1. 隨機變數 : 是定義在樣本空間之實數值函數. 1-1 隨機變數 若這個隨機變數的對應值為離散, 我們稱它為離散型型隨機變數 ; 若隨機變數的對應值為一區間, 我們稱它為連續型隨機變數. 2. 隨機變數常以大寫的英文字母表示, 而它的觀察值則以對英呃小寫字母表示, 即 X = x. 我們通常會把這個形式說為 隨機變數 X 取值 x. 3. 以 P(X = x) 表示 X = x 之機率. 4. 機率函數 : 隨機變數 X 取值 x 與機率 P(X = x) 間的對應關係構成一函數, 此函數稱為隨機變數 X 的機率函數. 5. 當隨機變數 X 的所有可能值為 x 1, x 2, x 3,, x n 時, 其機率函數 f (x i ) = P(X = x i ) 滿足 : (1) 0 f (x i ) 1, i = 1, 2, 3,, n. n (2) f ( xi ) = 1. i= 1 6. 機率函數圖 : fi 隨機變數 X 的機率函數可表為 f ( xi ) = P( X = xi ) =, i = 1, 2, 3,, n. n 則其機率函數圖是以隨機變數 X = x i 為 x 軸, 以機率 f (x i ) 為 y 軸的圖形, 例如 : 甲班 40 位同學學測級分的機率函數圖如下. 機率函數圖 數乙上 範例 1 演練 1 1
一個正六面體的骰子其中二面寫上 1, 另外四面寫上 6, 投擲一次, 試求 : (1) 試寫出此試驗的樣本空間 S. (2) 設隨機變數 X 是所的點數得正因數個數, 試寫出隨機變數 X. (3) 試寫出隨機變數 X 的機率函數. (4) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 數乙上袋子中有 5 個球, 編號 1~5, 從袋中取球兩次, 每次一球, 球取出後不放回. (1) 試寫出此試驗的樣本空間 S. (2) 設隨機變數 X 是所取兩球的球號和, 試寫出隨機變數 X. (3) 試寫出隨機變數 X 的機率函數. (4) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 範例 2 10 個樣品中有 2 個不良品, 每個樣品被取出的機會均等, 今隨機取出樣品 3 次, 每次 1 個, 取後不放回, 令隨機變數 X 表示取到不良品個數. (1) 試寫出此樣本空間 S. (2) 試寫出隨機變數 X 的所有可能值. (3) 試寫出隨機變數 X 的機率函數. (4) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 演練 2 若 8 個樣品中有 2 個不良品, 每個樣品被取出的機會均等, 今隨機取一個來試驗, 直到取到一個好的為止 ( 取後不放回 ). (1) 試寫出此樣本空間 S. (2) 令隨機變數 X 表示取出樣品個數, 試寫出隨機變數 X 的所有可能值. (3) 試寫出隨機變數 X 的機率函數. (4) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 範例 3 演練 3 2
將 3 個球投入 3 個不同的袋子裡, 每次投一個球, 連續投 3 次, (1) 以隨機變數 X 表示空袋子個數, 試寫出隨機變數 X 的所有可能值. (2) 試寫出隨機變數 X 的機率函數 (3) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 數乙上班上有 50 人,其中有 5 人是數學奇才,今任選 3 人, 以隨機變數 X 表示選中數學奇才人數, (1) 試寫出隨機變數 X 的所有可能值. (2) 試寫出隨機變數 X 的機率函數. 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖.. 1-2 期望值 變異數 標準差 3
一期望值 1. 隨機變數的期望值 : 設 f (x) 為離散隨機變數 X 的機率函數, 則 X 的期望值 E(X) 定義為 n E( X ) = x f ( x ). i= 1 i i 2. 期望值的重要性質 : (1) 如果 X 是一個任意的隨機變數, a 和 b 是兩個常數, 則 E(aX + b) = ae(x) + b. (2) 如果 X 和 Y 是兩個隨機變數, 則 E(X + Y) = E(X) + E(Y). 二變異數與標準差 1. 設隨機變數 X 有 x 1, x 2, x 3,, x n 共 n 個可能值, 且 X = x i 發生機率為 f (x i ), i = 1, 2, 3,, n, 期望值 E(X) = xi f ( xi ), 2 n i 2 i= 1 則變異數定義為 σ = ( x µ ) f ( x ), 其中 μ = E(X). i n i= 1 數乙上 2 2. 