新视野丛书 第 1 辑 顾问朱光亚张玉台张岱年倪维斗主编曾国屏副主编刘兵刘华杰杨君游编委以姓氏笔画为序任晓明刘兵刘华杰刘啸霆李后强杨君游吴彤吴国盛何国祥张建华陈忠范冬萍胡皓胡新和曹南燕曾国屏丛书策划隋千存曾国屏乔青

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2 新视野丛书 第 1 辑 顾问朱光亚张玉台张岱年倪维斗主编曾国屏副主编刘兵刘华杰杨君游编委以姓氏笔画为序任晓明刘兵刘华杰刘啸霆李后强杨君游吴彤吴国盛何国祥张建华陈忠范冬萍胡皓胡新和曹南燕曾国屏丛书策划隋千存曾国屏乔青

3 新视野丛书 第 1 辑 浑沌之旅 科学与文化刘华杰 著 分形 大自然的艺术构造汪富泉 李后强 著 生长的旋律 自组织演化的科学吴彤 著 350 年历程 从费尔马到维尔斯胡作玄 著 传统与后现代 科学与中国文化董光壁 著 克丽奥眼中的科学 科学编史学初论刘兵 著 灵捷制造 21 世纪的生产和管理战略罗振壁 周兆英 主编 开拓市场 高技术产品的市场营销何国祥 著 汽车文化 中国面临的挑战曹南燕 刘立群 著 信息高速公路 面向未来的震荡严康敏 赖茂生 著 责任编辑 隋千存 装帧设计 张晶 浑沌分形图制作刘华杰本丛书封面封底图形系采用数值迭代方法在微机上编程计算出浑沌分形图来的这些图形展示了绚丽多彩气象万千的非线性自组织世界图景体现着科学之美也蕴含着深刻的哲理

4 新视野丛书第 1 辑分形大自然的艺术构造汪富泉李后强著 * 山东教育出版社出版发行济南经九路胜利大街山东新华印刷厂德州厂印刷 * 850 毫米 1168 毫米 32 开 7.75 印张 5 插页 160 千字 1996 年 12 月第 1 版 1996 年 12 月第 1 次印刷印数 ISBN /C 2155 定价 元

5 后 记 本书参考了国内外众多专家学者的研究成果 部分室员资料是国内 外学者赠送的 因而它是集体智慧的结晶 由于另方面原因 其中一部 分文献未能收录于参考文献之中 我们己尽力在书中反映出原作者的工 作 并在此向各位编 著 译者和馈赠资料的朋友门表示衷心的感谢 四川联合大学艾南山教授 丁晶教授 清华大学曾国屏教授 北京 大学刘华杰博士 四川师范学院蔡择昌教授 唐孝奎副教授 对作者的 工作给予了极大的关心写支持 在此谨向他们表示要心的感谢 作者非常感谢梅雪珍 汤忆玲女士 她们不辞辛劳 乐于奉献 使 作者有大量时间从事本书写作 她们还在资料准备 书稿打印与校对等 工作中付出了辛勤的劳动 没有她们的奉献 本书是难以在较短时间内 完成的 四川师范学院数学系微机室程国忠 谭代伦 尚明生 万俊 陈强 等老师在书稿打印过程中给予了多方面的热情帮助 在此逢向他们表示 衷心的感谢 作者 1996 年 6 月

6 参考文献 [ 1] 郝柏林 分形与分维. 科学 [ 2] 日 高安秀树著 分数维. 沈步明等译. 北京 地震出版社 1989 [ 3]Mandelbrot B B. Fractal Form Chance and Dimensions w.h.freeman and Company 1977 [ 4] 文志英 井竹君. 分形几何与分维数简介. 数学的实践与认识 [ 5] 英 法尔科内 KJ 著. 分形几何 数学基础及其应用. 曾文 曲等译. 沈阳 东北工学院出版社 1992 [ 6] 汪富泉 李后强. 分形几何与动力系统. 哈尔滨 黑龙江教育出 版社 1993 [ 7] 蒲保明 蒋继光 胡淑礼编. 拓扑学. 北京 高等教育出版社 1985 [ 8] 汪富泉罗朝盛等 G P 算法的改进及其应用. 计算物理 [ 9] 李后强 汪富泉. 分形理论及其在分子科学中的应用. 北京 科 学出版社 1993 [ 10] 董连科. 分形理论及其应用. 沈阳 辽宁科学技术出版社 1991 [ 11] 李后强 程光钺. 分形与分维. 成都 四川教育出版社 1990 [ 12] 汪富泉 罗朝盛等. 关联维数在油气勘探中的应用. 中国海上 油气 地质 [ 13] 汪富泉 罗朝盛 混沌理论在油气预测与布井决策中的应用. 运筹学杂志 [ 14] 汪富泉 罗朝盛. 非均匀介质中地震波能量的分形分析. 见 胡尊国等编 全国第一届地质科学与分形学术讨论会论文集. 武汉 中国 地质大学出版社 [ 15] 汪富泉 罗朝盛等.Hurst 指数与容量维在油气检测中的应用. 石油地球物理勘探 [ 16] 汪富泉. 阳新统油气储集与渗流结构的分维研究. 见 周衡孟 等编. 中国青年科技论文精选. 北京 中国科学技术出版社 [ 17]Grassberger P,Procaccia.Measuring the Stranges ofstrange Attractors. Physica, D [ 18] 汪富泉 李后强. 一类分形集及其刻划. 应用数学 [19] 汪富泉 李后强. 有面积的曲线的性质及高维推广. 数学研究与评论 [ 20] Bahcall N A.Ann.Rev.Astron Astrophys ) 631 [ 21] Fang L Z MO H J Bj H G.Selfaffinity of thf 1arge scalestructure of the universe Modern Phys. Letters A 1987

7 [ 22] 夏晓阳 邓祖淦 邹振隆 IRAS 星系大尺度分布的分维. 中国科学 A [ 23] 美 格莱克 J 著. 混沌开创新科学. 张淑誉译. 上海 上海译 文出版社 1990 [ 24] 加 凯依 BH 著. 分形漫步. 徐新阳等译. 沈阳 东北大学出版 社 1994 [ 25] Mandelbrot B B.Science [ 26] Fedor J.Fractals.P1enum 1988 [ 27] 李后强 艾南山. 分形地貌学及地貌发育的分形模型. 自然杂 志 [ 28] 励强等. 地理学报 [ 29] Ohta S Honjo H.Phys.Rev.Lett [ 30] 高鹏. 小流域地貌的分形研究. 兰州大学硕士论文.1993 [ 31] 艾南山 侯文贵. 流域演化动力学的初步研究. 中国地质灾害 防治学报 [ 32] Denis N Steve S.PAGEOPH /2 55 [ 33] TakayuKi H.PAGEOPH /2 107 [ 34] King G.PAGEOPH [ 35] Sadovskiy M A. Izvestiya.Earth Phys [ 36] Hjrata T Satoh T Ita K.Geophys.J.Roy.Astr.Soc [ 37] wu R S AKi K.PAGEOPH [ 38] Okubo P Aki K.EOS [ 39] SChOlz C H Aviles C A.Earthquakes Notes [ 40] 汪富泉. 断层与裂缝系统的分形结构研究 见 辛厚文编 分 形理论及其应用. 合肥 中国科学技术大学出版社 [ 41] 谢和平. 大理石微观断裂的分形 fractal 模型研究. 科学通 报 [ 42] 洪时中 洪时明 地学领域中的分维研究 水系 地震及其 它. 大自然探索 [ 43] Turcotte D L.PAGEOPH /2 117[44] Drew L J Schuenemeyer J H Bawiec w J.U.S.Geol.Survey Prof.Paper [ 45] Cargill S M Root DH Bailey E H.Econ.Geol [ 46] Kate A J Thompson A H.Phys.Rev.Lett [ 47] Nolte D D Pyrak-Nolte L J Cook G w.pageoph /2 77 [ 48] 汪富泉 罗朝盛等. 油气预测的新方法研究. 见 王荫清等编. 运筹与决策. 成都 成都科技大学出版社 [49 ]

8 Barnsley M F.Fractals Everywhere.Orlando FL Academic Press 1988 [ 50] Mareschal JC.PAGEOPH /2 136 [ 51] BarenblattGI et a1. Oceanology [ 52] Malinverno A.PAGEOPH /2 96 [ 53] DubucB et al.proc.r.soc.lond.a [ 54] Wang FQ LiHQ.The Study of Sefl-organization andpercolating Gritia1 State on Fault and Fissure System.in Chen M Y ed.proc.of SCI 94 Vol.2.wuhan Huazhong University of Science and Technology Press [55] 罗朝盛汪富泉. 用分形技术重建声测井曲线的算法及其应用. 四川师范学院学报自然科学版 [ 56] Mandelrot B B et al.nature [57] 沈步明. 准晶体晶格的数学表达式及其分数维结构维数计算. 科学通报 [ 58] 美尤金斯 H 等. 分形语言. 科学中译本 [ 59] 王方石 L- 系统在分形中的应用. 见辛厚文编分形理论及其应用. 合肥中国科学技术出版社 [ 60] 加杰恩 RV 著植物生长模式与形态的数理研究方法. 王本楠等译. 北京学术书刊出版社 1990 [ 61] 张颖清. 生物全息诊疗法. 济南山东大学出版社 1987 [ 62] 黄立基李后强. 分形. 见魏宏森等编著. 开创复杂性研究的新学科成都四川教育出版社 [ 63] 李后强汪富泉. 蛋白质的谱维数. 科学通报 [ 64] Li N Q wang FQ ZhaO HM.Fractal Reactions onenzvmesurfaces.chin.j.chem.phys [ 65] Li H Q Wang FQ. Structural entropy and correlationdimension for a biological macromolecule.chem.phys. Lett [ 66]LiHQ Li Y Zhao H M Fractal analysis of protein chainconformation.int.j.biol. Macromol [67] Li HQ Chen S H Zhao H M. Fractal structrue and con-formation entropy of Protein chain.int.j.biol Macro-mol [ 68] Li HQ Chen S H Zhao H M. Fat fractal and multifractalsfor protein and enzyme surfaces.int.j.biol.macromol [ 69] Li HQ Li Y Zhao H M. Fractal mechanisms for theallosteric effects of Proteins and enzymes Biophys.J [ 70] Li HQ Wang FQ. Protein Conformation and

9 EnzymaticKinetics. in lannaccone P ed. FractaI Geometry in Biologi-cal Systems.Boca Raton FL CRC Press INC 1996 [ 71] 李后强 张国祺 汪富泉. 分形理论的哲学发初. 成都 四川 大学出版社.1993

10 引言 新世纪的钟声即将敲响 回顾即将过去的一个世纪数学的发展历程 我们可以欣喜地看到 一个世纪以来 数学家们在追求数学理论的完美性和数学应用的广泛性 上所做出的孜孜不懈的努力和所取得的丰硕成果 孤子 混饨 分形 小波 wavelet 在层出不穷的新学科中 美籍法国数学家曼德尔布罗特 B.B.Made1brot 于本世纪 70 年代中期所开创的分形几何 fractalgeometry 理论在上述两个目标的追求上都取得了突出成就 被誉为开创了 20 世纪数学的重要阶段 一方面 分形几何中的主要角色都是由传统数学中的 病态 结构 或数学 怪物 所扮演的 三分康托 G.Cantor 集 维尔斯特拉斯 K.Weierstr-ass 函数科契 Von Koch 雪花曲线皮亚诺 G.Peano 填充空间的曲线等等 曼德尔布罗特把它们放在分形几何中统一处理 使人们看到了过去那些被认为是 病态 的 怪物 展现出新的规则和 奇妙无比的美 另一方面 使科学家们惊讶并欢迎的是 分形几何为研 究自然界中形形色色的复杂形状和结构提供了十分简洁的工具 因而在 天文 地学 物理 化学 生物 医学 材料乃至语言学 经济学等领 域得到了十分广泛的应用从 80 年代中期开始 分形 热 了 成了科学界叫得最响的名词 吸引了几乎所有领域科学家和社会工作者的注意 有关分形出版了上百 部专著 在国际期刊上发表了几千篇专业论文 美国物理学家惠勒 J.A.Wheeler 说 明天谁不熟悉分形 谁就不能被认为是科学上的 文化人 分形研究是非线性科学的前沿之一 也是哲学家们感兴趣的课题之 一 世界本质上是非线性的 而分形是复杂非线性特征的一种几何表现 分形概念与自相似是密不可分的 没有自相似就没有分形 但有自相似 却未必有分形 从自相似概念到分形概念 在思维上有一个巨大的质的 飞跃 对于大自然而言 自相似性是普遍存在的 但从来没有绝对 的自相似 分形 是一个科学术语 仍然只是一种人为的抽象 虽然 在某种意义上说它比 整形 更能反映事物的本来面目 分形概念表达 了 20 世纪下半叶人们看世界的一种新的方式 但它仍然是一种普通的科 学模型 有好的方面 也同样有不适当之处 时至今日 分形理论所包 含的深刻内涵及其哲学启迪还远未揭示出来 科学新概念的诞生 往往需要有一个整体的社会意识 20 世纪初 之所以有许多新概念问世 是由于当时社会整体的技术有了很大的进 展 而且经典的理论已开始与实验所发现的事实发生冲突 另一方面 科学的哲学思想也为新概念的建立作了准备 分形概念的诞生也有类似 的原因 决定论框架中的随机性的发展导致了混沌动力学的建立 而这 些优美的动力学几何图象则鲜为人注意 分形正是在这方面显露才华 并引起各个领域的研究工作者的注意

11 但是 分形并没有对时空给出一个实质性的新概念 而且依照分形 的概念 在动力学的意义上对系统的行为的理解仍然获益不多 如果说 多标度分形的理论使对这些形态的认识大大向前迈出了一步 那么概念 性的突破仍然太少 因为它很快又返回到了 热力学 的类比之中去了 分形理论仍然处于发展之中 而且空间广阔 来自科学哲学界的情报表明 一些富于探索精神的哲学家们 正在 试图把分形的概念和思想抽象为一种方法论 分形论 它是一种辩证 的思维方法和认识方法 部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴 也 是分形理论的研究对象 把复杂事物分解为要素来研究是一条方法论原 则 简单性原则 哲学史上 人们很早就认识到 整体由部分组成 可通过认识部分来映像整体 系统中每一个元素都反映和包含整个系统 的性质和信息 即元素映现系统 这可能是分形论的哲学基础之一 从分析事物的视角方面来看 分形论和系统论分别体现了从两个极 端出发的思路 它们之间的互补恰恰完整地构成了辩证的思维方法 系 统论由整体出发来确定各部分的系统性质 它是沿着宏观到微观的方向 考察整体与部分之间的相关性 而分形论则相反 它是从部分出发来确 立整体的性质 沿着微观到宏观的方向展开的 系统论强调了部分依赖 于整体的性质 而分形论则强调整体对部分的依赖性质 于是二者构成 了 互补 分形论的提出 或许具有以下几个方面的意义 首先 它打破了整 体与部分之间的隔膜 找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁 即整体与 部分之间的相似性 其次 分形论的提出 使人们对整体与部分的关系的思维方法由线 性进展到非线性的阶段 并同系统论一起 共同揭示了整体与部分之间 多层面 多维度的联系方式 分形论从一个新的层面深化和丰富了整体 与部分之间的辩证关系 再次 分形论为人们认识世界提供了一种新的方法论 它为人们从 部分中认知整体 从有限中认知无限提供了可能的根据 最后 分形论的提出进一步丰富和深化了科学哲学思想中关于普遍 联系和世界统一性的原理 这主要表现在两个方面 一是分形论从一个 特定的层面直接揭示了宇宙的统一图景 同时 分形论所揭示的整体与 部分的内在联系方式是对宇宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭 示 二是关于世界物质统一性 分形论可以从共时态与历时性两个维度 上展开说明 一方面在自然界中蕴含着历史的演化与嬗变的信息 另一 方面部分与分形整体之间普遍的相似性编织了一张世界统一的网络 分形论的产生 也是古代哲学思想在近代自然科学中的重现和历代 思想家们智慧火花的积累 古代哲学为分形论的诞生做好了思想准备 而分形论的创立则为现代哲学关于普遍联系和统一性的原理提供了最新 的数理科学根据 世纪之交世界各国都面临着机遇与挑战其焦点突出表现在科技与教育上最近据一份名为课程改革关于科学数学及技术教育的革新的报告报道经济合作与发展组织的 13 个成员国美国澳

