重庆文理学院学报 ( 社会科学版 )2018 年第 3 期一季节时间序列模型具有季节性的时间序列在一定周期内表现出相似性具有趋势性的时间序列在较长持续期内 [3] 其数据依时间而变化, 呈现出不断减少或不断增加或在某一常值附近波动的总趋势呈现季节性又呈现趋势性, 即为季节时间序列, 往往通过

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颖毛
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1 2018 年 5 月第 37 卷第 3 期重庆文理学院学报 ( 社会科学版 ) Journal of Chongqing University of Arts and Sciences(Social Sciences Edition) May Vol.37 No.3 DOI: /j.cnki.issn 成都市社会消费品零售总额的预测模型对比分析彭丽霞, 赵联文, 谢波, 王丽梅 ( 西南交通大学数学学院, 四川成都 ) 摘要基于年成都市社会消费品零售总额季度数据, 采用简单季节模型乘积季节模型和 X-12 加法模型, 对 2016 年成都市社会消费品零售总额季度数据进行预测分析, 得出 2016 年成都市社会消费品零售总额的季度预测值通过比较 2016 年季度平均相对误差和年度相对误差, 表明 X-12 加法模型相比其他两种模型相对误差较小模型的构建和对比分析将对相关研究提供参考依据关键词社会消费品零售总额 ; 季节模型 ;X-12 加法模型中图分类号 :O212.1 文献标志码 :A 文章编号 : (2018) 社会消费品零售总额是指一定时期内国民经济各部门向消费者出售消费品和向农村出售农业生产资料以及农民对非农业居民直接零售的总额它在国民经济核算中占据了很重要的位置, 也表明了消费需求 [1] 是最终需求占有比例最多的部分目前, 消费需求是经济增长的重要组成部分, 构建合适的模型对其作预测, 分析成都市社会消费品零售总额的发展趋向, 进一步了解成都市的经济增长情况, 从而为有关部门做出 [2] 正确决策提供合理的依据本文选用简单季节模型乘积季节模型和 X-12 加法模型三种季节时间序列模型对年成都市社会消费品零售总额季度数据进行建模分析并预测 2016 年成都市社会消费品零售总额季度数值, 比较在三种模型下 2016 年季度数据和年度数据真实值与预测值的相对误差大小, 并分析成都市社会消费零售总额随时间推移的变化规律收稿日期 : 作者简介 : 彭丽霞 (1992 ), 女, 甘肃靖远人, 硕士研究生, 主要从事应用统计深度学习研究 ; 赵联文 (1964 ), 男, 四川巴中人, 教授, 主要从事非参数统计模型选择研究 ; 谢波 (1994 ), 男, 四川南充人, 硕士研究生, 主要从事应用统计研究 ; 王丽梅 (1992 ), 女, 甘肃武威人, 硕士研究生, 主要从事可靠性统计研究 132

