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牵彩戎
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1 大學指考落點預測與實證分析 1 任眉眉 2 陳日昇 1 林家立 1 國立成功大學統計學系 2 國立成功大學計算機與網路中心摘要落點分析是大學指定考試分發入學前, 考生選填志願的重要輔助工具, 該分析主要建立在前後兩年學生對校系基礎評價不變的前提下我們 [1] 於九十四學年度首次以統計理論探討該前提假設是否成立, 並應用九十二和九十三學年度聯分會及大考中心公佈的相關資料, 進行實證研究在前文中, 我們直接假設所有考科成績均具有常態分佈, 且變異數均相同, 進而應用連續兩學年度各考科成績的中位數各校系之指考科目加權權重前一學年度各校系最低錄取加權總分等資料, 建立一個落點預測模型本文主要提出一個驗證各考科成績是否具有常態分佈的統計推論, 並進一步估計各考科成績常態分佈的平均數與變異數, 再根據這些估計值修正前文中的落點預測模型另外, 本文亦以多變量分析理論, 探討前文中採用線性迴歸模型作為落點預測模型的合理性, 並依據預測區間的原理, 首次建立評估落點分析準確度的方法最後, 我們針對九十三到九十六學年的資料進行實證分析, 說明我們所建立的預測模型具有相當高的準確度, 並首度完成一個多年大學指考分發結果的具體研究關鍵詞 : 最低錄取加權總分, 常態分佈, 多變量分析, 線性迴歸模型, 預測區間, 準確度美國數學協會分類索引 : 主要 62J05 ; 次要 62P25

2 大學指考落點預測 2 1. 前言為了導引考生在大學選填志願時能符合自己的性向, 使各大學能夠依據自己的特色招收適才學生, 遂於民國八十八年六月確定所謂的考招分離, 多元入學方案, 並於民國九十一學年度首次實施大學多元入學方案歷經多年修正, 目前各校系均要求考生需參加學測檢定, 且各校系採計考試科目的加權權重逐年修正因應這種變革, 考生如何運用歷年來聯合分發會 ( 簡稱聯分會 ) 所公佈的各校系最低加權錄取總分, 及當年度大考中心所公佈的各單一考科成績累計表 ( 含頂標前標均標後標和底標等五標 ), 在一千六百多個校系中, 依序填選出符合自己志願, 又能夠避免高分低就的校系? 每年大學指考成績寄發以後, 坊間都會推出很多免費或收費的落點分析, 但是多數做過落點分析的考生都覺得效果不顯著如何評估各種落點分析的準確度? 這也是一個有趣的研究問題基於推廣統計應用的理念, 我們 [1] 曾於九十四學年度首次以統計理論與方法, 提出一個落點預測模型進而寫成一個有效的電腦落點分析軟體和操作手冊, 置放於成大統計系網頁上 [4], 提供考生及家長一個免費且高效率的選填志願參考基本上, 落點分析是建立在前後兩年學生對校系基礎評價不變的前提假設下, 落點分析效果不顯著的主要原因, 可能是各校系前後兩個年度採計科目的權重有些修正, 也可能是考題難易度有所不同 [1] 中, 我們首次以統計理論探討該前提假設是否成立, 並應用九十二和九十三學年度聯分會及大考中心公佈的資料, 進行實證研究文中, 我們直接假設所有考科成績均具有常態分佈 (normal distribution), 且變異數 (variance) 均相同進而應用連續兩學年度, 大考中心公佈的各考科成績的中位數 (median) 各校系之指考科目加權權重, 及聯分會公佈的各校系最低錄取加權總分等資料, 建立一組評價指標, 應用這些評價指標的相關係數, 探討該前提假設是否成立接著, 依據這些評價指標的線性迴歸模型, 建立一個落點預測模型前文中, 我們直接假設所有考科成績均具有為常態分佈, 因此本文首先探討如何驗證各考科成績具有常態分佈我們將應用大考中心所發佈的各單一考科考生成績累計表, 提出驗證各考科成績具有常態分佈的統計方法, 並進一步估計各考科成績分佈的平均數 (mean) 與變異數, 再根據這些估計值, 修正前文中的評價指標及落點預測模型另外, 本文亦以多變量分析理論, 探討 [1] 中採用線性迴歸模型作為落點預測模型的合理性, 並依據預測區間的原理, 首次建立評估落點分析準確度的方法最

