When the rejection rule for a test at every level α can be re-written as then xxx is the p-value of the test. xxx < α, If p-value < α, then the test c
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- 谆至 韦
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1 Hypothesis Testing - review The null hypothesis (H 0 ) and the alternative hypothesis (H 1 ) Type I error: rejecting H 0 when H 0 is true Type II error: failing to reject H 0 when H 1 is true (H 0 is false) A test is a decision rule that states when to rejct H 0 based on a statistic. A statistic is a quantity that can be computed based on the data. The size of a test is the largest Type I error probability for the test. When the size of a test is less than or equal to α, we say that the test is of level α. We cannot require both Type I error probabilities and Type II error probabilities to be arbitrarily small. 決定 H 0 Example Suppose that the weight of a can of coke (in ounces) is N(31.2, ) distributed using the conventional production process. 2. Suppose that some changes have been made in the production process and the weight distribution is N(µ, ). 3. Check the weights of the next 16 cans of cokes. Sample mean X: We want to know whether µ < We want to control the probability that we deduce that µ < 31.2 based on the sample when µ Which statement should be H 0, µ < 31.2 or µ 31.2? One sample z test. Data: (X 1,..., X n ), a random sample from N(µ, σ 2 ) σ is known. Three testing problems. H 1 : µ µ 0, µ > µ 0 or µ < µ 0. Test statistic: Z = n( X µ 0 )/σ. At level α, the one sample z test rejects H 0 : µ = µ 0 if Z > z α/2 ; H 0 : µ µ 0 if Z > z α ; H 0 : µ µ 0 if Z < z α. Example 2. Suppose that Assumptions 1 3 hold in Example 1. Can we conclude that µ < 31.2 at level 0.05? 1
2 When the rejection rule for a test at every level α can be re-written as then xxx is the p-value of the test. xxx < α, If p-value < α, then the test can reject H 0 at level α. If p-value > α, then the test cannot reject H 0 at level α. Suppose that a test rejects H 0 level α whenever Z > z α/2 p-value = 2P (N(0, 1) > observed Z ); whenever Z > z α p-value = P (N(0, 1) > observed Z); whenever Z < z α p-value = P (N(0, 1) < observed Z); Intepreting the p-value. p-value < 0.1 some evidence against H 0. p-value < 0.05 strong evidence against H 0. p-value < 0.01 very strong evidence against H 0. p-value < extremely strong evidence against H 0. 可樂問題. 正常製程下, 每瓶可樂重量 ( 以 ounce 計 ) 分布為 N(31.2, ). 假設新產出的可樂每瓶重量分布為 N(µ, ). Sample: 新產出的 16 瓶可樂重量. Sample mean X: 想知道 : 是否有強烈證據顯示目前製程裝較多可樂 (µ > 31.2). Sol. 考慮以 one sample z test 檢定 H 0 : µ 31.2 versus H 1 : µ > 31.2, 並根據 p-value 判斷是否有強烈證據支持 H 1 : µ > One sample z test rejects H 0 : µ 31.2 at level α 的條件為 Z def 16( X 31.2) = > z α, 0.4 且觀察到的 Z 統計量為 16( )/0.4 = 1.8. 因此 p-value 為 P (N(0, 1) > 1.8) = = < 0.05, 所以有強烈證據顯示目前製程裝較多可樂. One sample t test. Data: (X 1,..., X n ), a random sample from N(µ, σ 2 ) σ is unknown. Three testing problems. H 1 : µ µ 0, µ > µ 0 or µ < µ 0. 2
