signal and spectrum
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1 第二章訊號與評譜 Signal and spcrum 作者 : 陳昭宏義守大學電子工程系 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連 續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 第二章訊號與評譜 Signal and spcrum... 第一節學習目標... 3 第二節弦波訊號基本定義... 4 一 線頻與 Fourir sris... 4 二 週期訊號與平均功率... 5 三 範例... 5 第三節 Fourir rprsnaions or our class o signals... 7 一 Priodic Signal Fourir Sris FS... 7 二 三角富利葉級數 rigonomric Fourir sris... 8 三 誤差方均值 均方誤差值 MSE o Rprsnaion... 9 四 系統特徵問題簡介... 五 線性非時變系統之特徵函數 Eignuncion o LI sysm... 六 富氏分析之收斂條件... 七 Parsval s Powr horm... 4 第四節 Fourir 轉換與連續頻譜... 6 一 對稱訊號 Symmric signal... 7 二 因果訊號 Causal signal... 8 三 Rayligh s Enrgy horm... 9 四 對偶定理 Dualiy horm... 第五節時域與頻域之關係 im and Frquncy rlaions... 一 重疊性質 Suprposiion... 二 時間延遲 im dlay... 三 刻度變更 scal Chang... 3 四 頻率轉移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion... 4 五 調變定理 modulaion horm... 5 六 微分與積分 Dirniaion and Ingraion... 6 七 Convoluion... 9 第六節 Impuls and ransorms in h limi... 3
2 一 脈衝性質 Propris o h uni impulss... 3 二 脈衝之運算 三 Impulss in rquncy 四 步階函數 Sp uncions 五 符號函數 Sign uncions 六 Impulss in im 七 範例 :Raisd Cosin Puls... 37
3 第一節學習目標 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 畫出或標示多弦波訊號之線頻譜 計算計算簡單訊號之平均 功率 總功率與能量 寫出訊號之 Fourir 級數與轉換之表示式 由時域辨識訊號之性質或由頻域辨識訊號之性質 畫出或標示方波列 單一方波與 sinc 脈波 說明與應用 Parsval s powr horm Rayligh s nrgy horm 描述 Fourir 轉換之定理 :im dlay, scal chang, 應用 Fourir 轉換之定理計算訊號之頻譜 瞭解與應用摺積定理 convoluion 說明 impulss 計算含 impulss, sps, sinusoids, rcangular 之頻譜
4 第二節弦波訊號基本定義 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例 : 振幅 ϖ: 角頻率 φ: 相位角 ϖ φ v cos 上列訊號將以一時間 週期 重覆 ϖ 頻率 週期 Eulr s horm ± θ Eulr s 公式 cosθ ± sinθ 任何弦波函數可用下列方式表示為相量 Phasor cos [ ] ϖ φ ϖ φ R v R ϖ φ [ ] 一 線頻與 Fourir sris 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例 每一單一頻率之弦波訊號可以表示為相量 phasor v cos ϖ φ v R V φ ϖ φ { } 每一頻率之可由相量畫出其頻譜或相譜 任意週期訊號可表示為 Fourir sris, 運算獲得對應之頻譜, 稱線頻譜 lin spcral 表示為線頻譜之規則
5 以頻率 表示 ϖ 相角對應於 cosin 函數 sinϖ cos 振幅為正數 ϖ 9 ϖ cos ϖ 8 cos ± 相位 度度量 : cos 徑度量 : cos ϖ ± 8 ϖ ± 二 週期訊號與平均功率 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例 週期訊號, 有下列關係 v ± m v, 訊號平均值 v lim v d 週期訊號平均值 v v d vd 平均功率 P v v d 三 範例 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例
6 弦波訊號 : 振幅 v cos ϖ ϕ ϖ: 角頻率 : ϕ 相位角 平均值 v cos ϖ φ d 平均功率 P v cos ϖ φ ϖ φ d cos d
7 第三節 Fourir rprsnaions or our class o signals 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條件 Parsval s Powr horm 一 Priodic Signal Fourir Sris FS 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 任意離散之週期訊號週期為 N, x[n]x[nn], 可表示如下, DFS: ϖ, ω vˆ C ϖ ϖ 稱 之 次諧波 harmonic 任意連續之週期訊號週期為, xx, 可表示如下, FS: N n vˆ [ n] Ω [ ], Ω Ω N n Ωn 稱 之 次諧波 harmonic
8 諧波 harmonics 所有頻率皆為主頻率 undamnal rquncy 之整數倍 n, 稱 n 次諧波 harmonics 各分量大小如下: n n v d, C DC 分量 : C v d v 若為實數訊號 C n C n C n argc n 二 三角富利葉級數 rigonomric Fourir sris 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm n c cos n arg c n n vˆ c 常計算如下運算 / d / sin 定義 Sinc 函數 sinc λ sin λ λ λ sinc λ λ ±, ±, Sinc 函數波形