3 大學指考落點預測 3 後, 我們針對九十三到九十六學年的資料進行實證分析, 說明我們所建立的預測模型具有相當高的準確度在第 2 節中, 我們主要探討落點預測中的統計模型與統計推論, 首先定義一些符號及各校系的評價指標, 然後說明如何應用校系評價指標來驗證前提假設成立再探討如何驗證各考科成績是否服從常態分佈, 及常態分佈中平均數與變異數的估計方法並在常態分佈下, 探討採用線性迴歸模型作為落點預測的合理性最後, 在線性迴歸模型下, 依據預測區間的原理, 建立評估落點分析準確度的方法在第 3 節中, 我們將針對九十三到九十六學年度大考中心與聯分會所公佈的資料, 先剔除新一學年度新增及加考術科的校系後, 再依所有校系一起或分成 19 個學群來分別討論, 配合第 2 章的統計理論逐步進行實證分析 2 統計模型與分析聯分會所公佈的各校系最低錄取加權總分, 是依據各校系採計考試科目的權重計算, 採計科目愈多或權重愈大, 均會導致最低錄取總分有被灌水的可能性前文建議使用加權平均, 作為比較前後兩年學生對校系基礎評價是否改變的評價指標, 並假設各考科成績分佈為常態分佈由於不同年度各考科題目難易度不同, 且同年度各考科題目難易度也不盡相同, 本節主要探討如何應用大考中心所發佈的各單一考科成績累計表 ( 含頂標前標均標後標和底標, 分別表示各考科第 88% 75% 50% 25% 和 12% 考生的成績 ), 驗證前文中各考科成績服從常態分佈的假設, 並進一步估計該常態分佈的平均數與變異數其次, 我們利用估計的平均數與變異數, 調整因題目難易度及採計考試科目權重不同所造成的差異, 提出一個修正的評價指標及落點預測模型, 據此準確地預估各校系新年度最低錄取加權總分 2.1 符號定義首先, 令 i = 1,, 9 分別代表各考試科目 ( 國文英文數甲數乙歷史地理物理化學和生物 ) 針對某固定年度某固定考科, 令 X 代表考科成績, 則 E(X) = µ 及 V ar(y ) = σ 2 分別代表該考科成績分佈的平均數與變異數若連續考慮 J 年, 再令 µ ij 與 σij 2 分別代表年度 j 考科 i 成績分佈的平均數與變異數,

4 大學指考落點預測 4 i = 1, 2,, 9, j = 1,, J 在不失通常性下, 我們假設不同年度所有考科成績間互相統計獨立 (statistically independent) 針對某固定校系, 令 X ij 代表該校系年度 j 最低錄取總分考生考科 i 之成績, w ij 代表該校系年度 j 考科 i 之加權權重, w ij 的可能值為 0, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0, 則 9 T j = w ij X ij 代表年度 j 聯分會所公佈的該校系最低錄取加權總分由於 T j 的平均數為 9 9 µ Tj = E( w ij X ij ) = w ij µ ij, i=1 i=1 ik=1 表示加權計分方式不同, 會導致錄取總分有被灌水的可能性, 而且在所有考科成績間互相統計獨立的假設下, 其變異數為 9 σt 2 j = V ar( w ij X ij ) = i=1 9 wij 2 σ2 ij. i=1 註 : 我們沒有全部考生的成績, 此獨立假設無法進一步驗證是否成立由於不同年度各考科題目難易度不同, 且同年度各考科題目難易度也不盡相同, 因此我們將不同年度該校系的最低錄取加權總分標準化後 (standardize), 再作為各校系的評價指標以供後續研究用, 亦即 Z j = T j µ Tj σ Tj = 9 i=1 w ij(x ij µ ij ) 9 i=1 w2 ij σ2 ij, (1) 則我們有 E(Z j ) = 0 且 V ar(z j ) = 1, j = 1, 2,, J 實務應用上, 由於大考中心並未公佈各考科的平均數與變異數, 我們將於 2.3 節中提出 µ ij 與 σ 2 ij 的估計方法 2.2 前提假設的驗證及應用為了提升落點分析的準確性, 在落點分析預測前, 需先檢驗前提假設前後兩年學生對校系基礎評價不變是否成立本研究的預測模型適用於某一學群或學類, 亦可以將全部校系一併考量, 令 K 為該學群或學類中校系總數我們採用 [1] 中的作法, 在連續兩年放榜後, 考量某校系連續兩年, 標準化後的最低錄取加權指標

