湖南师范大学自然科学学报第 3 卷 [1] 本文主要讨论用正定径向基函数解偏微分方程 { x (pu x )+ y (pu y )+qu=f(x,y),(x,y) Ω, Bu=g(x,y),(x,y) Ω, 其中 p>0,q 0 或者 p<0,q 0,Ω R,f(x,y),g(x,y) 是连续函数.

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钻镰焦
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1 011 年 10 月第 3 卷第 5 期湖南师范大学自然科学学报 JournalofNaturalScienceofHunanNormalUniversity Vol.3 No.5 Oct.,011 ( 广西师范大学数学科学学院, 中国桂林 5100) 讨论了用正定径向基函数解偏微分方程, 通过一个数值算例, 说明这个方法是可行的. 针对数值算例, 比较了在相同步长时, 不同的正定径向基函数对微分方程数值解的精确程度, 并比较不同的正定径向基函数在相同的形状参数时绝对误差的差异, 说明微分方程数值解的精确程度与径向基函数形状参数的取值密切相关. 同时也论证了在插值过程中所得到的矩阵方程解的存在唯一性. 径向基函数 ; 数值解 ; 偏微分方程 ; 线性无关!"# O1.81 $%&' A $# (011) ApplicationofRadialBasisFunctionsforPartialDiferentialEquations ZHANGYingchao (SchoolofMathematics,GuangxiNormalUniversity,Guilin5100,China) Abstract Analgorithm forpartialdiferentialequationsbasedonthepositivedefiniteradialbasisfuntions (RBF)approximationschemeispresented.Onemodelproblemofthealgorithmisgiven.Thecomparisonismade withtheexactsolutionsoftheproblem bydiferentshapeparameterwhendiferentradialbasisfunctionsare chosen.numericalresultsshowthatmethodofersaveryhighaccuracyincomputationofthepartialdiferential equation.itshowsthatchoiceofshapeparameterisimportant.theobtainedcoeficientmatrixisprovedtobenon singular,thatis,matrixequationhasasolution. Keywords RBF;numericalsolutions;partialdiferentialequation;linearindependent 一般地, 许多物理现象和工程技术问题都可以归结为一个微分方程. 微分方程的解析解可以通过分离变量法和积分变换法等方法得到. 微分方程的数值逼近可以通过 Euler 法,RungeKuta 法和数值积分等方法得到 [1]. 近几十年来, 人们的主要目标是寻找各种各样的无网格方法, 利用径向基函数 (RBF) 解微分方程是受到普遍关注的无网格方法.1971 年,Hardy [3] 总结评论了关于 multiquadric(mq) 函数的各种应用, 特别是在地理, 遥感, 信号系统等方面的成功应用. 自从 Kansa [5] 用径向基函数解偏微分方程 (PDE), 得到非常精确的解后, 用径向基函数解偏微分方程引起越来越多的关注, 并且 Madych 和 Nelson [3,67] 证实了 MQ 函数插值的收敛性. 近 10 年来, 用径向基函数配置法解偏微分方程受到广泛关注, 人们已经用径向基函数配置法解线性和非线性的偏微分方程 [811], 有的用径向基函数配置法逼近椭圆型偏微分方程数值解 [113], 并且取得了不错的结果, 但是在逼近过程中所得到矩阵方程的系数矩阵是否可逆还没有被验证, 即, 数值解的唯一性还没有被验证. (:01101 )*+: 国家自然科学基金资助项目 ( ),-./, zhych031@163.com

