网络结构与效应原理

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1 第三章 : 计算社会学理论 博弈论 Game Theory 主 讲 : 郭斌副教授 单 位 : 西北工业大学计算机学院 陕西省嵌入式系统技术重点实验室 电 话 : 办公室 : 计算机学院 512B 房间 电子邮箱 : guobin.keio@gmail.com 个人主页 : 课程主页 :

2 博弈论 本课程强调复杂系统中的 连通性 社会连接层次 图论 行为相互影响 博弈论 博弈论是应用数学的一个分支, 目前在经济学 计算机科学 国际关系 政治学 军事战略和其他很 多学科都有广泛的应用

3 本章学习要点 博弈论基本概念 几种典型博弈的类型 体会 情景 博弈 求解 计算思维

4 博弈论 人们的决策结果不仅取决于他们如何在不同备选项之间选择 ; 还取决于与他们互动的其他人所做出的选择 例子 :

5 博弈 - 从一个例子开始 复习考试 还是 准备报告? 考试成绩可以预计 报告需要你和你的拍档合作完成 那么你该选择做什么呢?( 假设你和拍档各自独立考虑这个问题 )

6 例子 : 考试 - 报告 博弈 设你们都追求平均成绩的最大化 : 考试成绩可以预期 : 报告是你和你的拍档合作完成的 : 若一方复习考试, 另一方准备报告 :

7 收益矩阵 ( 表达收益的一种直观方式 ) 其中第一个数字是 你 的收益, 第二个是 拍档 的收益 ( 也称 回报,payoff)

8 博弈的基本要素 一般情况下, 博弈具有三个要素 : (1) 参与者 ( 至少两个 ); (2) 策略集 : 每个参与者都有一组关于如何行为的备选项, 此处备选项指参与者的可能策略 (3) 收益 ( 回报 ): 每个策略行为的选择, 都会使参与人得到一个收益

9 博弈行为推理的几点基本假设 每个参与人对博弈结构 ( 收益矩阵 ) 有充分了解 参与人都是理性的 (rational) 决策的独立性

10 考试 - 报告 博弈中的行为推理 严格占优策略 (strictly dominant strategy)

11 囚徒困境 假设有两个疑犯被警察抓住 并且被分开关押在不同的囚室 警察强烈怀疑他们和一场抢劫案有关 但是, 没有充足的证据 然而, 他们都拒捕的事实也是可判刑的 两个疑犯都被告知以下结果 :

12 囚徒困境 的收益矩阵 抵赖 疑犯 2 坦白 疑犯 1 抵赖 -1, -1-10, 0 坦白 0, -10-4, -4 疑犯 1 和疑犯 2 的严格占优策略都是 坦白 尽管如果两人都抵赖会都判得少些

13 兴奋剂 博弈 没服用 运动员 2 服用 运动员 1 没服用 3, 3 1, 4 服用 4, 1 2, 2 这种类型通常称为军备竞赛 竞争双方为保持彼此实力相当, 都会选择生产更具危险性的武器, 尽管对自己内部会有伤害

14 关于 收益 的讨论 ( 收益决定选择 ) 考试 - 报告 博弈, 如果降低考试难度 : 只要复习了, 就会得到 100 分 ; 否则, 也可得到 96 分 你的拍档 准备报告 复习考试 你 准备报告 98, 98 94, 96 复习考试 96, 94 92, 92 囚徒困境类似, 如果改变收益矩阵, 情况也可不一样

15 最佳应对与占优策略 设 S 是参与人甲的一个选择策略,T 是参与人乙的一个选择策略 在收益矩阵中的某个单元格对应这策略组 (S,T) 最佳应对 : 针对参与人乙的策略 T, 若参与人甲采用策略 S 产生的收益大于或等于自己的任何其他策略, 则称参与人甲的策略 S 是参与人乙的策略 T 的最佳应对 P 1 (S,T) P 1 (S,T), 其中, S 是参与人甲除 S 外的任何其他策略