2 重庆文理学院学报 ( 社会科学版 )2018 年第 3 期一季节时间序列模型具有季节性的时间序列在一定周期内表现出相似性具有趋势性的时间序列在较长持续期内 [3] 其数据依时间而变化, 呈现出不断减少或不断增加或在某一常值附近波动的总趋势呈现季节性又呈现趋势性, 即为季节时间序列, 往往通过差分运算使序列平稳一般情况下, 呈线性趋势的时间序列通过一阶差分可以将非平稳序列转化为平稳序列 ; 二阶或三阶差分可以将具有曲线趋势效应的序列转化为平稳序列 ; 通过以周期为步长作差分, 可以很好地消除具有季节效应序列的 [4] 季节性通过趋势差分和季节差分能完全提取季节时间序列的季节性, 使变换后的序列为平稳序列, 则通常选用简单季节模型但一般情况下, 季节时间序列受长期趋势季节波动随机波动之间的相互作用, 趋势差分和季节差分不能完全提取出序列的季节性, 则选用乘积季节模型上述模型通过差分来消除季节效应, 而在季节时间序列中, 还有一种观点是对季节性因素做一个评估, 然后剔除季节因素, 从而正确展示不规则因素或非季节因素的发展规律, 也即季节调整理论加法模型和乘法模型是提取季节因素最常用的模型本文涉及的模型如下 : ( 一 ) 简单季节模型通过趋势差分, 季节差分使序列转化为平稳序列, 再对差分后的序列构建 ARMA 模型, 称为简单季节模型简单季节模型的模型常规形式为 : d Φ(B) 荦荦 D X t =Θ(B)ε t (1) 式中,D 为周期步长,d 为消除趋势性的差分阶数,Θ (B)=1-θ 1 B- -θ q B q 为 q 阶移动平均系数多项式,Φ(B)=1-θ 1 B- -θ p B p 为 p 阶自回归系数多项式,{ε t } 为白噪声序列, 且 E(ε t )=0,Var(ε t )=σ 2 ε ( 二 ) 乘积季节模型乘积季节模型通常假设序列短期相关性和季节相关性有乘法关系乘积季节模型的原理是 : 若序列通过 d 阶趋势差分和 D 阶以周期 S 为步长的季节差分后的序列本身具有短期相关性, 则构建 ARMA(p,q) 模型 ; 若具有季节效应, 且季节效应本身具有相关性, 则构建以周期为步长的 ARMA(P,Q) 模型因此,ARMA(p,q) 和 ARMA(P,Q) 的乘积就代表短期相关性和季节效应之间有乘法关系, 乘积季节模型简记为 ARIMA(p,d,q) (P,D,Q) S 乘积季节模型的常规形式 : Φ(B)U(B s )(1-B) d X t =Θ(B)V(B s )ε t (2) 式中,U(B s )= 1-u 1 B s -u 2 B 2s Ps - -u p,v(b s )= 1-v 1 B s -v 2 B 2s Ps - -v Q, 可以提取对不同周期的同一周期点之间的关联性 ;Θ(B)=1-θ 1 B- -θ q B q,φ(b)=1-θ 1 B- -θ p B p, 用来提取同一周期不同周期点之间的关联性 ;p 和 q 是剔除同一周期不同周期点之间相关性的自回归阶数和移动平均阶数,P 和 Q 是剔除不同周期的同一周期点之间相关性的自回归阶数和移动平均阶数,s 为周期步长,d 为差分的 [5] 阶数,D 为季节差分的阶数 ( 三 )X-12 加法模型 1954 年美国商务部国势普查局 (Bureau of Census,Department of Commerce) 在美国全国经济研究局 (NBER) 战前研究的移动平均比法 (The Ratio-Moving Average Method) 的基础上, 研发了用于季节调整的最开始程序, 便长时间地对经济的时间序列作季节调整经过几次改进,X-11 已成为广泛 [3] 使用的季节调整方法在 X-11 方法中, 假定任何时间序列 X t 可以被分解为循环趋势项 CT t 季节波动项 S t 和不规则 133

3 彭丽霞, 赵联文, 谢波, 王丽梅. 成都市社会消费品零售总额的预测模型对比分析波动项 I t 则任何时间序列可以做如下分解 : 乘法模型 : X t =CT t S t I t (3) 加法模型 : X t =CT t +S t +I t (4) X-12 季节调整方法是 X-11 方法的扩展乘法加法伪加法和对数加法模型是 X-12 季节 [3] 调整方法的四种季节调整的分解形式本文对成都市社会消费品零售总额序列拟合选用 X-12 加法模型对于序列 X t 的分解可以通过软件 Eviews8.0 的 X-12 季节调整程序得到循环趋势项季节波动项和不规则波动项的序列值然后, 对各序列值进行预测分析, 具体步骤如下 1. 循环趋势项预测选用残差自回归模型对循环趋势项预测, 即以时间 t 为解释变量对 CT t 建立趋势模型, 然后对趋势模型产生的残差序列 {ω t } 建立 AR(p) 模型, 最后通过对 AR(p) 模型检验以确认模型拟合充分残差自回归模型的常规形式为 : CT t =c+a 1 t+a 2 t 2 + +a k t k +ω { t (5) ω t =b 1 ω t-1 +b 2 ω t-2 + +b p ω t-p +ε t [6] 式中,{ε t } 是白噪声过程, 第一个模型是趋势模型, 第二个模型是 AR(p) 模型 2. 季节波动预测对于季节波动预测有以下几种方法 :1 对序列 S t 的同期求均值, 作为预测期的季节波动值 2 对序列 S t 根据时间上的距离远近对历史值的季节波动值给予大小不同的权值并求和, 得出 [7] 的数值即为下一期的季节波动值 3 将分离得到序列 S t 的最后一期的季节波动值作为预测期的季节波动值 3. 不规则波动预测对序列 I t 作白噪声检验, 若序列值之间没有任何相关性, 即满足 γ(k)=0, 坌 k=0, 则认为序列 I t 是白噪声过程故预测期的不规则波动值使用分离得到序列 I t 的最后一期不规则波动值 ; 若序列之 [8] 间有相关性, 则对序列 I t 建立 AR(p) 模型并预测得到预测期的不规则波动值二社会消费品零售总额的季节时间序列建模 ( 一 ) 数据说明本文选用成都市统计局公布的成都市年的季度社会消费品零售总额季度数据, 此处选取年的季度数据为样本, 建立三种时间序列模型, 并利用构建模型对 2016 年季度社会消费品零售总额进行预测分析由图 1 可以看出成都市社会消费品零售总额呈现出周期为 4 的季节效应通过 Eviews 8.0 可得到序列自相关图如图 2 所示, 从图 2 可以看出, 序列自相关系数递减到 0 的速度相当慢, 且从大于 0 的数到 0 再到小于 0 的数, 呈现出三角对称性, 故可认为该序列是具有单调趋势的非平稳序列要使序列变为平稳序列, 就要对序列作季节差分和趋势差分, 再对其进行建模分析因为序列具有季节效应, 故采用简单季节模型乘积季节模型和 X12 加法模型三种季节时间序列模型对序列进行建模分析, 并利用建立的三种模型分别对 2016 年季度社会消费品零售总额进行预测, 与真实值作比较, 分析每一种模型的预测精度 134