2 湖南师范大学自然科学学报第 3 卷 [1] 本文主要讨论用正定径向基函数解偏微分方程 { x (pu x )+ y (pu y )+qu=f(x,y),(x,y) Ω, Bu=g(x,y),(x,y) Ω, 其中 p>0,q 0 或者 p<0,q 0,Ω R,f(x,y),g(x,y) 是连续函数. 本文主要讨论在插值过程中, 所得到的矩阵方程的解的唯一性, 还讨论了径向基函数的形状参数对数值解的影响. 以下是常用的正定径向基函数. 高斯径向基函数 (Gauss):(r)=e -cr (c>0); 逆 MQ 函数 (InverseMultiquadrics):(r)= 1 槡 c +r (c>0); 分式径向基函数 (Fraction):(r)= c +r (c>0) c 对于任意阶可微函数 u(r),r Ω R n, 在 Ω 内配置 N 个散乱的数据点 r 1,r,,r N, 令 u(r) u N (r)= λ j ( r-r j ), () 其中 λ 1,λ,,λ N 是待定系数,( r-r j )(,, ) 是正定径向基函数, 是欧几里得范数. 本文取 n=, 即 r=(x,y). 1 [1] 处大于零. [15] 函数 Φ(x)=( x ) 是正定函数的充分必要条件是 Φ(x) 的傅里叶变换珦 Φ(ω) 几乎处若 F[Φ(x)] 是 Φ(x) 的傅立叶变换, 那么 F[Φ (x)]=(iω) F[Φ(x)]. 考虑正定径向基函数 ( r-r j )(,, ), 设 Φ(r-r j )=p( xx ( r-r j )+ yy ( r-r j ))+q( r-r j )(,, ), 因为 r=(x,y), 所以 Φ(r-r j )=Φ(x-x j,y-y j )(,, ), 且 Φ(x-x j,y-y j ) 的傅立叶变换是珦 Φ(ω 1,ω )= + Φ(x-x j,y-y j )e -iω 1 (x-x j ) e -iω (y-y j ) dxdy. 1 1 若 Φ(x-x j,y-y j ) 的傅立叶变换是珦 Φ(ω 1,ω )=F[Φ(x-x j,y-y j )], (3) 那么当 p>0 且 q 0 时, 珦 Φ(ω 1,ω )<0; 当 p<0 且 q 0 时, 珦 Φ(ω 1,ω )>0. 根据傅立叶变换的性质珦 Φ(ω 1,ω )=F[Φ(x-x j,y-y j )]=F[p( xx ( r-r j )+ yy ( r-r j ))+q( r-r j )]= pf[ xx ( r-r j )]+pf[ yy ( r-r j )]+qf[( r-r j )]= (iω 1 ) pf[( r-r j )]+(iω ) pf[( r-r j )]+qf[( r-r j )]= -(pω 1 +pω -q)f[( r-r j )]+F[( r-r j )]. 因为 ( r-r j )(,, ) 是正定径向基函数, 根据引理 1, 当 p>0 且 q 0 时,-(pω 1 +pω -q) <0, 珦 Φ(ω 1,ω )<0; 当 p<0 且 q 0 时,-(pω 1 +pω -q) >0, 珦 Φ(ω 1,ω )>0. 1 当 p>0 且 q 0,Φ(r-r 1 ),Φ(r-r ),,Φ(r-r N ), 线性无关. 从 Φ(r-r 1 ),Φ(r-r ),,Φ(r-r N ),, 中取截断 {Φ(r-r N )} N. 假设 {Φ(r-r N )} N 线性相关, 那么存在不全为零的 λ j (1 j N) 使得下式成立 λ j Φ(r-r j )=0. (1)

