应用时间序列分析（第二版）

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钢贾
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2 7.1 趋势性时间序列的重要特征 7.2 随机时间序列的趋势性检验 7.3 平稳化的方法 7.4 趋势模型

3 实际问题中的大多数时间序列 ( 特别是与经济金融有关的时间序列 ) 都表现出一定的趋势性, 即时间序列值随时间的变化呈现出增加减少或其它变化趋势

4 因此, 在对时间序列建立模型之前, 必须分析时间序列是否具有趋势性这对于我们正确认识时间序列的形态具有十分重要的意义什么叫趋势? 数学上并没有严格的定义, 但其直观意义十分明显具有趋势性的时间序列在图形上往往表现出一个长期上升或下降的趋势一般情况下, 通过时序图可以很容易地观察判断时间序列的趋势性但有些情况下就比较困难, 主要原因是 : 从短期看, 时间序列具有趋势变动 ; 但从长期看, 它只不过是循环波动的一部分

5 趋势性线性趋势确定性趋势非线性趋势 ( 非确定性趋势 : 多项式曲线指数曲线 Gompertz曲线 Logistic曲线等表现为一种慢慢向上或向下飘移的时间序列 )

6 具有趋势性的时间序列, 往往不可能是具有常数均值和方差的平稳过程这时就不能直接用前面介绍的 ARMA 序列来建模均值非平稳方差非平稳如何检验和处理具有趋势性的时间序列数据, 建立适当的模型, 进而预测其未来走势, 是本章的主要内容

7 趋势性检验方法数据图法自相关偏相关函数法特征根法逆序检验法游程检验法单位根检验法

8 在 t X t 平面直角坐标系中将时间序列数据绘成连线图, 观察其是否具有趋势性数据图法具有简单直观使用方便等优点, 但是对图形的观察要靠实际经验, 并且带有很强的主观意识

10 如果由样本序列数据计算得到的样本自相关函数 ˆ k 或样本偏自相关函数 { ˆ kk } 出现了缓慢衰减或周期性衰减的情况, 则说明序列可能存在某种趋势 { } 算例说明!

12 这种方法是先拟合序列的适应模型 ( 某种 ARMA 模型 ), 然后求出由该模型参数组成的特征方程的特征根, 若所有的特征根都满足平稳性条件, 即 i 则可以认为该序列是平稳的, 否则是非平稳的 1,

19 附录中有!

21 单位根检验 (Unit Root Test) 是由 Dickey 和 Fuller 于上世纪 70 年代提出并完善的, 主要用于检验 AR 序列的平稳性, 但应用十分广泛 DF检验单位根检验 ADF检验

22 我们知道,AR(1) 序列 Y Y a a N 1 2 t 1 t1 t, t (0, ),(*) 1 1 当时平稳, 而时非平稳特别地, 当走过程 Y Y a a N 时, 该序列成为如下的随机游 2 t t1 t, t (0, ).(**) 我们知道, 随机游走过程是非平稳的此时, 我们称 { Y t } ( 或特征方程 ) 有一个单位根, 称 { Y t } 为单位根过程

23 从而检验序列是否平稳的问题就变成了检验其特征方程是否存在单位根的问题原假设备择假设 { } Y t H :{ Y} 非平稳 1 0 t 1 H :{ Y} 平稳 1 1 t 1

24 检验统计量 (DF 统计量,1976) ˆ 1 1 ˆ1 1, 其中是的最小二乘估计, 1 S( ˆ ) 1 N 2 ( Y ˆ t 1Yt 1) t 1 ( ˆ N 1). N 2 Yt 1 t1 Dickey 和 Fuller 研究发现, 在原假设成立的条件下, 该统计量不满足 t 分布, 所以传统的 t 检验法失效而其极限分布存在, 称其为 DF 分布, 根据这一分布所作的检验称为 DF 检验 S 1

25 1979 年,Dickey 和 Fuller 利用 Monto-Carlo 方法得到了 DF 检验的临界值, 并编制了 DF 检验临界值表供查在进行 DF 检验时, 当给定显著性水平时, 查表可得 DF 检验临界值 1 当 11 时, 拒绝原假设, 认为 { Y t } 平稳 ; 当时, 接受原假设, 1 1 认为非平稳 { } Y t

26 Dickey 和 Fuller 研究发现,DF 检验除了对简单的中心化 AR(1) 模型适用以外, 还可以用于更广泛的模型形式因为 DF 检验的临界值同序列的数据生成过程及自回归模型的类型有关, 因此他们针对以下三种方程编制了临界值表 (1) 无常数项和趋势项的 AR(1) 模型 Y Y a a N 2 t 1 t1 t, t (0, ). 这是最基本的一种模型 nc

27 (2) 有常数项无趋势项的 AR(1) 模型 Y Y a a N 2 t 1 t1 t, t (0, ). 这种模型, 可以利用最小二乘法估计参数的值, 1 然后通过检验特征根的性质考察中心化序列 { Yt } 的平稳性, c

