遞迴數列

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琦雉喻
7 years ago
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1 4- 二維數據分析目標首先能利用散布圖描繪出二維數據與以便觀察與理解與的直線相關的關聯性強度 ; 進而能利用與的標準化數據求出與的相關係數並熟悉相關係數的操作及相關係數的代數性質 ; 再者能理解最適合直線的意涵並利用數據與的相關係數求出對的最適合直線以便利用數據的數值預估對應的值定義. 散布圖 : 要了解兩個變數間是否有關最直接的方法就是將筆資料 L 畫在坐標平面上所得圖形稱應變數對自變數的散佈圖目的在於觀察應變數對自變數之間的相關性有時資料很多或坐標不需要時可以將之省略. 樣本點 : 散布圖上的點稱為樣本點註 : 畫出散布圖的目的在於先觀察出資料之間是否有一些比較明顯的關係存在若有我們想要找出一條直線來推測出這兩個變數之間的變動規律以衡量這兩個變數的關聯性並推測出它們之間的關聯程度若無顯著的一致性關係時不要硬要討論它們之間的關聯程度範例班上位同學的數學成績與物理成績如下表 : 數學成績物理成績將兩個變數的數值資料數對畫在坐標平面上以表明它們的分部情形此即散布圖散布圖物理成績數學成績 9

2 類型. 正相關 : 負相關 : 完全正相關 : 完全負相關 :. 無直線相關 : 無直線相關 : 無直線相關 : 思考. 如果知道一個變數的數值時相應的另一變數的數值的變異範圍可以用來測量兩變數之間的關係範圍越大兩變數的關係越模糊也就是兩變數之間的關聯性很低表示兩者由不同的因素決定也就是一變數變動時另一變數不一定跟著改變 ; 範圍越小兩變數的關係越明確也就是兩變數之間的關聯性很高表示兩者幾乎由同一因素決定也就是一變數變動時另一變數跟著改變. 二維數據 L 都可以在平面上描畫出散布圖圖中是一些不同的散布圖 : c d e 其中都是左下右上的散布表示較大時有偏大的趨勢但中的關聯性較顯著又 cd 都是左上右下的散布表示較大時有偏小的趨勢而 c 中的關聯性較 d 顯著至於 e 中點的散布沒有明顯趨勢表示與的關聯性很低

3 說明. 將兩組數據與利用數對 L 繪入坐標平面上以便顯示其相關程度與方向稱為散布圖散布圖中的各點即樣本點完全在一直線上或分布大致在一直線附近則數據與之間的相關為直線相關相關也可以是曲線相關即散布圖中的各點全部在一曲線上或分布大致在一曲線附近本文只討論直線相關的情況直線相關的相關關係用來表現這些樣本點的變動規律以衡量兩數據變動的一致性來推測它們之間的相關程度當兩數據之關聯很高即表示一種數據變動時另一種數據跟著改變因此相關程度是了解數據之變動程度的一種方法. 在生活中常要分析兩個變數與之間的關係若兩者之間存在正比或反比關係並且在專業上可能存在聯繫但不知兩者有無存在關係這時要了解兩變數之間的密切程度相關方向可應用相關分析來解決 3. 相關分析不能用來當作建立因果關係的解釋定義相關 :. 正相關 : 當一個變數的數值增加時另一個變數的數值有增加的趨勢. 負相關 : 當一個變數的數值增加時另一個變數的數值有減少的趨勢 3. 完全相關 : 兩個變數的散佈圖所有點都在一條斜的直線上 4. 完全正相關 : 兩個變數的散佈圖所有點都在一條斜率為正的直線上直線斜角小於 9 度 5. 完全負相關 : 兩個變數的散佈圖所有點都在一條斜率為負的直線上直線斜角大於 9 度 6. 無關零相關 : 兩變數之間沒有關係的例如呈現圓形分布水平線垂直線扁平形全部散開形 7. 曲線相關 : 兩變數間的關係不是線性的為二次形雙曲線形... 等等註 : 兩變數相關係數為零時表示兩變數無直線相關而已但可能有其他的曲線相關

