非平稳时间序列模型的建立及预测

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征卢余
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1 第二章中国居民消费支出的变动趋势基于非平稳时间序列模型前面章节中我们主要集中于阐述了平稳时间序列的特性分析模型建立和预测等问题然而, 在实际应用中, 我们经常会遇到不满足平稳性的时间序列, 尤其是构成该序列的单个变量值虽然具有不确定性, 但是整个序列的变化却表现出一定的规律性, 可以用相应的数学模型近似地描述出来本章将介绍非平稳时间序列模型的结构建模与预测, 并通过农村居民消费支出与社会消费品零售总额等两个时间序列案例, 进一步加深对非平稳时间序列建模思想的理解一 ARIMA 模型理论介绍 ARIMA 模型的结构如果时间序列 X 的次差分 Y ( B) X 是一个平稳的 ARMA ( p, 序列, 其中 X 为具有阶 p, 和 q 的求和自回归移动平均模型, 记为是整数, 则称 X ~ ARIMA ( p,, ARIMA ( p,, 模型的一般表达形式 : ( B) X ( B) E( ), Var ( ), E( s), s (-) E( Xs), s n (-) 式中为模型的漂移项 ;B 称为滞后算子, 其定义是 B X X n, 表示对 X 进行 n 阶差分 ; X ( B) X, 表示对 X 进行次差分 ; 为零均值白噪声序列 ; (B) (B) 分别是 p 阶和 q 阶的以 B 为变量的多项式, 它们对应的特征方程的特征根都在单位圆以外, 一般表达形式如下 : ( B) B - p, 为平稳可逆 ARMA ( p, 模型的自回归系数多项 p B 式 ( B ) B q, 为平稳可逆 ARMA ( p, 模型的移动平均系数多项 q B 式关于 ARIMA 模型, 我们应该特别注意以下几点 : ⑴ 求和过程定义序列 w X, 则 w 是平稳的, 适合于模型 ( B) w ( B) 做 X 的逆运算, 即有 X S w, 其中 S 为无限累加算子, 是的逆, 即 S ( B) B B X S w 表明, 平稳序列 w 经过次求和得到适合于 ARIMA 模型的时间序列 X, 这正说明了 ARIMA 模型中求和的含义 ⑵ ARIMA 模型的表示如果把 * ( B ) 记为广义自相关函数, 有 * p ( B) ( B)( B) B B p B, 则 ARIMA ( p,, X X p Xp qq 模型可以表示为, 该表达式同时也是 ARMA ( p, 模型的一般表达形式, 并且该模型是非平稳的 ( 因为自回归特征方程部分存在着单位根 ) ⑶ 特别地, 当时, ARIMA ( p,, 模型可以简记为 ARMA ( p, 模型 ;

2 当 p 时, ARIMA ( p,, 模型可以简记为 IMA (, 模型 ; 当 q 时, ARIMA ( p,, 模型可以简记为 ARI ( p, ) 模型这里我们将经过次差分变换后的 ARMA ( p, 模型称为 ARIMA ( p,, 模型从 (-) 式可以看出, ARIMA 模型的实质是将差分运算与 ARMA 模型组合起来这一关系意义重大, 这说明任何非平稳的时间序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳, 就可以对平稳后的序列进行 ARMA 模型的拟合, 然后现今 ARMA 模型的的研究方法已经非常成熟了, 这就意味着对差分平稳后的序列进行分析变得简单易行鉴于此, 在估计 ARIMA ( p,, 模型时, 具体步骤同估计 ARMA ( p, 模型相同, 唯一不同的是在估计 ARIMA ( p,, 模型之前要先确定原序列自回归部分对应的的特征方程中含有单位根的个数, 以对原序列进行次差分 ( 对于经济时间序列, 差分次数通常只取, 或一般而言, 表示存量的数据经常需要做为次差分 ; 表示流量的数据经常需要做为次差分 ; 表示变化率的数据经常是平稳的 ), 使原来不平稳的序列变平稳, 然后再展开对 ARMA 模型的拟合过程因此, 对一个序列建模之前, 首先应当检验该序列是否具有平稳性, 当序列表现出非平稳时, 要确定序列中含有单位根的个数, 以确定需要差分的次数, 方便后续的建模过程 ARIMA 模型建模在掌握了 ARMA 模型建模的方法后, 使用 ARIMA 模型对观察序列建模变得简单易行博克斯 - 詹金斯提出的针对非平稳时间序列建模的建模思想具有广泛而深远的影响, 起到了实际的指导作用, 具体分为如下 4 个步骤 : ⑴ 对原序列进行平稳性检验, 如果序列不满足平稳性条件, 可以通过差分变换 ( 单整阶数为, 则进行次差分 ) 或者其他变换, 如对数差分变换使序列满足平稳性条件, 具体方法将在下面作介绍 ; ⑵ 通过计算能够描述序列特征的一些统计量 ( 如自相关系数和偏自相关系数 ), 来确定 ARMA 模型的阶数 p 和 q, 并在初始估计中选择尽可能少的参数 ; ⑶ 估计模型的未知参数, 并检验参数的显著性, 以及模型本身的合理性 ; ⑷ 进行诊断分析, 以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符, 包括 : 模型参数估计量必须通过检验 ; 模型的全部特征根 ( 包括自回归移动平均两部分 ) 的倒数都必须在单位圆以内 ( 即模型具有平稳性和可逆性 );3 模型的残差序列必须通过 Q 检验同时也要尽量做到 : 模型结构应当尽量简练 ; 参数稳定性要好 ;3 预测精度要高 3 Q 检验 Q 检验的零假设 : H : k 即模型误差项的 K 阶自相关系数全为零, 误差项是一个白噪声过程 Q 统计量定义为 : Q T K r k k (-) 近似服从 ( K p 分布, 其中 T 表示样本容量, r k 表示用残差序列计算的自相关系数值, K 表示自相关系数的个数, p 表示模型自回归部分的最大滞后值, q 表示移动平均部分的最大滞后值 Ljung 和 Box 认为 (-) 式定义的 Q 统计量的分布与 ( K p 分布存