9 三 誤差方均值 均方誤差值 MSE o Rprsnaion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 誤差方均值 均方誤差值 : 為估測值與原訊號之差量比較函數, 可用於判斷兩訊號之相同程度 連續 MSE x x 離散 MSE N N x[ n] x[ n] 非週期訊號 nonpriodic signal Fourir ransorm F 任何非週期訊號可以表示為下列近似值 連續 x 離散 x[ n] ω ϖ x X dω x[ n] X Ω Ωn dω 問題 : 判斷下列訊號之分析法
10 n a x[ n] u[ n] b x cos sin3 c x cos u d x[ n] m δ[ n m] δ[ n m] 先判斷連續或離散 D 再判斷週期 FS 或非週期 F a DF, b FS, c F, d DFS 四 系統特徵問題簡介 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 任一運算子 H, 求下列等式之解, H { x } λx x 稱特徵問題特徵值 : λ 對應於 λ之特徵函數 x x 求岀之解若 H有等效之轉換矩陣 λ 特徵值 λ 對應之特徵向量 線性系統之特徵函數性質 h ignuncion Propry o Linar Sysms h acion o h sysm on an ignuncion inpu is muliplicaion by h corrsponding ignvalu. gnral ignuncion ignuncion Ψ or Ψ[n] and ignvalu λ.
11 B 連續 complx sinusoidal ignuncion ω and ignvalu hω. C 離散 complx sinusoidal ignuncion Ωn and ignvalu hω. 訊號之 ignuncion 表示法 M a x x M,...,, ω ϖ 可以表示為則任何訊號為訊號空間之特徵函數若之分量在為訊號 x a ϖ 五 線性非時變系統之特徵函數 Eignuncion o LI sysm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條件 Parsval s Powr horm M H H M,...,, ϖ ϖ δ ω ω ϖ 則任何 LI 系統可表示為為輸入訊號之訊號空間之特徵函數若 M M H a y a x ω ω ϖ 之輸出則對應於輸入
12 六 富氏分析之收斂條件 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm ω v ˆ C ϖ, 若 v 是 squar 殮 ingrabl 則可收. v ˆ 是否會收殮至 v? N vn C ϖ N 方波脈衝列 為週期連續訊號 週期為 脈衝寬為 Spcrum o rcangular puls rain wih ƒ /4 a mpliud b Phas
13 lim v v dv N N Gibbs 現象若 v 有不連續點是否會收斂? 收殮於 vn 不連續點之中間值 Gibbs 現象, 若 v 不連續點 為殮但, v可收. N 不連續點之中間值 [ v v ] Fourir-sris rconsrucion o a rcangular puls rain/
14 Gibbs phnomnon a a sp disconinuiy 七 Parsval s Powr horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi
15 Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 訊號之平均功率與 Fourir 係數之關係 P v d v v d n v c n n n v c n n n n P v cn d v n n P n c ncn cn n d c n 訊號能量 訊號能量 E v d 若上式存在且 E, 則此訊號稱稱為非週期之能量訊號
16 第四節 Fourir 轉換與連續頻譜 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 Fourir 轉換 V F [ v ] v d Invrs Fourir 轉換 v F - [ V ] V d V 頻譜之主要性質 Fourir 轉換是複數函數 V, 時 V 等於 v 之面積 V v d v d 實數訊號 v V V V V arg V arg V 方波脈衝 Rangular Puls 基本方波脈衝 / / > / 若 v /
17 頻譜 / V / d sin sinc Rcangular puls spcrum Vƒ sinc ƒ 一 對稱訊號 Symmric signal 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 訊號頻譜 V V V 其中 V V o v cos ϖ d o v sin ϖ d Evn symmrical: 若 v v 稱訊號為偶對稱 Evn symmrical Odd symmrical : 若 v v V o 稱訊號為奇對稱 Odd symmrical V Ral symmrical: 若訊號為實數 V V V V o
18 二 因果訊號 Causal signal 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 若訊號 v, 稱因果訊號 Causal signal 簡言之, 就是只有訊號開始後才可觀察到訊號 代入頻譜計算 V v d v d 上式與 Laplac ransorm 類似 L [ v ] s v s d 範例 :causal xponnial puls 有一因果指數衰減波形, 有時間常數 /b 波形函數 v b > 波形 求頻譜? 解 :causal xponnial puls v b > F V b
19 整理分母為實數 b b V 振幅 V b 相位 arg V arcan b 三 Rayligh s Enrgy horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 Rayligh s Enrgy horm nrgy signal 類比於 Parsval powr horm powr signal, 說明訊號 v 之能量 E V V d V d 其中 V 為訊號之能量密度頻譜 nrgy spcral dnsiy 方波之能量密度頻譜 Enrgy spcral dnsiy o a rcangular 假設有一方波脈衝 寬, 能量密度頻譜 nrgy spcral dnsiy, 如下圖 : 假設只取頻帶
20 E / / / / V d sinc d.9 約有 9% 之能量 四 對偶定理 Dualiy horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 若檢視所有 Fourir ingral pair, 可發現只有一些變數與符號不同 如 : 若 V F v 假設 z V 則 F [ z ] v 其中 v 等於 v, 其中 對偶定理 : 簡單之概念 F v V F V v IF V v IF V v 範例 :Sinc Puls, z sincw 重要之分析訊號 求其頻譜?