4 思考通常身高與體重會成正比但是給你一組資料應該如何來衡量這兩組資料間的關係呢? 如何衡量相關程度的高低? 可否由身高來預測體重大約多少? 班上位同學的數學成績與物理成績如下表 : 身高公分體重公斤畫出散布圖 : 散布圖體重身高通常我們會畫出平均值並表於圖形上如上圖兩直線交點處即為兩變數平均數之處即坐標點為之處此時若把身高的單位變化成為公分後重新畫出一個散布圖後並表於圖形如下圖兩直線交點處即為兩變數平均數之處即坐標點為之處散布圖 5 體重身高. 你觀察同樣資料的兩個散布圖你可能會覺得第二個散布圖中的資料比較集中但實際上只是資料單位取的不同而已所以我們希望有一個不受單位影響的統計量來觀察兩個變數之間的相關性強弱. 又若不同單位會影響統計量的大小時是否統計量越大就表示相關性越大則不是很客觀的故希望能將資料標準化而不受單位的影響 3. 在觀察相關時我們也希望知道相關的正或負所以上述畫出兩變數的平均線的目的以就是希望能夠觀察出兩變數之間是呈現正比或是反比若資料散布於以當新原點兩變數平均線當新坐標軸的第一象限或第三象限比較多時我們大約可以知道是呈現正相關若散布於第二象限或第四象線比較多時我們大約可以知道是呈現負相關

5 目的研究兩個變數的相關性定義相關係數時望能有以下性質 :. 相關性的方向 : 正相關或負相關. 相關性強度 3. 要與單位無關 4. 強度的範圍希望在 ± 之間定義. 資料標準化 : 將資料標準化化成平均數標準差 : 變數原始資料平均值標準差標準化資料 ' ' 平均值標準差. 相關係數 coelto coeffcet: ' ' 3

6 方法. 最小平方法 : 二維數據 L 中可由散布圖約略得到與的關聯性這種關聯性的強度可以適當量化首先令分別表示的標準化數據 µ µ 即其次定義二次函數 et $ t$ et 是變數 t 的函數它代表一種偏差值以下我們要求 et 的最小值將平方式展開得 $ t $ $ $ t $ et t $ $ t $ 由於 µ µ 故 $ $ µ 得 $ 同理 $ $ $ $ $ $ $ 故 et t $ $ t t $ $ $ $ $ $ 當 t 時 et 有最小值 e $ $ 其中稱為數據與的相關係數記為不致混淆時簡記為 $ $ $ $ 於是函數 et 的最小值為 e [ ] $ $ µ µ 由於 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 得與的相關係數 µ µ 4

7 定義. 相關係數 : 為了表示數據與的變動一致性的直線相關程度我們用一條最適合這些樣本點 L 的直線來表示兩數據之間的關係首先我們將數據與標準化得到標準化數據 $ $ 然後找一條直線使得 $ $ [ ] 有最小值這種方法就是最小平方法當 $ $ $ 其中 $ µ µ µ µ 即當 µ µ $ $ [ ] 有最小值這表示 : 當數據變動一個標準差時變動個標準差它用來表示兩數據的一致性 µ µ 為了表示一致性的程度我們取 µ µ 時稱為與的相關係數並用來表示最適合這個點的直線在課文中我們定義函數 $ $ et t 則當 $ $ e 為 et 中的最小值此種說法就是中其中 $ $ $ $ 的一種簡單的表達方式 5

8 例題. 有名學生其性向測驗與成就測驗的分數滿分分如下 : 學生編號性向測驗成就測驗求這名學生性向測驗與成就測驗的相關係數解 : 設性向測驗為 L 成就測驗 L 作表如下 : 學生編號 µ µ µ µ µ µ 總和故相關係數某校高三位同學參加數學與物理競試後他們的成績 L 分別表示第位同學數學與物理的成績經整理結果得 : 求 : 這位同學數學與物理成績的相關係數若每個人數學成績加分物理成績減分則相關係數為何? 解答 : µ 3 6 µ µ µ 所以數學與物理成績的相關係數為每個人數學成績加分物理成績減分後 µ µ 不會改變 L 所以成績改變後的相關係數不變其值仍為.84 6

9 性質. 在二維數據 L 中若以常數 µ 代表 L 則平均偏差標準差為 µ 假設的相關係數為令數據 µ µ 即 µ µ L 若以代表則平均偏差定為其中 ] [ µ µ µ µ $ $ e 故以代表的平均偏差又由知得故於是因此以 µ µ 代表比單純用 µ 代表更好且越接近其平均偏差越小代表性就越好. 數據與的相關係數恆在與之間即恆成立事實上若欲使 $ $ et t 有最小值時 t 也在因此 $ $ $ 時 et 之值最小與的相關係數與與的相關係數是一樣的 7

