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8// Chpter 4 廣義向量空間 4. ~ 4.4 Prt A 4. 廣義向量空間及子空間 4 4. 線性組合 4. 線性相依與線性獨立 4.4 基底性質 Ch4A_

8// 定義 : 4. 廣義的向量空間 向量空間 V 為對 向量加法 與 純量乘積 二種運算均有定義, 且滿足所有下列公理之一組元素 ( 即向量 ) 所構成的集合 ( 以下 u, v, w 為 V 之任意向量, 而, d 則為純量 ) 封閉公理. u v 存在, 且仍為 V 的一個元素 ( 即 V 對向量加法封閉 ). u 為 V 的一個元素 ( 即 V 對純量乘積封閉 ) Ch4A_ 向量加法公理. u v v u( 交換律 ) 4. u (v w) (v u) w( 結合律 ) 5. V 中存在有一零向量 (zero vetor), 註記為, 使得 u u 6. V 中每一元素 u, 均存在有另一元素 u, 使得 u (u) 純量乘積公理 7. (u v) u v 8. ( d)u u du 9. (du) du. u u Ch4A_4

8// 矩陣向量空間將矩陣 M 之元素以向量表示, 令, d u h g f e v 為二個任意 矩陣, 則公理 : u v 仍為 矩陣, 因此 M 為加法封閉 g h d g f e h g f e d v u Ch4A_5 公理 及 4: 由理論. 可知, 矩陣具加法之交換性及結合性 公理 5: 的 矩陣為, 而 矩陣向量空間 u u d d 公理 6: u u u u ) ( 而, 則, 若 d d d d d d Ch4A_6 d d d d M m,m 矩陣組成的集合為一向量空間

8// 函數向量空間 逐點加法 (poitwise dditio): 令 f 及 g 為 V 中二任意元素, 定義此二函數之加總 ( 即 f g) 為表示如下之函數 (f g)() f() g() 逐點純量乘積 (poitwise slr multiplitio): 令 為任意純量, 則 f 之純量乘積 f 可由以下函數定義, (f )() [f()] 公理 : f g 定義為 (f g)() f() g(), 因此 f g 為一個論域包含所有實數的函數, 亦即 f g 亦為 V 之元素, 因此 V 對加法封閉 公理 : f 定義為 (f )() [f()], 因此 f 為一個論域包含所有實數的函數, 亦即 f 亦為 V 之元素, 因此 V 對純量乘積封閉 Ch4A_7 函數向量空間 公理 5: 令 為對所有 均使得 () 之函數, 稱為零函數 (zero futio), 則對所有 而言 ( f )() f()() f() f() 因此對所有 而言, 函數 f 之數值均與 f 相同, 亦即 f f, 則 為零函數 公理 6: 考量定義為 (f )() [ f() ] 之函數 f, 我們須證明 f 為 f 之負函數 [ f ( f )( )] f ( ) ( f )( ) f ( ) [ f ( )] ( ) 因此對所有 而言, 函數 [f (f )] 之數值均與 相同, 亦即 [f (f )], 則 f 為 f 之負函數 Ch4A_8 4

8// 複數向量空間 C 令 C 之加法運算及純量 ( 複數 ) 乘積運算定義如下 ( u, u) ( v, v) ( u v,, u v ( u,, u ) ( u,, u ) ( ) Ch4A_9 Theorem 4. 令 V 為一向量空間,v 為 V 中之任意向量 為 V 之零向量 為一純量 而 為純量零, 則 () v () () (-)v -v (d) 若 v, 則 或 v. Proof () v v ( )v v (v v) (-v) v (-v) v [(v (-v)], v, v () (-)v v (-)v v [(-) ]v v Ch4A_ 5