12 大利亚 奥地利 加拿大 法国 德国 爱尔兰 日本 荷兰 挪威 英国 西班牙及瑞士正在加强中 小学课程的实践性 使之与学生日常 生活联系得更加紧密 报告还显示 大学里的科学家和数学家们也在转 变思想 更新旧的教育观念 长期以来 我国数学教育与实践严重脱节 的现象曾引起大批有识之士的极大关注 著名数学教育学家张奠宙教授 对此现象极度忧虑 他曾给李岚清副总理写信 希望我国及早进行数学 教育改革 加强数学教育的实践性 并希望这一重要问题能引起政府和 社会的普遍重视 现代教育理论认为 数学教育的主要目的之一是让学生获得对数学 的审美能力 发展学生良好的个性品质 培养他们的创造性思维能力 我们认为 这些能力的培养 其出发点和归宿在于解决科技 经济和社 会中的实际问题 因此 在数学教育中 数学的美及其应用的广泛性都 具有十分重要的作用 从这个意义上说 分形具有不可忽视的重要性 尤金斯 H. Jurgens 等写道 分形几何除了用于描述自然物体的复 杂性以外 它还能为数学教育的振兴提供一个好机会 分形几何的理论 是直观可见的 它所涉及的形态具有巨大的审美感染力和各种各样的用 途 因而分形几何可有助于反驳那种认为数学枯燥无味和难于接近的看 法 并可激发学生去了解这一令人迷惑和激动人心的研究领域 本书力图展示分形的数学美和它的各种应用 在分形的数学基础一 篇中 除介绍分形与分维的必备知识外 我们给出了不同类型的数学实 例 并指出了它们与自然界的真实物体或过程的联系 我们可以看到 正是那些在传统数学中被称为 病态 的结构 在这里展现出奇异的数 学美 表现出与大自然的和谐与统一 第二篇介绍分形的各种应用 以 此来揭示大自然自组织结构的分形艺术 由于分形理论的应用领域众 多 难以一一枚举 且很多领域的研究成果异常丰富 因此 全面介绍 分形的应用非作者的能力之所及 难免有很多好的素材没有选到 请读 者朋友鉴谅 限于作者水平 书中定有不少不妥和错误之处 望读者朋友们批评 指正

13 引言 新世纪的钟声即将敲响 回顾即将过去的一个世纪数学的发展历程 我们可以欣喜地看到 一个世纪以来 数学家们在追求数学理论的完美性和数学应用的广泛性 上所做出的孜孜不懈的努力和所取得的丰硕成果 孤子 混饨 分形 小波 wavelet 在层出不穷的新学科中 美籍法国数学家曼德尔布罗特 B.B.Made1brot 于本世纪 70 年代中期所开创的分形几何 fractalgeometry 理论在上述两个目标的追求上都取得了突出成就 被誉为开创了 20 世纪数学的重要阶段 一方面 分形几何中的主要角色都是由传统数学中的 病态 结构 或数学 怪物 所扮演的 三分康托 G.Cantor 集 维尔斯特拉斯 K.Weierstr-ass 函数科契 Von Koch 雪花曲线皮亚诺 G.Peano 填充空间的曲线等等 曼德尔布罗特把它们放在分形几何中统一处理 使人们看到了过去那些被认为是 病态 的 怪物 展现出新的规则和 奇妙无比的美 另一方面 使科学家们惊讶并欢迎的是 分形几何为研 究自然界中形形色色的复杂形状和结构提供了十分简洁的工具 因而在 天文 地学 物理 化学 生物 医学 材料乃至语言学 经济学等领 域得到了十分广泛的应用从 80 年代中期开始 分形 热 了 成了科学界叫得最响的名词 吸引了几乎所有领域科学家和社会工作者的注意 有关分形出版了上百 部专著 在国际期刊上发表了几千篇专业论文 美国物理学家惠勒 J.A.Wheeler 说 明天谁不熟悉分形 谁就不能被认为是科学上的 文化人 分形研究是非线性科学的前沿之一 也是哲学家们感兴趣的课题之 一 世界本质上是非线性的 而分形是复杂非线性特征的一种几何表现 分形概念与自相似是密不可分的 没有自相似就没有分形 但有自相似 却未必有分形 从自相似概念到分形概念 在思维上有一个巨大的质的 飞跃 对于大自然而言 自相似性是普遍存在的 但从来没有绝对 的自相似 分形 是一个科学术语 仍然只是一种人为的抽象 虽然 在某种意义上说它比 整形 更能反映事物的本来面目 分形概念表达 了 20 世纪下半叶人们看世界的一种新的方式 但它仍然是一种普通的科 学模型 有好的方面 也同样有不适当之处 时至今日 分形理论所包 含的深刻内涵及其哲学启迪还远未揭示出来 科学新概念的诞生 往往需要有一个整体的社会意识 20 世纪初 之所以有许多新概念问世 是由于当时社会整体的技术有了很大的进 展 而且经典的理论已开始与实验所发现的事实发生冲突 另一方面 科学的哲学思想也为新概念的建立作了准备 分形概念的诞生也有类似 的原因 决定论框架中的随机性的发展导致了混沌动力学的建立 而这 些优美的动力学几何图象则鲜为人注意 分形正是在这方面显露才华 并引起各个领域的研究工作者的注意

14 但是 分形并没有对时空给出一个实质性的新概念 而且依照分形 的概念 在动力学的意义上对系统的行为的理解仍然获益不多 如果说 多标度分形的理论使对这些形态的认识大大向前迈出了一步 那么概念 性的突破仍然太少 因为它很快又返回到了 热力学 的类比之中去了 分形理论仍然处于发展之中 而且空间广阔 来自科学哲学界的情报表明 一些富于探索精神的哲学家们 正在 试图把分形的概念和思想抽象为一种方法论 分形论 它是一种辩证 的思维方法和认识方法 部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴 也 是分形理论的研究对象 把复杂事物分解为要素来研究是一条方法论原 则 简单性原则 哲学史上 人们很早就认识到 整体由部分组成 可通过认识部分来映像整体 系统中每一个元素都反映和包含整个系统 的性质和信息 即元素映现系统 这可能是分形论的哲学基础之一 从分析事物的视角方面来看 分形论和系统论分别体现了从两个极 端出发的思路 它们之间的互补恰恰完整地构成了辩证的思维方法 系 统论由整体出发来确定各部分的系统性质 它是沿着宏观到微观的方向 考察整体与部分之间的相关性 而分形论则相反 它是从部分出发来确 立整体的性质 沿着微观到宏观的方向展开的 系统论强调了部分依赖 于整体的性质 而分形论则强调整体对部分的依赖性质 于是二者构成 了 互补 分形论的提出 或许具有以下几个方面的意义 首先 它打破了整 体与部分之间的隔膜 找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁 即整体与 部分之间的相似性 其次 分形论的提出 使人们对整体与部分的关系的思维方法由线 性进展到非线性的阶段 并同系统论一起 共同揭示了整体与部分之间 多层面 多维度的联系方式 分形论从一个新的层面深化和丰富了整体 与部分之间的辩证关系 再次 分形论为人们认识世界提供了一种新的方法论 它为人们从 部分中认知整体 从有限中认知无限提供了可能的根据 最后 分形论的提出进一步丰富和深化了科学哲学思想中关于普遍 联系和世界统一性的原理 这主要表现在两个方面 一是分形论从一个 特定的层面直接揭示了宇宙的统一图景 同时 分形论所揭示的整体与 部分的内在联系方式是对宇宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭 示 二是关于世界物质统一性 分形论可以从共时态与历时性两个维度 上展开说明 一方面在自然界中蕴含着历史的演化与嬗变的信息 另一 方面部分与分形整体之间普遍的相似性编织了一张世界统一的网络 分形论的产生 也是古代哲学思想在近代自然科学中的重现和历代 思想家们智慧火花的积累 古代哲学为分形论的诞生做好了思想准备 而分形论的创立则为现代哲学关于普遍联系和统一性的原理提供了最新 的数理科学根据 世纪之交世界各国都面临着机遇与挑战其焦点突出表现在科技与教育上最近据一份名为课程改革关于科学数学及技术教育的革新的报告报道经济合作与发展组织的 13 个成员国美国澳

15 大利亚 奥地利 加拿大 法国 德国 爱尔兰 日本 荷兰 挪威 英国 西班牙及瑞士正在加强中 小学课程的实践性 使之与学生日常 生活联系得更加紧密 报告还显示 大学里的科学家和数学家们也在转 变思想 更新旧的教育观念 长期以来 我国数学教育与实践严重脱节 的现象曾引起大批有识之士的极大关注 著名数学教育学家张奠宙教授 对此现象极度忧虑 他曾给李岚清副总理写信 希望我国及早进行数学 教育改革 加强数学教育的实践性 并希望这一重要问题能引起政府和 社会的普遍重视 现代教育理论认为 数学教育的主要目的之一是让学生获得对数学 的审美能力 发展学生良好的个性品质 培养他们的创造性思维能力 我们认为 这些能力的培养 其出发点和归宿在于解决科技 经济和社 会中的实际问题 因此 在数学教育中 数学的美及其应用的广泛性都 具有十分重要的作用 从这个意义上说 分形具有不可忽视的重要性 尤金斯 H. Jurgens 等写道 分形几何除了用于描述自然物体的复 杂性以外 它还能为数学教育的振兴提供一个好机会 分形几何的理论 是直观可见的 它所涉及的形态具有巨大的审美感染力和各种各样的用 途 因而分形几何可有助于反驳那种认为数学枯燥无味和难于接近的看 法 并可激发学生去了解这一令人迷惑和激动人心的研究领域 本书力图展示分形的数学美和它的各种应用 在分形的数学基础一 篇中 除介绍分形与分维的必备知识外 我们给出了不同类型的数学实 例 并指出了它们与自然界的真实物体或过程的联系 我们可以看到 正是那些在传统数学中被称为 病态 的结构 在这里展现出奇异的数 学美 表现出与大自然的和谐与统一 第二篇介绍分形的各种应用 以 此来揭示大自然自组织结构的分形艺术 由于分形理论的应用领域众 多 难以一一枚举 且很多领域的研究成果异常丰富 因此 全面介绍 分形的应用非作者的能力之所及 难免有很多好的素材没有选到 请读 者朋友鉴谅 限于作者水平 书中定有不少不妥和错误之处 望读者朋友们批评 指正

16 编者的话 现代文明的潮流正在我们的时代奔涌 种种新学科 新理论 新思 想往这个历史的潮流中翻波鼓浪 知识更新 学科交又 知识集成在这 个历史的潮流中分合汇聚 改革开放 科教兴国 我们的国家正在走向世界 走向现代化 走 向可持续友展的美好未来 汪这个崭新的发展时期 我们正面临和经历 着不同文化传统 学术观点 科学文化和人文文化的大交流 大碰撞和 大融合 于是 新闻出版报 组织发表的 新学科出版物系列述评 不仅 受到了出版界的赞扬和重视 而且得到了社会的广泛欢迎和好评 正是 在此 系列述评 的直接鼓舞和学术前辈的热情关怀下 新视野丛书 应运而生新视野丛书 以促进文理相通 科教兴国 社会发展和文化繁荣 为宗旨 将致力于发表 宣传和传播具有强烈时代感的新学科 新理论 和新思想以及对于社会热点问题的新观察 新研究和新思考 新视野丛书 在坚持新颖性和高品位的同时 还注重严谨学风和 活泼文风的统一 以更好地为广大读者服务 以促进对于我们的时代进 行更广泛的思考分析和更深刻的认识理解 特别是 新视野丛书 希望自己成为广大读者的阴友 在读者朋 友们的支持下共同招展好通向未来的 有利于思想交流共鸣的知识新视 野 新视野丛书 编委会 1996 年 6 月于北京

17 分形 大自然的艺术构造

18 第一篇 分形与分维 传统数学中的怪物 欧氏几何以及以此为背景的传统数学所研究的图形或空间形式都是足够正则足够光滑的然而自然界的真实形态并非如此光滑规则充满空隙的宇宙空间起伏不平的地形地貌九曲回肠的河流曲曲弯弯的海岸线纵横交错的大地褶皱断层裂缝流体的湍流相变点附近的涨落花斑地下水和石油的渗流结晶体的分支生物体的形态与结构静电传输误差股票市场的波动它们不是欧氏几何意义下的光滑规则形体根据研究问题的需要光滑规则的形态不仅不能较好地近似它们有的甚至连一级近似也做不出来 19 世纪的数学家也凭借想象创造出来了一些不够光滑不够正则的形体空间形式如康托集合维尔斯特拉斯曲线科契曲线谢尔品斯基地毯皮亚洛曲线等等但是长期以来它们被视为是病态的或称为数学怪物通常只是作为传统数学教科书中的反例起着对正则结构的点缀和陪衬作用很少对它们进行较详细的研究近年来由于分形这一新概念的诞生才使这些非正则的数学怪物获得了新生科学家们发现这些难以想象的错综复杂的结构是数学奇葩它们以极其简洁的形式描绘出复杂的物体和过程因此引起天文地学物理化学生物材料冶金石油等领域的科学家们的广泛兴趣科学家们称分形几何是大自然本身的几何