16 严格最佳应对 若 S 会产生比任何应对策略 T 的其他策略都更高的收益, 则称参与人甲的策略 S 是对于参与人乙的策略 T 的严格最佳应对 P 1 (S,T)> P 1 (S,T)

17 占优策略与严格占优策略 定义 :( 从最佳应对角度给出 ) 如果参与人有严格占优策略, 则可预期他会采取该策略 ( 与基本假设的一致性 ) 注 : 占优策略的概念是相对于对方所有策略而言的

18 并不是每人总有严格占优策略 例子 : 营销战略 博弈

19 营销战略 博弈 假设 三星 廉价 诺基亚 高档次 廉价 0.48, , 0.4 高档次 0.4, , 0.08

20 博弈的行为推理 如果参与人都有严格占优策略, 则可以预计他们均会采取严格占优策略 ; 如果只有一个参与人有严格占优策略, 则这个参与人会采取严格占优策略, 而另一方会采取此策略的最佳应对 如果两个参与人都没有严格占优策略呢?

21 无占优策略例子 ( 三客户博弈 ) 假设有两家公司, 都希望和 A B C 三个大客户之一洽谈生意 每家公司都有三种可能的策略 : 是否找客户 A B 或 C 他们决策的条件如下所示 :

22 三客户 博弈的推理 收益矩阵 公司 2 A B C A 4, 4 0, 2 0, 2 公司 1 B 0, 0 1, 1 0, 2 C 0, 0 0, 2 1, 1 两家公司都没有严格占优策略

23 纳什均衡 假定参与人甲选择策略 S, 参与人乙选择策略 T 若 S 是 T 的最佳应对, 且 T 也是 S 的最佳应对, 则称策略组 (S,T) 是一个纳什均衡

24 三客户 博弈的纳什均衡 公司 2 A B C A 4, 4 0, 2 0, 2 公司 1 B 0,0 1, 1 0, 2 C 0,0 0, 2 5, 1 存在纳什均衡 :(A,A) 寻找纳什均衡的两种途径 :

25 多重均衡 : 协调博弈 多重均衡 -- 存在多个均衡 例子 : 协调博弈

26 协调博弈的推理 你的拍档 PPT Keynote 你 PPT 1, 1 0,0 Keynote 0,0 1,1 存在两个纳什均衡 :(PPT, PPT), (Keynote,Keynote) 如何预测协调博弈中参与人的行为? The strategy of conflict, Harvard Univ. Press, 1960.

27 不对等协调博弈 假设你和项目拍档都更喜欢使用苹果软件 你的拍档 PPT Keynote 你 PPT 1, 1 0,0 Keynote 0,0 2,2 谢林的聚点理论表明, 可以预测到参与人会精选策略, 倾向于收益情况更好的均衡

28 两人的喜好不同呢 假设你和你的拍档喜欢的软件不同 你的拍档 PPT Keynote 你 PPT 1, 2 0,0 Keynote 0,0 2,1 此时很难预测具体哪种均衡会被采取 可以通过了解他们之间平常发生冲突时解决的约定或惯例来预测

29 猎鹿博弈 假设两猎人外出猎物 若他们合作, 则可以猎到鹿 ( 这可以给猎者带来最高的收益 ) 猎人若分开单干, 都能猎到兔 若一方想单独猎鹿, 则收益是 0 另一方依然能猎到兔 猎鹿 猎人 2 猎兔 猎人 1 猎鹿 4,4 0,3 猎兔 3,0 3,3

30 多重均衡 : 鹰鸽博弈 假设两只动物要决定一块食物在彼此之间何如分配 每种动物都可以选择争夺行为 ( 鹰派策略 ) 或分享行为 ( 鸽派策略 )

31 鹰鸽博弈推理 鸽派 动物 2 鹰派 动物 1 鸽派 3, 3 1,5 鹰派 5,1 0,0 很难预测参与者的行为 纳什均衡概念能有助于缩小合理的预测范围, 但它并不能给出唯一的预测