21 解 : 方波訊號之頻譜 sinc / B V B v F Π 應用對偶性質 W, W B 得 sinc W W W z Π W W Z
22 第五節時域與頻域之關係 im and Frquncy rlaions 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積分 Convoluion 重疊性質 Suprposiion 時間延遲與刻度變更 im Dlay and Scal Chang 頻率轉移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion 微分與積分 Dirniaion and ingraion 運算 一 重疊性質 Suprposiion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion Fourir ransorm 之重疊性質 若兩訊號 v, v, 且常數 a, a 兩訊號之線性組合, 令 v a v a v 則 F [ v ] a F[ v ] a F[ v ] V a V a V 應用訊號之線性組合定理, 則任意訊號之線性組合 av av 二 時間延遲 im dlay 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 任何訊號 v
23 若將 -d, 則稱為延遲 d, v d 此延遲後之訊號與原訊號有相同之波封波形, 但時間位移位置不同 如此訊號之頻譜關係 v V d d 若 d >, 表示延遲 :, 表示超前 振幅頻譜 V d V d V 三 刻度變更 scal Chang 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 時域軸之刻度放大縮小與頻域間之關係? 時域與頻域軸放大縮小關係為倒數關係 時域放大頻域縮小, 時域縮小頻域放大 v α V, α α α 證明 : F ϖ [ v [ α ] ] v [ α ] d v [ α ] [ α ] / α λ v / λ ϖλ α λ dλ dλ V, α α α
24 範例 : 使用方波脈衝表示下列波形 方波脈衝 v / 寫出下列圖形之數學表示式, 並求頻譜? 解 : 使用方波脈衝表示下列波形 v / 圖 a 波形 z v v a d d 頻譜 [ ] d d Z V a [ sinc ][ sin ], / Z 圖 b a d 波形 v / v / z b 頻譜 Z b [ sinc ][ sin ] 應用 sinc 函數之定義 Z b [ sinc ] 四 頻率轉移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion F 若 v F, V F v
25 則稱下列運算為頻率移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion v ωc F V c 因是乘 c ω 稱複數調變 complx modulaion, 頻譜只移至一單邊頻帶 調變前後之頻譜, 調變前 a, 調變後 b 振幅 相位大小皆沒變化 由頻帶 移至中心頻 c 五 調變定理 modulaion horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 實際應用調變時, 無法使用複數訊號, 因此, 使用 cos φ φ v cos ϖ c φ V c V c 所以若訊號為時數訊號, 頻譜為 Hrmiian 所以頻寬為原來兩倍, 因為負的頻譜也進入至正頻譜 實數訊號負頻譜之資訊是與正頻譜相同 為 Hrmiian V V 範例 :RF Puls 若有如下圖之 RF 訊號
26 表示如下 z Π cos ϖ c 求頻譜? 提示 : 可視為將脈波訊號 Π 調變至 ϖ c 解 :R Puls F Π sinc 應用調變定理 φ φ v cos ϖ c φ V c V c 所以 Z sinc c sinc c 振幅頻譜如 : 六 微分與積分 Dirniaion and Ingraion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi
27 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 微分與積分是常應用之運算, 若時域訊號微分與積分, 頻譜? Dirniaion horm d d d v V d d d V d d [ V ] d 所以 d d Nh 微分 v V n d v n d Ingraion horm v λ dλ n V V λ d dλ λ v λ dλ V dλ d v λ dλ V d 假如 V v λ dλ 則 v λ dλ V 範例 : 三角脈波 riangular Puls
28 有三角脈波如 : > λ λ d z w b 求頻譜? 提示 : 可以使用積分定理 並求 Z z b F b 解 : 三角脈波 riangular Puls 計算 Z z b F b sinc 應用積分定理 V d v λ λ λ λ d z w b Z W b sinc
29 七 Convoluion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 數學運算 convoluion 被高度應用於通訊工程中, 是一種重要工具 應用於 系統分析 應用於 機率分佈之轉換計算 Convoluion 可以被應用於時域與頻域 時域 Convoluion 頻域有何結果? 頻域 Convoluion 時域有何結果? Convoluion Ingral 若有兩函數, 有相同之自變數 如 : 時間 v, w 則兩函數間之摺積運算定義為 v w w v w λ v λ dλ 注意定義之中之 λ, 可以是任何之變數符號 又 convoluion 是有交換性的所以 v w v w v λ w λ dλ 摺積之圖示 Graphical inrpraion o convoluion 下面將進行 convoluion 之分解圖示
