訊號傳輸與濾波SIGNAL TRANSMISSION AND FILTERING

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1 第三章訊號傳輸與濾波 SIGNAL TRANSMISSION AND FILTERING 作者 : 陳昭宏義守大學電子工程系 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度 第三章訊號傳輸與濾波 SIGNAL TRANSMISSION AND FILTERING... 第一節學習目標... 4 第二節線性非時變系統響應 Response of LTI Systems... 5 一 脈衝響應與重疊積分 Impulse response and superposition Integral... 5 二 步階響應 Step response... 6 三 轉移函數... 8 四 系統輸出響應 & 頻率響應... 8 五 轉移函數與頻率響應... 9 六 範例 : 一階系統之頻率響應... 0 第三節方塊圖分析... 一 常見系統功能 方塊圖分析... 二 並聯 parallel... 三 串接 cascade... 3 四 迴授 feedback... 3 五 範例 :Zero-order hold 時域... 4 第四節傳輸中之訊號失真 Signal Distortion in Transmission... 5 一 無失真傳輸 Distortionless Transmission... 5 二 線性失真 Linear distortion... 6 三 固定相位移 : 線性失真 Linear distortion... 7 四 等化器 Equalization 概念... 7 五 等化器 Equalization... 7

2 六 多重路徑失真之等化器... 9 七 非線性失真... 0 八 抑制器 compandingcompressing & expanding... 0 第五節傳輸損失 增益與分貝 dbtransmission Loss GAIN and Decibels... 一 系統功率增益 Power gain... 二 傳輸損失與中繼器... 3 三 光纖 Fiber Optics... 4 四 射頻傳輸... 5 五 直視傳輸 line-of-sight propagation... 6 六 範例 : 衛星中繼系統 Satellite relay system... 6 第六節濾波器與濾波 Filter and Filtering... 8 一 Transfer function of a ideal bandpass filter... 8 二 理想濾波器 ideal filter... 8 三 有限頻寬與有限時間 Bandlimiting and Timelimiting... 9 四 典型帶通濾波器 Typical amplitude ratio of a real bandpass filter 五 實際濾波器 real filter 六 常見濾波器設計方法... 3 七 脈波響應與上升時間... 3 八 Response of an LPF... 3 第七節正交濾波器與希伯特轉換 Quadrature Filters and Hilbert Transforms 一 希伯特轉換性質 Property of Hilbert Transforms 二 範例 Hilbert transform of a cosine Signal 三 範例 : Hilbert transform of a Rectangular Signal 第八節相關函數與頻譜密度 Correlation and Spectral Density 一 功率訊號之相關性 Correlation of power Signals 二 能量訊號之相關性 Correlation of Energy Signals 三 頻譜密度函數 Spectral Density Functions... 39

3 四 範例 :Comb Filter 梳型濾波器... 4

4 第一節學習目標 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度 以脈衝 impulse 響應 response 步階 step 響應 轉移函數 transfer functionˇ 等, 描述與應用 LTI 系統之輸出輸入關係 使用頻域分析系統之準確或進似輸出 由系統方塊圖求得轉移函數 分辨 amplitude distortion delay distortion linear distortion and nonlinear distortion 指出已知通道無失真傳輸之頻帶範圍, 求給定頻帶之無失真傳輸所須之等化器 equalization 規格 應用 db 計算傳輸系統 電纜 放大器所需之訊號功率 討論訊號經光纖與衛星系統傳輸所需之特性 指出與畫出理想 LPF BPF HPF 之 Hf 與 h 由 Hf 找出實際 LPF 之 3dB 頻寬 描述與應用脈波傳輸所需之頻寬 定義功率訊號或能量訊號之互相關與自相關函數, 並描述相關性質 描述 Wiener-Kinchine 定理與頻譜密度函數 spectral density function 之性質 給定系統 Hf 與輸入之相關函數或頻譜密度函數, 求出輸出之相關函數或頻譜密度函數