19 第一章分形的墓本概念与分维数的计算 分形 一词译于英文 fracta1 该词系美籍法国数学家曼德尔 布罗特 B.B.Mandelbrot 于 1975 年最先创用的 他在 1982 年出版的 著作 大自然的分形几何 一书中介绍说 fracta1 一词源于拉丁形 容词 fractus 对应动词 frangere 意为 破碎 产生不规则碎片 同时 与英文 fractional 和 fragment 有相同的词根 意为 碎片 断 片 分数的 因此 fractal 有非规则的 破碎的 分数的等含 义 曼德尔布罗特指出 分形由三个要素组成 即形状 机遇和维数 这里的维数概念与欧氏几何不同 不仅可以取整数 而且可以取分数 初涉分形的读者定会迷惑不解 在传统数学里 形体的维数都是整 数 大家都知道 0 维的点 1 维的线 2 维的面 3 维的体 4 维的时空 而分形体的维数可以取分数 这倒是有些奇怪了 那么 分形的数学定 义到底是什么呢 为什么分形可以有分数的维数呢 怎么确定分形体的 维数呢 下面我们将对上述问题做出通俗直观的回答 而不计较数学上 的严格性 1 1 什么叫分形 欲从数学角度对分形下一个严格的定义并不是一件容易的事其实从分形诞生至今 20 年来人们都在不断地探索分形的严格定义但是至今尚无一个是完全令人满意的虽然如此这也不妨碍人们对分形的理解科学中未予严格定义的概念可多了例如集合生命混沌等等本节中我们先从特征尺度的概念入手给出分形的描述至于维数人们可从不同角度对同一分形给出不同意义的维数我们将在下节讨论 特征尺度 自然界的形体和人们考虑的各种图形大体可以分成两类 一类有特 征尺度 一类没有特征尺度 这里的特征尺度也没有什么严格定义 可 以指某个形体的尺度中的代表者 因而是针对具体的形体而言的 例如 圆或球的特征尺度即是它的半径或直径 正方形或长方形的特征尺度则 是它的边长 人体的特征尺度既可以是人的身高 也可以是人的腿长或 手长 具有特征尺度的形体 就要用适当的尺度去测量 用厘米去量万里 长江 或用公里去量乙肝病毒 前者尺度太短 而后者又嫌太长 都是 不适当的 我们日常生活中的很多形体 其特征尺度与人体尺度密切相 关 如床的长度 桌椅的高低 营业员卖布用的尺子常用米或尺作单位 可视为特征尺度 为什么不用寸或丈来量度呢 很显然 它与人体的特 征尺度 手长 不匹配 著名科学家郝柏林教授指出 [ 1] 特征长度 特征时间等特征尺度可以用来想事推理 并举了计算机微型化会达到什 么程度这一生动例子 内部元件的微型化以分子尺度为极限 还有很大 的发展余地 而外部设备如显示屏 打印机 键盘等则必须与人体尺度

20 一致 不能无限制地缩小 火柴盒似的荧屏 指甲盖大小的键盘 微雕 艺术品似的打印结果决不会成为常规产品具有特征尺度的形体有那些特征呢 日本学者高安秀树 [2] 认为 其 特征之一是 只要保持特征尺度不变 对这些形体稍作简化 其性质不 会有太大的变化 例如 树立一个大小和汽车基本相同的矩形 从远处 看它和汽车不会有很大差别 一般地 这类形体的构造可以用熟知的几 何形体如矩形 圆柱 圆 球等的组合来近似 我们认为这类形体最根 本的 共同的本质特征可能在于下述两点 一 在测量这些形体的时 候改变测量尺度的大小 在允许的误差范围内 测得的结果应该是一致 的 例如 一张长 1.2 米的写字台 无论用米 还是用分米 厘米 尺 寸作尺子去测量 测得的结果应基本相同 二 这类形体是光滑的或 近似光滑的 例如 从宇宙空间看地球 它近似为一球体 其大小可用 半径作为特征尺度来描述 尽管地球表面凹凸不平 但与地球的半径相 比是可以忽略不计的 自然界中是否还存在无特征尺度的形体呢 我们先看看下面的例 子 科学家们发现 当人们从不同高度观察海岸线时 看到的形状大致 相同 虽然高度越低 看到的范围越窄 细节越多 但从不同高度观察 和拍摄照片可以发现海岸线有相似的曲折性和复杂程度 这一性质造成 了海岸线长度精确测量的困难 曼德尔布罗特在 1967 年发表的关于海岸 线的文章中 得出英国海岸线长度不确定这一结论使人十分惊讶 海岸 线的长度怎么会不确定呢 他在 1975 年出版的 分形图 形状 机遇和 维数 一书中 第二章专门讨论 不列颠的海岸线有多长 这一问题 他指出 [3] 海岸线的长度是随测量尺度变化的 当人们从不同高度测量 海岸线时 测量尺度随之变化 如果以公里作为单位 那么海岸线上几 米至几百米的一些弯曲被忽略 设这时测得的长度为 L 1 如果用米作为 单位 那么较小的弯曲虽然可以测出来 但更小的弯曲仍被忽略 设这 时测得的长度为 L 2 则必有 L 1 L 2 若以毫米为单位 则几乎所有肉眼 能够看出的弯曲都不会忽略 这时测得的长度 L 3 必大于 L 1 和 L 2 如果考 虑一个极端情况 以原子尺度为测量单位 测出的长度可能达到天文数 值 因此 与直觉相反 海岸线没有特征长度 科契曲线及其性质 现在我们用科契曲线来证实这一事实 英国海岸线如图 1.1 所示 科契雪花曲线如图 1.2 科契曲线的构造如下 设 E 0 为一单位直线段 将其三等分 中间的 1/3 用边长 1/3 的等边三角形向上指的另两条边代替 得到的集记为 E1 它包含四条线段 对 E 1 的每条线段重复这一 图 1.1 英国海岸线的形状 图 1.2 科契曲线的构造 过程得到 E 2 归纳地 E k+1 是把 E k 的每条线段中间的 1/3 用边长 1/3 k+1

21 的等边三角形的另两条边代替得到的 当 k 充分大时 E k+1 与 E k 只在 精细的细节上不同 当 k 时 极限曲线称为科契曲线 它被人们用作 典型的海岸线模型 其复杂和粗糙度可以刻画真实海岸线的复杂性和粗 糙程度先考虑科契曲线的近似 用三角形和直线段来逼近它 最粗的近似 为一三角形 它与科契曲线相去甚远 如图 1.3 a 所示 进一步提高 近似 如图 1. 3 b 一 c 把这种操作反复进行 其极限也可以看 成科契曲线 这就是说 如果想用具有特征尺度的图形去近似科契曲线 则在任何时候都会产生不能忽视的误差 为了减小这种误差 就必须准 备无数不同的图形 因此 像海岸线 科契曲线那样的形体是无法用传 统几何中的规则图形去近似的再考虑科契曲线的测量 如果选用长度为 1 的尺子 这时 大小的 弯曲都被忽略 科契曲线的长度为 1 若用长度为 1/3 的尺子测量则得到 长度 4/3 归纳地若用长度 1/3 k 的尺子测量则科契曲线的长度为 4/3 k 当 k 时 其长度趋于 因此 科契曲线也没有特征尺度 从科契曲线的构造还可以看出 该曲线上每一点都是尖点 因此 该曲线是连续而不可微的 根据文献 [2] 和 [4] [5] 还可以更细致地总结 出科图 1.3 用科契曲线近似海岸线契曲线的下述性质 图 1 3 用科契曲线近似海岸线 1 自相似性 无特征尺度 非光滑性 是这类形体复杂性的主要 表现 没有特征尺度 就必须考虑从小到大的许许多多尺度 这显然是 十分困难的 这类形体在自然界中不是个别的 而是广泛地存在着 如 天空中默默翻滚的积雨云 岩石破裂与可怕的地震 物理学中的连续相 变与湍流等等 正是由于它们没有特征尺度 因而常常成为科学研究中 的难题 在这类复杂形体的背后 是否还存在着规律性和简单性呢 我 们在介绍海岸线时实际上已经提到了 这就是在不同高度 或以不同尺 度 看到的海岸线的相似性 我们再考察科契曲线 不难看到 只要把 [0 1/3] 这一部分图形放大 3 倍 结果和原来的曲线完全相同 把 [1/3 1/2] [1/2 2/3] [2/3 1] 上的各部分放大 3 倍 也得到同样的结果 把 [0 1/9] 上的图形放大 9 倍 也得到与原来相同的曲线 对更小的部 分放大相应倍数 结果仍然如此 不论多小的部分 放大适当倍数都得 出和科契曲线一样的图形 这种性质称为自相似性 2 科契曲线具有 精细结构 即在任意小的比例下曲线都含有 丰富的细节 事实上 不管取多么小的尺度 60 度的尖角仍然出现 只 是边长相应减小 这一事实表明 科契曲线的复杂性不随尺度的减小而 消失 3 科契曲线的几何性质难以用传统的数学方法描述 整体上 它 既不是满足某些条件的点的轨迹 又不是任何简单方程的解集 在局部 它不能通过切线来描述 因为它的每一点都是尖点 其切线是不存在的 4 科契曲线的长度为无穷大而面积为零 因此 通常的测度不能 对它给出好的描述 拓扑维数也不能给它以很好的描述 5 科契曲线虽然如此复杂 但是它的定义简单明了 是由单位直 线段通过递归产生的 随迭代步骤的增加 它的逐次迭代 Ek 出它的越来

22 越好的近似上述性质 反映了科契曲线的不规则性 而性质 1 5 则说明了科契曲线在新的观点 尺度变换 下的规则性和 简单性 一般说来 分形集合都具有上面所说的某些性质或它们的变形 具有特征长度的形体 是非常规则 光滑的 在欧氏几何体系中已经得 到研究 而任意复杂和粗糙的形体 称之为 几何混沌 其中一部 分是很难处理的 另一部分具有某些本质特征的图形 即 粗糙而又自 相似 的 同时又比欧氏几何中的图形更复杂的图形 就是分形几何的 研究对象 用曼德尔布罗特的话说 分形几何的对象是挤到 几何混沌 和欧氏几何对象之间的第三种可能类型的图形 因此 分形几何研究的 对象从本质上看有别于经典几何 但同时又排除了那些极为无序的几何 形体 所以说 分形几何是介于欧氏几何的极端有序和一般的几何混沌 之间的中间状况 是从有序过渡到无序的中间类型 统计自相似性 形体的自相似性不仅限于科契曲线前面提到的海岸线积雨云相变湍流等也有类似的性质除此以外山脉的起伏河流的形状也有类似的相似性从地图和航空照片来看如果不借助参照物房屋道路等一般很难估计它的比例尺有多大此外人或动物体内的肺血管胆管等的复杂分枝构造也有一定的自相似性但是这种自相似性不是严格的而是统计意义上的也就是说局部与整体有相同的统计分布例如在科契曲线的构造中每次去掉三分之一而在用与去掉部分构成等边三角形的另两条边代替时改用掷硬币的方法决定新的部分位于被去掉部分的上边或下边比如正面表示上边反面表示下边也可以用掷四面体骰子的办法确定根据 mod2 的余数 0 1 确定 0 表示上边 1 表示下边这样得到的曲线 图 1.4 随机科契曲线更像真实的海岸线更复杂也更像真实的海岸线如图 1.4 它是统计自相似的即它的任意部分放大以后与整体具有相同的统计分布规律 拟自相似集 度量空间 X d 到自身的一个映射 f 称为 k 拟等距简称拟等距如果对 X 中的任意两点 x y 有 d x y /k d f x f y kd x y 令 ϕr x x/r 表示变量 x的一个 1/r 伸缩 B xo r 表示中心在 x O 半径为 r 的圆盘集 S 称作一个 K- 拟自相似或简称拟自相似的如果存在一个 k和 ro 使得对 S X及 x X和所有的 r r ϕr S B x r 可以被一个 K拟等距映射于 S上其直观意义 是这样的图形的任意小的部分经过放大然后再经光滑扭曲就可与该图形的某一更大部分重合例如二次复多项式 F Z =Z 2 c 对适当

23 的复参数 C 产生的 Julia 集就是拟自相似集 [6] 自仿射集 自相似集沿各个方向的伸缩率都相等 它是相似变换下的不变集 压缩比为 r 的相似变换将一点 x= x 1 x n E n 变换成点 rx= rx 1 rx n 若所定义的变换沿各个方向的伸缩率不全相同就得到自仿射集 它是一族仿射变换下的不变集设 r= r 1 r 2 r n 是一个比率向量则一个仿射变换把点 x= x 1 x n 变换成点 r 1 x 1 r n x n 更一般地一个映射 S E n E n 称为仿射变换若 S x =T x +b x E n 这里 T 是 E n 上的非退化线性变换即 T 可表成一个 n n 阶矩阵且 det T 0 b 是 E n 中的一个常向量直观上该集合可以分解成若干部分而每部分通过一个仿射变换与整体重合如前所述目前分形集还没有严格的数学定义只能给出描述性定义鉴于上面提到的各种意义下的相似性曼德尔布罗特曾经建议把分形定义为局部以某种方式与整体相似的形体但是这一定义过于狭窄有一些形体局部和整体之间没有明显的自相似性例如螺线噪声中出现的大量信号曲线并不具有明显的自相似性但可以看成是分形而欧氏几何中的线段正方形等图形具有严格的自相似性显然它们不能归入分形的范畴可以认为分形是对没有特征长度但具有某种意义下的自相似性的形体和结构的总称历史上分形还有过其它定义这要涉及到分形的维数我们将在讨论了维数以后再介绍 1.2 分形维数 维数是刻画图形占领空间规模和整体复杂性的量度 是图形最基本 的不变量 早在两千多年以前 欧几里德就给出图形维数的描述 曲 面有两个量度 曲线有一个量度 点连一个量度也没有 这里的量度 即欧几里德维数 后来将其定义为描述空间中的一个点的位置所需要的 独立坐标数目或连续参数的最小数目 例如 定义曲线时需要一个连续 参数 而定义曲面需要两个独立的连续参数 在拓扑学诞生以后 拓扑空间的分类问题是十分重要的 [7] 在欧氏 几何或仿射几何中 人们用线性变换进行分类 但是 拓扑空间中线性 概念没有意义 因此必须寻求其它的变换 起初 人们提出用连续满映 射来分类拓扑空间 1890 年 意大利数学家皮亚洛举出一个反例 使人 们感到非常惊讶 他指出 存在定义于闭区间上的连续映射 把区间映 满平面上的二维区域 比如正方形或三角形 现在 皮亚洛曲线已有很 多变体 被称为填充空间的曲线 下面我们举一个简单的例子 详见 [6] 设 表示平面上边长为 1/2 的正三角形 按下述方式构造一个连续 映射的序列 f n [0 1] 前三步如图 1.5 所示 f 1 的象是通过三角 形重心连接三角形顶点的一条折线 然后把 分成 4 个全等的小三角 形 曲线在每个小三角形内的部分都恰如 f 1 的象 在向下一步过渡时