3 第 5 期张颖超 : 用径向基函数解偏微分方程 3 令 r=r k =(x k,y k ), 那么由 (3) 式 0= + λ j Φ(r-r j )= 由 () 式, 根据定理 1, N λ j 珦 Φ(ω 1,ω )e iω 1 (x-x j ) e iω (y-y j ) dω 1 dω = e iω 1 x e iω y λ j 珦 Φ(ω 1,ω )e -iω 1 x j e -iω y j dω 1 dω = N e iω 1 x k e iω y k λ j 珦 Φ(ω 1,ω )e -iω 1 x j e -iω y j dω 1 dω, () ( λ j e iω 1 (x k -x j ) e iω (y k -y j ) 珦 Φ(ω 1,ω )dω 1 dω = N k=1 λ k k=1 N λ k e iω 1 x k e iω y k λ j e -iω 1 x j e iω x j 珦 Φ(ω 1,ω )dω 1 dω = N e iω 1 x k e iω y k λ j e -iω 1 x j e iω y k 珦 Φ(ω 1,ω )dω 1 dω. λ N j e iω 1 (x k -x j ) e iω (y k -y j ) 珦 Φ(ω 1,ω )dω 1 dω =0. λ j e iω 1 (x k -x j ) e iω (y k -y j ) =0. 因此 λ j =0,1 j N, 所以假设不成立. 所以 Φ(r-r 1 ),Φ(r-r ),,Φ(r-r N ), 线性无关考虑偏微分方程 { x (pu x )+ y (pu y )+qu=f(x,y),(x,y) Ω, Bu=g(x,y),(x,y) Ω, 其中 p>0,q 0 或者 p<0,q 0,Ω R,f(x,y),g(x,y) 是连续函数,B 是边界算子. 在 Ω 内配置 N 个离散的数据点 r 1,r,,r N, 其中 r 1,r,,r L 是内部节点,r L+1,r L+,,r N 是外部节点. 设方程 (1) 的数值解为 u N (r)= λ j ( r-r j ), (5) 其中 λ 1,λ,,λ N 为待定系数. 由 (1) 式和 (5) 式得 λ j (p ( r i -r j )+q( r i -r j ))=f(r i ),i=1,,,l (6) λ j B( r i -r j )=g(r i ),i=l+1,l+,,n, (7) 由 (6) 式,(7) 式得到矩阵方程其中 Aλ=F, (8) Φ(r 1 -r 1 ) Φ(r 1 -r ) Φ(r 1 -r N ) Φ(r L -r 1 ) Φ(r L -r ) Φ(r L -r N ) A = B( r L+1 -r 1 ) B( r L+1 -r ) B( r L+1 -r N ) B( r N -x 1 ) B( r N -r ) B( r N -r N ) λ=( λ 1,λ,,λ ) T,F =( N f(r 1 ), f(r L ),g(r L+1 ),,g(r ) N ) T 由定理知, 矩阵方程 (8) 的系数矩阵是非奇异的, 所以矩阵方程有唯一解, 只要从 (8) 式中解出 λ, 就

4 湖南师范大学自然科学学报第 3 卷可以得到方程 (1) 的近似解 u N (r)= λ j ( r-r j ). 56 在这一部分, 我们将通过一个数值算例来讨论正定径向基函数解常微分方程, 用绝对误差描述数值解与精确解的差别. 绝对误差的形式如下 Eror=maxE(x)-Num(x), 其中 E(x) 是精确解,Num(x) 是数值解. 6 已知偏微分方程 -(u xx +u yy )+u=6sinxcosy, (x,y) Ω, { u Γ =0. (x,y) Ω, 其中 Ω =[0,π] [- π,π ],Γ 是 Ω 的边界. 此微分方程的精确解是 u=sinxcosy. 下面利用径向基函数配置法对上述微分方程求数值解, 把区域 Ω 等分, 步长 h= π, 分别选用 (r) = c e -cr (c>0, 为形状参数 ) 和 (r)= c +r (c>0, 为形状参数 ) 作为基函数, 所得数值解与精确解的绝对误差结果如表 1 和表. 7 1 (r)=e -cr,!" h E(x) Erorc=0.03 Erorc=0.05 Erorc=0.5 ( π,- π ) E E ( π,0) E E ( π,π ) E E ( π,- π ) E E ( π,0) E E ( π,π ) E E ( 3π,- π ) E E ( 3π,0) E E ( 3π,π ) E E (0,- π ) E E (0,0) E E (0, π ) E E ( π,- π ) E E ( π,- π ) E E (π,- π ) E E (π,0) E E (π, π ) E E

