Microsoft Word - 10_線性代數_2012_0212.doc
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- 宸 管
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1 線性代數 - 基本觀念 矩陣之定義與矩陣種類. 任何 個的數值 有規則排列成一長方形陣列 稱為矩陣 (tr) [ ] j () 代表列數 (row) 代表行數 (colu) () j 代表第 列 第 j 行之元素 () 其階 (order) 為 階. 方矩陣若一矩陣行數等於列數 亦即 = 時 則稱為階 或 階方矩陣. 列矩陣 (row tr) 若一矩陣僅有一列元素 亦即 = 稱為列矩陣或列向量 (row vector) 例如 : [ ] 及 = [ j ] = [ ]. 行矩陣 (colu tr) 若一矩陣僅有一行元素 亦即 = 稱為行矩陣或行向量 (colu vector) 例如 : 及. 零矩陣 [ ] j 若一矩陣之所有元素均為零時 稱為零矩陣. 單位矩陣若一方矩陣對角線元素均為 其餘為 時 稱為單位矩陣 例如 : I 通常以 I 表 ( ) 單位矩陣
2 7. 三角矩陣 (trgulr tr) () 若一方矩陣 其元素 j = (I > j) 則稱為上三角矩陣 (upper trgulr tr) () 若一方矩陣 其元素 j = ( < j) 則稱為下三角矩陣 (lower trgulr tr) 8. 對角矩陣凡對角線元素以外之元素皆為零 稱為對角矩陣 9. 轉置矩陣 (trspose tr) 將一 ( ) 矩陣 之行 列互換 得一新矩陣 此新矩陣稱為 之轉置矩陣 以 或 ' 表示 例如 : 則. 對稱矩陣 (syetrc tr) 若方矩陣 = 亦即 j = j 則稱為 為對稱矩陣 例如 : 及
3 . 反對稱矩陣若方矩陣 = 亦即 j = j 則稱 為反對稱矩陣 依定義知 反對稱矩陣之對角線上之所有元素必均為零 意即 = j 時 = 所以 = 例如 : 及. Herte ( 赫密特 ) 矩陣若方矩陣 ( 為 之共軛矩陣 ) 亦即 j = * j 則稱 為 Herte 矩陣 例如 : 則 而 * Herte 矩陣對角線上之元素必為實數. 反 Herte 矩陣若方矩陣 亦即 j = * j 則稱 為反 Herte 矩陣 例如 : 而 反 Herte 矩陣對角線上所有之元素必為純虛數. 正交矩陣 (orthogol tr) 若實方矩陣有 = = I 則稱 為正交矩陣 例如 : cos s s cos 則 cos s s cos
4 而 cos s s cos cos s cos s s cos s cos. 單式矩陣 (utry tr) 若一方矩陣 滿足 = = I 則稱 為單式矩陣. 任意矩陣 可表示為對稱矩陣 B ( ) 與反對稱矩陣 C ( ) 之和 E. Whch o the ollowg trces re hert: () () () 7 解 () = 故 為 Herte 矩陣 () 故 不為 Herte 矩陣 () 7 7 = 故 為 Herte 矩陣 E. 試證下列矩陣為正交矩陣 cos s 解 s cos cos s s cos cos s s cos I
5 為正交矩陣 - 矩陣的運算. +B = B+ +B 矩陣為矩陣 與矩陣 B 所對應元素之和. (B+C)= B+C 矩陣 與矩陣 B 可相乘積之條件為矩陣 之行數與矩陣 B 之列數需相等 令矩陣 C = [C j ] p C = B 其中 = [ j ] B = [b j ] p 即矩陣 C 中第 列 第 j 行之元素 c j 為矩陣 中第 個列向量與矩陣 B 中第 j 個行向量之乘積 即 c j B j b j b j b j k k b kj. ( BC) ( B) C 證明 設 [ j ] [ bj ] p B C [ cj ] pq 令 D = BE = DC 則 E = (B)C 又 F = BCG = F 則 G = (BC) 又 d j j B B C j j k p b c k j b kj e g j D C F j k p d c e j = g j E = G 故 (B)C = (BC) j j k kj j p p k k k b k k c b k j c j. ( ) =. (k) = k. (+B) = +B 7. (B) = B 8. (BC) = C B 9. 矩陣 的跡 (trce) 以 trce() 表示 定義為對角元素之和 即
6 trce () ( ). 若 B = C 則 B = C( 不一定成立 ) 若 存在 則 B = C. 若 B = 則 = 或 B = ( 不一定成立 ) E. 若 解 z y w w w y 試求 y z 及 w =? y y 原式變成 : z w z w w 利用矩陣相等 各相對應元素需相等之性質 可知 z zw y y ww 解出 y z w E. 已知 B 求 () B() B =? 解 () 8 B () B 9 H.W. 試證 :(B)C = (BC)BC 均為矩陣 8 年台大機械所 H.W. 試證 :() (B+C) = B+C 8 年中原電子所 () (B) = B 8 年清大機械所 H.W. 設 試求 () () =? 8 年交大光電所 <s> () () H.W. 令 () =? () =? () 若 () = -+ 試求 () =?
7 8 年交大機械所 <s> () () () () 7 - 行列式. 定義 : 若 為 階方矩陣 則其行列式以 或 det() 表示 定義成 = det( ). 子行列式 (or): 將行列式中第 列及第 j 行之元素刪去 子行列式以 M j 表示. 餘因式 (coctor): 餘因子 j 定義為 j = () + j M j. 行列式之展開 : det j j j j j 稱之為 Lplce 展開式. 若矩陣 B 均為 階方陣 則恆有 B B B. 7. 若矩陣 中有某一行 ( 或列 ) 其元素皆為零 則 = 8. 若矩陣 B 為自矩陣 中任一交換二行或二列所得之矩陣 則 B = 9. 一陣列 中 若某一列為另一列之 k 倍 ; 或某一行為另一列之 k 行 則 = 其中 k = 常數. 行列式經由行或列之運算其值不變. det (B) = det () det (B). 為上三角或下三角矩陣時 det () = 其中 及 為 之對角線元素. () 若 為 矩陣 為 之第 列元素 M k M k M k 為 之第 k 列元素之餘因式 則 M k + M k + + M k = () 若 j j j 為 之第 j 行之元素 M k M k M k 為 之第 k 行元素之餘因式 則 j M k + j M k + + j M k = * 任一 矩陣 的行列式均可由 的任一列或任一行的餘因式來展開 7
8 8 * + 號的排列 : E. 若 = =? 7 年清華計管所 解 = = 8 ) ( E. 若 B 求 det(b) =? 78 年台大資訊所 解 = B 7 B B E. 設 = 求 det() =? 解 det () = +
9 9 = + = = = H.W. 若矩陣 = t t t 設 = 試求 t =? 8 年交大工工所 <s> t = H.W. 若 = 試求? <s> H.W. 試求下列矩陣 的行列式之值 () = 8 8 年交大機械所 (b) = 年屏科大 <s> () (b)
10 H.W. 試求 det (D) =? 9 8 etbook - E.7 <s> H.W. 試求 det (D) =? 年台科大電機所甲組 <s> 8 H.W. 試求 det (D) =? 88 年交大機械所乙組 <s> H.W.7 已知矩陣 = 試求 ) det () =? ) det ( ) =? ) 的固有值為何? ) 矩陣共具有幾個線性獨立的固有向量? 88 年成大航太所 <s> ) det () = ) det ( ) = ) ) 個 H.W.8 已知 b b c c b c c b b c c b b c 試求 以及 之值 =? <s> - 反矩陣若方矩陣 B 具有下列關係 :B = B = IB = 即稱 B 為 之反矩陣 凡具有反矩陣之方陣稱之為可逆矩陣 否則稱為不可逆. 若方矩陣行列式值為零 即 則稱該矩陣為奇異性矩陣 否則稱為非其異性
11 矩陣. 矩陣 之伴隨矩陣 (djot tr) 定義為 dj [ j ] 其中 j 為矩陣 之餘因 式. 反矩陣 dj. 反矩陣之性質 : () ( ) () ( B) B ( BC) C B () ( ) ( ) () () dj( ) () ( B) B (7) ( ) E. 試求 = 之反矩陣 79 交大電子所 7 解 7 dj () = 7 7 dj( ) E. 已知 為非奇異方陣 試證 :( ) ( ) 7 台大電機 7 年台大材研 87 中央土木 解 ( ) ( ) I 故 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) I I
12 E. 試求反矩陣 =? 已知 = 8 中央電機 解 增廣矩陣如下 : ~ ~ ~ ~ I 故 I
13 H.W. 試求反矩陣 =? 79 年台大大氣科學所 8 年交大材料所 <s> () () 7 H.W. 已知 = 試求反矩陣 =? 87 年中山海洋所 <s> = 高斯消去法與 Crer Rule 設有聯立線性方程式 ( 個未知數 個方程式 ) 如下 : b b b 如用矩陣表示 則為 X = B 其中 b b b b b b b B X 稱為係數矩陣 b 稱之為擴大 ( 增廣 ) 矩陣 (ugeted tr) Guss 法即是以 b 擴大矩陣運算使之形成為上三角矩陣形式 Crer 法
14 設有 個未知數 個方程式之聯立線性方程組 即 = B 其中 則該方程組具有唯一解 且 ) ( j C j j 其中 C j 代表 中第 j 行由 B 取代時之行列式值 * 名詞解釋. Cosstet: 一線性方程式系統若至少有一解時 稱之為 Cosstet Syste [ 有唯一解或可能有無限多組解 ]. Icosstet: 線性方程式系統無解時稱之 * 求解步驟 ) 某一方程式乘上非零之常數 ) 改變方程式之順序 ) 某一式乘上非零之常數後加至其他式子 E. 求解聯立方程式 解 ) 改變方程式順序 : () ) 第一式 ( ) 加至第二式 : ) 第一式 ( ) 加至第三式 : 9 ) 第二式 (/): 9 ) 第二式 () 加至第一式 :
15 9 ) 第二式 () 加至第三式 : 9 7) 第三式 : 9 * 至此 利用反代法 (Bck Substtuto) 即可求出 = = 8) 第三式加 至第二式 : 9) 第三式加 () 至第一式 : * 基本列運算後所產生的新方程式組或增廣矩陣與原方程式 ( 或原 ugeted tr) 互為 列等效 (Row Equvlet) Elto Method. Guss elto ( 高斯消去法 ): 利用列化簡法將增廣矩陣化簡成列梯型式 (Row-echelo or) 方法 :) 非零列的第一個非零元素為 ) 所有非零列 其第一個非零元素 之位置依序向右移位一行位置 ) 全為零之列安排在矩陣的最下層. Guss-Jord elto ( 高斯 - 喬丹消去法 ) 方法 : 前三步聚同上法 但