28 (3) 有常数项和趋势项的 AR(1) 模型 Y t Y a a N 2 t 1 t1 t, t (0, ).,, 这种模型, 可以利用最小二乘法估计参数值, 然后通过检验特征根的性质考察中心化序列 Y t 的平稳性 { } t 1 的 ct

29 H 0 注 : 对 (3) 类型的模型, 如果接受原假设, 则 Y t 是一个带线性趋势的单位根过程, 事实上很可能包含随机趋势, 否则拒绝 H0, 认为 Yt 是一个趋势平稳过程 ( 即它可以表示为线性趋势和 AR(1) 平稳序列之和 )

30 DF 检验只适用于 AR(1) 序列的平稳性检验, 1979 年 Dickey 和 Fuller 对其进行了扩充, 使其适用于 AR(n) 序列的平稳性检验, 称为增广 (Augmented ) 的 DF 检验, 简称 ADF 检验

31 我们知道, 对 AR(n) 序列 Y Y Y a, a N(0, ),(*) 1 1 t t n t n t t 如果特征方程的根都在单位圆内, 即则序列 n n1 0 1 n j 1, j1,2,, n, { Y t } 平稳否则, 如果存在某个例如 1 1, 2

32 则 { Y t } 非平稳此时由特征方程, 我们有 1 0, 即 n 1 从而我们可以通过检验 H 0 1 n : n 来考察 { Y t } 的平稳性

33 对 (*) 进行等价变换, 可得其中 Yt Y t 1 1 Y t1 nyt n at,(**) ( ), 1,2,, 1. j j1 j2 n j n Dickey 和 Fuller 于 1979 年同样通过 Monto-Carlo 模拟方法得到了 ADF 统计量 2 ˆ, S( ˆ ) 推导! 的 ADF 分布临界值表 ( 也称 Mackinnon 临界值表 )

34 类似地,ADF 检验也可应用于如下三种类型的 AR(n) 模型的单位根检验 : 类型 1: 无常数项和趋势项的 AR(n) 模型 Y Y Y a a N 2 t 1 t1 n tn t, t (0, ). 类型 2: 有常数项无趋势项的 AR(n) 模型 Y Y Y a a N 2 t 1 t1 n tn t, t (0, ). 类型 3: 有常数项有线性趋势项的 AR(n) 模型 Y t Y Y a a N 2 t 1 t1 n tn t, t (0, ).

35 实际检验时, 经常采用的做法是同时检验模型 (1) (2) (3) 只要其中有一个模型的检验结果拒绝原假设, 就认为原序列 Y t 不存在单位根, 如果三个模型的检验结果都不能拒绝原假设, 则认为原序列存在单位根, 即随机性趋势 Y t 注 : 对模型 (1),(2),(3) 进行检验时, 有各自对应的临界值表

36 我们在 2.2 中曾讲过这一问题 1. 方差平稳的情况 2. 方差不平稳的情况

37 (1) 对确定性趋势, 用最小二乘法求出趋势函数, 例如 : 线性趋势非线性趋势 f () t a bt 2 f () t a bt ct abt f () t e t kab f ( t) e,0 b 1 1 f ( t),0 b 1 t k ab Gompertz Logistic

38 (2) 对非确定性趋势,Box-Jenkins 提出了差分方法差分运算二阶差分 X t (1 B) Xt Xt Xt 2 2 Xt (1 B) Xt X t X t1 Xt 2Xt 1 Xt2 1 d 阶差分 d d d1 d1 X t (1 B) X t X t X t1 d [ k k k 1 ( 1) C B ] X k1 d t

39 差分方法消除随机序列的非确定性趋势的例子举例! 注 : 差分运算也可以用来消除序列的确定性趋势

40 一阶单整序列!

41 二 ( 三 ) 阶单整序列!

46 注 : 差分虽然是平稳化的有效方法, 但不能过度差分, 这样会导致有效信息的损失, 从而导致预测精度的降低

47 常用对数变换 Z t lny t 平方根变换 Z t Y t 更一般地, 采用 Box-Cox 变换 Z ( ) t ln Yt, 0 Yt 1, 0

48 注 : 有关方差非平稳的检验, 常用的有 Philips- Perron 检验, 即 PP 检验 ( 不讲!) 实际建模过程中,ADF 检验和 PP 检验常结合使用

49 对于趋势性时间序列, 通常可以通过两种处理方法来建立相应的模型第一种方法 : 建立 ARIMA 模型, 即求和自回归移动平均模型, 基本思想是通过某些数学方法 ( 主要是差分运算 ) 剔除掉 X 中所包含的趋势性, 余下的 t Yt 再按照平稳序列进行分析和建模 ( 建立 ARMA 模型 ), 最后再经反复运算由的结果得出的模型 Y t X t

50 第二种方法 : 基本思想是对 X t 建立组合模型 t X Y t t t Y 其中是趋势项, 是平稳序列具体做法是首先 t 用最小二乘法求出的拟合形式, 然后对序列 t ˆt ˆ ˆ 建立 ARMA 模型, 最后综合得到模型 { Y X } t t t Xˆ ˆ Yˆ t t t