變異數的正平方根稱為標準差, 記作 σ = ( xi µ ) f ( xi ). 3. 變異數的重要性質 : (1) 如果 X 是一個任意的隨機變數, a 和 b 是兩個常數, 則 σ ax + b = σ ax = a σ X. (2) σ ax + b = a σ X. n i= 1 2 2 2 2 範例 1 每張刮刮樂彩券有 9 格, 其中有三個 1, 三個 2, 三個 3, 任意排列, 右圖為其中一種可能的排法, 顧客任刮 3 格, 若刮出的 3 個數字相同 ( 如 2, 2, 2), 即可得此數字的 100 倍的獎金, 則顧客購買此彩券 1 張的期望值為元. 演練 1 小彬參加小氣大財神節目,到抽獎品階段,主持人告訴他,這次的獎品中,大獎 5 個,有 60 萬的休旅車 30 萬的鑽戒 20 萬的 SOGO 禮券 10 萬的對錶與 10 萬的杜拜旅行團,小獎 15 個平均為 100 元,小彬抽了一個獎品,主持人開價 2 萬元要換獎品回來,聰明的小彬當然不要,主持人將價碼繼續往上開,請問當價碼至少為多少元時,從數學的期望值觀點可以考慮將獎品換成獎金? 範例 2 根據統計資料得知, 一個 50 歲的人在一年內存活的機 4 演練 2 假設一位高二的學生能再活一年的機率為 0.9999, 某位
數乙上 率是 99.5%. 今有一個 50 歲的人參加一年期保險額度為 50 萬元的人壽保險, 需繳保費 5000 元, 又公司對此一客戶的管理與行銷成本為 400 元, 試求保險公司對此客戶的獲利期望值. 高二學生繳一年期平安保險的保費 100 元, 若在一年內不幸意外死亡, 保險公司付給家長 20 萬元的理賠金, 試求此保險公司期望利潤. 範例 3 將 1 到 5 的各數字分別寫在 5 張個球上, 在 A, B 兩箱中各投入一組 1 到 5 的各數字的球, 已知每球被取到的機會均等, 試求下列各期望值 : (1) 從 A 箱取出一球時, 取出數字的期望值. (2) 從 A, B 箱各取出一球時, 取出兩球數字和的期望值. 演練 3 擲一粒公正特製骰子兩次, 骰子六面之點數為 1, 2, 2, 2, 3, 3, 試求兩次點數和的期望值. 範例 4 某公司舉辦年終尾牙餐會, 會中安插了一項抽獎 5 演練 4 彩券發售 20 萬張, 獎額如下 : 頭獎 2 張各得 50
活動, 在抽獎箱中放了一副 52 張的撲克牌, 每人抽出一張牌, 且抽後放回 ; 抽到紅心的紅色牌給獎金 8000 元, 抽到方塊的紅色牌給獎金 6000 元, 而抽到黑桃或梅花的黑色牌則一律給 2000 元的獎金 假設每張牌被抽到的機率相等, (1) 試求抽到獎金的期望值 (2) 若某桌有 10 人, 試求這 10 人抽到獎金總額的期望值 數乙上萬元, 二獎 3 張各得 20 萬元, 三獎 5 張各得 10 萬元, 四獎 20 張各得 5 萬元, 五獎 50 張各得 1 萬元, 六獎 120 張各得 2000 元, 七獎 800 張各得 1000 元, 八獎 5000 張各得 12 元, 試求 : (1) 中獎率 (2) 5 張彩券中獎金額的期望值 範例 5 T 市某路線的公車每班車每趟的載客人數的機率分配如下 : 人數 X 20 30 40 50 60 70 80 90 f(x) 0.05 0.1 0.1 0.1 0.25 0.25 0.1 0.05 試求每一趟載客人數的期望值 E(X) 及變異數. 演練 5 抽查臺北市西區十家便利商店, 調查每一家店當天所賣出的兩種報紙的份數, 得到下列資料 : 工商時報 30 45 40 35 35 40 40 45 30 35 聯合報 35 50 40 40 35 45 35 35 40 30 試求工商時報與聯合報賣出份數的期望值與變異數. 範例 6 演練 6 6
投擲一個均勻骰子一次, 若擲出奇數點, 可得 1 元, 若擲書偶數點, 可得 5 元, 設 X 表示投擲一次可得的錢數, 試求 (1)X 的期望值 μ. (2)X 的標準差 σ. 數乙上袋中有 5 個紅球, 4 個白球, 每個球被取出的機會均等, 今從袋中任取兩個球, 若取得一個紅球及一個白球即可得 180 元, 其他情形, 則得 0 元, 以隨機變數 X 表示從袋中任取兩個球後所的錢數, 試求 : (1)X 的期望值 μ. (2)X 的標準差 σ. 範例 7 一 設變量 x 表一群數值 x 1, x 2, x 3,, x n, 令 x 中各變量 2 倍後減去 5 所成新的變量為 y, 即 y 表 2x 1 5, 2x 2 5, 2x 3 5,, 2x n 5, (1) 若 x 的期望值為 7, 試求 y 的期望值. (2) 若 x 的變異數為 7, 試求 y 的變異數. (3) 若 x 的標準差為 7, 試求 y 的標準差. 二 T 市某路線的公車每班車每趟的載客人數的機率分配如下 : 演練 7 已知數值資料 x 1, x 2,, x n 之平均數為 15, 標準差為 4, 若 y i = 3x i + 1, i = 1, 2,, n, 試求 : (1)y 1, y 2,, y n 之標準差. (2)y 1, y 2,, y n 之變異數. 人數 X 20 30 40 50 60 70 80 90 f(x) 0.05 0.1 0.1 0.1 0.25 0.25 0.1 0.05 若每位乘客投幣 12 元, 且 Y 表每趟載客的收入, 試求 E(Y) 及變異數. 1-3 獨立事件 7