24 每个小三角形又被分成 4 个更小的三角形 并引人像 f 2 那样更复杂一些 的曲线 如此不断地将正三角形分小 f n 的象就逐步扩大了 内被填上 的部分 图 1.5 皮亚诺曲线的构造前三步对平面 E 2 内的两点 x 和 y d x y 表示它们间的欧氏距离设 n m 则对 t [0 1] 可以找到边长不超过 1/2 m 的一个三角形同时包含 f m t 与 f n t 因此 d f m t f n t 1/2 m-1 对 [0 1] 中的任意点 t 成立这说明函数列 {f n } 一致收敛令极限映射为 f [0 1] 由于对每一个 n f n 连续故 f 连续设 x 是内的任一点 x 在 E2 内的邻域为 U 因为对每个 n f n 的象到内任何点的距离不超过 1/2 n-1 故取 N 足够大使得以 x 为中心 1/2 N 1 为半径的圆含于 U 并取 t 0 [0 1] 使得 d x f N t 0 1/2 N 1 因为 t 在 [1 0] 时 d f N t f t 1/2 N 1 应用三角不等式得到 d x f t 0 1/2 N 2 这说明 f t 0 即的每一点是集合 f [0 1] 的极限点由拓扑学知 f [0 1] 是 E 2 的闭集其详细说明要用到较多拓扑学知识请参考 [7] 因此必包含它所有的极限点这就是说 f 的象为整个皮亚洛曲线的例子说明了两个问题其一连续满映射可以把一维的图形区间映满二维的图形三角形基本的不变量 维数不能保持不变因此不能对拓扑空间进行分类其二在定义空间维数的时候必须十分小心把图形的维数定义为确定图形中各点所需要的连续参数的最少个数并不妥当因为照这样的定义皮亚洛的例子说明三角形或正方形区域的维数将是一维的用同样的方法可以在三维及其以上的空间中定义充满空间的曲线这就是说从自由度的角度考虑也可把 n 维空间看成一维这显然是矛盾的为了避免这一矛盾必须从根本上重新考虑维数的定义 20 世纪初期阐明维数概念的意义并创立维数理论的是前苏联数学家乌雷松其定义如下称图形 X 是 0 维的如果其中不存在包含多于一点的连通图形归纳地若已定义 n 1 维或更低维的图形则 n 维图形就定义为它不是 n 1 维或更低维的但可以用 n 1 维或更低维的图形把其中任意点及其邻近点同图形的其余部分分割开这就是图形的拓扑维数的定义它是拓扑不变量即在拓扑变换之下保持不变它可以解决关于皮亚洛曲线的疑难由于用点不能将皮亚洛曲线上的任一点和其他部分分开因此填充平面区域的皮亚洛曲线的拓扑维数为 2 拓扑维数只取整数因此它还不能对图形的整体复杂性和图形占领空间的规模给出很好的描述事实上在圆锥曲线和皮亚洛曲线之间还有许许多多的曲线它们的复杂程度很不一样占领空间的规模也大不相同只要没有填充一个邻域按乌雷松的定义它们的拓扑维数都是 1 科契曲线就是这样的例子这说明用拓扑维数作为尺度刻画图形的整体复杂性和占领空间规模还失之太粗因此维数的概念还应该扩展在传统数学中当我们测量图形的长度和面积时分别用单位长线段和单位面积的正方形去量度而线段与正方形的欧氏维数分别为 1 和 2 与被测对象的维数一致若用线段去量正方形其结果为无穷说明

25 所用的尺度 太细 反之 若用正方形来量线段 所得结果为零 说 明所用尺度 太粗 因此 在测量图形时 测量结果与所采用的尺度 有关 欧氏几何中的规则 光滑的对象的测量 整数维尺度就可以很好 地解决 但是 对于科契曲线 用一维尺度去测量 其长度为无穷 而 用二维尺度去测量 其面积为零 因此 一维尺度太粗而二维尺度太细 用非整数维的尺度可能正合适 这就要求把维数扩展到 1 与 2 之间的实 数 类似地 为了刻画完全不连通集 维数应该扩展到 0 与 1 之间的实 数 为了刻画不同曲面占领空间的规模 维数应该扩展到 2 与 3 之间的 实数等等维数跳出整数的圈子 就产生了分维数 由于分形集的复杂性 对 不同的测量对象需要不同的测量方法 因此引进了分维数的不同定义 目前尚没有对所有分形集都适合的定义 各种意义下的分维数简称为分 维 相似维数 相似维数的引入受到规则形体如线段 正方形 立方体的启发 如 果把线段 正方形 立方体的边分成两等分 这时的线段是原来一半长 度的二个线段 正方形被分成四个全等的小正方形 立方体被分成八个 全等的小立方体 也就是说 线段 正方形 立方体可被看成是由 个与整体相似的图形组成 这些数字可以改写成 这里出现的指数分别与图形的欧氏维数与拓扑维数一致 一般地 若把 某个图形的长度 或标度 缩小 1/r 时得到 N 个和原图形相似的小图形 有 N=r D 则指数 D 就具有维数的意义 称为相似维数 记为 D s 由下式 计算 D s =1ogN/log 1/r 如果把科契曲线分成四个相等的部分则每个部分是原图形大小的 1/3 或者说把原图形的每一部分放大 3 倍就可以得到四个和原图形相似的图形因此其相似维数 D s =log4/log3= 这个非整数维数恰好定量地表现了科契曲线的复杂程度后面我们还将指出它也对海岸线的复杂性给出了好的描述 豪斯道夫维数 相似维数既很重要又很简单但是实用范围是很有限的因为只有对严格自相似的分形集才能定义这一维数豪斯道夫维数不仅是具有严格的数学定义的维数而且实用范围广不仅对一般的分形集有意义而且对一些非分形集有意义下面是该定义的直观表述设 F 是 d 维欧氏空间的子集令 N 表示覆盖 F 所需要的直径为的 d 维球的个数如果当 0 时 N 的增加与之间有关系 N D 当 O 则说 F 的豪斯道夫维数为 D 例如用直径为 1/3 K 的小球来覆盖科契曲线所用的小球数为 4 k 个因此科契曲线的豪斯道夫维数 D=log4/log3= 豪斯道夫维数的严格定义为设 F 是度量空间

26 的一个子集 r 0 0 F 的 r 维外测度 mr F 定义为 r mr F = liminf U i Ui 是 ε 0 i F 的有限覆盖且 0 U i mr F 可以为 0 或取决于 r 的选取即 mr F 关于不同的 r 存在一个使 mr F 从跳跃到 0 的唯一临界值 D h 当 0 r D h 时 mr F = 即测量尺度太细当 D h F r 时 mr F 0 即测量尺度太粗当 r=d h F 时 0 mr F 这个唯一的临界值 D h F 就是 F 的豪斯道夫维数 可以写成 D h F =inf r mr F =0 =sup r mr F = 例如对科契曲线 E 若 D log4/1og3 则 mr E = 若 D 1og4/log3 则 mr E =0 若 D=log4/log3 则 mr E 为非零有限值 事实上 通 过简单的计算可知 mr E 的值为 4/ 3 Dh 4 自相似集的豪斯道夫维数一般等于它的相似维数 除个别集外 豪 斯道夫维数的严格计算一般是很困难的 为了计算上的方便 人们又引 人了容量维 容量维数 假设 E 是 d 维欧氏空间中的有界子集 N 是覆盖 F 的半径为的闭球的最少个数则容量维 D c 定义为 D c = lim logn / log 1/ ε 0 这是因为在 0 时 N 与 Dc 成比例所以 成立而且在 0 时有 logn D c log =D c loog 1/ 此式提供了近似计算容量维的实验方法 在不同的标度 下 计算出不 同的 N 在双对数坐标系下 用最小二乘法回归点 log 1/ logn 就可求出容量维数 当然 这里涉及无标度区问题 我 们将在后面介绍 在很多时候 D c 与 D h 一致 但有时候取不同的值 一般地 有关系 D c D h 上述维数都有较严格的数学定义而且已有不少数学上的结果但是在应用中也存在不适合不方便之处在应用中人们还提出了一些具有实用意义的分维和确定维数的多种方法自然界中并不存在像数学上那样严格规则的分形大量存在着的只是近似的分形所谓的自相似性也只在一定的标度范围存在所以有必要讨论无标度区间 无标度区间 在讨论科契曲线的性质时我们已经看到曲线的某些性质如复杂程度非规则性等不随尺度的缩小而改变这就是所谓的无标度性无标度性与自相似性是一致的而无标度区间则指自相似性存在的范

27 围研究表明实际系统的尺度变换受到大小两头的限制在中间一段无标度区间内可以视为分形超出这一区间自相似性便不复存在实际系统的无标度区间如图 1.6 所示 图 1.6 无标度区间示意图有了无标度性这一概念就可以给出实用的维数定义 量规维数 设 C 是一无自交点的约当 Jordan 曲线即 C 是区间 [a b] 在连续双射下的象由于 [a b] 紧致 E 2 是豪斯道夫空间由拓扑学的一个定理 [7] 可知 C 是 [a b] 的同胚象设 0 x 0 x 1 x m 是 C 上的点且满足对 k=1 2 m x k x k 1 定义 M C 为点 x 1 x 2 x m 的最大数目则 M C 1 可以看成利用两脚间距为的两脚规测量 C 所得的长度当下述极限存在时其值定义为 D ( C) = lim (log M( C) / ( log )) ( 1 2 8) div 0 若极限不存在 可改用上 下极限定义上 下量规维数 曲线的量规维 数大于或等于容量维数 在简单的自相似集 如科契曲线 中 它们相 等 这一维数常用于求自然界中的曲线的分维 设想有一张绘制得很精 确的海岸线地图 我们用两脚规来测量其长度 假设两脚规张开的长度 为 r 沿着海岸线用这个两脚规一步步的测量 量出的步数记为 N r 于是 海岸线的长度 L r 可以写成 L r =N r r 改变 r 的大小重复测量过程 r 越小 N r 越大 反之亦然 在无 标度区间内 N r 与 r 之间有如下关系 V r =Kr -Df 式中 K 为常数 D f 就是量规维数 把 代入 即得海岸 线长度和测量尺度之间的关系 L r =Kr 1 Df 由此可见 D f 较好地描述了海岸线长度随测量尺度变化的快慢情况 即 海岸线的复杂弯曲程度 在双对数坐标系中 作 logr logl r 的 散点图 识别出无标度区问 可用文献 [8] 的方法 再用最小二乘法回 归无标度区间内的点 logr logl r 求出 1 D f 即可求出分维 D f 曼德尔布罗特求出英国西海岸线的分维 D f 1.25 德国届境线 1899 年 D f 1.15 西班牙与葡萄牙国界 D f 1.14 澳大利亚海岸 D f 1.13 南 非洲海岸 D f 1.02 这表明了海岸线和国境线的分形性质 著名科学家理查逊 L.F.Richardson 早就研究过海岸线由于对海岸线和曲折的国境线感到怀疑他核查了西班牙葡萄牙比利时和荷兰的百科全书发现这些国家对共同边界长度的估计相差 年他经验性地发现了前面的公式 但是他只把 D f 看作一个指数而未能指出它的特殊而深刻的意义曼德尔布罗特在分形方面

28 的第一个贡献就是把理查逊公式中的 D f 解释成分维从而使海岸线成了一个经典的分形实例目前人们已应用科契曲线来模拟形态各异的海岸线图 1.7 就是计算机模拟的海岸线与真实的海岸线十分相似 图 1.7 计算机模拟的海岸线 计算维维数的方法 [2,9] 1 改变粗视化程度求维数 上述求量规维数的实质实际上是改变粗视化程度 用不同长度的线 段去近似海岸线 当然也可以用圆或正方形去近似它 此方法还可以推 广到二维或者更高维数的空间中 例如 设 F 是平面上的一个离散子集 现在要求 F 中的点的分布的维数 首先 用间隔为 r 的格子把平面分成 边长为 r 的正方形 再数出有多少个正方形含有 F 中的点 把这些正方 形的数目记为 N r 然后改变 r 的值重复上述过程 如果对不同的 r 有关系式 N r r Df 成立 则 D f 就是下的分维 这种方法不仅可以用来分析曲线形状和点的 分布 而且可以用来处理像断层 裂缝 河流这类含有大量分岔的图形 这种方法还可以用来分析点的随机分布 和前面一样 把空间分割 成尺度为 r 的单元 考察某个物理量在空间的分布 第 i 个单元含有该 物理量的概率记为 P i r 根据香农 Shannon 的信息论 信息熵 即 信息总量的期望值 为 H r = - Pi r logpi r i Pi r 满足 r =1 如果对不同标度的 r,h r 满足 i P i H r H 0 D l logr 则该物理量有分形分布 D l 为分维称为信息维数 2 根据测度关系求维数 考虑形体的测度特征 设长度为 L 面积为 S 体积为 V 它们有如 下关系 L S 1/2 V 1/ 现在假设 F 是一个非规则的集合 其豪斯道夫测度为 分维为 D 则可 把 推广为 L S 1/2 V 1/3 1/D 并运用式 求出维数 D 例如 用它来求岛屿的海岸线的分维 D 假设岛屿的面积为 S 长度 为 由 得 S 1/2 1/D 首先 把所考虑的平面分割成边长尽可能小的小正方形的集合 只要小正方形 中包含有海岸线 就把它涂黑 数出黑正方形的个数 记为 S b 与白正 方形相邻的黑正方形的个数记为 b 当单位正方形足够小时 可以认为 S S b b 成立 如果有关系式 1/2 1/ D S b b 成立 则海岸线的分维为 D 这里的单位正方形取得越小 误差越小 它

29 与粗视化方法不同的是不必改变单位正方形的大小 这一方法也可以用来求空间中离散分布的点集 F 的分维 以 F 中的 一点为中心 以 r 为半径作球 它所包含的 F 中的点数记为 M r 改 变 r 的值 如果对不同的 r 能得到关系式 M r D 则 D 就是 F 的分 维 这里的点既可以是几何中的点 也可以是某个物理量 如质量 电 荷等 运用这一方法 最关键的问题是球心的取法 一般地 可以对不 同的球心求出 D 然后取这些 D 的平均值最好的方法是把球心取在分布 的重心上值得指出 和 中的 不是欧氏测度而是豪斯 道夫测度 在具体分形的维数计算 如计算岛屿边界 时 如果都取欧 氏测度 则周长 - 面积关系为 [10] 1/D 1-D / D 1/2 L E = a o S 这里 是码尺 L E 欧氏长度 a O 是常数 称为形状因子 当 D=1 时 变成 L E =a o S 1/2, 与欧氏几何中的周长 - 面积关系一致 同理可 得表面积一体积的关系式 1/D 2-D /D 1/3 S E = k o V 式中 S E 是形体表面的欧氏面积 D 是表面分维 k o 是比例常数 当 D=2 时 上式与欧氏几何中的表面积 体积关系一致 高维空间的情况可以 类似地分析 3 密度相关函数法 [2 11] 假设某量 如微粒 在空间中随机地分布 在点 x 也可看成向量 处的密度为 p x 空间中另一点 x r 的密度为 x r 则 x x r 的密度相关函数为 C r = x x 十 r 此处 表示平均 规定在点 x 有微粒 则 x =1 无微粒则 x =0 当 r 远大于微粒尺寸 远小于分形集的尺寸时 如果 r 和 C r 有 关系 C r Kr Df-d 式中 K 是常数 d 是分形所在欧氏空间的维数则 Df 就是分形集的分维 例如 对于 DLA Diffusion Limited Aggregation 即置限扩散凝聚 模型 用这一方法求得分维 D f =1.66 对相关函数 C r 作傅立叶变换其波谱 d-d-1 F k = 4 cos 2 kr C r dr k 式中 k 为波数求出其幂指数 d D 1 后就不难求出其维数 4 利用分布函数求维数分形集中如果某一几何量或物理量的分布有概率密度 P s s 是一尺度则尺度大于 r 的量的分布 P r 可表成 P r = s ds r 如果在尺度变换之下该量的分布不变那么对任意的 0 有 P r P r 能满足这种分布的量通常有负幂律分布 P r r D 在应用 时为了避免 P r 在 r O 时发散可设定 r