5 大學指考落點預測 5 (Z 1, Z 2 ) 透過觀察 (Z 1k, Z 2k ), k = 1,, K 的散佈圖 (scatter plot), 我們可以初步暸解上述前提假設是否成立, 亦可進一步應用 Z 1 與 Z 2 的相關係數 (coefficient of correlation) r Z1,Z 2 = K k=1 (Z 1k Z 1 )(Z 2k Z 2 ) K k=1 (Z 1k Z 1 ) 2, K k=1 (Z 2k Z 2 ) 2 來探討 Z 1 與 Z 2 的相關性, 其中 Z j = K k=1 Z jk/k 若前後兩年評價指標 (Z 1k, Z 2k ), k = 1,, K 的線性相關程度高, 即代表前提假設前後兩年學生對校系基礎評價不變成立若我們進一步假設所有考科成績具有常態分佈, 經由 2.4 節中的理論探討, 我們即可合理地應用簡單線性迴歸模型 (simple linear regression model) E(Z 2k Z 1k ) = β 0 + β 1 Z 1k, k = 1,..., K, (2) 透過對 β 0 和 β 1 的統計推論研究, 建立一個合理的落點分析的統計預測模型有關線性迴歸模型分析理論, 請參考 [6] 事實上, 若各考科成績確實服從常態分佈, 則我們可應用多重線性迴歸模型 (multiple linear regression) E(Z Jk Z 1k,, Z (J 1)k ) = β 0 + β 1 Z 1k + + β J 1 Z (J 1)k, k = 1,..., K. (3) 透過對 β 0, β 1,, β J 1 的研究, 利用歷年資料 (Z 1,, Z J 1 ) 建立一個 Z J 的落點預測模型, 詳見 2.4 節有關如何驗證線性迴歸模型中的假設各考科成績服從常態分佈, 我們會在 2.3 節中提出一個新的統計方法, 並在第 3 節中, 針對九十三到九十六學年度的資料, 進行實證分析 2.3 常態假設的驗證及參數估計在 2.2 節中, 我們先假設所有考科成績具有常態分佈, 進而建立落點預測模型 (2) 本節我們將介紹如何應用大考中心所發佈的, 各單一考科考生成績累計表中的 n 個 p- 百分位數 (pth percentile), 來驗證各考科成績服從常態分佈的假設, 並進一步估計各考科成績常態分佈的平均數與變異數為了簡單起見, 文中我們僅應用各單一

6 大學指考落點預測 6 考科考生成績的五個 p- 百分位數 ( 頂標前標均標後標和底標 ) 來說明並進行資料分析常態假設的驗證假設某考科成績具有常態分佈, 以 X N(µ, σ 2 ) 表之, 則 Z = X µ σ N(0, 1). 注意 : Z = X µ σ X = µ + σz (4) 令 x p 表示該成績分佈的 p 百分位數, 則大考中心所發佈的各單一考科考生成績的五標 (n = 5, 頂標前標均標後標和底標 ), 分別記作 x pi, 其中 p 1 = 88 p 2 = 75 p 3 = 50 p 4 = 25 p n = 12 對應於標準常態分佈, 我們可以查表找出 z pi 值, 根據 (4) 式我們應該有 x pi = µ + σz pi, i = 1, 2,, n. 因此, 如同 2.2 節中的作法, 我們可以先針對 (x pi, z pi ), i = 1, 2,, n 製作散佈圖若呈現直線關係, 即可進一步應用簡單線性迴歸模型 E(X pi z pi ) = µ + σz pi, i = 1, 2,, n 來估計該考科成績分佈的平均數與變異數, 並透過殘差分析 (residual analysis) 了解上述模型的配適度如果僅用五個資料點 (n=5), 執行簡單線性迴歸分析比使用散佈圖具有說服力由於 Z pi 值對應於標準常態分配, 若殘差平方和相當小時, 即表示考科成績 X 確實服從常態分佈參數估計若考科成績 X 服從常態分佈, 則其平均數與變異數的估計方法及性質如下 : 考慮線性迴歸模型 X pi = µ + σz pi + ε i, ε i i.i.d. N(0, ν 2 ), i = 1, 2,, n. (5)