1. X, Y 為隨機變數, 若滿足 P({X = x} {Y = y}) = P(X = x).p(y = y), 則稱事件 {X = x} 與事件 {Y = y} 為 獨立事件. 2. 對於同一試驗下的三個隨機變數 X, Y, Z, 若滿足 : (1) P({ X = x} { Y = y}) = P( X = x) P( Y = y). (2) P({ X = x} { Z = z}) = P( X = x) P( Z = z). (3) P({ Y = y} { Z = z}) = P( Y = y) P( Z = z). (4) P({ X = x} { Y = y} { Z = z}) = P( X = x) P( Y = y) P( Z = z). 註 則稱事件 (X = x), (Y = y), (Z = z) 為獨立事件. 設 A, B, C 為三事件, 則 (1) A 與 B 獨立 A' 與 B 獨立 A 與 B' 獨立 A' 與 B' 獨立. (2) A, B, C 獨立 A, B, C' 獨立 A, B', C 獨立 A', B, C 獨立 A', B', C' 獨立 A', B', C 獨立 A', B, C' 獨立 A, B', C' 獨立. 3. 一般而言, 重複進行同一試驗 n 次, X i 表第 i 次出現的結果, 若滿足 P({X 1 = x 1 } {X 2 = x 2 }) {X k = x k }) = P(X 1 = x 1 ).P(X 2 = x 2 )..P(X k = x k ), k = 2, 3,, n, 則此試驗稱為獨立的 n 次重複試驗. 數乙上 範例 1 擲一公正的骰子兩次, 設事件 A 為第一次擲得奇數 演練 1 一副撲克牌共有四種花色 ( 黑桃 紅心 梅花 方 8
數乙上 點的事件, 事件 B 為擲兩次骰子點數和為 6 的事件, 判斷並驗證 A, B 為獨立事件或相關事件. 塊 ), 每種花色各有 13 張 (2, 3,, 10, J, Q, K, A), 隨機從袋中取一張牌, 令 A 表抽到 K 點的事件, B 表抽到 紅心 的事件, 驗證並判斷 A 與 B 兩事件是否為獨立事件. 範例 2 甲乙丙三個人平常射擊之命中率分別為 0.5, 0.6, 0.8, 今對一靶射擊, 三人同時各對它射一槍, 若三人個別射中的事件為獨立事件, (1) 試求此靶被射中之機率. (2) 若此靶恰中一槍, 試求為甲命中之機率. 演練 2 (1) 某賣場經理根據過去經驗知道, 有 80% 的顧客在結帳時會使用信用卡, 試求連續三位顧客皆使用信用卡的機率為何? (2) 阿秀 小男 阿信三人數學難題, 阿秀平均每五題出四題, 小男平均每四題出三題, 阿信平均每三題出二題, 今三人同一道數學難題, 若三人獨立題互不影響, 試求至少有二人出此題的機率. 範例 3 (1) 若事件 A, B 獨立, 且 P(A) = 0.2, P(B) = 0.35, 9 演練 3
數乙上 試求 P(A B'). (2) 右圖係一電路圖, 其中 A, B, C 均為繼電器, 已知每繼電器 1 通電的機率分別為 3, 3 5, 1 2, 且 三者功能互不影響, 試求電流能由 L 流通到 R 的機率. (1) 設 A, B 為獨立事件, P(A) = 3 8, P(A B) = 1 2, 試求 P(B). (2) 電路上有 4 個開關 A, B, C, D, 各開關電流暢通 1 2 2 7 的機率分別為,,, 2 5 7 9, 若各個開關彼此不互相 影響, 試求電流自 L 到 R 暢通的機率. 範例 4 已知步入中年的喬丹罰球命中率為 0.6, 有一天喬丹站上罰球線, 他想要使投至少進一球的機率達到 0.999, 試問他至少要投幾球才可達成? (log2 = 0.3010, log3 = 0.4771) 演練 4 已知姚明投籃命中率為 0.75, 欲使至少進一球的機率大於 0.9999, 試問姚明至少要投籃幾次?(log2 = 0.3010, log3 = 0.4771) 1-4 二項分布 10