16 ) 含第一個非零元素 的那一行其他元素均再消去為零 E. Echelo For ( 列梯型式 ) Guss Elto 7 Guss-Jord Elto * 基本列運算符號. R j : 第 與 j 列互換. cr : 第 列乘上常數 c. cr + R j : 第 列乘上常數 c 後加至第 j 列 有時記為 cr j E. 求解下列的聯立方程式 : ) 利用高斯消去法 ) 利用高斯 - 喬丹消去法 解 7 RR R R R R RR 9 / 9/ / / R 9 9
17 ) 由上述結果 : R R R R R R / 9/ / 9/ H.W. 利用 Guss-Jord Elto 法 求解下列方程式組 : 7 7 <s> 化簡後 列 - 梯型式為 9 可令 = t 則 = + t = t * 此解為兩平面 : 之交界線的參數式 E. 試平衡下列的化學反應式 : C H + O CO + H O 解 依題意可知 本題欲求出 使得 C H + O CO + H O 化學反應式平衡條件為..反應前後 各元素之原子數目相等 故知 碳 (C).. = + + = 氫 (H).. = => + + = 氧 (O).. = + + = 利用 Guss-Jord Elto.. 列運算 7 7 = t = t = t = t 此處 t 必需為正整數 且需以能使 ~ 均為 正整數的方式來選取 故可取 t = 則平衡式為 C H + 7O CO + H O 7
18 H.W. 試求下列化學反應式的平衡式 () ClO Cl + O () Cu + HNO Cu (HNO ) + H O + NO <s> () ClO Cl + O () Cu + 8HNO Cu (HNO ) + H O + NO H.W. 利用 Guss 消去法將下列方程組 = 化簡成 u u u u u u = b b b b [87 年成大資源所 ] <s> 試求上式中所有未知係數 u j 及 b =? = = = = u = u = u = u = u = u = b = b = b = 7 b = H.W. 利用高斯消去法求解下列線性方程組 : + = + + = = [87 年雲科大電子所 ] <s> = c = 9 c + = c + 7 = c = c c 即 = c + c H.W. 試解下列聯立方程式.. + = + + = 8
19 + + = + = [78 台大電機所 ] <s> = + k k 為任常數 H.W. 試用高斯消去法 求解下列聯立方程式.. + y z = + 9y z = 8 y + 7z = [87 年中山機械所 ] <s> = y = z = H.W.7 試解下列的聯立方程式 + + = + + = + 8 = = [88 年台科大電機所甲組 ] <s> = 9 / 8 = 9 / = / 8 = / H.W.8 試用 Crer Rule 解下列的聯立方程式 () + y + z = 8 + y z = + y + z = + y z = 7 [88 年台大環工所 ] () + y z = y z = 7y z = 7 [88 年交大環工所 ] () + y + z = 7 y + z = + y z = [Zll p. 9 E.] <s> () = y = z = () = y = z = () = y = z = 9
20 - 矩陣之秩 基本觀念 矩陣 = 列向量 (row vector).. u = u = u = 行向量 (colu vector).. v = v = v= 秩的定義. 於一 ( ) 矩陣 中 設有一 (r r)(r 小於或等於 中之較小者 ) 部分矩陣之行列式不為零 而所有 (r+) (r+) 部分矩陣之行列式均為零 則稱矩陣 之秩為 r. 矩陣 之秩為矩陣 中線性獨立列向量之最大個數 * 任一矩陣 的秩可用 Row-Reducto 法來求算 定理..利用 Row-Reducto 法求算矩陣之秩 : 若矩陣 列等效於列 - 梯形式 B 則 () 的列空間 (Row Spce) = B 的列空間 () B 的非零列可形成 之列空間的基底 () rk() = B 的非零列個數 E. 已知 = 7 8 試求 rk () =? 8 解 方法.. 由 Row Vector 知 u u = u = 8 及 u= 7 8 可 u +u= 此即表示 u u 及 u 為線性相依 另外 由於 u u 兩者均非對方之固定倍數 故知 u 及 u 之列向量集合為線性
21 獨立 因此 可知 rk() = 方法..由列運算可知 = R R R R 8 R R R 上式最後之矩陣為列 - 梯陣型式 且具有兩個非零列 故知 rk() = E. 試判定向量集 u u u 在 R 空間內是否為線性獨立? 解 以 u u u 為列向量形成矩陣 即 列運算 因此 rk 故知向量集 u u u 為線性獨立 H.W. 試求矩陣 之秩 =? [7 年清大計管所 ] <s> rk H.W. 試求下列矩陣之秩 =? [78 年交大工工所 ] 7 B <s> rk rk ) ( B H.W. 試以 值 討論 矩陣之秩 : [79 年台大材料所 ] <s> rk 時 9 時
22 rk 9 時 rk H.W. 已知 試求 rk () =? [88 年交大電子所 ] <s> 聯立方程式之解若 之秩等於 b ( 擴大矩陣 ) 之秩 即 r () = r ( b ) 則方程式 = b 有解 ; 若 之秩小於 b 之秩 即 r () < r ( b ) 則方程式 = b 無解 齊性線性聯立方程組 (systes o hoogeous ler equtos). 個未知數之 個齊性方程式 ( = ) 中 如係數矩陣之行列式 不為零 ( 即 為非奇異矩陣 ) 則僅有零解 若 等於零 則有非零解. 若未知數不等於方程式之數目 ( ) 則齊性方程式 X = 有非零解之主要條件為 r () <. 假設由 個方程式及 個未知數所形成的線性系統 = B 為 Cosstet 若係數矩陣 之秩為 r 則系統之解含有 r 個參數 E. 已知聯立方程式 其解為 = t = + t = t 故為 Cosstet Syste 且具有無限多解 由 Rk 來驗證 可知 : rk() = rk(b) = * 參數個數 = r = =
23 矩陣之秩與系統之解的關聯性如下圖所示 : For ler equtos ukows X = B. wo cses: B = B. Let rk() = r. X = lwys Cosstet Uque Soluto: X = rk() = Ity o Solutos: rk() < r rbtrry preters soluto X = B B Cosstet : rk() = rk( B) Icosstet: rk() < rk( B) Uque Soluto: Rk () = Ity o Solutos: rk() < r rbtrry preterts soluto 8 H.W. 已知 8 試求 rk () =? 8 [Zll p Prob..] <s> H.W. 若 b b b 有解 試求 b b 及 b 間的關係? [8 年清大計管所 ] <s> 有解之條件 : 但因 rk rk rk. rk 故知 det b b b b b b b b
24 H.W. 已知 試以 值討論此聯立方程式之解 <s> 若 9 則 rk rk 無解 b 若 9 則 rk rk 但因未知數 r 有無限多解 [78 年交大機械所 ] b 故知此聯立方程式 H.W. 試討論下列聯立方程式組之解的條件 : b b () 唯一解 () 無解 () 含一個任意常數之解 () 含二個任意常數之解 <s> () b () = b () b = () = b = * 向量之線性獨立 設有 個行向量 即 = = = 若存再不全為零之常數 c c c c 使得 c c c c 則稱 為線性獨立 E. () 設 V = ( ) V = ( ) V= ( 9 ) V = ( ) V= ( 7 8 8) 試求線性獨立向量 (b) [ V V V V ] 試求 之秩與 = 之解 解 () 令 B = [ V V V V V ] = C () C ( ) C (7) C () C ( ) C ( )
25 故知 V V V 為線性獨立 ) C ( 7 8 (b) X = = 8 經高斯消去法運算後 得 7 = 8 rk () = 而 故 * 符號說明 : 7 8 c c c c c C C ) C ) ( C 第一行 加至第二行 ( C C 第一行 ( ) 加至第三行 H.W. 已知 V V V V 試問集合 { V V V V } 有多少個線性獨立向量? 其基底向量為何? <s> [ V V V V ]~ [88 年中央土研所 ] 有兩個線性獨立向量 且基底向量為 V 及 V
26 零值空間 (Null spce). 齊性聯立方程組 = 之所有非零解所組成之集合 稱為矩陣 之零値空間. 若 B 為 R 中線獨立向量 則 R 中任一向量可表為 B 之線性組合 以 sp{ B } = + B 表示. 若 B C R 且互為線性獨立 則 R = sp{ B C }. 矩陣 中 線性獨立行向量之展延 謂為行空間 (colu spce) 行空間之維數 稱為行秩. 矩陣 中 線性獨立列向量之展延 謂為列空間 (row spce) 列空間之維數 稱為列秩 E. 試考慮齊次線性方程式 = 其中 = () 試求 = 之解 的線性空間 N () 試問 N 的維度為何? () 試求由 之列向量所展成的線性空間 R 之基底 解 () ) ( R R 可令 c c 則 c c c c c 因此 N = c c c () D (N) = () R = b E. 已知 = B 其中
27 B () 求解 () 求 之秩數 (rk) 與零數 (ulty) () 求 之列空間維數 [8 年中央土木所 ] 解 () R ( ) R ( ) c 7c c 令 c 7c c 7 c () rk () = 7 c 7 N( ) 7 D N( ) () 列空間之維數為 H.W. 令 v v v 為向量空間的一組基底 且 : v v 為線性運算子 其中 v ) v v v ) v v v ) v v v ) v v v ( v v ( v v ( v v ( v v () 試求 之秩與零數 () 試問 是否為一對一? [8 年工技電機所 ] <s> () rk() = ullty() = () 不存在 故 不為一對一 H.W. 令 : M M 為一線性運算子 其定義如下 7
28 ( X ) X X () 試求 之 Rge 的維度 =? () 試求 之 Null Spce 的基底 [8 年交大電子所 ] <s> () X c 的 Null Spce 為 () Rge ( ) H.W. 令 v 7 v v 及 u u u () 試求可由 v v ] 轉變 u u ] 的轉換矩陣 (rsto Mtr) [ v v [ u () 若 v v 試求 相對於 [ u u u] 的座標值 <s> () () X 7u u u [88 年台科大電機所 ] H.W. 令 () 試求 N() ( 即 的 Null Spce) 的基底 () 試求 的 8 Rge Spce R() () 試求 N( ) R( ) () 試求 N( ) 的正交補集 N ( ) 及 ( ) R () 試指出有哪些空間為相等 [88 年成大電機所 ] <s> () () () N( ) c R ) c c ( N( ) c R( ) c c 8