30 的下限使 P 0 =1 或取二个以上 P r 的比研究发现月面上月坑的分布语言学中的齐普夫 zipf 词频法则都近似地满足 式的分布 5 频谱法前面的改变粗视化程度的方法如果放到频率域上来分析它相当于改善截止频率 f c 即把比 f c 更细的振动成分舍去的界限频率因此 3 P 1a =P a 如果波动表现出分形的特征 那么即使改变截止频率 f c 也不会改变波 谱的大致形状 它相当于 即使改变观测尺度 即作尺度变换 f f 波谱形状也保持不变 具有这种性质的振动的频谱 或功率谱 必然有 如下的分布 S f f 如果讨论的是曲线如地震波 经济波动等 则 =5 2D 如果讨论的是曲面 如地貌 地震波传播的波前面等 则 =7 2D 我们研究了地震勘探中的 CDP 记录 曲线 波前面 曲面 它们都 有类似于 的分布 [ ] 6 重整化群方法 [10 11] 重整化群理论是著名物理学家威尔逊 K.G.Wilson 1974 年提出的 其大意如下 在取定的物理模型 如原子模型 下 将 a 取成点阵常数 时 不同格点上的某个物理量为 P a 若把尺度变换为 2a 3a 则物 理上相当于把原子模型改成原子簇或块体模型 相应的物理量记为 P ia i=2 3 上述过程相当于引进标度变换 T 威尔逊假定 在标度 变换 T 下 物理量之间存在如下关系 P na =T P n 1 a n= 或等价地将上式改写成 P i =T i +1 =Ti+1 P i= 这里 T i 表示变换 T 的 i 次复合变换 它们满足 T 0 =I T i T j =T i+j 上式中的 I 表示恒等变换 一般情况下 Ti 未必有逆变换 所以从 上两式知 T i i=0 1 2 构成一个半群 通常称为重整化群 重整化群理论的一个主要结果是不动点存在定理 该定理指出 若 P n 的极限存在且为 P * 则 P * 为重整化变换 T 的不动点 即 P * =T P * 虽然这一结果至今未被证明但人们已经承认这一事实并加以应用前面已经指出自相似集 F 都可以看成是从某一原始图形 F o 出发 按照某种规则逐次迭代产生的 这种迭代规则即标度变换 T 第 n 步的图 形 F n 经迭代后得到 F n+1 即 F n+1 =TF n =T n+l F 0 n= i F是迭代的极限集即 lim F 显然 T i =0 1 2 构成重整化 n n 群由不动点存在定理知 F 为重整化变换 T 的不动点即不变集 F=TF

31 若每一步按 1/b 的规律改变长度标度相应的重整化群记为 T b, 图形 F n 的某种可测量如长度面积体积等用 L T b F n 来表示则 T b F n =T b T b F n-1 = T n b F o 根据自相似性 有 L T b F n+1 =b D L F n 式中 D 表示分形集的维数由于只有当 F n 进入一定层次之后 才能成立故 D = lim log[l T F / L F ] / logb n b n+1 n 上式给出了计算分维的一种简便方法自然界中的渗流问题实质上是临界点问题因此运用重整化群方法容易计算渗流集团的分维文献 [10] 中给出了多孔介质渗流集团的分维对正方形点阵渗流集团分维 D 1.79 而三角形点阵上渗流集团的分维 D 在文献 [16] 中汪富泉给出了裂缝介质中渗流集团的分维地台区裂缝系统渗流临界集团的分维 D 1.6 而褶皱区临界渗流集团的分维 D 1.46 在文献 [16] 中考察了碳酸盐岩地区一个实际的阳新统断层与裂缝系统其分维 D 亦在 1.6 左右由此可以推断该系统具有较好的渗流性再根据不同部位的地质构造情况可对油气产层做出较好的评价详细内容将在第四第五两章讨论 7 关联维数与 G-P 算法 [8 9 11] 在科学研究和日常生活之中时间序列是经常遇到的在科学实验或社会经济活动中我们所研究的对象可能受到很多因素的影响涉及到的变量是很多的我们不可能跟踪每一个变量因而只能把它投影到平面或直线上来观察即只能采集到一两个变量的数据序列借助现代数据采集设备可为少数观测量取得很长的时间序列这样的时间序列是否具有分形的特征呢能否在不知道对象所处的背景空间相空间维数的情况下从少数甚至单一的时间序列中求出关于维数的信息呢 1983 年格拉斯伯格和普洛克西娅 P.Grassberger 和 1.Procaccia 根据怀特海 Whitehead 的嵌入定理和帕肯 Pack-ing 重建相空间的思想提出了从实验数据序列求分维的算法现在通称为 G-P 算法 [17] 这一算法不仅受到物理学家的广泛重视而且不少化学家生物学家生理学家和经济学家也掌握了这一方法并用来处理自己的数据鉴于人们在实际工作中广泛地采用这一方法下面我们详细地介绍这一算法设实验中测得的时间序列为 x 1 x 2 x i 其中 x i 是第 i 时刻测得的值现在把这些数据分成若干组假设每组分 m 个数据取定一个步长例如取 =1 则第一组的数据记为 y 1 = x 1 x m 然后右移一步得第二组 y 2 = x 2 x m+1 如此划分下去一般地 第 j 组的数据 y j 可以表成 y j y j y m+j 1 j=1 2 N m 若时间序列的长度为 N 则按上述方法时间序列被划分成 N m =N m l 组其中每一组数据即是 m 维空间中的一个矢量或一个点所有这些点构成 m 维欧氏空间 E m 中的一个子集 J m 定义这些点之间的距离 2 1/2 r = d y y = x - x ij i j i+1 j+1

32 式中对 l 0 1 m 1 求和首先任意固定一个 i 对 j=1 2 N m 计算出 r ij 这可以看成是以 y i 为球心 r ij 为半径作球再改变 i 的值重复上述计算这相当于改变球心再作球于是得到一系列的小球现在用半径为 r 的筛子来筛这些小球显然半径比 r 小的球就漏下去漏下去的小球与小球总数的比 C r 称为关联积分函数可表为 c r = 2 H r - r ij / N m N m 式中对 i,j 求和指标变程从 1 到 N m H x 是海威赛 Heavi-side 函数 即当 x 0 时取值 1 而 x 0 时取值 0 如果对充分小的 r 关联 积分逼近下式 lnc r =lnc+d m lnr 则子集 J m 具有分形的特性 其分维 D m = lim lnc r / lnr r 0 若 D m 不随相空间维数 m 的升高而改变 即 D2 lim D m m 就是所考察的动力系统的吸引子维数 称为关联维数 它可以为我 们提供所考察的系统动态的有用信息 当 D 2 =1 时 我们处理的系统是周 期振荡的 当 D 2 =2 时 我们面临的是具有两个不可通约频率的准周期振 荡 当 D 2 不是整数或大于 2 时 系统将表现出一种对初始条件敏感依赖 的混沌振荡在使用 G-P 算法时 下列几点值得注意 [8 9] 1 距离公式 涉及到平方和开方 因此是非线性的 不 易求出递推公式 在计算过程中 包括很多重复的计算 浪费机时 为 了简化运算 可定义另外两种距离 (1) r = x - x ij ( 2) r ij m-1 l=0 i+1 j+l = max x - x 0 l m i+l j+l 这时可以推出递推公式例 () 1 (1) r = r x 十 x - x i+1, j+1 ij x i j i+m j+m 根据拓扑学的知识上述三种距离产生的拓扑是等价的因而都是欧氏距离所以我们可以选择 定义的距离在应用中可以节约大量的计算时间详细讨论可参考文献 [ 8 9] 2 G-P 算法对样本量有一定的要求 D 2 越大要求样本量越大 例如当 2 D 2 3 时最低样本量 N min =1764 当 3 D 2 4 时 N min =74088 因此 样本量数给出了 D 2 的上限 D 2 max 21ogN/log 1/P 式中 P 是最小标度与吸引子直径的比若求出的 D 2 超过这一上限 则是无意义的详细讨论可参考文献 [9] 上面谈到的分形只涉及到一个标度的变换可称它们为单分形或简单分形如果同时涉及到多个标度的变换则我们所遇到的就是所谓的重或多重分形我们将在 1.4 节中讨论

33 1.3 传统数学中的怪物 分形的数学实例 前面我们多次提到的科契曲线是传统数学中一个十分有名的反例其原因在于 18 世纪的数学家们认为连续函数最多只在可数个点不可微分 1872 年分析学大师维尔斯特拉斯 K. Weierstrass 发现了一个处处连续但不可微分的函数使数学界为之震惊由于维尔斯特拉斯构造的函数是无穷函数级数所以人们认为 Weierstrass 函数是极为病态的例子处处连续而不可微分的函数的结构想必都是十分复杂的 1904 年科契从几何的角度出发通过线段的递归作出了处处连续而不可微分的函数的第一个例子使人们认识到连续函数的结构未必都是很复杂的而且这是人为构造的局部与整体严格自相似的典型例子之一除科契曲线以外传统数学中还有一些其它反例本节中我们将介绍几个典型的例子 康托集合 1872 年集合论创始人德国数学家康托 G. Cantor 为了讨论三角级数的唯一性问题构造了一个现今被称为三分康托集的奇异集合其构造如下从单位区间 E 0 出发去掉中间的 1/3 得到的集合记为 E 1 它包含两个子区间 [0 1/3] 和 [2/3 1] 接着去掉 E 1 的两个子区间各自中间的一段得到 E 2 设已作成 E k 它由 2 k 个长度为 3 k 的小区间组成 从每个小区间出发去掉中间的 1/3得到 Ek+1 作为点集显然 Ek+1 E < /PGN0037.TXT / PGN > 其极限集 F = E 就是三分康托集它由 [0 1] 区间中可以展 k -i 3为底的幂级数 ai3 形式的数组成 a =0或 2 即 a 不取 1 这 i= 1 i k = 0 是由于从 E i 得 E i+1 时要去掉每个小区问的中间 1/3 使 a i =1 的数 k i 因此就去掉了那些 三分康托集有许多奇怪的性质从拓扑学上看它是紧致的完全不连通的完备集而且具有连续统的基数但是它的长度为 0 因此在传统数学中它被看作数学怪物当时人们认为这类集合在传统数学的研究中是可以忽略的但康托的研究结果表明这类集合在研究象三角级数的唯一性这样重要的问题时不仅不能忽略而且起着非常重要的作用为了描述自然界的几何形态它们更是必需的正如曼德尔罗特所说我不想声称这些集合如此美妙以至一定会派上用场我只是想要人们承认正是使康托不连续统是病态的那些性质到头来却是间歇现象的现实模型中必不可少的东西与科契曲线类似不难看出三分康托集 F 具有下述典型的几何性质 1 F 是自相似的即 F 的每一个充分小的局部与 F 是几何相似的 E 1 的两个区间内 F 的部分与 F 相似相似比为 1/3 将每一部分放大 3

34 倍就得到 F E 2 的每个区间内 F 的部分也与 F 相似相似比为 1/9 将每个部分放大 9 倍也得到 F 因此 F 中包含了无穷多个不同比例的与 F 相似的样本如图 F 有精细结构它包含有任意小比例的细节用越来越大的倍数观察 F 间歇就越来越清楚 3 F 的定义简单明了是一个简单图形单位直线段 图 1.8 三分康托集的构造 E o 通过迭代产生的 即是不断地去掉中间的 1/3 而得到的 迭代的步 骤越大 E k 越逼近 F 4 F 的几何性质难以用传统的术语描述它既不是满足某个方程的解集也不是满足某些简单条件的点的轨迹 5 F 的局部性质也难以用传统的数学语言描述在它的每点附近都有大量被各种不同间歇分开的其它点 F 虽然是不可数无穷集但 F 的勒贝格测度为 0 事实上 Ek 的长度为 2 k 3 -k = 2/3 k k 时 F 的长度为 0 因此勒贝格测度不能对 E 给出好的描述图形的拓扑维数 0 和 1 也不能对 F 给出好的描述因为按拓扑维数的定义 D T F =0 但是 F 的初次构造中的两个特征量相似比 1/3 和与原图形相似的新图形的个数 2 可构成新的特征量 D s D H =log2/log3 即相似维数或豪斯道夫维数虽然是非整数却对集合 F 的复杂程度和占据空间的规模给出了好的描述它使得集合 F 既能够区别于可列点集又能区别于区间 [0 1] 谢尔品斯基集合 波兰数学家谢尔品斯基 W.Sierpinski 1915 年给出从平面上的二 维图形作曲线的有趣例子 如图 1.9 所示 在图 1.9 中 把一个单位正方形 D o 划分成 9 个相等的小正方形并挖 去中间一个得到 D 1 把 D l 的每个小正方形再分成 9 个相等的更小的正方 形并挖去各自中间的一个得 D 2 重复这一过程至无穷 极限图形 F 为一 曲线 称为谢尔品斯基地毯 如图 1.9 C 所示 图 1.9 谢尔品斯基地毯的构造将上述构造过程中的正方形改成三角形在每步构造中都将前次的正三角形等分成 4 个小正三角形并去掉中间的一个这一构造过程的极限图形是一曲线称为谢尔品斯基垫如图 1.10 所示 图 1.10 谢尔品斯基垫的构造这两种曲线有着和康托集合科契曲线类似的性质地毯的分维 D s =D H log8/1og3 垫的维数 D s =D H =log3/log2 谢尔品斯基垫还显示出一种重复的分叉过程它的每一点都是一个分叉点在拓扑学中对谢尔品斯基地毯的性质有过比较深入的研究比如平面曲线和地毯的关系若能嵌入平面内的曲线也能嵌入地毯内