7 大學指考落點預測 7 根據線性迴歸分析理論 [6], 我們有模型中斜率 (slope) σ 及截距 (intercept) µ 的最小平方估計量 (least square estimator) 表示如下 : σ = P (zpi z p)(x pi x p) P (zpi z p) 2 µ = x p σ z p. 令 e i = X pi X pi = X pi µ σz pi, i = 1,, n 且 s 2 = n i=1 e i 2 /n 2, 則在模型 (5) 下, 我們有 µ µ s/ n t(n 2) 且 σ σ s/ n i=1 (z t(n 2) p i z p ) 2 其中 t(r) 表示自由度為 r 的 t- 分佈查表可知各個 z pi 值, 當僅使用五標時, 依據對稱性, 我們有 z p1 = z p5, z p2 = z p4, z p3 = 0 且 zpi = 0 進一步化簡後可得 µ 與 σ 的估計量 2.4 常態假設與線性迴歸模型 σ = P zpi x pi P z 2 pi, (6) µ = x p 本節主要探討在 2.2 節中所述, 假設所有考科成績均具有常態分佈下, 模型 (2) 成立的合理性首先, 假設歷年來所有考科成績 X ij 均服從常態分佈, 則 (1) 中的評價指標具有標準常態分佈, Z j N(0, 1), j = 1,, J 令 Z = (Z J, Z J 1,, Z 1 ), 則 Z 服從多變量常態分佈, 亦即 Z MN J (0, I), 其中期望值向量 0 = (0,, 0) 為 J 維零向量, 共變異方陣 (covariance matrix) I J 為 J J 單位矩陣根據多變量分析理論, 我們知道若 X = (X (1),X (2) ) MN p (µ, Σ) 服從 p 維多變量常態分佈, 其中 X (1) 為 q 維隨機向量, X (2) 為 p q 維隨機向量, 同理令 µ = (µ (1), µ (2) ) 且 Σ = Σ 11 Σ 12, 則給定 X (2) = x (2) 之下, X (1) x (2) 仍然服從 Σ 21 Σ 22 q 維多變量常態分佈, 其期望值及共變異方陣分別為 E(X (1) x (2) ) = µ (1) + Σ 12 Σ 1 22 (x (2) µ (2) ) = ν(x (2) ), (7) E{[X (1) ν(x (2) )][X (1) ν(x (2) )] x (2) } = Σ 11.2 = Σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ 21. (8)

8 大學指考落點預測 8 有關多變量分析理論, 詳細請參考 [5] 若 Z = (Z (1),Z (2) ) MN J (µ, Σ), 其中 Σ = [σ ij ], 令 Z (1) = Z J, Z (2) = (Z J 1,, Z 1 ), (7) 式即多重線性迴歸模型 (3) 當 J = 2 時, 令 µ j = E(Z j ), σ 2 j = V ar(z j), ρ 為 Z 1 與 Z 2 的相關係數, 則我們有 E(Z 2 z 1 ) = µ 2 + ρ σ 2 σ 1 (z 1 µ 2 ) = (µ 2 ρ σ 2 σ 1 µ 1 ) + ρ σ 2 σ 1 z 1 此即為模型 (2) 特別是當 µ j = 0, j 時, (7) 式可進一步表示為 E(Z J z 1,, z J 1 ) = Σ 12 Σ 1 22 (z J 1,, z 1 ), (9) 此結果即說明我們將在 2.5 節中, 採用常數項為 0 的線性迴歸模型 (11), 做為落點預測模型的合理性值得一提的是, 在 ρ ij ρ, i, j = 1,, J 的特殊情形行下, 我們可以推得 (8) 式與 (9) 式的精簡結果, 證明過程如下 : 首先我們有 x ρ ρ ρ x ρ 性質 1: 令 A n n =, 則 A 的行列式為 A = (x+(n 1)ρ)(x ρ) n ρ ρ x 證明 : x ρ ρ ρ x ρ ρ x ρ = (x + (n 1)ρ) ρ ρ x ρ ρ x ρ x ρ 0 = (x + (n 1)ρ)... ρ 0 x ρ = (x + (n 1)ρ)(x ρ) n 1, 故得證

