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定亘以
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1 第 8 物理光學光的干涉與繞射 8- 光學發展史本章及下一章, 我們將對光學作一詳細的描述, 這兩章所包含的材料, 是過去約 3 年來人類知識的累積, 我們先就光學的發展史, 作一簡單的描述在人類的歷史中, 很早以前 ( 約 B.C.), 即有有關眼鏡的記載古中國墨子亦曾作過關於凹凸面鏡的研究, 戰國時代, 更有聚光成火 ( 即使用透鏡 ) 的情形古埃及則在 9B.C. 即發現有平面鏡 ( 最早為銅製, 後改用銅與錫的合金 ) 希臘的早期哲人, 如 Pythagoras, Democritus, Empedocles, Plato, Aristotle 諸人, 則各提出光的性質的一些理論 ( 這些理論很接近十九世紀的以太學說 ) 紀元前 3 年, 歐基理得在他所著的書 "Catoptrics" 中, 首先提及光的直線傳播及光的反射定律當時的人,( 亞歷山大城的 Hero), 曾嘗試以光行最短距離的假設, 來說明這兩個現象 Aristophanes 曾在他的喜劇 "The Clouds" (44B.C.) 中, 提及過會起火的玻璃 ( 即凸透鏡 ) Plato 的 "Republic" 一書中亦已提及半沉於水中的物體, 有彎折的現象紀元後 5 年,Cleomedes 研究過折射現象, 約 8 年後, 亞歷山大城的 Claudius Ptolemy 曾仔細的測量過光經某些介質折射後的折射角依羅馬歷史學家 Pliny

2 (3-79A.D.) 的記載, 當時的羅馬人已擁有凸透鏡在古羅馬廢墟中, 亦已發現大批的玻璃及其他晶體的球, 可能是被用來引火用的另外, 羅馬的哲學家 Seneca(3B.C.-65A.D.) 亦曾指出, 在一玻璃球殼內, 注入水後, 可以用來放大物體 ( 即放大鏡 ) 這種放大鏡很可能為當時羅馬的傑出彫塑家, 所普遍使用於極精細的彫刻作品中西羅馬帝國衰亡後 (475A.D.), 黑暗時代隨之而起, 科學的進展因之停頓在地中海區域的基督教文化很快的被回教文化所取代亞歷山大城在 64A.D. 時落入回教徒手中, 在十七世紀末葉, 回教文化涵蓋了波斯地中海南岸及西班牙科學的中心也因此移到阿拉伯世界中大約在紀元後年左右, 阿拉伯的 Alhazen, 致力於反射定律的研究, 他對入射角與反射角作了很精確的測量, 也對球面鏡拋物面鏡及人類的眼睛的結構作了極有價值的探討 Alhazen 的著作, 譯成拉丁文後, 對 R. Grosseteste(75-53) 影響很大, 這些譯文被 R. Bacon(5-94) 看到後, 很快的他就有了以透鏡來彌補眼力的構想 Bacon 似乎也知道, 用複合透鏡可以把遠處的物體, 拉進到眼前的事 ( 即望遠鏡 ) Bacon 死後, 光學的進展再次停頓一直到十五世紀中末葉 Leonardo da Vinci( 達文西,45-59) 才又使光學起死回生, 達文西曾描述影像留存 ( 即照相機 ) 的問題, 後來,Giovanie B. Della Porta(535-65) 也討論過複合透鏡及

3 多面鏡的問題折射式望遠鏡的真正發明者, 在歷史上並無詳細記載, 但由野史可知, 似為一荷蘭磨鏡師首先製成加利略聽到這消息後, 在數月間自己動手製造了一架望遠鏡顯微鏡約在同時期被發明 ( 可能係荷蘭人 Z. Janssen(588-63) 所發明 ) 克卜勒(J. Kepler, 57-63) 改良了當時的望遠鏡, 並用其觀察行星的運行加利略在 6 年元月 7 日, 以他製造的望遠鏡, 發現了木星的衛星同年, 又發現土星環, 並由太陽黑子的變化推論太陽並非靜止, 而係持續不停的轉動不久, 加利略又發現了太陽表面有黑子的活動 6 年, 克卜勒發表他的 Dioptrique, 文中描述了全反射現象, 並得到在折射現象中, 如入射角很小時, 折射角與入射角成一比例關係的結論荷蘭來頓的教授司乃耳 (Snell,59-66), 由經驗發現了現在所知的折射定律從此, 光學又進入坦途後來,R. Descartes ( 笛卡兒 ) 首先以正弦公式來表示出折射定律, 他又提出了一個折射定律的理論模型, 即是把光看為在一種彈性介質中傳遞的壓力波費馬 (Fermat,6-665) 更由他的最短時間原理, 重新導出了折射定律 ( 此與 Hero 的最短距離不同 ) 關於光的繞射現象, 首先由 F.M. Grimaldi(68-663) 提出, 他是從觀察一被小光源照射的桿所形成的影中, 出現一些光帶而發現 3

