單元6　小數及循環小數的性質

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1 單元 6 小數及循環小數的性質 6 小數 (decials) 的概念小數 (decials) 雖然是小學數學課程中的一個課題, 但它的很多有趣特性, 大家在小學都不一定有機會接觸到現在就讓我們從小數的定義及分類開始吧! 定義 6 一個小數的整數部份如果為 0, 則它稱為純小數 (pure decials); 一個小數的整數部份如果不是 0, 則它稱為混小數或帶小數 (ixed decials) 例是純小數 ; 是混小數思考題 6 試判斷以下語句的真假 a) 純小數乘以純小數, 它的積必定是純小數 b) 混小數必大於或等於 c) 如果一個數小於, 那麼當它以小數表示時, 這小數必是純小數頁 8 之

2 6 小數的分類有人會把小數分成兩類有盡小數 (teriatig decials) ( 例如 ) 及無盡小數 (o-teriatig decials) ( 例如 0 34 & & π ) 你對這個分類有些甚麼意見? 思考題 6 a) 你認為 09 和是完全相等嗎? 為甚麼? b) 有人認為所有有盡小數都可以用無盡小數的方式表示, 例如 , , 你同意嗎? 為甚麼? c) 你能定義有盡小數和無盡小數嗎? d) 有人把有盡小數和無盡小數以下述的方式界定對一個小數 y, 如果存在自然數使得 y 0 可以用整數方式表示, 則 y 是有盡小數 ; 否則,y 是無盡小數你對這個定義有些甚麼意見? 無盡小數可進一步區分為循環小數 (recurrig decials) ( 例如 0 0, 4 4 ) 和不循環小數 (o-recurrig decials) ( 例如 π , ) 要表示循環小數時, 我們通常只須寫出循環小數中不循環部份和第一個循環節, 而在這循環節的頁 8 之

3 最左和最右的數字上則各記一點 ( 這個點稱作循環點 ) 例如如果循環節只得一個數字, 就記一個點循環小數又可進一步分作純循環小數 (pure recurrig decials) ( 即循環節從小數點右方第一位開始的循環小數, 例如 0 93 &, 40, ) 和混循環小數 (ixed recurrig decials) ( 即循環節不是從小數點右方第一位開始的循環小數, 例如 07 0, 34, ) 思考題 6 試判斷以下語句的真假 a) 有些小數是既無盡又不循環的 b) 由於 9, 所以也可被視為循環小數 c) 有盡小數必是不循環小數 d) 循環小數必是無盡小數頁 8 之 3

4 63 化分數為小數利用除法, 我們可以把分數化為小數, 例如把 3 除以 6 便可把化為 6 有些分數化為小數後, 它是一個有盡小數, 例如另一 6 3 些分數化為小數後, 它是一個無盡小數, 例如究竟, 哪些分數可以化作有盡小數? 哪些可化作無盡小數? 我們可不可以不真正進行除法便事先知道一個分數會否化作有盡小數? 另外, 一個分數化成分數後, 它會不會是無盡不循環小數? 定理 63 一個分數的分母如果可以化成 0 的乘冪, 則這個分數必可化成有盡小數思考題 63 a) 試證明上述定理 63 b) 一個分數的分母如果沒有和 5 以外的正質因數, 則它必可化作有盡分數你同時這說法嗎? 為甚麼? 頁 8 之 4

5 習作 63 試判斷下列那些分數可化作有盡小數 a) b) c) d) 對任何一個整數, 當它被正整數 a 除時, 它的餘數不外乎 0 a 這 a 個數由此, 我們便可推論到以下的定理定理 63 一個分數化作的小數必是有盡小數或無盡循環小數思考題 63 試利用闡釋上述定理 63 3 在上面我們分析過分母沒有和 5 以外的正質因數的情況現在就讓我們考慮其他的情況頁 8 之 5

6 例 63 分數的分母包含了 3 和 7 這兩個正質因數把是一個循環小數 & 化成小數, 它例 63 分數 3 的分母包含了和 7 這兩個正質因數把它化成小數, 它是 4 一個循環小數從上述例子可見, 一個最簡分數的分母如果包含了和 5 以外的正質因數, 它化成小數後, 必定是一個循環小數問題是, 我們能否在計算這些小數前便能判斷它屬於哪種循環小數呢? 定理 633 設 a a 為最簡真分數如果 b 和 0 互質, 則可以化作純循環小數 ; 如果 b b b 有和 5 以外的正質因數且不和 0 互質, 則 a 可以化作混循環小數 b 思考題 633 你能解釋 ( 或證明 ) 上述定理 633 嗎? 另外, 其中最簡真分數若改為真分數或分數 ; 或正質因數改為質因數, 定理是否依然成立呢? 頁 8 之 6

7 習作 63 試判斷下列哪些分數可化作純循環小數及哪些分數可化作混循環小數 a) b) c) d) 頁 8 之 7

8 64 化小數為分數把有盡小數化作分數, 十分容易, 我們在小學都應該學過了例例從上述例子可見, 把有盡小數化為分數, 分母是 0 的方冪, 其指數與原小數的小數點右方的位數相同, 分子即原小數去掉小數點所成的整數, 即 0 a a a a 3 a a a a 0 3 把純循環小數化作分數, 方法也不複雜例頁 8 之 8