8// 定義 : 4.4 子空間 令 V 為一向量空間,U 為其非零子集合, 若 U 對加法運算及純量乘積運算均具封閉性, 則其為 V 之子空間 (suspe) 若 U 對加法運算及純量乘積運算均具封閉性, 則其為 V 之子空間, 並 承襲 V 之其他向量空間性質 Emple : 令 U 為 R 中所有具形式 (,, ) 之向量所成的子集合, 試證明 U 為 R 之子空間 Solutio 令 (,, ) 與 (,, ) 為 U 之二任意向量, 而 k 為純量, 則有 (,, ) (,, ) (,, ) U k(,, ) (k,, ) U 即向量加法與純量乘積的結果均仍屬於 U, 因此 U 為 R 之子空間 Ch4A_ Emple 令 W 為 R 中所有具 (,, ) 形式之向量所成的子集合, 試證明 W 為 R 之子空間 Solutio 令 (,, ) 與 (,, d) 為 W 之二任意向量, 則有 (,, ) (,, d) (,, d) (, ( ), d) 因此 (,, ) (,, d) 不是 W 之元素, 意即 W 未具向量加法封閉性, 所以 W 不是一個子空間 Ch4A_ 6

8// Emple 考量以行向量形式表示之 R 空間, 令 U 為具形式之向量所成之子集合, 試問 U 是否為 R 之子空間? Solutio 令 與 為 U 之元素, 二向量相加, 則得 結果向量中的第 元素 ( ) 為第 元素的 倍, 而第 元素則為第元素的 ( ) 倍, 因此加總的結果仍 令 k 為一純量, 則在 U 中 k 結果向量中的第 元素為第 k k 元素的 倍, 而第 元素則為 k 第 元素的 倍, 即純量乘積 的結果仍在 U 中可知 U 是一個向量空間 Ch4A_ Emple 4 試證明 對角矩陣所成的集合 U, 為向量空間 M 之子空 Solutio 間 () 考量下列二對角矩陣 p u 及 v q 則 p p u v q q 即 u v 仍為一 對角矩陣, 當然亦為 U 之元素, 所以 U 具加法封閉性 () 令 為純量, 則 u u 為一 對角矩陣, 亦為 U 之元素, 所以 U 具純量乘法封閉性 U 為向量空間之子空間, 即其為包含於之矩陣向量空間 Ch4A_4 7

8// 8 Emple 5 令 P 為所有小於等於 次之多項式函數所成的集合, 試證明若函數之加法及純量乘積均係以單點之方式 (poitwise) 定義, 則 P 為一向量空間 Solutio Solutio 令 f 與 g 分別為 P 之任意二元素, 其中... ) (... ) ( g f g f g)() (f ) ( ) ( () Ch4A_5 P g f g)( ) (f ) ( ) (... ) ( ) ( ]... [ ]... [ ) ( ) ( ) ( ()... ]... [ )] ( [ ) )( ( f f 可知為小於等於 次之實數函數, 即 f 亦為 P 之元素, 所以 P 滿足純量乘法封閉 由 () 及 (), 我們已經證明向量空間 V 之子集合 P 確具向量加法及純量乘法封閉性, 因此其為 V 之子空間, 當然也就是一個向量空間 Ch4A_6 個向量空間

8// Theorem 4.6 令 U 為向量空間 V 之子空間, 則 U 包含 V 之零向量 Proof 令 u 為 U 之一任意向量, 為 V 之零向量, 而 則為純量, 由理論 4.() 可知 u, 而因 U 對純量乘量乘法封閉, 因此 必定在 U 之中 Ch4A_7 Emple 6 令 W 為所有具 (,, ) 形式之向量所成的集合, 試證明不是 R 之子空間 Solutio 檢視是否 (,, ) 在 W 之中, 即檢視是否有特定 值使得 (,, ) 等於 (,, ) 將兩者相等, 則有 比對項次可得 (,, ) (,, ) 及 上式顯然無解, 因此 (,,) 並非 W 之元素, 亦即 W 並非 R 之子空間 Ch4A_8 9