3 在差异 ( 相应值偏小 ), 于是提出修正的 Q 统计量 : K rk Q T( T ) (-3) T k k 其中 r k, K, p,q 的定义如 (-) 修正的 Q 统计量近似服从 ( K p 分布, 且近似性比原来的 Q 统计量的近似性更好 (-) 比 (-3) 式多了一个因子 ( T ), 对于固定的 k 值, 当 T ( T k) 时, ( T ), 也就是说, 当样本容量无限大时,(-) 和 (-3) 是一 ( T k) 样的 ; 当样本容量越小时, 在固定 k 值的条件下, 因子 ( T ) 大于 ; 当 k ( T k) 值越大时, 因子 ( T ) 的值相对越大可见, 当样本容量越小,k 值越大 ( T k) 时, 用 (-3) 计算的 Q 值越不容易通过平稳性检验用残差序列计算 Q 统计量的值, 显然如果残差序列不是白噪声序列, 残差序列中必含有其他成分, 自相关系数不等于零, 则 Q 值将很大, 反之 Q 值将很小, 判别规则是 : 若 Q ( K p, 则接受 H ; 若 Q ( K p, 则拒绝 H 4 单位根检验前面介绍用相关图判断时间序列的平稳性 ( 这里不再作详细的介绍 ) 这一部分将给出序列平稳性的常用的严格的单位根统计检验方法 ADF 检验法的简单介绍, 其它的单位根检验方法如 DFGLS 检验 PP 检验 KPSS 检验 ERS 检验和 NP 检验将在第八章中作具体介绍在介绍 ADF 检验法之前先介绍一下 DF 统计量 DF 统计量是由 Dickey-Fuller 提出的, 采用了 OLS 估计, 是一种左单端检法 ( 因为意味着强非平稳, 意味着平稳当接受, 拒绝时, 自然也应拒绝 ) 对于时间序列 y 可用如下自回归模型检验单位根 : y y u (-4) 零假设和备择假设分别是 : H : H : 在零假设成立条件下, 用 DF 统计量进行单位根检验 ˆ ˆ DF s( ˆ) s( u) T y (-5) T s( u) u (-6) T 上式中检验单位根的统计量近似服从标准的 DF 分布, 在此需要说明的是 DF 统计量的公式类似于统计量, 但是不再服从分布, 具体这里不作详细证明, 有兴趣的读者请参考相应书籍检验用临界值应该从 DF 统计量的临界值表中查找