5 第二節線性非時變系統響應 Response of LTI Systems 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度脈衝響應與重疊積分 步階響應 轉移函數 系統輸出響應 & 頻率響應 轉移函數與頻率響應 範例 : 一階系統之頻率響應 系統輸出入關係 y F[ x ] 假設系統 F 線性非時變系統 x a x k k k 訊號為基本訊號之線性組合 y a F[ x ] k k k 則輸出為各基本訊號輸出之線性組合 輸入延遲輸出也延遲 F [ x t t ] y t d t d 線性非時變系統關係可表示為下列微分方程 a n m d y dy d x + + a + a0 y bm + + b n m dt dt dt dx dt b x n + 0 t 一 脈衝響應與重疊積分 Impulse response and superposition Integral 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度脈衝響應與重疊積分 步階響應 轉移函數 系統輸出響應 & 頻率響應 轉移函數與頻率響應 範例 : 一階系統之頻率響應 系統脈衝響應 [ δ ] h F t 任意訊號輸入

6 t λ x x λ δ dλ 系統之輸出 F x λ δ t λ dλ λ F[ δ t λ ] dλ y x 線性非時變系統之輸出入關係可表示, 系統脈衝響應與輸入訊號之褶積 y x λ h t λ dλ λ x t λ dλ h 二 步階響應 Step response 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度脈衝響應與重疊積分 步階響應 轉移函數 系統輸出響應 & 頻率響應 轉移函數與頻率響應 範例 : 一階系統之頻率響應 步階響應 g F[ u ] 脈衝響應與步階響應之關係 dg h dt 系統摺積運算之微分運算 d dw t dt dt [ w ] 一階系統之時間響應 _ 步階響應 一階系統 dy RC + y x dt 系統脈衝響應 h e RC t / RC u

7 步階響應 g t / RC e u 一階系統之時間響應 _ 方波脈衝響應 一階系統 方波脈衝響應 y 0 y A y A, t < 0 t / RC e 0 < t τ / t RC e RC τ / e, < τ, t > τ

8 脈衝寬 τ>>/rc τ~/rc τ<</rc 三 轉移函數 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度脈衝響應與重疊積分 步階響應 轉移函數 系統輸出響應 & 頻率響應 轉移函數與頻率響應 範例 : 一階系統之頻率響應 轉移函數 : 脈衝響應之富氏轉換 H f F j πft [ h ] h e dt 實數系統之轉移函數 H f H f arg H f arg H f, H f H f 四 系統輸出響應 & 頻率響應 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度脈衝響應與重疊積分 步階響應 轉移函數 系統輸出響應 & 頻率響應 轉移函數與頻率響應 範例 : 一階系統之頻率響應 假設輸入 相量型式 jφx jπf0t x A e e, < t < x

9 系統輸出 y h x y h λ Axe jφ e x jπf 0 t λ dλ jπf0λ jφx jπf0t h λ e dλ Ax e e jφx jπf0t H f Ax e e 0 頻率響應 H f 0 系統輸出 相量型式 y jφ y jπf0t y A e e, < t < A φ arg H f0 + φ y H f 0 A x y x, 五 轉移函數與頻率響應 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度脈衝響應與重疊積分 步階響應 轉移函數 系統輸出響應 & 頻率響應 轉移函數與頻率響應 範例 : 一階系統之頻率響應 假設輸入系統輸出 相量型式 x A cos π f t + φ y x 0 Ay cos f0 x π t + φ y 頻率響應 Y f H f X f Y f H f X f argy f arg H f + arg X f 功率頻譜 Y f H f X f 能量 E y H f X f df 系統輸入 輸出響應與轉移函數關係 j πft [ H f X f ] H f X f e df y F 系統為 LTI 系統, 轉移函數可表示如下

10 b H f a m jπf + + b jπf + b0 n jπf + + a jπf + a0 m n 當訊輸入訊號為單頻訊號, 則輸入輸出之時域比值為該頻率之轉移函數 jπft y 當 x e, H f x t 六 範例 : 一階系統之頻率響應 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度脈衝響應與重疊積分 步階響應 轉移函數 系統輸出響應 & 頻率響應 轉移函數與頻率響應 範例 : 一階系統之頻率響應 RC 電路如下圖 : 若輸入為 x, 輸出為 y, 求此圖之轉移函數, 並簡單分析系統性能 解法 : 應用節點分析, 以頻域計算 Yf / jπfc H f Xf / jπfc + R + jπfrc + j f / B 定義系統頻寬 B πrc 轉移函數之振幅與相位響應分別為 H f, arg H f arctan + f / B f B 說明 : H f + j f / B 稱低通濾波器, 頻寬 通過訊號之頻帶寬