9 大學指考落點預測 9 1 ρ ρ ρ 1 ρ 系 1: 當 Σ J J = 時, 其行列式為 Σ = (1 + (J 1)ρ)(1 ρ) J ρ ρ 1 性質 2: 令 I n n 為單位矩陣, E n n = [e ij ] 為所有元素均為 1 的矩陣, 則 (pi + qe) 1 = 1 p (I q E), p + nq 0. p + nq 證明 : 因為 E 2 = ne, 我們有 (pi + qe) 1 p (I q p + nq E) = I + q p E + q p + nq E + q 2 p(p + nq) E2 = I + = I. q(p + nq) pq nq2 E p(p + nq) 同理 1 p (I q p + nq E)(pI + qe) = I, 故得證系 1 中, Σ J J = (1 ρ)i + ρe, 依據性質 2 我們有系 2: 系 1 中, Σ 1 J J = 1 (1 ρ) [I ρ 1 + (J 1)ρ E]. 由於 Σ 22 可表為一個型如 (1 ρ)i + ρe 的 J 1 階方陣, 依據系 2 我們有系 3: (8) 式中, Σ = (1 ρ) [I ρ 1 + (J 2)ρ E]. 同時, Σ 12 = (ρ,, ρ) 為一個 J 1 維的列向量, 直接計算可得 Σ 12 Σ 1 22 = 代入 (8) 式及 (9) 式, 我們有性質 3: J 2, E(Z J z 1,, z J 1 ) = ρ (1, 1,, 1), 1 + (J 2)ρ ρ 1 + (J 2)ρ (z J z 1 )

10 大學指考落點預測 10 及 Σ 11.2 = 1 (J 1)ρ2 1 + (J 2)ρ. 2.5 預測模型的準確度綜合言之, 根據歷年的資料, 我們可以依循下列步驟逐步進行統計資料分析步驟 1. 經由 2.3 節的估計方法, 先探討年度 j 考科 i 在簡單線性迴歸模型中, 截距 µ ij 與斜率 σ ij 的估計量 (6) 及其準確性進一步將 (6) 代入 (1) 中得到年度 j 各校系的評價指標 9 Z j = T j 9 i=1 w ijˆµ ij, j = 1, 2,..., J. (10) i=1 w2 ijˆσ2 ij 步驟 2. 在建立落點預測模型前, 我們應用 2.2 節中所提出的方法, 針對 K 個校系連續兩年的資料 (Z jk, Z (j+1)k ), k = 1,, K, 進行驗證前後兩年學生對校系的基礎評價不變的前提假設是否成立步驟 3. 在前提假設成立下, 考慮簡單線性迴歸模型 (2), 探討虛無假設 β 0 = 0 及 β 1 = 1 是否成立, 透過相似於節中的 t 分佈, 執行 t 檢定以便建立落點預測模型步驟 4. 若應用歷年資料檢定後, 虛無假設 β 0 = 0 及 β 1 = 1 均成立, 則在新年度的放榜前, 我們直接預估新年度的 ˆβ0 = 0 且 ˆβ1 = 1 亦成立因此針對每個校系 k, 我們採用 Ẑ j+1 = ˆβ 0 + ˆβ 1 Z j = Z j 來預測新年度 (j + 1) 各校系的最低加權錄取總分 ˆTj+1, i.e. ˆT j+1 9 i=1 w i(j+1)ˆµ i(j+1) 9 i=1 w2 i(j+1)ˆσ2 i(j+1) 9 = T j 9 i=1 w ijˆµ ij. (11) i=1 w2 ijˆσ2 ij

11 大學指考落點預測 11 步驟 5. 最後, 我們將進一步探討各校系新年度預測值 Ẑ j+1 值的準確度, 以作為落點預測模型 (11) 準確度的衡量準則根據迴歸分析理論, 在模型 (2) 下, 給定特定觀測值 z 1 後, Z 2 的 (1 α)100% 預測區間為 Ẑ 2 ± t α/2 (K 2) MSE K + (z 1 z 1) 2 K k=1 (z 1k z 1 ) 2. 例如九十六年放榜後, 若 (Z 95, Z 96 ) 合乎線性模型, 今有某特定值 z 95, 則 Z 96 的預測區間為 ˆβ 0 + ˆβ 1 z 95 ± t 0.025(K 2) MSE 95, K + (Z 95 Z 95 ) 2 K k=1 (Z 95k Z 95 ) 2 其中 K = 1434 為九十五的年校系的總個數, MSE 95,96 為利用 (Z 95, Z 96 ) 所建立的迴歸分析中的 MSE (mean square error) 但在放榜前, 當年度各校系的最低錄取加權總分是未知的, 所以 Z 96 是未知的, 故以 ˆβ0 = 0, ˆβ 1 = 1 代入得 Z 96 之預測值 Ẑ 96 = Z 95, 同理 MSE 95,96 也無法得知, 故本文利用前兩年的迴歸模型的標準誤來替代, 也就是以 MSE 94,95 去替代 MSE 95,96, 因此我們有 Z 96 的 95% 預測區間為 Z 95 ± t (K 2) MSE 94, K + (Z 95 Z 95 ) 2 K k=1 (Z 95k Z (12) 95 ) 2. 在第 3 節中, 我們將透過資料實證分析, 顯示 MSE 94,95 與 MSE 95,96 差異不大, 此即說明放榜前, 以前兩年的迴歸模型的標準誤來替代的合理性在聯分會公佈九十六年各校系的最低錄取加權總分後 ( 放榜後 ), 我們可以得到 Z 96 的真實值, 並依據 Z 96 落入預測區間 (12) 的比例, 作為我們提出的落點預測模型準確度的衡量準則 3 資料分析在本節中我們將收集九十三至九十六學年度, 聯分會及大考中心所公佈的各校系之指考科目加權權重各單一考科考生成績累計表, 及各校系最低錄取加權總分