一重複試驗與二項分布 1. 白努利試驗 : 假設一試驗只有兩個可能結果, 一為成功, 一為失敗, 則此試驗就叫做白努利試驗. 2. 二項分布 : 數乙上 將白努利試驗重複 n 次, 每次試驗成功的機率為 p, 失敗的機率為 q = 1 p, 每次成功與失敗的機率不 變且每次互不影響, 若設隨機變數 X 表示 n 次試驗中成功的次數, 則 X 的機率函數為 n k n k f ( k) = C p q, k = 0, 1,, n. X k n n k n k 上式右邊恰為二項展開式 ( p + q) = C p q 中的第 k + 1 項, n k = 0 我們將此成功次數的機率分布稱為二項分布. k 3. 若有一個二項試驗 ( 白努利試驗重複 n 次 ), 其試驗次數為 n, 每次成功機率為 p, 失敗機率為 q = 1 p, 隨機變數 X 表成功次數, 則 X 的 : (1) 期望值 μ = np. (2) 標準差 σ = npq = np(1 q). 範例 1 (1) 連續拋擲一公正硬幣 6 次, 試問 : 1 恰出現 4 次正面的機率. 2 出現偶數次 ( 包括零次 ) 正面的機率. (2) 投擲一枚硬幣若干次, 當正面出現 2 次時甲勝, 當反面先出現 4 次時乙勝, 試求甲獲勝的機率. 演練 1 (1) 丟一個均勻的硬幣 10 次, 試求恰好出現 5 次正面的機率. (2) 一個正六面體的二面寫上 1, 另外四面寫上 6, 將如此的骰子擲 5 次, 每面出現機會均等, 試求 : 1 1 至少出現三次的機率. 2 1 至少連續出現三次的機率. 範例 2 擲一個公正的骰子 10 次, 試求 : 11 演練 2 全校同學每人擲骰子 36 次, 設 X 是每人擲出點數
數乙上 (1) 出現點數為 3 的次數之期望值 μ. (2) 出現點數為 3 的次數之標準差 σ. 是 6 的次數, 試求 X 的期望值 μ 及標準差. 範例 3 某魚販有 4 條養殖石斑魚與 8 條野生石斑魚, 今將此 12 條魚混在一起販賣, 某人至該魚販處買魚, 隨機在此 12 條魚中拿了 3 條石斑魚 ( 假設每一條石斑魚被取到的機會均等 ), 試求此人買到養殖石斑魚個數的期望值條. 演練 3 袋中有 3 個紅球, 2 個白球, 每球被取中的機會均等. 今自袋中取球, 每次取 1 球, 取後放回再取, 連續取 10 次, 令 X 表取中白球的次數, 試求 : (1)X 的期望值. (2)X 的標準差. 範例 4 投擲一粒公正的骰子, 試問需要投擲多少次使其出現 6 點之期望值才會大於或等於 1? 此時之標準差為何? 演練 4 有 6 題五選一的單選題, 不經思考任意亂猜, 試問需要猜多少題才使其猜對題數的期望值大於等於 1? 此時之標準差為何? 一抽樣方法 - 簡單隨機抽樣 1-5 抽樣與統計理論 12
數乙上 1. 統計的意義 : 在面對不確定的狀況下, 能夠幫助我們做出明智決策的一種科學方法. 2. 統計工作 : 包括蒐集資料 整理資料 分析資料及釋意義, 以作為預測與決策之依據. 因此, 如何蒐集具代表性的資料 如何做有效的資料處理與分析, 以及如何做出準確的結論, 這都是統計工作中重要的一環. 3. 調查方法依照調查的對象是否為研究對象的整體, 分為普查與抽查. 普查是指調查對象為研究對象的全體. 抽查是指調查的對象僅為研究對象的一部份. 4. 母群體 : 所要研究對象的全體. 樣本 : 全體研究對象中被抽出的部份. 5. 簡單隨機抽樣 : 當母群體中每一元素被抽中的機會均等時, 從母群體中任意抽取所需樣本的方法, 稱為簡單隨機抽樣法, 通常依下列二種方法進行 : (1) 利用替代母群體 ( 例如 : 抽籤 ). (2) 利用隨機號碼表. 二常態分布 1. 常態分配 : 如果次數分配圖呈現中間較高, 且左右對稱的鐘型時, 我們就稱這組資料呈現近似常態分配. 2. 68-95-99.7 性質 : 常態分配的資料中 (1) 約有 68% 的資料值, 落在距平均數一個標準差 [μ σ, μ + σ] 的範圍內. (2) 約有 95% 的資料值, 落在距平均數兩個標準差 [μ 2σ, μ + 2σ] 的範圍內. ( 實際上約落在距平均數 1.96 個標準差 [μ 1.96σ, μ + 1.96σ] 的範圍內.) (3) 約有 99.7% 的資料值, 落在距平均數三個標準差 [μ 3σ, μ + 3σ] 的範圍內. 3. 事實上, 對於一個試驗次數為 n, 每次成功的機率為 p 的二項試驗, 若隨機變數 X 表成功的次數, 則 X 經標準化 X µ 後得 ( 其中 μ = np, σ = np(1 p) ), 在 n 夠大時, 其分布會近似於以期望值為 0, 標準差為 1 的常態分 σ 布. 三信賴區間信心水準的讀 1. p: 對母群體普查所獲得的比例, 稱之為參數. µ p : 對樣本調查所獲得的比例, 稱之為統計量. 2. 一般我們並不知道真正的 p 值, 但當抽取的樣本 n 很大時, 其標準差會很小, 此時, 大部分樣本產生的 µ p 的值 $ $ 都很接近真正的 p 值. 因此, 我們可用 $ p(1 p) σ = 來估計標準差 n p(1 p). n 3. (1) p $ 的期望值 : µ p $ = p. 13