29 () N( ) R( ) R( ) N( ) () 由上述答案可知 H.W. 令 為 R 上的線性運算子 且定義為 ( b) ( b b) 試考慮 R 的標 準基底 ( ) 及 ( ) () 試證 : Nullty() + rk() = () 試證 : ( ) 為零轉換 其中 (t) 為 之特徵多項式 [88 年台大電機所 ] <p..> 略 H.W. 已知 () 試求 之秩與 Nullty () 試求 之 Null Spce 的正範基底 [88 年台科大電機所 ] <s> () rk () = Nullty () = () u H.W. 7 已知線性變換 : R R 定義為 y y y z z () 試求此轉換的標準矩陣 [] () 試求核 ker () 的基底並指出其維度 () 試求 Rge R() 的基底 並指出其維度 () 試求標準矩陣 = [] 的固有值 並針對每一個固有值 求出相對應固有空間的基底 () 試求一矩陣 P 以使 P P 為對角化 () 利用 () 之答案 試求算? [88 年交大電子所 ] 9
30 <s> () () ) ker( )] ( d[ker () R() 之基底 : 或 () 時 Egevector: c c z y 時 Egevector: c z y () P () H.W. 8 試求下列矩陣的行空間及 Null Spce: [88 年台科大電子所 ] <s> )] ( [ )] ( [ D csp N D -7 固有值與固有向量 定義 : 令 為 矩陣 向量方程式 : () 其中 為未知向量 為未知純量 ) rvl Soluto: = ) 若有 值使得 () 式具有 之解時 稱為 () 式的固有值 (Egevlue) 而此時相對應的向量 ) ( 則稱為 () 式之固有向量 (Egevector) * 固有值的集合稱為 之 Spectru
31 * 之固有值的絕對值中 最大值有即稱為 的 Specl rdus * 相對於 之固有值的所有固有向量集合再加上 即構成 的固有空間 [Egespce] 固有值與固有向量的求算. 特徵值與特徵向量 設有聯立方程式 以矩陣形式表示 : 或 ( I) 若欲上式有非零解 則必須 I 稱為矩陣 之特性方程式 解出 個根 稱為矩陣 之特徵值 將各特徵值 代入上式 解得 此 稱為矩陣 對應於特徵值 之特徵向量 b. 線性轉換觀念 令 X Y [ y y ] y 且 Y X 即 y y y 則上式之定義為將 維空間向量 X 映射至 維空間向量 Y 而矩陣 [ ] 映射矩陣 若 Y X Y X 則 ( X X) Y Y E. 已知 試求 之固有值及固有向量. 解 ) 向量方程式 : ( I) j 為 ( ) ( ) ()
32 ) 特徵方程式 : ) det( I 7 ) 固有值 ( 特徵根 ): ) )( ( 之固有值 ) Egevector: 時 () 式變成 : 可取 Egevector : 時 () 式變成 : 可取 Egevector : E. 已知 試求 之固有值及固有向量 解 ) Vector Eq.: ) ( I ) ( ) ( ) ( ) ( () ) 特徵 Eq: ) det( I ) Egevlue: ) )( ( ) Egevector: λ = 時 :
33 () 式 利用基本列運算 可取 因此Egevector 為 λ = 時 : () 式 利用基本列運算 可取 因此Egevector 為 λ = 時 : () 式 利用基本列運算 可取 因此 Egevector 為 一般性質 :. 方形矩陣 的固有值即為特徵方程式 det( I) 之根 因此 矩陣至少會有一個固有值 最多則具有 個相異固有值. 若 為對應於 λ 之 矩陣的固有向量 則 k 亦為 之固有向量 其中 k. ) 固有值 λ 的階數 M λ 稱為 λ 的代數重根數 (lgebrc ultplcty) ) 對應於固有值 λ 之線性獨立固有向量的個數 λ 稱為 λ 的幾何重根數 (Geoetrc ultplcty) * λ 即為對應於此 λ 的 Egespce 的維度 * 一般而言 λ M λ 稱為 λ 的缺陷度 (deect) * M E. 試求矩陣 之固有值與固有向量 [9 年台大生機所 ] 解 ) 特徵方程式 : det( I) ) 固有值 : )( ) (
34 ) 固有向量 : 由 Vector Eq.: ) ( I 利用 Guss 消去法求算之 當 時 : 可取 即固有向量 為 當 時 特徵矩陣變成 列化簡 I I.e. 可取 k k 則 k k 故可取固有向量 及 分別為 ** 以本例固有值 而言 M λ = λ = 因此 E. 已知 試求固有值及固有向量 解 特徵方程 : ) det( I 時 : I k 固有向量 : k 僅有一個 Egevector * 本例中 M λ = λ = 因此 M
35 H.W. 試求 7 之固有值與固有向量 <s> 僅有單一的固有向量 H.W. 試求 之固有值與固有向量 <s> 8 時 ; 8 時. 令 為具有實數元素之方陣 若 為 之複數固有值 則其共軛複數 亦為 之固有值. 上三角矩 下三角矩陣 或者對角矩陣的固有值即為主對角線元素 E. 試求 之固有值與固有向量 解 特徵方程式 : 9 ) det( I 當 時 特徵矩陣變成 ) ( ) ( I.e. ) ( ) ( ) ( 可取 此時 固有向量為 時 對應之固有向量為 H.W. 試求 之固有值與固有向量 <s>
36 b * 矩陣 之固有值為 + b 與 b b H.W. 試求下列矩陣之固有值與固有向量 () [7 年台大土木所 ] () [7 年成大機械所 ] cos s () [8 年雲技電子所 ] s cos <s> () [ ] ; 時 [ ] () 時 [ ] ; 時 [ ] [ cos s [ ] () cos s [ ] H.W. 試求矩陣 之特徵值 已知 8 8 <s> ] H.W. 試求矩陣 之固有值與固有向量 已知 其中 <s> [ ] [ [ [ ] ] ] [ ] [8 年交大機械所 ] H.W. 7 已知 試求其固有值與固有向量 [87 年台大農工所 ]
37 <s> [ ] [ ] [ ] [ ] -8 矩陣的冪級數 的計算. 使用套裝軟體 缺點是便利性差. 重複乘法 : = = 缺點是繁雜 效率低. Cyley-Hlto heore: 任一 矩陣 均可滿足其自身的特徵方程式 若 的特徵方程式為 :( ) c c c 則 ) c c c I () ( E. 階矩陣 已知 其特徵方程式為 Egevlue: 由 Cyley-Hlto heore 可知 : I = = I + () (I ) I I I I () 例如 : I 就特徵方程式而言 亦有類似上述之結果 ; 即 8 8 () 7
38 綜合上述 可歸納出 : c I c () c c (b) 上列二式對相同常數對 c 與 c 必成立 c 及 c 之求取 : 將 Egevlue 及 代入 (b) 可知 ( ) = c + c ( ) () = c + c () 聯立解出 : c [ ( ) ] c [ ( ) ] 此組常數對 c 及 c 再代回 () 式 即可求出 : [ ( ) ] [ ( ) ] () [ ( ) ] [ ( ) ] * () 及 () 式對於 時均成立 階矩陣 c c c I (7) c c c c (8) c 將 之 Egevlue λ 代入 (8) 式 解出 c c c 再代回 (7) 式 即可求出 E. 已知 試求 =? 其中 為正整數 解 特徵方程式:det ( I ) = Egevlues: Cyley-Hlto heore: I c c c c c (9) c () 代入各 Egevlues: ( ) = c c + c = c + c + c () = c + c + c 8
39 9 聯立解出 : ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ c c c 將 c c c 這些值代入 (9) 式 可得出 ] ) 7( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) 7( 9 [ ] ) ( [ ] ) ( [9 * 反矩陣的求算 : 上述方法亦可用求算反矩陣 E. 已知 滿足特徵方程式型式 : I = I I * Egevlue 發生重根時 (8) 式可對 微分處理之 E. 已知 試求 =? 解 特徵 Eq.: det ( I ) = 由 Cyley-Hlto heore: c c c () I c c c (B) 由 = 代入 () 式 : 9 ) ( c c c ()
40 因為 = = 重根 故 應代入 () 式之微分式.e. c c ( ) c c () = = 時 可知 c c c () 由 ()() 及 () 式聯立求解算出 : 因此 可知 c [7( ) ( ) 9 ( ) ] c [ ( ) 9 8( ) ] 9 c [ ( ) 8( ) ] c I c c [( ) ( ) [ ( ) ( ) [( ) ( ) ] ] ] [ ( ) ( ) [7( ) ( ) 8 [( ) ( ) ] ] ] [( ) ( ) [( ) ( ) [9( ) ( ) ] ] ] 所以 H.W. 矩陣 試求 ()Egevlue()Egevector() =? [7 年台大機械 所 ] <s> () = = () () = [ ] () = [ ] ( ) () H.W. 已知 求 =? [7 年台大機械所 ] <s> ( ) cos s H.W. 已知 求 =? [8 年清大動機所 ] s cos
41 <s> cos s s cos H.W. 已知 試應用 Cyley-Hlto heore 求算 =? <s> 7 (9I ) [8 年台大化工所 ] H.W. 已知 求 =? ( 為正整數 ) [78 年交大工工所 ] <s>.. H.W. 已知 P 試求 l P? [88 年北科大控制所甄試 ]..7 <s> 7 H.W. 7 令 求 =? [88 年台科大電子所 ] <s> ( ) ( ) 8 H.W. 8 令 試求 () 固有值 () 固有向量 () k =? [88 年北科大電機 能源所 ] <s> () = = () () = [ ] () = [ ] k k k k k ( ) () k k k k H.W. 9 已知 求 =? [87 年成大土木所 ]
42 <s> 9 9 正交矩陣 對稱矩陣 : 矩陣 若 = 時 則稱 為對稱矩陣 heore: 若 為對稱矩陣且具有實數元素 則 之固有值亦為實數 <p..> 令 為 之 Egevectorλ 為固有值 則 = λ 若取共軛複數 則得 () 又因 為 Rel tr 故知 所以() 式變成 再取 () 式之轉置 : () ( ) 再乘上 ( 右乘 ) () 若 = λ 左乘以 得 () () () 後 可得 ( ) () 又因 ( ) 故知 表示 λ 必為實數 Nor ( 範數 ) y. 一般觀念 : y X Y 則 X 與 Y 內積定義為 y X Y X Y ( y y y ) Y X (). 行向量 X 的 Nor 定義為