4 若用样本计算的 DF 临界值, 则接受 H, y 非平稳 ; DF 临界值, 则拒绝 H, y 是平稳的上述 DF 检验还可以用另一种形式表达将 (-4) 式两侧同时减 y, 得 y ( ) y u (-7) 令 -, 代入式 (-7) 中, 得 y y u (-8) 与上述零假设和备择假设相对应, 用于模型 (-8) 的零假设和备择假设是 : H : H : 这种变化并不影响 DF 统计量的值, 所以检验规则仍然是 : 若 DF 临界值, 则 y 是非平稳的 ; 若 DF 临界值, 则 y 是平稳的这种检验方法是 DF 检验的常用方法 (-8) 式的残差序列 û 不能存在自相关性如果存在自相关性, 说明 y 不是一个 AR() 过程, 则不能使用 DF 检验当检验式中含有位移项和趋势项时, y y u y y 也可以把检验式写成如下形式 : y y u (-9) y y u u (-) 以上方法只适用于 AR() 过程的单位根检验而实际经济时间序列一般不会是一个 AR() 过程, 所以最常用的单位根检验方法是 ADF 检验 ( 增项 DF 检验 ) 当时间序列为 AR(p) 形式, 或者由以上形式检验得到的残差序列存在自相关时, 应采用如下形式检验单位根 : y ˆ y k ri y ˆ i (-) i 因为上式中含有的滞后项, 所以对于的检验称为增项 DF 检验或 ADF 检验 y 5 ARIMA 模型预测在最小均方误差预测原理下, ARIMA 模型的预测和 ARMA 模型的预测方法非常类似 ARIMA ( p,, 模型的一般表达形式为 : ( B)( B) X ( B) 和 ARMA 模型一样, 也可以用历史观测值的线性函数表示它 : X ( B) 式中,,, 的值由如下等式确定 : ( B)( B) ( B) ( B), 如果把 * ( B) * 记为广义自相关函数, 有 ( B) ( B)( B) B B, 容易验证,, 的值满足如下递推公式 : Ψ -θ Ψ Ψ θ Ψ Ψ Ψ θ j j p q j p j

5 , j, 式中 j j, j q, j, 那么, X 的真实值为 X ) ( ) l l ( l l l l l 由于 l, l, 的不可获取性, 因此 X l 的估计值只能为 : * * xˆ ( l) 真实值与预测值之间的均方误差为 : E l * l j * x xˆ ( l) ( ) ( ) 要使均方误差最小, 当且仅当的预测值为 : xˆ ( l) l * j l j j, 所以, 在均方误差最小的原则下,l 期 l l e ( l) l l l 期的预测误差为真实值等于预测值加上预测误差 : X ) ( ) xˆ ( l) e ( ) l ( l l l l l l Var e ( l) ( ) l 期预测方差为预测值对于平稳序列而言越来越接近序列的均值, 而对非平稳序列而言, 则越来越接近序列的趋势注意 : 预测并不能消除未来时期的高度不确定性预测的最大价值在于为决策者提供了如果按过去和现在的变化规律发展下去或假定了某些变化条件的前提下, 时间序列将会导致何种结果, 对预测的过高期待和过低评价都是有失偏颇的综上所述, ARIMA 模型建模具体操作流程如图 - 所示 : X j 计算差分序列 X 平稳? N ARMA 建模 Y ARMA 模型 ( B) X ( B) 图 4. ARIMA 模型建模流程

6 二案例 - 全国农村家庭人均年消费性支出为了进一步加深对 ARIMA 模型理论知识的理解本章选取了年全国农村家庭人均年消费性支出数据, 借助前面介绍的 ARIMA 模型的理论知识建立相应模型, 以帮助读者熟悉博克斯 - 詹金斯的建模思想案例背景材料随着我国经济逐渐由供给约束型向需求约束型转变, 消费对经济的拉动作用日益显现扩大内需, 促进农村居民生活消费, 释放其潜在消费能力是我国经济发展的长期战略方针和基本立足点, 然而消费不足特别是农村消费不足一直是我国经济面临的突出问题尽管目前中国农村居民生活消费支出呈现持续上升趋势, 消费结构也得以不断升级和优化但是, 从整体上看, 农村居民消费增速长期低于城镇居民消费增速, 同时, 农村居民内部消费差距也趋向扩大, 中国农村居民消费率明显偏低的问题依然没有得到有效解决如何激发农村居民的消费潜力, 扩大内需, 化解和消除当前相对过剩的生产能力, 更大程度上创造就业机会, 促进农民增收, 改善农村生活质量, 使他们成为中国经济增长中最可靠最持久的动力源泉, 实现国民经济的良性循环, 具有十分重要的意义因此, 对我国农村居民消费支出进行时间序列分析, 对我国农村经济发展和农民生活水平提高, 以及新农村的建设都有着十分重要的意义数据来源及说明本文选取了年全国农村家庭人均年消费性支出数据来建立 ARIMA 模型, 以进一步加深对 ARIMA 模型理论知识的理解并找出影响全国农村家庭人均年消费性支出的关键因素, 激发农村居民的消费潜力, 扩大内需, 实现国民经济的良性循环数据来源于国家统计局网站 3 建立模型及估计结果 ⑴ 农村家庭人均年消费性支出序列分析将农村家庭人均年消费性支出序列记为 ZC, 作出年农村家庭人均年消费性支出序列图和相关图, 如图 - 和 -3 所示 : 5, ZC 4, 3,,, 图 - 农村家庭人均年消费性支出序列