8// 定義 : 4. 線性組合 令 v, v 為向量空間 V 之向量, 則稱 V 之任意向量 v 為 v, v 之線性組合 (lier omitio), 若存在有一組純量,,, m, 使得 v v v m v m Emple 向量 (5, 4, ) 為 (,, ), (,, 4) 及 (,, ) 之線性組合, 因為它可以被表示成 (5, 4, ) (,, ) (,, 4) (,, ) Ch4A_9 Emple 試問向量 (, 5, 9) 是否為 (,, ), (,, 4) 及 (,, 8) 等向量之線性組合 Solutio 檢視下列等式, (,, ) (,, 4) (,, 8) (, 5, 9) 是否為線性組合之關鍵, 在於我們能否找到合適的純量, 及 使得上式成為恆等 (,, ) (,, 4) (,, 8) (, 5, 9) (,, 4 8) (, 5, 9) 5,, 4 8 9 因此 (,, ), (,, 4) 及 (,, 8) 等向量依下列式組合成向量 (, 5, 9), 即向量 (, 5, 9) 為 (,, ), (,, 4) 及 (,, 8) 等向量之線性組合, (, 5, 9) (,, ) (,, 4) (,, 8) Ch4A_

8// Emple 試將向量 (4, 5, 5) 表示成 (,, ), (,, 4) 及 (,, ) 等向量之線性組合 Solutio 檢視下列等式, (,, ) (,, 4) (,, ) (4, 5, 5) 利用向量之純量乘積及加法運算將上式展開, 可得 (,, ) (,, 4) (,, ) (4, 5, 5) (,, 4 ) (4, 5, 5) 4 5 r, r, r 4 5 因此向量 (4, 5, 5) 可以由 (,, ), (,, 4) 及 (,, ) 等向量以無限多種線性組合組成, 即 (4, 5, 5) (r )(,, ) (r )(,, 4) r(,, ) Ch4A_ Emple 4 試證明向量 (, 4, 6) 無法表示成 (,, ), (,, ) 及 (, 4, 5) 等向量之線性組合 Solutio 檢視下列等式, (,, ) (,, ) (, 4, 5) (, 4, 6) 上式可衍生下列線性方程式系統, 4 4 5 6 上述系統無解, 亦即向量 (, 4, 6) 無法表示成 (,, ), (,, ) 及 (, 4, 5) 等向量之線性組合 Ch4A_

8// Emple 5 試決定向量是否為, 及等向量之線性組合 4 8 5 5 Solutio 檢視下列等式, 4 5 檢視下列等式 5 8 4 5 4 5 8 5 5 8 可得上式有唯一解,, Ch4A_ 5 5 8 4 v 等向量的線性組合, 即 5 及 5, 8 確為 4 因此向量上式有唯解,, Emple 6 試決定矩陣是否為等矩陣之線性組合 8 7 及,, Solutio 檢視下列等式, 我們能否找到合適的純量, 及 使得上式成為恆等? 利用向 8 7 Ch4A_4 我們能否找到合適的純量, 及 使得上式成為恆等? 利用向量之純量乘積及加法運算將上式展開, 可得 8 7

8// 比對各元素可得下列線性方程式系統 7 8 上述系統有唯一解, 即, - 及, 因此給定之矩陣可以下列方式由其他三個矩陣線性組合而成, 即 7 8 若上列線性方程式系統為無解, 則表示給定矩陣無法表示成其他三個矩陣之線性組合 Ch4A_5 Emple 7 試決定函數 f() 7 是否為 g() 及 h() 4 二函數之線性組合 Solutio 檢視下列等式, g h f 亦即 ( ) ( 4) 7 整理可得 ( ) ( ) 4 7 比對等號二側, 可得下列方程式系統 4 7 上式有唯一解, 因此, 函數 f 為等 g 及 h 二向量以 f g h 方式組成之線性組合 Ch4A_6