11 B πrc 訊號通過此系統, 若訊號頻寬 W W<<B: 稱非失真傳輸 undistorted transmission W~B: 依訊號頻譜與系統轉移函數而定 W>>B; 稱失真 distorted 訊號通過低通濾波器結果 圖 a W<<B, 圖 b W ~ B, 圖 c W>>B

12 第三節方塊圖分析一 常見系統功能 方塊圖分析 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度常見系統功能 並聯 串接 迴授 範例 :Zero-order hold 時域 應用常見系統功能, 經由並聯 串接 迴授可已組成多種多功能系統或系統分析 並聯 parallel: H f H f + H f Y f H f H f X f [ ] + 串接 cascade: H f H f H Y f H f H f f X f [ ] 迴授 feedback: H f H f + H f H f { H f /[ H f H f ]} X Y f + f 二 並聯 parallel 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度常見系統功能 並聯 串接 迴授 範例 :Zero-order hold 時域

13 三 串接 cascade 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度常見系統功能 並聯 串接 迴授 範例 :Zero-order hold 時域 四 迴授 feedback 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度常見系統功能 並聯 串接 迴授 範例 :Zero-order hold 時域

14 五 範例 :Zero-order hold 時域 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度常見系統功能 並聯 串接 迴授 範例 :Zero-order hold 時域 圖為 Zero-order hold 之系統方塊圖, 應用於類比與數位系統間訊號之轉換 與設定取樣率 其中 T 為訊號取樣週期時間 範例 :Zero-order hold 頻域 轉移函數 圖計算系統之轉移函數與脈衝響應 解 :Zero-order hold 由方塊圖之架構可得 H f H f H f H f + H [ f ] H 3 3 f 頻域應用每一系統方塊之基本定義 jπft jπft jπft e e jπft sinπft jπft jπft [ e ] e e T sin fte jπf jπf πf 時域得 t [ δ λ δ λ T ] dλ u u t h T 脈衝響應為 h t T / / T [ ] 富氏轉換後得轉移函, h H f

15 第四節傳輸中之訊號失真 Signal Distortion in Transmission 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 訊號傳輸系統是由一電子通道 channel 將訊號由一資訊源傳至目的地 傳輸過程會有失真與干擾, 首先我們簡單一些失真與非失真之傳輸情形 無失真傳輸 Distortionless Transmission 線性失真 Linear distortion 多重路徑失真 Multipath distortion 非線性失真 Nonlinear distortion 一 無失真傳輸 Distortionless Transmission 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 若接收訊號與原始訊號只有大小不同與時間延遲, 稱無失真傳輸 y Kx t t d 頻譜 d Y f F y Ke jωt X f Y f H f X f [ ] 所以轉移函數 jωt H f Ke d 轉移函數 無失真傳輸 H f K arg H f π t f ± m80 振幅失真傳輸 H f K 延遲失真傳輸 arg H f π t f ± m80 d d

16 二 線性失真 Linear distortion 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 當每一訊號分量之時間延遲與訊號成線性關係則稱線性失真 arg H f πft f t d arg H f f π f d 例 : 固定相位移 j g H f Ae H f π ft + φ g t f t φ0 / πf d g jφ j πftg Ae e πft φ 0 t g : 稱群延遲 group delay t d : 稱相延遲 phase delay Test signal x cos ω 0 t + /3 cos 3ω 0 t + /5 cos 5ω 0 t Test signal with amplitude distortion a low frequency attenuated; b high frequency attenuated a 變小 cos ω0t + /3 cos 3ω0t + /5 cos 5ω0t bcos ω0t + /3 cos 3ω0t + 變小 cos 5ω0t Test signal with constant phase shift θ -90

17 三 固定相位移 : 線性失真 Linear distortion 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 假設訊號 x x cosω t c x sinω t c 經由固定相位移 ψ 通道 y A t t cos ω t t A t t sin ω t t [ ] [ ] x g c d x g c d Ax t tg cos c t tg + φ0 Ax t tg sin ωc t tg [ ω ] [ + ] y φ dθ f t g π df 0 四 等化器 Equalization 概念 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 設計一系統來補償通道之失真細現象, 使接收無失真!!! 期望整體之系統轉移函數 jωt H f H f Ke d C eq 五 等化器 Equalization 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失