43 X X X X X (7) heore: 正交固有向量令 為 對稱矩陣 則對應於相異固有值之固有向量互為正交 [8 年中山海環所 ] <p..> 令 (8) 其中 (8) 式的上式取轉置再右乘 : (9) 其中 (8) 式的下式取轉置再左乘 : () (9) () 得 : ) ( 由於 故知 表示 與 互為 Orthogol E. 試驗証對稱矩陣 的 Egevectors 互為正交 解 Egevlue 為 = = = 對應的 Egevector 為 所以 [ ] [ ] [ ] 故知 及 為 Orthogol colu vectors
44 ** 觀念 : 一般 矩陣 有重根型之 Egevlue 時 其線性獨立之 Egevector 數小於. 對稱矩陣 之 Egevlue 即使有重根時 其線性獨立之 Egevector 個數仍為. Orthoorl Set: j or j j j j 正交矩陣 [Orthogol Mtr]. 定義 : 矩陣 若 = 時 稱之為正交矩陣 * 若 = I 為 Orthogol Mtr E. I I I I 為 Orthogol Mtr E. 已知 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / I 為正交矩陣. heore: 正交矩陣的判定準則已知 為 矩陣 若且唯若 之行向量 形成一正範集合 (Orthoorl set) 則 為正交矩陣 <p..> 令 = [ ] 則 的列向量為 但因 為正交 即 = I 故知 由矩陣相等 各對應元素相等之性質可知 j j j
45 此即表示正交矩陣的行向量形成一組 個向量的正範集合 E. 前例 矩陣之 colu vector 可取為 / / = / = / / / 正交性的驗證.. / = / / = / / / / / = / = / / / / / = / = / / / 單位向量的驗證.. / = / = / = / / / / / = / = / / / / / = / = / / / / / = / 建構一正交矩陣. 已知 矩陣為 的對稱矩陣. 若 具有 個相異的固有值 則可找出相對應之固有向量. Norlzed.. u =. Orthogol Mtr.. u = u =
46 P = u u u... 正交矩陣 E. 已知 = 試由 建構一正交矩陣 P <Sol> ) Egevlue.. = = = ) Egevector.. = = = Nor.. = = ) Orthoorl set.. / u u u Orthogol set 為 P = * Check.. P P # 重要觀念... 對稱實數矩陣 必可求出 個線性獨立的 Egevectors. 這些 Egevectors 並非保證全部互成正交 ) 相異固有值所對應之固有向量才互成正交 ) 重根型固有值所對應之固有向量可能不成正交 E. 已知 = 其 Egevlues 為 = 9 = = 9 對應之 Egevector 為 = = =
47 與 成正交 但 = = 不成正交 * 儘管如此 我們仍可以建構出一組 個互成正交的 Egevectors H.W. 針對下列矩陣 若矩陣為正交矩陣 則 與 b =? () / / b (b) / b / <s> () = /b = /;(b) = / b = / H.W. 已知 = 試求 之 Egevector 並驗證其正交性 <s> Egevlue.. = Egevector.. X = X = X X X 與 X 成正交 H.W. 試求矩陣 之 Egevlues 及 Egevectors 並證明其 Egevectors 之正交性 其中 = <s> = = 9 = 8 X = X = X= 均互成正交 廣義固有向量 (Geerlzed Egevector) 若 為 矩陣 若 = = = 為 Egevlue 其中 為重根 且 ( I) X I) X ( ( I) X 則 X X..X 為對應於 之 Egevectors 7
48 當 X 對應於 = = = 之 Egevector 為唯一存在時 可依下法求出廣義特徵向量.. ( I) X X 解出 X 即為 Geerlzed Egevector E. 已知 = 試求 之固有值與固有向量 <sol> ) det ( I) = Egevlue.. = = = ) ( I) X = X = ( I) X = X =.. 只存在一個 ( I) X = X X = c + 可取 c = X = 廣義固有向量 - 對角化 矩陣乘法的另一種表示法 兩個 矩陣 B 其中 B = B 可表示成 B = X X... X X... X X ~ X 為 B 之行向量 則 X =X X X 可對角化之矩陣對一 矩陣 而言 若找出一個 非奇異矩陣 P 使得 P P = D 為一對角矩陣時 即稱 為可對角化 heore.. Sucet Codto or Dgolzblty ( 對角化的充分條件 ) 若 矩陣 具有 個線性獨立的固有向量 則 為可對角化 8
49 <p..> 以 為 矩陣來說明..令 及 為對應於 及 的三個線性獨立固有向量 故知 = = = 若以 為 Colu Vector 形成矩陣 即 且 P 為非奇異矩陣 則 P = = P = = = PD P P = P PD = D * 對稱矩陣知對角線元素即為 之 Egevlue heore..可對角化之準則 (Crtero or Dgolzblty) 若且唯若 具有 個線性獨立的固有向量 則 矩陣 為可對角化 heore..可對角化的充分條件若 矩陣 具有 個相異的固有值 則其為可對角化 9 E. 已知 = 則 可對角化 試將之對角化 <sol> ) Egevlue.. det ( I) = + = ( )( ) = ) Egevector.. ( I ) = = ( I ) = = = P = P P = ) P tr.. P = 9 = = D E. 已知 = 試求 之 EgevlueEgevector 並將 對角化 9
50 <sol> ) 固有值.. det ( I) = ) 固有向量.. = = = ) P 矩陣..由於具有相異固有值 故知 矩陣為可對角化 P 矩陣為 P = = ) 對角化.. / P = 9 / 8 8 / = P / 7 / 7 = D / / 8 / ** 重要觀念... 矩陣 具有 個相異固有值 則 可對角化. 只為 充分 條件. 具有 個相異 Egevlue 並不是 可對角化的 必要 條件.e. 即使 沒有 個相異 Egevlue 亦有可能可以 對角化 E. 已知 = 7 Egevlue.. = 僅有一固有向量 故知 不可對角化 E. = 試問 是否為可對角化? <sol> ) 固有值.. det ( λi) = ) 固有向量.. = I =
51 k = k 可取 k = k = k = 故知 若另取 k = k = k = 則得另一個固有向量.. 由於 為線性獨立 故知 P 矩陣為 P = 而且 P P = = D 表示 矩陣仍可對角化 heore..正交可對角化的判定準則 (Crtero or orthogol Dgolzblty) 若且唯若 為 對稱矩陣 則矩陣 為可正交對角化 (orthogol dgolzblty) <p..> 在此證明 必要 條件部分 假設 矩陣 為正交型可對角化 則存在正交矩陣 P 使得 P P = D = PDP 又因 P 為正交矩陣.e. P = P 故知上式變成 = PDP 又因 = (PDP ) = (P) D P = PDP = 因此 為對稱矩陣 9 E. 已知對稱矩陣 = 陣為何? 9 試求可將 對角化之正交矩陣 又 之對角化矩 9
52 <sol> ) 固有值.. det ( I) = 8 ) 固有向量.. = 此三個固有向量 及 為線性獨立 但並不互成正交 ( 如 及 ) 針對 8 可利用 Guss-Jord elto 來求取其 Egevector.. 8I = 此即表示 k + k + k = 其中 兩實數值可任選 首先 取 k = k = 得出 ; 其次 取 k = k = 來得出 如此取法便可得出上述之 Egevector 及 因為 = 故不成正交 相反的 若取 k = k = 以及取 k = k = 則分別得出 Egevector 如下.. 及 因此 可得一組互成正交的固有向量如下.. = = = 又 / / / / / / 故知 P 矩陣 ( 及正交矩陣 ) 為 / / 故 Orthoorl set 為 / P = / / / / / / / / P = / / / / / / /
53 P P = 8 8 = D 此即對角矩陣 * 線性獨立之 Egevector 亦可透過 Gr-Schdt Orthogolzto Process 來求出互成正交的 Egevector H.W. 已知 = 試求可使 對角化的正交矩陣 P [8 年交大電子所 ] < s > P = D = P P = 8 H.W. 矩陣 = 試求固有値及固有向量 其次 試求可使 對角化之正交矩陣 P =? [8 年交大環工所 ] <s> () () P = D = P P = H.W. 同上題 但 = [88 年台科大機械所 ] <s> P = H.W. 同上題 但 = [88 年雲科大機械所 ]
54 <s> P = H.W. 同上題 但 = [88 年台科大營建所 ] <s> P = H.W. 同上題 但 = [88 年清大材料所 ] <s> P = H.W.7 同上題 但 = [88 年成大水利所 ] <s> P = H.W.8 同上題 但 = 7 [88 年中央機械所 ]
55 <s> 9 8 P = H.W.9 同上題 但 = [88 年台大土木所 ] <s> P = * 方陣 =[ ] B [ b ] 若存在非奇異方陣 P 使得 P P = B 則稱 與 B j j 互為相似 而 至 B 的變換稱為相似變換 * 若矩陣 與對角矩陣 D 相似 則稱 為可對角化 - 二次型式 基本觀念有一代數表示式型式為 : + by + cy 即稱為二次型式 若令 X = [ y] 則上列二次型式便可寫成 X X = [ y ] b b c y () 其中 = b 定義 b 為對稱矩陣 c 以.. 表示的實數二次型式 (Rel qudrtc or) 為一多項式 : j j () j 其中 j 均為實數
56 一般而言 二次型式包含. 平方項 :... 混合積 : 如 ( j j ) j j 二次型式的矩陣表示法. 令 X = [... ]. 實數對稱矩陣 = [ j ] j... = j j 其中 etres 定義為 j... 且 j 則 () 式之二次型式便可用矩陣 X X 來表示 亦即 X X = j () j j E. 二次型式 : 8 + = = [ ] = X X E. 二次型式 : = = [ ] = X X. H.W. 若 Q 試求一對稱矩陣 使得 Q X X 其中 X 8 年台大機研所 <s> H.W. 若 Q 試求一對稱矩陣 使得 X X 77 年高考 <s> Q 其中 X