7 图 -3 ZC 序列的相关图从农村家庭人均年消费性支出序列图 - 可以看出这一序列在年期间缓慢上升, 年上升速度显著加快,996 年以后仍在上升, 但是速度有所下降图 -3 显示样本的自相关系数呈拖尾状, 偏自相关系数在最初的阶明显大于倍标准差的范围显然, 农村家庭人均年消费性支出序列随着时间的变化有明显的指数增长趋势, 说明该序列是一个非平稳序列, 需要对其进行差分处理 ⑵ 对 ZC 序列取对数后作逐期差分分析由于这一序列有着非常明显的指数趋势, 因此我们对它进行取对数, 以消除指数趋势的影响取对数后既可以用线性趋势模型描述, 又可以消除异方差对原序列取对数后作一阶差分并作出差分后的趋势图, 在 Eviews 主窗口命令行依次输入 LNZC=D(LNZC), plo LNZC, LNZC 的趋势如图 -4 所示 :.3 DLNZC 图 -4 原序列取对数后一阶差分序列图由图 -4 可见, 差分后的序列有截距项, 且序列的趋势基本消除为了进一步确证序列 LNZC 的平稳性, 对其作单位根检验, 检验结果如图 -5 所示 :

8 图 -5 序列 LNZC 单位根检验取显著性水平为.5, 根据临界值表, 查得样本量在 5 范围内的临界值为 -.93 由图 -4 的结果显示, DF , 则拒绝非平稳的原假设, 即原序列取对数后一阶差分序列 LNZC 是平稳的 ⑶ 针对平稳序列 LNZC 建立 ARMA 模型画出序列 LNZC 的自相关图, 如图 -6 所示根据自相关偏自相关系数超出倍标准差的边界线所对应的滞后阶数, 初步确定模型的阶数 p, q 的值图 -6 LNZC 序列的相关图下面通过分析 LNZC 的自相关图偏相关图初步确立 ARMA 模型形式 : 如果把滞后期 k 的偏自相关系数. 66 看作峰值, 然后呈截尾特征, 把自相关图看作拖尾特征, 则应该建立 AR () 模型如果把滞后期 k 的偏自相关系数.66,. 5 看作峰值, 然后呈截尾特征, 把自相关图看作拖尾特征, 则应该建立 AR () 模型 3 如果把滞后期 k 的自相关系数. 66 看作峰值, 然后呈截尾特征, 把偏自相关图看作拖尾特征, 则应该建立 MA () 模型 4 如果把滞后期 k 的自相关系数和偏自相关系数看作峰值, 然后各为拖尾特征, 则应该建立 ARMA (, ) 模型 5 如果把滞后期 k 的偏自相关系数.66, -. 5 看作两个峰值, 把 k 自相关系数看作峰值, 然后各为拖尾特征, 则应该建立 ARMA(, ) 模型现在就 ARMA (,) 模型阐述具体的建模筛选过程 ( 其他模型的筛选过程类似, 由于相对简单, 这里不再作详细说明 ): 从 Eviews 主菜单中点击 Quick 菜单, 选择 Esimae Equaion 功能, 随后即弹出 Equaion Esimae 对话框, 输入漂移项非零的 ARMA (, ) 模型估计命令 :lnzc c ar() ar() ma(), 点击确定即出现图 -7 的 ARMA (, ) 模型 Eviews 输出结果根据前面介绍的 ARIMA 模型建模思想对 ARMA (,) 模型的 Eviews 输出结果进行诊断分析