35 则称为万有平面曲线 人们已经证明 不能嵌入平面内的曲线也不能嵌 入地毯内 从空间中的单位立方体出发 与地毯构造方法类似地可以得到 E 3 中 的谢尔品斯基海绵 如图 1.11 所示 图 1.11 谢尔品斯基海绵的构造 谢尔品斯基海绵是一曲面 易见它所包围的体积有限而它的表面积 确无限大 奥地利数学家盂格尔证明 任何曲线都能够嵌入到谢尔品斯 基海绵中 应用谢尔品斯基的方法可以构造许多分形集 例如 在每次构造中 将一个正方形分成 16 个相等的小正方形 保留其中的 4 个而把其余的去 掉 这一过程的极限集合是平面上的一个康托尘 如图 1.12 所示 其维 数 D D H =1 在这一过程中 如果保留不同次序或不同个数的小正方形 就构造出不同的分形集 应用相同的方法但使用两个不同的相似比 可 以构造出类似于雪花的分形集 如图 1.13 所示 容易看出 这里的康托 尘和雪花也有类似于科契曲线和康托集合的性质 维尔斯特拉斯曲线 维尔斯特拉斯曲线是数学分析中的一个重要反例续函数只在个别的点处不可微分或者说不可微分的 原来人们认为连 图 1.12 平面上具有整数维数的康托尘集的构造 图 1.13 具有两个两个相似比的自相似集的构造点最多是可数的但是德国数学家维尔斯特拉斯这位分析学大师在 1872 年发现了处处连续但处处不可微分的函数 n n f ( x) = a cos( b x) n= 0 其中 0 a 1 ab 1 3 /2 b 是奇数这一结果的发表曾经使数学界为之震惊有许多变形例如 最著名的是 它满足 现在维尔斯特拉斯函数已 -n/2 n f x = 3 / 2 sin[ 3 / 2 x ] n=1 s-2 n n f x = sin x 1 s 2 1 n=1 曼德尔布罗特提出的变形为 n=-n= s-2 n n f x = 1- cos x 1 s < /PGN0042.TXT / PGN > f x = 2-s f x 1.3 5

36 令 г= K f x 0 x 1 表示维尔斯特拉斯函数的图象则 式的曲线 P 如图 1.14 所示由于无穷项求和导致了函数具有精细结构而且处处不存在切线因此它不能像光滑曲线那样可以用经典的微积分来研究它也不像科契曲线康托集合谢尔品斯基集合那样局部与整体之间是严格自相似的但是它有一种自仿射性即纵横两个方向具有不同的标度特征正因为如此维尔斯特拉斯曲线维数的研究比自相似的分形集更为困难对于 式 D H г s 而对等号的严格证明至今尚未见到对于 式 D H г s 如今 图 1.14 维尔斯特拉斯曲线维尔斯特拉斯函数已经推广到更一般的形式 n=-n=+ s-2 n n < /PGN0043.TXT / PGN > W t = [1- exp i t ]exp iϕn 式中 1 s 2 1 ϕ n 任意 这一函数的标度性质已经应用于海底 地形剖面线的研究 该函数称为维尔斯特拉斯 曼德尔布罗特函数 简称 w-m 函数 实际上 该函数在研究地貌的分形性质和模拟地貌剖面线时 有着重要的应用 奥斯罗斯 Aus-loos 和贝尔曼 Berman 还把 W-M 函数推广到多变元 n=+ 12 / 12 / n n Wr ( ) = [(ln ) M ] A [ 1 exp( ik rcos( a )]exp( iϕ )( k ) m= 1 n=+ m n= 0 m m, n 0 式中 r为向量 k 是波数 A 是振幅 ϕ 是位相 a 是曲面的 o m m n m 褶方向角选取适当的参数 M s 等 W r 的图象是分形曲面可以模拟起伏不平的地表 W r 的图的维数 D H =s 2 s 3 还有其它类型的处处连续而不可微分的函数 例如 把 中 的 sinx 换成如下定义的分段函数 x 0 x 1 g( 4k + x) = 2 x 1 x 2 x 4 3 x 4 所得到的函数仍然是处处连续但处处不可微分的 处处连续但处处不可 微分的函数还有德 拉姆 de Rham 函数等等 胖分形 在 1.2 中讨论维数时我们已经引进了填充空间的曲线这些曲线的特征是有正的勒贝格测度现在我们把填充空间的集合的概念进一步推广引进胖分形的概念胖分形是指具有分形边界且勒贝格测度不为零的集这一概念是昂伯格 D.K. Umberger 和法默 J.D. Farmer 在 1985 年首先提出的胖分形的勒贝格测度为非零有限值维数为整数而且与所在的欧氏空间维数相等因此分维已经不是描述胖分形的敏感参数通常需要 n s 3

37 引入胖分形指数来刻画它 设一迭代过程的不变集合为一胖分形 F 其所有尺寸小于 的孔所 构成的粗粒集记作 A 则对每一个充分小的 A 的勒贝格测度 面 积 A 0 十 f A 其中 = lim A 是极限集 F的勒贝格测度而 A o ε 0 因此这一测度可用来刻画胖分形目前已有刻画胖分形的几个标度指数一个指数由下述标度特征定义 A = 十 A o = limlnf A / ln = limln A / ln ε 0 ε 上式提供了刻画胖分形的一个有用的参数当幂律关系 不成立时上式仍能产生一个有用的数几例如当 A = o ln 或 o 1/ In 或 o e -1 / 时可以得到分别等于 0 或所以 的变化范围为 0 对于非分形 = 对于瘦分形 o ε β d-d =0 这时 A =A f A dj是 F所在的欧氏 ε 空间的维数 Df d 这表明是集的分形余维数因此对胖分形产生不同的分形指数每一种都可看作对应分维的推广格里波基 C. Grebogi 等采用了另一方法来定义粗粒集其实质是闵可夫斯基容度在瘦分形的情形对应容量维设 S 是一集合 S 表示用加胖 S 生长成的集合它是原集加上与 S 的距离不超过的所有点组成的集合即 S =SU x S 上述集合称为闵可夫斯基香肠令 S * =S \S 示从胖集 S 中削去原集 S 后所剩的部分即长胖的部分 [S * ] 表示 S * 的 d 维勒贝格测度其外容量维定义为 * d = limln [S ] / In x ε 0 描述胖分形的另一指数 由下式定义 = d - d x = d - limln ε 0 [S * ] / ln 它在描述分形集边界的性质时起着容量维的作用 1986 年 法默和昂泊格将分形所在的 d 维空间划分成大小为 的网 格 通过含有胖分形中点的所有 d 维方块和网格标度 给出了胖分形的 另一指数 0 d 它对应于瘦分形的盒维数 指数 和 对任意集合有定义 特别是可以较好地描述分形河流结 构 指数 虽然是对有孔的这一类分形结构引入的 但是 它对任意的 集合也是有定义的上述指数之间有些什么关系呢 1986 年 依克荷特 R.Eykholt 证 明 在 d 维欧氏空间中的任意胖 或 瘦分形 - 这一结果说明 和 是相同的分形指数 在研究胖分形的这两个指数时 只要求出其 中之一就行了 f o o

38 为了求出和之间的关系将 式改记为 A = o+f A 另一方面若用 /2 加胖集 A 它将使半径大于的孔收缩增加的测度记为 g A 则 A = о 十 f A g A 由此 = limln[f A 十 g A / n ] ε 0 若我们令 * = limlng A lh ε 0 则 0 * d 且可以得到 对 d 维欧氏空间中的任意胖 或 瘦分 形 =min * 从这一结果可知 = 或 = * 因此 当 与 不同时 由小孔决定 而 由大孔决定 从而对 d 维欧氏空 间中的胖 或瘦 分形 给出了更细致的刻画 下面我们给出有关胖分形的例子 首先看一个最简单的胖分形 [6] 设 o 表示单位区间 像构造经典的三分康托集一样 第一步 将 o 分成三段其长度为 1 一 /2 1 一 /2 为任意常数且 0 1/2 去掉中间长度为的一段得到的两条线段记作 1 第二步将 1 中每一直线段分成三段对应长度为 1 一一 2 /4 2 /2 l 一一 2 /4 去掉各自中间的一段其长度之和为 2 留下的四条线段记作 2 设 j 1 已经作成归纳地第三步从 j 1 的每一线段中去掉长为 2 - j 1 j 的一段去掉线段 j j j 的长度之和为得到的集合由 2 条长度为 1- i ) /2 的线段组 j 成 j=1 2 显然 j= 极限集 = j j+1 j j 时 j 中线段的长度趋于 0 由 的构造可知 与经典的 三分康托集有类似的拓扑性质 即它有完全不连通 紧致不可列 非稠 密 自稠密等拓扑性质 但是 两集的几何性质却有较大的差异 经典 的三分康托集的勒贝格测度为 0 分维为 In2/In3 而 有正的勒贝格测 度 i =1- =1- / 分维 D =1 i=1 由此知是一个胖分形集欧氏几何曾在希腊大放异彩并对传统数学产生了深刻的影响但是欧氏的几何原理中却有一些美中不足皮亚洛曲线正是基于对图形最基本的拓扑不变量 维数及图形分类标准的推敲而发现的欧几里德曾把曲线定义为有长无宽这当然不是曲线的定义而只是一种直观描述人们为了说明这个描述不是良好的而构造了平面上的一个康托尘集它是一个典型的胖分形集其构造如下取单位正方形 A 0 从 A 0 割去一个十字形其宽度取得使十字形的面积等于 1/4 留下的图形记为 A 1 从 A 1 的每个小正方形中再割去十字形使割去的十字形的面积之和为 1/8 留下的 16 个小正方形记为 A 2 从 A 2 的每个小正方形中再割去十字形使割去的十字形的面积之和等于 1/16 等等设 j i=1 f j= 0

39 A n 表示经过第 n 步手续后留下的图形为 1/2 n+1 第 n 步割去的十字形的面积之和 设 A表示极限图形因 A A 故 A A 因为留下的正方形越 n n+1 n n= 0 来越小故图形 A 由离散的点组成即 A 是康托尘集最近我们详细地研究了这一尘集 [18] 发现它具有传统的三分康托集的部分性质但它不是严格自相似的因为它没有不变的相似比它具有拟自相似性另外它具有正的勒贝格测度面积事实上 A 的面积 n+ 1 ( A) = 1 1/ 2 = 1/ 2 ( ) n= 1 这说明 A 是胖分形 最近 [ 18] 我们将 A 的构造扩充成平面上的一类集 合 A k 随参数 k 的变化 A k 既包括了普通的 瘦 分形 又包括了胖分形 再将 A k 推广到 d 维欧氏空间中 得到 一类更广泛的分形集 A k d 我们计算了 A k d 的勒贝 格测度 A k d =1 / 1 一 k 当 1 及时 A 0 A 为胖分形 当 =1 及时 A 为瘦分形 其分形维数和胖分形指数分别为 d DH ( A( k, d, б)) = d 1/ d ln 2 / ln( 2/ k ) ( ) ln k / ln, б k = β d ln 2d / ln( 2/ k1/ d), б = 1 k ( ) d, 0 б 1 k α = ln 2d / ln( 2/ k1/ d), б = 1 k ( ) 当 d=1 =k= 时 A 就成为前面的类康托集 当 d=2 =1/4 k=1/2 时 我们来作出通过集合 A 的全部点的简单 弧 如图 所示 先取包含第一步得到的四个正方形的弯曲长条 然后再作更窄更弯曲的长条 使它包含 A 2 的全部正方形 A 3 的全部正方 形等等 经过 n 步 得到长条 B n 使得 A A n Bn B n-1 < /PGN0049.TXT / PGN > 极限图形 B= B 由于 A B 因此有 B A =1/2 n=1 n 即曲线 B 的面积不小于 1/2 因此不能说该曲线有长无宽由图 1.15 可见曲线 B 是一条非常曲折的曲线我们详细地研究了该曲线的性质知道也是一条胖分形曲线 [19] 我们还根据 A k 按照 B 的作法构造出一类曲线 B k 讨论了它们的拓扑性质和分形特征计算表明 B k 与 A k 有相同的分维和胖分形指数 和田曲线 图 1.15 康托曲线有面积的曲线的构造

40 这一数学怪物仍然来自于欧几里德关于曲线的描述欧几里德曾说曲线是曲面的边界但是边界概念包含着许多意外的情况人们习惯于认为在平面曲线的每一段平面从两侧与它相邻例如若 C 是简单闭曲线则由 C 决定的两个区域 U 和 V 在 C 的沿线到处与它相邻即对 C 中的任意点 x 不论在离 x 多近的地方都有区域 U 和 V 中的点直观上以为很明显的是平面曲线不会是平面上多于两个区域的共同边界这些区域在曲线的沿线到处与它相邻然而与直观完全相反日本数学家和田发现平面上存在作为三个区域共同边界的曲线下面就来介绍这一曲线假设有被海洋环抱的陆地它上面有两个湖暖湖和冷湖为了把湖里和海里的水引到旱地人们开挖运河第一天从暖湖开运河使它不与海水和冷湖里的水相通且旱地的点到暖湖水的距离不大于 1 第二天从冷湖开运河使它没有一处与海洋暖湖或早一天所开的运河相通且留下的旱地的每个点到冷湖水的距离不大于 1 第三天按同样的要求开运河在以后三天继续延长运河使留下的旱地的每个点到两湖水和海水的距离都小于 1/2 再以后三天运河网的密度扩充到使任何水面离留下旱地的距离不大于 1/4 等等由于在每工作一天以后留下的旱地仍连成一片因此可以用更稠密的运河网去遍布它在极限情形我们得到的是这样的暖水冷水和海水网它们不在任何点处相混至于留下的旱地它已经是曲线并且对于这条曲线的任意点都有暖水冷水和海水邻接它即是说在这条曲线的整个延伸处与它邻接的都有三个区域海洋连同海水运河暖湖连同它的运河以及冷湖连同它的运河虽然至今尚无人作出和田曲线的图形也没人计算出它的分形维数但是我们可以肯定和田曲线已经不是传统几何学中的光滑规则曲线而是一条分形曲线我们猜测和田构造类似于流体在非均匀介质中产生的渗流网络估计这一渗流网络比计算机产生的粒子随机聚集的渗流网络要复杂一些我们认为和田构造可作为非均质地层中油气水三相渗流的分形模型由于地下油气水处于高温高压状态所以在水驱油过程中在关井后压力曲线的恢复处理的过程中都可能遇到油气水三相渗流因此这一模型可能会在油气资源的勘探开发中产生重要应用鉴于此和田构造是值得深入研究的 1.4 多重分形及其维数谱 概念与例子多重分形是为了研究自然界中的非均匀和各向异性现象而提出的它与简单分形的区别在于标度性质与方向有关因此一个单一的维数无法描述其全部特征必须用多重分形测度或维数的连续谱来表示多重分形至今也没有严格的定义我们先来看两个例子首先我们把三分康托集推广到广义双标度情形假设每次把一条线

