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荒凌
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1 第 36 卷第 5 期 016 年 10 月噪声与振动控制 NOISE AND VIBRATION CONTROL Vol 36 No.5 Oct. 016 文章编号 : (016) 基于阶次分析的爪极发电机电磁噪声源分析张浩 1, 贺岩松 1, 张全周 1, 孔祥杰, 赵勤 ( 1. 重庆大学汽车工程学院, 重庆 ;. 长安汽车工程研究院, 重庆 ) 摘要 : 爪极发电机噪声严重影响汽车的 NVH 性能基于某型爪极发电机, 在标准噪声实验室进行冷态空载和热态为负载工况下的台架噪声试验处理数据发现, 在低转速段, 电机的电磁噪声偏大且出现了峰值, 阶次分析显示 36 阶次主要噪声成分建立样机的电磁学模型, 对峰值噪声转速进行电磁仿真求取电磁力, 其频谱显示 1 4 和 36 阶次为电磁力主要阶次采用等效体积法建立定子模型, 并装配整机模型, 完成了模态仿真和模态试验结合仿真和试验结果, 发现低速电磁噪声源是电磁激振力作用下的结构共振产生, 对电磁噪声的分析和控制具有一定参考价值关键词 : 声学 ; 爪极发电机 ; 电磁噪声 ; 阶次分析 ; 电磁仿真 ; 模态分析中图分类号 :TM301.4 文献标识码 :A DOI 编码 : /j.issn Electromagnetic Noise Sources Analysis of Claw-pole Alternators Based on Order Analysis ZHANG Hao 1, HE Yan-song 1, ZHANG Quan-zhou 1, KONG Xiang-jie, ZHAO Qin ( 1. College of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing , China;. Changan Auto Global R&D Center, Chongqing 40110, China ) Abstract : Vehicle alternators noise seriously affects the vehicle s NVH performance. Based on a certain type of vehicle claw-pole alternator, noise tests are done in load-free state and hot loading state in a specifically designed lab. It is found in the data processing that the electromagnetic noise is the major noise source of the alternators at low speed. And the main noise component of the 36 th order electromagnetic noise is shown in the order analysis. Then, the Maxwell electromagnetic model of a sample alternator is built to complete electromagnetic simulation. The results show that there are high peaks at 1, 4 and 36 th order electromagnetic force frequencies in the frequency spectrum. Stator model is established by means of the equivalent volume method according to the structure of the coils and the stator core. Then, the model of the global alternator is built and the modal simulation and the modal test are completed. The results show that the electromagnetic noise in low speed range is induced by structural resonance under electromagnetic excitation force. This work may provide references for analysis and control of the electromagnetic noise. Key words : acoustics; claw-pole alternator; electromagnetic noise; order analysis; electromagnetic simulation; modal analysis 车用交流发电机噪声影响汽车的乘坐舒适性, 是评价汽车 NVH 性能的一个重要指标汽车发电机的电磁噪声及声品质问题是汽车 NVH 的重点开发方向之一, 但电磁噪声源研究目前基本以试错法为主, 盲目性较大, 是整车 NVH 开发的短板, 车收稿日期 : 基金项目 : 汽车噪声振动和安全技术国家重点实验室资助项目 (Q ) 作者简介 : 张浩 (1991-), 男, 重庆市云阳人, 硕士研究生, 主要研究方向为车辆振动噪声控制 zhanghao_0803@163.com 通讯作者 : 贺岩松, 男, 湖南省双丰人, 教授, 博士生导师 hys68@cqu.edu.cn 用发电机电磁噪声源分析的问题亟待解决从噪声产生的机理来分类, 发电机振动噪声主要由机械噪声电磁噪声和空气噪声三大类组 [1] 成技术发展已经较好地解决了机械和空气噪 [ 4] 声目前发电机的振动噪声问题多集中在电磁噪声爪极发电机受结构影响使磁导产生周期性变化, 引起气隙磁密的大小周期性变化, 从而产生齿谐波噪声, 即电磁噪声 [5] 目前, 电磁力模态特性的研究是国内外针对爪极发电机电磁噪声的重点方向 Girgis 等人考虑定子和机座的作用, 提出了定子固有频率的公式, 得出了定子的固有频率和振动特性, 并研究了铁芯厚度