8// 定義 : 生成集合 一組向量 v, v 生成 (sp) ㄧ個向量空間, 若該空間的每一個向量都可以表示成這組向量之線性組合 Emple 8 試證明 (,, ), (,, ) 及 (,, ) 生成 R Solutio 令 (, y, z) 為 R 之任意向量, 則我們必須證明下列等式有一組, 及 之唯一解, (, y, z) (,, ) (,, ) (,, ) 上式可寫成下列等式, y, z) (,, ) ( Ch4A_7 比對可得線性方程式系統 y z 利用高斯喬丹消去法可求得上列系統之解為 y z, 4 y z, y z 因此可知向量 (,, ), (,, ) 及 (,,) 生成 R, 亦即我們可以將 R 的任意向量表示成這組向量的線性組合如下, (, y, z) ( y z)(,, ) (4 y z)(,, ) ( y z)(,, ) 而利用這個向量公式, 我們可以迅速求得以 (,, ), (,, ) 及 (,, ) 的線性組合表示 R 中任意向量的等式, 例如我們希望知道 (, 4, ) 的表示式, 則令, 及並代入上式, 即可得 (, 4, ) (,, ) (,, ) (,, ) Ch4A_8 4

8// Emple 9 試證明下列矩陣生成 矩陣所組成之向量空間 M Solutio 令為 M d 之任意向量, 我們發現該矩陣必然可以表示成下式, 即 得證 d d Ch4A_9 Theorem 4.7 令 v, v,,v m 為向量空間 V 之一組向量, 而 U 為所有 v, v,,v m 線性組合而成之向量所組成的集合, 則 U 為由 v, v,,v m 所生成之 V 的子空間 U 稱為由 v, v,,v m 所構建 (geerte) 之向量空間 Proof 令 u v m v m d u v m v m 為 U 之二任意元素, 則 u u ( v m v m )( v m v m ) ( ) v ( m m ) v m 即 u u 為 v, v 之線性組合, 因此 u u 在 U 之中, 亦即 U 對向量加法封閉 Ch4A_ 5

8// 令 為任意純量, 則 u ( v m v m ) v m v m 即 u 為 v, v,,v m 之線性組合, 因此 u 在 U 之中, 亦即 U 對純量乘積封閉 ; 故可知 U 為 V 之子空間 此外, 由 U 之定義可知 :U 中任一向量均為 v, v 之線性組合, 因此 v, v 生成 U Ch4A_ Emple 考量向量空間 R, 向量 (, 5, ) 及 (,, 4) 均在 R 之中, 令 U 為 R 之子集合, 且其所有向量均具下列形式 (-, 5, ) (, -, 4) 則 U 為由 (, 5, ) 及 (,, 4) 所生成之 R 的子空間 下列為部份指定 及 數值後所得之 U 中向量 :, ; 向量 (, 5, ), ; 向量 (,, 4), ; 向量 (,,), ; 向量 (4,, 8) 我們可由檢視 U 的幾何意義 事實上,U 為所有由 (, 5, ) 及 (,, 4) 所定義之向量組成的一個平面 ( 詳圖 4.7) Ch4A_ 6

8// Ch4A_ 我們可一般化上式的結果 令 v 及 v 為向量空間 R 之向量, 則由 v 及 v 構建之子空間 U 的元素均為具有 v v 形式之向量, 若 v, v 並非共線, 則 U 即為由 v, v 所定義之平面 ( 詳圖 4.8) Ch4A_4 7

8// Emple 令 v 及 v 生成向量空間 V 之子空間 U, 若 k, k 為二任意純量, 試證 k v 及 k v 亦生成 U Solutio 令 v 為 U 之任意向量, 由於 v, v 生成 U, 因此必定存在有任意純量,, 使得 v v v 上式可改寫成 v ( kv) ( kv) k k 亦即 (k v ) 及 (k v ) 亦生成 U Ch4A_5 由幾何可知 ( 詳圖 4.9), 若 v 及 v 為 R 之向量, 且並非共線, 則 U 為三維空間中的一個平面, 而 (k v ) 及 (k v ) 則為分別與 v 及 v 共線 ( 因成比例 ) 之向量 Ch4A_6 8