12 大學指考落點預測 12 等資料, 依循 2.5 節中的步驟, 進行實證分析首先應用大考中心在放榜前公佈的各考科成績之五標, 估計各考科成績分佈的平均數與變異數, 進而訂立各校系的評價指標, 依此去驗證落點分析的前提假設成立, 再建立落點預測模型, 最後評估我們提出的落點分析模型的準確度我們將使用兩年為一組的資料進行分析, 如 : 九十三與九十四年九十四與九十五年九十五與九十六年為了資料完整性及一致性, 我們先剔除各學年度新增校系及加考術科的校系, 再將這些校系分成 19 個學群, 對所有校系或依各個學群分類, 進行資料分析 3.1 估計各考科成績分佈的平均數與標準差 [1] 中我們直接假設考科成績服從常態分佈且變異數相等, 在 2.3 節我們提出如何應用各單一考科考生成績累計表中的 n 個 p- 百分位數 (pth percentile), 來評估常態分佈假設是否合理, 並進一步估計各考科成績的平均數與變異數經過多年資料收集與分析, 表 1 詳列各年度之估計值與真值, 其中真值來自大考中心網頁 [3] 上的年度報告研究表 1 中可看出平均數的估計值與真實值很接近, 在標準差部分, 由於每年各考科難易度不同, 所以估計值與真實質的差距也有所不同, 例如 : 數乙在 94 年標準差的估計值就比 95 年來的精確經過比較可知, 節估計方法非常簡單且有效 3.2 驗證前提假設並建立預測模型針對各年度 j, 進一步將 (6) 代入 (1) 中得到各校系的評價指標 Z j 如 (9) 在建立落點預測模型前, 我們應用 2.2 節中所提出的方法, 利用連續兩年的資料 (Z jk,z (j+1)k ), k = 1,, K 驗證前後兩年學生對校系的基礎評價不變的前提假設是否成立我們針對九十三年至九十六年度的資料進行分析, 表 2 詳列各學群中資料的相關係數在各學群中, 相關係數值大致皆大於 0.95, 此結果進一步說明前後兩年的評價指標 (Z j, Z j+1 ), 明顯地高線性相關, 因此驗證落點分析的前提假設成立在假設所有考科成績均具有常態分佈下, 接著我們探討 2.4 節的理論, 驗證並建立前後兩年度評價指標的線性迴歸模型首先根據連續兩年 (Z jk, Z (j+1)k ), k = 1,, K 的散佈圖均顯示模型 (2) 合理接著, 我們進行模型 (2) 中虛無假設 H 0 : β 0 = 0 與 H 0 : β 1 = 1 的統計檢定令 t 1 表示 H 0 : β 0 = 0 的檢定統計量值, t 2 表示