4 繞射現象的, 但他的發現並不為當時的人所知悉後來, 虎克 (Hooke,635-73) 也發現了繞射現象, 虎克也是第一個研究薄膜產生的彩色干涉效應的人他提出光乃係一種在彈性介質中急速振動的構想, 光速是很大的, 而且其每一振動均以球形發佈而出, 此乃光的波動理論的濫觴加利略逝世那年, 另一物理天才牛頓出生了 (64-77) 牛頓對光學的態度是, 一切現象的理論解釋需有實驗當根據, 而捨棄了任何哲學式的假說因此, 他對光究竟係粒子束? 抑或是如彈性介質中的振動波的本質? 等問題, 思考了相當長的一段時間牛頓在二十三歲時, 做了關於光的色散現象的實驗, 從觀察中, 他認為光是一種微粒子束, 此粒子末激發了彈性介質 ( 稱為以太的振動, 紅色光使得以太的振動最大, 紫色光最小, 因振動程度的不同, 而使得人眼得以觀察到光的不同顏色 ) 在牛頓的理論中, 事實上同時接受了微粒說及波動說但當他越年長的時候, 他卻越傾向於光的微粒說, 這原因可能是由於觀察到光的直線進行的現象, 波動說是無法完滿的解釋的牛頓由於僅做了一些有限的實驗, 他認為要完全消除折射式望遠鏡的色散現象是不可能的, 因此他就著手去製造反射式望遠鏡,668 年, 牛頓的第一架反射式望遠鏡製成了, 雖然它只有六吋長, 及一吋的直徑, 但放大倍數約達 3 倍約在牛頓致力鼓吹光的粒子說的同時, 海更士 4

5 (Huygens,69-695) 卻將光的波動說發揚光大海更士不同於笛卡兒虎克及牛頓的說法, 認為光在較密的介質中, 速度應該減慢海更士用他的波動理論, 不但可以解釋光的反射及折射定律, 甚至對於鈣化合物的雙折射現象也能解釋他在研究鈣化合物的雙折射現象時, 更發現了光的偏振現象至於光速的測定, 首由隆美耳 (Roemer) 於 676 年, 觀測木星的月蝕所得到 77 年, 英國天文學家布拉德雷 (Bradley) 由於觀測到星體顯似運動 (apparent motion) 現象, 而測得光速約為.9974 x 8 公尺 / 秒, 這結果實際上已與最近精密測量的結果非常接近後又經由富可菲佐 (Fizeau) 邁克生(Michelson) Gaviola 等人的精密測定, 光速的數值於焉為科學界所公認光的波動說, 當時少有實驗支持, 楊格 (T. Young,773-89) 可以說是波動說的大功臣之一, 他不但發現了光的干涉現象, 而且替波動說注入了不少新血, 並提出干涉原理 ( 重疊原理 ); 他能夠解釋薄膜的彩色環紋, 並利用牛頓的實驗數據, 來決定不同顏色光的波長諾曼第的夫瑞奈 (Fresnel,788-87), 當時不知有楊格實驗的情況下, 在楊格的論文發表十三年後, 大大的改進了海更士的波動說, 並重新提出干涉原理夫瑞奈繞射的數學理論, 受到 Arago( ) 的賞識, 並參與理論的研究, 也一起接受當時成名 5

6 的科學家嚴厲的批評夫瑞奈不僅可以計算出各種不同的障礙物所引起的繞射圖形, 而且也能圓滿地解釋光在各種同性介質中的直線傳播的現象 88 年,E.L. Malus(775-8) 發現了偏振的基本定律, 夫瑞奈 Arago 及楊格分別欲對光的偏振現象做解釋, 但卻被夫瑞奈所提出的光為縱波的理論所苦, 而毫無進展後來, 楊格捨棄了光的縱波說, 認為光為橫波, 偏振化現象因此得以迎刃而解約當光學正在蓬勃發展的同時, 電磁學的進展, 也經由法拉第安培比歐及沙伐等人的努力, 而加速的展開馬克士威 (Maxwell,83-879) 更集大成, 而發展出電磁波的理論, 後經由赫茲 (Hertz, ) 的實驗, 證明了光乃電磁波的一種至此, 光為一種波動似乎已無可爭議的餘地了剩下來的事是如何來決定光的介質以太的物理性質 879 年, 馬克士威在寫給美國物理學家 D.P. Todd 的信中, 曾提及一法, 可以用來測定星體在以太中的速度, 這個方法很快的被一位年輕的物理學家邁克生 (Michelson,85-93) 所接受, 數年後, 他設計了第一架干涉儀 (interferometer) 邁克生首先在柏林做第一次的測量, 以求出地球在以太中的運行速度, 但因柏林當時交通繁忙, 影響他的實驗, 因此於 88 年, 他將儀器移到波茨坦去做實驗結果顯示, 地球在 6

7 以太中運行時, 並無可察覺的運動, 換言之, 以太可能不是靜止不動的這個結果, 引起了另一位在 Western Reserve 大學任教的化學教授莫雷 (Morley) 的注意, 他也參與了邁克生的實驗, 但結果仍然是否定的邁克生及莫雷的實驗, 引致了很多的理論解釋, 在這些解釋中, Poincare(854-9) 是第一個建議放棄光有以太介質的說法 95 年, 時年二十六歲的愛因斯坦 ( ), 在他的相對論中, 不約而同的明白揚棄了以太的學說 9 年, 卜朗克 (Planck, ) 提出了量子論, 認為物質發射或吸收光, 是以一種粒子 ( 稱為量子 ) 的形式進行的 95 年, 愛因斯坦更徹底的假設不僅在發射或吸收時, 光能以粒子的形式來進行, 而且提出了一種新的光的粒子說, 他認為光係由一些具能量的粒子 ( 稱為光量子 ) 組成, 每一光量子的能量與光的頻率 ν 成正比, 且以波動進行至此, 光乃由微粒說變成波動說, 再一次蛻變成微粒波動的二象說了晚近, 應用光學的進展更是神速, 由於光譜儀的發明, 使得原子的結構更為清楚最近高速率計算機的發明, 更使的複雜光學儀器的設計改進甚多離子碰撞磨光術的發現, 使得光學儀器的製造更形精細單層及多層塗佈現象 (coating technique) 的改進, 亦使光學儀 7

