处于旋转台中心将 CCD 光强测量仪放在中心轴一定距离的地方, 且可以绕着中心轴旋转在黑暗的房间里, 以 He-Ne 激光器 ( 波长 63.8nm) 作为光源, 放置在距离毛细管 4m 处, 激光光束垂直照射在毛细管中心后又垂直照射到 CCD 观测屏上由于入射光束的直径 ( 约 9mm) 远

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窕寇
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毛细管干涉条纹的波动光学分析与测量田文静徐琪玮 ( 北京邮电大学理学院 01 级本科生北京 100876) 摘要 : 本文提出一种精确测量毛细管参数和毛细管内液体折射率的方法通过光线追踪和波动光学的干涉理论对毛细管散射进行分析和仿真, 得到双光束和多光束干涉模型, 解释了光线经过毛细管散射 360 图像的成因通过测量干涉条纹的角宽度精确得到毛细管内外径和折射率以及管内液体折射率

引言折射率是反映介质光学性质的一个重要参数, 对其精确测定化工业医药业食品业石油生产等领域有重要意义目前用于测量折射率有很多方法, 比如利用阿贝折射仪测量迈克尔逊干涉仪测量条纹间距等等但简单经济精确的测量方法是我们寻求的目标对于应用毛细管来进行测量管壁与液体的折射率, 已经有过很多研究侯志博将毛细管内壁涂黑滤去经过内壁的光线, 建立双光束模型分析特定区域的干涉条纹,

1 毛细管干涉条纹的波动光学分析与测量田文静徐琪玮 ( 北京邮电大学理学院 01 级本科生北京 ) 摘要 : 本文提出一种精确测量毛细管参数和毛细管内液体折射率的方法通过光线追踪和波动光学的干涉理论对毛细管散射进行分析和仿真, 得到双光束和多光束干涉模型, 解释了光线经过毛细管散射 360 图像的成因通过测量干涉条纹的角宽度精确得到毛细管内外径和折射率以及管内液体折射率只需激光器和毛细管就可以进行一个有趣的本科实验关键词 : 多光束干涉 ; 毛细管参数测量 ; 液体折射率中图分类号 : 1. 引言折射率是反映介质光学性质的一个重要参数, 对其精确测定化工业医药业食品业石油生产等领域有重要意义目前用于测量折射率有很多方法, 比如利用阿贝折射仪测量迈克尔逊干涉仪测量条纹间距等等但简单经济精确的测量方法是我们寻求的目标对于应用毛细管来进行测量管壁与液体的折射率, 已经有过很多研究侯志博将毛细管内壁涂黑滤去经过内壁的光线, 建立双光束模型分析特定区域的干涉条纹, 在已知毛细管壁折射率的前提下, 可以通过测量毛细管远处的干涉条纹的间距得到毛细管的外径 [1]; 游智鸿通过几何光学测量毛细管散射在近处产生的阶跃点的散射角得到管内液体折射率管壁折射率及内外径之比, 该方法仅限于液体折射率小于管壁折射率的情况 [,3] 上述方法忽略了毛细管散射蕴含的物理原理及内涵, 另一方面, 也不能同时得到毛细管内外径以及管壁折射率和管内液体折射率的所有信息在本文中, 我们从干涉条纹分布出发, 提供一种简单且精准测量毛细管内外径以及管壁折射率和管内液体折射率的方法对于一定参数毛细管以及折射率大于管壁的射率液体, 我们利用光线追踪分析经过毛细管的光线类型, 通过斯涅尔和菲涅尔公式得出毛细管散射相对光强随散射角度的分布, 同时利用波动光学理论建立双光束干涉和三光束干涉模型, 从而解释了毛细管干涉条纹的成因我们发现, 不同区域内的条纹宽度与毛细管内外径折射率以及管内液体折射率有着密切的联系只要测量干涉条纹的宽度就可以得到所有参数本文其余部分安排如下 : 第二部分介绍实验装置及实验现象 ; 第三部分利用光线追踪和波动光学理论分析干涉条纹的原理, 并给出参数测量的方法 ; 第四部分给出实验结果 ; 最后在第五部分给出这种方法的应用并得出结论. 实验装置及现象图 1(a) 实验装置示意图图 1(b) 实验装置图实验装置由精密电控旋转台及其控制器 CCD 光强测量仪数据采集卡和 LabVEW 软件组成, 如图 1 将一个四维调节架安装在旋转台上, 并将直径约 1.0mm 的装有液体的毛细管放在旋转台的调节架上, 调节三维调节架使毛细管竖直地 1

CCD 与计算机, 利用 LabVEW 软件我们就可以观察到任意角度的干涉条纹图样并精确测量条纹的角宽度 (a) (b) (c) 详细分析其成因, 解释条纹宽度与毛细管参数和液体折射率间的关系, 并给出一套测量毛细管参数的简单方法 3. 毛细管干涉的理论分析 3.

2 处于旋转台中心将 CCD 光强测量仪放在中心轴一定距离的地方, 且可以绕着中心轴旋转在黑暗的房间里, 以 He-Ne 激光器 ( 波长 63.8nm) 作为光源, 放置在距离毛细管 4m 处, 激光光束垂直照射在毛细管中心后又垂直照射到 CCD 观测屏上由于入射光束的直径 ( 约 9mm) 远大于毛细管的直径, 激光可以近似为平行光而对实验结果的影响可以忽略不计通过步进电机控制器旋转 CCD 为任意角度通过高精度电控旋转台将 CCD 旋转至一定散射角度电控旋转台可以精确测量散射角度至秒 ( 精度为 18ʺ) 通过数据采集卡连接 CCD 与计算机, 利用 LabVEW 软件我们就可以观察到任意角度的干涉条纹图样并精确测量条纹的角宽度 (a) (b) (c) 详细分析其成因, 解释条纹宽度与毛细管参数和液体折射率间的关系, 并给出一套测量毛细管参数的简单方法 3. 毛细管干涉的理论分析 3.1 利用光线追踪分析光强分布在这一部分我们将利用光线追踪的方法得到经过毛细管出射的光线走向, 再利用斯涅尔公式与菲涅尔公式计算每种光线光强随散射角的变化曲线, 解释条纹亮暗分布的原因, 同时确定到达不同干涉区域的光线种类入射角度不同, 光线在毛细管内的路径也不同, 主要分成两类, 如图 3 中的入射光线 a 和 b 光线 a 只在毛细管壁中传播, 光线 b 则会进入毛细管内部我们将经过毛细管出射的光线分为 7 种, 如图 3 定义入射角为入射光线与毛细管外表面法向之间的夹角, 而出射角为出射光线与入射光线之间的夹角, 且顺时针方向为正由于毛细管的对称性, 仅考虑散射角为的出射光 (d) (e) 图实验现象图照片宽度对应的角宽度约, 中心对应的散射角为 (a)10,(b) 40,(c) 90,(d) 16,(e) 170 为了清晰的显示出条纹, 图中的亮度是处理过的 n 0 =1.4700, =0.06mm, r=0.7mm, n=1.9 图中的实验现象具有如下特点 : 1) 图 (a) (d) 中的干涉条纹呈现明显的双光束干涉 ; ) 图 (b) 具有明显的周期性包络现象, 且包络内部有清晰的精细条纹 ; 3) 不同区域的亮度明暗差别大, 各区域的光强亮暗趋势为 A 区 >B 区 >G 区 >F 区 >D 区 >C 区 >E 区 ; 4) 有些区域条纹看似杂乱无章, 如图 (e) 在接下来的内容中, 我们将针对于干涉条纹稳定且清晰的区域, 即图 4 中的 A B G 区, 来图 3 经过毛细管的 7 种光线光路图根据简单的几何关系, 利用斯涅尔公式, 我们可以得到七条出射光散射角和相应入射角的取值范围其中, 角度和分别是光线在外表面的入射角和折射角, 和分别是光线在内表面的入射角和折射角比如, b 是光线在内表面的入射角 b b b b 0 0 1,0 sin sin arcsin arcsin,0 arcsin n b b1 b1 (1) ()

3 sinb3 sinb3 sinb3 b3 4arcsin arcsin arcsin b3,,0 b3 arcsin 0 n0 sinb4 sinb4 sinb4 b4 4arcsin b4 4arcsin 4arcsin,0 b4 arcsin n 0 0 sin sin sin b b arcsin arcsin arcsin,0 arcsin n0 0 sina6 0 a6 a6 4arcsin, arcsin a6 n 0 sin a7 0 a7 a7 arcsin, arcsin a7 n0 (3) (4) () (6) (7) 图 4 七种光线相对光强随散射角变化图通过菲涅尔公式得到在此界面上的反射率 e 和区域亮度仅次于 A 区, 呈现包络与精细条纹图像, 透射率 T, 见图 1(b) C 区的散射角是区域, 到达该 sin e (8) sin T 1 (9) 利用光线追踪, 只要知道某条光线入射角, 就可以计算每条光线的相对光强如图 3 中的出射光线 1 只经过了一次反射, 其光强为 e (10) 1 0 e 我们利用 Matlab 软件进行仿真, 模拟条相同的光线均匀入射, 通过公式 (10) 计算每条光线出射后的相对光强值, 并画出每种光线相对光强随散射角分布的曲线图, 如图 4 从图中可以看出, A 区散射角为 0-37., 区域亮度最高, 呈现双光束干涉条纹图像, 见图 1(a) B 区散射角为 , 区域内的光线 1 6, 忽略光强非常小的光线, 则该区为光线 1 6 的双光束干涉 D 区的散射角是区域, 到达该区域内的光线 1 3 6, 此处为 4 条光线干涉形成的间距不规则的多光束干涉且由于光线 3 光强的叠加, 使得该区域的亮度高于 C 区 E 区的散射角是区域, 到达该区域内的光线 1 3, 由于这三条光线的光强极小, 因此该区域的亮度最低, 人眼难以观察 F 区散射角为 , 呈现双光束干涉条纹图像, 见图 1(d) G 区散射角为 , 该区域到达的光线种类多, 从而形成杂乱的条纹, 见图 1(e) 综合以上分析, 可知光强亮暗分布趋势, 即 A 区 >B 区 >G 区 >F 区 >D 区 >C 区 >E 区的原因由于光线经过毛细管的散射图样呈现对称分布, 至此根据图 4, 我们解释了经过毛细管的 360 的图像的成因, 并根 3

(1) L 1 cos n cos (13) 0 6 a6 a6 a La 7 1 cos a7 n0 cos a7 (14) 下面解释 B 区的包络现象通过图 4 知, 到达 B 区域的光线为出射光线 1 7, 忽略光线, 建立三光束模型, 其光路图如图根据干涉公式可得到三光束干涉的光强公式为 : ay1 ay ay7 A b 1 A b A a 7 A b 1A b b 1 b

4 据此建立了 A 区 G 区的双光束模型和 B 区的三光束模型 3. 利用波动光学分析干涉条纹图 B 区三光束模型光路图这一部分我们将用波动光学, 建立了双光束和三光束模型, 分别解释 A B F 三个区域干涉条纹的成因由于光线 3 4 在这些区域很微弱, 因此干涉条纹主要由光线干涉形成, 因此我们首先计算这几条光线的光程 L 1cos (11) b1 b1 sin( ) L n r nr sin 1 cos b + cos b b 0 (1) L 1 cos n cos (13) 0 6 a6 a6 a La 7 1 cos a7 n0 cos a7 (14) 下面解释 B 区的包络现象通过图 4 知, 到达 B 区域的光线为出射光线 1 7, 忽略光线, 建立三光束模型, 其光路图如图根据干涉公式可得到三光束干涉的光强公式为 : ay1 ay ay7 A b 1 A b A a 7 A b 1A b b 1 b cos( ) A A cos( ) A A cos( ) b1 a7 b1 a7 a7 a7 其中 =/L 对于探究包络与精细条纹的成因, 我们通过分析干涉条纹的相位差, 确定形成相应条纹的干涉光线忽略光强的影响, 仅考虑简单情况, 当光线的出射光强相等时即,A 1 =A 6 =A 7 =1 时, 令 b b, b a, b a, 则公式 (14) 化简为公式 (1), 继而得到光线 1 6, 光线 1 7 相位差随着散射角的变化关系 B 18cos cos cos (1) 同理, 我们可得 A 区的 1 的双光束干涉模型和 F 区的 1 6 的双光束干涉模型 1 A cos (16) 16 F cos (17) 其中, b a 通过光线追踪的分析可知随着散射角的变化, 相位差的变化为 : d d d, d d d 即光线 7 干涉的相位差随散射角变化最慢, 那么由此可知产生的大包络由光线 7 干涉产生, 精细小条纹由 1,7 的干涉产生根据公式 (1-17) 模拟干涉条纹光强值随散射角的分布图如图 6 所示为了对比, 我们将实验照片也, 图进行对比, 至此我们初步分析了干涉条纹的成因, 发现与实验结果吻合, 则证明了模型的正确性接下来, 我们将研究 A B C 区域内条纹角宽度与毛细管参数之间的关联 (14) (a) (c) (b) (d) (e) (f) 图 6 实验现象与 Matlab 软件模拟仿真图 n 0 =1.4700, =0.06mm, r=0.7mm, n=1.9 (a)(c)(e) 为实验照片,(b)(d)(f) 为仿真图 (a) (c) (e) 同图 (a) (b) (d) 3.3 仿真与测量在这一部分我们将揭示条纹角宽度与毛细管参数之间的内在关系, 通过测量 A B C 区域内条纹的散射角和角宽度, 可以计算出毛细管参数 4 的四个参数设光线 1 7 从衍射角处到处刚好是 1 条条纹的间距, 则其光程差的改变为

5 dl dl L L d d b1 a7 b1 a7 ( ) (18) 为入射光波长根据公式 (11-14), 可得 dl/d=sin, 所以 sin sin b1 a7 (19) 由此可见, 不同的光线光程改变一个波长所需的散射角宽度不同, 因此干涉条纹的间隔也就不同最小的光线对应精细条纹比如,B 区内的精细条纹由光线 1 7 干涉形成, E 区的干涉条纹由光线 1 6 形成 4. 实验结果和分析由于折射率 n0 与光线 6 7 的光程有关, 液体折射率 n r 与光线的光程有关, 因此, 可以通过条纹间距和衍射角的测量计算这些参数当然, 由于这些关系都是隐函数关系, 无法直接求解, 因此我们都采用数值计算的方式得出结果, 如表 1 所示由实验结果可以看出, 由条纹角宽度算出来的参数值和用读数显微镜及阿贝尔折射仪测量出来的值十分接近, 再一次证明了我们理论的正确性表 1 A B E 区条纹角宽度测量结果液体区域 ( ) A 9 9ʹ4ʺ ( 大包络 ) 苯乙醇 B 49 1ʹ4ʺ ( 精细条纹 ) E 18 0ʹ18ʺ 径 ; 利用极厚的毛细管经过外壁的光线分布范围增大, 通过上述方法分析为光线 1 7 的双光束干涉条纹分布在已知毛细管内液体折射率及内径情况下, 更便于测量毛细管管壁折射率和外径. 总结本实验的特点之一是通过波动光学, 对毛细管散射的 360 全景给出精确解释, 从而给出了一套普适的分析方法 : 1) 画出不同种光线光强随散射角的变化 ) 找出对应角度内产生作用的光线 3) 将对应光线代入双光束或多个光束干涉公式即可得到解释这个方法对一般管径毛细管和大多数折射率液体具有普适性特点之二是, 通过测量条纹宽度就可以精准测量毛细管及液体折射率, 并且原理和仪器结构及操作都非常简单 6. 参考文献 [1] Zhibo Hou, Xiaohong Zhao and Jinghua Xiao. A simple double-source model for interference of capillaries. Eur. J. Phys. 33 (01) [] Zhihong You, Daya Jiang, Jakob Stamnes, Jianjun Chen and Jinghua Xiao. Characteristics and applications of two-dimensional light scattering by cylindrical tubes based on ray tracing. APPLED OPTCS 1( 3) 01 [3] Zhihong You, Daya Jiang, Zhibo Hou, and Jinghua Xiao. Analysis of light scattered by a capillary to measure a liquid s index of refraction. Am. J. Phys. 80, 688 (01); doi: / [4] J. A. Lock and C. L. Adler. Debye-series analysis of the first- order rainbow produced in scattering of a diagonally incident plane wave by a circular cylinder. J. Opt. Soc. Am. A 14, (1997) 表毛细管参数测量结果液体参数 n 0 (mm) r(mm) n 苯乙醇标称值实验值相对不确定度 0.3% 6% 1.1% 0.6% 实验测量中发现, 如果利用极薄的毛细管, 经过内壁的光线分布范围增大, 可以观察到单一且更清晰的干涉条纹分布, 通过光线追踪得到的散射光强随散射角分布图分析, 可知为光线 1 双光束干涉在已知毛细管管壁折射率和外径已知的情况下, 更便于测量液体折射率和毛细管内

Fig1 Theforceappliedtothetrainwhenrunning :w = w j +w q (3) :w = w = w 0 +w j (4) w i 121 基本阻力 w r = 600 R ( N/kN) (8) :R : [2] w s [3] w s =0

Fig1 Theforceappliedtothetrainwhenrunning :w = w j +w q (3) :w = w = w 0 +w j (4) w i 121 基本阻力 w r = 600 R ( N/kN) (8) :R : [2] w s [3] w s =0 31 4 2012 8 JournalofLanzhouJiaotongUniversity Vol31No4 Aug2012 :1001-4373(2012)04-0097-07 * 张友兵张波 ( 100073) : 分析了列车运行过程中的受力情况给出了制动过程中减速度的计算方法并采用正向反向两种迭代方式计算列车制动曲线两种方式计算出的制动曲线一致证明了计算制动曲线的方法是正确的