8// Emple 令 U 為由 (,, ) 及 (,, ) 所生成之 R 子空間, 而 V 為由 (, 5, ) 及 (4,, ) 所生成之 R 子空間, 試證明 U V Solutio 令 u 為 U 之任意向量, 須證明 u 亦在 V 中 因 u U, 所以存在有純量,, 使得 u (,, ) (,, ) (,, ) 我們必須要知道 u 是否也可以寫成是 (, 5, ) 及 (4,, ) 的線性組合, u p (, 5, ) q (,, ) ( p 4q, 5 p q, p q ) 其中 p, q 必須滿足 p 4q 5 p q p q Ch4A_7 上列系統有唯一解 p, q. 因此 u 可被寫成 u (, 5, ) (4,, ) 亦即 u 為 V 之向量 反之, 令 v (, 5, ) d(4,, ) 為 V 之向量, 讀者可自行求解得出下式 v ( d)(,, ) ( d)(,, ) 當然 v 亦為 U 之向量 因此 U V, 而這個子空間則為通過原點並由 (,,) 及 (,, ) 所定義之平面 ( 詳圖 4.) ) Ch4A_8 9

8// Ch4A_9 Emple 令 U 為由函數 f() 及 g() 所構建的向量空間, 試證明函數 h() 6 5 在 U 中 Solutio h 在由 f 及 g 所構建的 U 中, 若存在有純量,, 使得 ( ) ( ) 6 5 即 ( ) 6 5 比對係數可得 6 5 上列方程式系統有唯一解 4,, 亦即 4( ) ( ) 6 5 因此可知, 函數 h() 6 5 在由 f() 及 g() 所建構的向量空間中 Ch4A_4

8// 4. 線性相依與線性獨立 定義 : () 向量空間 V 之一組向量 {v, v } 為線性相依 (lierly depedet), 若存在有一組不全為零之純量,,, m, 使得 v v m v m () 一組向量 {v, v } 為線性獨立 (lierly idepedet), 若下式 v v m v m 僅在 m 時成立 Ch4A_4 Emple 試證明 {(,, ), (,, ), (8, 6, )} 為 R 中之一組線性相依向量 Solutio 檢視下列等式, (,, ) (,,) (8, 6,) 若為線性相依, 則要證明上式中至少有一個 i 不為零 (,, ) (,, ) (8, 6,) ( 8, 6, ) 比對各元素可得下列線性方程式系統, 8 6 Ch4A_4

8// 上列系統之解可以寫成 4r, r 及 r, 因此 4r(,, ) r(,, ) r(8, 6, ) 令 r ( 可以選擇任意實數 ), 則有 4(,, ) (,, ) (8, 6, ) 亦即存在有不全為 之 4, 及, 可使得 eq() 成立, 因此這組向量為線性相依 Ch4A_4 Emple 試證明 {(,, ), (,, 4), (,, 5)} 為 R 中之一組線性獨立向量 Solutio 檢視下列等式, (,, ) (,, 4) (,, 5) 若為線性獨立, 則上式必須僅在所有 i 均同時為零時成立 (,, ) (,, 4) (,, 5) (,, 4 5 ) 比對各元素可得下列線性方程式系統 4 5 上列系統僅有唯一解, 及, 因此這組向量為線性獨立 Ch4A_44