8 器的精細度提高甚多光導管的發現, 使得醫療技術得以日進千里, 內視鏡及胃鏡均拜光導管之賜其他如紅外線端的電磁波 ( 即微波 ) 的發現, 而有了很多科學上及日常生活上 ( 如微波烤箱 ) 的應用玻璃陶瓷 (glass-ceramics) 的發現, 亦使得我們可以製造出超低熱膨脹的物質由於光學儀器的發展, 使得天文學的觀察, 得以涵蓋所有的光譜則係在本世紀六十年代即以完成了 96 年發展出來的雷射, 經過二十多年的研究, 其光束已從紅外線一直涵蓋到紫外線的範圍這些高度同調光 (coherent light) 的發現, 產生了很多新的光學效應及設計出許多的光學工具, 如雷射鑚孔雷射切割死光立體顯相雷射通訊和雷射導航等等, 均快速的發展光學的進展, 也帶動了其他部門的發展, 而有了光電學雷射光學及其他新的學科 8- 光的干涉現象本章將討論光的波動理論, 至於光的線理論由於只是簡單的幾何學的應用, 而且已在高中學習甚多, 此處不予敘述當兩道光是同源 (coherence) 時, 則當它們在空間某處相遇時, 合成光的振福及強度與個別光束是很不相同的, 這種兩光束相遇所發生的效應與兩波相遇所發生的重疊現象是相同的, 因此光顯然具有波動的特性, 上述兩同源光相遇時產生振福及強度變化的情形, 稱為光的干涉 8

9 若合成光的強度比各別光的強度大者, 稱為建設性干涉, 反之, 稱為破壞性干涉第一位從實驗詳細分析干涉現象的人是英國人楊格 (Young),8 年, 楊格做了一個雙狹縫實驗, 他的實驗及分析如下 : 由海更士原理, 到達 S 及 S 狹縫的波前可以發射球形子波, 見圖 8- 這些子波在 S 及 S 是同相位的, 但當她們離開狹縫到達屏幕上的 P 點時, 由於所走的路徑是不一樣長的, 因此引起圖 8- 了光程差 Δ x, 這光程差也因而引起了兩光波到達 P 點時的波相差 Δx Δ ϕ = π 設原來由 S 發生之子波到達 P 點時, 其波函數表示為 y = A sin( kx ωt ), 則原來由 S 發出之子波到達 P 點時, 其波函數因與由 S 發生之子波到達 P 點時的波函數之間, 由於行進路徑的差異而有了波相差 α =Δ ϕ, 因此可表示為 y = A sin( kx ωt ) = A sin( kx ωt + α), 當然兩子波的振幅 A 及 A 應相等,( 由海更士原理, 因要產生干涉的兩子波需同時到達空間某處 P, 故因此 t = t = t), 故兩波之波相差 Δ π π ϕ = α = ( kx ωt) ( kx ωt) = k( x x) = ( x x) x = Δ, 在有介質 ( 折射率為 n ) 之情形, 則須作如下之修正, 波相差與路徑差的關係 n 9

10 π 為 Δ ϕ = n Δ x 因波相差 α 完全是由於兩波所經的路徑長不相同所 x x 引起的 ( 波相差為 Δ ϕ = ( )π ), 故在處某一時刻, 所發出之各子波, 雖然原來均為同相, 但如各走了不同之距離時 ( 設為有 Δ x 之路徑差 ), 則會另行引入 π Δx 之波相差 ( 或稱光程差 ), Δ x 為兩束光所走的距離差, 稱為光程差, 故相位差 = π = 光程差, 今利用這些討論來看楊格雙狹縫實驗光程差 = SP SP =Δ x= dsinθ, 如圖 8- 所示但通常狹縫與屏幕間之距離 >> 狹縫之間之距離 d, 故 OP 可看成幾乎 x 垂直 SA, 因此 θ θ, 故光行差 dsinθ d, 因為這二光束走了不 D π 同路徑, 而有了光行差 δ, 因此會產生 δ = d sinθ 的相角差, 故可假設由 S 至 P 之光波及由 S 至 P 之光波可用下列表示 y = A sin( ω t α ) (8-a) y = A sin( ωt α ) (8-b) α π α = δ = - d sinθ 今先假設 A 及 A 不相等, 實際上由海更士原理知由 S 及 S 發生之子波, 如不受摩擦及其他散射現象之影響, 其振幅應不變, 故 A 及 A 應相等, 但為了討論方便, 我們先假設 A A, 最後再讓 A = A,(8-a) 和 (7-b) 係因二波到達 P 時之波函數, 故此時二波應重疊, 故得 y = y + y = A sinωt cosα A cosωt sinα + A sinωt cosα A cosωt sinα = = ( A cosα + A cos α )sin ωt ( A sinα + A sin α )cosωt = = Asin( ω t θ) = Asinω t cosθ Acosωtsinθ (8-c)

11 A 及 α 均為常數, 由上式可得 : ( Acosα+ Acos α) = Acosθ, ( A sinα + A sin α ) = Asinθ 故 A A A AA A A AA tanθ = + + cos( α α ) = + + cosδ (8-a) A sinα A cosα = (8-b) + + A sinα A cosα δ 令 A = A = A, 得 A = A + A cosδ = A(+ cos δ) = 4A cos 因此 A = 4A cos (8-c) δ 故干涉後之強度與相位差 ( 即光程差 ) 之餘弦平方成正比, 當 δ δ =, π,4 π,..., 亦即 δ= nπ n=,,,3... 時, cos 最大, 即得到最大亮點之強度為 4 A, 而當 δ = π,3 π,5 π,... 或 δ= (n+ ) π n=,,,3..., δ cos 最小, 即得到最大暗點之強度為 π 因為波相差 δ = d sinθ, 故如光程差 d sin θ = n ( n =,,,3,...), 則該點為亮點, 如圖 8- 所示, 若屏幕上的點, 係由兩個子波具有光程差為 d sin θ = ( n + / ) ( n =,,,3,...) 所集合而成時, 則該點為一暗 n 點故 d sinθ = ( n + ) 因 sin θ x D D n d x = D ( n + ) d, 故上式也可寫成亮暗亮, (8-a) 暗 (8-b) 圖 8- 上式中的 n 稱為干涉條紋之級數, 而干涉圖形之強度如圖 8- 所示