(2) p $ 的標準差 : σ p(1 p) = p$. n 4. 根據中央極限定理 (Central Limit Theorem), 不論母體的機率函數為何, 只要樣本數 n 夠大, 樣本平均數經 數乙上 p$ p 過標準化後的機率分布會趨近於標準常態分布 N(0, 1). 所以, 當 n 夠大時, p $ 經過標準化後得, 其機率分 σ 布會近似於標準常態分布. $ $ 5. 母體比率 p 的信賴區間 ( $ p(1 p) σ = ): n p$ (1) 區間 [ $ p $ σ, $ p + $ σ ] 為 p 值 68% 信賴區間. (2) 區間 [ $ p 2 $ σ, $ p + 2 $ σ ] 為 p 值 95% 信賴區間. (3) 區間 [ p $ 3 $ σ, p $ + 3 $ σ ] 為 p 值 99.7% 信賴區間. 6. 95% 的信心水準的意思是指 : 如果我們抽樣很多次, 每次都會得到一個信賴區間, 那麼這麼多的信賴區間中, 約有 95% 的區間會涵蓋真正的 p 值, 或者說對此次調查所得區間, 我們有 95% 的信心認為它將包含真正的 p 值. 範例 1 (1) 某校 2000 位學生數學成績平均為 53, 變異數為 9, 且成績呈常態分配, 試問成績介於 50 62 約有幾人?(2) 阿倫第一次段考數學 79 分, 而全校 600 位學生, 此次段考數學平均成績為 74 分, 標準差為 5 分. 若第一次段考數學成績成常態分布, 試問阿倫數學成績在全校排名大約是第幾名? 演練 1 (1) 在一次考試中, 考試人數是 4000 人, 平均成績是 70 分, 標準差是 9 分, 設分數近似於常態分配, 則估計分數在 61 到 79 的人數大約有 人. (2) 某校有學生 800 位, 數學段考成績呈現常態分布, 平均 65 分, 標準差 5 分, 下列各選項何者為真? (A) 不及格的學生約有 128 人 (B) 成績超過 75 分的學生約有 20 人 (C) 某生成績 70 分, 在全校排名大約第 128 名左右 (D) 某生成績 80 分應為前 3 名 (E)60 分至 70 分之間的學生約有 544 人. 範例 2 (1) 某民調公司為了一般民眾對於 是否將中華 14 演練 2 一項民意調查是否贊成賭博合法其樣本共 300 人,
民國年號改成西元年號 於晚間七時至九時利用電訪, 有效訪問 600 位臺灣地區 20 歲以上民眾, 其中贊成的民眾有 240 人, 試求在 95% 的信心水準下贊成改民國年號比例的信賴區間. (2) 若從工廠生產線隨機抽樣 400 個產品測試, 發覺其中有 200 個不良品, 試求工廠生產該產品不良率的 95% 的信賴區間. 數乙上在 95% 的信心水準下抽樣誤差為正負 5 個百分點 ( 已知贊成的人數未達總人數之一半 ), 試求這次調查贊成賭博合法的 95% 信賴區間. 範例 3 某次臺中地區詐騙電話調查中發現 : 有 95% 的信心水準認為約有 60% 到 68% 的人曾接過詐騙電話, 試求此次調查抽樣人數. 演練 3 某工廠宣稱其生產的 LED 燈, 抽樣時平均 100 個產品中有 3 個不良品, 則在 95% 的信心水準及抽樣誤差正負 4 個百分點內的條件下, 試求當初廠方隨機測試 LED 燈的數量. 範例 4 甲投擲一枚硬幣 100 次, 得到 36 個正面. 乙投擲同 15 演練 4 某民調中心在甲 乙兩個城市調查民眾是否擔心
一枚硬幣 50 次, 計算出得到正面的比例, 並算出信賴區間為 [0.168, 0.552], 則下列選項哪些正確? (A) 此硬幣必然不是公正的硬幣 (B) 甲 乙兩人所得到的正面比例相同 (C) 甲的 95% 信賴區間為 [0.264, 0.456] (D) 在 95% 信心水準之下, 甲的信賴區間長度為乙的信賴區間長度的一半 (E) 甲的 68% 信心水準的信賴區間長度小於甲的 95% 信心水準的信賴區間長度. 數乙上被傳染新流感 (H1N1) 的比率 ( 以下簡稱 擔心率 ). 結果如下 在 95% 信心水準之下, 在甲 乙兩城市的 擔心率 之信賴區間分別為 [0.36, 0.44] [0.58, 0.62]. 試判斷下列哪些選項是正確的? (A) 甲城市的受訪民眾中有 40% 的民眾擔心被傳染新流感 (B) 乙城市的全體民眾中有 60% 的民眾擔心被傳染新流感 (C) 甲城市的受訪人數比乙城市的受訪人數少 (D) 甲 乙兩個城市的受訪人數皆超過 1000 人 (E) 甲城市的全體民眾的 擔心率 有 95% 的機會落在區間 [0.36, 0.44]. 範例 5 某次選舉兩名候選人中應選一名, 設甲候選人於所 16 演練 5 承演練 6, 試判斷下列哪些選項是正確的?
