维纳滤波器在信号降噪中的应用这就是著名的维纳 - 霍夫方程 [3], 其中 : Φ xs (k) m= h(m)φ xx (k m) (3) Φ ( ) ( )x (n m) (4) ( m) 是与 x(n+m) 的共轭函数 Φ xs (k) 是 x(n) 与 s(n) 的互相关函数, 定义为 :

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1 北京石油化工学院 2014 届优秀毕业论文维纳滤波器在信号降噪中的应用通信工程专业叶祥健指导教师张宁教授摘要维纳滤波是诺伯特维纳在二十世纪四十年代提出的一种滤波器, 是根据全部过去的和当前的观察数据来估计信号的当前值, 它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数 H(z) 或单位样本响应 h(n) 的形式给出的, 因此维纳滤波器也称为最佳线性滤波器本论文介绍了维纳滤波器的原理并运用 Matlab 软件进行仿真分析论文仿真分为两大块, 第一 : 不同信号加入白噪声之后输入维纳滤波器, 探讨噪声为白噪声时维纳滤波器对不同种类信号的滤波降噪效果第二 : 选取非周期音频信号加入白噪声之后输入维纳经典 fir 及自适应滤波器, 对比维纳滤波器与其他滤波器降噪效果从这两个方面实验展现了维纳滤波器自身特性, 得出维纳滤波器具有较好的性能关键词维纳滤波器, 仿真, 频域 1 前言在信号的检测与处理过程中, 通常要解决的问题就是如何从噪声中有效提取信号, 也就是有效滤波问题因此, 设计一种具有最佳线性过滤特性滤波器就成为信号检测领域的重要任务之一当夹杂有噪声的信号输入到该滤波器时, 输出端能将信号尽可能精确地恢复再现, 对噪声进行最大限度的抑制维纳过滤就是解决这类问题的过滤方法之一 [1] 在研究维纳滤波器滤波原理的基础上, 设计一个维纳滤波器, 用 MATLAB 对其进行仿真, 探讨影响维纳滤波器滤波效果的性能指标 2 维纳滤波器原理 2.1 维纳滤波器原理形式 : 维纳滤波是一种从噪声背景中提取信号的最佳线性方法, 假定一个随机信号 x(n) 具有以下 ( ) ( ) ( ) (1) 其中,s(n) 为有用信号,v(n) 为噪声干扰, 将其输入一个单位脉冲响应为 h(n) 的线性系统, 其输出为 : y( ) m= h(m)x(n m) (2) 我们希望 x(n) 通过这个系统后得到的 y(n) 尽可能接近于 s(n), 因此, 称 y(n) 为信号 s (n) 的估值按照最小均方误差准则,h(n) 应满足下面的正则方程 [2] : 1

2 维纳滤波器在信号降噪中的应用这就是著名的维纳 - 霍夫方程 [3], 其中 : Φ xs (k) m= h(m)φ xx (k m) (3) Φ ( ) ( )x (n m) (4) ( m) 是与 x(n+m) 的共轭函数 Φ xs (k) 是 x(n) 与 s(n) 的互相关函数, 定义为 : Φ ( ) ( ) (n m) (5) 在要求 h(n) 满足因果性的条件下, 求解维纳 - 霍夫方程是一个典型的难题虽然目前有几种求解 h(n) 的解析方法, 分别是 :L-D 算法 LMS 算法和利用解压缩算子线性方程组的非线性迭代算法 [4] L-D 算法在递推过程中, 舍入误差及其传递会影响计算精度 ;LMS 算法的步长难以快速准确地确定 ; 非线性迭代法需要较多的迭代次数来保证精度, 计算量较大 [5] 因此, 它们在计算机上实现起来非常困难为了求解维纳 - 霍夫方程, 本文中利用近似方法, 即最佳 FIR 维纳滤波方法, 在计算机上实现随机信号的维纳滤波 [6] FIR 滤波器的单位抽样响应是有限长的, 滤波器具有一定的稳定性 N 阶因果有限冲激响应滤波器的差分方程的表达式为 [7] : y( ) N 1 n=0 h(i) ( i) (6) 滤波器的输出 y(n) 只与当前的输入 x(n) 和有限个过去的输入有关 FIR 滤波器通过设计可以具有严格的线性相位, 同时又具有任意的幅度特性而且 FIR 滤波器由于单位冲激响应是有限长的, 因而可以大大提高运算效率 [8] 因此本文将 FIR 方法运用到维纳滤波器的设计中 2.2 FIR 维纳滤波器的设计设 h(n) 为一因果序列, 其长度为 N, 则 : 同样利用最小均方误差准则,h(n) 满足下面正则方程 [9] : y( ) N 1 m=0 h(m) ( m) (7) R xx h r xs (8) 其中 : h h(0), h(1),, p(n 1) T (9) ϕ xx (O) ϕ xx (1) ϕ R xx [ xx (1) ϕ xx (O) ϕ xx (N 1) ϕ xx (N 2) ϕ xx (N 1) ϕ xx (N 2) ] (10) ϕ xx (O) r xs ϕ xs (O), ϕ xs (1),, ϕ xs (N 1) T (11) 这里 T 表示转置运算, 称 R xx 为信号 x(n) 的 N 阶自相关矩阵,r xs 为 x(n) 与 s(n) 的互相关函数向量当 Rxx 为满秩矩阵时, 由公式 (8) 可得 : 2