9 图 -7 ARMA (,) 模型的 Eviews 输出结果图 -8 AR () 模型的 Eviews 输出结果从图 -6 中可以看出, MA () 的参数估计量通不过检验, 说明 MA () 对 LNZC 当期的影响是不显著的, 故试着剔除 MA (), 建立包含截距项的 AR () 模型, 恰好与初步选择的 AR () 模型一致 AR () 模型的 Eviews 输出结果如图 -7 所示由图 -7 可知, 各参数估计量的检验都通过 ; DW. 77, 即不存在自相关性 ; AIC 3. 8 ; R. 5896; 自回归部分特征方程的特征根的倒数都在单位圆以内, 说明该模型的拟合还是比较满意的下面分别将按 AR () AR () MA () ARMA (, ) 估计模型的结果列在表 - 中 : 表 - 农村家庭人均年消费性支出差分序列 4 个模型估计结果 LNZC AR () AR () MA () ARMA (, ) C.9 (3.9).79 (6.68).37 (7.55). (4.63) AR ().6643 (4.7).996 (5.96).46 (.) AR () (-3.7) MA ().6993 (5.7).4986 (.37) R

10 AIC 注 : 表 - 的第栏中括号上面数字是模型系数估计值, 括号内数字是模型系数估计值对应的统计量值通过比较 4 个模型的 R 统计量和 AIC 准则, 最终选择 AR () 模型根据图 -8 的 Eviews 输出结果, 将 AR () 模型的表达式按如下方式书写 : LNZC ( LNZC.79).583( LNZC.79) v (6.68) R (5.98).5896, ( 3.7) AIC 3.8, Q() 4.83 这里需要注意几点 : 根据 Wol 分解定理,Eviews 的输出格式表示的是对序列 ( LNZC -.79) 建立 AR () 模型, 而不是对 LNZC 建立 AR () 模型输出结果中的.79 是 LNZC 的均值, 不是模型的漂移项 3 有无漂移项对求特征方程和特征根无影响 ⑷ 残差序列纯随机性检验图 -9 残差序列的纯随机性检验对 AR () 模型的残差序列做纯随机性检验, 检验结果如图 -9 所示根据前面 Q 检验的介绍, 由图 -9 可知, Q ( 3) ~ Q() 的值对应的概率都比.5 大, 可以认为该模型的残差序列为非自相关序列, 该残差序列是一个纯随机的白噪声序列, 说明 AR () 模型已经将有用信息充分提取了, 是一个比较合理的模型 ⑸ 模型拟合效果检验 AR () 模型的整体拟合效果见图 -, 从图中可以看出, 真实值和 AR () 模型的拟合值非常接近, 说明建立的模型还是比较适合的通过计算每年的拟合误差 ( 取正值 ), 得到 98-9 年平均拟合误差为 3.8%

11 5, 4, 3,,, ZC ZCF 图 - 真实值和拟合值序列图 4 结论本节在对全国农村家庭人均年消费性支出进行序列分析的基础上, 分别建立了 ARMA (, ) AR () AR () MA () 和 ARMA (, ) 模型, 通过模型诊断分析, 最终选择了 AR () 模型 AR () 模型的估计结果表明, 农村家庭人均年消费性支出只与前两年的消费支出习惯有关系, 这就要求商家在推出新产品的两年之内, 要不断研发新产品, 才能引起农村家庭的消费欲望和需求, 方能扩大农村家庭人均年消费性支出, 扩大内需, 化解和消除当前相对过剩的生产能力, 更大程度上创造就业机会, 促进农民增收, 改善农村生活质量, 最终使他们成为中国经济增长中最可靠最持久的动力源泉这里需要说明的是, 农村家庭人均年消费性支出只与消费习惯本身有关系, 而与随机扰动没有关系, 是因为人们习惯将多出的货币用于储蓄, 而储蓄是投资的源泉, 所以自然不会影响到农村家庭人均年消费性支出, 故选择 AR () 模型不仅仅是通过理论得到的结果, 更是符合实际的三案例 - 社会消费品零售总额序列分析在 4 的案例中, 介绍了 ARIMA 模型基本的建模步骤, 本节进一步利用案例 4 介绍如何利用留存的已知数据检验已建立的 ARIMA 模型的拟合效果以及利用该模型预测未来的信息背景介绍社会消费品零售总额是指批发和零售业住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额其中, 对居民的消费品零售额, 是指售予城乡居民用于生活消费的商品金额 ; 对社会集团的消费品零售额, 是指售给机关社会团体部队学校企事业单位居委会或村委会等, 公款购买的用作非生产非经营使用与公共消费的商品金额, 是由社会商品供给和有支付能力的商品需求的规模所决定的该指标是用来反映全社会在一定时期内实物商品的非生产方面消费情况, 即从商品流通环节入手, 来观察进入城乡居民生活消费情况