12 8-- 振幅的向量相加從上面方程式 (8-c) 可知兩個波的重疊, 可以看成向量相加一樣 ( 假如只要知道其強度或振幅時 ), 如上面所討論 y = Acos( ωt α) ( 波 )+ y = A cos( ωt α )( 波 )= Asin( ωt θ ) = y( 合波 ) 而合成波振幅平方 A = A + A + A A cos( α α ) 即假如把波看成是一個向量 A, 波看成為向量 A, 而兩個波間的相差 ( α α ) 看成是兩向量間的夾角, 則 A+ A = A, 見圖 8-3a 由此引申如有三個波的重疊, 我們如巳知任兩波間的相差及振幅, 則其合成波之振幅與其中一子波間之圖 8-3 相差, 亦可如向量法則的多邊形法則求出, 見圖 8-3 之 b 及 c 例如考慮三子波 y = A cos ω t y = A cos( ω t+ α ) y = A cos( ωt+ α + α ) 3 3 之合成, 則可以三個向量 A A 及 A 3作向量相加, 取 A 沿水平方向, 取 A 與 A 夾 α 角再取 A 3與 A 夾 α 角, 如 8-3b 所示, 按向量加法的多邊形法則求出合向量 A, 即可同理假如有很多波, 亦可仿上法求出這種方法稱為合成波振幅的向量相加 8-- 夫瑞奈的雙稜鏡干涉現象

13 在楊格雙狹縫實驗後, 仍有些人認為干涉條紋可能為狹縫與光之間的某些複雜的力學作用所引起, 而非純粹是波的性質產生夫瑞奈於是做了另一實驗, 完全不用狹縫來做干涉實驗, 以支持光的波動說夫瑞奈的實驗, 如圖 8-4 所示光源 S 所發出的光, 被三稜鏡分成二部分折射 ( 圖中的不同方向的斜線部分 ), 此二部分到達屏 C 時, 其重疊的部分,( 如圖中 b, c 間 ) 即會有干涉條紋產生, 彷彿是由二個光源 S 及 S 所發生的一樣, 此實驗乃純干涉現象, 繞射現象並未加入圖 8-4 例題 8- 圖 8-5a 為一個夫瑞奈對稱三稜鏡, 其折射率為 n, 圖中的角 A 很小, 今將一波長為的點光源 s 置於稜鏡前方距離 a 處,s 對三稜鏡兩斜面所造成的像為 s 及 s, 此二像可看成新的同源光, 因此會在三稜鏡後方甚遠處 ( 距離 b ) 屏幕 S 上造成干涉, 試 (a) 求出發生干涉條紋的條件,() 估算出屏幕 S 上的繞射條紋數目有多少條? 答案以角 A 距離 a 及距離 b 表示之 s s s a b 圖 8-5a ( 三 ) [ 參考答案 ] 3

14 A s C s o K ξ δ θ ϕ s a B b D 圖 8-5b S 對 AO 面入射角為 θ, 折射角為 ϕ, 折射線為 OD, S 對 BO 面的另一折射線為 OC,OC 與 OD 對稱, θ = 9 AOS = A, 而 δ = ϕ θ, 故 d = ss = s = atanδ asinδ = asin( ϕ θ) = K = asinϕ cosθ asinθcosϕ (8-3) 但如圖 8-5b 及斯乃耳定律 n sinθ = sinϕ 代入 (8-3) 式, 得 d = ansinθ cosθ asinθcosϕ anθ aθ = aθ( n ) 但因 ss : : CD = a b, b 故 CD = d = bθ ( n ) = ba( n ) a 在 CD 上 S 及 S 光源之光會重疊, 故在此範圍內有干涉, 干涉條紋在屏幕上之位置 y 可由干涉條件求出, 已知亮紋位置為 dsinξ = n, 而 y sin ξ b + a 故 n y ( b+ a), Δy = ( d d b+ a ) 此即兩干涉條紋之間距, 因此 CD 上有干涉條紋之數目為 CD ba( n ) ba( n ) 4 aba ( n ) = ( ) = d = Δ y b+ a ( b+ a) ( a+ b) d 8-- 薄膜干涉考慮一光源所發出的光線 A, 經一透明薄板折射後, 如圖 8-6 4

15 即產生連續的反射及透射光, 如圖 8-6 所示, 圖中示出兩組平行光, 一為多次反射所引起的如光線,,3,, 另一則為多條從下表面透射出來的光線 a,b,c,,, 所組成在這兩組中, 每一組中的光線, 強度依次遞減且因各條光線所經的光程長度 * 不同, 產生光程差, 引起了相角差, 因此而發生干涉 * 註 : 設頻率為 f 的光波, 在真空中的波長為 = c f, 射入介質中的光 c 速為 v =, n 為介質的折射率, 此波在介質中的頻率 f 不變, 但其波 n v c 長詻 = = =, 若一光束有 N 個波數, 此波束在真空中的長度為 f nf n l l = N, 而在介質中的長度則為 l = N = N =, 故 nl = l, 止式中的 l n n 及 nl 結為光程, 因此一光束在介質中的光程 nl 等於相同波數的光束在真空中的長度 l 為分析方便起見, 我們先只考慮兩條反射光, 如圖 8-7 所示由此圖可得 BAD=9 -φ, 故 ABD=φ, 而 GAC=9 - AGB=9 -φ ', 故 BAC=φ ' 因此光線及的光程差, 等於光線經由 AF + FB 的距離的光程, 減去光線經 AD 距離的光程圖 8-7 5