8// Emple 考量向量空間 P 之函數 f() g() 及 h() 4, 試證明 {f, g, h} 為線性獨立 Solutio 檢視下列等式, f g h 若上式僅在, 及 時成立, 則 {f, g, h} 為線性獨立 將上式改寫成 ( ) ( ) (4 ) 其中 為任意實數, 則隨意選取三個簡單實數代入上式, 可得 : : : 4 5 計算可知上列系統僅有一組唯一解, 及, 因此 {f, g, h} 為線性獨立 Ch4A_45 Theorem 4.8 向量空間中一組包含兩個以上向量的向量組為線性相依, 若且唯若其中任一向量可以表示成其他向量之線性組合 Proof 令 {v, v,,v m } 為線性相依, 則存在有一組不全為零之純量,,, m, 使得 v v m v m 假設, 則上式可以改寫成 v v m v 即存在有一組不全為零之純量 d,,d m, 使得 v d v d m v m 整理上式為 v (d )v (d m )v m 因此證明向量組 {v, v } 確為線性相依 m Ch4A_46

8// {v, v } 之線性相依 Ch4A_47 {v, v, v } 之線性相依 Ch4A_48 4

8// Theorem 4.9 令 V 為一向量空間, 則 V 中任何一組包含零向量的向量組必定為線性相依 Proof 考量包含零向量的向量組 {, v,,v m }, 則檢視下列等式 v m v m 可知上式必有一解為,,,, 即 i 並非全部為零, 因此證明向量組 {, v } 確為線性相依 Ch4A_49 Theorem 4. 令 {v, v } 為向量空間 V 中之一組線性相依向量, 則 V 中任何包含有此組向量之向量組亦必定為線性相依 Proof 因為 {v, v } 為線性相依, 所以必定存在有一組不全為零之純量,,, m, 使得 v v m m 考量包含 v, v,,v m 之向量組 {v, v,,v m, v m,,v }, 因必定有一組不全為零之純量,,, m,,,,, 使得 v v v v m m m 因此可知向量組 {v, v,,v m, v m,,v } 確為線性相依 Ch4A_5 5

8// Emple 4 令 {v, v } 為一組線性獨立向量, 試證 {v v, v v } 亦為線性獨立 Solutio 檢視下列等式, ( v v) ( v v) 若能證明上式僅在, 均同時為零時成立, 則 {v v, v v } 為線性獨立 v v v v ( ) v ( ) v 既然 {v, v } 為線性獨立, 因此由上式可知 上列系統僅有唯一解,, 因此可知 {v v, v v } 為線性獨立 Ch4A_5 定理 4.7 4.4 基底性質 令 { v,, v } 生成向量空間 V, 則 V 中每一個向量均僅能表示成 此組向量之惟一線性組合, 若且唯若 v,, v 為線性獨立 ( ) 假設 v v 為線性獨立, v為 V 中任意向量 假定 v可分別表示成 則亦即, v v v 且 v v v v v v v ( ) v ( ) v 由於 v, v 為線性獨立,,,, 即,, 因此任意向量 v 僅有一種線性組合的方式 Ch4A_5 6

8// ( ) 假設 V 中任意向量 v僅有一種 v, v 的線性組合方式 考量 v v 這是零向量寫成 v, v 線性組合的惟一方式, 因此 v v 只有在,, 時成立, 所以 v, v 為線性獨立 Ch4A_5 定義 : 一有限個數之向量組 {v, v } 為向量空間 V 之一組基底 (sis),( ) 若且唯若該組向量生成向量空間 V, 且互為線性獨立 由定理 4.7 知 :V 中任意向量均可表示成 v, v 惟一的線性組合 定義 : 如下之 個向量組 {(,,., ), (,,,, ),, (,,, )} 為向量空間 R 之一組基底, 此組基底稱為 R 的標準基底 (stdrd sis) Ch4A_54 7