18 增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 整體之系統轉移函數 H f H f Ke C eq jωt d 所以 H eq f jωt Ke d H f C 常見設計等化器之方法為使用 Tapped-delay-line 或 transersal filter 如 : Tapped-delay-line equalizer 或 transersal filter 直接由下圖可寫 轉移函數 f c + jω jω jω c e + c c e e jω jω H eq + c0e + ce 0 + 整理後, 若有 M+ 個係數

19 H eq M f cme m M jωm e jωm 六 多重路徑失真之等化器 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 假設有一失真通道 兩多重路徑 求等化器? 通道轉移函數 等化器轉移函數 多重路徑失真 以 TAPPED-DELAY 設計 y K x t t + K x t H t jωt jωt C f Ke + Ke jωt 0 jωt K e + ke 等化器之轉移函數為 以泰勒展開近似為 取三項 H f eq + jωt0 0 0 j ωt jωt e k + k e e TAPPED-DELAY 設計

20 七 非線性失真 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器 如圖為非線性系統 如 : 3 y a x + a x + a x + Y 3 t 3 f f a X f + a X X f + a X X X + 假設輸入 系統輸出 產生多次諧波失真, 下為二次諧波失真量 a / + a4 / 4 + a + 3a / % 八 抑制器 compandingcompressing & expanding 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度無失真傳輸 線性失真 固定相位移 等化器概念 等化器 多重路徑失真之等化器 非線性失真 抑制器

21 如何避免系統非線性元件對調變之影響? 盡量使訊號落於線性區, 因此早期電信系統常使用抑制器 companding 避免因乘積元件 crossproduc 之非線性現象, 造成系統串音現象 cross talk compressor: 先將大訊號抑制 衰減 expandor: 將大訊號還原 放大 compressing 與 expanding 合稱抑制器 companding

22 第五節傳輸損失 增益與分貝 dbtransmission Loss GAIN and Decibels 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度系統功率增益 傳輸損失與中繼器 光纖 射頻傳輸 直視傳輸 範例 : 衛星中繼系統 傳輸損失或增益定義 g P out / P in 以分貝 db 定義 0log g db 0 g g /0 0 db g dbw & dbm 若將輸入功率以固定功率, 則可定義為功率量測單位 dbw: 以一瓦 w 為比較單位, P P dbw 0log0 W dbm: 以一微瓦 mw 為比較單位 P P dbm 0log0 mw 一 系統功率增益 Power gain 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度系統功率增益 傳輸損失與中繼器 光纖 射頻傳輸 直視傳輸 範例 : 衛星中繼系統

23 以 db 表示系統增益與訊號功率得 P g + P out db dbm in dbm 系統增益與系統轉移函數之關係 g H f K db 表示系統轉移函數 0 H H f 0log f db 二 傳輸損失與中繼器 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度系統功率增益 傳輸損失與中繼器 光纖 射頻傳輸 直視傳輸 範例 : 衛星中繼系統 傳輸損失, 在通訊系統中是設計中繼器來克服, 在一段傳輸距離後設置一中繼器 放大訊號 L / g P in / P out L g 0log0 P / P db db /0 P out 0 α P in L α /0 0 LdB in out α 則最後收到之訊號功率為 假設 g 與 g4 是為中繼器 gg4 Pout g gg3g4 Pin Pin L L 3 out g + g4 L + L3 P in P + 常見傳輸損耗

24 三 光纖 Fiber Optics 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度系統功率增益 傳輸損失與中繼器 光纖 射頻傳輸 直視傳輸 範例 : 衛星中繼系統 光纖通訊是以光波為傳輸媒介 光在介質內全反射現象, 將訊號由 A 傳遞至 B 大部份光通訊系統為數位通訊系統, 因為類比之光訊號調變與解調變不易 數位則可透由光之 on-off 調變 光之媒介 光纖, 傳輸型態有 單模態 single-mode 多模態 multi-mode,step-index 多模態 multi-mode,graded-index 單模態,Light propagation down a single-mode step-index fiber 多模態,Light propagation down a multimode step-index fiber

25 多模態, Light propagation down a multimode graded-index fiber 四 射頻傳輸 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度系統功率增益 傳輸損失與中繼器 光纖 射頻傳輸 直視傳輸 範例 : 衛星中繼系統 直視傳輸 line-of-sight propagation, 一般在頻帶 00MH 以上之電磁波頻帶 自由空間損耗 free-space-loss : 以球面幅射之損耗 4π 4πf L λ c 其中