16 假設薄膜的折射率 n, 此光程差應為 : δ = n( AF + FB) AD 然由海更士原理知,DB 及 AC 各為波前, 因此 AD 及 CB 的光程應相等, 即 AD = nbc, 故得 δ = naf ( + FC) = ngf ( + FC) = ngc 而直角三角形 ACG 中, 因 AG=d, 故得 ' GC = d cosϕ 因此, δ ' = nd cosϕ (8-4a) 由前即之討論可知, 如 ' nd cosϕ = m m =,,,... 即得相角差為 π Δ ϕ = δ = mπ (8-4b) 故為同相角而應得到亮點然由第章力學波中的折射及穿透現象可知, 如一光由光疏介質射向光密介質時, 經界面反射, 反射光應產生 8 的相角變化, 但透射光則不產生相角變化又如光由光密介質射向光疏介質反射時, 反射光及穿透光均不產生相角變化如將此條件計入, 則上述 (8-4b) 須改為相角差 π Δ ϕ = δ = mπ 暗點 (8-5a) 應為 8 的離相點, 故反而應該為暗點此因光線為由光疏介質對光密介質的反射光, 產生 8 的相角變化而光線為透射光且 6

17 在薄膜下層係由光密向光疏介質反射 ( 不產生 8 相角差 ) 的緣故同理, ' nd cosϕ = ( m + ) 應為亮點 (8-5b) 8--3 牛頓環牛頓做了一個實驗, 用一長焦距的透鏡及一玻璃薄片組成, 如圖 8-8, 今令一平行光經透鏡再射向玻璃片, 然後由玻璃片反射, 經空氣層再射回至圖 8-8 透鏡, 如下圖所示, 這種裝置, 實際上為一種斜角薄膜 ( 此時的薄膜及為透鏡與玻璃片間的空氣 ) 的干涉情形, 牛頓雖然不能解釋這個現象, 但仍不認其是一種干涉現象牛頓環干涉的解釋, 與上述的薄膜干涉相同, 故應得出 nd ( m + ) = m ' cosϕ 亮紋暗紋 (8-6a) 若薄膜內為空氣, 則 n =, 上式變為 d = ( m+ ) 又通常在觀察牛頓環時, 係由透鏡的垂直上方觀察, 故 ϕ, 因此上式可寫成 ( m + ) 亮紋 nd = (8-6b) m 暗紋 7

18 而由圖 8-8 可知 d = R R r R[ ( r R )] = r R 因此 (8-6a) 式又可寫成 nr R ( m + ) = m 亮紋暗紋 (8-6c) 牛頓環的干涉條紋, 係圓圈形, 此種條紋稱為牛頓環 (Newton's rings) 8-3 光的繞射現象當一束光波射過一個單一狹縫時, 它會散開而形成較大的光束, 有如光束的轉彎, 這種現象稱為繞射在光學中有兩種繞射, 一稱為夫牢因和斐 (Fraunhofer) 繞射, 另一稱為夫瑞奈 (Fresnel) 繞射 : () 夫牢因和斐繞射是光源及屏幕各距離狹縫為無線遠之繞射者 () 夫瑞奈繞射則為光源或屏幕或兩者均距離狹縫為有限遠者上述的第一種繞射在數學上, 處理起來簡單很多, 這是因為在這種情況下, 我們可以把光當做平面波的緣故, 而在第二種繞射, 則因距離有限遠, 因此光只能被當作球面波處理, 因此在數學上的處理就比較複雜本章只限於第一種繞射的討論 8-4- 夫牢因和斐 (Fraunhofer) 繞射 --- 單狹縫繞射考慮如圖 8-9 所示的實驗裝置, 光源先經一限光器, 再經一透鏡變成平行光, 然後經過狹縫, 再經一透鏡聚光於屏幕上, 加上透鏡 8

19 是要讓光源或屏幕變成與狹縫相距無窮遠今玆分析屏幕上的繞射條紋的位置 (i). 定性分析今考慮如圖 8-(a), 狹縫假設分成許多小狹縫, 每個小狹縫均可者成新波源, 不同的新波源所發出的各個球狀波中, 有向各方向的小束光束, 圖 8-9 經不同角度到達屏幕上不同點, 如圖所示的碉組平行線, 各到達屏幕上的不同點, P P P,, 圖 8- 今先考慮 P 點, 到達這一點的光束, 是所有沒彎曲的光束, 因此是真正平行光 ( 焦聚在逵的屏幕上 ), 因此這些光束都是同相光, 沒有相差, 依據振幅的向量相加, 有如圖 8-(b) 的直線相加, 因此得到最大的強度 A, 稱為中央亮點今再考慮往 P 上方一點的 P, 則到達 P 點的整組平行光束會往上斜, 與中心線形成 θ 角, 又因 θ 很小, 故從狹縫最上小段射出之光束與從狹縫最下小段射出之光束到達 P 的光程差約為 Δ bsinθ, b 為狹縫寬度當 θ =, 則得上述之 P 點, 今 9