有合格選民中真正的支持度為未知的 p, 民調公司做支持度調查成功訪問了 1000 個合格選民, 發現其中有 600 人表示支持甲候選人, 在 95% 信心水準下得到之信賴區間為 [0.57, 0.63], 試問下列哪些選項是正確的? (A) 我們有 95% 信心確定 p 介於 0.57 與 0.63 之間 (B) 在抽樣的合格選民中甲候選人的支持率為 0.60 (C)p 之值介於 57% 與 63% 間之機率為 0.95 (D) 若以同樣方式進行多次調查, 大約有 95% 的信賴區間會包含 p (E) 若以同樣方式進行多次調查, 得到 p 有 95% 會落在區間 [0.57, 0.63]. 數乙上 (A) 乙城市的全體民眾比甲城市的全體民眾更擔心被傳染新流感 (B) 在 99.7% 信心水準之下, 甲城市的 擔心率 之信賴區間為 [0.34, 0.46] (C) 如果不區分城市, 此次抽樣 擔心率 的標準差介於 0.1 與 0.2 之間 (D) 民調中心在甲城市再次進行民調, 並增加訪問人數達原人數的四倍, 則在 95% 信心水準之下, 甲城市的 擔心率 之信賴區間寬度會減半 (E) 在 95% 信心水準之下在甲城市再次進行很多次民調, 得到很多個信賴區間, 這很多個信賴區間中約有 95% 含全體民眾的 擔心率. 17
數乙上 1-1 隨機變數課後練習試題 1. 投擲三個均勻之硬幣,若出現三正面,可得 10 元,出現二正面可得 6 元,出現一正面可得 2 元,一個正面均 不出現時應賠 34 元.以隨機變數 X 表示所得的總額, 18
(1) 隨機變數 X 的所有可能值為. (2) 隨機變數 X 的機率函數為. (3) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 數乙上 2. 一箱子中有十個燈泡,其中有兩個是壞的,今從箱子中逐次一一取出試驗,取出不再放回,一直取到一個好的為止,以隨機變數 X 表示取出燈泡個數, (1) 隨機變數 X 的所有可能值為. (2) 隨機變數 X 的機率函數為.. (3) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 3. 由 1 到 10 的自然數中,任取一數 x,以隨機變數 X 表示 x 的正因數個數, (1) 隨機變數 X 為.. (2) 隨機變數 X 的機率函數為.. (3) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 4. 袋中有 2 個黑球, 5 個白球,今由袋中逐次一一取出球,設各球被取出的機會均等,且取出後不再放回,直到取出的是白球才停止,以隨機變數 X 表示取出的球數, (1) 隨機變數 X 的所有可能值為.. (2) 隨機變數 X 的機率函數為.. (3) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 19
數乙上 5. 網球賽採五盤三勝制 ( 即先勝三盤者獲勝晉級 ).已知選手 A, B 的實力相當,以隨機變數 X 表示兩位選手對決需進行盤數 (1) 隨機變數 X 的所有可能值為. (2) 試寫出隨機變數 X 的機率函數為.. (3) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 6. 一袋中有 1 號球 1 個, 2 號球 2 個, 3 號球 3 個,從袋中一次取兩球,取到的號碼和為 k 時,可得 20 2k 以隨機變數 X 表示此試驗所得獎 (1) 隨機變數 X 的所有可能值為. (2) 隨機變數 X 的機率函數為.. (3) 試繪出隨機變數 X 的機率函數圖. 元, 1-2 期望值 變異數 標準差課後練習試題 1. 過年時, 強強和爸爸約定, 從有 2 個藍球, 5 個紅球, 共 7 個球的袋中拿出一球, 已知每球被取得的機會 均等, 若取得藍球, 則可得 2000 元壓歲錢, 若取得紅球, 則只得 600 元, 則強強壓歲錢的期望值為 元. 20