第 5 期基于阶次分析的爪极发电机电磁噪声源分析 45 [6 7] 和长度对固有模态的影响代颖在将定子绕组等效为空心圆柱体, 其有限元分析结果与敲击实验 [8] 结果非常吻合尚修敏对汽车发电机零部件及整机的模态进行了仿真分析和实验研究, 但将定子系统用等效质量和等效刚度的方法悬挂在端盖处来研 [9] 究整机模态目前, 电磁噪声研究多集中于普通电机, 而针对爪极发电机电磁噪声的文献还较少,

2 第 5 期基于阶次分析的爪极发电机电磁噪声源分析 45 [6 7] 和长度对固有模态的影响代颖在将定子绕组等效为空心圆柱体, 其有限元分析结果与敲击实验 [8] 结果非常吻合尚修敏对汽车发电机零部件及整机的模态进行了仿真分析和实验研究, 但将定子系统用等效质量和等效刚度的方法悬挂在端盖处来研 [9] 究整机模态目前, 电磁噪声研究多集中于普通电机, 而针对爪极发电机电磁噪声的文献还较少, 且爪极电机与普通电机的电磁噪声具有较大的差别本文针对某爪极发电机的电磁噪声问题, 通过噪声台架试验发现低速下电磁噪声偏大, 利用阶次分析对数据处理找到低速电磁噪声的主要阶次成分建立样机 Maxwell 模型, 完成电磁仿真得到峰值电磁噪声转速下的电磁力及其频谱成分建立发电机主要零部件和整机模型, 并进行模态仿真和试验结合电磁力仿真结构模态和噪声试验结果, 分析该电机低速电磁噪声源, 为爪极发电机的电磁噪声控制提供一定的参考 1 发电机电磁噪声简介电磁噪声研究主要涉及电磁力分析结构模态分析由电磁力引起的振动声辐射分析电磁噪声是由于交变电磁力 ( 激振力 ) 引起定子的电磁振动产生发电机的电磁力随空间和时间上的变化而改变, 当电磁力的阶次频率与发电机结构的模态频率相接近时, 就会产生电磁共振, 辐射出较强的电磁噪声 [7] 作用在定子铁芯齿上的电磁力含径向和切向磁力两个分量, 其中径向分量强迫定子铁芯振动发出的噪声是电磁噪声的主要来源, 而切向分量使齿根部局部弯曲变形由麦克斯韦定律, 气隙磁场中单位面积的径向电磁力按式 (1) 计算 [8] P r = B (θ,t)/(μ 0 ) (1) 其中 B 为气隙磁密 ;θ 为机械角位移 ;μ 0 为真空磁导率定转子绕组中气隙磁波的径向力波成分为 P r1 = P 0 + P 1 () 其中 P 0 = B /(4μ 0 ) B δ/(4μ 0 ) 是径向力的不变部分 P 1 = P 0 cos(pθ - ω 1 t - θ 0 ) (3) 其中 p 为主波的极对数 ;ω 1 为主波的角速度 ;θ 0 为初相角 P 1 是径向力波的交变部分, 这个力波的角频率是 ω 1, 即倍的电源频率, 它使定转子产生倍电源频率 ( f = pn/30) 的振动与噪声 [9] 爪极发电机的电磁噪声的频率可表示为 f = in /60 (4) 其中 i 为谐波次数 ;n 为转速发电机噪声试验.1 发电机噪声台架测试针对某型爪极发电机的噪声问题, 在标准的消声室内完成了发电机噪声台架试验图 1 为发电机噪声台架试验的布置图, 在发电机前后左右和上方五个距发电机中心均为 0.5 m 的位置来布置传声器, 采用五点测试法图 1 汽车发电机噪声试验台架试验采用升速法测试发电机在冷态空载工况和热态负载工况下 r/min~ r/min 范围内的噪声, 并对试验数据进行处理和分析, 研究噪声的特点和频率成分. 整体声压级分析处理试验数据后得到该电机在冷态空载工况和热态负载工况下的噪声声压级 - 转速曲线, 如图所示图空载和负载工况噪声声压级 - 转速曲线试验结果表明, 两种工况下总声压级整体随转速增加而上升在低转速 ( 000 r/min~4 500 r/min) 范围内, 相同转速下负载工况的声压级明显高于空载工况, 且在冷态空载工况下时, 500 r/min (A) 和 r/min(b) 的声压级为 66 db 和 74 db, 而负载工况下却出现了 7 db 和 83 db 两个明显的峰值, 说明热态负载工况下产生的电磁噪声突出明显, 是低转速范围内的主要噪声来源, 并造成电机噪声偏大, 严重影响整车的乘坐舒适性在中高速转速范围内, 空载工况和负载工况下发电机噪声基本接近一致, 说明此阶段电磁噪声对发电机总体噪声贡