4 重庆文理学院学报 ( 社会科学版 )2018 年第 3 期图 1 社会消费品零售总额时序图图 2 序列自相关图 ( 二 ) 模型建立与分析 1. 简单季节模型 (a) 对原始数据做对数变换, 再用一阶差分消除趋势, 用四步差分剔除季节效应的影响使用 135

5 彭丽霞, 赵联文, 谢波, 王丽梅. 成都市社会消费品零售总额的预测模型对比分析 SAS 9.3 软件检验转化后的序列是否平稳使用图检验法和单位根检验法检验序列的平稳性图检验法带有主观色彩, 仅根据时序图和自相关图呈现的特性来判定序列是不是平稳, 而单位根检验是 [9] 构造检验统计量进行假设检验这里, 采用增广 DF 检验, 即 ADF 检验判断是否平稳两种检验结果如表 1 和图 3 所示表 1 增广 Dickey-Fuller 单位根检验类型零均值单均值趋势滞后阶数 ADF 统计量 p-value < < < < < 图 3 差分后时序图和自相关图从图 3 中的时序图可以看出序列均值在 0 附近波动, 可直观得出序列平稳再观察自相关图和偏相关图, 自相关图呈现出一阶自相关系数在 2 倍标准差范围之外, 其他阶数的自相关系数在两倍 [10] 标准差以内, 认为序列平稳从表 1 的 ADF 检验结果可以判断当显著性水平 a 取 0.05 时,p 值均 136