13 大學指考落點預測 13 H 0 : β 1 = 1 的檢定統計量值, 表 3 顯示在考量不同學群下, 九十五與九十六年資料 (Z 95, Z 96 ) 在模型 (2) 下的相關統計量, 其中 ˆβ0 均相當靠近 0 且 ˆβ1 均相當靠近 1, 其餘年度亦有相似結果, 請參看技術報告 [2] 因此我們在各年度放榜前, 以 β 0 = 0, β 1 = 1 去建立預測模型, 針對各校系 k 採用 (11) 來預測新年度各校系的最低加權錄取總分 3.3 預測區間及其準確度本節僅呈現九十五與九十六年度資料 (Z 95, Z 96 ) 的處理結果, 其餘年度亦有相似結果, 請參看技術報告 [2] 經由 2.5 節的探討, 我們知道 MSE 95,96 於放榜前無法得知, 故以 MSE 94,95 去估計 MSE 95,96, 但放榜後可計算得到 MSE 95,96, 實際資料分析顯示 MSE93,94 = , MSE 94,95 =0.1680, MSE 95,96 = 接著, 在取得 Z 95 資料後, 即可利用 (12) 式去計算 Z 96 的 95% 預測區間例如 : 國立台灣大學數學系的 Z 95 = , 且經由 (Z 94, Z 95 ) 資料我們得知, MSE9495 = 0.168, 全部校系個數 K = 1434, Z95 = , 1434 i=1 (Z 95i Z 95 ) 2 = , 則該校系 Z 96 的 95% 預測區間為 ± = ( , ) ( ) 但在聯分會公佈九十六學年度各校系的最低錄取總分後, 即可以得到 Z 96 的實際值, 圖 1 為 Z 96 與其 95% 預測區間的關係圖我們觀察到多數落於預測區間的校系, 其評價指標介於之間, 此結果說明了對於評價指標中或中上的校系, 我們的預測值是正確的 ; 但是針對評價極優或極差的校系, 我們的預測較不準確表 4 列出九十六學年度所有校系依 Z 96 排序後, 前 20 個校系的預測值 Ẑ 96 預測區間的上下界是否有落入預測區間內最低錄取加權總分的估計值 ˆT 與實際值 T 的整理結果, 以供比較, 可更強化對本研究的方法及結果的瞭解實際上, 在 1434 個校系中共有 1088 個校系落於此預測區間內, 準確比例為 75.87%, 表 5 進一步提供針對部份學校而言, 本預測模型的準確比例, 其餘學校的預測準確率詳列於技術報告 [2] 4 結論

14 大學指考落點預測 14 95% conf. interval for Z Z 95 圖 1 Z 96 與其 95% 預測區間的關係圖在大學放榜前, 選填志願的考生往往求助於落點分析, 而落點分析主要建構在學生對校系前後兩年基礎評價不變的前提假設下自民國九十一年首次實施所謂的考招分離, 多元入學方案, 入學方式逐年修改, 我們 [1] 首次應用統計理論, 定義各年度各校系的評價指標, 並依據該指標驗證落點分析的前提假設成立進一步應用大考中心與聯分會發佈的各單一考科考生成績累計表, 各校系之指考科目與加權方法, 及前一年度校系的最低錄取加權總分, 寫成一個有效的電腦落點分析軟體, 置放於統計網路學習館網頁上 [4] 供免費下載本文利用統計理論驗證 [1] 中, 考科成績具有常態分佈的假設, 並應用大考中心所公佈的五標, 去估算不同年度各考科成績分佈的平均數與變異數, 藉此修正之前的評價指標與預測模型最後我們引用預測區間來評估本預測模型的準確度多數校系在新一年度最低加權錄取總分的預測表現還不錯, 但對於校系評價較高或較低的校系預測較不精確尤其在九十六年度, 評價指標較低的校系, 其預測值與實際值差異相當大本文提供一個完整的大學指考落點預測理論基礎, 經過連續四年實際收集資料後, 進行逐步的實證分析, 說明我們提出的落點預測模型具有相當高的準確度, 並首度完成一個多年大學指考分發結果的具體研究參考文獻

15 大學指考落點預測任眉眉陳日昇詹嘉豪 (2005) 統計與落點分析 : 大學指考選填志願的輔助利器中國統計學報, 第 43 卷第 2 期, 2005 年 6 月, 任眉眉陳日昇林家立 (2008) 變異數調整後的大學指考落點預測分析 Technical Report No. 75, Department of Statistics, National Cheng-Kung University 3. 大考中心的網頁 ( 4. 成大統計系統計網路學習館網頁 ( 5. T. W. Anderson (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, 3rd ed., John Wiely & Sons, New York. 6. John Neter, Michael H. Kutner and William Wasserman (1996). Applied Linear Regression Models, 3rd ed., McGraw-Hill College.