51 定义设 { } 为随机序列, 若具有下面结构其中 X t d ( B) X t ( B) at, 2 (*) E( at ) 0, Var( at ) a, E( atas) 0, s t, E( X a ) 0, s t, X (1 B) X ( 1) C X, t d, s t d d d j j t t d t j j0 n ( B) 1 1B nb, m ( B) 1 B B, 1 则称 (*) 为自回归求和移动平均模型, 简记为 ARIMA(n,d,m) 模型, 称 { } 为 ARIMA(n,d,m) 序列 X t m

52 特别地, 若 d=0, 则为 ARMA(n,m) 模型 ; 若 n=0, 则为 IMA(d,m) 模型 ; 若 m=0, 则为 ARI(n,d) 模型 ; 若 n=m=0,d=1, 则为 ARIMA(0,1,0) 模型, 即随机游走模型 ARIMA 模型的实质是差分运算和 ARMA 模型的组合这说明任何非平稳序列只要通过适当阶数的差分, 实现差分后平稳, 就可以对差分后的序列进行 ARMA 模型拟合了

53 ARIMA 模型的性质 (1) 非平稳性 ARIMA(n,d,m) 模型共有 n+d 个特征根, 其中 n 个在单位圆内,d 个在单位圆上所以当 d 0 时 ARIMA(n,d,m) 模型非平稳 (2) 方差非齐性当时, ARIMA(n,d,m) 序列的方差非常数 d 0 已举例 : 随机游走

54 ARIMA(n,d,m) 模型 (*) 可进一步推广为 d ( B) Y C ( B) a,(**) t 其中 C 为常数如果 C 0, 则 (**) 表示的 { Y t } 将包含一个确定性趋势例如 :d=1,c>0 表明 { Y t } 包含一个直线上升趋势 ;d=2,c>0 表明 { Y t } 包含一个二次曲线上升趋势 t

55 获得观察值序列平稳性检验 N Y 白噪声检验 N Y 分析结束差分运算拟合 ARMA 模型

56 在 ARIMA 模型建模过程中, 关键在于参数 d 的确定通常有以下两种方法 : 方法一 : 由样本观测数据的时序图, 主观确定 d 例如, 线性趋势用一阶差分 d=1, 二次曲线趋势用二阶差分 d=2, 等方法二 : 对样本观测数据分别作 1,2,,d 0 阶差分 ( d 不宜取太大 ), 分别原始数据共 d 套样本观测数据对每套数据分别计算样本自相关函数或样本偏自相关函数, 综合分析它们的截尾性或拖尾性, 来选择适合的 d{0,1,2,, d }. 0

74 基本思想是从系统分析的观点出发, 用确定性模型描述序列中确定性因素的变动规律, 用 ARMA 模型刻画序列中随机因素的一般规律性, 从而建立起确定性加随机性的组合模型在组合模型中即有趋势性部分, 又有随机部分, 因而用以描述某些类型的趋势性时间序列, 往往能得到令人满意的效果 X f ( t) Y, (*) t t ( B) Y ( B) a. t t

75 建立组合模型的基本步骤 : 1. 根据时间序列的特征, 用一定的函数形式拟合序列的确定性组成部分, 直至剩余序列平稳为止 ; 2. 对剩余序列拟合相应的 ARMA 模型 ; 3. 将分别拟合的确定性模型和 ARMA 模型结合起来并以其参数作为初始值, 用非线性最小二乘法估计模型的参数, 得到最终的组合模型

76 确定性趋势的判定方法 1. 画出序列的趋势图, 进行观察分析 2. 用特征根来判定 (1) 常数趋势 : 其中一个实特征根的绝对值接近于 1; (2) 线性趋势 : 其中两个实特征根的绝对值接近于 1; 推而广之, 若其中 n+1 个实特征根的绝对值接近于 1, 则序列中可能存在 n 次多项式趋势 ; (3) 指数趋势 : 其中 l 个绝对值大于 1 的实特征根, 则序列中可能存在个指数增减趋势 l 解释!

可考虑 ARIMA 模型和组合模型! 分别对例 7.1(1978-2004 陕西省国内生产总值数据 ) 例 7.3(2002.1-2006.10 中国邮电系统营业总额数据 ) 例 7.5(1993.1-2004.

85 可考虑 ARIMA 模型和组合模型! 分别对例 7.1( 陕西省国内生产总值数据 ) 例 7.3( 中国邮电系统营业总额数据 ) 例 7.5( 中国商业零售额月度数据 ) 例 7.6( 中国社会消费品零售总额数据 ) 例 7.7( 陕西省人口总数数据 ) 例 7.9( 美国各季生产者耐用品支出数据 ) 结合平稳化处理步骤, 进行趋势性时间序列建模

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多元回归 2 时间序列 3 考题分析 2 Professional Accouning Educaion Provided by Academy of Professional Accouning (APA) 期货从业知识讲解期货及衍生品分析与应用第三章金融统计与计量方法第八讲多元回归与时间序列讲师 :LpingLee ACCAspace 中国 ACCA 国际注册会计师教育平台 Copyrigh ACCAspace.com 多元回归