8// Emple 試證明 {(,, ), (,, ), (,, 4)} 為向量空間 R 之一組基底 Solutio 首先證明此組基底生成 R, 令 (,, ) 為 R 之任意向量, 我們將試著找尋純量, 及, 使得 (,, ) (,, ) (,,) (,, 4) 比對各元素可得下列線性方程式系統 4 上列系統之解為, 5, 因此, 此組向量生成 R Ch4A_55 接著檢視此組向量是否為線性獨立, 考量下列等式 (,, ) (,,) (,, 4) 由上式可得下列線性方程式系統 4 (,, ) 此系統恰有一解為,,, 因此此組向量為線性獨立 我們以證明向量組 {(,, ), (,, ), (,, 4)} 生成 R, 且為線性獨立, 因此該向量組為 R 之一組基底 Ch4A_56 8

8// Emple 試證明 {f, g, h} 為 P 之一組基底, 其中 f() g() 及 h() 4 Solutio {f, g, h} 為 P 之一組基底, 若此組函數生成 P, 且為線性獨立 由 5.4 節例題 可知此組函數互為線性獨立, 因此我們必須在確認它們可以生成 P 令 p 為 P 之任意元素, 則 p 為具有下列形式之函數 p ( ) d 函數 f, g 及 h 可生成 P, 若存在有一組純量, 及, 使得 p ( ) f ( ) g( ) h( ) Ch4A_57 亦即 d ( ) ( ) ( 4 ) ( 4) ( ) 由上式可得下列線性方程式系統 4 計算可知上列系統有解如下 d, 4 4d, d 因此函數 p 可以表示成 p ( ) f ( ) g( ) h( ) 亦即 f, g 及 h 生成 P 此組函數生成 P, 且互為線性獨立, 因此為 P 之一組基底 Ch4A_58 9

8// Theorem 4.8 令 {v,,v } 為向量空間 V 之一組基底, 若 {w,,w m } 為一個向量數多於 的向量組, 則此組向量為線性相依 Proof: 檢視下列等式 w w m w m () 我們將顯示存在有一組不全為零之純量,, m 可使得上式成立, 以證明 w, w,,w m 互為線性相依 由於 {v,,v } 為向量空間 V 之一組基底, 因此每一個 w i 均可表示成 v,,v 之線性組合, 令 w v v v w m m v m v m v Ch4A_59 將上列 w,,w m 代入 eq.(), 可得 ( v v v) m( m v mv mv) 上式可改寫成 ( mm ) v ( m mm) v 由於 v,, v 為線性獨立, 因此上式只有在所有係數均同時為 時始能成立, 亦即 m m 因此求解滿足 eq.() 之各 i 值的問題, 至此簡化成求解上列具 個方程式 m 個變數的問題 由於 >m, 即變數個數大於方程式個數, 而我們知道此種線性齊次系統有無限多組解, 亦即必有不全為零的一組 i 值可以滿足 eq.(), 故證明向量組 {w,, w m } 確為線性相依 m m Ch4A_6

8// Theorem 4.9 向量空間 V 之任意二組基底均具有相同的向量數 Proof 令 {v,,vv } 及 {w,,ww m } 均為向量空間 V 之基底 若我們描述 {v,, v } 為向量空間 V 之一組基底, 而 {w,, w m } 為 V 之一組線性獨立向量, 則由理論 4.8 可知 m ; 反之, 若我們描述 {w,, w m } 為向量空間 V 之一組基底, 而 {v{,, v } 為 V 之一組線性獨立向量, 則由理論 4.8 可知 m, 因此 m, 亦即兩組基底均具有相同的向量數 Ch4A_6 定義 : 若向量空間 V 有一含 個向量之基底, 則稱向量空間 V 之維度 為, 註記為 dim(v) 包含 個向量之向量組 {(,,., ),, (,,, )} 為向量空間 R 之標準基底, 因此 R 之維度為 當有限個數向量組存在時, 我們稱該向量空間為有限維度 (fiite dimesiol) 向量空間 ; 反之, 則稱之為無限維度 (ifiite dimesiol) 向量空間 Ch4A_6