20 若 θ 慢慢增加, 則 Δ 也慢慢增加, 故總波相差 Δ ϕ = k Δ = π b sinθ, 就慢慢增大, 當 Δ= 時, 即 Δ ϕ = π 時, 即得一暗點, 理由如下, 將狹縫 AB 分成兩相等部分 AO 及 OB, 則因 A, B 所發出之光, 光程差為, 故 A, O 所發出之光, 其光程差差了, 故 A, O 所發出之二光相消去, A 下面一點及 O 下面一點所發出之光, 相差亦為 π, 故亦消去, 如此 A 往下之任一點必為 O 往下之相對應點差 π 相差而消去, 故 AO 及 OB 部分相互抵銷而沒有了, 因此為一暗點, 因 A 及 B 所發之光之相位為 π, 故 A 及 O 所發之光之相位差了 π, 則按振幅的向量相加, 可如圖 8-b 的下圖表示, 注意最上方之向量 A 與最下方之向量 A A 反平行 ( 即差 π 角 ), 故合向量為那麼在任意 θ 角與原來 θ = 情況之間之強度差別如何? 如 P 與 P ' 之間的點 P, 則此點之 θ, 由但由 θ = 變大, 故相角差 Δ ϕ 亦由變大, 但總相差 π, 故如圖 8-c 所示之情形,θ 角越大, 則越彎越厲害,A 之值也越小, 一直到 Δ ϕ = π, 如圖 8-b 之下圖所示, 完全變成暗點那麼在 P 點以上如何? 如 θ 越增加, 一直使得 Δ = bsinθ 增大至變 3 π 成, 即 Δ ϕ = Δ= 3π, 此時, 可把狹縫分成三等分, 則 A 與 B 發出之光程差, 故 A 與 C 差了 =, 而 A 與 D 差了 =, 因此 3 3 A 與 C 發出之波, 差了, 相差為 π, 因此消去, 即 AC 與 CD 部份互

21 消, 只剩下 DB 部份均為亮點, 但因有 /3 部分消去了, 因此亮度不及 P, 再往上時, 如 A 與 B 之相差差了, 則可分成 4 個部分, 則 A 與 C 相差,C 與 O 差了,O 與 D 差,D 每 B 差等等, 故 AC 與 CO 消去,CD 與 DB 消去, 而得到暗點如此這般, 可得如下 : 當 A 與 B 之光程差 Δ= bsin θ =,,3 則相差 Δ ϕ = π,4 π,6π, 均為暗點, 當然, Δ= bsin θ =,, 3 時, 即從 P 往下移動所得, π 其結果與上面相同, 因此如 Δ ϕ = bsinθ =± π, ± 4 π, ± 6π, 均為暗點, 每暗點間必有一亮點 8-4- 定量分析 : 但上面沒談到強度之數值, 即 P, P, P4 為亮點, 但到底有多亮卻無從知道, 今可由下法看出, 設總相位差為 ϕ, 即兩端點 A, B 所發出之波之相差為 ϕ, 我們可以把狹縫分成 N 個部分, 每一部分以等長之小向量 a 為代表, 每一 a 相差為 ϕ 角, 則全部之 ϕ = ( N ) ϕ,( 因第一個小向量 a 與水平夾角為零度, 故少一個 ), 見圖 8-, 今所有的小向量 a 均在圓弧上 ( N 假設為很大之數目 ), 圖 8- 此圓弧之半徑為 R, 則 CG 與 BG 為此圓之切線, 故 COB = BGD = ϕ, 做 OF CB, 則 COF = ϕ, 因此 A CF A sin COF = sin( ϕ ) = = = CO R R (8-7a)

22 而弧是由 N 個小向量 a ( 長設為 a ) 所組成, 故弧長為 Na, 當 N >> 時, 弧長 = R ϕ, 即 Na = Rϕ (8-7b), ϕ A 由上二式消去 R, 故 sin = Na ϕ 即 sin ϕ A = Na ϕ A = Na Na 為 P 點的振幅 A, 即為, (8-7c) 故 sin ( ϕ ) sin( ϕ ) sin( ϕ ) I A A A I ( ϕ ) ϕ ϕ ( ) ( ) = = = = (8-8) ϕ 由此可知, ϕ = 可得最大振幅 A, 又 β = =± π, ± π, ± 3 π... =± mπ, 得 A =, 即為暗點, 那麼亮點在哪裡? 當 A 極大時, 即為亮點, 即由 (6-7a), ϕ sin β 令 β =, 則在 A= A 中, 當 β 變化 β 使得 A= A 時, 即為亮點, 即取 max da dβ =, β cos β sin β 即 = 時, 得到亮 β 點, 故 tan β = β 為亮點之條件, 假如畫 I = A 與圖 8- β 之圖及 tan β 對 β 之圖, 見圖 8-, 則 y = tan β 及 y = β 之交點, 應為亮點故亮點之位置, 並不正好在兩暗點之間, 而是向中心偏向,

23 而 m 越增加, 則越向兩暗點之中心趨近, 其強度有多少呢? 今可約略 3π 5π 7π 假設亮度就在二暗點中間, 及約為 β =,, 以此些值代入 sin β (8-8) 之強度 ( 即 I = I, 此處 I = A, I = A), 即得主極大之強 β 4 度分別為 9π, 4 5π, 4 49π, 或,, 角寬度與線寬度 : 考慮一束光, 從圖 8- 中的狹縫至 P 點, 該點為暗點的位置, 則最高點 a 應與中心點 O 所發出之光程差, 第二高點與 O 下方之第二點亦應差為, 則 a 與 O 差,O 與 C 差, 故 a 與 C 約差一個, 則 θ ' ' tan =, 當狹縫不寬時, 則 θ θ, 圖 8- b ' ' 故 θ tan θ =, 即 θ, 此乃一個繞射圖形的角寬度, 可知角寬度 b b θ, 故 b 越大, 則 θ 越小, 最終 P 與 P 變成一點, 而無繞射圖形產 b 生, 要有繞射圖形產生, 則必須 b 不能太大才可以, 但由於聲波水波等大波長的波, 則狹縫的寬度可以很大仍有繞射發生, 今再定義線寬度, 即為中心點至繞射圖形的第一暗線之線距離, 如圖 8- 中之 d 即是, 對於夫牢因和斐繞射圖形, 狹縫產生之光約為平行, 而透鏡擺在接近狹縫之部分, 屏幕放在透鏡之焦點上, 故 L 透鏡之焦距 = f, 線寬 d = Ltanθ L f, 故 d, 故波長越小, d 越小, b b b 因此, 如用一白光射之, 則中間部分是白色, 但白色的最邊緣乃紅色, 3