57 主軸定理 Prcpl s heore heore: 令 為一實數對稱矩陣 其固有值為 令 P 為可將 對角化之正交矩陣 則下列的座標變換 X PY 可將二次型式 j j j 轉換成 y p.. X X PY PY Y P PY Y P PY ** 二次型式 y Y Y = y y # y y y y y 稱為 j j 的標準型式 stdrd or j E. 圓錐曲線的辨別 圓錐曲線 y y 可表成 y X X y 其中 X y 矩陣 的固有值與相對應的固有向量 : 此處 故 與 互為 Orthogol 此外 所以 及 為 Orthogol Vector 矩陣 P 為正直矩陣 令變數變換 : X PX' 其中 X' X Y 則二次型式 y y X X X' P PX' X' P PX' X' DX' 7 可寫成
58 8 此處 P P D 為對角矩陣 其對角線元素即為 矩陣之固有值 因此 Y X Y X DX' X' X X Y X 此即雙曲線的標準式 Egevector 的座標 : y - ple 經由變換 X P X P X' 後 在 y - ple 上 此二 Egevector 之座標變成 * X 及 Y-s 即稱為圓錐之主軸 E. 試將二次型式 Q 化成標準型式 < sol > ) X X Q 其中 X ) 矩陣 的 Egevlues 及 Egevectors: ) 正交矩陣 : P ) 變數變換 : PY X 其中 y y Y DY Y PY P Y X X Q y y y y y * 變數變換 : PY X y y y y y y y Y X
59 * 對任何 則 Q 代表平面內圓錐 * 但 Q y y 則代表兩條直線 y y y / E. 試將圓錐 8 化成標準型式 < sol > ) 原式可表成二次型式 : X X 8 其中 X ) 的 Egevlue: y / ) 變數變換 : X PY P 為由 之 Egevectors 所構成之正交矩陣 X X 8 Y DY 8 y y 8 此即一橢圓 如下圖所示 8. y y E. 試將二次型式 Q 化成標準型式 9
60 < Sol > ) X X Q 其中 X ) 之固有值 : det I ) 變數變換 : X PY * 正交矩陣 : Q X X Y DY y y P y y y y y y y Q H.W. 試將二次式 : 轉換至其主軸上 78 年成大機械所 <s> Q y y y Egevlues: Egevectors: H.W. 試證 () e d 並求 () y y e ddy? 79 年清大核工所 8 年清大核工所 < s >() 略 () Ht 利用正交矩陣 做變數變換 H.W. 已知二次型式 Q 試問此種圓錐曲線的 ype 為何? 並將其轉換至主軸 88 年彰師大工教所 < s > y y 為橢圓 88 年中央大氣所 H.W. 已知二次函數 y y y 試求一轉換矩陣 P 使下列變換
61 Y X y P 可使 y 變成 by X Y X y 另外 試求 與 b 之值? 88 年中山機械所 < s > P b H.W. 橢圓面的二次型式 : 試求其主軸 87 年清大物理所 < s > y y y 正定 負定矩陣之判定. 正負定矩陣之判定. 若特徵值 全為正數 則矩陣 為正定矩陣. 若特徵值 均不為負數 且至少有一為 則矩陣 為半正定矩陣. 若特徵值 全為負數 則矩陣 為負定矩陣. 若特徵值 均不為正數 且至少有一為 則矩陣 為半負定矩陣. 若特徵值 至少有一為正數 且至少有一為負數 則矩陣 為不定矩陣. 二次式 X X 為正定之充要條件 為矩陣 之每一主子行列式值必為正 而主子行列式為 B. 函數之最大值與最小值之判斷函數 利用泰勒級數展開 則 = 高次項則 = 高次項
62 在 與 處 可能有極值存在 若忽略高次項 則在極值處 HX X 其中 H 稱為 Hess 矩陣. 若 H 即 H 為正定 則 點 為最小值之點 最小值為. 若 H 即 H 為負定 則 點 為最大值之點 最大值為. 若 H 為不定形 則點 為鞍點 (Sddle pot) E. 試判定下列二次式之正負定性 : () Q (b) Q (c) Q < Sol > () 二次式 Q 為正定 (b) Q
63 故 Q 為不定二次式 (c) 故知 Q 為不定函數 Check: 本例 Q 可表成 Q 當 時 Q 而當 時 Q 故知 Q 確實為不定 (Idete) * 但 () 例中 Q 只有在 時 Q 其餘 之任何值均可使 Q 故知 Q 為正定 H.W. 若 為正定矩陣 則? 8 年交大電子所 < s > H.W. 二次型式 Q ) 試將 Q 表成 X X 型式 ) 若 Q 欲為正定 則 值範圍為何? 8 年台科大高分子所 < s > ) )
64 H.W. 二次型式 X X 8 其中 X 試問此二次 型式的正定性為何? < s > 為不定型 88 年成大土木所 H.W. 已知函數 F F X X 8 試求 矩陣的固有值與固有向量 可表成 < s > Egevlue: 8 年大葉電機所 Egevector: E. 試考慮函數 F y z z cos y yy () 試求 F y z 在點 之 Hess () 試問 是否為 F y z 的鞍點 < Sol > ) H cos y y z y y zy z yz z ) H H H 9 H 為 Idete 故 為鞍點 處 8 年台大電機所 H.W. 就下列函數 試求其所有 Crtcl Pot? 又 這些點是否為局部極小 局部極大 水平曲折或鞍點? ) e ) l y 8 年台科大電子所 < s > )Crtcl Pot: 為 locl u 為 locl u ) y 為 y 為 Crtcl Pot 且因 Hess H 為正定 故知點 Locl u
65 y y y y y R 若 其中各偏導數值 y yy H.W. 已知 是在點 y 之計算值 令 矩陣之固有值為 試求 ()? () 試證在 及 y 有極小值 y 處 < s > () 799 () 為正定 故 在 y 處為極小 - 矩陣函數 Egevlue 與 Egevector 的基本觀念 固有值問題 : X X 為 方陣 參數 稱為固有值. 特徵方程式 : det I * 中括號內之多項式稱為 矩陣的特徵多項式 [Chrcterstc polyols]. 特徵根 ( 或稱固有值 ): 固有值與特徵多項式係數之關係 :. 基本性質 : ) 矩陣 為奇異 若且唯若 至少有一個固有值為零 說明 ) 若方陣 的特徵方程式 則係數 即 等於 矩陣所有階數為 之 Prcpl Mor 的和 特例 : cse: 的跡 (trce) ) 若 為方陣 則 與 具有相同的特徵值
66 ) 若 與 B 為相似矩陣 則 與 B 具有相同的特徵方程式 ) 任一方陣的特徵向量不可對應於兩個相異的特徵值 ) 若 為 個對應 方陣 之相異特徵值 的特徵向量 則 為線性獨立 p.. See Wyle dvced Egeerg Mthetcs th ed. pp. 9~9 * 推論 : 若 矩陣 具有 個相異特徵值 則 具有 個線性獨立的特徵向量 且任何具有 個分量的 Vector 均可用 的特徵向量之線性組合來表示 7) 若 為 矩陣 且 為重根數 r 之特徵根 則 rk( ) r I p.. See 同上 p.9 8) 赫密特矩陣的固有值均為實數 * 實數對稱矩陣的固有值均為實數 * 反赫密特矩陣的固有值均為純虛數 為赫密特矩陣 H 的特徵方 9) 若 程式 則若且唯若所有 均為正時 H 的所有特徵值亦均為正 為對稱矩陣 的特徵方 * 若 程式 則若且唯若所有 均為正時 的所有特徵值亦均為正 ) 若 與 為對應於赫密特矩陣 H 之特徵值 與 的特徵向量 則 j j * 若 與 j 為對應於赫密特矩陣 H 之特徵值 與 j 的特徵向量 則 H j * 若 與 為對應於對稱矩陣 之特徵值 與 的特徵向量 則 j j j j j
行列式, 柯拉瑪法則 n 階的行列式是 n n ( 所以是方陣!) 矩陣 A = [a jk ] 相關的純量, 可寫為 (1) 且對 n = 1 而言, 行列式定義為 (2) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271
![行列式, 柯拉瑪法則 n 階的行列式是 n n ( 所以是方陣!) 矩陣 A = [a jk ] 相關的純量, 可寫為 (1) 且對 n = 1 而言, 行列式定義為 (2) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271](/thumbs/93/112268848.jpg "行列式, 柯拉瑪法則 n 階的行列式是 n n ( 所以是方陣!) 矩陣 A = [a jk ] 相關的純量, 可寫為 (1) 且對 n = 1 而言, 行列式定義為 (2) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271")
第 7 章線性代數 : 矩陣, 向量, 行 列式, 線性方程組 7.1 矩陣, 向量 : 加法與純量乘積 7.2 矩陣乘法 7.3 線性方程組, 高斯消去法 7.4 線性獨立, 矩陣的秩, 向量空間 7.5 線性系統的解 : 存在性, 唯一性 7.6 參考用 : 二階與三階行列式 7.7 行列式, 柯拉瑪法則 7.8 反矩陣, 高斯 喬丹消去法 7.9 向量空間, 內積空間, 線性轉換 ( 選讀 )
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5 年台灣大學 解題老師 : 周易系所 : 醫工所 ( 甲組 ) 化工系 高分子所 食科所( 丁組 ) 科目 : 工程數學 (E). 是非題 ( 請標明題號 ()~(5), 依順序作答, 正確請寫, 不正確請寫 ): R S T 均為 階方陣, I 為 階單位方陣, 下列敘述是否正確? () 假設 R 為正交可對角化 (orthogoall diagoalizable) 矩陣, 則 R 必為對稱矩陣
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
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Maxima 在線性代數上之應用 正準形式 國立屏東教育大學應用數學系研究助理徐偉玲 weilinghsu@mail.npue.edu.tw 日期 :2009/9/8 除另有說明外, 本文件採用創用 CC 姓名標示 非商業性 2.5 台灣條款 第七章正準形式 7.1 Jordan 正準形式 Ⅰ 2. 對每一個矩陣 A, 對 L A 的每一個廣義特徵空間找一組由不相交的廣義特徵向 量循環集之聯集所組成之基底,
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
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投稿類別 : 數學類 篇名 : 作者 : 姚皓勻 臺北市立大同高中 高二 5 班游竣瑜 臺北市立大同高中 高二 5 班徐煜翔 臺北市立大同高中 高二 5 班 指導老師 : 吳淑萍老師 張繼元老師 壹 前言 一 研究動機與目的 矩陣是高等代數學中的常見工具, 也常見於統計分析等應用數學學科中 在物理學中, 矩陣於電路學 力學 光學和量子物理中都有應用 ; 計算器科學中, 三維動畫製作也需要用到矩陣 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題,
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
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物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
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![Microsoft PowerPoint - ch05.ppt [相容模式]](/thumbs/52/29507755.jpg "Microsoft PowerPoint - ch05.ppt [相容模式]")
8// hpter 特徵值與特徵向量. 特徵值與特徵向量. 人口統計與天氣預測. 矩陣對角化. 二次式 差分方程及常態模式 h_ 8//. 特徵值與特徵向量 定義 : 令 為一 矩陣, 對純量 而言, 若 R 中存在有非 向量, 使得. 則稱 為矩陣 之特徵值 eigevlue, 而則稱 為對應於 之特徵向量 eigevector h_ 特徵值與特徵向量之計算 令 為一 矩陣, 純量 為其特徵值,
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
一、乘法公式與多項式
一 乘法公式與多項式 多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式 分解 在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 1-1 平方公式 二項式相乘公式 我們可利用分配律來展開 ( a+ )( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + )( c + d) ac + ad + c + d 公式 1 a c ac d ad c d 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
(D1-1~10_
南榮學報第十五民國 101 年 5 月 Joural of Na Jeo, Vol. 15, 01 矩陣多項式多項式的計算的計算問題 余啟輝 南榮技術學院資訊工程系助理教授 Email: chiihuei@mail.jtc.edu.tw 摘要 本篇文章是研究二階實數矩陣多項式的計算問題, 其中包含了矩陣的任意次方的求解, 我們主要是利用矩陣的特徵多項式的矩陣值為零的性質 同時我們利用數學軟體 Maple
2 數學傳播十九卷二期民 84 年 6 月 x 1 = [A 1,,A n ] x n = x 1 A x n A n = b (5) x 1 註 (A): 如果我們將向量 視為矩 x n 陣的話, 則 (5) 式同時也告訴我們, 矩陣乘在 右手邊其運算為行運算 ( 同理乘在左手邊則 為
![2 數學傳播十九卷二期民 84 年 6 月 x 1 = [A 1,,A n ] x n = x 1 A x n A n = b (5) x 1 註 (A): 如果我們將向量 視為矩 x n 陣的話, 則 (5) 式同時也告訴我們, 矩陣乘在 右手邊其運算為行運算 ( 同理乘在左手邊則 為](/thumbs/93/111126447.jpg "2 數學傳播十九卷二期民 84 年 6 月 x 1 = [A 1,,A n ] x n = x 1 A x n A n = b (5) x 1 註 (A): 如果我們將向量 視為矩 x n 陣的話, 則 (5) 式同時也告訴我們, 矩陣乘在 右手邊其運算為行運算 ( 同理乘在左手邊則 為")
線性代數的基本定理 林琦焜 前言 : 最近在 American Mathematical Monthly 閱讀到 Gilbert Strang 探討線 性代數之文章, 讀後收穫良多, 尤其幾個圖形 實在有教學上之價值 在感動之餘想想何不 動手, 以 Gilbert Strang 之文章為藍本, 同 時把自己讀書與教學之心得將之整理後, 以 與中文之讀者一起分享 此文主要探討的是 Fredholm Altenative
標題
第三章矩陣 矩陣的運算 ( 甲 ) 矩陣的基本認識 () 矩陣的引入 : 聯立方程組 : 矩陣 直行橫列 z z z 列行 () 矩陣的基本名詞 : () 元 (elemet): 矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元 () 列 (row): 同一水平線各元合稱此矩陣的一列 () 行 (olum): 同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行 (d) 位於第 i 列, 第 j 行的元稱為 (i,j) 元 (e) 當一個矩陣
遞迴數列
- 三元一次方程組 目標 i 能利用加減消去法與代入消去法解三元一次方程組及三元一次方程組的應用 ii 除 i 之教材外 利用三階行列式解三元一次方程組或討論三平面的幾何關係 討論. 在三元一次方程式 4 6 中 由於 的係數不為 任意給 的值 都可求得 例如 5 令 時 4 6 4 5 4 5 得到方程式的一解 4 由此可知 4 6 有無限多解 一般而言 三元一次方程式 中 不皆為 假設 則 故任意給定
n 個變數 (unknowns, 或者 variables) 的等式一般式表示如下 : a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b 其中 a 與 b 稱為常數或係數 (constant), 通常是已知的 ; 未知的變數是 x 1, x 2,..., x n 假如是方程組, 則
1.1 線性方程組 (linear systems) Chapter 1 線性方程組與矩陣 在數學中, 我們以 等式 來描述各個 變數之間的關係, 例如 : 3x 1 + 4x 2 x 3 = 6 y = sin x y = x 2 + 1 若變數之間的關係只有一次項, 沒有三角 指數函數 高次方項或者分式等其他關係, 我們就說這些變數之間存在著 線性 (linear) 關係, 如上面的第一式 若有好幾個線性關係必需同時滿足,
Microsoft Word - 97_2_la_handout_06線性轉換與特徵值問題.doc
第六章線性轉換與特徵值問題 最後更新日期 :9 年 月 8 日 本章介紹線性轉換 (liear trasformatio), 將線性系統看成一個函數, 探討在不同向量空間裡之向量的對應情形 定義函數時, 定義域與值域是重要的元素, 在線性轉換中, 對應前者的是轉換矩陣的核 (kerel), 而對應後者的是轉換矩陣的值域 (rage) 特徵值問題(eigevalue ad eigevector) 是線性轉換的一個重要的應用,
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8// Chpter 4 廣義向量空間 4. ~ 4.4 Prt A 4. 廣義向量空間及子空間 4 4. 線性組合 4. 線性相依與線性獨立 4.4 基底性質 Ch4A_ 8// 定義 : 4. 廣義的向量空間 向量空間 V 為對 向量加法 與 純量乘積 二種運算均有定義, 且滿足所有下列公理之一組元素 ( 即向量 ) 所構成的集合 ( 以下 u, v, w 為 V 之任意向量, 而, d 則為純量
-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r =
-1-1 等差數列與級數 055-1-0 數列與級數 數列 : 將一串數字排成一列, 形如 1,, 3, 4 k, 其中的 1 稱為第一項 或首項 稱為第二項 依此類推 k 稱為一般項或第 k 項, 通常以 { } 或 k 是表示第 k 項為 k 的數列 級數 : 將數列中的每一項用 + 連接起來, 讀作 前 項和, 記為 S = 1 + + 3 + + 056 級數連加性質 的性質 : (1) ()
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數學傳播 32 卷 2 期, pp. 34-53 線性代數五講一一 第五講向量空間在線性算子下的分解 龔 昇 張德健 5.1. 向量空間是主理想整環上有限生成模 1. 在上一講研究模理論的目的是為了站在更高的層面上來認識線性代數 在這一講回到向量空間和線性變換, 應用上一講中的結果翻譯成向量空間的語言 這裡 V 不僅僅是域 F 上的向量空間, 更是多項式 F[x] 上的模, 其數乘定義為 p(x)v
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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翻轉線性代數 勘誤檔案 喻超凡喻超弘編著 喻超凡數位企業有限公司 版權所有 翻印必究 9 喻超凡 姚碩 林郁叢書第 章向量空間 習 題. 判別下列何者是 R 3 的子空間 大同資工 (a) {(x, y, z) x + z =, x,y,z R} (b) {(x, y, z) x = y = z,x,y,z R} (c) {(x, y, z) z = x + y, x,y,z R}. Determine
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
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4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
<4D F736F F D20312D3220A447A4B8A440A6B8C170A5DFA4E8B57BA6A120C1BFB8712E646F63>
- 第一章 觀念篇 聯立方程式 定義 解 已知, 的和為 6, 且 的 倍比 的 倍多, 求, 聯立方程式的解 就是兩個並列的二元 6 一次方程式, 例如 : 它的解 可以同時滿足兩個方程式 例題, 是下列哪些聯立方程式的解? A B - 解 觀念 解一元一次方程式 ~ 等量公理 5 同時減 同時除以 解, 就是要將其中一個變數消去, 並得到一元一次方程式 接著只要解一元一次方程式就能得到變數的值
章節
試題 設 f (x) ( x 3 x ) 9 (1) f (x) 的常數項為. () f (x) 的各項係數和為. 編碼 010614 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 51;() 51 多項式 f (x) 滿足 8 f (x) 5x 6 f (x 3 ) f (x ) 18 0,則 f (x) 的常數項為. 編碼 010615 難易 易 出處 康熹自命題 解答 3 f (x) 的常數項為
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
5-1-1機率與統計（二）-條件機率與貝氏定理
選修數學 - 矩陣 - 矩陣的應用 思考. 生活中的事務 經量化後 有些問題可以藉著矩陣加以處理 ; 首先將數據資料整理並以矩陣表示 再配合其實值意義與矩陣運算的關係可處理之尤其是與機率有關的問題 矩陣之應用更是有利的工具 定義. 機率矩陣 機率向量 : 若 X 且滿足 其中 i i i i 則稱 X 是一個機率矩陣 即若行矩陣 X 中的每一個行矩陣的元都是非負的實數 且各元的和為 這種矩陣稱之為機率矩陣
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第 5 章 簡單線性迴歸之矩陣方法 Matrices Approach to Simple Linear Regression 在複迴歸中, 由於矩陣方法可以透過較為精簡的表達方式, 來表示出廣大的聯立方程組, 以及龐大的資料陣列, 所以經常是必須使用的工具 本章首先介紹矩陣代數, 然後介紹如何將矩陣方法應用至簡單線性迴歸模型中, 雖然在簡單線性迴歸模型中, 尚不需使用到矩陣代數, 不過透過矩陣代數的應用,
[*]一階線性D
![[*]一階線性D](/thumbs/99/142483959.jpg "[*]一階線性D")
微分方程式 (Differetial Equatio:D.E.) D.E.: 凡是含有微分的方程式 分類 : S Oriar D. E.( O. D. E.) : 常微分方程式 ( 僅含有一自變數的 D.E.) D.E. : Partial D. E.( P. D. E.) : 偏微分方程式 ( 具有一個以上自變數的 D.E.) T Total D. E.( T. D. E.) : 全微分方程式 (
(Microsoft Word - chap3-\275\306\305\334\244\300\252R.doc)
Chp 複變分析 Copl Anlss - 基本觀念 在複數平面上定義一個複數 如圖所示, 其中 : 稱複數 稱為實數, 記為 R 稱為虛數, 記為 I 由圖可得, 與 r,θ 之關係可知 r osθ r snθ r osθ r snθ r osθ snθ θ r 極座標 E.. R: I: 定義 : 一個複數的絕對值 長度 r 定義 : 一個複數的共軛複數 複數加法定義 : 若 則 E.. 加法
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
2003年
00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (
章節
試題 求 ( )7 展開式中 8 的係數 編碼 05 難易 易 出處 康熹自命題 解答 8 67 ( )7 7 7 7 ( ) 7 7 7 ( ) 7 7 7 3 ( ) 0 0 () 3 5 係數 7 5 ( ) 7 5 8 () 3 8 8 係數 7 ( )7 ( 3 ) 67 [a (b c) ] 6 展開式中 a 3 b c 係數? 0 編碼 055 難易 易 出處 康熹自命題 解答 300
THE 常用的極限公式 (1) x lim 1 n n n e x (2) lim 1 nx n e n n (3) lim n 1 n 1 x 微積分的複習 c- - KE (4) lim n 1 a n n b 2 n e a (5) lim x ln x 0,α >0 x ln x (6) l
THE 常用的極限公式 () lim () lim (3) lim 微積分的複習 c KE (4) lim b (5) lim l α > l (6) lim α> FEF 微分公式 fg C f gc f gc f g C fg 3 ** 若有時 應放在 g 項 ** C m! m! m! m! m! > b bk > c ** C C ** C C 二項式定理 b C b C b C b C b
對數函數 陳清海 老師
對數函數 陳清海 老師 p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log
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公職技師工程數學 95-101 年歷屆試題詳解 電機高普特考技師專用書 喻超凡博士 喻超弘老師編著 喻超凡數位企業限公司 http:// www.superyu.idv.tw 目錄 I 95 年詳解 1 1. 95 年公務人員電力 電子 醫學工程三級高考..................... 3 2. 95 年地方政府電力 電子工程三等考試........................ 19
面積與二階行列式 陳清海 老師
面積與二階行列式 陳清海 老師 1 主題一 二階行列式 1. 二階行列式: 符號 即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
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年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 等別 : 高員三級鐵路人員考試 類科別 : 電力工程 電子工程 科目 : 工程數學 甲 申論題部分 :(5 分 ) 一 設矩陣, 5 求 A 的特徵值 (eigevalues) (5 分 ) 求 A 的特徵向量 (eigevectors) (5 分 ) 求 A (5 分 ) λ det( A λi) 5λ ( λ)( λ5) λ, 5 λ K λ 5 K, 5 A
习题一
. 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc
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線性代數 1 問題集 周志成 211.1.24 這份問題集彙整自 29 年 3 月至 211 年 1 月刊登於 線代啟示錄 的 1 個每週問題 收錄的問題來源甚廣, 有我過去教學使用的演習題, 美國麻省理工學院的考題, 台灣多所大學的研究所入學試題, 以及參考書的練習題 這些問題大都具有解釋基本觀念或彰顯實用技巧的作用, 部分問題可能超越一般基礎線性代數水平, 但我相信演練略為艱深的問題不僅可以刺激思考活動,
扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b
数值代数 夏银华 中国科学技术大学 扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b 2 b 3 初等变换矩阵 放缩 (scaling): 第 i 个方程
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
1072 微乙 班期中考解答和評分標準 x(t) = a + th 1. (12%) 若 g(t) = f(x(t), y(t)), 且 { y(t) = b + tk, 其中 a, b, h, k R 是常數, 求 g (0) Solution: (3pts) 找到 g (x) g (
7 微乙 -5 班期中考解答和評分標準 x(t) = a + th. (%) 若 g(t) = f(x(t), (t)), 且 { (t) = b + tk, 其中 a, b, h, k R 是常數, 求 g () (pts) 找到 g (x) g (x) = f x (x(t), (t)) dx dt + f (x(t), (t)) d dt (pts) 找到 x (t), (t) g (x) =
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
《革命烈士诗抄续编》
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對稱多項式的 h恆等式 ( 下 ): 將 h 用 的行列式表示 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 前言 : 關於對稱多項式, 有一個很重要的事實, 稱為 對稱多項式的基本定理, 簡單地說, 即任何 元 (,,, ) 的對稱多項式, 總是可以寫成 個基本對稱多項式 ( 即,,, ) 的多項式 ( 參考資料 [4]) 例如: ( ) ( ) [ (,, )] (,, ) 那 麼, 既然 h(,,,
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9 4 不等式及其應用 4- 二元一次不等式的圖形 重點整理 設 L : abyc,a b 不同時為 () a a by c 時, 圖解區域在直線 L 的右側 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的左側 或 a b a b () b a by c 時, 圖解區域在直線 L 的上方 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的下方 b a 或 b a 第 4 章不等式及其應用 9 基本練習題 老師講解學生練習
1 式子的運算 19 例 1 解 符號的簡記 ( 乘法 ) 1x 4x x 5 1xx 4x4x x 5 5 x 5 x 5x 除以一個不為 0 的數就是乘以該數的倒數 P5 1 1 x x 5 5 x 4 x 4 x 可視為 x 1x4 x 1 4 x4x x x 4 x x x
7 1 x y 基會試題 9 I 8 18 1 符號的簡記 x 第三章一元一次方程式 -1 xyz 1 4 x 4x x x 1500 x 1500x 4 y y x15 15x 15x x1.5 1.5x 1.5x x x x x 4 7 以符號代表數 式子的運算 1.. 4 7 x 4 7. x 4x 7 7-a-017-a-0 15x 15x 15x 1x 1x 1 1 x 簡記成 x (-1)
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線性代數 200 問題集 周志成 202.2.24 這份問題集彙整自 2009 年 3 月至 202 年 2 月刊登於 線代啟示錄 的 200 個每週問題 本題集收錄的問題來源甚廣, 有我過去教學使用的演習題, 美國麻省理工學院的考題, 台灣各大學的研究所入學試題, 以及多本參考書籍的練習題 這些問題大都具有解釋基本觀念或彰顯實用技巧的作用, 部分問題可能超越一般基礎線性代數水平, 但我相信演練略為艱深的問題不僅可以刺激思考活動,
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試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
臺北市103學年度國民中學（含完全中學國中部）學校課程計畫審閱
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 10 學年度第 2 學期七年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 七年級數學領域教師 本學期學習目標(以條列式文字敘述) 1. 能理解二元一次聯立方程式及其解的意義, 並能由具體情境中列出二元一次聯立方 程式 2. 能熟練使用代入消去法與加減消去法求二元一次聯立方程式的解 3. 能理解平面直角坐標系.