6 重庆文理学院学报 ( 社会科学版 )2018 年第 3 期小于 0.05, 故判定序列平稳 (a) 模型定阶和参数估计对于模型定阶采用 SAS 系统提供的相对最优模型定阶, 但是提供的模型参数未必都能通过参数检验, 故还需调整经过模型对比得出对差分后的序列建立中心化 AR(1) 模型, 其 AIC 值为和 SBC 值为相比其他模型较小故模型最终表达式为 : 1 ( B) 荦荦 4 log(x t )=ε t (6) (b) 模型适应性检验与序列预测利用 SAS 软件对模型的剩余残差序列做白噪声检验, 由于平稳序列具备短期相关性的特性, 若序列有明显相关关系, 一般只存在延迟时期较短的序列若平稳序列短期延迟都不存在明显的相关关系, 长期延迟之间更不会有明显的相关关系因此, 计算序列延迟 6 期和延迟 12 期的 Q LB 统计量来判断剩余残差序列的随机性 (a=0.05) 由检验结果可知 p 值明显大于 0.05, 得出剩余残差序列是白噪声过程, 如表 2 所示表 2 简单季节模型的白噪声检验结果延迟阶数 6 12 卡方统计量值 p 值利用建立的简单季节模型 (6) 对 2016 年每一季度的社会消费品零售总额进行预测, 并与 2016 年各季度的真实值比较, 如表 3 所示通过计算可得 2016 年每一季度的预测值与真实值的相对误差控制在 9% 以内, 平均相对误差是 4.378%, 该模型拟合效果一般表年各季度社会消费品零售总额的简单季节模型预测值预测项目第一季度第二季度第三季度第四季度真实值 / 亿元预测值 / 亿元相对误差 /% 乘积季节模型 (a) 对原序列作对数变换, 进行一阶 4 步差分剔除长期趋势和季节波动, 进行单位根检验, 检验差分后序列是否平稳对差分后序列 ADF 的单位根结果表明, ADF 统计量为 , 显著小于 1% 临界值 , 认为差分后序列为平稳过程 (b) 模型估计观察平稳序列的相关图, 如图 5 所示, 可见序列一阶二阶偏自相关较高, 滞后四阶的自相关值和偏自相关值明显增大虽然三阶之后都落在置信区间内, 但 Q 检验的 p 值前 9 阶均小于 0.05, 序列存在自相关性根据自相关检验图尝试使用乘积季节模型拟合序列并分别对其做参数估计经多次尝试, 模型 ARIMA((1,3),1,(1,3)) (1,1,0) 4 的 AIC 值是 , 相对于其他模型要小, 且模型参数不能拒绝参数为 0 的假定, 故确定拟合模型为 : ( B 4 )( B B 3 )(1-B 4 )(1-B)log(X T )=( B B 2 )ε t (7) (c) 模型适应性检验与序列预测利用 Eviews 8.0 可得到上述模型的剩余残差图序列的自相关函数图, 如图 6 所示从图 6 中可以得出 Q 检验的 p 值明显大于 0.05, 故认为残差序列为白噪声过程, 模型通过适应性检验利用模型 (7) 对 2016 年各季度的社会消费品零售总额进行预测, 并将实际值与预测值进行比 137

7 彭丽霞, 赵联文, 谢波, 王丽梅. 成都市社会消费品零售总额的预测模型对比分析图 5 差分后自相关图图 6 剩余残差自相关图较, 如表 4 所示从表 4 中可以看出预测值与实际值的相对误差控制在 10% 以内, 通过计算得平均相对误差为 5.18% 表年各季度社会消费品零售总额的乘积季节模型预测项目预测第一季度第二季度第三季度第四季度真实值 / 亿元预测值 / 亿元相对误差 /% X-12 加法模型建立 X-12 加法模型的基本思想是把序列分解, 并对每一个组成部分进行预测分析, 再把每个组成部分的预测值分别相加得到最终的序列预测值 138

8 重庆文理学院学报 ( 社会科学版 )2018 年第 3 期 (a) 利用 Eviews 8.0 对原序列做 X-12 季节调整, 得到循环趋势项 CT t 季节因子 S t 和不规则波动项 I t 分离得到的每一个组成部分 (b) 循环趋势项预测由于循环趋势项有曲线趋势, 调用 SAS 软件中 Forecast 过程, 对循环趋势项建立残差自回归模型进行拟合和预测在这里先使用多项式拟合趋势进行拟合, 再对残差序列做自回归拟合, 然后通过逐步回归的方法, 筛选适合的延迟阶数, 得到最优的 AR 模型最终模型结果为 : CT t = t t 2 +ω t (8) { ω t = ω t ω t-2 +ε t 式中,ε t ~WN(0,7.2434) 模型拟合结果 R 2 =0.99 根据此模型预测循环趋势项结果, 如表 5 所示 (c) 季节波动预测因季节波动随着时间依次变大, 故选用 2015 年的季节波动值作为 2016 年的季节波动值 (d) 不规则波动预测对序列 I t 做白噪声检验根据序列延迟 6 期和 12 期的 Q LB 统计量, 确定序列的随机性 (a=0.05), 如表 5 所示表 5 X-12 加法模型的白噪声检验结果延迟阶数 6 12 卡方统计量值 p 值由于 p 值明显大于显著性水平 a, 所以该序列不能拒绝纯随机性假定, 故认为序列 I t 是白噪声过程则 2016 年的各期不规则波动值取 2015 年的各期值综上已得到各部分预测值, 再利用模型 (5) 得到最终的预测值, 如表 6 所示通过计算, 在 X-12 加法模型下,2016 年季度数据的相对误差控制在 7% 以内, 平均相对误差 3.07% 表 6 X-12 加法模型结果 2016 年季度第一季度第二季度第三季度第四季度 CT t 预测值 S t 预测值 I t 预测值最终预测值 / 亿元真实值 / 亿元相对误差 /% ( 三 ) 模型比较三种模型对 2016 年成都市社会消费零售总额的季度数据预测有好有差, 但综合来看,X-12 加法模型的季度总额平均相对误差较小, 且季度总额求和得到的年度总额比实际年度总额的相对误差只有 0.11%, 如表 7 所示故对于成都市消费零售总额的预测分析, 选用 X-12 加法模型更加可信这些数据能给有关部门提供更加确切的参考, 从而指导地区发展表 7 三种模型结果比较季节总额平均相对误差 /% 年度总额相对误差 /% 简单季节模型乘积季节模型 X-12 加法模型