12 社会集团公共消费的商品变化情况城乡居民生活水平社会零售商品购买力的实现程度社会生产零售市场的规模货币流通和物价的发展变化趋势的重要资料社会消费品零售总额作为观察经济景气状况的指标, 能够大体反映我国消费需求的走势和消费品市场的冷热变化情况外加社会消费品零售总额是月度统计, 是唯一能够按月度来反映消费需求方面变化的指标, 所以长期以来各方面都把社会消费品零售总额作为观察消费需求走势变化和消费品市场冷热状况的重要指标因此, 对社会消费品零售总额进行合理的预测, 具有十分重要的经济意义, 一方面可以用于了解未来的经济发展势态 ; 另一方面, 把预测结果与现实的社会消费品零售总额进行比较来评估当前的消费需求和经济的运行状况, 可为决策者提供可靠的依据数据来源及说明为了分析我国近年来社会消费品零售总额发展的变化趋势本案例通过国家统计数据库, 收集了 95- 年社会消费品零售总额的数据, 利用相邻观测数据之间的相互依赖性对 95-4 年的数据进行模拟, 而 5- 年的实际数据不参加建模, 留作模型拟合效果的检验, 并预测年的社会消费品零售总额数据 3 建立模型及估计结果 ⑴ 对原序列 XF 的分析将社会消费品零售总额序列记为 XF, 作出 95-4 年社会消费品零售总额序列图, 如图 - 所示 : 6, XF 5, 4, 3,,, 图 - 社会消费品零售总额序列图

13 图 - 社会消费品零售总额序列图从图 - 可以看出, 社会消费品零售总额随时间的变化而呈现出指数增长趋势, 其中年呈现缓慢增长, 在 988 年处出现拐点, 的增长速度加快,997 年以后的增长幅度进一步加快从图 - 可以看出来, 自相关系数呈现出拖尾状, 偏自相关系数在最初的阶明显大于倍标准差的范围显然, 社会消费品零售总额序列随着时间的变化有明显的指数增长趋势, 说明该序列是一个非平稳序列, 需要对其进行差分处理 ⑵ 对原序列取对数后作逐期差分分析从图 - 可以看出, 该序列同样有着非常明显的指数趋势, 因此我们对它进行取对数, 以消除指数趋势的影响, 并对取对数后的序列作一阶差分, 在 Eviews 主窗口命令行输入 LNXF=D(LNXF) 在 Eviews 主窗口命令行输入 plo lnxf, 画出差分后的趋势图,LNXF 的趋势如图 -3 所示由图 -3 可知, 差分后的序列有截距项, 且序列的趋势基本消除为了进一步确证序列 LNXF 的平稳性, 对其作单位根检验, 检验结果如图 -4 所示.3 DLNXF 图 -3 原序列取对数后一阶差分序列图

14 图 -4 LNXF 的单位根检验取显著性水平为.5, 查 DF 统计量的临界值表, 得样本量在以内的临界值为 -.89 根据图 -4 可知, 通过样本计算的 DF , 则拒绝非平稳的原假设, 即原序列取对数后一阶差分序列 LNXF 是平稳的 ⑶ 针对平稳序列 LNXF 建立 ARMA 模型在 Eviews 中, 打开 LNXF 序列, 在出现的序列对象窗口上方工具栏中选择 View/Correlogram, 作出 LNXF 的自相关和偏自相关图, 如图 -5 所示根据自相关偏自相关系数超出倍标准差的边界线所对应的滞后阶数, 初步确定模型的阶数 p, q 的值下面通过分析 LNXF 的自相关图偏自相关图 -5 确立 ARMA 模型形式 : 如果把 k 的偏自相关系数. 497 看作峰值, 然后呈截尾特征, 把自相关图看作拖尾特征, 则应该建立 AR () 模型如果把 k 的偏自相关系数. 497 看作峰值, 把 k 7 的自相关系数.497,.48,.7,.7,.86,.69,.3 看作峰值, 然后各为拖尾特征, 则应该建立 ARMA (,7 ) 模型 3 如果把偏自相关图看作拖尾, 把 k 7 的自相关系数.497,.48,.7,.7,.86,.69,.3看作峰值, 然后呈截尾特征, 则应该建立 MA (7) 模型图 -5 LNXF 的相关图这里就较复杂的 ARMA (,7 ) 和 MA (7) 模型的建模过程作如下说明 : 对 ARMA (,7 ) 模型的筛选过程如下 :

15 图 -6 ARMA (,7) 模型的 Eviews 输出结果根据图 -6 的 Eviews 的输出结果, MA () MA (3) MA (4) 的检验通不过, 而从 LNXF 的自相关图可以看出, 在 k, 7 时, 自相关系数明显超出边界, 在 k 3, 4 时, 自相关系数在边界以内, 故选择 AR () MA () ; AR () MA (7); AR () MA () 分别建立模型, Eviews 输出结果如下 : 以 AR () MA () 建立的 ARMA (, ) 模型的 Eviews 输出结果 : 图 -7 AR () MA () 建立的模型的 Eviews 输出结果图 -7 的 Eviews 输出结果显示, 各参数估计量的检验都通不过, 所以排除该模型以 AR () 建立的特殊 ARMA (,7 ) 模型的 Eviews 输出结果 :

16 图 -8 AR () 建立的模型的 Eviews 输出结果图 -8 的 Eviews 输出结果显示, 各参数估计量的检验都通过 ; DW.995, 接近于, 说明模型不存在自相关性 ; AIC. 64 ; R. 3353; 自回归移动平均部分特征方程的特征根的倒数都在单位圆以内, 说明该模型还是比较合理的以 AR () MA () 建立的特殊 ARMA (,7 ) 模型的 Eviews 输出结果 : 图 -9 AR () MA () 建立模型的 Eviews 输出结果图 -9 的 Eviews 输出结果显示, 各参数估计量的检验都通过了 ; DW. 6, 取显著性水平. 5 时, U. 4, u.6 4 u, 即模型不存在自相关 ; AIC.65 ; R. 363; 自回归移动平均部分特征方程的特征根的倒数都在单位圆以内, 说明该模型关于所有的诊断条件都通过根据图 -6 的 Eviews 输出结果, 逐一排除 MA () MA (3) MA (4), 最终的筛选结果如图 - 所示 :

17 图 - AR () MA () MA (6) 建立模型的 Eviews 输出结果综合图 -9 - 和 - 的 3 个 Eviews 输出结果, 从模型的简约性原则出发, 通过比较这 3 个模型的统计量 AIC 准则 R 和 DW 统计量的值, 最终选择以 AR () 为自变量的 ARMA (,7 ) 模型对 MA (7) 模型的筛选过程如下 : 从 Eviews 主菜单中点击 Quick 菜单, 选择 Esimae Equaion 功能, 随后即弹出 Equaion Esimae 对话框, 输入漂移项非零的 MA (7) 模型的估计命令 :lnxf c ma() ma() ma(3) ma(4) ma(5) ma(6) ma(7), 点击确定即出现图 - 的 MA (7) 模型 Eviews 输出结果 : 图 - MA (7) 模型的 Eviews 输出结果 MA (7) 模型只有 MA () 前的参数估计量的统计量是显著的通过逐一剔除统计量不显著的 MA () MA (3) MA (4) MA (6) ( 处理的过程中以 MA (7) 前面的参数检验已经通过了 ), 最终的结果如图 - 所示 ( 具体的剔除过程, 这里不再作详细的介绍 ):

18 图 - MA () 建立的 MA (7) 模型为了便于比较, 下面分别将 AR () ARMA (,7 ) 模型的最终估计结果列于表 - 中 : 表 - 社会消费品零售总额序列 3 个模型估计结果 LNXF AR () ARMA (,7 ) MA (7) C.988 (5.4).968 (4.).55 (6.) AR ().4974 (4.6).4655 (3.76) MA ().6334 (9.76).344 (5.38) MA (7).4666 (3.55) R AIC 注 : 表 - 的第栏中括号上面数字是模型系数估计值, 括号内数字是模型系数估计值对应的统计量值通过比较 3 个模型的 R 统计量和 AIC 准则, 最终选择 ARMA (,7 ) 模型以 AR () 建立的 ARMA (,7 ) 模型的表达式按如下方式书写 : LNXF ( LNXF.968) v.4666v (4.) R (3.76).3353, AIC.64, Q() (3.55) ⑷ 残差序列纯随机性检验对最终模型的残差序列做纯随机性检验, 检验结果如图 -3 所示 : 7

