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贝池鲍
7 years ago
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1 第一章概論 ( 邏輯集合數 ) 邏輯集合因數與倍數無理數與實數複數 1

2 1.1 邏輯 2

3 命題法命題 : 因果關係的探討當命題若 p 則 q 是正確時, 稱 p 為 q 的充分條件,q 為 p 的必要條件當若 p 則 q 成立且其逆命題若 q 則 p 也成立, 則 p是 q 的充要條件, q 也是 p 的充要條件 3

4 命題法歸謬證法 : 要證若 p 則 q 的命題, 可以假設 p 成立而 q 不成立, 然後推出這樣的假設下所導致的矛盾反證法 : 要證若 p 則 q, 只要證明若 q不成立, 則 p 不成立即可 4

5 原命題 :p 逆命題 :q 命題法否 ( 定 ) 命題 :~ p ~q q p 逆否命題 ( 對偶命題 ):~q q ~p 等價命題 : 例 p q 與 q p 為等價命題 5

6 簡易邏輯推理 ( 一 ) 條件 : 神只說真話, 惡魔只說謊話, 人類有時說真話有時說假話有時說假話 A 說 : 我不是神 -- B 說 : 我不是惡魔 -- C 說 : 我不是人類 -- A B C 各代表誰呢? Ans: A- 人,B- 惡魔,C- 神 6

7 簡易邏輯推理 ( 二 ) 有一戶人家遭小偷光顧, 經查證結果, 確為三兄弟中的一人所為三人辯解分別如下 : 條件 1 長男 : 我不是竊賊次男 : 三男不是竊賊三男 : 我承認我是竊賊條件 2 再仔細交叉比對查證, 三人中有兩人說謊, 誰是竊賊? Ans: 長男 7

8 簡易邏輯推理 ( 三 ) 這個框框裡有四段文字, 請問哪一個敘述是正確的 1. 這個框框裡有一段不正確的文字 2. 這個框框裡有二段不正確的文字 3. 這個框框裡有三段不正確的文字 4. 這個框框裡有四段不正確的文字 Ans: 3 8

9 Ex.1 數學兼哲學家伽利略於西元 1632 年出版對話錄一書觸怒教廷, 後來在他 70 歲時, 接受宗教法庭審判且於該年被判終身監禁, 之後在獄中過世, 享年 78 歲出版對話錄一書到過世是伽利略人生中最灰暗的 10 年伽利略年輕時發明十倍率的的望遠鏡, 並於次年發現木星的歐羅巴衛星, 發明望遠鏡到出版對話錄算是伽利略人生中的黃金歲月, 這段時間之長剛好是他發現衛星時年紀的一半根據上面的敘述, 請問下列有關伽利略生平的敘述, 哪些是正確的? 9

10 (A) 出生於西元 1566 年 (B) 在 45 歲時發明 10 倍率的望遠鏡 (C) 在西元 1610 年發現歐羅巴衛星 (D) 在 68 歲時出版對話錄 (E) 於西元 1644 年過世 Ans: B,C,D 10

11 Ex.2 試判斷下列各命題的對或錯, 並說明其理由 1. x 是實數, 若 x = 2, 則 x 2 = 4 2. x 是實數, 若 x 2 x = 0, 則 x =1 3. 若 ABC 為等腰三角形, 則 B= C C 4. 若 A 為鈍角, 則 ABC 為鈍角三角形 5. 直角三角形中, 恰有一個角為 a, b 是正實數, 若 a =b, 則 a 2 b 2 7. a, b 是實數, 若 a > 3 且 b > 3, 則 a + b > 5 8. a, b 是實數, 若 a <4 或 b<5 5, 則 a +b<9 9. 過 ABC 之重心的直線, 必為 ABC 之一中線 10.a, b 是實數, 若 ab = 0, 則 a = 0 且 b = 0 11

12 Ans. 1. 對因 x = 2 時,x 2 = 2 2 = 4 2. 錯因 x 2 x = x (x 1) = 0 x = 0 或 x =1, 此時並非 x =1 不可 3. 錯因等腰三角時, 有可能是 A = B 或 A = C 4. 對因鈍角三角形中, 僅有一個鈍角 5. 對這是一個明顯的事實 6. 對因 a, b 均為正實數,a=b b a 2 = b 2, 而 a 2 b 2 表 a 2 = b 2 或 a 2 < b 2, 只要其一即可 7. 對因 a > 3,b > 3 a+ b > = 6 > 5 8. 錯因 a < 4 或 b < 5 時, 只要有一個成立即可此時, 若 a = 3,b =10, 則 a+ b =13 就不會小於 9 9. 錯因過重心的任一直線並不一定要通過三頂點之一, 故不一定為中線 10. 錯因 ab =0 a=0 或 b=0, 並不需要 a, b 二者均為 12 0