數乙上 2. 某地發行彩券 10 萬張, 其中有 1 張獎金 200 萬元, 2 張獎金各 50 萬元, 5 張獎金各 10 萬元, 10 張獎金 各 1 萬元, 100 張獎金各 1000 元, 則每張彩券獎金的期望值為元. 3. 有一種遊戲, 每次輸贏規則如下 : 先從 1 至 6 中選定一個號碼 n, 再擲三粒公正的骰子, 若三粒骰子的 點數全都是 n, 則可贏 3 元, 恰有兩個點數為 n, 則可贏 2 元 ; 恰有一個點數為 n, 則可贏 1 元, 而沒有點 數為 n, 則輸 1 元, 如此, 玩一次的期望值 ( 贏為正, 輸為負 ) 為元. 4. 若 8 個樣品中有 2 個不良品, 今隨機取一個來試驗, 直到取到一個好的為止 ( 取後不放回 ), 則取出樣 品個數的期望值為. 5. 某電視臺舉辦抽獎遊戲, 現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 1000, 800, 600, 0 元獎額的球. 參加者自行從抽獎箱裡摸取一球 ( 取後即放回且每球取出機會均等 ), 主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金, 並規定抽取到 0 元的人可以再摸一次, 但是所得獎金折半 ( 若再摸到 0 就沒有第三次機會 ); 則一個參加者可得獎金期望值是元.( 計算到整數為止, 小數點以後四捨五入 ) 6. 某市為了籌措經費而發行彩券, 該市決定每張彩券的售價為 10 元, 且每發行一百萬張彩券, 即附有壹 佰萬元獎 1 張, 拾萬元獎 9 張, 壹萬元獎 90 張, 壹仟元獎 900 張. 假設某次彩券共發行參佰萬張, 則 1 張彩券的獎金期望值為元. 21
數乙上 1 7. 某人每場比賽得勝機率為 3, 2 失敗機率為 3, 規定勝一場得獎金 1000 元, 敗一場罰 400 元, 今參加五 場比賽, 則 (1) 此人至少贏得 3000 元的機率為. (2) 可得獎金的期望值為元. 8. 根據統計資料, 臺灣地區的青年從 18 歲活到 19 歲的機率為 0.995, 一位 18 歲的青年向某保險公司投 保一年的壽險, 保險額為 10000 元, 若保險公司希望對此位青年的保險費獲利期望值為 50 元, 則其保 險費為元. 9. 將 3 個球投入 3 個不同的袋子裡, 每袋球數不限, 且每球被放入各袋的機率均等, 則 (1) 每個袋子均有球的機率為. (2)3 個球都在同一袋子的機率為. (3) 空袋子個數的期望值為. 1 10. 投擲一不均勻硬幣一次, 若擲出正面的機率為 6 示投擲一次可得的錢數, 則 X 的期望值為, X 的標準差為. 5 可得 1 元, 若擲出反面的機率為 6, 可得 3 元, 若 X 表 1-3 獨立事件課後練習試題 3 1. 林先生和陳小姐一起到遊樂場玩打靶遊戲, 林先生射擊命中靶的機率是 5, 陳小姐的機率是 1 3, 林先生 先射, 陳小姐後射 ; 林先生射中與否不會影響陳小姐的命中率, 若他們兩人向靶各射一次, 則只有陳 小姐命中的機率為. 22
數乙上 2. 甲 乙 丙三人同射一靶, 每人一發, 設此三人命中率依序為 (1) 此靶被命中機率為. (2) 此靶恰中一發而不是乙擊中的機率為. 2 3 5,, 3 5 6, 且彼此均不受對方干擾, 則 3. 設 A, B, C 為獨立事件, 已知事件 A 發生的機率為 1 率為, 則事件 A, B, C 恰有一發生的機率為. 10 2 1, 事件 B 發生的機率為, 事件 A, B, C 均發生的機 3 4 4. 如圖, 1, 2, 3, 4, 5 表示電路上的五個開關, 電流暢通的機率均為 流由 L 到 R 暢通的機率為. 3 4, 若每個開關的功能互不影響, 則電 5. 一火箭命中目標的機率每發皆為 0.2, 若每發皆為獨立事件, 則至少要發射發, 才能使至少命中一 發之機率大於 0.8. (log2 = 0.3010, log3 = 0.4771) 6. 袋中裝有白球,紅球各 1 球,現由袋中任取一球,若取到白球則放回袋中,若取到紅球則另外再加 1 紅球 ( 計 2 紅球 ) 放回袋中,則 (1) 操作 3 次後,袋中恰有 2 球的機率為. (2) 操作 3 次後,袋中恰有 3 球的機率為. (3) 第 3 次操作時,取到紅球的機率為. 23