26 五 直視傳輸 line-of-sight propagation 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度系統功率增益 傳輸損失與中繼器 光纖 射頻傳輸 直視傳輸 範例 : 衛星中繼系統 一般直視傳輸之損耗 L log + 0 db 0 f GHz log 0 km gt g R P out Pin L 4πA e 4πAe f g λ c 六 範例 : 衛星中繼系統 Satellite relay system 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度系統功率增益 傳輸損失與中繼器 光纖 射頻傳輸 直視傳輸 範例 : 衛星中繼系統 Uplink frequency6ghz Downlink freq.4ghz, 中繼輸出 8dBw 假設傳輸損耗為 L log + 0 輸入功率 35dBW 求輸出功率解 : 衛星中繼系統, 應用 db 0 f GHz log 0 km

27 L log + 0 db 0 f GHz log 0 km 求得 uplink loss 4 L u log 6 + 0log db 0 0 Downlink loss L d log 4 + 0log dB 0 0 中繼器輸入 35dB+55dB-99.dB+0dB-44.dBW 輸出功率 8dB+6dB-95.6dB+5dB-0.6dBW 00.6/0 P out 0 W W

28 第六節濾波器與濾波 Filter and Filtering 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF 通訊系統存在許多濾波器 為了將所承載之資訊由不想要之內容中取出 如 : 干擾 : 一般指由非訊號本身之其他來源, 因訊號之混合造成接收訊號之損失 雜訊 : 雜訊可能是熱雜訊或其他背景雜訊, 因加至訊號上導致訊號之解析能力變差 失真 : 由訊號本身, 被各種線性或非線性之系統響應 或通道, 造成接收訊號之變異與損失 濾波則是應用各種訊號處理方式移除上述干擾與雜訊 一 Transfer function of a ideal bandpass filter 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF Ideal filter: 指的是處理頻帶內訊號無失真 distortionless, 在其他頻帶內則為 0 下圖為 ideal bandpass filter 二 理想濾波器 ideal filter 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF 可以分為 Lowpass filter: 如下式

29 H f Ke h F jωt d f B BK sin B t [ H f ] Highpass filter Band-rejection filter Band-pass filter: 下列表示為帶通之轉移函數與響應 j Ke H f 0 ωtd f f fu otherwise 其中,B 稱頻帶寬 B f f u t d Ideal lowpass filter a Transfer function b Impulse response f a H f Ke j ω d t B h F H f BK sin B t b [ ] t d 三 有限頻寬與有限時間 Bandlimiting and Timelimiting 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF 若有一訊號之頻譜為 V f 0 f > W 稱有限頻寬訊號 若有一訊號之時域為 0 t < and t > t t 稱有限時間訊號

30 完美之有限頻寬與有限時間訊號, 皆不可能存在 因為完美時間有限會造成無限之頻寬需求 完美頻寬有限會造成無限之時間延展需求 四 典型帶通濾波器 Typical amplitude ratio of a real bandpass filter 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF Passband: 帶通帶, 一般為放大倍, 可能有漣漪 ripple, 由最大放大倍率 K 至 /K 之範圍稱 3dB 頻寬 如圖 fh-fl Stopband: 帶止帶, 輸出為 0 五 實際濾波器 real filter 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF 由上圖可簡單假設濾波器轉移函數為 K H f H f f f, max f u 應用 Butterworthj filter 設計技術 H f P jf / B n 其中 P jfb + f n / B n n 為所使用之濾波器階數, 代入後可得轉移函數

31 H f + f / B n 六 常見濾波器設計方法 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF Butterworth: 有平坦之帶通帶 Bessel maximally linear phase: 有最好之帶通帶線性相位 Equal ripple filter: 有較小之轉移帶 分 Chebyshe filteri II Elliptic filter Butterworth Bessel maximally linear phase Equal ripple filterchebyshe filteri II Elliptic filter 可以應用 MATLAB toolbox, 了解上述濾波器功能差異 所有濾波器設計時, 一般使用主動式 actie 設計, 並為避免使用電感 空間與重量 會使用 switched-capacitor filter 技術 Bode diagram for Butterworth LPF

