第四章常用概率分布

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歙戚褚
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1 第三讲常用概率分布 (PROBABILITY DISTRIBUTIONS)

2 一般数学表示方法概率数学表示方法符合某种概率分布的随机变量 x 随机变量的一个实例, rnorm, f 随机变量的概率密度分布函数 (pdf), dnorm,. F 累积密度分布函数 (cdf), pnorm, P(k) 概率群分布函数 (probability mass distribution)

3 常用概率分布离散概率分布 (Discrete) 离散均匀分布 (discrete uniform) 伯努利分布 (Bernoulli) 二项式分布 (Binomial) 泊松分布 (Poisson) 超几何分布 (Hypergeometric) 连续概率分布 (continuous) 均匀分布 (Uniform) 正态分布 (Normal/Gaussian) 指数分布 (Exponential) Gamma 分布 Beta 分布 Gumbel 分布

4 离散概率分布

5 离散均匀分布 (discrete uniform) 概念 : 每次抽样存在多种可能结果, 每种结果出现的概率完全一致, 也就是的取值空间为一个有穷的集合 S{k1, k2,, kn} 且对于任意 i 1 n, P(ki)1/n R 代码 >>> x <- sample(c(1,2,6,8,9), 10000, probrep(0.2,5), replacetrue) >>> table(x) ## 另一种方法 : 用 index >>> idx <- runif(10000,0,5); idx <- ceiling(idx) >>> x <- c(1,2,6,8,9)[idx] >>> table(x)

6 伯努利试验 (Bernoulli) 概念 : 仅存在两种可能结果的一次试验举例 : 扔硬币, 正面朝上 ( H ), 反面朝上 ( T ) P( H ) π, P( T ) 1- π R 代码 : 进行 1000 次伯努利试验 >>> outcome <- sample(c( T, F ), 1000, probc(0.8, 0.2), replacetrue) >>> ot <- table(outcome) >>> ot <- ot/sum(ot)

7 二项式分布 (Binomial) 概念重复进行 n 次独立的伯努利试验 ( 可能结果为 {1, 0}, 出现 1 的概率是 p),n 次结果中有次 1 的概率分布就是二项式分布, 的可能取值范围是 {0,1,,n}, 记作 ~ B(n,p) 二项式分布的概率函数 P ( ) π (1 π ) n C n C n n!!( n )!

8 二项式分布示例 1 一个袋子里有 5 个乒乓球, 其中 2 个黄球,3 个白球, 我们进行有放回的摸球游戏因此每一次摸到黄球的概率是 0.4, 摸到白球的概率是 0.6 这个实验有三个特点 : 1. 各次摸球是彼此独立的 ; 2. 每次摸球只有二种可能的结果, 或黄或白 ; 3. 每次摸到黄球 ( 或摸到白球 ) 的概率是固定的具备这三点后, n 次中有次摸到黄球 ( 或白球 ) 的概率分布就是二项分布

9 二项分布在医学研究中的应用医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的, 如阳性与阴性治愈与未愈生存与死亡等等如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为 π, 阴性结果的发生概率均为 (1-π); 而且各个观察对象的结果是相互独立的, 那么, 重复观察 n 个人, 发生阳性结果的次人数的概率分布为二项分布, 记作 B(;n,π)

10 二项式分布示例 2 用针灸治疗头痛, 假定结果不是有效就是无效, 每一例有效的概率为 π0.6 某医生用此方法治疗头痛患者 3 例,2 例有效的概率是多少? 至少 1 例有效的概率呢? C 0.6 (1 0.6) 2 2 (3 2) >>> n <- 3; pi <- 0.6 ### p2 <- choose(3,2)*0.6^2*(1-0.6)^(3-2) >>> p2 <- dbinom(2, n, pi) >>> p123 <- sum(dbinom(c(1,2,3), n, pi)) ### p123 <- 1-pbinom(0, n, pi) ### p123 <- pbinom(0, n, p, lower.tailf)

11 二项式分布治疗 3 例可能的有效例数及其概率有效人数 (x) C 3 C 3 π x (1-π) n-x 出现该结果概率 P(x) >>> x <- 0:3; n<- 3; pi <- 0.6 >>> p <- dbinom(x, n, pi) >>> cp1 <- cumsum(p) >>> cp2 <- pbinom(x, n, pi)

12 二项式分布的特征二项分布的图形特征 π 接近 0.5 时, 图形是对称的 ; π 离 0.5 愈远, 对称性愈差, 但随着 n 的增大, 分布趋于对称当 n 时, 只要 π 不太靠近 0 或 1, 当 np 和 n(1-p) 都大于 5 时, 二项分布近似于正态分布二项分布图形取决于 π 与 n, 高峰 µnπ 处

13 二项式分布 P(x) P(x) n3,π0.5 x n10,π0.5 x π0.5 时, 不同 n 值对应的二项分布 >>> x1 <- 0:3; x2 <- 0:10 >>> p1 <- dbinom(x1, 3,.5); p2 <- dbinom(x2, 10,.5) >>> par(mfrowc(1,2)); >>> plot(x1, p1, type h ); plot(x2, p2, type h )

14 二项式分布 P(x) P(x) n3,π0.3 x n6,π0.3 x P(x) n10,π0.3 x P(x) x n20,π0.3 π0.3 时, 不同 n 值对应的二项分布

15 二项式分布二项分布的均数和标准差总体均数 : µ nπ 方差 : σ 2 n π (1 π ) 标准差 : σ nπ ( 1 π ) >>> n <- 100; pi <- 0.6 >>> x <- rbinom(1000, n, pi) >>> mu <- mean(x); sigma2 <- var(x); sigma <- sd(x)

16 Poisson 分布概念 Poisson 分布也是一种离散型分布, 用以描述罕见事件发生次数的概率分布医学上人群中出生缺陷多胞胎染色体异常等事件等都是罕见的, 可能发生这些事件的观察例数 n 常常很大, 但实际上发生类似事件的数目却很小很小

17 Poisson 分布 Poisson 分布可以看作是发生的概率 π( 或未发生的概率 1-π) 很小, 而观察例数 n 很大时的二项分布除二项式分布的三个基本条件以外, Poisson 分布还要求 π 或 (1-π) 接近于 0 或 1 ( 例如 <0.001 或 >0.999)

18 Poisson 分布 Poisson 分布的概率函数为 P( ) e λ λ! 式中, λ nπ 为 Poisson 分布的总体均数, 为观察单位内某稀有事件的发生次数

19 Poisson 分布 Poisson 分布当总体均数 λ 值小于 5 时为偏峰,λ 愈小分布愈偏, 随着 λ 增大, 分布趋向对称 Poisson 分布有以下特性 : (1)Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为 λ (2)Poisson 分布的观察结果有可加性

20 Poisson 分布 P(x) P(x) λ1 x λ3 x P(x) P(x) λ6 x λ10 x λ 取不同值时的 Poisson 分布图

21 Poisson 分布如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为 8, 那么该地 120 名新生儿中有 4 人患先天性心脏病的概率有多大? λnπ P( 4) e ! >>> n <- 120; pi < >>> x <- 4 >>> p1 <- dpois(x, n*pi) >>> p2 <- dbinom(x, n, pi)

22 Poisson 分布单侧累计概率计算如果稀有事件发生次数的总体均数为 λ, 那么该稀有事件发生次数至多为 k 次的概率发生次数至少为 k 次的概率 k k e P k P 0 0! ) ( ) ( λ λ 1) ( 1 ) ( k P k P

23 Poisson 分布 P( 上例中, 至多有 4 人患先天性心脏病的概率有多大? 至少有 5 人患先天性心脏病的概率有多大? 至多有 4 人患先天性心脏病的概率 e ) ! P( ) e ! e e 0.96! ! ! 至少有 5 人患先天性心脏病的概率为 P( 5) 1 P( 4) e 3 + e !

24 Poisson 分布实验显示某 100cm2 的培养皿平均菌落数为 6 个, 试估计该培养皿菌落数小于 3 个的概率, 大于 1 个的概率该培养皿菌落数小于 3 个的概率菌落数大于 1 个的概率为 ! 6 1! 6 0! 6! 6 ) ( 3) ( < e e e e P P ! 6 0! 6 1 1) ( 0) ( 1 1) ( > e e P P P

25 超几何分布 (Hypergeometric) 概念超几何分布是一种不放回的抽样已知 1000 个产品中不合格产品为 2%, 现抽取 50 个样品, 出现 3 个不合格的几率是多少?

