 ( 藍色變紅色 ) 長度依然不變, 還是維持 5 所以這裡形成新的直角三角形 a 5 a 4 看綠色直角三角形, 斜邊 5, 一股長為 4, 就可以假設所求為 a a 2 = 5 2 4 2 = 25 16 = 9 a = ± 9 = ±3( 負不合 ) 74

但題目是問梯腳後移多少? 原本梯腳離牆角為 1.4, 但後來的梯腳離牆角為 3, 所以要後移多 少? 當然就是 3 1.4 = 1.6, 所以後移 1.6 公尺 重點提問 1. 請問什麼是 畢氏定理? 請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理 2. 根據上面的課文, 一個直角三角形斜邊上的高如何計算? 請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7 24 25 斜邊上的高 75

隨堂練習 1. 已知下列各直角三角形的兩股長, 求斜邊長 (1) (2) 2. 已知下列各直角三角形的斜邊及一股長, 求另一股長度為何? (1) (2) 3. 求出下列各矩形的對角線長 (1) (2) 4. 如圖直角三角形邊長為 3 4 5, 求斜邊上的高 76

5. 平安拿一鋁梯在離牆 6 公尺處斜放在牆邊, 此時梯頂剛好離地面 6 公尺 ( 如圖所示 ), 求 : (1) 鋁梯有多長? (2) 今移動此鋁梯使它在離牆 2 公尺處斜放, 則梯頂離地面多少公尺? 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 畢氏定理 ( 例 1~ 例 3) 還是不太懂, 請看下面影片 (2) 畢氏定理 ( 例 4~ 例 5) https://www.youtube.com/ watch?v=yadz1p2n8zq https://www.youtube.com/ watch?v=ivokpc5i_t0 77

課文 B: 平面上兩點間的距離 接下來我們來看坐標平面上兩點間的距離 關鍵 : 坐標平面上兩點間的距離 首先, 先來看兩點在同一水平線上 兩點在同一水平線上會發生什麼事情呢? 舉個例子, 如右圖, 有兩點 A(1,2) B(4,2), 這兩點是水平的, 而它們之間的距離就是藍色的那段, 那要怎麼算呢? 數一下, 會發現距離就是 3 但當數字很大的時候就很難用數的就可以數的出來了! 所以我們分析一下, 距離 3 還可以怎麼算出來? A B 兩點的 y 坐標都是 2 ; 而 A 的 x 坐標是 1,B 的 x 坐標是 4 會發現在同一水平線上的這兩點距離其實就是它們 x 坐標的差, 所以其實就是 4 1 = 3 78

Ex 1: 如右圖, 坐標平面上有 P(5,2) Q( 3,2) 兩點, 求 P Q 兩點之間的距離 PQ =? 解 : P Q 的 y 坐標都相同,P Q 在同一水平線上, 所以它們的距離會是它們 x 坐標的差 5 ( 3) = 5 + 3 = 8 再來我們來看一下在同一鉛垂線上的兩點間距離 舉個例子, 如右圖, 有兩點 B(4,2) C(4,6), 這兩點是鉛直的, 而它們間的距離就是粉紅色的那段, 那要怎麼算呢? 我們來看一下 B C 兩點的 x 坐標都是 4 ; 而 B 的 y 坐標是 2,C 的 y 坐標是 6 會發現在同一鉛垂線上的這兩點距離其實就是它們 y 坐標的差, 所以其實就是 6 2 = 4 79

Ex 2: 如圖, 坐標平面上有 P(1,2) Q(1, 3) 兩點, 求 P Q 兩點之間的距離 PQ =? 解 :P Q 的 x 坐標都相同,P Q 在同一鉛垂線上, 所以它們的距離會是它們 y 坐標的差 2 ( 3) = 2 + 3 = 5 最後一種就是不在同一水平線也不是在同一鉛垂線上的兩點距離 舉個例子, 如右圖, 有兩點 A(1,2) C(4,6), A C 兩點的 x 坐標不相同, 而且 y 坐標不相同, 所以不在同一水平線上也不在同一鉛垂線上 那該怎麼求出它們的距離呢? 這時候就要利用到畢氏定理了! 畢氏定理是指直角三角形的三邊關係 : 斜邊平方等於兩股平方和, 所以必需要製造一個直角三角形, 怎麼製造呢? 我們畫一條通過 A 的水平線 一條通過 C 的鉛垂線, 80

兩條線會交一點, 我們先稱它為 B B 與 A 在同一水平線上, 所以 y 坐標與 A 的 y 坐標一樣是 2 ; B 與 C 在同一鉛垂線上, 所以 x 坐標與 C 的 x 坐標一樣是 4 因此 B 點坐標就是 (4,2) C 這樣我們就有一個直角三角形 ABC 了, A B AB BC 是這個直角三角形的兩股,A C 兩點間距離 AC 則是斜邊 B 與 A 在同一水平線上,AB, 就是 x 坐標的差 : 4 1 = 3; B 與 C 在同一鉛垂線上,BC, 就是 y 坐標的差 : 6 2 = 4 根據畢氏定理 AC 2 = AB 2 + BC 2, AC 2 = AB 2 + BC 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25, 因為 AC 是距離, 所以為正, 因此 AC = 5 每次都要這麼麻煩嗎? 其實可以不用那麼麻煩 我們看一下式子 AC 2 = AB 2 + BC 2, AB 2 其實就是 (4 1) 2 括號中的 4 是 B 點的 x 坐標, 也是 C 點的 x 坐標 ; 括號中的 1 是 A 點的 x 坐標 BC 2 其實就是 (6 2) 2 括號中的 6 是 C 點的 y 坐標 ; 括號中的 2 是 B 點的 y 坐標, 也是 A 點的 y 坐標 81

所以 AC 2 = AB 2 + BC 2 = (B 的 x 坐標 A 的 x 坐標 ) 2 + (C 的 y 坐標 B 的 y 坐標 ) 2 = (C 的 x 坐標 A 的 x 坐標 ) 2 + (C 的 y 坐標 A 的 y 坐標 ) 2 所以我們可以得到一個結論, 平面任意兩點的距離 = (x 坐標差 ) 2 + (y 坐標差 ) 2, 即兩點 A(x 1, y 1 ) B(x 2, y 2 ) 的距離為 AB = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 我們舉一個例子 Ex 3: 如圖, 坐標平面上有 P( 2,5) Q(4, 3) 兩點, 求 P Q 兩點之間的距離 PQ =? 解 :P Q 的 x 坐標 y 坐標都不相同, 它們是斜的, 所以可以利用兩點間的距離公式 : (x 坐標差 ) 2 + (y 坐標差 ) 2 PQ = ( 2 4) 2 + [5 ( 3)] 2 = ( 6) 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 82

重點提問 請問如何計算兩點的距離? 請利用這個方法計算 (4, 2) (7,1) 兩點間的距離 隨堂練習 1. 已知坐標平面上有 A(5,2) B(5,6) 兩點, 求 AB 的長 2. 已知坐標平面上有 A(3, 4) B(3,5) 兩點, 求 AB 的長 3. 已知坐標平面上有 A(2,2) B(6,6) 兩點, 求 AB 的長 還是不太懂, 請看下面影片平面上兩點的距離 83 https://www.youtube.com/ watch?v=qqeijfbzf4g