30 w v, /, 中間過程函數 w, / λ λ 分段積分 *, *, *, d w v d w v w v λ λ λ λ λ λ Graphical inrpraion o convoluion Rsul o h convoluion 範例 :rapzoidal puls 之 convoluion 若有兩函數波形如
31 求兩函數之 convoluion? 解 :rapzoidal puls 之 convoluion 中間過程函數 分段積分 * *, *, *, w v w v w v w v 其他
32 第六節 Impuls and ransorms in h limi 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函數 Impulss in im 範例:Raisd Cosin Puls Impuls : 脈衝函數, 可以應用於時域與頻域, 當訊號為弦波訊號時, 其頻譜就必需以頻域之脈衝函數表示 ransorm in h limi: 以極限之概念所定義之轉換,impuls uncion 就是一種以極限概念所定義之函數與轉換 常用於訊號之表示, 尤其是非因果之訊號 wo uncions ha bcom impulss as ε 下圖為兩種運用 ransorm in h limi 所定義之 impuls uncion 一 脈衝性質 Propris o h uni impulss 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函數 Impulss in im 範例:Raisd Cosin Puls Uni impuls or Dirac dla uncion 為一特殊函數, 定義 ε δ d d δ ε δ, 基本性質
33 v v δ d ohrwis 取樣運算積分 v δ d d v d 二 脈衝之運算 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函數 Impulss in im 範例:Raisd Cosin Puls 延遲 δ d d v δ d v d 積分 v δ d u, sp signal 摺積 v w * δ w 相乘 v w δ w δ 三 Impulss in rquncy 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls 若純直流 DC 頻譜? v
34 可以以 ransorms in h limi 之概念定義 v lim sincw W 因為 ourir ransorm pair sinc W W δ W W 得 若為弦波訊號 cos ϖ φ v c 頻譜? 以 rquncy ranslaion and modulaion 概念 ϖ c δ c 應用 Eulr 公式 φ φ cos ϖ c φ δ c δ c Fourir sris n v c n V c n δ n n n 範例說明 :FM 訊號之頻譜表示 如下圖為 FM 訊號與其頻譜 如下為 FM 訊號表示 / cos ϖ / cosϖ v cos ϖ c c c
35 頻譜 V [ δ δ ] [ sinc sinc ] c c [ sinc sinc ] c c c c 四 步階函數 Sp uncions 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls 步階函數如下圖 函數表示如 u > 與脈衝函數之關係 u δ d du δ d 五 符號函數 Sign uncions 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls
36 符號函數如圖 函數表示如 sgn > 可由下圖之極限值定義 z b b > b u 六 Impulss in im 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls sinc 若, δ im impuls 表示在頻域, 所有頻率有相同之振幅
37 n impulsiv signal wih zro duraion has inini spcral widh, whras a consan signal wih inini duraion gas zro spcral widh. 七 範例 :Raisd Cosin Puls 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls 如圖 :raisd cosin puls 表示式為 v cos 求頻譜? 提示 : 應用微分定理 解 :Raisd Cosin Puls 一次微分 dv sin d
38 三次微分 sin δ δ d v d 一次微分與三次微分之關係 3 3 δ δ d dv d v d V V 3 一次微分與三次微之頻譜關係
39 V V 3 整理得 3 / sin V 化簡 sin V
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
! # % & ( & # ) +& & # ). / 0 ) + 1 0 2 & 4 56 7 8 5 0 9 7 # & : 6/ # ; 4 6 # # ; < 8 / # 7 & & = # < > 6 +? # Α # + + Β # Χ Χ Χ > Δ / < Ε + & 6 ; > > 6 & > < > # < & 6 & + : & = & < > 6+?. = & & ) & >&
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信号与系统 (Signal & system)
Signl & sysem xucb@cqup cqup.edu.cn 5-3- ...3.4.5 .......3 3 .. δ δ d δ 4 .. i K V CF u c i δ u c - 5 .. ϕ δ ϕ δ ϕ δ d ϕ ϕ δ ϕ δ ϕ δ d ϕ 6 .. e δ e δ δ δ δ 3δ δ π sin δ d 3 e δ d 3 δ d 5 4 7 .. 3 ϕ δ ϕ