r/min) 热态负载工况下的发电机噪声数据进行阶次分析, 在 B&K Pulse 中进行数据处理后得到如图 3 所示的阶次图速进行电磁力数值模拟, 每个转速选取一个整周期进行计算, 并且每个转速下都确保分析频率达到该转速下 36 阶次电磁力频率以上求解结果分别如图 5- 图 6 所示图 4 发电机一对极模型图 5 500 r/min 电磁力曲线图 3

3 46 噪声与振动控制第 34 卷献不大发电机主要在低转速区间工作, 因此负载工况下低转速 ( 000 r/min~4 500 r/min) 范围内的电磁噪声控制对改善发电机总体噪声具有非常大的意义.3 低速噪声阶次分析传统的分析因为不包含时间信息, 因此对时变 [10] 特征的振动的阶次追踪效果不好阶次分析将等时间间隔采样变换为等角度间隔采样对等角度采样信号做类似时域的傅里叶变换得到阶次谱, 可有 [11] 效地改善传统分析方法的不足因此, 对电机类旋转机械的噪声振动分析采用阶次分析的方法, 可以避免频谱上的频率混叠 [1] 对低转速段 ( 000 r/min~4 500 r/min) 热态负载工况下的发电机噪声数据进行阶次分析, 在 B&K Pulse 中进行数据处理后得到如图 3 所示的阶次图速进行电磁力数值模拟, 每个转速选取一个整周期进行计算, 并且每个转速下都确保分析频率达到该转速下 36 阶次电磁力频率以上求解结果分别如图 5- 图 6 所示图 4 发电机一对极模型图 r/min 电磁力曲线图 3 中低转速下热态负载工况噪声信号阶次图从阶次图可以看出, 在 500 r/min 时,36 阶次为电磁噪声的主要成分 ; 而在 r/min 时,30 和 36 阶次噪声占据主要成分, 且 36 阶次较强, 符合 36 定子齿的谐波规律 3 爪极发电机电磁仿真针对该发电机在 500 r/min 和 r/min 两峰值进行电磁仿真分析, 计算引起电磁噪声的电磁力及频率成分 3.1 发电机电磁学建模爪极发电机的内部结构主要由定子转子转轴励磁绕组三相感应绕组等结构组成本文研究的爪极发电机为 6 对爪极, 定子槽数为 36 槽由于电机具有轴向对称性的结构, 为降低计算量和减少仿真时间, 求解区域可缩小为一对极模型图 4 为发电机的 Maxwell 3D 瞬态场的六分之一模型负载采用恒定电阻等效恒定负载工况 3. 电磁力计算在材料定义添加激励外电路绘制网格剖分等完成后, 进行 Maxwell 求解设置并计算得到电磁学结果本文选取 500 r/min 和 r/min 两个转图 r/min 电磁力曲线从图中可以看出,4 350 r/min 时电磁力较 500 r/min 时电磁力大, 电磁力随时间变化比较稳定且呈现出较好的周期规律 3.3 电磁力结果频谱分析为更好地分析电磁力频率成分, 对两个转速下的电磁力作 Fourier 分解, 得到电磁力的幅频图如图 7- 图 8 所示电磁力频谱结果显示, 在 500 r/min 的时候, 在 500 Hz Hz 和 Hz 电磁力呈现峰值, 即对应 500 r/min 时电磁力的 1 4 和 36 阶次频率 ; 在 r/min 的时候, 在 870 Hz Hz 和 610 Hz 是电磁力的主要贡献频率成分, 即对应 r/min 时电磁力的 1 4 和 36 阶次频率两个转速下的其它阶次电磁力峰值均相对较小

第5期 47 基于阶次分析的爪极发电机电磁噪声源分析图 9 发电机定子和整机三维模型图 7 509 r/min 电磁力频谱图图 10 发电机定子和整机有限元模型万样机的主要零部件材料参数如表 1 所示图 8 4 350 r/min 电磁力频谱图表 1 发电机零部件材料参数 4 发电机模态分析 4.

θ) 6 将式 6 左乘 {φ} 得到 ([K] - ω [M]){φ} = 0 7 式 7 中 ω 为特征值其升序排列为 0 ω1 ω... ω ω 为电机的第 i 阶固有频率特征向 n 密度/kg m-³ 弹性模量/Pa 泊松比铁芯 7 80 11 1.9 10 0.79 绕组 8 980 1.

69 11 发电机噪声试验分析频率在 3 000 Hz 以内因此模态分析也只计算 3 000 Hz 以内的频率计算完成后前后端盖模态仿真计算结果如表所示其 T 部件 i 量 {φ i} 为电机的第 i 阶主振型 4.

1 89 1 413 915 转子无无无定子 568 1 454 58 整机 1 019 1 850 594 定子由铁芯和线圈构成绕组是定子模态频率前后端盖的第 1 阶第阶和第 3 阶模态振型的重要影响因素绕组的不规则性导致建模难度为图 11 所示前后端盖的振型主要集中在椭圆振大

4 第5期 47 基于阶次分析的爪极发电机电磁噪声源分析图 9 发电机定子和整机三维模型图 r/min 电磁力频谱图图 10 发电机定子和整机有限元模型万样机的主要零部件材料参数如表 1 所示图 r/min 电磁力频谱图表 1 发电机零部件材料参数 4 发电机模态分析 4.1 模态分析理论模态分析是用来计算结构的固有频率和振型电机自由振动时外部激励为 0 此时振动微分方程为 [13] [M]{u } +[K]{u} = 0 5 式中[M] 为质量矩阵 [K]为刚度矩阵 {u } 和 {u} 分别是用物理坐标描述的位移列阵和加速度列阵式 5 的解为 {u} ={φ}sin(ωt + θ) 6 将式 6 左乘 {φ} 得到 ([K] - ω [M]){φ} = 0 7 式 7 中 ω 为特征值其升序排列为 0 ω1 ω... ω ω 为电机的第 i 阶固有频率特征向 n 密度/kg m-³ 弹性模量/Pa 泊松比铁芯绕组轴端盖转子发电机噪声试验分析频率在 Hz 以内因此模态分析也只计算 Hz 以内的频率计算完成后前后端盖模态仿真计算结果如表所示其 T 部件 i 量 {φ i} 为电机的第 i 阶主振型 4. 发电机有限元模态分析本文利用 Catia 建立发电机零件和整机模型并在 Ansys 中建立有限元模型完成有限元模态仿真中转子在 Hz 无固有频率值低频噪声来源于转子部分振动的贡献很小表发电机零部件模态仿真结果部件 1 阶/Hz 阶/Hz 3 阶/Hz 前端盖后端盖转子无无无定子整机定子由铁芯和线圈构成绕组是定子模态频率前后端盖的第 1 阶第阶和第 3 阶模态振型的重要影响因素绕组的不规则性导致建模难度为图 11 所示前后端盖的振型主要集中在椭圆振大仿真时的力学参数难以确定已有文献表明采型和三角形振型两种且以与定子接触处的变形用等效体积法来建立定子模型和模态仿真是可行为主本文建立了等效体积的定子模型并对其定子有限元模态仿真定子模型的前 3 阶模态振它零件进行适当处理后建立了整机三维模型如图型分别为椭圆振型三角形振型和四边形振型如图 9 所示 1 所示的 [14 15] 网格划分时网格大小根据零件分别设置为整机的模态振型如图 13 所示第 1 阶振型为轴 mm 4 mm 样机的定子和整机有限元网格剖分如向振型第二振型为椭圆振型第 3 阶振型为三角形图 10 所示其中整机的网格和节点数约为 38 万和 56 振型从振型图看出变形主要集中在定子

48 噪声与振动控制第 34 卷表 3 模态试验结果前端盖前 3 阶模态振型图 (a) 后端盖前 3

模态分析模块进行试验和数据处理分析发电机的前端盖定子和整机的模态试验, 结果见表 3, 其中括号内为误差

噪声试验结果显示发电机噪声在低转速时以电零部件 1 阶 /Hz 前端盖 1 417(13.

1 %) 1 481(1.8 %) 1 810( -. %) 3 阶 /Hz 3 033(.0 %) 6(1.

4 %) 磁噪声为主, 在 500 r/min 时的 36 阶次噪声频率为 1 500 Hz 处, 以及在 4

电磁计算后电磁力的频谱结果显示 500 r/min 和 4 350 r/min 时在 1 4 和 36

500 转速 /r min -1 4 350 电磁力 /Hz 结构固有频率 /Hz 1 阶 (500) 4 阶

频谱分析表电磁力 /Hz 结构固有频率 /Hz 1 阶 (870) 4 阶 (1 740) 整机阶 (1

来说,36 阶次附近的电磁噪声主要来源于 36 阶次电磁激振力作用下在定子阶频率产生的共振 ; 而 4

阶次电磁激振力与定子和整机 3 阶的共振说明电磁力各峰值频率与电机结构的模态频率靠近时,

针对该机低速电磁噪声, 可从降低电磁力峰值和优化结构特性来入手, 从而改善电机振动, 达到控制电磁噪声的目的

5 48 噪声与振动控制第 34 卷表 3 模态试验结果前端盖前 3 阶模态振型图 (a) 后端盖前 3 阶模态振型图 (b) 图 11 前后端盖前 3 阶模态振型图图 1 定子前 3 阶模态振型图图 13 发电机整机前 3 阶模态振型 4.3 模态试验在采用锤击法的模态试验过程中, 用橡皮绳悬挂被测件来模拟自由状态, 整机模态试验布置如图 14 所示图 14 发电机模态试验悬挂图采用固定传感器和移动力锤的方式进行模态试验, 每个测点依次敲击三次进行平均, 以减少随机误 [16] 差试验利用 LMS 模态分析模块进行试验和数据处理分析发电机的前端盖定子和整机的模态试验, 结果见表 3, 其中括号内为误差模态试验和仿真结果的误差普遍可以接受, 说明仿真结果具有较好的可靠性 5 电磁噪声源研究噪声试验结果显示发电机噪声在低转速时以电零部件 1 阶 /Hz 前端盖 1 417(13.9 %) 定子 556( -. %) 整机 1 068(4.6 %) 阶 /Hz 1 484(6.1 %) 1 481(1.8 %) 1 810( -. %) 3 阶 /Hz 3 033(.0 %) 6(1.6 %) 63(1.4 %) 磁噪声为主, 在 500 r/min 时的 36 阶次噪声频率为 Hz 处, 以及在 r/min 时的 4 和 36 阶次, 即 1740 Hz 和 610 Hz 附近有较大峰值电磁计算后电磁力的频谱结果显示 500 r/min 和 r/min 时在 1 4 和 36 阶次具有峰值, 如表 4 和 5 所示表 r/min 频谱分析表转速 /r min 转速 /r min 电磁力 /Hz 结构固有频率 /Hz 1 阶 (500) 4 阶 (1 000) 36 阶 (1 500) 定子阶 (1 481) 表 r/min 频谱分析表电磁力 /Hz 结构固有频率 /Hz 1 阶 (870) 4 阶 (1 740) 整机阶 (1 810) 整机 3 阶 ( 63) 36 阶 ( 610) 定子 3 阶 ( 6) 对于 500 r/min 来说,36 阶次附近的电磁噪声主要来源于 36 阶次电磁激振力作用下在定子阶频率产生的共振 ; 而 r/min 时的 4 阶次附近的噪声主要来源于整机阶共振,36 阶附近的噪声主要来源于 36 阶次电磁激振力与定子和整机 3 阶的共振说明电磁力各峰值频率与电机结构的模态频率靠近时, 尤其是与定子频率接近时, 便会产生共振并辐射出较大的电磁噪声, 与噪声试验数据的阶次分析具有很好的一致性针对该机低速电磁噪声, 可从降低电磁力峰值和优化结构特性来入手, 从而改善电机振动, 达到控制电磁噪声的目的 6 结语通过某型车用爪极发电机噪声台架试验的两种工况对比, 发现低转速段的电磁噪声偏高问题严重影响了整车的 NVH 性能, 阶次分析发现 4 和 36 阶次是电磁噪声的主要成分建立发电机的电磁学模型, 并计算得到发电机负载工况下峰值噪声转速下的电磁力及频率成分建立零部件和整机模型, 得到模态分析结果联合电磁和结构 CAE 分析, 结合模态试验和噪声试验, 发现较大的电磁噪声是电磁力频率和结构频率一致时的共振所辐射出的爪极发电机的低转速范围内的电磁噪声控制可以通过避免电磁力频率和结构频