13 集合簡介 1.2 集合集合 : 集合是由一些明確而可鑑定的東西所組成的群體元素 : 組成集合的每一個要素若 a 是集合 S 的一個元素, 可記為 a S 若 a 不是集合 S 的一個元素, 可記為 a S 子集 : 若集合 S 的每一個元素都是集合 T 的元素, 則稱 S 為 T 的一個子集, 記為 S T 或 T S 空集合 φ: 不含元素的集合補集 ( 餘集 ):A =U-A {x x A}(U 為宇集 ) 13

14 集合的運算交集 :S T = {x x S 且 x T} 聯集 :S T = {x x S 或 x T} 差集 : S \ T = {x x S 但 x T} 14

15 集合的運算笛摩根定律 1. (A B) = A B 2. (A B) = A B 15

16 EX.1 試求下列各組集合 A, B 的交集 A B 與聯集 A B 1. A = {1, 2, 3, 4, 5},B = {1, 3, 5, 7, 9} 2. A = {a, b, c},b = {1, 2, 3} 3. A = [-2, 3),B = (1, 5] 4. A={x x 為整數,x 為 2 的倍數 }, B = {x x 為整數,x 為 3 的倍數 } 5. A = {x x 2 3x + 2 =0}, B= {x x 2 5x + 6 = 0} 16

17 Ans. 1. A B = {1,3, 5}, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} 2. A B = φ, A B = {a, b, c, 1, 2, 3} 3. A B = (1, 3), A B = [-2, 5] 4. A B={x x x 為整數,x 為 6 的倍數 }, A B = {x x 為整數,x 為 2 或 3 的倍數 } {, -6, -4, -3, -2, 0, 2, 3, 4, 6, } 5. x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) = 0 x = 1 or 2 A = {1, 2}, x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) = 0 x = 2 or 3 B = {2, 3}, 故 A B = {2},A B = {1, 2, 3} 17

18 EX.2 設 a b 為二實數, 二集合 A={(x, y) ax 2 = 8}, B={(x, y) x + by = 5}, 若 A B ={(2,1)}, 則數對 (a, b) = Ans: 將 x=2 y=1 代入 A B 二式可得 (5, 3) 18

19 1.3 因數與倍數定義 : 設 a,b Z, 若存在一整數 q, 使得 a =bq, 則稱 b 為 a 的因數, 而 a 為 b 的倍數, 以 b a 表示性質 : (1)a,b,c, Z, 若 a b 且 b c, 則 a c (2)a,b,c Z, 若 a b 且 b c, 則對任意的 m,n Z, a bm +cn 倍數的判定 : 設 n 為正整數 (1) n 為 3(9) 的倍數 n 的個位數字為 3(9) 的倍數 (2) n 為 5 的倍數 n 的個位數字為 0 或 5 (3) n 為 11 的倍數 n 的奇數位與偶數位的各數字和其差為 11 的倍數 19

20 因數與倍數質數的判定法則 : 設 n 為大於 1 的正整數, 若所有不大於 n 的質數均不為 n 的因數, 則 n 必為質數 n 為質數, 若 n= p q, ( p, q 為正整數 ) 則 p,q 必有一數為 1 最大公因數與最小公倍數 : (1).a,b N, 若 (a,b) = d, a = dh, b = dk, [a,b]= dhk. (a,b) [a,b]= ab. (2).a,b,q,r Z, 若 a = bq + r, 則 (a,b) = (b,r). 或 (a,q) = (q,r) 20

21 EX1. 設 a, b 都是三位正整數, 若 (a, b) =36, [a, b] =540, 求 a, b 之值設 a, b 為正整數, 若 a-b =30, 且 [a, b] =225, 求 a, b 之值 Hint: 設 (a, b) =d 且 a =hd, b =kd, 則 (h, k) =1, 且 [a, b] =dhk, 此性質是處理最大公因數與最小公倍數相關問題的有效方法 21

22 Ans: (a, b) = 36 a = 36h,b b =36k, 其中 (h, k) =1 [a, b] =540 且 [a, b] =36hk 36hk = 540 hk =15 (h, k) =1 h a k b a,, b 為三位數令 (a, b) = d, 且 a=hd, b= kd, 則 (h, k) = 1 (h k, hk)= 1 a b = 30 hd kd =30 (h k)d =30 [a, b] = 225 hkd = 225 (h k, hk)=1 d = (30, 225) = 15,hk=225/15=15 (h, k) = 1 h = 5,k = 3, 故 a = 75,b = 45 22