19 图 -3 残差序列的纯随机性检验根据前面 Q 检验的介绍, 由图 -3 可知, Q ( 3) ~ Q() 的值对应的概率都比.5 大, 可以认为该模型的残差序列为非自相关序列, 可以认为残差序列是一个纯随机的白噪声序列, 说明以 AR () 建立的 ARMA (,7 ) 模型已经将有用信息充分提取了, 是一个比较合理的模型 ⑸ 预测以 AR () 建立的 ARMA (,7 ) 模型对 5- 年社会消费品零售总额进行预测首先要扩展数据区间 :expan 95, 然后在该方程结果输出窗口工具栏中选择 Forecas 按钮, 打开模型预测选项对话框 Forecas( 如图 -4 所示 ), 将预测样本期改为 95, 并在 Meho 下选择静态预测 (Saic forecas), 其他选择保持系统默认值, 点击 OK, 计算机将序列预测值存储在名为 XFF 的对象中图 -4 Forecas 对话框在 Eviews 的工作文件中, 同时选中 XF 和 XFF 两个序列并打开, 点击 View 写的 Graph 选项, 得到模型预测值与实际观测值的对比图, 如图 -5 所示 :

20 6, 4,,, 8, 6, 4,, XF XFF 图 -5 预测值 XFF 与实际观测值 XF 对比图从图 -5 可以看出, 预测比较好的反映了增长趋势, 虽然预测值和真实值之间存在着一定的差距, 但是在不发生特别变化的情况下, 预测近一两年的数据还是有一定的参考价值的 5- 年社会消费品零售总额预测值与真实值对比见表 -3: 表年社会消费品零售总额预测值结果单位 : 亿元年份实际值预测值对于预测误差的计算, 如 5 年社会消费品零售总额实际值是亿元, 模型预测值为亿元, 则预测相对误差为 % 5- 年的平均预测相对误差为 4.73% 现在利用建立的特殊 ARMA (,7 ) 模型预测年的值, 预测结果如图 -6 所示 : 4,, 6,, 8, 4, Forecas: XFF Acual: XF Forecas sample: 95 Ajuse sample: 954 Inclue observaions: 57 Roo Mean Square Error Mean Absolue Error Mean Abs. Percen Error Theil Inequaliy Coefficien.8994 Bias Proporion.556 Variance Proporion Covariance Proporion XFF ± S.E. 图 -6 预测的年社会消费品零售总额

21 预测出来的年社会消费品零售总额为亿元从 9- 年, 社会消费品零售总额的增长率为 6.49%, 而单从预测的角度看, 年较年社会消费品零售总额的增长率为 5.4% 预示着社会消费品零售总额仍然表现出持续上升的走势, 但是增长率有可能有下降的趋势 4 结论本文通过对社会消费品零售总额的分析, 最终建立了特殊的 ARMA (,7 ) 模型说明社会消费品零售总额只与上一年的消费状况有关系, 而且社会消费品零售总额的年增量存在着大约 7 年的变化周期与前一年有关系是由于消费习惯导致的 ;7 年的变化周期, 是由于经济的波动往往先从生产建设领域开始, 进而才能影响到消费领域, 所以社会消费品零售总额的变动往往滞后于生产建设等统计指标, 故选择 ARMA (,7 ) 模型不仅仅是通过理论得到的结果, 更是符合实际的参考文献 : ⑴ 王黎明, 王连, 杨楠. 应用时间序列分析 [M]. 上海 : 复旦大学出版社,9.9. ⑵ 中国人民银行调查统计司. 时间序列 X--ARIMA 季节调整原理与方法 [M]. 北京 : 中国金融出版社,5.5. ⑶ 高铁梅, 王金明, 梁云芳, 刘玉红. 计量经济分析方法与建模 [M]. 北京 : 清华大学出版社,9.5. 附录 : 附表 - 全国农村家庭人均年消费支出单位 : 元年份指标值年份指标值年份指标值年份指标值附表 - 社会消费品零售总额单位 : 亿元年份指标值年份指标值年份指标值年份指标值

22 ( 夏万军李小月 )

应用时间序列分析（第二版）

应用时间序列分析（第二版） 7.1 趋势性时间序列的重要特征 7.2 随机时间序列的趋势性检验 7.3 平稳化的方法 7.4 趋势模型实际问题中的大多数时间序列 ( 特别是与经济金融有关的时间序列 ) 都表现出一定的趋势性, 即时间序列值随时间的变化呈现出增加减少或其它变化趋势因此, 在对时间序列建立模型之前, 必须分析时间序列是否具有趋势性这对于我们正确认识时间序列的形态具有十分重要的意义什么叫趋势? 数学上并没有严格的定义,