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1 南榮學報第十五民國 101 年 5 月 Joural of Na Jeo, Vol. 15, 01 矩陣多項式多項式的計算的計算問題余啟輝南榮技術學院資訊工程系助理教授 chiihuei@mail.jtc.edu.tw 摘要本篇文章是研究二階實數矩陣多項式的計算問題, 其中包含了矩陣的任意次方的求解, 我們主要是利用矩陣的特徵多項式的矩陣值為零的性質同時我們利用數學軟體 Maple 來驗證答案的正確性, 我們的目的是想呈現矩陣多項式計算有趣而令人驚嘆的一面關鍵詞 : 特徵值特徵向量特徵多項式長除法 Maple 一前言在線性代數課程中, 矩陣多項式的計算是一門重要的課題, 有關這方面的介紹我們可以參考 [1] 本篇文章主要是以二階實數矩陣多項式作為研究的目標, 我們探討的 1 問題有以下幾種 : 問題 I) 是以矩陣 A 為例子, 求矩陣多項式 3 3A A3 A 8A 9I, 這個問題的解決主要是利用以下的定理 1Cayley-Hamilto 1 1 Theorem) 接著問題II) 我們以矩陣 B 為例子, 研究矩陣 B 為任意正整 5 3 數 ) 的求法, 它的解法主要是利用定理, 這類型的問題在矩陣極限 matrix limit) 和馬可夫鏈 Markov chai) 上有很重要的應用, 詳細的介紹可以參考 [] 至於問題III) 是求 3 1 矩陣 C 3C I) 為任意正整數 ), 其中矩陣 C 它的解法主要是先利用定理 1 將 C 3C I 化簡為 C I, 再利用和問題 II) 同樣的方式就可以得到答案另一方面我們藉助數學軟體 Maple 來驗證答案的正確性, 這套軟體的優點就在於它的指令簡單而容易學習, 並且介面具有親和力, 不需要花費太多的時間就可以上 D1-1

2 矩陣多項式的計算問題手對於從事數學教學與研究的人來說, 不僅可以節省很多學習電腦程式語言的時間, 還可以在解題上幫助我們突破困難因為從 Maple 所呈現的答案中, 可以看到一些蛛絲馬跡, 即使 Maple 算出來的結果非常複雜或者可能得不到答案, 但是我們還是可以由近似問題的答案抽絲剝繭, 找到解決問題的方法, 這也正是 Maple 可以帶給我們研究上靈感的原因所在想要對 Maple 有更進一步的認識, 可以到 Maple 的官方網站參觀瀏覽, 相信會有許多意想不到的收穫 ; 至於想要了解 Maple 的一些常用的指令或使用方法可以參考 [3-] 二定義定義定理和指令定理和指令接著我們介紹一些在本文中用到的定義和定理 : 1 定義 1: 矩陣 B 相似於矩陣 A 是指存在一個可逆矩陣 P 使得 B P AP 定義 : 一個矩陣 A 的 ker ) { v Av } A 定義 3: 矩陣 A 的特徵值 eigevalue) 是指滿足行列式 det λ I A) 的數 λ 可能是複數 ); 而滿足 Av λv 的非零向量 v 稱為對應於特徵值 λ 的特徵向量 eigevector); 我們稱 f x) det xi A) 為矩陣 A 的特徵多項式 characteristic polyomial) 定理 1Cayley-Hamillto Theorem, [8]): 若 f x) 為矩陣 A 的特徵多項式, 則 f A) 定理 [9]): 若一矩陣的所有特徵值都不相同, 則此矩陣會相似於一個對角矩陣至於本文中用到的 Maple 指令, 我們也列出來以供參考 : a b >A:matrix,,[[a,b],[c,d]]); 定義矩陣 A c d >evalmfa)); 求矩陣函數 f A) 的指令, >evalma^); 求矩陣 A 的指令, >evalmp^-1)); 求矩陣 P 的逆矩陣 P 1的指令, >simplify%); 化簡的指令, >sqrta); a, >expad ); 將式子展開的指令 D1-

3 南榮學報第十五民國 101 年 5 月 Joural of Na Jeo, Vol. 15, 01 三問題與求解以下我們就舉出幾個二階實數矩陣多項式的計算問題來做研究, 並且利用 Maple 幫助我們驗證答案問題 I): 若矩陣 A 1, 求矩陣 3A A3 A 8A 9I 3 解 : 先求矩陣 A 的特徵值, 由 det A λ I) λ 1 3 λ λ )3 λ) λ 5λ 10 利用定理 1 我們知道 A 5A 10I, 接著用長除法計算 : 所以 3A A3 A 8A 9I A 5A 10I)3A 13A 31I ) 33A 319 I ) 33A 319I 其次我們利用 Maple 檢驗答案 : >A:matrix,,[[,-1],[,3]]); D1-3

4 矩陣多項式的計算問題 >i:matrix,,[[1,0],[0,1]]); >evalm3*a^-*a^3-*a^8*a-9*i); 問題 II): 設矩陣 1 B 5 1 3,1) 求矩陣 B, 為任意正整數, ) 求矩陣 B 解 : 1) 先求矩陣 B 的特徵值, 由 det B λ I ) 1 λ λ 1 λ )3 λ) 5 λ λ 8 λ ) λ ) λ, x1 由 B I) 5 x x1 1 x 0 5x1 x 5 x 1 x x 5x1 1 所以向量為矩陣 B 的特徵值所對應的特徵向量 5 x1 由 B I) 1 x x1 5 x 0 D1-