32 七 脈波響應與上升時間 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF 步階響應 g h λ u t dλ h λ dλ t 一階濾波器之輸出響應 πbt g e u t 理想低通之輸出響應 t 0 Bt g Bsin cbλdλ sin cµ dµ + sin cµ dµ 0 定義 Si θ sinα dα α θ Bt 0 0 則理想低通之輸出響應 g + SiπBt π sin cµ dµ 八 Response of an LPF 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度理想帶通濾波 理想濾波器 有限頻寬與有限時間 典型帶通濾波器 實際濾波器 濾波器設計方法 脈波響應與上升時間 Response of an LPF Pulse response of an ideal LPF 當方波脈衝通過濾波器時, 方波脈衝失真情形與濾波器頻帶寬有關 Bτ> 可通過基本形狀, Bτ<< 會造成延重失真 Pulse resolution of an ideal LPF. B ½τ Bτ> 通過基本形狀, Bτ<< 造成失真 因此濾波器最大之解析率定為 B ½τ τ B

33 步階響應分析 Step response of ideal and first-order LPFs 請注意理想 一階濾波器之響應 Setup time: 當輸出至 0.9 穩態值 時之時間 Ripple: 穩態值之漣漪量 Causal: 未輸入時輸出為 0

34 第七節正交濾波器與希伯特轉換 Quadrature Filters and Hilbert Transforms 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度希伯特轉換性質 範例 a cosine Signal 範例 a Rectangular Signal 正交濾波器 Quadrature Filters : 全通濾波器, 只正頻率分量相位移 -90 度 負頻率分量相位移 90 度 轉移函數 j f > 0 H Q f j sgn f + j f < 0 脈衝響應 h Q π t 希伯特轉換 Hilbert Transforms: 任何訊號通過正交濾波器, 稱之 x λ x t x t dλ πt π t λ F x j sgn f X f 一 希伯特轉換性質 Property of Hilbert Transforms 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度希伯特轉換性質 範例 a cosine Signal 範例 a Rectangular Signal 任何訊號之希伯特轉換後之振幅頻譜與其原振幅頻譜相同 若 x 是 x 之 Hilbert轉換, 則 x 也是 x 之 Hilbert轉換 任何訊號訊號與希伯特轉換之訊號為正交 x 是 x 之 Hilbert轉換, 則 x x dt 0, 所有能量訊號 二 範例 Hilbert transform of a cosine Signal 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度希伯特轉換性質 範例 a cosine Signal 範例 a Rectangular Signal

35 訊號 x Acos ω 0t + φ 求 Hilbert transform? ANS: ja X f j sgn fx f A [ δ f f0 + δ f + f 0 ] j [ δ f f + δ f f ] sgn f IFT x Asin ω 0t + φ 三 範例 : Hilbert transform of a Rectangular Signal 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度希伯特轉換性質 範例 a cosine Signal 範例 a Rectangular Signal 訊號 x A T dλ π 0 t λ 求 Hilbert transform? ANS: A T A x λ ln ln τ π d t t t t λ π A t A ln ln π t τ π τ t IFT A τ A t x dλ ln π 0 t λ π τ t A t x ln π t τ [ ] Hilbert transform of a rectangular pulse a Conolution; b Result

36 第八節相關函數與頻譜密度 Correlation and Spectral Density 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度功率訊號之相關性 能量訊號之相關性 頻譜密度函數 範例 :Comb Filter 梳型濾波器 相關函數與頻譜密度是分析訊號與系統之另一常用之方法 相關函數 Correlation 做 Fourier transform, 得到頻域表示法 頻譜密度 Spectral Density 可以用於分析訊號之功率 頻譜密度 Spectral Density 是可應用於各種訊號之分析, 即使訊號為無法 Fourier transform, 例如 : 隨機訊號 一 功率訊號之相關性 Correlation of power Signals 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度功率訊號之相關性 能量訊號之相關性 頻譜密度函數 範例 :Comb Filter 梳型濾波器 假設 為功率訊號, 則其平均功率 aerage power P * 0 時間平均定義為 T z lim z dt T T T 有下列性質 z * z * z t td z any t d a z + az az + az w* 稱純量乘 scalar produc Schwarz s inequality t w * t P P w 證 : 假設 z aw P z [ aw ][ * a * w* ] z z * t * + aa * w w* a * w* a * w [ a * w* ] P + aa * P Re t w