10 性質. 如果在散布圖中以及為新的橫軸與縱軸即新原點為則可依新坐標軸圖將圖形分成四個象限對於第一象限或第三象限內的點而言的值為正 ; 對於在第二象限或第四象限內的點而言的值為負當我們求出的值時若較大的傾向伴隨較大的且較小的傾向伴隨較小的則將是正的即大於平均數時也有大於平均數的趨勢 ; 小於平均數時也有小於平均數的趨勢表示與兩變數的變動趨勢呈現正比關係大部份資料分布在第一第三象限也就是會同時為增或同時為減我們稱兩者為正相關若較大的傾向伴隨較小的且較小的傾向伴隨較大的則將是負的即大於平均數時有小於平均數的趨勢 ; 小於平均數時有大於平均數的趨勢表示與兩變數的變動趨勢呈現反比關係大部份資料分布在第二第四象限也就是會一增一減或一減一增我們稱兩者為負相關. 相關係數為正時大部份資料分布在第一第三象限越靠近 ' ' 直線時相關性越強否則越弱 3. 相關係數大約是標準化資料 ' ' 相乘後乘積的平均 ' ' 其中稱的樣本互變異數利用科西不等式可得相關係數的範圍位於與之間 : 6. 相關係數與單位無關即相關係數不因變數的單位與固定數的增減的改變而改變其證明於下列性質 8

11 7. 平移伸縮對相關係數的影響 : s 試證明 : 若 L 則 t c d T s ' t ' c c s s t T t c c T d c d c > c < T d c d c c > ± c c < 故平移伸縮對於相關係數的絕對值不影響只可能影響正負相關性 8. > 稱正相關 ; 稱完全正相關 < 稱負相關 ; 稱完全負相關 3 稱零相關或無相關資料可能呈現很平均的散布狀態或在一水平或鉛直的直線上當相關係數為零時只能說兩變數缺乏機率上的線性關係並未排除變數間有非線性的關係即無相關並非不相關 4 時所有資料幾乎都在一非水平或鉛直的直線上 9. 時稱完全負相關 < 時稱高度負相關 3 3 < 時稱中度負相關 < < 時稱低度負相關 3 5 時稱零相關 6 < 時稱低度正相關 3 7 < 時稱中度正相關 < < 時稱高度正相關 3 9 時稱完全正相關 9

12 . 下列是 8 個散布圖其中正相關的最適合直線的斜率為正數負相關的最適合直線的斜率為負數正相關負相關 3 完全正相關 4 完全負相關 5 無直線相關 6 無直線相關 7 無直線相關 8 無直線相關問題.. 不同度量單位是否會影響到相關性強弱? 因為坐標選取不同而畫出同一組資料的不同散佈圖是否可能有不同的解讀? 3. 資料散布在某一水平直線上或某一垂直直線上時是否稱完全相關? 4. 標準差較大是否表示相關性比較小呢? 5. 資料伸縮或平移是否影響相關性? 6. 平移伸縮對於平均數之影響為何? 7. 平移伸縮對於標準差之影響為何? 平移伸縮對於變異係數之影響為何? 平移伸縮對於相關係數之影響為何?. 對對稱變換對於相關係數之影響為何?. 當兩變數呈現正相關時是否表示此兩變數一定有實際上的解讀意義?

13 思考. 如下圖於散布圖中使用哪一條直線來形容此兩變數的關係比較好呢? 散布圖要找出此條心目中的理想直線時要用何種標準去判斷所取到的直線是好還是不好的這就需要一種標準來決定誤差是大還是小也希望處理誤差的過程當中能夠有容易的代數方法來處理問題 3. 如果散布圖顯示出兩個數量變數之間的直線相關我們會希望在散布圖中取一條直線來對兩變數的關係做一個描述最小平方法就是一種找出這樣的直線之方法找出來的直線稱為最佳直線最適合直線或迴歸直線利用迴歸直線可以利用一個變數來解釋或預測另一個變數條件是它們之間的關係是可以解釋或預測的定義. 直線 :. 觀察值實際資料值 : 3. 擬合值估計值 : ˆ 4. 殘差 : e ˆ 5. 殘差平方和越小越好 : e ˆ 6. 標準化資料 : u 則 u

