2/56 两类实验 1 hypothesis testing( 假设检验 ) 真空中光速不变, 与光源运动无关? 测量光速, 和理论值比较 3.09 ± ± 0.15 与 m/s 是否一致? 标准模型 (19 个参数 ) 是否正确?( 先做参数估计 ) 2

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狮成
5 years ago
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1 1/56 第一章实验与误差刘衍文 1 1 中国科学技术大学近代物理系课程编号 PH 年 3 月

2 2/56 两类实验 1 hypothesis testing( 假设检验 ) 真空中光速不变, 与光源运动无关? 测量光速, 和理论值比较 3.09 ± ± 0.15 与 m/s 是否一致? 标准模型 (19 个参数 ) 是否正确?( 先做参数估计 ) 2 parameter determination( 物理参数测量 ) m W,m t, 特定参考系中的真空中的光速某核素的衰变常数往往假设检验本事就是要测量物理参数, 有时待检验的假设中包含待定参数, 需要先测量出来任何时候, 误差是结果的一部分!

3 3/56 系统误差, 统计误差统计误差又叫随机误差 ", 由于测量的对象本身具有随机性 ( 量子物理必然导致的结果 ) 一般可以通过多次测量取平均减小系统误差是由于测量方法不当导致的误差

4 4/56 衰变常数测量一个具体的例子 : 测量某核素的 β 衰变常数利用其他方法, 例如称重, 知道初始时刻, 样品中包含感兴趣原子核总数为 N 0. 计数管测量 t 时间内衰变的原子核个数 N. dn = λn dt (1) N(t) = N 0 e λt (2) N = N(t = 0) N(t = t) = N 0 (1 e λ t ) λn 0 t (3) 如果考虑到测量效率不是 100%, 本底贡献 (4) N = ελn 0 t + b (5)

5 5/56 实验方案和数据分析 : 统计误差, 系统误差测量本底测量效率 ( 可用一个相互独立的探测器 ) 放入放射源样品, 取数数据分析, ˆλ = ( N b)/(εn 0 t)

6 6/56 讨论 N 是一个服从泊松统计的随机数测量结果是随机数! 统计误差. N 0, t 的误差为测量带来系统误差探测器效率 ε, 背景计数 b, 带来更多的系统误差. N = N 0 ελ t + b λ = N b N 0 ε t b: 通过把源移除, 测量计数得到, 其系统误差有统计误差的成分.

7 系统误差的确定一般从 " 别处 " 测得. 例如, 确定背景计数. 测量已知量 : 用量角器测量三角形内角和. 测量 Z ee 事例的 M ee 符合 (coincidence) 测量效率. 能量平衡探测器几何对齐 (a: 误以为 B 1, 在 B 1, 两体衰变, 横动量不守恒 b: 末态包含中性粒子 )

8 8/56 误差的含义测量结果是随机数! 上例中, 计数是满足 Poisson 分布的随机数于是, 测量结果是随机数! 统计误差的定义 : 指出一个区间, 如果实验在同样的条件下重复很多次,68% 的实验结果将落在区间内 ( 这是大统计量极限下的常用的计算精确的定义是测量参数的 68% CL 的置信区间见参数估计一章 )

9 9/56 概率论 : 描述不确定性的语言样本空间 Ω: 某试验可能的结果的集合. 样本空间中的点 ω 称为样本点, 实现, 或元素 ( 统计方言!) Ω 的子集称为事件. 例 : 将一枚硬币连续抛两次,Ω = {HH, HT, TH, TT}, 第一次出现正面的事件是 A = {HH, HT}. 例 :ω 为温度的测量结果, Ω = (, + ) 也可以是 (10, 23] 例 : 永不停止地抛硬币, Ω = {ω = (ω 1, ω 2, ); ω i {H, T}}, E 表示第一次正面朝上出现在第三次的事件, 则 : E = {(ω 1, ω 2,, ω n ); ω 1 = T, ω 2 = T, ω 3 = H, ω i {H, T}, i > 3}

10 10/56 概率 (Kolmogrov 公理化定义 ) A 为一事件 ( 样本空间 Ω 的一个子集 ), A c = {ω Ω, ω / A} 称为 A 的余集 Ω 的余集为空集, A B = {ω Ω : ω A 或者 ω B} A B = {ω Ω : ω A 而且 ω B} 定义 A B, A B... 定义 : 函数 P 对每个事件 A 赋值,P(A), 若 P 满足下面三条公理, 则称 P 为概率分布, 或概率测度 : 公理 1: 对任意事件 A, 有 P(A) 0 公理 2: P(Ω) = 1 公理 3: 若 A 1,, A n 两两互斥, 则 : P( n A i ) = n P(A i ) 注 : 此为公理化定义, 还有频率论定义, 贝叶斯定义 i=1 i=1

11 11/56 古典概率设一个试验有 N 个等可能的结果, 而事件 E 恰包含其中 M 个结果, 则, 事件 E 的概率, 记为 P(E), 定义为 P(E) = M/N. 局限性 : 只适用于试验结果为有限个, 且等可能性的情况几何概率 : 通过等面积, 等概率引申到结果有无限多的情况例 : 甲乙二人约定 1 点到 2 点之间在某处碰头, 约定先到者等候 10 分钟即离去. 设甲乙二人随意地在 1 2 点之间选一个时刻到达该处, 问甲乙二人能碰上这个事件 E 的概率是多少?

12 12/56 概率的统计定义 ( 频率论定义 ) 试验大量重复, 事件 E 发生的频率 m/n 为事件 E 的概率 P(E) 的估计将频率的极限定义为 P(E). 不足之处 : 频率只是概率的估计. 意义 : 提供了概率的估计方法 ( 检验理论的准则 ).

13 13/56 主观概率根据经验和知识, 对事件发生的可能性大小的估计例如, 明天下午 6 时是否下雨? 不客观 ( 不科学 ). 生活基础 : 确实存在这样的问题, 需要这样的语言来描述.

14 14/56 常用的一些推论 P( ) = 0 A B P(A) P(B) P(A c ) = 1 P(A) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 例题 : 连续抛硬币的实验, H 1 表示第一次出现正面的事件,H 2 表示第二次出现正面的事件 P(H 1 H2 ) = P(H 1 )+P(H 2 ) P(H 1 H2 ) = 1/2+1/2 1/4 = 3/4

15 15/56 条件概率定义 : A 和 B 相互独立 P(AB) = P(A)P(B) 若 P(B) > 0, 则 A 在 ( 前提 )B 下的条件概率为 : P(A B) = P(AB)/P(B), 很明显若 A, B 独立, P(A B) = P(A) 例题 : 疾病 D 的医学检验结果可能为 +,, 概率如下 : D D c 从数据中看健康者 > 90% 检测结果为, 患者 90% 检测结果为 +, 求 P(D +)

16 16/56 贝叶斯定理全概率法则 : 令 A 1, A 2,, A k 是 Ω 的一个划分, 对于任意事件 B, P(B) = k P(B A i )P(A i ) i=1 证明 : 令 C i = BA i, 则 : B = k C i. i=1 贝叶斯定理 : 令 A 1, A 2,, A k 是 Ω 的一个划分, 对每一个事件 A i, P(A i ) > 0, 如果有 P(B) > 0, 则对 i = 1,, k 有, 证明 :P(A i B) = P(A ib) P(A i B) = P(B A i)p(a i ) P(B A j )P(A j ) P(B) = P(B A i)p(a i ) P(B) j, 然后代入全概率公式通常称 P(A i ) 为 A i 的先验概率, P(A i B) 为 A i 的后验概率

17 17/56 垃圾邮件例题 : 我将自己的邮件分为三类, A 1 = 垃圾邮件, P(A 1 ) = 0.7 A 2 = 低优先级邮件, P(A 2 ) = 0.2 A 3 = 高优先级邮件, P(A 3 ) = 0.1 令 B 表示邮件中包含单词 free 这一事件 P(B A 1 ) = 0.9; P(B A 2 ) = 0.01; P(B A 3 ) = 0.01 我收到一封邮件, 里面包含 free 这个单词, 这封邮件是垃圾邮件的概率是多少? 答 : P(A 1 B) = = 0.995

18 18/56 随机变量定义 : 随机变量即映射 : X : Ω R 该映射对每一个输出 ( 元素, 可能的试验结果 ) ω, 赋予是数值 X(ω). 例如 : 抛硬币 10 次, 随机变量 X(ω) 表示正面出现的次数 ω = HHTHHTHHTT 则,X(ω) = 6 例如 : 令 Ω = {(x, y); x 2 + y 2 1}, 在 Ω 中任取一点 ω = (x, y), X(ω) = x Y(ω) = y Z(ω) = x + y W(ω) = x 2 + y 2 都是随机变量

19 分布函数给定随机变量 X 定义累积分布函数 ( 分布函数,Cumulative Distribution Function, CDF) 为 : 其定义为 : F X : R [0, 1] F X (x) = P(X x) 特别注意符号的含义, x 表示具体的实数值,X 表示随机变量例 : 投硬币两次,X 表示正面的次数 P(X = 0) = P(X = 2) = 1/4 P(X = 1) = 1/2 分布函数为 F X (x) = 0 for x < 0 1/4 for 0 x < 1 3/4 for 1 x < 2 1 for x 2 19/56

20 20/56 概率密度函数定义 : 若 X 的取值是可列的,{x 1, x 2, }, 则称 X 是离散型随机变量定义 X 的概率函数或概率密度函数 ( Density Function, PDF) 为 : f X (x) = P(X = x) 上例中, PDF 为 1/4 for x = 0 1/2 for x = 1 f X (x) = 1/4 for 1 x = 2 0 for 其他

21 21/56 概率密度函数定义 : 如果存在某个函数 f X 对于所有的 x, f X (x) 0, f X (x)dx = 1, 并且对任意 a b, b P(a < X < b) = f X (x)dx 则称 f X 为随机变量 X 的概率密度函数 (PDF) 很明显 : a F X (x) = x f X (t)dt

22 22/56 一些常用的离散随机变量 ( 单点分布 ) 单点分布 X δ a, 即, P(X = a) = 1 { 0 for x < a F(x) = 1 for x a { 1 for x = a f (x) = 0 for 其他

23 23/56 均匀离散分布 { 1/k for x = 1, 2,, k f (x) = 0 for 其他

24 24/56 伯努利分布, 二项分布伯努利分布令 X 表示投一次硬币的结果, {0, 1}. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p, p [0, 1] X Bernoulli(p) 二项分布 {, 投 N 次, X 表示出现正面的次数 N! f X (x) = x!(n x)! px (1 p) N x for x = 0, 1, 2,, N 0 for 其他

25 25/56 二项分布 p = 1/5, 1/2, 4/5, 注意到最可几的 r, 即 X = 1 的次数之和位于 Np 附近

26 26/56 二项分布 p = 1/4, 注意到, N 越大时, 二项分布与高斯分布越相似

27 27/56 几何分布, 泊松分布 X Geom(p) P(X = k) = p(1 p) k 1, k = 1, 2, k= 抛硬币直到出现第一次正面为止所需的次数 X Poisson(λ) f (x) = e λ λx x!, x 0 若 X 1 Poisson(λ 1 ), X 2 Poisson(λ 2 ), X = X 1 + X 2 Poisson(λ 1 + λ 2 )

28 二项分布与泊松分布固定 Np = 2, 增大 N, 与 Poisson(2) 对比 : 不同曲线对应于不同的 r, 即 X = 1 的次数之和右边坐标纵轴箭头标注为 Poisson(r;λ = 2). 可以看出当 N 越大时, 二项分布概率 Binomial(r;N,p) Poisson(r;λ = Np).

29 一些重要的连续型随机变量均匀分布 f (x) = 正态分布 ( 高斯分布 ) { 1 b a for a x b 0 for 其他 f (x) = 1 σ 2π exp{ 1 2σ 2 (x µ)2 } 指数分布 ( 电子元件寿命, 两次罕见事件间的等待时间 ) f (x) = 1 β exp{ x/β}

30 高斯分布与飞镖

31 高斯分布与飞镖

32 32/56 一些数学准备 Γ 函数 : Γ(x) = e t t x 1 dt, (x > 0). 0 由分部积分可以推出 : Γ(n) = (n 1)!, Γ(1/2) = π, Γ(n/2) = (n 2) 2 (n 1)/2 π. 例 : Γ(7/2) = π. B (Beta) 函数 : B(x, y) = 1 0 t x 1 (1 t) y 1 dt, (x > 0, y > 0). 可以证明 : B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y).

33 33/56 卡方分布 p 如果 Z 1,, Z p N(0, 1) 则, Zi 2 χ 2 p f (x) = 陈希孺教材 : 归纳法证明 i=1 1 Γ(p/2)2 p/2 xp/2 1 e x/2, x > 0

34 34/56 t- 分布设 X 1, X 2 独立,X 1 χ 2 n, X 2 N(0, 1), 则 Y = X 2 / X 1 /n 服从自由度为 n 的 t- 分布, PDF 为 : f (y) = Γ((n + 1)/2) nπγ(n/2) (1 + y2 n ) (n+1)/2.

35 35/56 F 分布设 X 1, X 2 独立, X 1 χ 2 n, X 2 χ 2 m, 则 Y = X 2/m X 1 /n 服从自由度为 (m, n) 的 F 分布, PDF 为 : f mn (y) = m m/2 n/2 Γ((m + n)/2) n Γ(m/2)Γ(n/2) ym/2 1 (my + n) (m+n)/2 (y > 0).

36 36/56 " 三大分布 " 的应用设 X 1,, X n 独立同分布, 有公共的正态分布 N(µ, σ 2 ). n n 记 X = 1 n X i,s 2 = 1 n 1 (X i X) 2, 则 i=1 i=1 (n 1)S 2 /σ 2 = n (X i X) 2 /σ 2 χ 2 n 1 i=1 n(x µ)/s tn 1 ( 注意 : n(x µ)/σ N(0, 1)). 设 X 1,, X n, Y 1,, Y m 独立, X i N(µ 1, σ 2 1 ), Y j N(µ 2, σ 2 2 ), 则 m (Y j Y) 2 j=1 (m 1)σ 2 2 / n (X i X) 2 i=1 (n 1)σ 2 1 = S2 Y σ2 2 / S2 X σ1 2 F m 1,n 1

37 37/56 further info 更多常用分布见 PDG chapter

38 几道习题 1 随机变量 X, Y 服从 (0,1) 区间上的均匀分布, 记作 :X, Y Uniform(0,1), 求 X Y,X/Y 的概率密度函数 (PDF) 2 ( 万能抽样法 ) 令 X 具有严格的递增的 CDF, F, 令 Y = F(X), 求 Y 的 PDF. 解 : 显然 Y [0,1]. P(Y < y) = P(F(X) < y) = P(X < F 1 (y)) = F(F 1 (y)) = y 故而,Y 满足均匀分布由此例得出一个随机数产生方法 : 问题 : 给定 CDF, 记作 F, 做一个随机数产生程序, 产生的随机数服从 F 给定的分布 : 做法 :1) 求出 F 的逆函数 F 1, 2) 产生 [0,1] 区间上的均匀分布的随机数 U, 3) 随机数 X = F 1 (U) 的 CDF 为 F. 作业题 : 用此方法产生一组满足 PDF 为 exp( x) 随机数, 并验证. 3 思考题 : 蒙特霍尔问题,(Monty Hall problem), 你能用严谨的数学表达式计算改变或不改变主意得到奖品的概率各是多少吗?

39 二元分布离散型两个离散型随机变量 X, Y, 定义其联合密度函数为 f (x, y) = P(X = x, Y = y) Y=0 Y=1 例如, X, Y 取值范围是 {0, 1} X=0 1/9 2/9 X=1 2/9 4/9 连续型 : 称 f (x, y) 是随机变量 (X, Y) 的 PDF, 如果 1 对于所有的 (x, y), f (x, y) 0 2 f (x, y)dxdy = 1 3 对于任何集合 A R R, P((X, Y) A) = A f (x, y)dxdy 39/56

40 40/56 边际概率密度函数, 条件概率密度函数离散型 : f X (x) = P(X = x) = y P(X = x, Y = y) = y f (x, y) 连续型 : f X (x) = f (x, y)dy 同理定义 f Y (y) 条件概率密度函数 : 若 f Y (y) > 0, f X Y (x y) = P(X = x Y = y) = P(X = x, Y = y) P(Y = y) = f XY(x, y) f Y (y)

41 41/56 多项分布 X Multinomial(n, p), (p 为向量 ), 坛子里放着 k 种颜色的球, 随机抽取一个, 抽到颜色 i 的概率是 p i, i = 1,, k. 抽取 n 个, 其中颜色为 i 的球的个数记作 X i 则 : X = (X 1,, X k ) 为 k 维随机变量, f (x) = n! x 1! x n! px 1 1 px k k

42 42/56 多元正态分布 Z i N(0, 1) 且相互独立 Z = Z 1. Z k k f (z) = f (z i ) = i=1 1 k (2π) k/2 exp{ 1/2 z 2 j } = j=1 1 (2π) k/2 exp{ 1/2zT z} 更一般地 : f (x; µ, Σ) = 1 (2π) k/2 Σ 1/2 exp{ 1/2(x µ)t Σ 1 (x µ)}