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實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 余兆棠 吳昭明 南台科技大學電子系 虎尾科技大學飛機工程系 通訊系統模擬實習一 目的 本實習主要探討週期訊號的特性與其傅利葉級數分析, 透過基本的餘弦波及傅利葉級數分析, 可學到週期訊號 (periodic sigal) 在時域與頻域的特性, 並初步建立頻譜的觀念 以整合週期訊號與濾波器進一步強化傅利葉級數分析之觀念 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 大綱 週期訊號分析
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三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
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訊號傳輸與濾波SIGNAL TRANSMISSION AND FILTERING
第三章訊號傳輸與濾波 SIGNAL TRANSMISSION AND FILTERING 作者 : 陳昭宏義守大學電子工程系 學習目標 線性非時變系統 方塊圖分析 傳輸中訊號失真 傳輸損失增益與分貝 濾波器與濾波 正交濾波器 相關函數與頻譜密度 第三章訊號傳輸與濾波 SIGNAL TRANSMISSION AND FILTERING... 第一節學習目標... 4 第二節線性非時變系統響應 Response
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本章綱要 -1 節點電壓法 -2 迴路電流法 -3 重疊定理 - 戴維寧定理 -5 諾頓定理 -6 戴維寧與諾頓等效電路之轉換 -7 最大功率轉移定理 Chapter 直流網路分析 0626-0.indd 125 2009/11/10 下午 0:58:09
ELECTRICITY ELECTRICITY BASIC BASIC 本章學習目標 1. 利用節點電壓法分析各支路的電流 2. 利用迴路電流法分析各迴路的電流 3. 瞭解重疊定理在多電源電路的應用. 利用戴維寧與諾頓定理化簡電路 5. 瞭解戴維寧與諾頓等效電路的轉換 6. 學習負載如何在電路中獲得最大的功率轉移 0626-0.indd 12 2009/11/10 下午 0:58:02 本章綱要 -1
微积分 授课讲义
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Digital Signal Processing [email protected] /gary/ 1. FT FT. 3. 4. DFT 5. 6. DFT 7. 1. FT FT (FS) (FT) ( ) xt () Dirichlet (, ), 1 T () = ( Ω), ( Ω ) = () T T jkωt jkωt xt X k e X k xte dt e jkω t k
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第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
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ii
i ii iii iv Abstract This senior project is to use compute simulation to accomplish analysis and synthesis of Cam. The object of these focuses on three major partsthe first one is to establish the mathematical
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翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數函數定義函數必須滿足兩個條件
行政法概要 本章學習重點 本章大綱 第一節行政作用之概念 第二節行政作用之分類 一 行政程序法 第三節行政作用法之範圍 第四節行政作用之私法 行為 二 行政罰法三 行政執行法一 源起二 類型 第五節行政作用中的非 權力行為 一 類型 二 事實行為 第六節行政作用之內部 行為 一 行政規則
第 6 章 行政作用及其分類 行政法概要 本章學習重點 1. 2. 本章大綱 第一節行政作用之概念 第二節行政作用之分類 一 行政程序法 第三節行政作用法之範圍 第四節行政作用之私法 行為 二 行政罰法三 行政執行法一 源起二 類型 第五節行政作用中的非 權力行為 一 類型 二 事實行為 第六節行政作用之內部 行為 一 行政規則 二 內部指令 CHAPTER 6 行政作用及其分類 內文教學區 1 行政法概要
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相對內容大綱 : 高考課程大網第一章第 3 節 參考 : 高級程度物理第一冊第七章 6.0 6. 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.0 6. 6.0 CD 6. P ( x, y (pola coodinate P (,θ ( 6.. P θ OP x B s θ P θ (angula position θ θ [ θ ](angula displacement θ
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