1 不同信号输入维纳滤波器仿真在实验中, 改变输入信号类型, 并对信号进行加噪声处理 ( 高斯白噪声 ), 然后输入维纳滤波器进行滤波分析, 探讨不同信号输入维纳滤波器时的滤波效果 (1)

3 北京石油化工学院 2014 届优秀毕业论文 h R 1 xx r xs (12) 由此可见, 利用有限长的 h(n) 实现维纳滤波器, 只要已知 Rxx 和 rxs, 就可以按上式解得满足因果性的 h 这里序列的长度 N 也就是滤波器的阶数虽然它不同于真正的维纳滤波器, 但是只要 N 选择得足够大, 它就可以很好地逼近真正的维纳滤波器 [10] 3 维纳滤波器仿真 3.1 不同信号输入维纳滤波器仿真在实验中, 改变输入信号类型, 并对信号进行加噪声处理 ( 高斯白噪声 ), 然后输入维纳滤波器进行滤波分析, 探讨不同信号输入维纳滤波器时的滤波效果 (1) 滤波前后时域图形对比图 1 正弦波方波输入维纳滤波器滤波效果对比 (2) 均方误差分析程序运行结果 : 正弦波 Exn= Eyn= % 加噪后的均方误差 % 经过维纳滤波器后的均方误差方波 3

维纳滤波器在信号降噪中的应用 Exn=0.3146 Eyn=0.1284 % 加噪后的均方误差 % 经过维纳滤波器后的均方误差结论 :1. 从时域图形的比较上来看, 维纳滤波器对单一频率的正弦波信号降噪效果最好, 随着信号频率成分增多, 降噪效果减弱 2.

4 维纳滤波器在信号降噪中的应用 Exn= Eyn= % 加噪后的均方误差 % 经过维纳滤波器后的均方误差结论 :1. 从时域图形的比较上来看, 维纳滤波器对单一频率的正弦波信号降噪效果最好, 随着信号频率成分增多, 降噪效果减弱 2. 从均方误差来看, 维纳滤波器使输出信号与输入信号的均方误差有很大程度的减小, 即很大程度的还原了原始信号, 也就是完成了滤波效果 3.2 维纳经典 fir 自适应滤波器滤波效果对比在实验中, 统一采用非周期音频信号, 并对信号进行加噪声处理 ( 高斯白噪声 ), 然后分别输入维纳经典 fir 自适应滤波器, 进行横向对比分析 (1) 音频信号输入维纳经典 fir 自适应的滤波效果图 2 非周期音频信号输入维纳经典 fir 自适应滤波器滤波前后对比 (2) 均方误差分析程序运行结果 4

5 北京石油化工学院 2014 届优秀毕业论文 Exn= Eyn= Ey1n= e+003 Eynz1= % 加噪声后军方误差 % 经过维纳之后的均方差 % 经过 FIR 滤波器之后的均方差 % 经过自适应滤波器之后的均方差结论 : 1. 从滤波前后时域图形对比来看, 维纳滤波器对白噪声具有很强的滤波效果, 优于经典 fir 滤波器, 次与自适应滤波器, 而且不同于经典 fir 滤波器对噪声与有用信号重叠式无能为力, 维纳滤波器对白噪声的削弱作用是在整个频域上的, 对整个频域上噪声均具有很强的抑制,2. 从实验仿真均方误差结果, 很容易看出, 经过维纳滤波器的信号有着比经典 fir 滤波器小很多的均方差 ( 经过维纳滤波器处理的信号的均方差约等于经典 fir 滤波器的均方差的 1/13.3), 这也与维纳滤波器能更好的处理与噪声有重叠的情况有关维纳滤波具有最小的均方误差, 亦验证了维纳滤波器的最小均方误差准则说明 : 由于自适应滤波器式基于维纳滤波器基础之上进行改进的, 本文采用的是 RLS( 递归最小二乘 ) 自适应滤波器,RLS 自适应滤波器是著名的突出状态概念的卡尔曼 (Kalman) 滤波器的一个特例故自适应滤波器性能优于维纳滤波器在此也得到验证 [11] 4 结论本文通过对维纳 - 霍夫方程的分析, 利用最小均方误差准则设计维纳滤波器, 并基于 MatLab 环境编写程序仿真实现仿真包含两方面, 其一 : 采用不同信号输入维纳滤波器, 并进行分析, 其二 : 采用非周期音频信号输入维纳 fir 自适应滤波器进行横向比较得出如下结论: 一维纳滤波器解决了有用信号与噪声在频域上重叠时的滤波问题二维纳滤波器对单一频率多频率信号均有很好的滤波效果, 但随着信号频率增加, 维纳滤波器的滤波降噪效果也会稍微减弱三维纳滤波器的通带带宽不同于经典滤波器, 是随着输入信号的带宽而变化的, 经典滤波器时根据给定参数所设定的, 如果需要改变的话是需要手动更改 ( 此点结论是基于不同信号输入时, 维纳滤波器是频域响应得出 ) 四维纳滤波器对整个频域上噪声功率均有很强的削弱作用, 而经典滤波器对通带内 ( 噪声与有用信号在频域上重叠 ) 的噪声功率没有削弱效果, 此点有很大差别五维纳滤波器对信号的降噪处理具有最小的均方误差, 验证了维纳滤波器的最小均方误差准则 5