41 段分成三条线段中间和两边的长度之比为 l 1 l 2 并且假设去掉中间一段的概率为 p 1 去掉两端线段的概率为 p 2 p 1 >p 2 且 p 1 2p 2 =1 在每一小段上重复这一过程经过几次构造以后概率分布很不均匀当如此嵌套的步骤无限增大时所形成的概率分布就是一个多重分形再看谢尔品斯基集合的一个变形将平面上的一个单位正方形分成 9 个小正方形然后随机地去掉一些小正方形假设第 i 个不被去掉的概率为 p i i 然后将每个小正方形分成 9 个更小的正方形第二步第 i 个大方格中的第 j 个小方格不被去掉的概率为 p i p j 按此方法重复这一过程至极限情形所得到的概率分布是平面上的一个多重分形这一结构是非均匀且各向异性的特别当 p 2i-1 =1 i=1 2 5 且 p 2i =0 i 1 4 时得到的是豪斯道夫维数 D=log5/log3 的一个 简单分形 从上述两个简单例子可见 多重分形常常和随机性分不开 根据这 两个例子 我们给出多重分形的一个尝试性定义 设 X 是 d 维欧氏空间 中的一个子集 它也可以是测度的支集或某个动力系统的不变子集 对 X 进行适当的划分并赋以概率不变测度 这里的划分类似于前面的 例子 是迭式的或递归的 设 a 是与划分有关的一个参数 第 n 步划分 后的 X 的子集记为 X a 若调 X = lim X 是一个分形集 则称它是 X n n n 的分形子集 若在划分下 X 产生的分形集可以表成若干个 分形子集的并 且每一分形子集有不同的分维 则称此分形集为多重分 形 广义维数谱是描述多重分形的一套基本语言 它是从信息论的角度 引入的 假设测度支集 X 被划分成若干个尺度为 的单元 { i} 是概率不变测度 第 i 单元的概率为 Pi = d ( X ) i 当 q 1时 q q q 若 Pi Pj 则 Pi Pi 考虑 Pi的 q阶矩 Pi 可 给出广义利依 Renyi 维数 D q q lim Pi ( ) / (( q 1) ln ) 0 i Dq ( ) = lim Pi( ) ln Pi( ) / (ln ) 0 i (. 14 1) 当 q=1 时 D 1 即 1.2 中定义的信息维 q=2 时 D 2 即 1.2 中定义 的关联维数 利用 P i 的 q 阶矩可以定义质量指数 q q = - lim ln P i ( 0 i ) / ln 有了质量指数 q 也可以从下式求广义维数谱 ( q)/( 1 q), q 1 Dq ( ) = (), 1 q = 1且 ( q) 可微 利用质量指数作勒让德 Legendre 变换 q = 一 d q /dq f q q + q 1.4 5

42 f 在 f/ 坐标系中为一单峰图象是描述局域维数的连续谱因而是描述多重分形局部特性的一套基本语言 f 是的凸函数它在每点的斜率为 q 当 q 时最大的 p i 支配 D q 且对应于取最小值和 f 取零的一点当 q 时最小的 p i 支配 D q 且对应于 取最大值和 f 取零的点 q=0 时 f 取最大值 并且 D 0 = 0 即 f 的最大值为盒维数 D 0 由 1 =0 知 1 =f 1 f 的一般变化关系如图 所示 q D q 和 f 谱构成了多重分形理论的内核 f 不仅 可与 q D q 互换 而且与 q q 构成一对共轭热力学变量 因而 可将多重分形与统计热力学进行形式类比 从适当定义的配分函数出发 引入熵 自由能等一系列热力学量 为全面地描述和分析多重分形提供 新的途径 图 1.16 f 曲线 多重分形谱的计算方法 自然界中的很多真实形体具有多重分形的特征因而在实际应用中的重要问题之一是根据实际观测资料计算广义维数谱然后再应用勒让德变换求 f 谱计算 D q 谱的方法有三种 1 数盒子法这种方法直接以 D q 定义为基础用尺度为的相等的盒子对整个研究对象进行划分所得盒子的总数记为 N 由每个盒子的尺度概率测度 p i 和给定的参数 q 可以计算利依信息量 I q N q log pi ( ) / ( 1 q), q 1 i= 1 I q ( ) = (. 14 6) N pi( )log Pi( ), q = 1 i= 1 改变的大小计算出一系列的 I q 值在 log 一 logi q 图上求出无标度区间用最小二乘法拟合出该段的斜率这一斜率的绝对值就是给定 q 值的 D q 对不同的 q 求出相应的 D q 并在 q 一 D q 坐标系中作出曲线图就得到 D q 谱数盒子法经典简单但对样本量要求较高而且精度往往不够高 2 固定半径法使用这种方法时首先必须引入质量这里的质量是广义的例如将地震作为点事件时每次地震的质量即取作 1 多次地震的总质量就等于其次数而在研究地震能量的时空分布时质量指地震能量在其它一些具体问题中质量可代表某种测度固定半径法的公式是 loge[m r ] q-1 = q 一 1 D q logr 这里期望算子 E 表示按圆心求平均 r 表示半径 M r 表示半径为 r 的圆内的总质量实际操作时首先按一定规则如等间距设立若干

43 基准点圆心取定一个 r 值分别统计每个圆内的质量 M j r 再求其 q-1阶矩的均值 E[M r ] q-1 q-1 = M r 这里 N 表 示基准点的总数 然后改变 r 的值 计算出一系列的 E[M r ] q-1 值 最后在双对数坐标系中求出无标度区间 其斜率就是 q 1 D q 据报 道 这一方法适用于 q 大于零的情况 但 q 1 时不能直接使用公式 固定质量法 固定质量法的基本公式是 loge[r m q-1 D q ]= - q-1 logm 其中 E 仍然表示按圆心取平均 m 为质量 R m 表示质量为 m 的圆的最 小半径 在上式中 由于 D q 位于平均符号以内 难以直接求解 应 用公式 r q =- q-1 D q 将 改写成 loge[r m q ]= q logm/d q 亦即 loge[r m - q ]/ q =logm/d q 实际操作时 先按一定的顺序设立若干个基准点 给定非零的 q 值 取定一个 m 分别统计每个基准点的 R j m 再求其 q 阶矩的 N - q - q 均值 E[R m ] = R m / N 然后改变 m的值 j=1 j 计算出一系列的 E[R m - q ] 值在 logm-loge[r m - q ]/ q 图上找出无标度区间通过线性回归求出其斜率绝对值的倒数就得到 D q 由 D q 和 q 就可计算出 q q=1 一 q D q 在 q 0 时固定质量法的效果比前面两种方法好在地震时空分布的多重分形的研究中这种方法较实用求出 D q 以后根据勒让德变换可求出和 f 这是一种间接的求法近年来还提出了一种直接计算 f 的新方法其基本思想是用尺度为的盒子覆盖被研究的多重分形一个点落入第 i 个盒子的概率为 P i 构造一个规一化的单参数的测度簇 q N q q q = P / P i 该测度簇支集的豪斯道夫维数为 f( q) = lim iq (, ) log iq (, ) / log ( ) 0 i 由标度关系 i=logp i /log 可得 q = lim q logp / log i i 改变的值求出其对应值 q log q 和 i q logp 分别在 q log i i i i i q log 图和 q logp 一 log 图 j i i i i 上求出无标度区间并用最小二乘法拟合出 f 和的值对应不同 q 求出 j=1 i i j i i

44 和 f 值在 f 坐标系中绘出曲线即得到 f 谱 f 一般为单峰图象

45 第二篇多姿多彩的分形世界 大自然的艺术构造 在上一篇 我们看到了纯数学上的一些奇妙无比的分形图象 与数 学家们的分形设计相比 大自然的艺术构造毫不逊色 著名科学家弗里 曼 戴桑在 不规则性特征的描述 一文中写道 自然界给数学家们 开了个玩笑 19 世纪的数学家可能缺乏想象力而自然界却不乏想象力 这些数学家为从 19 世纪自然主义的樊笼中挣脱出来而创造出的所谓的病 态结构原来却是我们周围所有熟悉物体中所固有的 分形几何远远不 只是一枝数学奇葩 它们还为描述物体和组织的结构形态 为探索物质 世界的复杂机制提供了极其简洁的工具 同时 分形几何自身也是一个 美妙而又极富生命力的领域 正如曼德尔布罗特所写的那样 科学家 们发现他们以前必须称为粒状 流体状 中间状 丘疹状 麻窝状 树 枝状 海草状 奇异状 紊乱状 弯曲状 波形状 束状 褶皱状等不 少形状从今以后能以严格的和强有力的定量方法加以处理 对此他们会 惊喜不已数学家发现那些迄今为止认为奇异的 分形 集在某种意义上说应 该是规则的 被认为是病态的结构应该自然而然地从非常具体的问题中 演化出来 对于大自然的研究应该有助于解决一些老问题和产生如此之 多的新问题 对此他们会惊喜不已 本篇的内容 就是介绍大自然中形形色色的分形

46 第二章宇宙中的分形构造 如果按照系统的复杂性来分类 那么宇宙是一个最大最复杂的系 统 它不仅包括一切我们已知的东西 而且包括一切我们所未知的东西 从古代开始 科学家们就一直在孜孜不倦地探索宇宙的奥秘 近年来 人们发现宇宙中存在着许多的分形结构 本章中我们将介绍与宇宙分形 有关的内容 2.1 星系分布的分形特征及其分维 浮在夜空中的星星看起来稀稀拉拉 满是缝儿 但是 星系在宇宙 空间的分布是成团的 同时又存在着一些空洞 巴卡尔 N. A. Bahcall 等人通过分析星系团和超团的两点相关函数 [20] 发现星系团 和超团是成团分布的 且其相关函数和星系相关函数类似 是幂指数为 1.8 的幂律形式 这一结果给出了一幅等级成团的图景 也就是描述了 星系分布的分形特征 另一方面 许多大尺度上的巡天观测结果显示 星系在很大尺度上分布的主要特征是由星系密集区包围着的一些空洞 这些空洞中星系密度远低于空洞以外区域 这种结构被称作是泡状或海 绵状的结构 尽管迄今尚无统一的看法 但在较小尺度上星系分布主要 表现为星系成团而在较大尺度上则存在巨大的空洞是普遍承认的观测事 实 怎样统一而定量地描述这种结构是人们在星系分布的分形研究中讨 论和探讨的一个重要问题 初期的研究认为 宇宙大尺度结构是自相似的 那时 人们根据观 测确认 银河空间分布的相关函数服从于幂法则 [21] 由此所估计的分 形维数约为 1.2 其最有力的证据是 无论对于星系 星团和超团 其相 关函数都满足以 r =Ar -l 而且所有的 l= 1.8 在自相似模型中指 数 l 和分维的关系为 D=3-l 由 l=1.8 即得到 D=1.2 因为所考虑的宇宙 空间是三维的 1.2 这一数字是较小的 但是 根据高安秀树的观点 这 一数字是合理的 [2] 他认为其原因有两个 其一 宇宙满是缝儿 而且 浮在夜空中的星星也是稀稀拉拉 如果星系分布的分维是 2 以上 夜空 理应全被星星覆盖才对 其二在于人们对巨大爆发后的宇宙密度的看法 发生了动摇 银河团由数千至数十万个银河聚集而成 其大小为 2000 万 光年左右 但是 银河团似乎是细长线状或薄面蜂巢状构造 同时还发 现数个几乎没有银河 大小的数亿光年的空隙 从银河这种分布的事实 来看 银河分布是 1.2 维的结果可以说得到了证实 这就是高安秀树的 观点 1987 年 我国学者莫厚俊 毕红光等提出 宇宙大尺度结构是自仿 射的 而不是自相似的 [21] 他们认为 如果星系是分维为 1.2 的自相 似分布 则不能满足以下特征 1 两点相关函数尾部的 展平 2 CfA 红移观测的泡状结构 3 相关尺度对所考虑的样本尺度的依赖关 系 他们提出了一个具有两个自仿射分维的宇宙弦模型 其局域分维为 1.2 整体分维为 2.4 这一模型不仅可以解释形如 r -1.8 负幂律分布 而 且可以解释诸如相关强度对样本点的依赖关系 相关函数末端的展平 泡状结构 相关尺度对样本尺度的依赖关系等一系列问题 莫厚俊等指

47 出分维 D=1.2 只是在区间 r<2 3d 中成立这里 d 是所考虑样本点的平均间距也就是对于星系和星系团分别为 5Mpc 和 50Mpc 还发现星系的相关函数在 10Mpc 处有一个间断在 r> 10Mpc 时相关函数有展平的尾巴而且指数 l 1 另外一些科学家在分析了 8 h 17 h 和 之间直到 m B =15.5 的 CfA 红移观测值发现了如下的泡状结构 1 几乎所有 98 的星系都分布在泡泡的表面 2 泡泡的边沿非常 尖锐 3 泡泡典型的直径为 25Mpc 如果认为星系分布在半径为 R 的球壳上 相关函数为 r =1/8 R 2 r 这里 是球壳的平均数密度 在球壳密集分布的情况下 =1/ 2R 3 则可得到 r =R/ r=4r 这里取 R=12.5Mpc r 的单位为 Mpc 把 式与通常星系相关函 数 r =20r -1.8 比较 可以得出在 r b = 20/4 1/ Mpc 处 r 有一间断对于 r>r b 指数 l 近似为 1 因而 r -1.8 的规律只在 r 2 3 d 时可用而在大尺度结构上应该采用宇宙弦模型它是一个自仿射模型该模型主要是由圈弦组成这些圈弦主要由母弦的自相交形成弦圈的统计特性可以用一个分维 D 1 决定其中 D l 由下式决定 n R R D 式中 R 表示圈弦的尺度 n R 表示尺度为 R 的圈弦的数密度对任意给定的比例 b>0 n R 和 b D1 n br 相同因此 R 和 n R 有不同的标度比从而从 n R 到 b D1 n br 的变换是自仿射的同时与半径为 R 的圈弦相联系的样本点的相关函数为 r =1/4 2 n R R 3 r/r 2 [1 一 r/2r 2 ] 1/ 上式只在 r<r 时才成立这时可用幂律 r -1.8 来拟合 r 得到分维为 1.2 在此范围内 r 与 r 的关系为 1/ r/r 2 [1- r/2r 2 ] 1/2 这一式子是由单个弦圈的形状决定的就是说当 r 小于某个临界尺度 R 时相关函数由单个弦圈决定其维数大约与单个弦的维数相同而当 r 大于 R 时相关函数不再由单个弦圈决定而是由弦圈的分布决定应用相关强度和 d 2 的关系可以得到整体分维为 D 1 =2.4 因此对 r 1 可求得 r =0.8 L/r r 式中 L 是所考虑的样本的半径上式与泡状结构的相关函数 基本一致如果考虑下述因素 1 有些星系是分布在泡壁以外的 2 泡壁的厚度不是无限小而是有限的则 式中的指数 l 就应小于 1 因而更接近 式中的 0.6 莫厚俊等还寻找了宇宙大尺度结构自仿射性质的其它证据其理论值与观测值完全一致用阿贝尔团检验也获得了与自仿射模型相一致的结果其详细情况请参考文献 [21] 2.2 IRAS 星系大尺度分布的分形特征与分维