24 依次橙等等, 此因紅色光造成的線寬度約為紫色的倍大, 此因 red = violet 等等 7-5 雙狹縫干涉 A. 定性分析如二狹縫之距離為 c, 每個狹縫之寬度為 b, 則如遮住 A 狹縫, 如圖 8-3 所示, 即在屏幕上產生單狹縫之干涉條紋, 如遮住 B 狹縫, 亦會同樣的產生干涉條紋, 只是位置會變動下圖 8-3 來一個 c 之距離, 如二個狹縫同時打開, 則一共有二種效應即 : () 繞射 : 每個狹縫均會產生繞射效應, 其條件為 bsinθ = n, n =,,3 則產生暗線, 而兩暗線之間有明線, 其強度為 sin ϕ I = I = I ϕ sin( π sinθ ) π bsinθ ( ) ( ) 此處 θ 為平行光線與水平間之夾角,ϕ 為總相角差, 即 π ϕ π ϕ = b sinθ, 故 = bsinθ () 雙狹縫干涉如狹縫之間有 c 之距離, 則 csinθ = m, m =,,3 為亮線, 其強度為 I = I π c cos ( sin θ ) 因此如考慮全部之效應, 則觀測到的效應 I, 應為 4

25 π b 此處 β = sinθ, 而 π c γ = sinθ ( 同樣的 θ ) 則從 (8-9) 式, 知其強度為 ' sin β I = I cos γ (8-9) β 如圖 8-4 所示圖定量分析 () 單狹縫如圖 8-5 所示, 設 ds 為狹縫中的一小段, 且位於狹縫中心點下方 s 距離, 今由狹縫中心原點 O 發出之子波, 其振幅與 ds 成正比, 圖 8-5 Ad s 與 x 成反比, 其函數可表為 dy = sin( ω t kx) ( I, x x A ), 則在距離 O 點 s 處之波, 可表為 x Ads Ads dys = sin( ω t k( x +Δ )) = sin( ωt k x k ssin θ) (8-) x x =, b dys ds ), 則對整個狹縫之效應即為 s = 到 s = ( dy s dys b 的所 b b 有小狹縫之總和, 故只要把 (8-) 對 s 從 s = 到 s = 作積分即可, 把上式積分即得, 也可以積分 ( dy ) s + dy s 即可, 此因 b b b dy s = dy b s = dy s = dys 故也, 因此 sin( kbsin θ ) Ab y = sin( ω t kx) = Ak sin( ωt kx), (8-a) x kbsinθ b 5

26 故強度 sin β ab A = A, A β sinθ =, = kb (8-b) β x 此即單狹縫之結果, 此與以前所得到的相同 (3) 雙狹縫今由 (8-) 式, 知一個狹縫可看成由很多小狹縫組成, 每個小狹縫對屏幕之貢獻為 ads dys = sin( ω t kx ks sin θ ), (8-a) x d b d b 今要積分之範圍為 ( ) 至 ( + ) 及 ( d b d b ) 至 ( + ) 等二個狹縫之範圍, 但如上面討論, 以積分 dy s + dy 較容易, 此因 s d b d b d b + + d b dy s = d b dys = d b dys + d b + 故也, 故可積分 ( dy + dy ) d b s s 即得 a y = [sin( k( d + b)sin θ) sin( k( d b)sin θ)]sin( ωt kx) xk sinθ sin( kbsin θ)cos( kd sin θ)sin( ω t kx) ab = x b k sinθ kb ϕ 此處 β = sinθ, γ = kd sinθ = 故 sin β I = A = 4A cos γ (8-b) β ab 此處之 A = 與定性所得相同, 則強度 I (8-b 式 ) 將為零, 當 x (8-b) 式中任一因子為零, 第一因子在 β=π, π, 3π 時為零, 6

27 而第二因子則在 γ=π/, 3π/, 5π/ 時為零, 此二條件並非獨立, 而是有所關聯, 此因由圖 8-6 可知, 單狹縫的相位差為 β, 即 β = π bsinθ, (8-3a) 而雙狹縫的波相差為 γ, 即 ϕ = π d sinθ = γ, (8-3b) 因此圖 8-6 δ γ d = = β β b 因此 β 及 γ 並不獨立亮點與暗點之位置 :, (8-3c) 前面已知當 γ=π/, 3π/, 及 β=π, π, 3π 時為暗點, 前面的條件即代表干涉的暗點, 又因 γ = π d sinθ, 故暗點發生在 3 5 d sin θ =,,... = ( m + ) (8-4a), 此處 m =,,,, 後面的條件則為繞射的暗點, 又因 β = π bsinθ, 故由 β = pπ, p=,,3..., 可得 bsin θ =,,3... = p (8-4b) sin β 亮點則無法有簡單的規則, 但我們若忽略所引起的變化, 則亮 β 點約可在 γ=, π, π ( 即對 cos γ) 發生, 或可用畫圖法求出, 如下, 見圖 8-7: 7