6 维纳滤波器在信号降噪中的应用参考文献 [1] 西蒙赫金. 自适应滤波器原理 [M]( 郑宝玉等译 ). 第四版. 北京 : 电子工业出版社, [2] 张专成. 因果维纳滤波器均方误差计算公式的简化 [J]. 武警工程学院学报,2002, 第 18 卷 ( 第 6 期 ):16-18 [3] 丁玉美, 高西全. 数字信号处理 [M]. 西安 : 西安电子科技大学出版, [4] 董长虹.Matlab 信号处理与应用 [M]. 北京 : 国防工业出版社, [5] Steven M.Kay. 统计信号处理基础估计与检测理论 [M]( 罗鹏飞等译 ). 北京 : 电子工业出版社, [6] 韩利竹, 王华. 电子仿真与应用 [M]. 北京 : 国防工业出版社, [7] 刘敏, 魏玲.MATLAB 通信仿真与应用 [M]. 北京 : 国防工业出版, [8] 邹鲲, 袁俊泉, 龚享铱.MATLAB 6.x 信号处理 [M]. 北京 : 清华大学出版社, [9] 斯特拉姆, 柯克. 现代线性系统 : 使用 MATLAB[M]( 刘树棠译 ). 西安 : 西安交通大学出版社, [10] 朱琦. 多声道语音增强系统中维纳滤波器的研究及其在语音识别中的应用 [J]. 信号处理,1997, 第 13 卷 ( 第 3 期 ): [11] 龚耀寰. 自适应滤波时域自适应滤波和智能天线 [M]. 北京 : 电子工业出版社, ,36-66 Abstract Wiener filter is a filter Norbert Wiener in the 1940s to make is the basis of all past and current observations to estimate the current value of the signal, its solution is based on the minimum mean square error obtained under the conditions of the transfer function H (z) form or unit sample response h (n) is given, and therefore optimal Wiener filter is also known as a linear filter. The principle of the Wiener filter has been introduced and use Matlab software simulation in this paper.simulation thesis is divided into two blocks, the first: the different signal input after adding white noise Wiener filter, Wiener filter investigate the effect of different types of filtering noise signals when the noise is white noise. Second: Select the non-periodic audio signal input after adding white noise Wiener, classic fir and adaptive filters, filters and other filter on noise reduction. From these two aspects of their experiments show the Wiener filter characteristics derived Wiener filter has better performance. Key words Wiener filter, simulation, frequency domain 6

第期房建成等动态定位的强跟踪卡尔曼滤波研究

第期房建成等动态定位的强跟踪卡尔曼滤波研究第卷第期年月东南大学学报房建成万德钧吴秋平东南大学仪器科学与工程系南京提出一种改进的强跟踪卡尔曼滤波算法应用于动态定位滤波中获得明显效果首先采用描述机动载体运动的当前统计模型建立了一种新的动态定位扩展卡尔曼滤波模型及其自适应算法然后为了进一步提高滤波器的动态性能改进了周东华等提出的强跟踪滤波器大大提高了动态定位扩展卡尔曼滤波器的跟踪能力动态定位卡尔曼滤波

维纳滤波器在信号降噪中的应用 这就是著名的维纳 - 霍夫方程 [3], 其中 : Φ xs (k) m= h(m)φ xx (k m) (3) Φ ( ) ( )x (n m) (4) ( m) 是与 x(n+m) 的共轭函数 Φ xs (k) 是 x(n) 与 s(n) 的互相关函数, 定义为 :

维纳滤波器在信号降噪中的应用这就是著名的维纳 - 霍夫方程 [3], 其中 : Φ xs (k) m= h(m)φ xx (k m) (3) Φ ( ) ( )x (n m) (4) ( m) 是与 x(n+m) 的共轭函数 Φ xs (k) 是 x(n) 与 s(n) 的互相关函数, 定义为 :