第一章 线性代数基础
第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念 矩阵常用大写英文字母表示 一个 n 阶矩阵 A 是如下 行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组 矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列 本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换 线性方程组解结构
2013年考研数学一试题答案.doc
年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 :-8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析 因为 c k=, c = (C) - k=, c=
函數的極大極小應用
極大值與極小值 第二章 導數的應用 1. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 說明 :(1) 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 (3) 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數
Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )
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機率 台大電機系葉丙成 微博 : weibo.com/yehbo 臉書 : facebook.com/prof.yeh 部落格 : pcyeh.blog.ntu.edu.tw 本週主題概述 8-: 聯合機率分佈 8-2: 邊際機率分佈 8-3: 雙變數期望值 2 8-: 聯合機率分佈 (JOINT PROBABILITY DISTRIBUTION) 第八週 3 當小明出國去交換時 X: 小美臉書 /QQ
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y
线性代数练习册 复习题和自测题解答 三 求解下列各题 : 0 计算 0 4 99 第一章 复习题 0 0 0 0 5 5 解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = 0 4 99 6 0 0 5 00 0 5 00 = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值,
一 多重選擇題 :( 每題 6 分, 只答錯一選項得 4 分, 只答錯兩選項得 2 分, 只答錯三選項得 0 分, 共 24 分 ) 關於整係數三次多項式 f ( x) a x a x a x a 的敘述, 下列何者正確? (1) 若 2x 4 f ( x), 則 2
一 多重選擇題 :( 每題 6 分, 只答錯一選項得 4 分, 只答錯兩選項得 分, 只答錯三選項得 0 分, 共 4 分 ). 關於整係數三次多項式 f ( x) a x a x a x a 的敘述, 下列何者正確? 0 () 若 x 4 f ( x), 則 a, 4 a0 () 若 f ( i )= i, 則 f ( i ) i () 方程式 f ( x) 0 至少有一實根 (4) 方程式 (5)
第二节 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性 一 维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有 维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关 否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时 也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当 且仅当 c=c= =cm=0 c
Microsoft Word - CoordinatesTransform.doc
Cateian Cylindial ˆ= xˆ o + yˆin ˆ = ˆ = xˆin+ yˆ o + = Cylindial to Cateian: ˆ ˆ x o in 0 y in o 0 = 0 0 Cateian to Cylindial: + = + xˆ yˆ o in 0 x = in o 0 y 0 0 Cylindial Spheial ˆ = ˆ + ˆ = ˆ = xˆ
Microsoft Word - 多變量微積分講義.doc
多變量微積分 (I 偏導數 (A 多變數函數 設 為所有實數所成的集合, 為所有二元有序實數組所成的集合, 即 {(,, } 若, 且對每一 (,, 在 中有唯一的 z 與之對應, 則函數 f: 稱為兩個變數的實值函數, 為函數 f 的定義域, 為函數 f 的對應域, 在 中有被對應的 z 所成的集 合, 稱為 f 之值域 中元素 (, 所對應的 z 值, 記作 f (,, 即, 稱為自變數, z
基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e
基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 bcde,,,,, 每次從中選取出 個變數來作 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( be,, ) + e( cd,, ) + e( ce,, ) + e( de,, ) + e(,, bcd) + e(
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100 40 28 2B c 3 10 8 m s h 6.63 10 34 J s e 1.6 10 19 C hc 1240 E hf ev λ λ nm 1 ev 1.6 10-19 J 1 mol 6.02 10 23 ph 8 10 N 14 O 16 Fe 56 Ag 108 NO.99341003 103-E3 第壹部分 ( 占 80 分 ) 56 1 說明 : 第 1 題至第 k
定義在 n 維空間之中,n 個獨立的等式可以決定一個點的座標, ( 注意是 可以, 但不必然, 因為可能有平行或歪斜的情況 ) 則這 n 個等式稱為該點的定義方程式 (defining equation) 例典型例題 限制式 邊界方程式 x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x
Chapter 5 修訂單形法 (revised simplex method) 5.1 單形法的基礎本小節的前半段都是前面章節講過, 只是強調可以推廣到 n 變數的一般 LP 問題, 因此重覆的部份不再詳述, 請各位自行參閱教科書, 或者看第 3 與第 4 章 定義任意限制式的邊界方程式 (boundary equation) 就是把限制式之中的 = 或者 都換成等號 ( 等式是半平面的邊界 )
复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
第六章特征值 Eigenvalue 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基
54高雄市科展-矩陣遞迴式及圖型討論.doc
摘要 在本研究中我們討論以矩陣為係數的矩陣遞迴數列, 其中嘗試使用不同方 式求解, 並成功將其推廣至 階遞迴, 並討論矩陣遞迴數列的許多性質, 最 後藉由其歛散性討論矩陣遞迴式繪製在 X Y 平面的結果與性質 過程中我 們必須了解矩陣與實數之間的差異性, 包括矩陣沒有交換性 等, 那就 得尋找不同於實數的思路, 或者是利用方法加強其條件或輔助推演, 以尋 求我們所想要求的一般解, 並藉由我們在矩陣遞迴式求得的結論進行圖形
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
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995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
北京大学数学学院
4 Mg-Heg Heg/ITt Sle / z elogs to Sset o the Rel Dom Seek or some o s sch tht z* mmze{ t SR} } z elogs to Sset o the Rel Dom Seek or some o s sch tht z* mmze{ t SR} } Z FX X elog to Sset o the Rel Dom
. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x
- 一元二次不等式 基礎型. 試解下列各不等式 ()x+ > x, 答 : () x + x < x, 答 : () ( x+ )( x), 答 : 答 () x < () x > () x 解 ()x+ > x + > x x > x () 同乘 6 得 :( x) (x+ ) < 6(x ) 9x x < 8x 6 + 6< 8x 5x < x () 同乘 ( ) 得 : ( x+ )(x )
1062 微乙 班期中考解答和評分標準 1. (13%) 求 Ω (x y) 20 da, 其中 Ω 是由 2x + y = 0, 2x + y = 1, x + 2y = 0 及 x + 2y = 1 所圍成的平行 四邊形 Solution: Let x + 2y = u, x y =
6 微乙 - 班期中考解答和評分標準. (3%) 求 Ω ( y) da, 其中 Ω 是由 + y =, + y =, + y = 及 + y = 所圍成的平行 四邊形 Let + y = u, y = v that is = 3 (u + v), y = (u v)...( pt) 3 (pt) J = u u v = 3 v 3 3 =...( pt) 3 3 Note that the new
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
32062-ch4.tpf
在數學的三一律中, 就有兩個不等符號, 所以在一般的運算過程中, 經常會碰到不等式 解任何不等式都要用到求方程式的根, 所以要特別留意不等式與方程式之間的關係, 一次不等式的重要應用就是線性規劃 應用線性規劃的基本假設是 : 將決策上所面臨的問題, 利用線性的數學式來加以描述, 在線性等式及不等式組的條件下, 使用特定的方法, 以求得最符合決策者要求的解 而數學式中變數或式子的數目, 端視問題的複雜性而定,
H2 空間中的平面與直線 2-1 空間中的平面 1. 能了解空間中平面的法向量.當給定空間中一點及法向量時,能寫出通過此點的平面方程式. 2. 能利用法向量與平面外一點求平行平面的方程式. 3. 能利用外積求通過不共面三點的平面方程式. 4. 能利用法向量求兩平面的夾角. 5. 能計算空間中點到平面
高中數學第四冊 (99 課綱 ) H1 空間向量 H2 空間中的平面與直線 H3 矩陣 H1 空間向量 1-1 空間概念 1. 能了解直線與直線的關係,包含兩歪斜線. 2. 能了解直線與平面的關係,包含直線與平面垂直. 3. 能了解平面與平面的關係,包含兩平面的夾角. 4. 能了解三垂線定理及其基本應用 1-2 空間向量的坐標表示法 1. 能了解空間坐標系. 2. 能了解空間中兩點距離公式與中點公式.
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研 習 完 本 章, 將 學 會 1. 節 點 電 壓 法 --------------------------------------------01 2. 節 點 電 壓 法 之 特 例 -----------------------------------------08 3. 網 目 分 析 法 --------------------------------------------15 4.
Microsoft Word - ACL chapter02-5ed.docx
第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
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线性代数 课教案 学 期 :6 7 学年第一学期 学时 : 45 学时 系 ( 部 ): 基础部 教研室 : 理科教研室 授课教师 : 张焕玮 授课班级所 授课班级 授课班级 授课班级 在系 所在系 管理工程系管理工程系 6 物流管理 班 6 物流管理 4 班 第 次课教案 6 年 9 月 7 日星期三 章 节 : 第一章行列式 教学任务 :. 阶行列式的定义 使学生了解 阶行列式的定义, 会计算二阶和三阶行列式
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第 四 章 - 試 分 別 說 明 組 合 邏 輯 電 路 與 序 向 邏 輯 電 路 之 定 義 解 : 組 合 邏 輯 電 路 由 基 本 邏 輯 閘 所 組 成 的 此 種 邏 輯 電 路 之 輸 出 為 電 路 所 有 輸 入 的 組 合 因 此 輸 出 狀 態 可 完 全 由 目 前 之 輸 入 來 決 定 而 組 合 邏 輯 電 路 之 示 意 圖 如 圖 所 a 示 ; 而 序 向 邏
b2 c2 d2 e2 f2 g2 Q = a P P AP I C T 2 T 1 HX LX X 1979 1984 (1) (2) (1) (2)(3) (4) (1) (4)(5) P 0.003 6100 18 7400 22 P 0.004 11200 45 13650 55 A 0.02 500000 10000 900000 18000 A 0.0019 48000000 9120
四 教学内容及安排 第 1 章 行列式 了解行列式的定义和性质, 掌握 2 3 阶行列式的计算, 会计算较简单的 n 阶 行列式, 掌握 Cramer 法则 章节数 授课 实验 上机 讨论 作业 自学 综合 大作业 第 2 章 矩阵 理解矩阵的概念, 掌握矩阵的运
线性代数与空间解析几何 I 课程教学大纲 英文名称 :Linear Algebra and GeometryI 课程编号 :MATH 1037 课内学时 :66( 理论学时 :62, 上机学时 :4) 学分 :4 适用对象 : 电气 电信 软件 理学 钱学森班等专业 先修课程 : 高等数学 使用教材及参考书 : (1) 魏战线 李继成编, 线性代数与解析几何 二版, 高等教育出版社, 2010 年
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
课程教学大纲 (course syllabus) practice link in the reform since 2000, this changes the traditional study mode and make the teaching method becomes vivid an
线性代数 (B 类 ) 课程教学大纲 课程基本信息 (Course Information) 课程代码 (Course Code) MA0014/MA077 * 学时 (Credit Hours) 48 * 学分 (Credits) * 课程名称 ( 中文 ) 线性代数 (B 类 ) (Course Name) ( 英文 )Linear Algebra (B class) 课程性质 (Course
第三章矩阵的
第三章矩阵的 第三章矩阵的 高等工程数学 ( 第三版 ) 姚仰新, 王福昌, 罗家洪, 庄楚强华南理工大学出版社出版 2016 年 9 月 20 日 第三章矩阵的 1 2 3 4 5 第三章矩阵的 本节主要研究 : 一个 n 阶方阵能够相似于对角形矩阵的充要条件是什么? 设 V 是复数域 C n n 上的 n 维线性空间, T 是 V 的一个线性变换, 又 e 1, e 2,, e n 是 ε 1,
2 數學傳播十九卷三期民 84 年 9 月與 60 之差的平方和再乘以 2 就可以了, 不必每項都算 現在使用簡單隨機抽樣法, 從這九個分數中取出三個 請回答下面三個小問題 3. 所取出三個分數中至少有一個為 60 分的取法有幾種? (A) 8 (B) 2 (C) 35 (D) 40 (E) 64
八十四學年度大學聯考自然組數學試題解答及分析 吳隆盛 對於今年的大學聯考自然組數學試題以作者個人觀點加以解答及分析如下 第一部分單一選擇題 [ 一 ] 九位學生的數學抽考分數分別為 : 30, 40, 60, 50, 70, 80, 60, 90, 60. 這九個分數的中位數為何? (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) 80 解 : 先將這九個數由小而大依序排列 選 (C)
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- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
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年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析 ( 完整精准版 来源 : 文都教育 一 选择题 :~ 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ( 当 α α 时 若 l ( (- cos 均是比 高阶的无穷小 则 α 的取值范围是 ( (A( (B( (C( (D( 解析 当 α 时 l ( ~ ( α 由 α > 且 >
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是