48 1991 年夏晓阳等 [22] 报道了他们对 IRAS 星系大尺度分布的研究结 果 IRAS 红外天文卫星 巡天覆盖了全天 96 的区域 首批公布的红 外源中包括了约 2.5 万个星系 对这些星系在大尺度上分布特征的研究 吸引了许多天文学家的注意 其原因在于 IRAS 星系在天球上的分布看起 来远比光学亮星系均匀 而且 初步分析表明 IRAS 星系分布的角偶极矩 和空间偶极矩均与宇宙微波背景的偶极矩接近 此外 对牧夫座空洞方 向上 IRAS 星系的研究发现 有四个 IRAS 星系处于牧夫座空洞之中 这 些事实使很多天文学家认为 IRAS 星系的空间分布很可能比光学亮星系的 分布更接近宇宙中物质的分布 因此 IRAS 星系大尺度分布的研究就显 得更为重要 一些学者对 IRAS 星系的两点相关函数进行了研究 结果发现 IRAS 星系的分布是成团的 其相关尺度约为 10h -1 50Mpc 另一些学者使用了一 种可以避免在分析中对每一星系对引入权重因子的方法探讨了 IRAS 星系 成团的问题 发现即使在 80h -1 50Mpc 尺度上 IRAS 星系也明显成团 并 指出 这一结果对通常的冷暗物质模型不利 夏晓阳等对 F15 和 NGW 两个选区内 IRAS 星系红移巡天所得的样本进 行了研究 他们从这两个选区红移巡天所得的样本中选取出一系列完整 和统计上均匀的体积限定的子样本 用计数方法对这些子样本进行分形 研究 结果表明 IRAS 星系至少在 60h -1 50Mpc 尺度上仍存在明显结构 其分布的分形特征在较小尺度和较大尺度上有明显不同这种不同尺度范围上分维的差别可以说明 IRAS 星系在较小尺度上主要表现为星系成团而在更大尺度上则以空洞为主要特征由于详细介绍该项研究将超出本书的范围因此我们只介绍其主要结果如前节所述在分析宇宙大尺度结构时广泛地应用两点相关函数夏晓阳等指出在计算空间两点相关函数时无论是在样品或方法上均存在某些难以解决的问题如逻辑上的循环所得结果严重依赖于所取的相关函数模型等为了避免这些困难他们用体积限定样本取代流量限定样本但是从流量限定的样本 S f 中选取出体积限定的样本 S v 时 许多 S f 中的天体将被排斥在 S v 以外这将使样本中天体数密度大大降低并导致计算中随机起伏引起的误差棒增大从而限制可以进行分析的尺度为此他们以与任一星系相距小于 r 的平均星系数 N r 代替两点相关函数中计算的和任一星系相距在 r r r 之间的平均星系数 N 由于前者是一个累积量在 r 增大时其随机起伏所引起的误差棒将迅速减小因此可以分析更大尺度上的结构进一步还可以通过 N r 和 r 得出大尺度分布的分维 D 实际上 D d[logn r ]/d[logr] D 通常是 r 的函数如果在某尺度范围内 D 是常数则在此尺度范围内的分布是分形的其分数维为 D 在计算 N r 时应尽量避免边界效应的影响以保证结果的可靠性边界效应的大小通常可以用蒙特卡罗 Monte.Carlo 方法模拟来估计如果在与选取出的体积限定样本 S v 相同区域内产生一个有相同星系数的均匀随机分布样本 S r 则可以计算出与任一 S v 中星系相距 r 以内 S r 中星系的平均数 N Dr 从大量这样的随机样本可以得出 N Dr 的平均值 N r r 及

49 方差 如果把分析的尺度限制在 log[n r r ] 一 logr 曲线与斜率为 3 的直线偏离在 以内 就可以保证边界效应不会产生明显的影响 由 于 d[logn r r ]/d[logr]= 由上式和 式可得 D=3 十 d[logn r /N r r ]/d[logr] 上面给出了对宇宙大尺度结构进行分形分析的原理和方法下面介绍样本的选取 IRAS 星系有若干的红移巡天样本其中在 F15 和 NGW 两个选区内的红移巡天既覆盖了足够大的天区又有足够的深度它们提供的样本比较适合用来分析 IRAS 星系的大尺度分布特征文献 [22] 中指出此二选区内的样本在下述条件下是完全的 F l b 40 f J NGW 0 l b f J F15 和 NGW 选区红移巡天样本中分别包含了 445 和 385 个满足上述条件的 IRAS 星系都测定了红移值由红移可以计算出这些星系的距离 F15 和 NGW 选区分别覆盖了 1034 和 844 平方度天区作者根据他们给定的两个条件 [22] 从 F15 和 NGW 中各选取了 5 个体积限定的子样本进行分析其中既有红外光度较高的也有红外光度较低的选定子样本以后就按照前面的原理和方法对每一体积限定的子样本进行分析在和该子样本相同空间区域内用蒙特卡罗方法模拟产生与子样本有相同点数的均匀随机样本对大量随机样本样本数大于 5000 计算出 N r r 和在 log[n r r ] logr 图上确定出与斜率为 3 的直线偏离在士以内的尺度范围 r max 研究表明相同红移范围内从 F15 和 NGW 选出的子样本 r max 不尽相同这是由于子样本中星系分布在接近边界处的多少不同所造成的在 r max 以内通过计数得出每一个样本的 N r 并由此得出各自的 log N/N r logr 图 如果在某一尺度范围内 log N r / N r logr 图呈直线关系 则对该 尺度范围内的点用最小二乘法回归 该直线段的斜率即分维 D 同时在此 尺度范围内 IRAS 星系的分布特征即是分维为 D 的分形分布 对所选出的 F15 和 NGW 子样本的计算表明所有子样本的 log N/N r logr 曲线均难以用单一直线在 误差范围内拟合 但是 用两条以 上的直线段都可以较好地分段拟合 这表明 IRAS 星系的分布并非简单分 形 而是具有多个不同分维的多级分形结构 F15 的子样本都只有两级分 形结构而多数 NGW 子样本至少有三级分形结构 计算结果还揭示出所有 子样本在较大尺度范围的分维均大于较小尺度范围的分维 并且 在最 小尺度一级的分维明显小于 2 而在最大尺度一级均明显大于 2 总结起来 文献 [22] 得到如下一些结果 1 在相同红移间隔内 从 F15 和 NGW 两个样本中选出的体积限定 子样本的分维及其变化有明显差异 说明此二样本还不足以构成代表宇 宙大尺度结构的好样本 所有全部 10 个子样本在容许进行分析的最大尺 度上仍然存在明显结构 说明 I-RAS 星系至少在约 60h 尺度上仍然存 在结构 此结果对冷暗物质模型是不利的 2 IRAS 星系的分布不能用简单分形描述 它具有多级分形结构

50 因而具有多重分形的特征 这种多级分形分布可能暗示着在星系形成和 演化中一定有某种非引力作用或物质起着重要作用 3 更大尺度上的分维比较小尺度的分维数大 在最小尺度一级的 分维小于 2 其取值范围为 至 1.78 而最大尺度一级的分维大于 2 其取值范围为 2.05 至 2.74 这表示 IRAS 星系在小尺度上的分布特征为 成团而在大尺度上的分布特征为存在空洞 其结果与观测相符 值得指出的是 这里得到的结果与莫厚俊等人的结果有一定联系 后者指出 宇宙大尺度分布是自仿射的 其整体分维为 2.4 而局域分维 为 m 光度很高的 IRAS 星系在小尺度 50h -1 50Mpc 上成团 不明显 其原因可能在于其中包含相当比例的相互作用和并合星系的结 果 IRAs 垦系呈多重分形分布的转变尺度可能与 60 m 红外光度有 关 但不如光学亮星系明显 作者们猜测 IRAS 星系的多重分形结构可能来源于早期宇宙中不同 尺度扰动的迭加 或者星系形成与小尺度扰动是否处于大尺度扰动的背 景上有关 或者由于同时有冷 暗物质存在 其初始扰动谱不同并相互 影响 均有可能导致多重分形结构的产生 这种猜测的合理性尚有待进 一步研究在分形数学中 人们常常用勒维 lévy 尘埃来模拟宇宙星系的分 布 这是一个随机分形模型 假设有一个微粒在正方形网格上随机行走 其行走方向是完全随机的 可把每步走的距离 r 看成类似于 式确定的随机行走 把停止点依次描绘出来 就得到勒维的尘埃 如图 2.1 所示 图 2.1 用勒维尘埃模拟星系的分布 从图中可以看出 各点是在形成一大团和一小团的过程中分布的 宇宙 星与行星系 银河系 银河团甚至超银河团等呈不同大小团块分布的星 系之间有着某种类似性 由于这种模拟结果可以与观测结果和理论分析 结果进行对比并呈现出某种一致性 因而是非常有趣的 这同时进一步 说明了星系与星团分布的分形特征 2.3 月坑和小行星的直径分布 从所拍摄的月面照片上可以看到各种不同大小的月坑 如果只看照 片 其比例尺是完全看不出来的 这是因为月坑的尺度大小分布并没有 特征长度 或者说其分布存在着分形的特征 通过对实际资料的分析表 明 在直径为 lkm 到 10Okm 之间 月球 酒海 的月坑数 N r 和直径 r 有下述的负幂律关系 N r r -D D 其中 N r 表示直径大于 r 的月坑总数 上述分维值不仅适合于 酒海 的月坑 而且对月球其它地区的月坑 甚至对火星和金星的火山口也有 效 因为月坑是由陨石碰撞而形成的 所以可以预料陨石的大小分布也 具有分形的特征 研究表明 质量在 100kg 以上的大陨石的尺度是满足

51 分维为 2.3 的分形分布 [2] 比这小的陨石在进入大气圈时大都被燃烧不满足分形分布据报道木星和火星轨道之间的许多小行星也有类似的分布据推测小行星中以谷神星为最大其直径约为 1000km 其它仅绝对等级 20 以上的就有 7 万个其等级分布是满足分维为 2.1 的分形分布 [2] 综上所述月坑的直径分布陨石和小行星的大小分布是维数大于 2 的分形分布这些结果还可以用实验来证明以高速子弹打入岩石时所形成的碎片的大小分布就是一例研究表明这种岩石碎片的大小分布是分维约为 2 的分形分布 [2] 把陨石和小行星看成是某一大小集团破碎时的碎片就可以得到统一的解释岩石破碎时产生的碎片服从幂分布在工程学领域早有研究而小行星这样大的碎片也有类似的分布却是非常有趣的 2.4 木星大气中的涡流与土星的环 木星上的大红斑是一个巨大的椭圆型漩涡在伽利略的望远镜第一次指向木星后不久天文学家就注意到这个巨大行星表面上有一块瑕疵但是在几乎三个世纪里人们对大红斑的构造与起因知之甚少为此人们曾提出许多假说诸如岩浆流动说新月说鸡蛋说气柱说 [23] 等等来解释其成因但是终未得到什么进展 1978 年旅行者 2 号宇宙飞船所拍摄的木星大红斑的照片揭示了强大的风暴和多彩的漩涡从壮观的细节中天文学家看到红斑本身是像飓风一样的漩涡系统它把镶嵌在形成环绕行星的水平条带的东西风带中的云层排开但是大红斑不是飓风地球上的飓风是由湿气凝聚成雨时所释放出的热供给能量的而大红斑没有这种潮湿过程来驱使飓风按照气旋的方向转动而大红斑的转动方向与气旋方向相反更重要的是飓风在几天之内就会消失同时天文学家们注意到木星实际上是一团运动中的流体大红斑坐在那里不停地转动完全不被周围的混沌所干扰因此旅行者号使得已有的秘密更加难解因为它同时显示了流体的小尺度性质或者说木星上的流体运动是一种湍流流体宏观运动的能量经过大中小微等许许多多尺度上的漩涡最后转化为分子尺度上的热运动涉及大量不同尺度上的运动这就是无标度性表面上看来小尺度显示出快速的无组织化但在尺度变换下却存在着一定的规律即分形的规律美国学者马库斯研究了环绕西部大西洋的海湾洋流它产生扭曲和分支它所形成的小小的波浪通过扭结再变成环然后从主流中旋转离去形成缓慢而持久的反气旋方向的漩涡另外他还研究了气象学中的阻塞现象有时高气压系统会离开海岸连续几周或几个月地缓慢转动而且通常与东西流向背道而驰马库斯借鉴这些现象的规律性用类比的方法对木星上的湍流作计算机模拟结果竟鬼使神差般地再现了美国宇航局根据实物所摄制的木星大红斑动画片通过计算机模拟发现木星大红斑是一种自组织系统它是由在它周围不可预言的同样的非线性扭曲造成和调节的这是一种稳定的混沌换句话说木星上的流体运动的轨道有嵌套的精细结构它实际上就是一个分形

52 [23] 旅行者号卫星所拍摄的木星表面照片展现出沸腾的液体流 马库 斯对此进行了计算机模拟 用不同颜色表示特定小片流体的旋转方向 反时针旋转为红色 顺时针旋转为蓝色 不论从什么样的构形开始 蓝 色区域倾向于破碎 而红色区域倾向于合并成单个斑点 不管周围如何 骚动 这斑点是稳定的 现在再来看看土星的环 行星探测卫星航行者号发现木卫一 lo 的火山活动与土星环的微细构造 从地球上看到的数条土星环 实际上 是超过 1000 条细环的集合体 土星环的构造 如果能提高分辨率 还可 以看见更细的构造 这就是说 土星的环可能是像依侬 Hénon 吸引子 一样的分形 有些作者指出 从理论上看 土星环的构造有可能像具有 有限宽度的康托集合那样的构造 根据这一观点 若要形成这样的环 围绕土星近旁回转的卫星似乎发挥了重要作用 前面刚刚提到了依侬吸引子 什么叫依侬吸引子呢 下面我们简要 地介绍一下 依侬是法国南海岸尼斯天文台的一位天文学家 他也像 20 世纪的其 他天文学家一样在研究球状星团整样聚集到一起 整样随时间演化等令 人大伤脑筋的问题 球状星团是拥挤的成百万星星聚于一处而形成的球 体 其星体密度出奇地高 因而 它可能是夜空中古老而又激动人心的 对象 与二体问题不同 它是一个大的多体问题 二体问题早被牛顿所 解决 但三体问题确是如此复杂 以至于人们无法回答系统的长时间行 为 依侬对球状星团作了一些简化以后 开始模拟星体环绕银河系中心 的轨道 他采用了可与庞加莱映射相比拟的技术 设想在银河一端竖立 一个平面 使每条轨道都穿过它并记下轨道穿过这平面处的点 跟踪这 个点从一个轨道到另一个轨道的运动 结果如图 2.2 所示 研究表明 这样的轨道不完全规则 它们永不重复 但又是可预言 的 某些轨道是不稳定的 点在平面上呈随机分布 有些地方可以画出 曲线 而另一些地方的点不能用任何曲线连接 有序和无序混合在一起 形成了天文学家们称为 岛屿 和 岛链 的形状 为了探索其几何实 质 他考虑了下述迭代 x 2 = 1- ax 十 by n+1 n n 上式是一个离散的动力系统 y n+1 =X n 这个动力系统的吸引子就叫做依 图 2.2 围绕星系中心的轨道的二维相图 侬吸引子如图 2.3 所示在小正方形内取一个初始点开始每迭代一次小正方形内两个点的距离按指数增加而面积则按指数减小因此正方形就会变成像细绳子那样的形状迭代步数增大时细绳子就会折叠嵌套而形成一个具有分形结构的奇怪吸引子从图 2.3 可见如果把一根细线放大一定倍数则该线又是由许多线按自相似方式排列而成的即具有线内有线的嵌套细节前面提到土星的环可能有这种形式的排列据称人们用改变粗视化程度和利用相关函数的方法求得依侬吸引子的分维数约为 1. 26