5 南榮學報第十五民國 101 年 5 月 Joural of Na Jeo, Vol. 15, 01 x1 x 5x1 5x x x1, 1 所以向量為矩陣 B 的特徵值所對應的特徵向量因此矩陣 P P BP, 而且 P 所以 B P 0 P 1, 於是 1 滿足 1 B 0 1 P 0 P ) ) ) ) 5 ) ) B 5 5 ) 5 ) 5 ) ) 我們用 Maple 驗證答案 : >B:matrix,,[[-1,1],[5,3]]); >evalmb^); 問題 III): 若矩陣 C 3 1 1,1) 求矩陣 ) 求矩陣 3 C 3C I) 3 C 3C I), 為任意正整數 λ 1 解 :1) 由 det C λi) 3 1 λ D1-5

6 矩陣多項式的計算問題 λ ) 1 λ) 3 λ λ 5, 利用定理 1 知 C C 5I, 接著我們用長除法來計算 : 3 所以 C 3C I C C 5I)C I) C I) C I 1 8 µ 令矩陣 E, 由 det E µ I ) µ µ ) 8 µ ) 8 µ µ 80 µ ± 1 由 [ E x 1) I] x x1 1 x 0 所以向量 3 1 1) x1 x 1x1 1) x 3 1 x ) x1, 為矩陣 E 的特徵值 1 所對應的特徵向量又由 [ E x 1) I ] x x1 1 x 0 D1-

7 南榮學報第十五民國 101 年 5 月 Joural of Na Jeo, Vol. 15, 01 得到向量 3 1 1) x1 x 1x1 1) x 3 1 x ) x1, 為矩陣 E 的特徵值 1 所對應的特徵向量因此矩陣 P 滿足 P 1 EP 0 1 0, 而且 1 1 P 所以 E P P, 於是 C 3C I) E P P 0 1) 1) ) 0 1) ) 1) 1 1) 1 1) ) 1) 1 1 1) 1) ) 1) 1 1 1) 1) 1 我們用 Maple 檢驗矩陣 P 的逆矩陣 P 1的答案 : >P:matrix,,[[,],[-3sqrt1),-3-sqrt1)]]); D1-

8 矩陣多項式的計算問題 D1-8 >evalmp^-1)); >simplify%); ) 矩陣 3 ) 5 3 I C C C E 1) 1 1 1) 1 1 1) 1 1) 1 1) 1 1 1) 1 1 1) 1 1 1) , 以下是 Maple 計算矩陣 E 的結果 : >E:matrix,,[[,],[1,-8]]); >evalme^); 同時我們也可以檢驗矩陣 E 每一個分量的答案 :

9 南榮學報第十五民國 101 年 5 月 Joural of Na Jeo, Vol. 15, 01 >sqrt1))*-*sqrt1))^/1-sqrt1))*--*sqrt1))^/1; >expad%); 8 >sqrt1)/1)*-*sqrt1))^-sqrt1)/1)*--*sqrt1))^; >expad%); >sqrt1)/)*-*sqrt1))^-sqrt1)/)*--*sqrt1))^; >expad%); >-sqrt1))/1)*-*sqrt1))^sqrt1))/1)*--*sqrt1))^; >expad%); 1331 四結論由以上的例子中, 我們看到了矩陣多項式運算中有趣又不可思議的一面, 並且了解到 Maple 在解題中所扮演的角色我們甚至可以利用它來設計一些更高階的矩陣多項式的計算問題, 並且嘗試從中找到解決問題的方法希望經由我們的介紹, 可以對這類問題有更進一步的認識, 將來我們也希望能夠利用這些解題技巧和方法來探討一些其他的問題, 例如指數和對數函數矩陣以及三角函數矩陣的計算問題上參考文獻 D1-9

10 矩陣多項式的計算問題 [1] 陳大新 1993), 矩陣理論, 第二章, 亞東書局 []Friedberg, S. H., Isel, A. J., ad Spece, L. E.1989), 線性代數第二版 ), 張子浩譯 ),5.3, 東華書局 [3] 洪維恩 001), 數學魔法師 Maple 第二版 ), 碁峰資訊公司 [] 希爾 / 威立大工作室 199),Maple V 學習手冊, 高立圖書出版公司 [5]Redfer, D.1993), The Maple Hadbook, Spriger-Verlag. []Blachma, N., Mossighoff, M.1995), Maple V Quick Referece, Brooks/Cole. []Corless, R. M.199), Essetial Maple, Spriger-Verlag, New York. [8]Hoffma, K ad Kuze, R.195), 線性代數第二版 ), 薛昭雄譯 ),p9, 東華書局 [9]Gilbert, J. ad Gilbert, L.1995), Liear Algebra ad Matrix Theory, p3, Academic Press. D1-10

LAch7

LAch7 Maxima 在線性代數上之應用正準形式國立屏東教育大學應用數學系研究助理徐偉玲 weilinghsu@mail.npue.edu.tw 日期 :2009/9/8 除另有說明外, 本文件採用創用 CC 姓名標示非商業性 2.5 台灣條款第七章正準形式 7.1 Jordan 正準形式 Ⅰ 2. 對每一個矩陣 A, 對 L A 的每一個廣義特徵空間找一組由不相交的廣義特徵向量循環集之聯集所組成之基底,