6 第 5 期基于阶次分析的爪极发电机电磁噪声源分析 49 率一致时的共振, 或者消弱电磁力高阶次频率峰值来达到降低电磁噪声的目的, 这为发电机电磁噪声控制提供了基础参考文献 : [1] 齐辉, 李永辉, 段建刚. 电机噪声的类别分析方法以及防治措施的研究进展 [J]. 微特电机,007,35(3): [] 宋志环. 永磁同步电动机电磁振动噪声源识别技术的研究 [D]. 沈阳 : 沈阳工业大学博士学位论文,010. [3] RAMA KRISHNAA S, RAMA KRISHNAB A, RAMJIB K. Reduction of motor fan noise using CFD and CAA simulations[j]. Applied Acoustics, 011, 7(1), [4] 陈昕, 王朝建, 王海洋, 等. 汽车发电机通风噪阶次分析方法研究 [J]. 微特电机,013,10: [5] SENOUSY M, LARSEN P, DING P. Electromagnetics, structural harmonics and acoustics coupled simulation on the stator of an electric motor[j]. SAE International Journal of Passenger Cars, 014, 7(): [6] GIRGIS R S, VERMA S P. Method for accurate determination resonant frequencies and vibration behavior of stators of electrical machines[j]. IEE Proceedings Electric Power Applications, 1981, (1): [7] VERMA S P, GIRGIS R S. Experimental verification of resonant frequencies and vibration behaviour of stators of electrical machines[j]. IEE Proceedings B - Electric Power Applications, 1981, 18(1): -3. [8] 代颖, 崔淑梅, 宋立伟. 车用电机的有限元模态分析 [J]. 中国电机工程学报,011,31(9): [9] 车用发电机的模态分析 [J]. 噪声与振动控制,013,33 (6): [10] 王远程. 阶次分析在齿轮变速箱故障诊断中的应用 [D]. 上海 : 同济大学,006. [11] 赵志军. 基于阶次分析与振速法的汽车主减速器在线质量检测的研究 [D]. 合肥 : 合肥工业大学,009. [1] 汪伟, 杨通强. 非稳态信号计算阶次分析中的重采样率研究 [J]. 振动测试与诊断,009,9,(3): [13] 李晓华. 基于锤击法的车用永磁同步电机的固有频率分析 [J]. 上海电力学院学报,013,9(5). [14] 韩伟, 贾启芬, 邱家俊. 异步电机定子的振动与模态分析 [J]. 振动与冲击,01,31(17): [15] 张艺华, 闫兵, 张胜杰, 等. 基于 Ansys 的车用交流发电机定子建模方法分析 [J]. 