9 彭丽霞, 赵联文, 谢波, 王丽梅. 成都市社会消费品零售总额的预测模型对比分析三结论由于社会消费零售总额受到趋势性和季节性的双重影响, 选取三种季节时间序列模型对成都市社会消费品零售额进行拟合和预测虽然简单季节模型和乘积季节模型考虑了序列短期相关性和季节效应的关联性, 但是预测效果都不是很好, 而采用 X-12 加法模型对成都市社会消费零售总额进行预测时, 预测效果较好相比其他两种模型, 其季度总额平均相对误差和年度总额误差都较小因此, 在实际应用中, 可采用 X-12 加法模型对社会消费品零售总额做预测这不仅为政府部门制定政策提供了参考依据, 也可以引导消费者合理消费, 对地方经济的快速发展具有指导意义参考文献 : [1] 唐功爽. 时间序列分析在经济预测中的应用 [J]. 统计与信息论坛,2005(6): [2] 刘家琨, 徐学荣. 福建省社会消费品零售总额的预测 [J]. 福建农林大学学报 ( 哲学社会科学版 ),2011(3): [3] 杜勇宏, 王健. 季节时间序列理论与应用 [M]. 天津 : 南开大学出版社,2008. [4] 王沁. 时间序列分析及其应用 [M]. 成都 : 西南交通大学出版社,2008: [5] 常振海, 刘薇. 我国铁路客运量的季节时间序列模型 [J]. 统计与决策,2015(7): [6] 黄红梅. 应用时间序列分析 [M]. 北京 : 清华大学出版社,2016: [7] 颜伟, 程超, 薛斌, 等. 结合 X-12 乘法模型和 ARIMA 模型的月售电量预测方法 [J]. 电力系统与自动化学报, 2016(5): [8] 张婷.CPI 的 SARIMA 模型与 X-12 季节调整模型对比预测分析 [J]. 经济问题,2014(12): [9] 贾正兴, 李伟, 刘加军, 等. 非平稳序列的平稳化及其在隧道变形分析中的应用 [J]. 测绘,2011(3): [10] 郑鹏辉, 单锐, 陈静. 时间序列分析在我国财政收入预测中的应用 [J]. 重庆文理学院学报 ( 自然科学版 ),2008(2): 责任编辑 : 吴强 Contrastive Analysis of Forecasting Model of Total Retail Sales of Social Consumption Goods in Chengdu PENG Lixia, ZHAO Lianwen, XIE Bo, WANG Limei (School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan , China) Abstract: Based on the quarterly data of the total retail sales of social consumption goods in Chengdu from 2004 to 2015, the simple seasonal model, the multiplicative seasonal model and the X-12 additive model were used to predict the total retail sales of social consumption goods in Chengdu in By comparing the quarterly average relative error and the an nual relative error of 2016, the result shows that the X-12 additive model has less relative error than the other two models. The construction and comparison of the model will provide references for the related research. Key words: total retail sales of social consumption goods; seasonal model; X-12 addition model 140

应用时间序列分析（第二版）

应用时间序列分析（第二版） 7.1 趋势性时间序列的重要特征 7.2 随机时间序列的趋势性检验 7.3 平稳化的方法 7.4 趋势模型实际问题中的大多数时间序列 ( 特别是与经济金融有关的时间序列 ) 都表现出一定的趋势性, 即时间序列值随时间的变化呈现出增加减少或其它变化趋势因此, 在对时间序列建立模型之前, 必须分析时间序列是否具有趋势性这对于我们正确认识时间序列的形态具有十分重要的意义什么叫趋势? 数学上并没有严格的定义,