3 Test statistic: T = n( X µ 0 )/S. At level α, the one sample t test rejects H 0 : µ = µ 0 if T > t α/2,n 1 ; H 0 : µ µ 0 if T > t α,n 1 ; H 0 : µ µ 0 if T < t α,n 1. 可樂問題. 正常製程下, 每瓶可樂重量 ( 以 ounce 計 ) 分布為 N(31.2, σ 2 ), σ 未知. 假設新產出的可樂每瓶重量分布為 N(µ, σ 2 ). Sample: 新產出的 16 瓶可樂重量. Sample mean X 為 31.38, sample standard deviation S 為 0.4. 想知道 : 是否可在 0.05 顯著水準下, 推論目前製程裝較多可樂 (µ > 31.2). Sol. 考慮以 one sample t test 檢定 H 0 : µ 31.2 versus H 1 : µ > 31.2, One sample t test rejects H 0 : µ 31.2 at level α 的條件為 16( X 31.2) T = > t α,16 1 = t α, 今 α = 0.05, t α,15 = t 0.05,15 = 且觀察到的 T 統計量為 16( )/0.4 = 1.8 > t 0.05,15. 因此可在 0.05 顯著水準下推論目前製程裝較多可樂. Approximate z test for testing for population proportion. Data: (X 1,..., X n ), a random sample from Bin(1, p) Three testing problems. H 1 : p p 0, p > p 0 or p < p 0. Test statistic: Z n = n( X p 0 )/ p 0 (1 p 0 ). At level α, the test rejects H 0 : p = p 0 if Z n > z α/2 ; H 0 : p p 0 if Z n > z α ; H 0 : p p 0 if Z n < z α. 陪審團成員挑選是否公平問題 ( 取自 : 看漫畫學統計 ). 陪審團成員由合格公民中選出. 合格公民中有一半為非裔. 選出的 80 位陪審團成員中, 有 4 位為非裔. 想知道 : 是否有強烈證據顯示陪審團成員挑選並不公平 ( 挑中非裔成員機率 = p < 0.5). 3
4 Sol 1. 令 X 為選出的 80 位陪審團成員中, 非裔成員個數. 考慮使用 approximate z test 檢定 H 0 : p 0.5 versus H 1 : p < 0.5 並依 p-value 判斷是否有強烈證據顯示陪審團成員挑選並不公平. 當 Z n = 80( X 0.5)/ 0.5(1 0.5) < z α 時, approximate z test 在顯著水準 α 下拒絕 H 0 : p 0.5. 觀察到的 Z n = 80(4/80 0.5)/ 0.5(1 0.5) = p-value = P (N(0, 1) < ) < P (N(0, 1) < 3.09) = p-value < 0.001, 有非常強烈證據顯示陪審團成員挑選並不公平. Sol 2. Using an exact test for testing H 0 : p 0.5 versus H 1 : p < 0.5 based on X, and compute the p-value to see if there is a strong evidence against H 0. Exact test rejects H 0 at level α whenever 80 X C α, where C α is the largest integer such that P (Bin(80, 0.5) C α ) α. Let p v = P (Bin(80, 0.5) observed 80 X) = P (Bin(80, 0.5) 4), then the test can reject H 0 at level α if α > p v and the test cannot reject H 0 at level α if α < p v. Since the p-value is p v = P (Bin(80, 4) 4) = < 0.001, there is a very strong evidence that the selection is unfair (p < 0.5). Testing for σ. Suppose that (X 1,, X n ) is a random sample from N(µ, σ 2 ). Let S be the sample standard deviation. Consider the testing problem H 0 : σ σ 0 v.s. H 1 : σ > σ 0. Consider the test that rejects H 0 at level a whenever (n 1)S 2 > k a,n 1, where k a,n 1 is the (1 a) quantile for χ 2 (n 1). Then the test is of size a. Example 3. Suppose that we have a random sample of size 61 from N(µ, σ 2 ) and the sample standard deviation is 11. Can we conclude that σ > 10 at level 0.05? Sol. Use the test that rejects H 0 : σ 10 at level a whenever (n 1)S 2 > k a,n 1, 4
5 where k a,n 1 is the 1 a quantile for χ 2 (n 1). The observed test statistic is (n 1)S 2 (61 1)112 = 10 2 = 72.6 and k a,n 1 = k 0.05,60 = > 72.6, so we cannot conclude that σ > 10 at level
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