14 定義. 最適合直線 : 設二維數據 L 的相關係數為令線性函數 f µ µ 它在坐標平面上的函數圖形是直線 µ µ 此直線稱為對的最適合直線最適合直線的方程式也稱迴歸直線可表為 µ µ 這是直線的點斜式該直線過點 µ µ 斜率為正負與同註 : 為最適合個點 L 的直線因此求最適合這個點的對的直線方程式 ' µ µ 就是即 ' µ µ 為對的最適合直線性質. 一般而言二維數據 L 中以 f µ µ 代表時其平均偏差圖中表示的散布圖與對的最適合直線平均偏差表示各點到最適合直線的平均鉛直距離偏差當越大接近時就越小表示點 L 集中在最適合直線附近與的直線關係較強反之越小接近時就越大表示點 L 偏離最適合直線與的直線關係較弱. 抽樣時樣本數據有個數對 L 時利用最小平方法估計 β β 使得已知時可推測的估計值 β 我們求 g β β [ ] 的最小值可得到最適合直線方程式為 µ µ 其中為對最適合直線的斜率 3. 對的最適合直線必過與的平均數決定的點 µ µ 對最適合直線也必過點 µ µ 但兩直線的斜率可能相同也可能不相同

15 例題. 圖中是幾個散布圖最適合直線及相關係數的例子 :. 在坐標平面上已知三點 P3 P 5 P33 4 試找一直線使這三點到該直線的鉛直距離平方和最小即求使 [3 ] [5 ] [4 3 ] 之值最小. 解答 : [3 ] [5 ] [ 4 3 ] [ 4] [ 4] 取使 4 且 3 則所求最小值為故 3 即所求直線方程式為 3 例中所求的直線就是以那些點為數據時對的最適合直線而題解中所用的方法稱為最小平方法一般而言二維數據 L 時對的最適合直線就是使點 P P L P 到一直線鉛直距離平方和最小的直線亦即使 [ ] [ ] L [ ] 之值達到最小的直線 3

16 方法一標轉化資料後利用最小平方法 pcple oflest sque 求 u : 找得殘差最小即是求出最佳的的估計值大學時可用微積分方法求之 u u u 則但故 u u e ˆ e ˆ u u 且 u 最小時殘差平分和最小 u u u u u 時有最小值即標準化後資料的最佳直線為 u 轉回資料故得原來即 4

17 方法二利用微積分方法求 : 找得殘差最小即是求出最佳的的估計值 e ˆ e ˆ 設 f f f 故最佳直線為即即 5

18 結論若將資料標準化後所求得的最佳直線之斜率即為相關係數問題. 若變數與的相關係數為零是否最佳直線的斜率為零?. 若最佳直線的斜率為零是否將資料標準化後之最佳直線的斜率也為零? 3. 若變數與原先為直線關係即相關係數為或是否將資料標準化後之最佳直線斜率只可能為或? 4. 若資料標準化後兩變數呈現直線關係問原本資料為何種關係? 定義. 迴歸直線最佳直線用於預測與估計 :. 對的迴歸式 : 其中 3. 預測值 : 給定 h 則的預測值為 ˆ h h 問題. 最佳直線必定經過資料平均數?. 將資料標準化後所求得的最佳直線必定經過原點? 說明. 平均偏差 ' 的形式與標準差 µ 相同但它們的意義不同平均偏差是由最適合直線上各的估計量 ' 與數據中的差的平均它的目的在判別最適合直線的代表性也是判別兩變數與的直線相關強度的指標. 因為 ' 故平均偏差 ' 6

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Microsoft Word - 94_2_stat_handout08_線性迴歸（考古題）.doc 8 第八章線性迴歸 ( 考古題 ) 006 年 4 月 9 日最後修改 8.1(94- 逢甲 - 國貿 ) (a) y = 7.776 1.77x (b) 006 陳欣得統計學線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-1 頁 β 表示 x 變動一單位會導致 y 變動 ˆ β = 1.77 單位, 即每增加 1,000 磅重量, 汽車每公升汽油行駛里程會減少 1.77 公里 (c) () (e) SSR 134.717