8// Emple 考量 R 中一組向量 {(,, ), (, 4, )}, 此組向量生成 R 之子空間 V, 因此 V 中所有向量均具下列形式, v (,, ) (, 4, ) 而 (,, ) 與 (, 4, ) 彼此間無純量倍數關係, 即兩者互為線性獨立, 所以 {(,, ), (, 4, )} 為 V 之一組基底, 因此 dim(v) 事實上,V 為一通過原點的平面 Ch4A_6 Theorem 4. () 原點是一個 R 的子空間, 而這個子空間的維度定義為零 () R 的一維子空間是所有通過原點的直線 () R 的二維子空間是所有通過原點的平面 ( 詳圖 4.) Ch4B_64

8// Proof () 令 V 為僅包含 R 之零向量的向量組 {(,, )}, 而 為任意純量, 因為 (,, ) (,, ) (,, ) 且 (,, ) (,, ) 即對向量加法及純量乘積封閉, 因此, 而我們定義這個子空間的維度為零 () 令 v 為一個 R 一維子空間 V 之基底, 則 V 中所有向量均可表示成 v, 其中 為任意純量, 這些向量形成一條通過原點的直線 () 令 {v, v } 為一 R 二維子空間 V 之基底, 則 V 中所有向量均可表示成 v v, 其中, 為任意純量, 這些向量形成一個通過原點的平面 Ch4A_65 Theorem 4. 令 V 為一個 維向量空間, 則 () 若 S {v,,v } 為 V 中一組含 個線性獨立向量之向量組, 則 S 為 V 之基底 () 若 S {v,,v } 生成 V, 則 S 為 V 之基底 Ch4A_66

8// Emple 4 試證向量組 {(,, ), (,, ), (4,, )} 為 R 之一組基底 Solutio 通常我們必須證明向量組為獨立且生成向量空間來確立一向量組是否為基底, 而理論 4 4. 則告訴我們 : 在向量個數與維度相同時, 只需要檢驗其中一個即可 R 之維度為, 因此 R 之基底應包含 個向量, 所以給定向量組 ( 具 個向量 ) 之向量個數是正確的, 因此這裡我們僅檢驗線性獨立, 即 (,, ) (,, ) (4,,) (,, ) 由上列等式可得下列線性方程式系統 4 此系統恰有一解為,,, 因此此組向量為線性獨立 所以可知 {(,, ), (,, ), (4,, )} 為 R 之一組基底 Ch4B_67 Theorem 4. 令 V 為一 維向量空間, 若 {v } 為 V 中一組線性獨立向量 ( 其中 m < ), 則存在有 v m,, v 等向量, 使得 {v, v m,, v } 為 V 之一組基底 Proof 由於 m <, 因此 {v } 無法成為 V 之一組基底, 所以 V 中必存在有一向量 v m 不在由 {v } 生成之子空間中, 則 {v, v m } 為一組線性獨立向量 ; 若 m, 則 {v, v m } 為 V 之一組基底, 而若 m<, < 則 V 中必存在有一向量 v m 不在由 {v, v m } 生成之子空間中, 若 m, 則 {v, v m, v m } 為 V 之一組基底, 如此繼續即必可找到一組基底 Ch4A_68 4

8// Emple 5 試簡要陳述下列各敘述為正確或錯誤 () 向量組 {(, ), (, ), (5, )} 在 R 中為線性相依 () 向量組 {(,, ), (,, ), (,, )} 生成 R () () 向量組 {(,, ), (,, )} 為 R 中具 (,, ) 形式向量所組成之子空間的基底 (d) 任何一個含兩向量的向量組, 均可生成一個 R 的二維子空間 Solutio () 正確 :R 之維度為, 因此任意 個 R 向量必為線性相依 () 錯誤 : 此組向量為線性相依, 因此無法生成三度空間 R Ch4A_69 () 正確 : 所給向量可生成該子空間, 因為 (,, ) (,, ) (,, ) 且為線性獨立, 因此為該子空間之基底 (d) 錯誤 : 該二向量必須為線性獨立 Ch4A_7 5