16 大學指考落點預測 16 表各年度各考科平均數與標準差的估計 ˆµ 與 ˆσ 國文英文數甲數乙歷史地理物理化學生物 96 年 ˆµ ˆσ m e µ σ 年 ˆµ ˆσ m e µ σ 年 ˆµ ˆσ m e µ σ 年 ˆµ ˆσ m e µ σ 當年度各考科之平均數 µ 標準差 σ 之資料, 為大考中心網頁所提供 [3] 2 ˆµ ˆσ 為利用本文方法所估計出的當年度各考科之平均數與標準差 3 m e = x p3 為中位數

17 大學指考落點預測 17 表 2 九十三年至九十六年度評價指標的相關係數分類 K( 總數 ) r Z93,Z 94 K r Z94,Z 95 K r Z95,Z 96 所有校系大眾傳播學群工程學群文史哲學學群外語學群生命科學學群地球環境學群法政學群社會心理學群建築設計學群財經學群教育學群資訊學群農林漁牧學群管理學群數理化學群醫藥衛生學群藝術學群體育學群其他學群

18 大學指考落點預測 18 表 3 九十五與九十六年在模型 (2) 下的相關統計量分類總數 ˆβ0 ˆβ1 t 1 t 2 R 2 所有校系大眾傳播學群工程學群文史哲學群外語學群生命科學學群地球與環境學群法政學群社會與心理學群建築與設計學群財經學群教育學群資訊學群農林漁牧學群管理學群數理化學群醫藥衛生學群藝術學群體育學群其他學群

19 表 4 依 Z 96 排序, 前 20 個校系的相關資料學校科系 Z 96 Ẑ 96 預測區間上界預測區間下界是否有落入 ˆT96 T 96 國立臺灣大學醫學系 ( 自費 ) 國立臺灣大學醫學系 ( 公費 ) 國立陽明大學醫學系 ( 自費 ) 國立成功大學醫學系國立陽明大學醫學系 ( 公費 ) 長庚大學醫學系國立臺灣大學牙醫學系國立臺灣大學電機工程學系臺北醫學大學醫學系 ( 自費 ) 臺北醫學大學醫學系 ( 公費 ) 慈濟大學醫學系 ( 公費 ) 國立臺灣師範大學特殊教育學系 ( 公費 ) 高雄醫學大學醫學系 ( 公費 ) 國立臺灣大學物理學系國立陽明大學牙醫學系高雄醫學大學醫學系 ( 自費 ) 國立臺灣大學材料科學與工程學系國立交通大學電機資訊學士班慈濟大學醫學系 ( 自費 ) 輔仁大學醫學系大學指考落點預測 19

20 大學指考落點預測 20 表 5 九十六學年度部分大學 Z 96 落在預測區間內的百分比例學校名稱落入預測區間個數校系總數比例 (%) 國立臺灣大學國立臺灣師範大學國立中興大學國立成功大學東吳大學國立政治大學高雄醫學大學中原大學東海大學國立清華大學中國醫藥大學國立交通大學淡江大學逢甲大學國立中央大學中國文化大學靜宜大學大同大學輔仁大學國立臺灣海洋大學國立高雄師範大學國立彰化師範大學國立陽明大學

21 大學指考落點預測 21 Statistical Forceasting After the College Entrance Examination with Real Data Mei-Mei Zen 1, Zue-Seng Chen 2 and Chia-Li Lin 1 1 Department of Statistics, National Cheng-Kung University 2 Computer and Network Center, National Cheng-Kung University ABSTRACT After the yearly College Entrance Examination, an examinee always faces the problem of selection and priority of certain departments for advance study. Under the assumption that the test scores of all nine subjects follow normal distributions with the same variance, we [1] established an index for each student to represent the possibility of entering any interested department. In this paper, we make the statistical inference about the normal assumption first. Then we derive the parameter estimators of the normal distribution. Using the estimates, we adjust our previous index to be more reasonable. Moreover, our forecasting model is supported through multivariate analysis and prediction intervals. As a pioneer study, a four-year real data is collected and applied to support our theoretical results. Key words and phrases : Weighted score, normal distribution, multivariate analysis, linear regression, prediction interval, accuracy. AMS 2000 subject classifications: Primary 62J05; secondary 62P25.

臺灣獎學金計畫學校聯盟清單 Association of Taiwan Scholarship Program 號次 No. 區域 Area 學校名稱 University 受理外國學生入學申請期間 Aapplication Deadline 電話 Contact Tel. 電子郵件學

臺灣獎學金計畫學校聯盟清單 Association of Taiwan Scholarship Program 號次 No. 區域 Area 學校名稱 University 受理外國學生入學申請期間 Aapplication Deadline 電話 Contact Tel. 電子郵件學 1 大同大學 Tatung 3/1~4/30 02-2592-5252 #2458 wongmrk@ttu.edu.tw http://www.en.ttu.edu.tw 2 3 國立政治大學 National Chengchi 國立陽明大學 National Yang-Ming 1/10~3/31 12/1~4/30 02-29393091 #62040 02-2826-7000 #2244 alison@nccu.edu.tw