37 令 a w* P W P z P w* PW 0 得證 t w * t P P w 互相關函數 crosscorrelation P w τ w* t τ t + τ w* 互相關量小於個別訊號功率 R τ P P w 兩訊號之互相關與方向無關 R τ R* τ w w 自相關函數 autocorrelation w R τ R τ * t τ t + τ * t0 自相關, 等於平均功率 R 0 P t0 自相關, 為最大 R τ R 0 自相關與方向無關 R τ R* τ 假設 z ± w 自相關為 R τ R τ + R τ ± R τ + R τ z 若互相關函數, 無關 R τ R τ 0 w w 則訊號功率關係如下 : P P + P z 範例 :Correlation of phasors and sinusoids 定義 w w [ ] w w

38 e / jωt jωt e lim T T T / lim sin c T ω ω j ω w t e dt T T 0 ω ω π ω ω 令 jωt Ce w C w e jω t w 求此 phasors 之相關函數 z Acos ω 0t + φ 與 sinusoids 之自相關函數 解 : Correlation of phasors and sinusoids 互相關函數 R w τ C C * w e 0 * CCwe jωt j τ [ ][ ω w t C e C e ]* jω τ w jωτ e jω t e w jω t w ω ω w ω ω w 自相關函數 R z A cosω τ τ 0 若只為 sinusoids z Acos ω 0t + φ R τ C e jω τ 二 能量訊號之相關性 Correlation of Energy Signals 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度功率訊號之相關性 能量訊號之相關性 頻譜密度函數 範例 :Comb Filter 梳型濾波器 訊號能量定義 互相關定義 E * dt 0 R w τ w* t τ dt 注意積分之上下限 能量與功率訊號不同 其餘定義 R τ R τ

39 R τ E E w w 摺積之定義 λ w* τ λ dλ τ * z τ 因此 τ τ w* τ R w 自相關與頻譜密度關係 R 0 E V f df 互相關與頻譜密度關係 R w 0 w* dt V f W * f df 頻域之 Schwarz s inequality V f W * f df V f df W f df 相關函數 訊號之自相關與互相關可應用於 圖訊識別 Pattern Recognition 訊號偵測 解調變 匹配濾波器 訊號之頻譜密度 : 訊號相關函數之 FT 為其頻譜密度函數 三 頻譜密度函數 Spectral Density Functions 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度功率訊號之相關性 能量訊號之相關性 頻譜密度函數 範例 :Comb Filter 梳型濾波器 G f df R 0 若 Hf 為濾波系統轉移函數則輸出功率頻譜 Gy f H f G f 若濾波器頻寬很小, 且等增益 R y 0 H f Gx f df x

40 G f R 0 / f x c G f F y [ R ] τ jπfτ τ R τ e dτ FT R τ G f Interpretation of spectral density functions Spectral Density Functions 所以自相關函數為功率密度頻譜之反富氏轉換 τ [ G ] f jπfτ R τ F G f e df 功率密度頻譜與頻譜關係 G f V f 若為週期訊號 0 c nf0 e jπnf t 範例 : 則功率頻譜密度 G f c nf0 δ f nf0 假設訊號 x sinc 0 系統轉移函數為

41 H f 3 f e 4 j4πf 求 : X 之能量頻譜密度? 輸出之頻譜密度? X 與輸出之能量? 輸出 y? 解 : X 之能量頻譜密度 f G x f X f Π 00 0 輸出之頻譜密度 Gy f H f G f G y f X f 00 0 f f f 00 4 x f X 與輸出之能量 5 Ex x dt X f df Gx f df df Ey y dt Y f df Gy f df df 輸出 y Y f X f H f IFT y sinc 4 t f e f e 4 f j4πf jπ 8 4 四 範例 :Comb Filter 梳型濾波器 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度功率訊號之相關性 能量訊號之相關性 頻譜密度函數 範例 :Comb Filter 梳型濾波器 如圖之濾波器

42 求 脈衝響應? 轉移函數? ANS: 脈衝響應 T t t t h δ δ 轉移函數 ft j e f H π 應用 :Comb Filter 濾波器之功率頻譜 T f f f e e f H c c ft j ft j / / 4sin π π π 若輸入功率密度已知, 則輸出功率密度 / 4sin f G f f f G x c y π 輸出之自相關函數 [ ] f G R y y τ τ F [ ] f R f H R x y τ τ F 因為 [ ] T T f H + τ δ τ δ τ δ τ F 所以 T R T R R R x x x y + τ τ τ τ