數乙上 7. 籤筒中有 8 支竹籤,其中三支有獎.甲 乙 丙三人依序各抽一支,取出的竹籤不再放回籤筒中.若已知丙 抽到中獎,則甲 乙二人至少有一人中獎的機率為. 8. 設一袋中有 5 個紅球,3 個黑球, 若小明 小王各從袋中抽一球, 小明先抽, 抽完球後不放回, 則小 明與小王都抽中紅球的機率為. 9. 小明 小王兩人各擲一粒公正的骰子, 求小明 小王人中至少有一人擲得 1 點的機率為. 10. 設袋中有 2 個綠球 3 個黑球 5 個黃球, 從袋中每次抽取一球, 連取三次, (1) 若每次取後放回, 則依序取得綠球 黑球 黃球的機率為 (2) 若每次取後不放回, 則依序取得綠球 黑球 黃球的機率為 1-4 二項分布課後練習試題 1. 連續投擲一枚公正的硬幣 100 次, 設 X 表出現正面的次數, 試求 X 的 (1) 期望值 E (X)= (2) 標準差 σ (X)= 2. 某種藥物可治療過敏, 每位過敏的小朋友在服過此藥物的一星期內痊癒之機率為 80%, 今有 5 位 24
小朋友同時過敏, 且同時服用此藥物, 則 (1) 一星期內至少有一人痊癒之機率為 (2) 恰有 3 人痊癒之機率為 數乙上 3. 一袋中有 3 個紅球, 1 個藍球, 每球被取中的機會均等, 每次從袋中拿出一球看完顏色後又放回袋中, 共拿 4 次, 則恰有 3 次都拿到藍球的機率為. 4. 擲一公正的骰子 4 次, 則恰在第 4 次出現第 2 個 1 點的機率為. 5. 一骰子連投 5 回, 則 (1)6 點出現 2 回的機率為. (2)3 的倍數的點出現 3 回的機率為. 6. 丟擲一粒公正骰子 6 次, 出現 2 點次數的期望值為. 7. 某獵人打靶的命中率為 0.75, 則 5 次射擊中至少有 3 次未擊中靶的機率為. 25
數乙上 8. 擲一個均勻的硬幣 8 次, 試求出現正面次數的期望值為, 標準差為. 9. 丟擲一粒公正骰子 6 次, 以 X 表示出現偶數點的次數, 則 X 的 (1) 期望值為. (2) 變異數為. (3) 標準差為. 10. 設有 是非題 6 題, 以 作答, 如作答時不經考慮而隨意畫, 則 (1) 答對 2 題的機率為. (2) 答對 3 題以上的機率為. 1-5 抽樣與統計理論課後練習試題 1. 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 56.5 分, 樣本標準差是 3.5 分, 而且已知成績分布呈現 常態分配, 試問全校約有多少人數學成績低於 60 分 (A) 約 160 人 (B) 約 320 人 (C) 約 500 人 (D) 約 680 人 (E) 約 840 人. 26
數乙上 2. 教育部擬將第二外國語列入高中選修課程, 班聯會以問卷調查學生的支持度, 隨機抽取 400 人, 其中贊成者有 320 人, 在 95% 的信心水準下, 下列選項何者為真? (A) 贊成比例為 80% (B) 正負誤差為 3 個百分點 (C) 正負誤差為 4 個百分點 (D) 信賴區間為 [0.76, 0.84] (E) 信賴區間為 [0.77, 0.83]. 3. 臺灣兒童睡眠狀況調查, 成功訪問了 1100 位兒童, 其中有 495 位兒童表示不覺得自己不容易入睡, 則 95% 的信賴區間為. 4. 某銀行於農曆春節發行即時樂彩券, 並宣稱中獎機率為 40%. 若想推論這個數據是否屬實, 在 95% 的 信心水準及抽樣誤差正負 4 個百分點的條件下, 應至少隨機採樣張樣本. 5. 市場調查人員針對臺灣地區的詐騙電話做調查後發現 : 有 95% 的信心認為約有 72% 到 78% 的人曾接過詐騙電話, 試求 : (1) 此次調查抽樣約人. ( 四捨五入至整數 ) (2) 此樣本中曾接過詐騙電話的約有人. ( 四捨五入至整數 ) 6. 研究單位發表 : 我們有 99.7% 的信心認為全國小學生近視的比率在 54% 到 66% 之間. 則此研究共調查 27
數乙上 了個樣本. 7. 若某校高三有 600 位學生, 第一次模擬考的數學平均為 68 分, 標準差為 4 分, 且成績分布呈現常態分 配, 則約有人的成績在 60 分以下. 8. 某民調中心想要調查台北市市長甲候選人的支持度, 隨機抽取了一個 2400 人的樣本, 其中有 1440 位 市民支持甲候選人, 則此次調查支持甲候選人的 95% 信賴區間為. 28