43 二元正态分布

44 二元正态分布

45 45/56 数学期望 X 的期望值 ( 均值, 一阶矩 ) xf (x) x E(X) = xdf(x) = xf (x)dx x 离散连续例 : X Bernoulli(p) E(X) = 1 xf (x) = 0 (1 p) + 1 p = p x=0 例 : X Uniform( 1, 3) E(X) = xf (x)dx = x 1 4 dx = 1 x 1 例 : f (x) = 2 π(1+x 2 ), x > 0 E(X) 不存在! 3

46 46/56 期望的性质 X 1,, X n 为随机变量,a 1,, a n 为常数, 则 E( a i X i ) = a i E(X i ) i i X 1,, X n 为独立随机变量, 则 E( n X i ) = n E(X i ) i=1 i=1

47 47/56 方差设 X 的均值为 µ, 定义方差 ( 记作 σ 2 或 V[X]) 为 σ 2 = E[(X µ) 2 ] = (x µ) 2 df(x) 标准差定义为 σ = V[X] V[X] = E(X 2 ) µ 2 V[aX + b] = a 2 V[X] 若 X 1,, X n 为独立随机变量,a 1,, a n 为常数, n V[ a i X i ] = i=1 n a 2 i V[X i ] i=1

48 48/56 协方差令 X, Y 的均值分别为 µ X, µ Y, 标准差分别为 σ X, σ Y, 定义协方差为 COV(X, Y) = E((X µ X )(Y µ Y )) 定义相关系数为 : 性质 : ρ = COV(X, Y) σ X σ Y COV(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) 1 ρ(x, Y) 1 V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y)

49 中心极限定理:大量IID随机数之和收敛于正态分布令X1, X2,, Xn 是均值为µ 方差为σ 2 的IID(独立同分布)序列 n P Xi, 令X = 1n i=1 X µ Zn p = V(X) n(x µ) ;Z σ 其中 Z N(0, 1), 换句话说 Zz lim P(Zn z) = Φ(z) = n 1 x2 /2 dx e 2π 49/56

50 50/56 大数定理 : 大样本的均值依概率收敛于分布的均值令 X 1, X 2,, X n 是均值为 µ 方差为 σ 2 的 IID( 独立同分布 ) 序列, n 令 X = 1 n X i, 则对任意给定的 ε > 0 i=1 lim P( X µ ε) = 0 n

51 二元正态分布, 误差矩阵对应于 { σ x = σ y = f (x, y) = f (0, 0) e 的点构成椭圆 8x 2 +2y 2 = 1 (x, y)σ 1 ( x y ) = 1 (X, Y) 相互独立误差矩阵 : ( σ 2 Σ = x 0 0 σy 2 )

52 误差矩阵将坐标架按顺时针方向转过 θ 角, ( ) ( ) x x y = U y (x, y ) = (x, y)u T ( ) cos θ sin θ U = sin θ cos θ ( ) (x, y)σ 1 x = 1 y ( ) (x, y )U T Σ 1 x U y = 1 (x, y ) 满足的高斯分布 (Σ ) 1 = U T Σ 1 U Σ = U T ΣU

53 二元正态分布的误差矩阵 Σ= Σ 1 COV(X, Y) σx2 COV(X, Y) σy2 σxρσy! 1 = 1 ρ2 1 σx2 σxρσy 1 σy2

54 54/56 误差矩阵的用途 : 误差传递实验能直接测量的量是 (X a, X b ), 关注的物理量 y 是 X a, X b 的函数 y = y(x a, x b ) y = y x a x a + y x b x b 设 (X a, X b ) 的误差矩阵为 Σ V[Y] = ( y x a, y x b )Σ ( y x a y x b )

55 55/56 变量替换已知 x a, x b 的误差矩阵为 Σ, p 1, p 2 是 (x a, x b ) 的函数 : { p1 = p 1 (x a, x b ) p 2 = p 2 (x a, x b ) 雅可比矩阵为则,p 1, p 2 的误差矩阵为 : T = ( p1 x a p 1 p 2 x a p 2 x b x b ) Σ = T T ΣT 例题 : 学生自己阅读教材 p65-71, 完成作业 3.3(p72)

56 作业阅读教材1,2,3章完成习题 1.2, 1.4, 3.3, 3.4,3.5 56/56

x y z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.1. (X, Y ) 3.2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y 1 ) F (x 1, y 2

x y z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.1. (X, Y ) 3.2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y 1 ) F (x 1, y 2 3 3.... xy z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.. (X, Y ) 3.2 P (x < X x 2, y < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y ) F (x, y 2 ) + F (x, y ) 3. F (a, b) 3.2 (x 2, y 2) (x, y 2) (x 2, y ) (x,