26 连续概率分布

27 连续均匀分布 (Uniform) 概念与离散均匀分布类似, 但变量的取值范围是一个闭合区间 [a, b]

28 正态分布正态分布, 也称为高斯分布 (Gaussian) 正态曲线 (normal curve) 是一条高峰位于中央, 两侧逐渐下降并完全对称, 曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线该曲线表现为中间高, 两边低, 左右对称, 略显钟形, 类似于数学上的正态分布曲线因为频率的总和等于 1, 故曲线下的面积等于 1

29 正态分布 R 函数 >>> rnorm(n, mu, sd) # 注意是 sd 而不是 var >>> dnorm(x, mu, sd) # 概率密度 >>> pnorm(x, mu, sd) # 累积概率密度 >>> qnorm(q, mu, sd) # 0<q<1, 求分位点

30 正态分布 Frequency 体模骨密度测量值的分布接近正态分布示意图 ( 频率密度频率 / 组距 )

31 正态分布正态概率密度曲线的位置与形状具有如下特点 (1) 关于 xμ 对称 (2) 在 xμ 处取得该概率密度函数的最大值, 在 x µ ± σ 处有拐点, 表现为钟形曲线 (3) 曲线下面积为 1 (4)μ 决定曲线在横轴上的位置,μ 增大, 曲线沿横轴向右移 ; 反之,μ 减小, 曲线沿横轴向左移 (5)σ 决定曲线的形状, 当 μ 恒定时,σ 越大, 数据越分散, 曲线越矮胖 ;σ 越小, 数据越集中, 曲线越瘦高见图 4-5

32 正态分布不同均数 u1 u2 u3

33 正态分布不同标准差

34 正态分布 2 对任意一个服从正态分布 N( µ, σ ) 的随机变量, 可作如下的标准化变换, 也称 Z 变换, Z µ σ Z 服从总体均数为 0 总体标准差为 1 的正态分布我们称此正态分布为标准正态分布 (standard normal distribution), 用 N(0.1) 表示

35 正态分布已知服从均数为 μ 标准差为 σ 的正态分布, 试估计 : 取值在区间上的概率 : 取值在区间 z x µ µ ±1. 96σ µ ± 2. 58σ ( µ 1.96σ ) µ σ 1 1 z x σ µ σ ( µ σ ) µ σ 1 2 上的概率

36 正态分布正态曲线下面积的分布规律 μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ-σ μ-2σ μ-3σ 68.27% 95.44% 99.74%

37 正态分布 Φ(z) z

38 正态分布某地 1986 年 120 名 8 岁男孩身高均数为 cm, 标准差为 S4.79cm, 试估计 (1) 该地 8 岁男孩身高在 130cm 以上者占该地 8 岁男孩总数的百分比 (2) 身高在 120cm~128cm 者占该地 8 岁男孩总数的百分比 ; (3) 该地 80% 的男孩身高集中在哪个范围?

39 正态分布求 Z 值 : Z 4.79 查表 : 1.46 Φ( 1.46) 理论上该地 8 岁男孩身高在 130cm 以上者占该地 8 岁男孩总数的 7.21%

40 正态分布先计算 120 和 128 所对应的 Z 值 : z 120 S z 128 S Φ( 0.63) Φ( 1.04) 1 Φ( 1.04) 正态曲线下区间 (-0.63,1.04) 上的面积等于 Φ( 1.04) Φ( 0.63)

41 正态分布 80% 的 8 岁男孩身高集中在 ±1. 28S 区间内, 即 116.9cm 与 129.2cm 之间 >>> xbar <- mean(x) >>> x80 <- xbar + qnorm(c(0.10,0.90))

42 正态分布正态分布的应用 ( 一 ) 确定医学参考值范围医学参考值范围 (reference ranges): 是指特定的正常人群数据中大多数个体的取值所在的范围人们习惯用该人群 95% 的个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围

43 正态分布确定医学参考值范围的方法有两种 : (1) 百分位数法 : 适用于任何分布型的资料双侧 95% 参考值范围 : (P 2.5, P 97.5 ) 单侧范围 :P 95 以下,( 如血铅发汞 ), 或 P 5 以上 ( 如肺活量 ) (2) 正态分布法 ±1. 96S

44 正态分布调查某地 120 名健康女性血红蛋白, 直方图显示, 其分布近似于正态分布, (g/l), S 10. (g/l), 试估计该地健康女性血红蛋白的 95% 参考值范围 2 因血红蛋白过高过低均为异常, 所以按双侧估计 95% 医学参考值范围 S ( g / l) 1.96S ( g / l)

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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode] 66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布设是一随机变量, 是的函数, g(, 则也是一个随机变量. 本节的任务 : 当取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一离散型随机变量的函数设是离散型随机变量, 其分布律为或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量的分布, 并且已知 g 要求随机变量的分布. (, 是的函数 : g(, 则也是离散型随机变

第四章 常用概率分布

第四章常用概率分布