9 例為甚麼把純循環小數化作分數, 其分母必定是 99K9 呢? 以 03為例, 設 (0 3 ) 利用同樣方法, 我們可得定理 64 aaa3 a 0 a aa3 a 個至於混循環小數, 化作分數的方法跟上述的方法有不少共通之處頁 8 之 9

10 例例 ( ) 例頁 8 之 0

11 從上述例子的運算原理, 我們可推得定理 64 個 678 aaa3 a 0000a aa3 a 個個定理 b b b a a a a 3 bb baaa3 a bb b 個個習作 64 試把下列小數化作最簡分數 a) b) c) d) e) 思考題 64 哈利認為所有大於 0 但不大於的循環小數都可化作真分數老師說哈利錯了, 你知道原因嗎? 頁 8 之

12 65 循環節的長度如果兩個最簡分數 ( 其中 > ) 都可化作循環小數, 根據以下的結果 : 對任何一個整數, 當它被正整數 a 除時, 它的餘數不外乎 0 a 這 a 個數我們可推論 : 這兩個循環小數的循環節長度都分別不會超過和, 但由此我們不能推論前者的循環節一定比後者的長例和都可化作循環小數, 雖然 7 > 3, 但 , 因此, 7 的循環節的長度只有 3 而的循環節的長度卻是 6 3 一個最簡分數的循環節長度, 究竟與分母和分子有甚麼關係呢? 以下就讓我們深入分析這方面的問題吧! 思考題 65 考慮化作循環小數後的循環節長度, 從而引申出一般的情況一個最簡分數的循環節的長度全賴於分母而與分子無關頁 8 之

13 定理 65 如果分數節長度必然一樣可化作循環小數,p q 為自然數, 則分數 p 5 q 與的循環例 , 循環節的長度為循環節的長度也是思考題 65 試解釋 ( 或證明 ) 上述定理 65 習作 65 計算以下分數化作小數後其循環節的長度 a) b) c) d) 頁 8 之 3

14 定理 65 如果分數可化作循環小數, 則其循環節的長度是 k, 其中 k 是滿足 ( 或 0 k ) 的最小自然數 k 個例 653 已知 99 3, 即 99 且 9 化作循環小數後的循環節長度是同理, 33 化作循環小數後的循環節長度也是思考題 653 試解釋 ( 或證明 ) 上述定理 65 綜合上述定理, 我們可得到以下的一個推論定理 653 設一個最簡分數的分母, 形如 p 5 q, 其中 k >, 而且 k 不包含或 5 的因數, 則其小數表示中, 不循環部份的長度為 ax(p,q), 而循環節的長度為 k, 其中 k 是滿足 ( 或 0 k ) 的最小自然數 k 個頁 8 之 4

15 習作 65 利用下表, 計算下列分數化作循環小數後, 其循環節的長度表 65: 數值因式分解 (3 )() (3 )(37) (3 )()(0) (3 )(4)(7) (3 )(7)()(3)(37) (3 )(39)(4649) (3 )()(37)(0)(37) (3 4 )(37)(333667) (3 )()(4)(7)(909) (3 )(5339)(649) (3 )(7)()(3)(37)(0)(990) (3 )(53)(79)( ) (3 )()(39)(4649)(90909) 頁 8 之 5

16 a) b) c) d) e) 思考題 654 試解釋 ( 或證明 ) 上述定理 653 除了利用 0 k 的因數求循環節的長度外, 我們也可以利用歐拉函數 (Euler s totiet fuctio) 判斷循環節的長度定義 65 設為自然數的歐拉函數值 φ () 為小於且和互質的自然數的個數, 其中 φ () 被定義為例 654 小於且和互質的自然數有, 所以 φ () ; 小於 3 且和 3 互質的自然數有, 所以 φ (3) ; 小於 4 且和 4 互質的自然數有 3, 所以 φ (4) ; 小於 5 且和 5 互質的自然數有 3 4, 所以 φ (5) 4 頁 8 之 6

17 習作 653 試計 a) φ (6) b) φ (7) c) φ (8) d) φ (), 其中為質數定理 654 假如最簡分數的因數 a 中分母 b 不含或 5 這因數, 其循環節的長度必是 φ (b) b 例 655 φ () 若化作小數的循環節長度為 k, 則 k 因此,k 或事實上,, 即 k 頁 8 之 7

18 思考題 655 a) 證明 φ (p k ) p k (p ), 其中 p 為質數,k 為正整數 b) 計算 i) φ (7) ii) φ (7) iii) φ (89) c) 小章認為分數你認為小章對嗎? 為甚麼? 化為循環小數後, 其循環節的長度一定小於 09, 89 頁 8 之 8

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72075(BOC A Share)_入cover同back cover.indb 2015 32 3 20142014 2015630 201516 2014 1 2015630 20141231 73,858 85,123 (1) 1,651,951 1,727,805 (2) 126,744 158,224 (3) 396,199 420,059 2,248,752 2,391,211 (1) 2015630 18.5%2014123120.0%5.0%2014 12315.0%

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