32 几种典型多均衡博弈类型对比 你的拍档你的拍档 PPT Keynote PPT Keynote PPT 1,1 0,0 PPT 1,2 0,0 Keynote 0,0 2,2 Keynote 0,0 2,1 猎人 2 动物 2 猎鹿 猎兔 鸽派 鹰派 猎鹿 4,4 0,3 猎兔 3,0 3,3 鸽派 3,3 1,5 鹰派 5,1 0,0

33 简单博弈的推理思路 如果双方都有严格占优策略, 则都会采用之 如果只有一方有严格占优策略, 则可以预测另一方会采用此策略的最佳应对 如果不存在严格占优策略, 则寻找纳什均衡 如果不存在纳什均衡, 该怎么办?

34 混合策略 例子 : 硬币配对 - 零和博弈 (zero sum game) 参与人乙 正面 H 反面 T 参与人甲 正面 H -1,+1 +1,-1 反面 T +1,-1-1,+1 此时, 不存在一组互为最佳应对 ( 纳什均衡 )

35 混合策略的引入 引入随机性, 考虑参与人将以一定的概率分布在不同策略间进行选择, 一种分布对应一个 混合策略 ( 此时, 选择策略就是选择分布 ) 通常, 我们说

36 混合策略的收益 采用收益期望作为策略的回报测度 设参与人 1 采用概率 p 执行 H,1-p 执行 T, 则 : 若参与人 2 采用纯策略 H, 则其收益期望是 : 若参与人 2 采用 T, 则其收益期望是 类似地, 可讨论参与人 2 采用概率混合策略的情形

37 混合策略的均衡 : 互为最佳应对 在各自概率策略的选择下, 双方的收益期望互为最大 混合策略的纳什均衡 : 它是一对混合策略 (p,q), 彼此都是对方的最佳应对 ( 期望收益 ) 纳什的奠基性贡献 : 证明了具有有限参与者和有限纯策略集的博弈一定存在纳什均衡 ( 包括混合策略均衡 ) John Nash. Equilibrium points in n-person games, PNAS, USA, 1950.

38 混合策略的收益计算例子 用收益期望来表达回报参与人 2 正面 H(q) 反面 T(1-q) 参与人 1 正面 H -1,+1 +1,-1 反面 T +1,-1-1,+1 例如, 当参与人 2 采用策略 q 时, 若参与人 1 使用纯策略, 则他的回报分别为 : 如果系统不存在包含纯策略的均衡, 则上述两个表达式必须相等

39 硬币配对博弈的混合策略均衡 参与人 1 参与人 2 正面 H(q) 反面 T(1-q) 正面 H -1,+1 +1,-1 反面 T +1,-1-1,+1 设 (p,q) 是纳什均衡 对参与人 2 的策略 q, 对称地, 可以得到参与人 1 的最佳应对 p=1/2 因此,(1/2,1/2) 是一个混合策略纳什均衡 ( 符合直觉 )

40 硬币配对博弈分析 主动将行为随机化 当 A 认为 B 会在多于一半时间选择 H, 他一定会选择纯策略 T, 而这时 B 选择策略 H 的次数不会多于一半 因此无法达到纳什均衡 当 B 选择策略 q=1/2 时,A 的策略选择 H 或 T 无差别, 无便宜可占 引入随机化是由于每个参与者都先让对方无法预测自己行为, 从而不让对方从中占便宜 无差异原理 : 每个参与人都应该随机化自己行为, 是对方在两个策略中取舍无差异

41 混合策略 : 进一步的例子 持球 - 抛球博弈 进攻方 防守方 防守抛球 拦断持球 抛球 0,0 10,-10 持球 5,-5 0,0

42 持球抛球博弈的混合策略均衡 这是一个没有纯策略纳什均衡的博弈 设防守方选择防守抛球的概率为 q 防守方防守抛球 (q) 拦断持球 (1-q) 进攻方 抛球 0,0 10,-10 持球 5,-5 0,0 进攻方选择抛球的期望收益 :0*q+10(1-q) 进攻方选择持球的期望收益 :5q+0*(1-q) 依无差异原理, 令 10-10q=5q, 解得 q=2/3