5 第 5 期张颖超 : 用径向基函数解偏微分方程 5 7 (r)= c c +r, h E(x) Erorc=7.6 Erorc=0.05 Erorc=0.5 ( π,- π ) ( π,0) ( π,π ) ( π,- π ) ( π,0) ( π,π ) ( 3π,- π ) ( 3π,0) ( 3π,π ) (0,- π ) (0,0) (0, π ) ( π,- π ) ( π,- π ) (π,- π ) (π,0) (π, π ) 表 1, 表取相同的步长 h= π, 但是径向基函数不同. 表 1 以 (r)=e -cr 为径向基函数, 当取形状参数 c=0.03 和 c=0.05, 绝对误差均达到 10 -, 取形状参数 c=0.5, 最大绝对误差为表以径向基函 c 数 (r)= c +r (c>0, 为形状参数 ) 作为基函数, 当形状参数 c=0.5, 绝对误差达到通过表 1 和表注意到, 当取相同的形状参数 c=0.5, 所得到的绝对误差都达到了 10-3, 但是 c=0.05 时, 表的绝对误差明显不好. 通过数值实验, 当径向基函数 (r)=e -cr 的形状参数 c 0.1 时, 最大绝对误差为 10-3, 当形状参数 c>0.1, 最大绝对误差精确程度很差 ; 当径向基函数 (r) = 的形状参数 c +r 1 c 时, 最大绝对误差为 0.1, 当形状参数 c 10, 最大绝对误差精确程度可以达到 10-3, 而在 0 到 1 之间取值时, 变化比较大本文成功地用正定径向基函数解一类偏微分方程, 通过与精确解作比较, 有很小的绝对误差, 所以在插值点得到令人满意的数值解, 并验证了逼近过程中所得到的矩阵方程有唯一解. 在数值算例部分, 选用了不同的径向基函数作为基函数进行数值逼近, 当取合适的形状参数时, 都可以得到令人满意的数值解. 但是注意到, 选择相同的步长及不同的形状参数, 有不同的绝对误差, 所以所得数值解与径向基函数形状参数的选取密切相关. 如何选取形状参数, 已经引起很多专家学者的注意. 一般地, 通过个形状参数, 对所得数值解进行比较, 逐步选取合适的形状参数, 根据经验逐步计算, 这种方法并不是很好, 甚至有时候不能得到满意的数值解. 所以径向基函数的形状参数如何选取, 还是需要进一步研究的问题. c

6 6 湖南师范大学自然科学学报第 3 卷另外, 本文的数值实验部分, 通过数值比较, 用 Gauss 函数 (r)=e -cr 做为基函数明显优于用 (r)= c 作为基函数, 那么, 一类微分方程哪一类径向基函数可以得到比较好的数值解, 这也是需要进一步研 c +r 究的问题. 一般来说, 比较常用的是 Gauss 函数 (r)=e -cr 作为基函数. :;$%: [1] 胡建伟, 汤怀民. 微分方程数值方法 [M]. 天津 : 科学出版社,1999. [] 张池平. 数值方法 [M]. 北京 : 科学出版社,006. [3] MADYCH W R.Miscelaneouserorboundsformultiquadricandrelatedinterpolators[J].ComputMathApplic,199, (1): [] KANSAEJ.Multiquadrics:ascarereddataapproximationschemewithapplicationtocomputationalfluiddynamics:surface approximationsandpartialderivativeestimates[j].computmathapplic,1990,19(8/9):1715. [5] KANSAEJ.Multiquadrics:ascarereddataapproximationschemewithapplicationtocomputationalfluiddynamics:parabolic, andelipticpartialdiferentialequations[j].computmathapplic,1990,19(8/9): [6] MADYCHW R,NELSONSA.Miscelaneouserorboundsformultiquadicandrelatedinterpolators[J].ComputMathAppl, 199,(1): [7] MADYCH W R,NELSONSA,NELSON.Multivariateinterpolationandconditionalypositivedefinitefunctions[J].Math Comput,1990,5(189):1130. [8] KHATTAKAJ,LSLAM SU.AcomparativestudyofnumericalsolutionsofaclasofKdVequation[J].ApplMathComput, 008,199():53. [9] LSLAM SU,HAQSM,UDDIN.Ameshfreeinterpolationmethodforthenumericalsolutionofthecouplednonlinearpartial diferentialequations[j].enganalboundelem,009,33(3): [10] CHENR,WUZM.Solvingpartialdiferentialequationbyusingmultiquadricquasiinterpolation[J].ApplMathComput, 007,186(): [11] KHATTAKAJ,TIRMIZISIA,LSAM SU.Applicationofmeshfreecolocationmethodtoaclasofnonlinearpartialdifer entialequations[j].enganalboundelem,009,33(5): [1] 秦伶俐, 黄文彬, 周?. 径向基函数在无单元方法中的应用 [J]. 中国农业大学学报,00,9(6):808. [13] 钱向东. 基于紧支径向基函数的配点型无网格方法 [J]. 河海大学学报,00,9(1):9698. [1] WUZM.Compactlysupportedpositivedefiniteradialfunctions[J].AICM,1995,(1):839. [15] 张元林. 积分变换 [M]. 南京 : 高教出版社,007. [16] BEATSONRK,POWELLM JD.Univariatemultiquadricapproximation:quasiinterpolationtoscatereddata[J].Constr Approx,199,3(8):7588. (#$ %&')

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik