Microsoft Word - 通訊1609
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- 衿敷 那
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1 HPM 通訊第十六卷第九期第一版 發行人 : 洪萬生 ( 台灣師大數學系退休教授 ) 主編 : 蘇惠玉 ( 西松高中 ) 副主編 : 林倉億 ( 台南一中 ) 助理編輯 : 黃俊瑋 ( 台灣師大數學所研究生 ) 編輯小組 : 蘇意雯 ( 台北市立教育大學 ) 蘇俊鴻 ( 北一女中 ) 黃清揚 ( 福和國中 ) 葉吉海 ( 陽明高中 ) 陳彥宏 ( 成功高中 ) 陳啟文 ( 中山女高 ) 王文珮 ( 青溪國中 ) 黃哲男 ( 台南女中 ) 英家銘 ( 台北醫學大學 ) 謝佳叡 ( 台灣師大數學系 ) 創刊日 :998 年 0 月 5 日每月 5 日出刊網址 : 畢氏定理 4000 年 歐幾里得筆下的尺規作圖 : 以過 P 點作圓外 橢圓外的切線為例 Dandelin Spheres 證明圓錐截痕的焦點性質 畢氏定理 4000 年 林炎全台中教育大學數學教育系退休教授 書名 :The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History 作者 :Eli Maor 出版社 :Princeton University Press 出版年份 :007 出版資料 : 精裝,7 頁國際書碼 :ISBN-3: 一 本書簡介 The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History 是毛爾 (Eli Maor) 所寫的幾部普及數學的作品之一 在他的引申之下, 畢氏定理與數學各支系都有很深的淵源 在座標系裡, 它提供了距離公式, 這個公式是解析幾何的基石, 錐線的方程式是由它導出來的 微積分計算曲線長的方法也源於它 它是整數論的共同源頭, 甚至跨越數學, 在物理領域, 也扮演重要的角色 作者在序言中, 提到本書將把畢氏定理發展的沿革, 及其對我們的文化的衝擊展現出來 全書共選了十六個主題, 有些主題附加副題 (sidebar), 探討相關的人事物 他採用閒話家常的格調舖陳內容, 比較專業的就放在附錄, 給有興趣進一步探索的讀者參考 從這些, 我們可以感覺到本書是爲數學普及而作的 x 全書是以費瑪最後定理在 993 年獲證開場 費瑪最後定理是畢氏定理的代數形式 y z 的整數解 即畢氏三數組 (Pythagorean triple) 所引起的話題, 四千年前巴 比倫人已經在這方面有所探討, 並在一塊泥板上留下成果, 其數目大至 (460, 4800,
2 HPM 通訊第十六卷第九期第二版 6649) 約四千年後, 我們爲一個極其相似的問題的澄清而登上頭條, 宰豬殺羊歡慶畢氏定理被證明的歷史場景再度上演, 但這次規模大得多, 不只是英吉利島國 ( 懷爾斯 (Wiles) 的屬國 ) 的盛事, 也是全球的熱潮 Eli Maor 以此為本書的開場, 想必另有一番的隱喻 畢氏定理雖然掛給畢達哥拉斯, 但顯然並不是他最先發現的 如前所述, 現存的巴比倫泥板就有畢氏三數組表 埃及人建築宏偉的金字塔, 計算體積及測量土地面積以收稅, 但沒有證據顯示他們已經知道畢氏定理 這些是作者認定的畢氏定理之史前史 這個定理既然掛名給畢達哥拉斯, 正史就從他開始 於是, 第二個單元介紹他的一些成就, 讀者在閱讀時請注意分別 Pythagoras 和 Pythagoreans ( 畢氏學派 ), 畢氏學派是一個祕密結社, 對外不公開 後人把這個學派的成就, 都歸在畢氏的名下 這些成就深深影響接續兩千年的數學及科學的發展, 有些甚至影響到現代 第三個單元談的是歐幾里得與 ( 幾何 ) 原本 (Elements) 在徐光啟把 Elements 中譯本稱為 幾何原本 之後, 它就成為華文界的通稱 但是, 它的內容並不限於幾何, 而是古典 ( 雅典 ) 期 ( 約 600~300B.C.) 數學經營成果的總結 Eli Maor 指出 原本 (Elements) 裏兩次提及畢氏定理, 依次是第一冊命題 47, 另一次是第六冊命題 3 前者的證明採面積的觀點, 屬幾何的 ; 後者則循比例關係, 屬代數的, 而且把正方形一般化為相似形即成立 這個單元附錄了一些題外花邊, 論及與畢氏定理相關的藝術 詩作及文章, 例如殺牛宰羊慶祝的詩作, 它被選為測尋星際文明的訊息, 它使英國政治哲學家霍布士 (Thomas Hobbes) 開始喜歡幾何等等 繼歐幾里得之後的重要人物是阿基米德, 他的重要成就之一 : 用內接和外切正多邊形逼近圓周計算 的近似値, 就是連續使用畢氏定理的成果 本書第五單元開始, 首先鋪陳後希臘時期即 500~500A.D. 的場景, 主要是校注希臘的成果 但 Proclus 的 Eudemian Summary 提出了具 中國味 的證法 :dissection ( 出入相補, 或剪貼法 ), 不過 Proclus 的方法還有代數運算的配套 接著,Eli Maor 順勢介紹畢氏定理在中國與印度的情形 他認為中國是一個封閉的國度, 所以, 這個定理是自產而不是外來的, 中國人以眼見為憑, 透過圖形的說服力, 數值關係被一般化為代數形式, 其中, 希臘式的演繹推理從未出現蹤跡 而印度次大陸西北連接波斯與中亞平原, 西向則是阿拉伯半島與地中海 ; 也容易經由海路與其他文明交流 但即使如此, 印度人對證明的態度, 也沒有比較高明, 可能東方民族務實的個性使然吧 這個時期, 中東 阿拉伯半島及地中海區域一方面進行翻譯希臘作品, 另一方面也進行自己的創作, 特別是代數及技術系統,al-Harrani (86-90) 就提出一個與畢氏定理有關的幾何定理 ( 不是餘弦定律 ), 使畢氏定理成為其特例 這些成果後來傳到歐洲, 成為黑暗時代 (Dark Ages) 的明燈 454 年, 古騰堡發明活字印刷, 人類文明至此已走到近代的門口 第六單元談的是數學進展的下一步 -- 符號化, 這件工作主要的推手是韋達 Viète (540~603) 透過符號的代數功能, 他把三角函數從解三角形的工具, 提昇為分析學的主體 藉著畢氏定理及半角公式, 他導出一迄今還是被認為最美的數學公式之一 :
3 HPM 通訊第十六卷第九期第三版 接著, 第七單元 Eli Maor 談的是微積分的基礎 : 無 限與無限小 它們是希臘不願接納的棄兒, 現在卻成為處理實際問題的利器 此時, 畢氏定理不再是幾何裡面積關係的公式, 而是計算長度的代數法寶 本單元後附錄一個歐 拉 ( 或尤拉 ) 所導出的公式 :, 這個公式的特別, 在於自然數的運算結果竟 6 n 與 π 有關 第八單元介紹 Loomis 所蒐集 37 個畢氏定理的證明法, 是本書的重點之一 畢氏定理引來這麼多人投入證明,Loomis 說中世紀時, 一個學生必須提供一個新的 原創的畢氏定理證明, 才能獲數學授碩士學位 (Master s degree), 這促使學生和老師動腦筋研創新的證明 Eli Maor 臚列一些較特別的證明 這個單元後附錄的第一個花邊, 是 Eli Maor 自認原創的摺紙證法, 後來發現 Loomis 的書裡也納入 第二個花邊, 則是愛因斯坦也曾提供一個證明 這個定理十年後在他的時空理論 狹義相對論 廣義相對論都扮演重要角色 對於像 三角形三高交於一點 這樣隱晦的事實, 都能給予無慮的證明, 讓愛因斯坦對幾何折服傾心 第三個花邊, 是一個很特別的證明, 它從正弦和餘弦函數的 Maclaurin 級數著手, 這種證明, 恐怕只有數學專業才能接受 第九單元談論由畢氏定理衍生出來的一些話題 首先, 新月形可以與一個直角三角形等積, 所以, 它可以方化, 即可作出等積的正方形, 但圓是不能方化的 從這個觀點看, 滿月與新月是迥然不同的 另一個話題是 : 直角三角形三邊長是整數, 則內切圓半徑是整數 此處 Eli Maor 遺漏一個狀況 : 兩股長都是奇數 說明這種狀況不會發生並不 困難 接著,Eli Maor 給出一個等式, 其中 d 是斜邊上的高, 他暱稱之為 a b d 小畢氏定理 (Little Pythagorean theorem) 然後是餘弦定律 平行四邊形定律 海龍公式 多維度的畢氏定理 這個單元後接兩個花邊, 一個是 Loomis 暱稱為 一個畢氏門徒的好奇 之有趣圖構 ; 另一個則是畢氏定理的誤用 第十單元介紹從對偶概念引出的座標系 : 線座標 (line coordinates) 數學的發展, 在解析幾何 微積分及抽象代數成為主流, 看來傳統歐氏幾何就要被廢耕時, 卻又在其中長出奇珍異果 射影幾何 接著, 第十一單元所論述的是概念與表徵, 其中包括四元數 向量空間 Hilbert 空間等 ( 無限多維向量空間 ) 平面上的畢氏定理在這些空間延申其意義 第十二單元論述平拓空間 (flat space) 與曲扭時空 (curved spacetime); 在曲扭時空裡, 畢氏定理調適為更一般的形式 Riemann 是這個概念的設計師, 他為一般相對論建立重要的基礎 一般人提及相對論, 只知道愛因斯坦, 卻不知有黎曼 (Riemann), 實在欠他一個公道 這個單元後附一個花邊 : 地圖的誤導 用麥卡托投影繪製的平面地圖, 高緯度地區面積的膨脹現象許多人不察, 會以為格陵蘭比美國大 第十三單元是相對論的序奏 Eli Maor 從渡河小艇談起, 續以 以太 假設的興衰
4 HPM 通訊第十六卷第九期第四版 及相對論的萌芽 第十四單元較深入探討相對論, 曲扭時空不再侷限為幾何概念, 而是可列式的代數內容 時空距離公式 : d ( x t x) ( y y) ( z z) c ( t ) 中 c 是光速, 可見時間影響距離最大 ; 這個公式也以看到畢氏定理的影子 這個單元後續一個花邊 : 與畢氏定理相關的四個謎題, 它們有趣但不難 第十五單元提出一個前瞻的問題 : 我們所認知的定理放諸寰宇而皆準嗎? 若有地球以外的文明, 是否能藉數學與之溝通? 後續第十六單元是對數學本質內涵的反思, 作為本書的總結 數學做為理論架構, 固然有其抽象玄思的本質 ; 做為工具實體, 則亦有流行實際的內涵 數學各支系裡, 畢氏定理的形式都扮演重要份量的角色, 是否顯示它在主宰實體世界? 作者要讀者考量決定 Eli Maor 以一篇到畢達哥拉斯的故鄉 Samos 島的訪故之旅謝幕 他提及有ㄧ本導覽手冊把畢氏定理中的直角三角型誤植為等腰三角形, 數學做為商品是如此不堪, 令人感慨! 二 評論有人, 包括本書作者 Eli Maor, 傾向於把數學與音樂 繪畫等藝術相提並論 歷史上音樂與數學 繪畫與數學曾有密切的關聯, 所以, 這是很自然理的事情 但與音樂 繪畫相較, 數學顯然是不討喜的 音樂 繪畫能直接透過感官浸入而感受欣領 但是, 數學則需透過思維析辨的工夫, 才能認知內涵, 再經過組織這些內涵, 才能形成架構, 最後, 還得有器識這個架構的能力, 才可能欣賞到數學之美 即使做為必修的重要課程, 許多學生對數學仍採應付的態度, 遑論一般人 ; 以數學作為消遣讀物, 可以說少之又少 所以, 寫數學普及書籍是件不容易 不討好的工作 即使大環境是如此不利, 仍有許多人不計成敗得失, 抱著傳道的熱忱, 投身於此 他 / 她們努力於軟化數學的形象, 企圖讓它變得易於親近 從本書的內容, 我們可以感受到這種熱忱和努力 不用瞎掰而能言之有物, 要把畢氏定理這樣狹窄的話題寫成一本書, 作者若無廣博的知識是辦不到的 本書對於與畢氏定理有關的事, 都有所論列 ; 包括費瑪最後定理 曲線求長的積分公式 向量空間 Hilbert 空間 常見的座標系及其相對應的距離公式 黎曼空間 線座標 直拓空間和曲扭時空 他利用簡單易懂的模型解釋相對運動, 進而引入相對論 雖然這些話題看起來鬆散, 但經過 Eli Maor 精心巧妙的安排架構, 呈現出一個有系統的結果 整本書也複述數學發展史的輪廓 : 人類的工具需求 好奇探索和智慧能力共同形成這個場景 它點出人類智慧能力是無限的, 總能在山窮水盡疑無路時, 帶領我們走出柳暗花明又ㄧ村 此外, 本書提到一些濫用和誤用數學的事例, 也彰顯社會一般數學水準, 還有很大的提升空間 Eli Maor 一方面鼓勵我們要對智慧有信心, 另一方面也督促我們改善現況, 邁向更好的境界 電腦普及產生後遺症之ㄧ, 是耐性逐漸從人性疏離, 需要深沉思考 縝密推理的活動, 已經對許多人失去吸引力, 而不幸的這正是數學的特色 做為數學普及書籍, 能吸引一般讀者應是首要的考量, 盡量稀釋數學色彩, 避免冗長的推理或演算, 是較佳的選
5 HPM 通訊第十六卷第九期第五版擇 但是, 這樣把數學的本質丟到一邊, 寫作數學書籍是很困難 Eli Maor 有一個高明的處理 : 把一些論理過程放置在附錄, 給有興趣的讀者參考 ; 各單元還有 Notes and sources, 留給讀者進ㄧ步查閱的線索 但是, 在本文裡還是保留有一些冗長的數式運算, 例如頁 78~90,9~33 在序言裡,Eli Maor 設定本書的讀者為 : 對數學史有興趣, 具有高中程度的代數和幾何, 以及零散 (occasional smattering) 的微積分知識 但檢視內容, 許多部份都超過這樣的背景要求, 至少完整的初等微積分是不可少的 像極座標中曲線求長,Maclaurin 級數, 甚至實變函數的範數 (norm) 都曾出場 第十單元的直線座標更屬數學專業 若要了解 Notes and sources 及附錄, 則還要整數論, 偏微分等等 這是一般人常會犯的毛病 : 把專業常識當作一般人的常識 這種毛病, 在專家寫普及讀物時最容易出現 Eli Maor 在序言提到畢氏定理之所以能得普遍的青睞, 部份原因是由於它的證法多元 Loomis 在 97 年出版的 The Pythagorean Proposition 裡就蒐集了 37 個, 而此後還在繼續增加 證明方法多, 顯示這個定理內涵的多元面向 但這些內涵若止於自我, 則至多只能成為孤芳, 讓狹窄的數學圈自賞 所以, 強調證明方法很多, 並不能增加畢氏定理對數學圈外的吸引力 本書的內容顯示 : 畢氏定理之所以能得普遍的青睞, 更重要的原因是從它延拓出來無限寬廣的場景, 許多重要理論的基本原理都有它的身影, 許多重要公式都是它的化身, 還有, 在許多領域的經營, 它是不能割捨的角色 這一個功能, 就足夠給本書一個肯定的價值 附記 : 本書第 8 頁有一個小筆誤 :Notes and Sources 3 的 sin 應是 sin 優秀數學普及作品指標評價方式 : 指標以五顆星 為最高品質. 知識的實質內容 () 認識論面向 : () 歷史或演化面向 : (3) 哲學面向 : (4) 教育改革面向 :. 形式或表達 : () 創新手法 ; () 數學知識的洞察力 : (3) 忠實可靠的參考文獻 : (4) 敘事的趣味性 可及性與一慣性 : 3. 內容與形式如何平衡 : () 青少年層次 : () 一般社會大眾 : 4. 摘錄本書精彩片段
6 HPM 通訊第十六卷第九期第六版沒有證據不能證明沒有 (the absence of evidence is not evidence of absence)(p. 4) 每本數學史書籍, 你都可以看到一張聖老的照片, 嘴邊蓄著短鬚, 兩眼閃著慧光 但這位英挺的賢老是誰? 真相是 : 我門不知道 畢達哥拉斯是歷史上最神秘的人物之ㄧ 他的事蹟都是他身後超過百年的歷史家所寫的, 我們所聽閱關於他的記載, 恐怕也是傳說多於事實 所以, 你所閱聽關於他, 或這位英挺的賢老的傳說, 最好加一把鹽 (p.6) 方程式所呈現的美, 比其與實驗之契合度更重要 (p. 8). 為節省影印成本, 本通訊將減少紙版的的發行, 請讀者盡量改訂 PDF 電子檔 要訂閱請將您的大名, 地址, 至 suhui_yu@yahoo.com.tw. 本通訊若需影印僅限教學用, 若需轉載請洽原作者或本通訊發行人 3. 歡迎對數學教育 數學史 教育時事評論等主題有興趣的教師 家長及學生踴躍投稿 投稿請 至 suhui_yu@yahoo.com.tw 4. 本通訊內容可至網站下載 網址 : 5. 以下是本通訊在各縣市學校的聯絡員, 有事沒事請就聯絡 HPM 通訊 駐校連絡員日本 : 陳昭蓉 ( 東京 Boston Consulting Group) 李佳嬅 ( 東京大學 ) 德國 : 張復凱 (Mainz 大學 ) 基隆市 : 許文璋 ( 南榮國中 ) 台北市 : 英家銘 ( 台北醫學大學 ) 楊淑芬 ( 松山高中 ) 杜雲華 陳彥宏 游經祥 蘇慧珍 ( 成功高中 ) 蘇俊鴻 ( 北一女中 ) 陳啟文 ( 中山女高 ) 蘇惠玉 ( 西松高中 ) 蕭文俊 ( 中崙高中 ) 郭慶章 ( 建國中學 ) 李秀卿 ( 景美女中 ) 王錫熙 ( 三民國中 ) 謝佩珍 葉和文 ( 百齡高中 ) 彭良禎 ( 師大附中 ) 郭守德 ( 大安高工 ) 張瑄芳 ( 永春高中 ) 張美玲 ( 景興國中 ) 文宏元 ( 金歐女中 ) 林裕意 ( 開平中學 ) 林壽福 吳如皓 ( 興雅國中 ) 傅聖國 ( 健康國小 ) 李素幸 ( 雙園國中 ) 程麗娟 ( 民生國中 ) 林美杏 ( 中正國中 ) 朱賡忠 ( 建成國中 ) 新北市 : 顏志成 ( 新莊高中 ) 陳鳳珠 ( 中正國中 ) 黃清揚 ( 福和國中 ) 董芳成 ( 海山高中 ) 孫梅茵 ( 海山高工 ) 周宗奎 ( 清水中學 ) 莊嘉玲 ( 林口高中 ) 王鼎勳 吳建任 ( 樹林中學 ) 陳玉芬 ( 明德高中 ) 羅春暉 ( 二重國小 ) 賴素貞 ( 瑞芳高工 ) 楊淑玲 ( 義學國中 ) 林建宏 ( 丹鳳國中 ) 莊耀仁 ( 溪崑國中 ) 李建勳 ( 海山國中 ) 宜蘭縣 : 陳敏皓 ( 蘭陽女中 ) 吳秉鴻 ( 國華國中 ) 林肯輝 ( 羅東國中 ) 林宜靜 ( 羅東高中 ) 桃園縣 : 許雪珍 葉吉海 ( 陽明高中 ) 王文珮 ( 青溪國中 ) 陳威南 ( 平鎮中學 ) 洪宜亭 郭志輝 ( 內壢高中 ) 鐘啟哲 ( 武漢國中 ) 徐梅芳 ( 新坡國中 ) 程和欽 ( 大園國際高中 ) 鍾秀瓏 ( 東安國中 ) 陳春廷 ( 楊光國民中小學 ) 王瑜君 ( 桃園國中 ) 新竹市 : 李俊坤 ( 新竹高中 ) 洪正川 林典蔚 ( 新竹高商 ) 新竹縣 : 陳夢綺 陳瑩琪 陳淑婷 ( 竹北高中 ) 苗栗縣 : 廖淑芳 ( 照南國中 ) 台中市 : 阮錫琦 ( 西苑高中 ) 劉雅茵 ( 台中二中 ) 林芳羽 ( 大里高中 ) 洪秀敏 ( 豐原高中 ) 李傑霖 賴信志 陳姿研 ( 台中女中 ) 莊佳維 ( 成功國中 ) 南投縣 : 洪誌陽 ( 普台高中 ) 嘉義市 : 謝三寶 ( 嘉義高工 ) 郭夢瑤 ( 嘉義高中 ) 台南市 : 林倉億 ( 台南一中 ) 黃哲男 洪士薰 廖婉雅 ( 台南女中 ) 劉天祥 邱靜如 ( 台南二中 ) 張靖宜 ( 後甲國中 ) 李奕瑩 ( 建興國中 ) 李建宗 ( 北門高工 ) 林旻志 ( 歸仁國中 ) 高雄市 : 廖惠儀 ( 大仁國中 ) 歐士福 ( 前金國中 ) 林義強 ( 高雄女中 ) 屏東縣 : 陳冠良 ( 枋寮高中 ) 楊瓊茹 ( 屏東高中 ) 黃俊才 ( 中正國中 ) 澎湖縣 : 何嘉祥林玉芬 ( 馬公高中 ) 金門 : 楊玉星 ( 金城中學 ) 馬祖 : 王連發 ( 馬祖高中 ) 附註 : 本通訊長期徵求各位老師的教學心得 懇請各位老師惠賜高見!
7 HPM 通訊第十六卷第九期第七版歐幾里得筆下的尺規作圖 : 以過 P 點作圓外 橢圓外的切線為例陳玉芬新北市明德高中 一 前言有關如何從橢圓外一點作它的切線, 並未被納入中學數學課程 不過, 從圓錐曲線整體結構的觀點來看, 此一問題與其相對於圓的情況, 可以進行相當有趣的連結 因此, 在本文中, 我打算簡要探討此一主題 首先, 我將引述歐幾里得如何在他的 幾何原本 脈絡中, 解決有關圓的情況 然後, 再設法將此一作圖 類比 到橢圓的情況 希望我們所提供的論述, 多少有助於圓錐曲線之切線的相關結構的更全面或系統的理解 二 P 為圓 O 外一點, 作 P 點到圓 O 的切線 針對圓的例子, 我們先引述歐幾里得的尺規作圖, 再對比今日教科書所提供的作圖方法 在 幾何原本 中, 原作圖方式如下 :. 取已知圓的圓心為 E 點 III.. 連接 AE 公設 3. 以 E 為圓心, AE 為半徑, 作同心圓 AFG 公設 3 4. 過 D 點作 DF AE I. 5. 連接 EF AB 公設 6. AB 即為所求 命題 I. : 由已知直線上一點作一直線和已知直線成直角 證明 : 首先, 利用第三卷命題, 找到已知圓的圓心 E, 接著, 使用 ABE FDE, 則 在現今教科書中, 通常都會給圓心, 但在原本中, 圓心需先自行求出
8 HPM 通訊第十六卷第九期第八版 可得到 AB EF, 因為 EB 為半徑, 根據 III.6 得 AB 為圓 E 的切線 以現今教科書上的作圖法為例. 連接 OP 公設. 作 OP 中點 O, 使得 OP OO I.0 3. 以 O 為圓心,OP 為半徑, 作圓 O 且交圓 O 於 A B 二點 公設 3 4. 連接 PA PB 公設 5. AB AC 即為過 A 點到圓 E 上的二條切線 公設 : 由任意一點到任意一點可作直線公設 3: 以任意點為圓心及任意長為半徑, 可以畫圓命題 0: 二等分已知線段 在此作圖方法中, 所有的作圖程序皆為非常基礎的觀念 ( 只運用到公設 3 及第一卷的命題 0) 但此法的證明主要是利用 直徑上所對應的圓周角為直角 的性質, 而這性質歐幾里得卻是放在命題 III. 3, 又此性質的證明, 是要運用到命題 I. 3: 在任意三角形中, 任一外角等於內對角和, 且三角形的三個內角和等於二直角 所以, 依歐幾里得的推理方式, 且他的作圖法 ( 如前頁 ) 也是放在命題 III. 7, 故理論上, 他應該是也可以這樣作圖的, 因為使用到的證明性質亦未有所衝突, 只能說, 也許在當時, 這位大師尚未想到此種更簡易的方式吧! 二 P 為橢圓 O 外一點, 作 P 點到橢圓 O 的切線 III.6 內容 : 由圓的直徑的端點所作直線和直徑成直角, 則直線切於圓
9 HPM 通訊第十六卷第九期第九版 在 幾何原本 中並未找到過 P 點作橢圓外的切線, 因此, 我們只能 模擬 在當下, 歐幾里得是否也是如此操作 :. 假設已找到已知橢圓 ( 如下圖 ). 以 F 為圓心, EF ( 即長軸 a) 為半徑畫圓 F 公設 3 3. 以 P 為圓心, PF 為半徑畫圓 P 並交圓 F 於 A,B 二點 公設 3 4. 連接 AF BF 公設 5. 作 AF 中點 G, 使得 GA GF ; 作 BF 中點 H, 使得 HB HF I.0 6. 連接 PG PH 並延長交於橢圓上的 C D 二點 公設 7. PC PD 即為橢圓上的二切線 簡要證明 :. 因為 PF = PA ( 作圖步驟 3), 所以 PF G PAG (SSS 全等性質 I.8). 得 PGA PGF AGC FGC 3. AGC FGC (SAS 全等性質 I.4) 4. 得 CA CF 5. 假設 AF 交直線 PC 於 C 點, 因為 CF CF CA CF AF a ( 長軸長 ) 所以根據橢圓定義,C 點在橢圓上 6. 又, 假設直線 PC 與橢圓不只相交一點 C, 並設另一交點為 R, R C 則 a RF RF RA RF AF, 矛盾 即直線 PC 與橢圓只有一個交點 C, 故直線 PC 為橢圓之切線
10 HPM 通訊訊第十六卷第九九期第一 版 Dandelin Spheres 證明圓圓錐截痕痕的焦點點性質 蘇惠玉台北北市立西松松高中 目前實施的 99 課綱高中中數學中, 弱化了圓錐錐曲線的單單元, 所謂的的 圓錐截截痕 不再是必須須教授的單單元 各版本課本或數數學教師在在教授時也僅僅是簡單的的陳述平面與與圓錐的截痕何時為圓 橢橢圓 拋物物線或雙曲線線, 基本上上與課本採用用的焦點定定義方式無法法連結, 學生只是是被動地接接受老師所說的與模型型所看到的的曲線名稱而而已 不過過, 藉由 Dandelin 球面的想法, 我們們可將圓錐截痕與焦點點的定義方方式連結, 以一種較為為簡潔的形式, 證明阿波羅尼尼斯在 錐錐線論 中所陳述與證證明的性質質 所謂 Dandelin 球面為比比利時的數學學家與軍事事工程師 G. E. Dandelin( ) 在一篇論文中所提出的的概念, 再加加上另一位位比利時天文文學與數學學家 A. Quetelet 的貢獻獻 在論文中,Dandelin 利用與圓錐錐及平面相切切的球, 可以證明截痕痕的焦點性性質 下面分分別在橢圓 雙曲線與拋物物線的截痕中, 利用 Dandelin 球面來證明 : () 橢圓平面 E 與圓錐錐截出一個個橢圓 Γ, 在圓錐的內內部,E 的上上 下方各各塞一個球, 使得這兩個球 S, S 分別別與平面 E 及圓錐相切, 假設 S 與平面 E 相切於 F, S 與平面 E 相切 於 F,S S 與圓錐相相切得出一圓 C, S 與圓錐相切切得出一圓 C P 為 Γ 上上任一點, 連 PF 連 PF 若過 P 的一條母線分別與圓 C 與 C 相切於 E 與 E 兩點, 因為 PF 與 PE 為球 S 的切線段 長, 所 以 PF = PE ; 而 PF 與 PE 為球 S 的切線段 長, 所 以 PF = PE 因此 PF + PF = PE + PE = EE E 而 E E 為兩球 S S 間的公公切線段長, 為一定值, 與 P 無關 也就是是說, 橢圓圓上任一點 P, 到兩固定點 F, F 的距距離和為一一定值, 並且且此橢圓截截痕的焦點為為這兩個球球面與平
11 HPM 通訊第第十六卷第九九期第一一版 面的切點 () 雙曲曲線平面 E 與圓錐錐截出雙曲線 Γ, 在圓錐的的上下部份份各塞一個球, 使得這兩個個球 S, S 分別與平面 E 及圓錐相 切, 假設 S 與平面 E 相切切於 F, S S 與平平面 E 相切切於 F,S 與圓錐相切得出出一圓 C, S 與圓錐相切得出一 圓 C P 為 Γ 上任一點, 連 PF PF 若過 P 的一條條母線分別別與圓 C 與 C 相切於 E 與 E 兩點, 因為 PF 與 PE 為球 S 的切線段長, 為 所以 PF = PE ; 以 而 PF 與 PE 為球 S 的切線段長, 所以 PF = PE 以 因此 PF - PF = PE - PE = EE E 而 E E 為兩球 S S 間的公切線段段長, 為一一定值, 與 P 無關 也也就是說, 雙曲線上任一一點 P, 到兩兩固定點 F, F 的距離離差為一定定值, 並且此此雙曲線截截痕的焦點為為這兩個球面面與平面的切點 (3) 拋物物線平面 E 與圓錐錐截出一拋物物線 Γ( 平面 E 與拋物物線的一條條母線平行 ), 我們可以以在圓錐內塞塞一個球, 使得這個球 S 分別與平平面 E 及圓圓錐相切, 假設 S 與平平面 E 相切切於 F,S 與圓圓錐相切得出一圓 C,, 圓 C 所在在的平面為 E,E 與 E E 的交線為為 L 設 P 為 Γ 上任一點, 連 PF 過 P 作 L 的垂垂線, 垂足為 H, 又 P 點在平面 E 的垂足為 K, 過 P 的一條母線線與圓 C 交於 M 點,
12 HPM 通訊訊第十六卷第九九期第一二版 因為 PF 與 PM 為球 S 的切線段長, 所以 PF = PM ; 若此此圓錐的軸與母線的夾夾角為 α, 在 PKH 與 PKM 中, PKH= PKM=90 0, KPH= KPM=α, PK = PK 所以 PKH PKM, 可得 PH = PM 故 PF = PH 也就就是說,E 與 E 的交線 L 為此拋拋物線截痕的的準線, 球面 S 與平面面的切點 F 為此拋物線線的焦點, 那麼 PH 為拋物線上上一點 P 到準準線 L 的距距離, 等於 P 點到焦點點 F 的距離 參考文獻 : 磯田正美 M. G. Bartolini Bussi 等編著 (00), 曲線の事事典 性質質 歷史 作作圖法, 東京 : 共立出出版株式會會社 Lui, K.W. (003), Study of Conic Sections and Prime Numbers N inn China: Cultural Influence on The Development, Application and Transmission of Mathematical Ideas, The University of Hong Kong. 網站 :
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 05 學年度第 學期九年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 國中部數學科團隊 本學期學習目標. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係.
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
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-1 點 直線 圓之間的關係 例題 1 切線性質之應用如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點 已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑 隨堂練習 1 如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點 已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答案寫在答案卷上 一 選擇題 ( 每題 5 分, 共 60 分 ) 1.( ) 以下何者不是兩個三角形的全等性質?()
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
第二節 研究方法 本論文第一章 緒論 說明研究動機與目的 研究方法及研究的範圍及限制 並對 飲食散文的義界 作一觀念的釐清 第二章 文獻探討 就將本研究的理 論建構中的概念作釐清 分別為 現代文學 飲食文學的重要論著 等兩個部 分來描述目前文獻的研究成果 並探討其不足待補述的地方 本研究以 文化研 究 為主要研究基礎 統攝整個研究架構 在不同章節裡 佐以相關研究方法進 行論述 茲圖示如下 研究方法
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞
二次曲線 西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞 十七世紀 解析幾何的主要 發現之一 是許多幾何曲線從幾 何的觀點來看似乎是彼此完全不 同的
嘉義市立蘭潭國民中學一百學年度第一學期一年級國文領域課程計畫
嘉義市立蘭潭國民中學 104 學年度第一學期九年級學領域課程計畫 一 學領域每週學習 : 共 二 教材來源 : 翰林版第五冊 九年一貫學領域課程綱要 九年一貫議題融入課程與教學三 課程架構 : 單元主題 第一章 : 比例線段與相似形 單元名稱 1-1 比例線段與圖形的縮放 1-2 相似形 第二章 : 圓的性質 2-1 點 直線 圓之間的關係 2-2 圓心角 圓周角與弦切角 第三章 : 推理證明與三角形的心
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物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 二 版 坦 也 說 : 如 果 歐 幾 里 得 無 法 點 燃 你 年 輕 的 熱 情, 那 麼 你 生 來 就 不 是 一 位 科 學 思 想 家 甚 至 美 國 女 詩 人 米 蕾 (Millay) 頌 揚 歐 幾 里 得 也 稱 讚 : 只 有
HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 版 發 行 人 : 洪 萬 生 ( 台 灣 師 大 數 學 系 教 授 ) 主 編 : 蘇 惠 玉 ( 西 松 高 中 ) 副 主 編 : 林 倉 億 ( 家 齊 女 中 ) 助 理 編 輯 : 李 建 勳 黃 俊 瑋 ( 台 灣 師 大 數 學 所 研 究 生 ) 編 輯 小 組 : 蘇 意 雯 ( 成 功 高 中 ) 蘇 俊 鴻 ( 北 一 女
Foreword (Social Indicators, 2006) (U.S.Census Bureau, Jan, 13, 2015) 第 1 個 1804 第 2 個 1927
CHAPTER 01 1-1 1-2 1-3 1-4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Foreword 1-1 180410 19272 10123 2000 1-1 (Social Indicators, 2006)20154.31.82.4 1-2 (U.S.Census Bureau, Jan, 13, 2015) 1-1 10 10 第 1 個 1804 第 2 個 1927
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
第一章 緒論
8.doc 9483 175-203 中共地方政府 較大的市 建制與地位之探討 摘要 關鍵詞 : 較大的市 設區的市 行政區劃 地級市 地方政府 地方立法 175 壹 前言 1 2 貳 較大的市 設置的背景與意義 1949 10 176 1950 1954 9 20 53 1955 6 9 20 1959 9 17 9 3 1978 177 33 4 5 6 80 7 1976 1979 7 1 20
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
1995年縣市長選舉候選人資歷統計表
第 18 屆縣 ( 市 ) 議員選舉政黨席次統計表 總計 341 235 170 124 1 1 4 1 11 4 14 4 1 0 354 161 臺灣省 306 214 169 123 1 1 4 1 11 4 14 4 1 0 338 155 新竹縣 31 23 6 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 25 9 苗栗縣 22 19 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31
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建國高中 95 課綱選修課程幾何學講義 臺北市立建國高中范文榮老師 ( 本講義內容若有疏漏不妥之處, 敬請各位先進惠賜寶貴意見 ) 全等形及其應用. 定義 : 給定兩個圖形, 把其中一個圖形經過運動 ( 旋轉 平移 對稱 ) 疊放到另一個圖形上面, 若能夠使他們完全重合, 就稱這兩個圖形為全等形 例如 : 兩個半徑相等的圓為全等形 ; 兩個邊長相等的正方形為全等形. 全等形具有下列性質 : () 反身性
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
由於拋物線 ( 一焦點在無限遠處的橢圓 ), 雙曲線 ( 一焦點到無窮遠, 最後從另一邊繞回來的橢圓 ) 的情形皆和橢圓類似, 這裡的圓錐曲線以橢圓作代表來說明研究過程. 首先討論光學性質 : 為何會有光學性質? 如圖 1, F 1, F 2 為兩交點. 過橢圓上一點 A 作切線. 由於切線上任一點
以國中幾何角度看圓錐曲線 廖偉恩 國立台中第一高級中學 Abstract In this project, we study the conic section by the method of elementary geometry. Surprisingly we finally achieve alternative proofs of the famous Brianchon s theorem
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數學傳播 41 卷 4 期 pp. 60-68 五合一定理 蔡聰明 本文我們要證明下列五個幾何定理都是等價的 :1. 畢氏定理 ; 2. 畢氏逆定理 ; 3. 三角形的餘弦定律 ; 4. 圓內接四邊形的餘弦定律 ; 5. 托勒密定理 筆者曾經看過學生這樣論證 : 考慮三邊為 3 4 5 的三角形 因為 5 2 = 4 2 +3 2 所以根據畢氏定理知 此三角形為直角三角形 並且邊 5 所對應的角為直角
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
動態幾何GeoGebra學習教室
動態幾何 GeoGebra 學習教室 (2015.02.06) 官長壽 阿壽工坊 :http://120.101.70.8/longlife/ 阿壽工坊 GeoGebra 學習教室 1 GeoGebra 官網上的檔案分享 GeoGebra Tube: 在官網 :http://www.geogebra.org/cms/, 點一下檔案, 便會到 GeoGebra Tube:https://tube.geogebra.org/
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
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北 年 度 領 參 II 北 III 陸 錄 參 錄 IV V 1 2 3 4 參 錄 5 6 參 錄 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 1 2 28 29 (三) 教學方法 躍華小學語文課程中的第一個板塊 教科書教學採用單元整體教學的思 路 教授一個主題單元時 可以把教學過程分成幾個模塊 自學模塊 字詞
2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計
01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9
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2016 160 8 14 8:00 14:00 1 http://zj.sceea.cn www.sceea.cn APP 1 190 180 2 2 6 6 8 15 2016 2016 8 13 3 2016 2016 2016 0382 2 06 1 3300 14 1 3300 0451 5 01 2 7500 02 2 7500 05 ( ) 1 7500 1156 4 15 2 15000
以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2
1000021 h t t p : / / w w w. k n s i. c o m. t w 248 30 407 40 813 2722F (02)2299-9006 (02)2299-9110. 100 KANG SI 第一期 vol.1 P.2 P.6 P.10 GGBGeoGebra P.13 1 以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2 一 解決過程 : n 二 分析思考路徑
中華民國第 四 十 七 屆中小學科學展覽會
中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書 高中組生物 ( 生命科學 ) 科 040718 光鮮外表下的神秘面紗 - 探討草莓果實生長及其生殖 學校名稱 : 國立鳳新高級中學 作者 : 高二簡溥辰 指導老師 : 王美玲 高二謝宜芬 高二歐盈佛 高二陳柏維 關鍵詞 : 草莓 (Fagaria sp. ) 果實發育 (fruit develop) 萌芽 (germination) ~
Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt
4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
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...1-9 ()...10-11 01 094-910201A...12-16 02 094-910202A...17-21 03 094-910203A...22-26 04 094-910204A...27-31 B 6-2 01 094-910201B...32-36 02 094-910202B...37-41 03 094-910203B...42-46 C 6-3 01 094-910201C...47-51
三期四期執行報告.PDF
. 1. 1. 2. 2. 5. 7. 8. 9. 9 11 11 11 12 12 13 13 14 15 15 16 16 16 17 18 19 21.. 21.. 24 27.. 28 195 .. 277.. 279.. 279.. 280.. 280.. 283.. 287.. 287.. 287.. 288.. 290.. 293 294 299.. 303.. 303.. 303..
現在人類獲取地球內部訊息的方法, 是從可能影響我們身家性命安全的地震, 用數學模型把地震資料轉換成地震波速度, 進而獲得地底物質密度與深度的關係 地下世界知多少 km/s g/cm 3 P Gpa km S P S 3,000 3,000 ak K 透視地底 Percy Bridgma
透視地球深處 的窗戶? extreme condition extreme environment 94.5 1 270 21 3.9 12.3 6,400 300 4,000 1864 Jules Gabriel Verne 1959 2008 1990 Paul Preuss 2003 24 2013 2 482 現在人類獲取地球內部訊息的方法, 是從可能影響我們身家性命安全的地震, 用數學模型把地震資料轉換成地震波速度,
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2016 148 1 8 7 08:00 16:00 http://zj.sceea.cn www.sceea.cn APP 1 2 2 6 6 2016 2016 8 6 3 2016 2016 2016 0366 1 03 1 0391 2 54 ( ) 2 1256 7 02 1 03 1 07 2 18 2 21 1 1314 1 36 1 14000 / 20 1316 7 00 1 09
課程計畫一覽表
高雄市立明義國民中學 106 學年度第一學期九年級數學領域課程計畫 學習總目標 : 1. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係 4. 能了解圓心角 圓周角 弦切角 圓內角 圓外角與弧的關係 5. 能知道圓的線段乘冪性質 6. 能利用已知的幾何性質寫出幾何證明的過程
CO 2 以鄰為壑的台灣建築產業
6 20114460台灣綠建築政策的成就 台灣的建築產業消耗了大量的水泥, 也排放了很多的營建廢棄物, 建築物的壽命卻嚴重偏低 建築的環保時代已來臨 1992 199212United Nations Commission on Sustainable Development, UNCSD1998 1996 CO 2 以鄰為壑的台灣建築產業 27.22 34 1 6 20114460 7 8 201144604
九十六學年度第一學期第三次定期考國文科試題
凡 答 案 卡 上 因 個 人 基 本 資 料 畫 記 錯 誤 或 不 完 全, 造 成 讀 卡 過 程 無 法 判 定 身 分 者, 本 科 此 次 定 期 考 分 數 扣 3 分 一 單 選 題 ( 每 題 2 分 )36% 1.( 甲 ) 乃 覺 三 十 里 :ㄐㄩㄝˊ( 乙 ) 經 宿 方 至 :ㄙㄨˋ( 丙 ) 乾 癟 :ㄅㄧㄢˇ( 丁 ) 垂 髫 : ㄊㄧㄠˊ( 戊 ) 一 綹 短 髮
和的公式 3. 能理解等差級數求和的公式. 能利用等差級數公式解決日常生活中的問題 能解決生活中相關的問題 性平教育 討論. 作業 二親師座談會 3/5-3/9 2-1 生活中的平面圖形 1. 能了解生活中的平面圖形 : 三角形 多邊形 正多邊形及圓形 2. 能認識點 線 線段 射線 角 三角形及其
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 106 學年度第 2 學期 年級學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書版本 : 翰林版 編撰教師 : 鄭宛尹 吳奈曄 洪梅君 本學期 : (以條列式文字敘述) 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積
縣 94 學年度 上 學期 區 國民中學 Q 年級 R 領域教學計畫表 設計者：
高雄市立茄萣國中國中 103 學年度第一學期八年級 英文補救教學彈性學習課程計畫表 一 教材來源 : 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 ( 20 ) 節 三 各單元內涵分析 : 週次 第一週 第二週 第三週 第四週 9/1 9/5 9/8 9/12 9/15 9/19 9/22 9/26 Lesson1 ( 一 ) Lesson1 ( 一 ) Lesson2 ( 二 ) Lesson2
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2016-2017年度 enquiry@heepwoh.edu.hk PDF processed with CutePDF evaluation edition www.cutepdf.com 目 錄 一 本校辦學團體...P. 3 二 中華基督教會香港區會教育事工部組織架構...P. 3 三 願景 使命及核心價值...P. 3 四 辦學宗旨...P. 3 五 校徽 校訓...P. 3 六 校歌...P.
的友誼 而且無論外貌怎樣改變 自信心是自己給自己的 發自內心 的自我認同感是無法改變的 只要自我認同才能得真正的心靈富足 而不是單純的改變外表 不同的整容公司亦會利用現今社會的價值觀來作宣傳 誇大整容 後的效果 又用明星效應 令消費者認為整容真的能變成明星一樣 整容這個風氣是由人們的價值觀造成的 有人指出 我們要接納 整容後的人以及香港社會應對此持更開放的態度 但相反地 為什麼 不能接納那些我們認為不
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
2-1-3 知道切線 切點 割線 切線段長的意義 2-1- 設圓 O 半徑為 r,o 到直線 L 的垂足 P, 知道 : 當圓 O 到 L 不相交時, OP >r 當 L 為圓 O 的割線時, OP <r 當 L 為圓 O 的切線時, OP =r 11/
C13 各年級領域課程計畫臺南市立玉井國民中學 107 學年度第 1 學期九年級南一版數學領域學校課程計畫 ( 一 ) 九年級上學期之學習目標 1. 能理解平面上兩平行直線的各種幾何性質 (S--07) 2. 能理解線對稱圖形的幾何性質, 並應用於解題和推理 (S--08) 3. 能理解特殊四邊形 ( 如正方形 矩形 平行四邊形 菱形 梯形 ) 與正多邊形的幾何性質 (S--13). 能理解圖形縮放前後不變的幾何性質
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國立臺灣師範大學 National Taiwan Normal University 2011 春季班赴外交換生手冊 Outbound Exchange Student Handbook 國立臺灣師範大學國際事務處 Office of International Affairs 國立臺灣師範大學國際事務處 Office of International Affairs Tel:+886-2-7734-1282
05. = 8 0. = 5 05. = = 0.4 = 0. = 0.75 6. 5 = 6 5 0 4 4-6 4 8. 4 5 5 + 0.9 4 = 84 5 9-6 + 0 0 4 5 4 0 = 0-5 + = + 0-4 0 = 0-4 0 = 7 0.5 [ 9 6 0.7-0.66 ] 4.9 = 9 9 7 49 [ ] 0 50 0 9 49 = [ ] 9 5 0 = 49
HPM 通訊第十五卷第十二期第二版 c x x ) 1, c y y 1) 1 由於這個點一定會落在直線 1 ) ) 1 c c x y, 而且此一直線 方程式 ) 只與原直線的斜率 有關, 而與其截距 c 無關, 因此, 得證此一平行弦的中點, 都落在最後這一條通過橢圓中心的直線上 圖一三 仿射變
HPM 通訊第十五卷第十二期第一版 發行人 : 洪萬生 台灣師大數學系退休教授 ) 主編 : 蘇惠玉 西松高中 ) 副主編 : 林倉億 台南一中 ) 助理編輯 : 黃俊瑋 台灣師大數學所研究生 ) 編輯小組 : 蘇意雯 台北市立教育大學 ) 蘇俊鴻 北一女中 ) 黃清揚 福和國中 ) 葉吉海 陽明高中 ) 陳彥宏 成功高中 ) 陳啟文 中山女高 ) 王文珮 青溪國中 ) 黃哲男 台南女中 ) 英家銘
Chapter 3 Camera Raw Step negative clarity +25 ] P / Step 4 0 ( 下一頁 ) Camera Raw Chapter 3 089
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Photoshop CC Camera Raw Photoshop Camera Raw Step 1 3 1 2 3 SCOTT KELBY Step 2 B Camera Raw 088 Chapter 3 Camera Raw Chapter 3 Camera Raw Step 3-4 -100 negative clarity +25 ] P / -75-50 Step 4 0 ( 下一頁
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
週次 期間或備註四3/3 3/7 3/10 3/1 8-s-01 8-s-02 8-s-20 8-s-21 8-s-01 8-s-02 8-s-06 8-s-1 8-s-20 8-s 生活中的平面圖形 2-1 生活中的平面圖形 2-2 垂直 平分與線對稱圖形 1. 能了解生活中的平面圖
台南市私立瀛海中學 102 學年度第二學期二年級 數學 學習領域課程計畫 一 二年級下學期之學習目標 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積 5. 了解三角形的基本性質 : 內角與外角 內角和與外角和 ( 推導至多邊形 ) 全等性質
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 =. 求 log ( + + )? π 6. 設 0 < θ <, 且 si
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c
Bshing Geometry with Comple Numbers Evn Chen 陳誼廷 5 月 2 日 24 年 We show how comple numbers cn be used to solve geometry problems 複數的平面 令 C 和 R 分別為複數和實數的所形成的集合 每一個複數 z 可寫成 z + bi r cos θ + i sin θ) re iθ
3-2 連比例 連比的運算性質 a b c 0 a b c (a m) (b m) (c m
114 3-2 連比例 1 連比與連比例式 2 應用問題 主題 1 連比與連比例式 12 15 3 6 15 3 6 15 3 6 連比 15 3 6 15 3 3 6 15 6 600 120 15 3 6 7 2 1 3-2 連比例 115 24 2 30 6 12 4 1 3 5 1 2 12 24 4 15 3 6 30 6 12 5 1 2 15 3 6 30 6 12 15 3 6 5
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
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一 二 1. 複習國中三角形相似的性質 1. 正弦 餘弦與 講義 習作 紙筆 生命教育 2. 由相似直角三角形邊長成比例, 引進 正弦 餘弦 正切的定義 測驗 正切 的概念 2. 正弦 餘弦與 3. 了解銳角的正弦與餘弦, 皆介於 0 與 1 之間 正切的關係 第一章三角. 給定銳角 θ, 由直角三角形的邊長, 求出 sinθ cosθ 3. 正弦 餘弦與 1-1 直角三角形的邊角關係 tanθ 正切的增減
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一年二班 A081. 生活實業家 音樂教室三 一年二班 A071. 民主審議與公民行動 5F 多功七 一年二班 F191. 插畫設計與版畫創意 4F 圖書館 一年二班 A081. 生活實業家 音樂教室三 一年二班 C091. 打開潘朵拉的盒
107 學年度第一學期高一跨班 / 跨校選修課程 - 選課結果 班級 座號 科目 教室 一年一班 01 107A051. 探索生命世界的數學祕密 你我都是公民科學家 生物實驗室 一年一班 02 107F181. 動畫設計與邏輯思考 4F 圖書館 一年一班 03 107B111. 中崙趴趴 GO 廟宇篇 6F 多功能群組教室 一年一班 04 107B111. 中崙趴趴 GO 廟宇篇 6F 多功能群組教室
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
圓錐曲線
圓錐曲線 ( x h) ( y k) = ( ) x h ( y k ) = ( y k) = 4 c( x h) 姓名 : 二元二次方程式 二元二次方程式的圖形與圓錐截痕 x xy cy d x ey f = 直圓錐面 :( 如圖 ) 設 L 與 M 為兩相交但不垂直的直線, 的圖形稱為二次曲線 將 L 固定而 M 繞 L 旋轉一周, 則直線 M 旋轉所成的曲面, 就是直圓錐面 L 其中 : 交點
1970 新技術的應用 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X
凡發生過的必留下痕跡 同位素分析的考古應用? 如何考古 06 2013 9 489 經由人骨中碳和氮同位素的分析, 提供考古學家另一個探討古代攝食系統的途徑 另外, 可以藉由鍶同位素分析了解人群的來源與遷移過程 1970 新技術的應用 13 15 13 12 15 14 13 15 13 12 15 13 15 13 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X 2013 9 489 07 δ
,,!!!?,?,!,,,,,,,,,,!,,, : 1 ,,,,!, :, :,?,,,, 2 ( 1 ) 7 0 ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) ( 14 ) ( 15 ) ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 21 ) ( 22 ) ( 23 ) ( 25 ) ( 26 ) ( 27 ) ( 29 ) ( 30 ) ( 31 ) ( 32 ) ( 33 ) ( 34 ) (
HM 通訊第十七卷第十期第二版例 2: 袋中有 個紅球與 個白球與 個黑球, 今從袋中每次取一球, 取後不放回, 請問紅球比白球或黑球先取完的機率? 解法 : ) ( ) ( 紅球比黑球先取完紅球比白球先取完完紅球比白球或黑球先取 ( 完 ) 紅球比白球且黑球先取 圖二代表三個集合的排容原理, 即
HM 通訊第十七卷第十期第一版 發行人 : 洪萬生 ( 台灣師大數學系退休教授 ) 主編 : 蘇惠玉 ( 西松高中 ) 副主編 : 林倉億 ( 台南一中 ) 助理編輯 : 黃俊瑋 ( 台灣師大數學所研究生 ) 編輯小組 : 蘇意雯 ( 台北市立教育大學 ) 蘇俊鴻 ( 北一女中 ) 黃清揚 ( 福和國中 ) 葉吉海 ( 陽明高中 ) 陳彥宏 ( 成功高中 ) 陳啟文 ( 中山女高 ) 王文珮 ( 青溪國中
10 6, 地球的熱循環
52 2013 4 484 人類活動與 地球熱循環 46 不斷追求進步的我們, 殊不知在迅猛發展的同時, 已經陸續對地球的整個環境生態引爆一顆顆不定時炸彈, 所造成的傷害正逐漸擴大並增強中 10 6,000 500 地球的熱循環 3 2013 4 484 53 54 2013 4 484 工業革命後, 人類活動產生的熱迅速增加, 使地球原本趨於最適合人類活動的熱平衡必須重新調整 環境變遷 18 280
3-4二階方陣對應的平面線性變換
第四冊數學講義 第四章圓錐曲線 4 0 圓錐曲線名詞由來 4 拋物線 4 橢圓 4 3 雙曲線 班級 : 座號 : 姓名 : 好棒個數 : 簽名 : 4-0 圓錐曲線名詞由來. 圓錐空間中, 取兩條交於一點 V 的直線 L 與 M, 它們的夾角為 ( 0 90 ), 將直線 M 繞著 L 旋轉一圈使其夾角 保持不變, 直線 M 所掃出的曲面稱圓錐面 V 稱為頂點 稱為頂角 M 稱為母線 L 稱為中心軸.
老年性生理學和老年的性生活 老 和 第四年齡 概念 有不一致, 讀者可自參考, 本書不再多引
第一章導言第一章 導 言 1-1 人一生的年齡變化和老年的概念 1994 0 14 15 6465 20 WHO 44 45 59 60 74 1 1 有人把 65-74 歲稱為 青老年,75-84 歲稱為 中老年,85 歲以上稱為 老老年 ( 鈕則誠,2006); 有人把 65-74 歲稱為 年輕老人期 (the youngold),75-84 歲稱為 中度老人期 (moderately),85
專題研究 大陸中央與地方關係改革現狀與問題 政治學研究 毛澤東思想研究 台聲. 新視角
第 6 卷第 1 期中華民國 97 年 1 月 大陸中央與地方關係改革 現狀與問題 Current Situations and Problems of the Central-Local Relation Reforms in China 林文軒 (Lin, Wen-Hsuan) 中國文化大學中山學術所博士生 1 摘要 關鍵詞 : 權力下放 職能轉換 地方主義 部門利益 壹 前言 1 76 吉首大學學報
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
總複習教材
06 學年度四技二專統一入學測驗數學 (C) 試題 數學 C 參考公式及可能用到的數值. 三角函數的和角公式 : tnα+tnβ tn(α+β)= - tnα tnβ. ABC 的正弦定理 : = sin A. ABC 的面積 = b sin C b sin B = c sinc +b+c 4. ABC 的面積 =sr, 其中 s=,r 為內切圓半徑 =R, 其中 R 為外接圓半徑 5. 若 α β
b4c1
第一章圓錐曲線 第一類大學入學試試題評量 1. 若函數 f (x) = ax + bx + c 的圖形如右圖, 則下列各數那些為負數? ( 多選 ) (A) a (B) b (C) c (D) b 4ac (E) a b + c 8 年. 已知等軸雙曲線 Γ 的一條漸近線為 x y = 0, 中心的坐標為 (1, 1), 且 Γ 通過點 (, 0) 試問下列敘述那些是正確的? (A) Γ 的兩條漸近線互相垂直
54 9 72 1. 9A 83 1. = 1 2. = 4 2. 3. = 2 3. 4. = 2 5. = 4 4. 5. 3 6. 4 7. 3 8. 6 6. = 6 7. = 1 8. = 4 9. (a) (b) 10. 9. a 5 6 ` = 11 10. 9 11. a F + V - E = 5 + 6-9 = 2 ` 55 11. 13. 12. 56 9 5. 6. 14.
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 目 錄 壹 考 選 依 據 1 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 1 參 資 格 規 定 1 肆 員 額 及 專 長 類 別 2 伍 報 名 及 選 填 志 願 日 期 方 式 3 陸 選 填 官 科 (
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 期 程 表 日 期 執 行 項 目 3 月 1 日 (8 時 起 ) 至 3 月 21 日 (17 時 止 ) 網 路 報 名 並 完 成 列 印 3 月 22 日 (17 時 止 ) 各 校 承 辦 人 員 收 報 名 件 截 止 3 月 30 日 4 月 11 日 5 月 18 日 5 月 27 日 (17
Microsoft PowerPoint - SAGE 2010
SAGE Journals Online -Communication Studies 大綱 SAGE 簡介 Communication Studies 收錄內容 SJO 平台功能介紹 首頁 瀏覽功能 檢索功能 進階服務 SAGE Content 超過 520 種人文 社會科學 理工 科技領域電子期刊 SAGE 與超過 245 個國際知名的學會合作 ( 包括 American Sociological
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數與代數 : 1 指數運算 : 1 n 1. n = m n n n m. = ( ) = m 其中 0,m 是整數,n 是正整數 多項式 : 餘式定理 因式定理 多項式 f ( x) 除以 x, 所得餘數 R 等於 f ( ) n m 多項式 f ( x) 除以 mx n, 所得餘數 R 等於 f n m 若 f ( x) 為多項式且 f = 0, 則 mx n是 f ( x) n 反之, 若 mx
國中數學基本學習內容補救教材 第五冊
五 -1 單元五直線與圓及兩圓的關係 主題一點與圓的關係 校慶來臨, 小欣的班上決定擺設射飛鏢遊戲的攤位, 製作了一個半徑為 20 公分的圓作為鏢靶 遊戲規則未射中圓形鏢靶得 0 分射中圓形圓形標靶內部得 5 分恰好射中圓形標靶外框得 10 分 小欣 自己試玩 4 次, 結果落在點 A B C D( 如圖 ), 其中 的 D 點因圓沒畫完, 看不出 D 點的位置是在圓內, 圓上還是圓 外, 因此請小蘋
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 一 乙 丁 七 乃 九 了 二 人 儿 入 八 几 刀 刁 力 匕 十 卜 又 三 下 丈 上 丫 丸 凡 久 么 也 乞 于 亡 兀 刃 勺 千 叉 口 土 士 夕 大 女 子 孑 孓 寸 小 尢 尸 山 川 工 己 已 巳 巾 干 廾
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｂ Ｃ Ｄ ± Ｅ Ｆ A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 兙 兛 兞 兝 兡 兣 嗧 瓩 糎 0 Ｂ 9 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ｃ Ⅷ Ⅸ Ⅹ 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十 卄 卅 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ Ｊ Ｋ Ｌ Ｍ Ｎ Ｏ Ｐ Ｑ Ｅ Ｒ Ｓ Ｔ Ｕ Ｖ Ｗ Ｘ Ｙ Ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｇ Ｆ ｈ ｉ
中國大陸輔助警察制度的問題與法制化研究 以 蘇州市警務輔助人員管理辦法 為例 專題研究 壹 前言 一 文職雇員
PROSPECT EXPLORATION 第 10 卷第 9 期中華民國 101 年 9 月 中國大陸輔助警察制度的問題與法制化研究 以 蘇州市警務輔助人員管理辦法 為例 A Research on the Issue Concerning Assistant Police in Mainland China and its Regulation: Suzhou as an Example 陳銘聰
基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本
基本數學數學核心能力測驗 G2 行為觀察記錄記錄紙 學校 : 班級 : 姓名 : 日期 : 記錄者 : ~ 學生作答時, 請他 ( 她 ) 將雙手皆置於桌面 ~ 認識數字 ( 三 ): 數列 ( 共 1 頁 ) 注意事項 逐題觀察並作底下記錄, 等分測驗做完後, 每一個策略任選一題問 這一題你是怎麼算的? ( 如果只運用一種策略, 則再任選 2-3 題訪問 ) 利用學生的回答來作為 自己觀察記錄的證據
Ps22Pdf
: : : ( CIP) /. :, 2007. 1 ( ) ISBN 978-7 - 80178-435 - 3......... - -. K892 CIP ( 2007 ) 000250 : : : : : 2007 1 1 2007 1 1 : 880 1230 : 100 : 1500 : 3000 : 268. 00 ( : 26. 80 ) : 41 : 100009 : 84044445
SIK) 者, 需 實 施 1 年 以 上, 經 體 格 檢 查 無 後 遺 症 者 5. 身 體 任 何 部 分 有 刺 青 紋 身 穿 耳 洞 者, 不 得 報 考, 各 項 檢 查 結 果 須 符 合 體 位 區 分 標 準 常 備 役 體 位 二 在 校 軍 訓 成 績 總 平 均 70 分
民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 壹 依 據 : 依 民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 計 畫 辦 理 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 : 具 中 華 民 國 國 籍, 尚 未 履 行 兵 役 義 務 之 役 男, 年 齡 在 32 歲 ( 民 國 70 年 1 月 1 日 以 後 出
50~56 I1. 1 A 2 3 I2. I2a. 1 2 3 4 5 ( ) I2b. 1 2 3 I2b1. 4 5 ( ) I3. 11 12 02 ( ) 1 2 (24 ) A1. 0 1 A2 A1a. ( ) A2. ( ) () () ( ) ------------------------------------------------------------------------------------------
男人的大腦 女人的大腦
46 2014 6 498 男女大乾坤 男女的戀愛行為 男人的大腦 女人的大腦 2014 6 498 47 48 2014 6 498 女人的戀愛行為 70 900 男人的戀愛行為 8 2014 6 498 49 50 2014 6 498 對於愛與性的混淆 男女所面臨的問題 和我一樣喜歡做愛除了我, 不可以看別人相信我, 沒有問題現在, 和我做愛知道如何引燃我從不傷害我 朋友關係和性 嫉妒和占有欲
第五週 第六週 第七週 第八週 第九週 3/8-3/ 14 3/17-3 /21 3/24-3 /28 3/31-4 /4 4/7-4/ 11 第二章平面幾何圖形 2-1 平面圖形 (1) 第二章平面幾何圖形 2-2 垂直 平分與線對稱 (1) 第一次段考第二章平面幾何圖形 2-3 尺規作圖 (1)
高雄市立蚵寮國中 102 學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 南一版第四冊 ) 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 (20) 節 三 各單元內涵分析 : 週次第一週 第二週 第三週 第四週 2/11-2 /14 2/17-2 /21 2/24-2 /28 3/3-3/ 7 教材準備週 第一章數列與等差級數 1-1 數列 (1) 第一章數列與等差級數
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C4 彈性學習課程計畫 臺南市私立港明中學國中部 07 學年度第 學期九年級彈性學習統整數學課程計畫 教材來源數學科教學研究會規劃者數學科教學研究會 教學節數 學期目標 / 學習目標 能力指標 每週 () 節本學期共 (9 9) 節. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成 比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
日中秋節 9/ 日國慶日 日段考 ( 一 ) /1
一 九年級第一學期之學習目標 二 九年級第一學期之各單元內涵分析 臺南市仁德國民中學 107 學年度第一學期九年級數學領域康軒版課程計畫 1. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係 4. 能了解圓心角 圓周角 弦切角 圓內角 圓外角與弧的關係 5.
愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 以及面對這一連串以 責任 為架構衍生出來的愛滋政策如何造就了台灣現在的愛滋處境
愛滋治理與在地行動 愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 王蘋 ( 主持人 ) 張正學 愛滋 ( )15 愛滋 185 愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 以及面對這一連串以 責任 為架構衍生出來的愛滋政策如何造就了台灣現在的愛滋處境 2011 186 愛滋治理與在地行動 責任 (MSM) MSM 2011 2 187 愛滋實務與治理的政治 - 綜合論壇 粗糙的年齡劃分 ISO( ) ( :. )!!
Microsoft Word - V1_2010513_王翔会计习题课二.docx
2015 注 册 会 计 师 会 计 习 题 班 二 王 翔 肆 大 会 计 高 级 培 训 师 第 二 章 金 融 资 产 1.A 公 司 于 2013 年 1 月 2 日 从 证 券 市 场 上 购 入 B 公 司 于 2013 年 1 月 1 日 发 行 的 债 券, 该 债 券 3 年 期, 票 面 年 利 率 为 4.5%, 到 期 日 为 2016 年 1 月 1 日, 到 期 日 一
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試題分析 公民與社會考科 新竹女中 蔡相廷老師 試題分析 壹 前言 : 命題特色概述 103 1, 貳 試題分布與命題重點 L2 L6 2 L8 4 L6 2
新竹女中 / 蔡相廷老師臺南一中 / 廖翠雰老師 試題. 答案 依據大考中心公布內容 發行人 / 陳炳亨總召集 / 周耀琨總編輯 / 蔣海燕編審 / 許明俊校對 / 何秀云 蔡宛諭 葉俊甫美編 / 黃素美 本書內容同步刊載於翰林我的網 出版 / 民國一 三年七月發行所 / 7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號編輯部 / 7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8-1 號電話 /(06)2619621#
攜手拼出圓滿的幸福 2
國立台灣師範大學家庭教育研究與發展中心編撰教育部出版中華民國 96 年 9 月 攜手拼出圓滿的幸福 2 國立台灣師範大學 家庭教育研究與發展中心主任 林育瑋 3 目錄 幸福拼圖 序文...p.2 引言 能和心愛的人共度一生, 就是最大的幸福!...p.6 幸福方程式 : 我 + 你 = 幸福關鍵一 我...p.10 關鍵一 你...p.20 關鍵一 +...p.28 如果你還想知道更多撇步 附錄一...p.48
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C3特教班學習領域課程計畫
臺南市 ( 安平 ) 國民中學 (103) 學年度第 ( 二 ) 學期學習中心學習課程計畫表 組別 : 二 A 教學者 : 王聰榮 每周教學節數 :3 數學 8-n-05-1 能辨識出等差數列的公差 8-n-05-2 能熟練計算出簡單數列的等差中項 8-n-05-3 能熟練使用等差數列的標準公式, 計算出等差數列的一般項 8-n-06-1 能解釋出等差級數為等差數列的總和 8-n-06-2 能熟練等差級數的標準公式
日補課 10/9 4 日中秋節放假 9 日彈性放假 10 日國慶
一 九年級第一學期之學習目標 台南市仁德國民中學 106 學年度第一學期九年級數學領域南一版課程計畫 1. 能理解平面上兩平行直線的各種幾何性質 (S-4-07) 2. 能理解線對稱圖形的幾何性質, 並應用於解題和推理 (S-4-08) 3. 能理解特殊四邊形 ( 如正方形 矩形 平行四邊形 菱形 梯形 ) 與正多邊形的幾何性質 (S-4-13) 4. 能理解圖形縮放前後不變的幾何性質 (S-4-14)