23 EX2. 設 a =504, 試求 : 1) a 之標準分解式 2) a 之質因數個數 3) a 之正因數個數 4) a 之正因數之總和 5) a 之正因數為完全平方者有幾個? 6) a 之正因數中為 3 的倍數者有幾個? 23

24 Ans. a = a 之質因數有 2, 3, 7 共 3 個 a 之正因數個數為 (3 +1)(2 +1)(1+1) = 24 a 之正因數之總和為 ( ) ( ) ( ) = (2 4-1)/(2-1) (3 3-1)/(3-1) (7 2-1)/(7-1) = = 1560 a = = , 且 a 之正因數中為完全平方者就是 (2 2 ) 1 (3 2 ) 1 的正因數 (2 2 ) 1 (3 2 ) 1 之正因數有 (1+1)(1+1) = 4 個 a = = 3( ) 有正因數 3 p p 為之正因數而之正因數 p 有 (3 +1)(1+1)(1+1) ) =16 個 a 之正因數中為 3 之倍數者有 16 個 24

25 25

26 有理數 1.4 無理數與實數 (1) 定義 : 設 a,b 為整數,b b 0, 數可表為 a/b 者稱為有理數, 其集合以 Q 表之 EX. 2/3 3/5 7=7/ 有理數須滿足之三個條件可以化成分數分母與分子均為整數分母 0 有理數可包括整數 ( 含正整數 0 負整數) 與分數 ( 含循環小數與有限小數 ) (2) 封閉性 :a,b Q,b 0, 則 a ±b,a b, a/b Q 26

27 EX2. 1) 3 為有理數嗎? 2) 0 為有理數嗎? 3) 0.1, 0.25, 0.363, 為有理數嗎? 4) 0.2, 0.28, 0.28, 0.123, 為有理數嗎? 令 X= X= X=28 X=28/99 27

28 1.4 無理數與實數 (3) 定義 : 有理數與無理數所成的數系稱為實數系, 以 R 表之在實數系中不是有理數就是無理數, 如 π e.. 請將下列各數分類成有理數無理數整數自然數實數 0.123, 0, 3,, π,, 5e, 0.9, 5/6, 8/2, 2/2 / 28

29 1.4 無理數與實數 (4) 絕對值 : (a) 設 a R, a = a, a 0 = -a, a<0 (b) 設 a R, (a 2 )= a (c) 設 a,b R, a + b a+b, a - b a-b 29

30 複數 1.5 複數 (1) 定義 : 設 a,b R, 形如 :a +bi 的數, 稱為複數, 其中 a 稱為實部,b 稱為虛部 (2) 複數相等 : ab a,b, c, d R, 若 a+bi=c+di +, 則 a=c, b =d 30

31 共軛複數與複數的絕對值 (1) 定義 : 1.5 複數設 a,b R, Z = a + bi, 則 Z = a bi 為 Z 之共軛複數 i 2 = 1;i 3 = 1;i 4 = 1 (2) 性質 : 設 Z 1, Z 2 為複數, 則 a Z 1 ± Z 2 = Z 1 ± Z 2 b Z 1 * Z 2 =Z 1 * Z 2 c (Z 1 /Z 2 ) =Z 1 /Z 2 d Z Z 2 =Z*Z e Z n = Z n 31

32 1.5 複數 32

33 1.5 複數 33

34 1.5 複數 + 34

35 條件 : 1. 有五間房屋排成一列 2. 所有房屋的外表顏色都不一樣 3. 所有屋主都來自不同國家 4. 所有屋主都養不同寵物 5. 所有屋主都喝不同飲料 6. 所有屋主都抽不同廠牌的菸請問誰養魚? 提示 : 1. 英國人住在紅色房屋裏. 2. 瑞典人養狗. 3. 丹麥人喝茶. 4. 綠色的房屋在白色房屋的左邊. 5. 綠色房屋的屋主喝咖啡. 6. 抽 PALL MALL 香煙的屋主養鳥. 7. 黃色屋主抽 DUNHILL 香煙. 8. 位於最中間的屋主喝牛奶. 9. 挪威人住在第一間房屋裏. 10. 抽 BLEND 的人住在養貓人家的隔壁. 11. 養馬的屋主隔壁是抽 DUNHILL 香煙. 12. 抽 BLUE MASTER 的屋主喝啤酒. 13. 德國人抽 PRINCE 香煙. 14. 挪威人住在藍色房屋隔壁. 15. 只喝開水的人家住在抽 BLEND 的隔壁. 35

Microsoft Word - 1-1泰宇解答

Microsoft Word - 1-1泰宇解答學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年班座號 : 姓名 : 得分 : 一單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)