噪声与振动控制,015,35(4): [16] 梁君, 赵登峰. 模态分析方法综述 [J]. 现代制造工程, 006. ( 上接第 33 页 ) 的固有频率针对同一算例应用有限元方法, 同样得到了含裂纹梁的固有频率将两种方法的结果进行对比, 验证了本文所推导理论方法的合理性, 同时也得到了如下结论 : (1) 当裂纹深度为定值时, 随着裂纹位置远离梁的固定端, 其固有频率在增大, 与正常悬臂梁固有频率相比, 其固有频率的减小量在缩小 () 当裂纹位置为定值时, 随着裂纹深度的增大, 其固有频率在不断减小参考文献 : [1] 王金福, 李富才. 机械故障诊断的信号处理方法 : 频域分析 [J]. 噪声与振动控制,013,33(1): [] 孟范孔, 邱志成. 梁损伤小波包分析和神经网络识别 [J]. 噪声与振动控制,013,33(1): [3] 张敬芬, 赵德有. 工程结构裂纹损伤振动诊断的发展和展望 [J]. 振动与冲击,00,1(4):-6. [4] 李兵, 陈雪峰. 基于小波有限元的悬臂梁裂纹识别 [J]. 振动工程学报,004,17(): [5] 陈梦成, 汤任基. 一种裂纹梁振动响应分析的近似方法 [J]. 应用数学和力学,1997,18(3): [6] 李学平, 余志武. 含多处裂纹梁的振动分析 [J]. 应用力学学报,007,4(1): [7] 张佐辉, 李学平. 存在裂纹梁的动力分析 [J]. 长沙铁道学院学报,003,1(): [8] 苟兵旺, 刘永寿, 等. 轴向压力影响下裂纹梁振动特性分析 [J]. 机械设计与制造,009(1): [9] RIZOS P F, ASPRAGATHOS N, DIMAROGONAS A D. Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam[j]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 138: [10] DIMARONAS A D PAIPETIES S A. Analytical methods in rotor dynamics[m]. Elsevier applied science,london, 1983.

34 22 f t = f 0 w t + f r t f w θ t = F cos p - ω 0 t - φ 1 2 f r θ t = F cos p - ω 0 t - φ 2 3 p ω 0 F F φ 1 φ 2 t A B s Fig. 1

34 22 f t = f 0 w t + f r t f w θ t = F cos p - ω 0 t - φ 1 2 f r θ t = F cos p - ω 0 t - φ 2 3 p ω 0 F F φ 1 φ 2 t A B s Fig. 1 22 2 2018 2 Electri c Machines and Control Vol. 22 No. 2 Feb. 2018 1 2 3 3 1. 214082 2. 214082 3. 150001 DOI 10. 15938 /j. emc. 2018. 02. 005 TM 301. 4 A 1007-449X 2018 02-0033- 08 Research of permanent