43 持球抛球混合策略均衡 ( 续 ) 进攻方选择抛球的概率为 p 防守方防守抛球拦断持球 进攻方 抛球 (p) 0,0 10,-10 持球 (1-p) 5,-5 0,0 防守方选择防守抛球的期望收益 :-5(1-p) 防守方选择拦断持球的期望收益 :-10p 令 -10p=-5(1-p), 解得 p=1/3 于是, 这个博弈的混合策略均衡为 (1/3,2/3)

44 讨论 进攻方 防守抛球 (2/3) 防守方 拦断持球 (1/3) 抛球 (1/3) 0,0 10,-10 持球 (2/3) 5,-5 0,0 为什么抛球有可能收益更大, 而均衡中进攻方选择抛球的概率只有 1/3? 为什么进攻方在均衡的抛球概率只有 p=1/3, 但防守方还要更多的防守抛球?

45 例子 : 罚点球博弈 2002 年, 有人做了一项有关罚点球研究 L 守门员 R 射球方 L 0.58, ,-0.95 R 0.93, ,-0.70 统计数据 可以看到, 罚球方总是有赢头 ( 符合实际 )

46 发点球博弈的混合策略均衡 L(q) 守门员 R 射球方 L(p) 0.58, ,-0.95 R 0.93, ,-0.70 计算得到的均衡 : 实战统计得到的数据 :q=0.42, p=0.40

47 兼具纯策略和混合策略均衡的博弈 例子 : 不平衡的协调博弈你的拍档 PPT(q) Keynote 你 PPT(p) 1,1 0,0 Keynote 0,0 2,2 除了两个纯策略均衡 (PPT,PPT) 和 (Keynote, Keynote ) 外, 还存在一个混合策略均衡 :q=2(1-q), q=2/3; p=2(1-p), p=2/3 假如你相信搭档会以 2/3 选择 ppt,1/3 选择 Keynote, 则你在这两个策略之间实际无差异 无论怎么选择, 收益期望相同

48 考试 - 报告博弈没有混合策略 你的拍档准备报告复习考试 你 准备报告 复习考试 90, 90 86, 92 92, 86 88, 88

49 混合策略均衡的概率也可能恰好取在端点 你的拍档 PPT Keynote 你 PPT 1,2 0,2 Keynote 0,0 2,1 (1, 2/3) 为混合均衡 从收益矩阵也能看出, 当你采取 PT, 对手有什么都无差异纯策略均衡不等价概率恰好取端点的混合策略均衡!

50 帕累托最优和社会最优 个体最优 与 整体最优 帕累托 (Pareto) 最优 你 你的拍档 准备报告 复习考试 准备报告 90, 90 86, 92 复习考试 92, 86 88, 88 这个例子中, 存在三个 Pareto 最优, 但都不是均衡

51 社会最优 定义 : 一组策略选择是社会最优 ( 或社会福利最大化 ), 若它使参与者的回报之和 ( 总收益 ) 最大 你 你的拍档 准备报告 复习考试 准备报告 90, 90 86, 92 复习考试 92, 86 88, 88 ( 报告, 报告 ) 是社会最优 社会最优也一定会是帕累托最优

52 社会最优和纳什均衡有可能一致 按照下面的收益矩阵,( 报告, 报告 ) 既是社会最优也是纳什均衡 你的拍档 准备报告 复习考试 你 准备报告 98, 98 94, 96 复习考试 96, 94 92, 92

53 弈求解用博弈论思想分析问题 情述收景益描矩阵博 理解不同博弈的类型, 以及求解的基本方法重要 (science) 均衡是一个基本目标 将问题 ( 情景 ) 要求准确抽象成收益矩阵至少同样重要 (art)

54 End of Chapter 3.2 Contact:

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