28 干涉如 d=b 因為繞射 dsinθ = m disnθ = (m + ) bsinθ = p max min min 可以看出當 d 變大時, 如 d=3b, 則中間亮帶分隔成七個,( 即 x3+), 如 d 越變越大的, 則中間之亮帶越分越多 8-6 光柵繞射圖複數法 : 以前講過向量加法, 如有幾個波如 : y = Asin( kx ω t) y = Asin( kx ω t+ δ ) 圖 8-8 y3= Asin( kx ω t+ δ ) 我們可看成幾個向量相加, 如圖 8-, 即可得到合成波之振幅, 今我們用更簡單的複數法來看波的相加 : 即令 y A (8-5a) iδ y (8-5b) Ae iδ y (8-5c) 3 Ae iθ iδ iδ 則如先加 (8-5a) 和 (8-5b), 得 Ae = A + Ae = A( + e ), 然後以其共軛複數去乘, 得 8

29 A * R A R = A R = A ( + e iδ )( + e iδ ) = A ( + e iδ + e iδ ) = A ( + cosδ ) = A ( + cosδ ) = 4A cos δ 註 : iδ iωt iωt i( ωt+ δ) δ δ Re( A( + e ) e ) = Re( A + Ae ) = Acosωt+ Acos( ωt+ δ) = Acos( ωt+ )cos δ 故 Aresult = Acos 此結果如直接用三角函數做, 其結果與上面所得相同 y+ y = A[sin( kx ω t) + sin( kx ωt+ δ)] δ δ = Acos sin( kx ω t+ ) 故 A R = 4A cos δ, 此與上述相同, 故如有很多波, 可用下法求和 y = Asin( kx ω t) A y = Asin( kx ωt + δ ) Ae iδ y 3 = Asin( kx ωt + δ ) Ae iδ 故的上式相加並寫成複數形式, 即 A R e iδ = A + Ae iδ + Ae iδ = A e iδ 故得 A I = AR = A ( ) = cosδ 4sin δ (8-6) 現在將上法應用到光柵的繞射, 我們可以引用複數振幅之方法來算出繞射光柵所生圖形之強度如下 : 9

30 因每一狹縫所貢獻之振幅均相等, 若表此振幅為 a, 此 a 當然與單狹縫有關, 即 a ~ sin β, 則相鄰兩狹縫之相位差均為 δ, 而合成波可表 β 為 Ae iδ = a( + e iδ + e 其強度可由卞法得出為 e e inδ iδ i( N ) δ e ) = a (8-7) iδ I e e e e inδ inδ i θ iθ * = ( Ae )( Ae ) = A = a iδ iδ sin Nδ cos Nδ = a cosδ = sin Nγ a a δ = (8-8) sin sin γ δ πdsinθ γ = =, 今 a 因子代表單狹縫繞射之強度, 即 a sin β sin Nγ β sin γ I ~ A A sin β β A =, 故 =, 若 N =, 則回復到單狹縫, 若 N =, 則回復到雙狹縫主極大 sin Nγ 新的因子可說是代表 N 狹縫的強度, 其亮點位置在 γ=, sin γ π,π, 故亮度比雙狹縫還要強很多, 上面的條件相當於要求 d sinθ π = mπ, 或 dsinθ = m 暗點或次極大 sin Nγ 為找出的極小值, 我們注意到分子若為零, 但分母不為零 sin γ 時, 即得到最小值 () 分子為零之情形為 N γ =, π,π,..., pπ, 然而當 p=, N, N,3 N,, 3

31 則 Nγ =, Nπ, Nπ,... 或 γ=,π,π, 此亦使分母為零, 故不能使分數為零, 反而分數變為極大, 故需將之排除, 才能得到真正的極小值, 極小值之位置為 : 除了 p=, N, N,3 N,. 之外的 Nγ 值, 亦即極小值應為 3 ( N ) ( N + ) d sin θ =,,,...,..., N N N N N 在和時是主極大, 因此在主極大之間有 ( N ) 個極小, 而主極大之間距則為兩普通極大間距的兩倍見圖 8-9 及 8- 而不同級之繞射相對強度, 則可由包絡線 sin β 決定之 β 光譜圖 8-9 由上面知道, 繞射圖形之線寬與有關, 因此一道白光入射所產生之繞射圖形, 應是有顏色的光, 這種單色光分離所產生的圖形稱為光圖 8- 譜, 故光譜實際上是光的顏色 ( 單色光 ) 對波長的圖形, 如肉 8- 相干性及相干長度圖 8- 多光束一起行走, 同時保持相同的波相差時, 稱為相干波, 即如一些光一起走時, 其相位差為一常數, 與時間無關的話, 則這些光之 3

32 合成, 即為一種約為純正弦波, 則這種波稱為相干光如二光 ( 或更多 ) 之相差, 是時間的函數時, 則波形會隨時間變化成任意不同之形式, 則這些波稱為不相干光, 像雷射光即為一種高度相干的光, 是由一些幾乎沒有相位差之光所組成, 且方向速度均約相同, 因此可以長逸的凝聚在一起相干光的相干長度是二道光在一起走, 而能保持相干的距離, 因此雙狹縫干涉實驗中, 一道光被分成兩部份, 然後在屏幕上合成, 如由二狹縫出來之光, 剛從狹縫出來是相干性, 但經過不同距離到屏幕時, 走較長距離之光, 超過其能維持相干的距離, 因此其相干性質已變,( 即可能已不是正弦波 ), 則跑至屏幕之光即非相干, 因使干涉圖形即不可能發生 3

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0